Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 44 Phương trình lượng giác 91/ sinx + sin2x = 3 (cosx + cos2x); 92/ tanx = cotx + 4cos3 2x 93/ 3 – tanx.( tanx + 2sinx ) + 6.cosx = 0 94/ 3.cos4x – 8.cos6x + 2.cos2x + 3 = 0

95/ cot x – 3 cos2x 12 1 tan x 2= −

+(sin 2x + cos 2x)

96/ tanx – cot 72x2π⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= tan 3x

97/ cos4 x + sin4 x – sin 2x + 34

sin2 2x = 0

98/ cos3 4x = cos 3x .cos3 x + sin 3x .sin3 x

99/ 1 1 74sin x3sin x 4sin x2

π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟π⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠

100/ sin3 x – 3 cos3x = sinx.cos2x – 3 sin2x cosx 101/ 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 102/ (1 + sin2x).cosx + (1 + cos2x).sinx = 1 + sin2x

103/ 2.sin22x + sin7x – 1 = sinx; 104/ 2

sin cos 3.cos2 2x x x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠= 2

105/ 6 62.(cos sin ) sin .cos 0

2 2.sinx x x x

x+ −

=−

; 106/ xcot x sin x.(1 tan x.tan ) 42

+ + =

107/ cos3x + cos2x – cosx – 1=0; 108/ cos23x.cos2x – cos2 x = 0 109/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

110/ 023

43sin.

4cossincos 44 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

ππ xxxx

111/ (2.cosx – 1).(2.sinx + cosx) = sin2x – sinx

112/ 2cos 2x 1cot x 1 sin x .sin 2x1 tan x 2

− = + −+

113 / cotx – tanx + 4sin2x =x2sin

2 ; 114/ 2 2 2sin . tan cos 02 4 2x xxπ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

115/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 116/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình :

cos3x sin3x5 sin x cos2x 31 2sin 2x

+⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟+⎝ ⎠

117/ Tìm nghiệm x∈[0;14] của pt: cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0

Phương trình lượng giác 1 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1/ Các hệ thức cơ bản:

a/ sintancos

xxx

= ; b/ coscotsin

xxx

= ;

c/ cos2x + sin2x = 1 d/ tanx.cotx = 1

e/ 1 + tan2x = 2

1cos x

f/ 1 + cot2x = 2

1sin x

CHÚ Ý: sinx = cosx.tanx; cosx = sinx.cotx 2/ Cung (góc) liên kết: a/ Hai cung đối nhau: b/ Hai cung bù nhau:

cos(− α) = cos α sin(− α) = − sinα tan(− α) = − tanα cot(− α) = − cotα

cos(π − α) = − cosα sin(π − α) = sinα tan(π − α) = − tanα cot(π − α) = − cotα

c/ Hai cung phụ nhau: d/ Hai cung hơn kénh nhau π:

cos(2π − α) = sinα; sin(

2π − α) = cosα

tan(2π − α) = cotα; cot(

2π − α) = tanα

sin(π + α ) = −sinα cos(π + α ) = −cosα tan(π + α ) = tanα cot(π + α ) = cotα

CHÚ Ý: sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα; tan(α + kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα 3/ Công thức cộng: cos(a ± b) = cosa cosb ∓ sinasinb sin(a ± b) = sinacosb ± sinbcosa

tan(a ± b) = tan tan1 tan tan

a ba b±

∓

4/ Công thức nhân: a/ Công thức nhân đôi: b/ Công thức nhân ba:

sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a

tan2a = 2

2 tan1 tan

aa−

sin3a = 3sina − 4sin3a cos3a = 4cos3a − 3cosa

3

2

3 tan tantan 31 3tan

a aaa

−=

−

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 2 Phương trình lượng giác

5/ Công thức hạ bậc: cos2a = 1 cos 22

a+ ; sin2a = 1 cos 22

a−

6/ Công thức tính theo tanx: sin2x = 2

2 tan1 tan

xx+

; cos2x = 2

2

1 tan1 tan

xx

−+

;

