Chương 5 - Logarit rời rạc.doc

7/25/2019 Chng 5 - Logarit ri rc.doc

1/9

Chng 5

NHNG THUT TON LOGARITH RI RC

5.1M u. Phng h! n "nh

Cho G l nhm nhn Abel, Gba , . Bi ton tm kim nghim ca phng tnh

bax =

g!i l bi ton logaith "i #c tong nhm G. $ghim % ca phng tnh g!i l logaith

"i #c c &' a ca b, k( hi) l balog , n) nh c &' a c' *+nh n) nh nghim ca

phng tnh t-n t#i Ga Zb log , n) nh mo4 pbax >.H=

tong nhm mo4 pa bKng pLH.

Mhi * phng tnh giIi *;c, nghim % l mt phNn tJ ca HpZ . Oong phNn n?

chFng ta mi@) tI phng php *n *+nh * %c *+nh nghim ca >.H=.

$) 2i &P giFp *Q ca phng php ch!n th c th giIi phng tnh >.H= cNn

=>pO lnh &' h!c.

$ghim balog ca phng tnh >.H= c th tm theo cRng th3c &a)

=H>mo4=H>log H pbab jja ,

th nhng * ph3c t#p n) tSnh theo cRng th3c n? thi &T t-i hn cch lPa ch!n.

Oh)6t ton tip theo giIi phng tnh >.H= c * ph3c t#p l =log> UVH ppO lnh &'

h!c.

Thu#$ $%!n $ng h&.

'() 1. Gn HW UVH += pH .

'() *. Om =>mo4pac H .

'() +. X6p bIng gi t+ Hupcu H=,>mo4 , &Yp %p n.

'() ,.X6p bIng gi t+ Hvpab v Z=,>mo4. , &Yp %p n.


2/9

'() 5.Om &P t[ng nha) phNn tJ t\ bIng th3 nh1t a bIng th3 hai. 8 lm *i]) n?

=>mo4. pabc vu ,

t\ *? =>mo4pba vHu .

'() -.8a a gi t+ =.H>mo4 pvHux

/$ $h0) $hu#$ $%!n.

ChFng ta ch3ng minh &P *Fng *Yn ca th)6t ton. B1t k^ &' ng)?@n %, UZ px ,

c th bi) 4i_n 42i 4#ng =H>mo4 pvHux , ` *? HvHu Z,H , ng Kng

t6p &' ,LH,LU,,L, U, ULH,, UH , HU H ,, HH U ch3a tong mnh t6p &'

Z,H,,pLU, b`i pH >U . O\ *? 4dn *n &P *Fng *Yn ca th)6t ton. 8nh gi * ph3c

t#p ca th)6t ton cng ng *Fng, b`i t6p t\ $ phNn tJ c th &Yp %p cNn

=log> NNO

lnh &' h!c.5.* Thu#$ $%!n P%h2g3467n

B? gi" giI &J chFng ta bit *;c &P phn tSch thnh nhn tJ ca pLH a th\a &'

=

=s

i

iiqp

H

H

XFc n? phng tnh >.H= c th giIi cNn

+

=

=>logH

i

s

i

i qpO lnh &' h!c 2i &P giFp

*Q ca th)6t ton &a).Thu#$ $%!n P%h2g3467n

BIn ch1t ca th)6t ton nKm ` ch, tm &' l;ng * l2n phng tnh % theo mo4)lo

i

iq 2i t1t cI i, &a) * tm nghim ca phng tnh ban *N) bKng *+nh l( phNn 4 t)ng

hoa. 8 tm % theo mt tong cc mo4)lo nh th, chFng ta phIi giIi *-ng 4 th3c

==>mo4>=>

HH

paa i

ii

i q

p

xq

p

fhng tnh n? giIi *;c 2i * ph3c t#p th"i gian l *a th3c tong t"ng h;p n)

nh iq khRng :) l2n >c ngha l khRng ;t :Fa cp=>log , c l mt hKng &' no *=.

'() 1.8'i 2i t\ng &' ng)?@n t' H/, pqq , ta l6p bIng gi t+

=>mo4V=H>,

par qpjjq

, H,...,Z = qj .

