Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học

www.VNMATH.com

Chuyên đề

LƯỢNG GIÁCPhần 1: CÔNG THỨC

1. Hệ thức LG cơ bản

2. Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:

Công thức nhân:

Tích thành tổng: cosa.cosb = [cos(ab)+cos(a+b)]

sina.sinb = [cos(ab)cos(a+b)]

sina.cosb = [sin(ab)+sin(a+b)]

Tổng thành tích:

Công thức hạ bậc: cos2a = (1+cos2a)

sin2a = (1cos2a)

Biểu diễn các hàm số LG theo

Chuyên đề: LG Thái Thanh Tùng1

www.VNMATH.com

3. Phương trìng LG cơ bản

* sinu=sinv * cosu=cosvu=v+k2

* tanu=tanv u=v+k * cotu=cotv u=v+k .

4. Một số phương trình LG thường gặp1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.

b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là .

C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt , ta được: sinx+tancosx=

sinx + cosx= sin(x+ )= .

C ách 2: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

Đặt: . Khi đó phương trình tương đương:

hay .

Cách 3: Đặt .

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với .

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý:

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện t .


www.VNMATH.com

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰCPh ươ ng pháp 1 : Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

Giải

Phương trình (1) tương đương với:

cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).GiảiTa có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)

cos2x(sin6x–cos6x) = 0 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 cos2x = 0

Ví dụ 3: Giải phương trình: (3).GiảiTa có:

Ph ươ ng pháp 2 : Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác: (4).

GiảiTa có (4)


www.VNMATH.com

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có

Vì t[0;1], nên

cos4x = 0

Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)Giải

Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện , khi đó phương trình (*) trở thành:

2t + t2 – 1 + 1 = 0 t2 + 2t = 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ;

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Ví dụ 6. Giải phương trình: (6).

GiảiĐiều kiện: x ≥ 0Do nên , mà |cosx| ≤ 1.

Do đó

(Vì k, n Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: .

Giải

Đặt . Dễ thấy f(x) = f(x), , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét

với x ≥ 0.Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x) đồng biến với x≥0 .Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng thoả mãn

phương trình: .

GiảiĐặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.

= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)


www.VNMATH.com

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng , ta có minf(x) = f =

Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

BÀI TẬPGiải các ph ươ ng trình sau :

1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:

2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS:

3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

ĐS:

4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS: .

5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)

ĐS: với .

6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: .

7. ; (Học Viện BCVT) ĐS:

8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x ĐS: .

9. ĐS:

10.

HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = ,

11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:

12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).Giải

(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx.2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.

Đặt t=cosx, ĐK , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.

…(biết giải)


www.VNMATH.com

13. 2sinx+cotx=2sin2x+1.HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0.Đặt t=sinx, ĐK .2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2.14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …

15. Giải phương trình lượng giác:

Giải

Điều kiện:

Từ (1) ta có:

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là

16. Giải phương trình:

Giải

(1)

Điều kiện:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

17. Giải phương trình: .

Giải

Pt (cosx

(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1.

18. Giải phương trình: .

Giải


www.VNMATH.com

19. Giải phương trình: cosx=8sin3

Giải

cosx=8sin3 cosx =

(3)Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3)

20. Giải phương trình lượng giác:

Giải

Điều kiện:

Từ (1) ta có:

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là

21. Giải phương trình: GiảiPhương trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0

22. Giải phương trình: 2cos3x + sinx + cosx = 0Giải

sin sinx + cos cosx = – cos3x.


www.VNMATH.com

cos cos

x = (kZ)

23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =

Giải

Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =

.

24. Định m để phương trình sau có nghiệm

GiảiTa có:

* ;

*

*

Do đó phương trình đã cho tương đương:

Đặt (điều kiện: ).

Khi đó . Phương trình (1) trở thành: (2) với

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (là đường song song với Ox và cắt

trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): với .x

y’ +y

Trong đoạn , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là tại và đạt giá trị lớn

nhất là tại .

Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

.

o0o


www.VNMATH.com

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

KHỐI A

1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: (Khối A_2002).

Giải

ĐS: .

2. Giải phương trình: (Khối A_2003)

Giải

ĐS:

3. Giải phương trình: (Khối A_2005)Giải


www.VNMATH.com

ĐS:


Giải

ĐS:


Giải

ĐS:

6. (Khối A_2008)

Giải


www.VNMATH.com

ĐS:

7. Giải phương trình: . (Khối A_2009)

Giải

ĐS:

KHỐI B8. Giải phương trình (Khối B_2002)Giải

ĐS:

9. Giải phương trình (Khối B_2003)

Giải


www.VNMATH.com

ĐS:


Giải

ĐS:

11. Giải phương trình (Khối B_2005)Giải

ĐS:

12. Giải phương trình: (Khối B_2006)

Giải


www.VNMATH.com

ĐS:

13. Giải phương trình: (Khối B_2007)Giải

ĐS:


Giải

ĐS:

15. Giải phương trình: . (Khối B_2009)

Giải

ĐS:


www.VNMATH.com

KHỐI D16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 (Khối D_2002)Giải

ĐS:

17. (Khối D_2003)

Giải

ĐS:

18. Giải phương trình (Khối D_2004)

Giải

ĐS:

19. Giải phương trình: (Khối D_2005)

Giải


www.VNMATH.com

ĐS:

20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 (Khối D_2006)Giải

ĐS:

21. Giải phương trình (Khối D_2007)

Giải

ĐS:

22. Giải phương trình (CĐ_A_B_D_2008)Giải


www.VNMATH.com

ĐS:

23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)Giải

ĐS:

24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)Giải

ĐS:

25. Giải phương trình (Khối D_2009)Giải

ĐS:

Hết


Documents

Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học