7/ Công thức biến đổi: a/ tích thành tổng: b/ tổng thành tích:

cosacosb= 12

[cos(a+b)+cos(a−b)]

sinasinb= − 12

[cos(a+b)−cos(a−b)]

sinacosb= 12

[sin(a+b)+sin(a−b)]

cosa+cosb = 2cos2

a b+ cos2

a b−

cosa−cosb = −2sin2

a b+ sin2

a b−

sina+sinb = 2 sin2

a b+ cos2

a b−

sina−sinb = 2 cos2

a b+ sin2

a b−

tana ± tanb = sin( )cos

a bacob±


66/ 4 4sin s 1 1cot 25sin 2 2 8sin 2x co x x

x x+

= − ; 67/ s inx 3tan x 2cos x 1 2

π⎛ ⎞− − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

68/ ( )2cos2x cos x 2 tan x 1 2+ − =

69/ 1 1sin 2 sin 2cot 22sin sin 2

x x xx x

+ − − =

70/sin 3 3sin 2 cos 2 3sin 3cos 2 0x x x x x− − + + − = .

71/ (1 + 2cos3x)sinx + sin2x = 2sin2 2x4π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

72/ 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0 73/ ( )( ) 22sin x 1 2cos2x 2sin x 3 4sin x 1.− + + = −

74/ xx

xx2sin

1sin21sin2sin −−+ = 2 cot 2x

75/ 2

3cos242

cos42

5sin xxx=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ππ

76/ tan4x + 1 = x

xx4

2

cos3sin)2sin2( −

; 77/ )4

cos(22sin

1cos

1 π+=− x

xx

78/ 2sinx.cos2x + sin2x.cos2x = sin4x.cosx 79/ (2sin2x – 1).tan22x + 3.(2.cos2x – 1) = 0 80/ 2cos2x + 2 3 .sinxcosx + 1 = 3( sinx + 3 .cosx )

81/ sin 2x cos2x tan x cot xcos x sin x

+ = − ; 82/ 1cos.12

sin.22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xx π

83/ 0sincos34

cos.22 3 =−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxx π

84/ Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )π,0 của pt:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−

43cos.212cos3

2sin4 22 πxxx

85/ 22

cos2x 1tan x 3.tan x2 cos xπ −⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

86/ sinx.cos2x + cos2x.(tan2x – 1) + 2.sin3x = 0 87/ sin2x + cos2x + 3.sinx – cosx – 2 = 0

88/ 3 sin xtan x 22 1 cos xπ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

; 89/ 1 sin 1 cos 1x x− + − =

90/ (sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx


37/ 2sinx + cosx = sin2x + 1 38/2 3

22

cos cos 1cos2 tan

cosx x

x xx

+ −− =

.39/ 2 1 s inx 1sin sin2 osx

osx 2x x c

c+

+ − =

40/ 7 3 5sin cos sin cos sin 2 cos7 02 2 2 2x x x x x x+ + =

41/ cos4x + sin4x = cos2x; 42/ 4cos3x − cos2x − 4cosx + 1 = 0

43/ sin2x + 2 2 cosx + 2sin(x + 4π ) + 3 = 0 ; 44/ 2

cos sin 2 32cos sin 1

x xx x−

=− −

45/ 2 2 2cos cos 2 cos 3 3 cos2 2 2 6

x x xπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

46/ 4(sin4x + cos4x) + sin4x − 2 = 0 ; 47/ cosx.cos2x.sin3x = 14

sin2x

48/ xx

xgxxtgxsin

3cos

25)cos(cot3)sin(2 +=+−+−

49/ Định m để pt sau có nghiệm 24sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x + 0

4 4 4c c mπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

50/ ( )2 cos sin1tan cot 2 cot 1

x xx x x

−=

+ −; 51/ ( )