'() *.8'i 2i t\ng &' ng)?@n t' :, H// pq , chFng ta tm =>mo4log qba .

89t

=>mo4...=>mo4log HHHZ qqxqxxqbx a +++ , 2i HZ qxi . XFc n? t\ >.H=

4dn *n Kng


3/9

=>mo4V=H>V=H> Z pab

qpxqp .

2i &P giFp *Q ca bIng tong b2c H chFng ta tm a Zx .XFc n? ng ta c

=>mo4=> V=H>V=H> H

UZ paba

qpxqpx .

Oheo bIng tong b2c H ta tm a gi t+ ca Hx tip t5c nh th. Gi t+ ca ix

*;c tm th1? t\ phng tnh

=>mo4=> V=H>V=H>... H

HHHZ paba

qpxqpqxqxx iii

i +

.

'() +.Mhi tm siqb iia ,...,H=,>mo4log = , chFng ta tm =H>mo4log pba theo *+nh

l( phNn 4 t)ng hoa.

/$ $h0) $hu#$ $%!n

ChFng ta ch3ng minh *nh gi * ph3c t#p ca th)6t ton. O6p phNn tJ

=>mo4V=H>

pa iqp cNn

=

s

i

pOH

=>log lnh &' h!c. a) * t6p jqir , *'i 2i t1t cI jqi, *;c

tSnh ton cNn =

s

i

iqOH

=> lnh &' h!c. 8 tm gi t+ ix tong b2c j cNn nng b6c>c ngha

tmH

H

i

i qxa =, tm phNn tJ ngh+ch *Io,nhn, nng b6c tin hnh theo bIng. O1t cI kt

h;p l#i l * ph3c t#p ca th)6t ton *;c n@) ` [email protected] . Oh)6t ton fol)gLellman c * ph3c t#p l *a th3c ==>>log HcpO tong t"ng

h;p khi t1t cI cc 2c ng)?@n t' iq ca p khRng ;t :) U=>log cp , ` *? UH,cc hKng &'

4ng.

5.+ Phng h! 3 P%728 92 :(2 %g7;2$h6 ;mo4HH

++ puu ii , n) nh jVZ pzi mo4UH

+ puu ii , n) nh pzp i jVUjV mo4H + puu ii , n) nh pzp i


4/9

=H>mo4UH + pvv ii , n) nh pzp i jVUjV mo4HH ++ pvv ii , n) nh pzp i UUU iiiiii vuzvuz , ,...,j,U,H=i chFng ta tm + tS

i, &ao cho ii zz U= . O\ *ng th3c c)'i c[ng ta Ft a

=>mo4UU pab iiii vvuu

.

$) nh H=H,gc4> U = puu ii , th khi =H>mo4H=>, U puulZl ii chFng ta th)

*;c

=>mo4=> U pab ii

vvl ,

t\ *? gi t+ % cNn tm bKng =H=>mo4>log U pvvlb iia

5., L%g7;2$h ;mo4 pbax , >.U=

` *? p l &' ng)?@n t'. Oh)6t ton n? c * ph3c t#p l

cLp

U

H2i mt &' gi t+ ca

hKng &' c. ChFng ta cho Kng =>mo4 pa c b6c l pLH.

Thu#$ $%!n A867n

Tng 1. nh thnh c &` nhn tJ, bao g-m t1t cI cc &' ng)?@n t' :,ppcns!

"#q logloglog

=

Tng *. BKng cch ch!n lPa chFng ta tm &' tP nhi@n ir &ao cho

#q

rpqa iqi =>mo4

, : l &' ng)?@n t'

O\ *? 4dn *n

#q

aiqi pqr =H>mo4log

. >.j=, : l &' ng)?@n t'Tng +. Ch!n &' l;ng * l2n bi) th3c >.j=, giIi h phng tnh t)?n tSnh th)

*;c 3ng 2i cc n qalog Llogaith "i #c ca phNn tJ ca c &` nhn tJ.

Tng ,. BKng cch lPa ch!n chFng ta tm a mt gi t+ ca , &ao cho

=>mo4...H pppqba#q

$

r q

,

` *? $pp ,...,H L l cc &' ng)?@n t' 2i * l2n t)ng bnh, c ngha H#p# i


5/9

Tng 5. BKng cch tSnh ton tng tP nh tNng U j ca th)6t ton, tm a logaithm

"i #c ia plog *'i 2i cc &' ng)?@n t' $pp ,...,H ` tNng .

Tng -. c *+nh gi t+ cNn tm balog W

=++

$

iia

#qaqa

ppqrbH

=H>mo4logloglog

.

/$ $h0) $hu#$ $%!n.

Thu#$ $%!n CO@

Tng 1. 89t

[ ] HZ,,ZW,HW logloglogUUVH UVHpO% = n@n

=>mo4=>==>> UHUHUH pccHcc%cHcH +++++

Xogaith theo c &' a chFng ta th) *;c bi) th3c &a)

+++UVH

=H>mo4log=,>=>log=>log UHUHLq

aqaa pqcccHcH

a c th tSnh theo cRng th3c

UVH

=>mo4Lq

pqa q

O\ *?

UVH

=H>mo4logH

Lq

aq pq

Tng +. O@n tNng U chFng ta tm *;c &' l;ng * l2n phng tnh, chFng ta giIi h

phng tnh t)?n tSnh th) *;c tm a qcH aa log=,>log + .

Tng ,. 8 tm %, chFng ta *a a gi2i h#n m2i UL . BKng cch ch!n ngd)

nhi@n,chFng ta tm mt gi t+ r, thsa m7n bi) th3c

< mo4Lq LuL

hg'puqba uq

,:,) l &' ng)?@n t'Oong bi) th3c n? 2i &P c m9t ca &' ng)?@n t' m2i l ) c * l2n t)ng binh.


6/9

Tng 5. BKng cch tng tP nh tNng U j chFng ta tm logaithm ca mt &' &'

ng)?@n t' ), ) %)1t hin tong tNng .

Tng -. ChFng ta tm *p &'

< mo4logloglog

Lq LuL

auaqa puhqg'bx

Oh)6t ton n? c * ph3c t#p lO>e%p>>logploglogp=H V U== lnh &' h!c.

Thu#$ $%!n LOG6%%$h

GiI &J : l &' ng)?@n t', l 2c ca pLH. Mhi * t6p nghim ca phng tnh Ht =qx

tong t"ng pZ g-m cc phNn tJ HU,...,,,H qccc , 2i =>mo4H

pac q

p

. $) nh cho &' 4

bit *;c Kng n thsa m7n *i]) kin phng tnh Ht =qx , th c th lPa ch!n &' t &ao cho

HZ, = q!c( !

.GiI &J lqp $=H , 2i : l ng)?@n t' c[ng nha). ChFng ta &T tm &' $iui ,...,H,Z, = ,

m chFng thsa m7n

=>mo4H=> pbai$

i lqu >.=

Mhi iqk th chFng ta c *-ng 4

=>mo4H=> pba lu$

O\ >.U= &T tng *ng

=>mo4H=> > $lux

qa $

B`i o4>a=qpLH, n@n *ng th3c c)'i c[ng cho ta lux $=> chia ht cho pLH, c ngha

=>mo4 $

$ qux

ChFng ta tm cc *-ng 4 th3c nh 6? *'i 2i cc 2c : ca pLH, c th tm *;c % >mo4 pL

H= bKng *+nh l( phNn 4 t)ng hoa.

1n *] c0n l#i l tm iu th no * thsa m7n phng tnh >.=. ChFng ta c th *9t HZ =u .

$) nh mt &' iu tm *;c, th t\ >.= 4dn *nH

=> i$i lquba thsa m7n phng tnh

=>mo4Ht px q = . XFc n? c th tm t &ao cho

=>mo4=>H

pcba !lqu

i$i

.

ChFng ta *9t iii !quu +=+H . XFc n?

=>mo4H=>HHH

pacba$i$

i !lq!lqu +

$h 6? *i]) n? c ngha thsa m7n >.=

$h" 6? m chFng ta tm $u bKng cch thPc hin theo & *-W =>mo4=>,H

HZ pbarui$

i lqui

=

, iiiiici q!uur! +== +H,log .