4 4sin cos 1tan cot

sin 2 2

x xx x

x

+= +

52/( )( )2cos x 1 sin x cos x 1− + = 53/ 3 3 2cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0− − + =

54/ xcotx sin x 1 tan x.tan 4

2⎛ ⎞⎟⎜+ + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

55/ 2 2 2 11tan x cot x cot 2x

3+ + = ; 56/ ( )3 sin x tan x

2cos x 2tan x sin x

+− =

−

57/ ( )22 s in3x 1 4 sin x 1− = 58/ ( )( )1 tan x 1 s in2x 1 tan x− + = + 59/cos7x.cos5x 3 s in2x=1 sin7x s in5x− −

60/ 12 tan x cot2x 2 s in2x+

sin2x+ = 61/ 4 4 1

sin x cos x4 4π⎛ ⎞⎟⎜+ + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

62/ 9 sin x 6 cos x 3 s in2x+cos2x 8+ − =

63/ 3 3 31 sin x cos x s in2x

2+ + = 64/ xxx tansin2)

4(sin2 22 −=−

π .

65/ ( ) ( )3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = .

Phương trình lượng giác 3 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Vấn đề 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Tính: cos ,sin 2 ,cos 2 , tan4

a a a a π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

biết 1 3sin ,3 2 2

a aπ π= − < <

Giải

Ta có: cos2a = 1 − sin2a = 1 −21

3⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 89

⇒ cosa = 2 23

±

Vì 2π <a < 3

2π nên cosa = − 2 2

3

sin2a = 2sina.cosa = − 13

.(− 2 23

) = 2 29

cos2a = 2cos2a − 1 = 22

2 23

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− 1 = 79

tan(a +4π ) =

tan tan4

1 tan tan4

a

a

π

π

+

−=

1 19 4 22 2

1 712 2

++

=−

với tana = 12 2

Ví dụ 2: Cho 3sin5

α = và 2π α π< < . Tính 2

tan1 tan

A αα

=+

.

Giải

Ta có: cos2α = 1 − sin2α = 1 −23

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1625

⇒ cosα = 45

±

Vì 2π <α < 3

2π nên cos α = − 4

5

⇒ tanα = sin 3cos 4

αα= − ⇒ A = 2

31242531

4

−= −

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức: A = os2a-cos4asin 4 sin 2c

a a+,

B = 2sin 2 sin 42sin 2 sin 4

a aa a−+

, C = sin os

4 4

sin os4 4

a c a

a c a

π π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 4 Phương trình lượng giác Giải

Ta có:

A = cos2a - cos4a 2sin3asina sinasin 4 sin 2 2sin 3 cos cosa a a a a

= =+

= tana

B = 2sin 2 sin 42sin 2 sin 4

a aa a−+

= 2sin 2 2sin 2 cos 22sin 2 2sin 2 cos 2

a a aa a a−+

= 2sin 2 (1 cos 2 )2sin 2 (1 cos 2 )

a aa a

−+

= 1 cos 21 cos 2

aa

−+

=2

2

2sin2cos

aa

= tan2a

C =sin os

4 4

sin os4 4

a c a

a c a

π π

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=2 sin

4 4

2 sin4 4

a

a

π π

π π

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

= sincos

aa

− = − tana

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/2 2

22

sin 2cos 1 sincot

α α αα

+ −= ,

b/2 2

62 2

sin tan tancos cot

α α αα α−

=−

, c/2 2sin cos tan 1

1 2sin cos tan 1α α α

α α α− −

=+ +

Giải

a/ Ta có: 2 2 2 2 2

2 2 2

sin 2cos 1 1 cos 2cos 1 coscot cot cot

α α α α αα α α

+ − − + −= = = sin2α

b/ Ta có:

22 2 22

22 2 2

22

1sin 1sin tan tancos tan .

1cos cot cotcos 1sin

αα α αα αα α αα

α

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠= =− −⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

= tan6α

c/ 2 2 2 2 2

2 2

sin cos sin cos tan 11 2sin cos (sin cos ) (tan 1)

α α α α αα α α α α− − −

= =+ + +

= tan 1tan 1

αα−+

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/1 cos sin cot1 cos sin 2

α α αα α

+ −= −

− −,

b/3 3sin cos 1 sin cos

sin cosα α α αα α+

= −+

; c/ sin 2 sin tan1 cos 2 cos

α α αα α+

=+ +

Giải a/ Ta có:

2

2

2cos cos sin2cos 2sin cos1 cos sin 2 2 22 2 21 cos sin 2sin 2sin cos 2sin sin cos

2 2 2 2 2 2

α α αα α αα α

α α α α α αα α

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠= =− − ⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=−cot2α


15/ sin3 cos35 cos 3 cos21 2sin 2

x xx xx

+⎛ ⎞− = −⎜ ⎟+⎝ ⎠

16/ 22sin 2 cos7 1 cosx x x− − = 17/ ( )2cos 1 cos2 sin 2 1 2sinx x x x− + = + 18/ 22cos 3sin 2 1 3(sin 3 cos )x x x x+ + = + 19/ Cho phương trình: 2(1 )sin cos 1 2cosm x x m x− − = + . Tìm m để pt có

nghiệm trên đoạn ;2 2π π⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

20/ 22cos 6 cos 2 sin 24

x x xπ⎛ ⎞+ − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

21/ ( )2sin (2 cos ) (1 cos ) 1 cos x x x x− = − + .

22/ cos3 1 sin .cos 4cos 2 .sin 2sin 3s in2

x x x x x xx

+ += − .

23/ 7(sin 1)(1 tan ) 2cos 2 2 cos4

x x x x π⎛ ⎞− + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

24/ 6 cos 2 sin 1 3 sin 2 cos 2x x x x− + = +

25/2 2

44

(2 sin 2 )(2cos cos )cot 12sinx x xx

x− −

+ =

26/ 2tancot)4

2(cos2 2 −−=+ xxx π 27/ 15

6cos109cos2 2 −=

xx

28/ 6 6 2 1sin cos cos 2

16x x x+ = +

29/ 15(sin 1)(1 tan ) 2cos 2 2 cos4

x x x x π⎛ ⎞⎟⎜− + + = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

30/ 3. 1.(sin 2 cos ) 5(sin 3 cos )tgx x x x x+ + = +

31/ 2sin3x – 1 12cos 3

sin cosx

x x= +

32/ 2cos2 34

xπ⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ - 4cos4x – 15sin2x = 21

33/ 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 34/tan2x + cot2x + 13

sin2x=

35/ cos22x – cos2x = 4 sin22x.cos2x

36/ 24sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x + 1 04 4 4c c

π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− + =⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 40 Phương trình lượng giác 40/ x 4 x 2 xsin cos s in2+ = + (A−14) 41/ ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = −

1/ (Dự bị 1 khối D 2006) : 3 3 2cos x sin x 2sin x 1+ + = . 2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : ( ) ( )x x x x4 2 1 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + + − + − + = . 3/ (Dự bị 2 khối B 2007) : ( )( )cos2x 1 2 cosx sin x cosx 0+ + − = .

4/ (Dự bị 2 khối D 2006) : 3 24sin x 4sin x 3sin 2x 6 cosx 0+ + + = . 5/ (Dự bị 1 khối B 2006) : ( ) ( )2 2 22sin x 1 tan 2x 3 cos x 1 0− + − = .

6/ (Dự bị 2 khối A 2006) : 2sin 2x 4sin x 1 06π⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

7/ (Dự bị 1 khối A 2006) : 2 3 23 3cos3x.cos x sin3x.sin x8

+− = .