7/9

ChFng ta %em S 45 &a)

Om &' n &ao cho =Huj>mo4vpU x

w *? aqU,bqv,pqHuj, pj.UH =p

89t :qj. Mhi * kq lqU. $goi a =Huj>mo4HZpUU GpjH

=

p

c ,chFng ta c th bi)

4i_n th)6t ton :)a bIng &a)

i Z H U j

ir H x H HZ

i! Z U Z H

H+iu H v v j

O\ *? =xH>mo4jpx >.=

B? gi" ch!n :qU. XFc n? kqH,lqxH =Huj>mo4HU UH

p

c . Ong tP ta l6p bIng

i Z

ir LH

i! H

H+iu U

O\ *? chFng ta c =U>mo4Ux >.u=

O\ >.= >.u= &)? a =HuU>mo4jpx

5.5 L%g7;2$h ;


8/9

Mhi nh6n *;c &' l;ng * l2n bi) th3c >.v=> *i]) kin l St nh1t l phIi c mt

phNn tJ g, m galog *7 bit=, th chFng ta c th giIi h phng tnh t)?n tSnh 2i n

l ia xlog ja *log tong nh HpZ 2i *i]) kin l &' l;ng n tong h khRng :)

l2n.

fhng php *n giIn * t#o a bi) th3c >.v= | ch!n phNn tJ b1t k^ pZg , tSnh

=>mo4pau g= bKng cch lPa ch!n chFng ta thJ tm &' thsa m7n *i]) kin &a)

= ipu

O\ ( t`ng t@n ta c th)6t ton c5 th &a)W

Thu#$ $%!n 2n8B3)7)uu

Tng 1. >OSnh ton ban *N)=. O"ng z>:= *-ng c1) 2i [ ] =>V=> *+*pF , 2i

[ ]*pF*+ =>=> l *a th3c b1t khI :)? b6c n. Cho n@n b1t k^ thnh phNn ca t"ng z>:=*;c bi) 4i_n 42i 4#ng *a th3c b6c khRng ;t :) nLH. nhn cc *a th3c nh 6?

&T Ft g!n theo mo4)lo }>?=, *i]) n? chFng ta *7 tm hi) ` chng t"ng &'. fhNn tJ

=HV>=H>

H

= pqaa c b6c l pLH t#o thnh pF . 2i &P h t; ca n chFng ta l6p bIng

logaithm hKng &'L c ngha l phNn tJ ca t"ng ng)?@n t' =>=> qFpF . ChFng ta

tSnh UHU

HH

Z

H ,...,,,H = paaaa .

Tng *. >XPa ch!n c &` nhn tJ=. C &` nhn tJ=>qF#

thnh l6p t\ t1t cI cc *ath3c b1t khI :)? g b6t khRng l2n hn t, ` *? t l mt &' tham &', t~n

Tng +. >Om bi) th3c=. XPa ch!n ngd) nhi@n m, UH q) , chFng ta tm cc gi

t+ &ao cho thsa m7n bi) th3c

#g

))*+gca g ==>>mo4

=>

Z

,

2i =>Z pFc , t\ *? chFng ta tm *;c bi) th3c

+

#gaaa qg)c) =H>mo4log=>log Z ,

` *? Zlog ca chFng ta *7 bit, c0n galog chFng ta cha bit * l2n.

Tng ,. >tm th)6t ton cho cc phNn tJ ca c &` nhn tJ=. Mhi tm ` tNng j 2i &'

l;ng * l2n cc bi) th3c >l2n hn /B/=, chFng ta giIi h phng tnh t)?n tSnh tong

nh HqZ tm a galog 2i #g

Tng 5. >Om logaith i@ng=. ChFng ta tm mt gi t+ ca m &ao cho

==>>mo4H

#g

) x+gcab g

,

` *? =>H pFc . O\ *? chFng ta tm a gi t+ cNn tm


9/9

++#g

aqaa qgc)b =H>mo4logloglog H

/$ $h0) $hu#$ $%!n.

Documents

Chương 5 - Logarit rời rạc.doc