8/ (Dự bị 1_A05): Tìm nghiệm trên khoảng ( )0;π của pt:

x 32 24sin 3 cos2x 1 2 cos x2 4

π⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

9/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 32 2 cos x 3cosx sin x 04π⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

ĐỀ THI THỬ 1/ cos3x + sin3x = cosx 2/ sin5x + sin9x + 2sin2x − 1 = 0

3/ sin 3 s .sin4 4

in2x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4/ 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx =

05/ 2sin 2 4cos 1 06

x xπ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

; 6/ ( ) ( )3 31 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +

7/ 2cos3x + cos2x + sinx = 0 8/ 3(sin 2 sin ) 2cos 3cos 1

x x xx−

= +−

.

9/ 2 2 1cos sin 2sin3 6 2

x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; 10/ 2tan cot 4sin 2sin 2

x x xx

− + =

11/ 3tan 2 sin 2 cot2

x x x+ = 12/ 1cos cos2 cos3 sin sin 2 sin32

x x x x x x− =

13/ 2 sin 2 2 3cos sin4

x x xπ⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

14/ 1 1sin 2 cos 2cot 2 02cos sin 2

x x xx x

+ − − + = .


b/3 3 2 2sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )

sin cos sin cosα α α α α α α αα α α α+ + − +

=+ +

=1−sinαcosα

c/ 2

sin 2 sin 2sin cos sin sin (2cos 1)1 cos 2 cos 2cos cos cos (2cos 1)

α α α α α α αα α α α α α+ + +

= =+ + + +

= tanα

BÀI TẬ ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) khi 3tan sin ,3 5 2π πα α α π

⎛ ⎞+ = < <⎜ ⎟

⎝ ⎠ ĐS: 38 25 3

11−

b) khi 12 3cos sin , 23 13 2π πα α α π⎛ ⎞

− = − < <⎜ ⎟⎝ ⎠

ĐS: (5 12 3)26

−

Bài 2: Tính: cos , tan ,sin , tan 24

a a a aπ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

biết 5 3sin , 23 2

a aπ π= − < <

Bài 3: Tính P 1 3 2 2 3 2( cos )( cos )= − α + α biết 23

sinα = (TNQG15)

Bài 4: Tính 4 4sin cosP α α= + , biết 2sin 23

α = (DB QG15)

Bài 5: Cho sinα = 53 và παπ

<<2

.Cho Tính cosα, tanα, cotα.

Bài 6: Cho tanα = 2 và 2

3παπ << . Tính sinα, cosα.

Bài 7: Cho cosα = 1213

− , παπ<<

2. Tính: sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2α α α α

Bài 8: Cho cotα = 2 và 04πα< < . Tính sin 2 , cos 2 , tan 2 , cot 2α α α α .

Bài 9: Cho 1sin cos5

α α− = . Tính sin 2 , cos 2α α .

Bài 10: Chứng minh rằng: a/ sin sin 3 sin 5 tan 3cos cos3 cos5

α α α αα α α+ +

=+ +

,

b/ 43 4cos 2 cos 4 tan3 4cos 2 cos 4

α α αα α

− +=

+ + b/ − +

=−

1 cos os2 cotxsin 2 s inx

x c xx

c/ +=

+ +s in2x sin tan

1 cos2 cosx x

x x d/ π⎛ ⎞−

= −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠22 os2 sin 4 tan

2 os2 sin 4 4c x x xc x x

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 6 Phương trình lượng giác Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Công thức nghiệm của các pt lượng giác cơ bản:

2

1/ cos cos 2 ; 2 / sin sin2

3 / ; 4 / cot cot

u v ku v u v k u v

u v ktgu tgv u v k gu gv u v k

ππ

π ππ π

= +⎡= ⇔ = ± + = ⇔ ⎢ = − +⎣= ⇔ = + = ⇔ = +

Các pt lượng giác đặc biệt:

a/ sinu = 1 ⇔ u = 2π + k2π b/ sinu = −1 ⇔ u = −

2π + k2π

c/ sinu = 0 ⇔ u = kπ d/ cosu = 1 ⇔ u = k2π

e/ cosu = −1 ⇔ u = π + k2π f/ cosu = 0 ⇔ u = 2π + kπ

g/ sinu = ±1 ⇔ cosu = 0 h/ cosu = ±1 ⇔ sinu = 0

i/ tanu = ±1 ⇔ u = ±4π + kπ k/ cotu = ±1 ⇔ u = ±

4π + kπ

Ví dụ 1: Giải phương trình: a/ 1sin4

x = ; b/ 3sin(3 )4 2

x π+ =

Giải

a/ Ta có: sinx = 14

⇔ sinx = sinα (với sinα = 14

)

⇔2

,2

x kk

x kα ππ α π

= +⎡∈⎢ = − +⎣

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 2 ,x k x k kα π π α π= + = − + ∈

Cách khác: 1sin4

x =

1arcsin 24

1arcsin 24

x k

x k

π

π π

⎡ = +⎢⇔ ⎢

⎢ = − +⎢⎣

, k∈Z

b/ Ta có: 3sin(3 ) sin(3 ) sin4 2 4 3

x xπ π π+ = ⇔ + =

23 2 3 24 3 4 3 24 3 ,

5 23 2 3 24 3 3 4 24 3

x k x k x kk

x k x k x k

π π π π π ππ π

π π π π π ππ π π π

⎡ ⎡ ⎡+ = + = − + + = +⎢ ⎢ ⎢⇔ ⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢ ⎢

⎢ ⎢ ⎢+ = − + = − − + = +⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 5 2, ,24 3 24 3

x k x k kπ π π π= + = + ∈

Phương trình lượng giác 39 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 14/ ( )( )2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − (D-04)

15/ 2cos 2 1cot 1 sin sin 21 tan 2

xx x xx

− = + −+

16/ 2cot tan 4sin 2sin 2

x x xx

− + = (B-03)

17/ 2 2 2sin tan cos 02 4 2x xxπ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (D-03)

18/ 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (B-02)

19/cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x− + − = (D2);20/ (1 2sin )cos 3(1 2sin )(1 sin )

x xx x

−=

+ −(A09)

21/ 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − (B−09) 22/ 3 os5x 2sin 3x os2x sin 0c c x− − = (D−09) 23/ 2(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + + (CĐ−09)

24/ (1 sin cos 2 )sin

14 cos1 tan 2

x x xx

x

π⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ =

+( A - 10)

25/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (B−10) 26/ sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (D−10)

27/ 4cos 52x cos 3

2x + 2(8sinx − 1)cosx = 5 (CĐ−10)

28/ 2

1 sin 2 cos 2 2 sin sin 21 cot

x x x xx

+ +=

+(A−11);

29/ cos4x+12sin2x−1=0 (CĐ11) 30/ sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x+ = + + (B−11)

31/ s n2 2cos sin 1 0tan 3

i x x xx

+ − −=

+(D11); 32/ 3 s in2x+cos2x=2cosx-1 (A−12)

33/ 2(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1.x x x x x+ = − + (B−12) 34/ sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x (D−12) 35/ 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ−12)

36/ 1 tan x 2 2 sin x4π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (A-13); 37/ 2sin 5 2cos 1x x+ = (B-13)

38/ sin3x + cos2x – sinx = 0 (D-13); 39/cos sin 2 02

x xπ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(CĐ-13)

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 38 Phương trình lượng giác a/ 2 32sin 4 os 3s inxx c x+ = b/ 2sin3x = cos3x

c/ 3sin 2 s inx4

x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

d/ 2sin3x = cosx

e/ 3 3sin cos sin cosx x x x+ = − g/ 1 t anx 1 sin 21+tanx

x−= +

Bài 23: Giải pt: a/ cos5xcos3x = cosxcos7x; b/ sin2x − cos5x = cosx − sin6x c/ cosx + cos11x = cos6x; d/ sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x

e/ tanx + tan2x = tan3x ; g/ 2s inx+sin3x+sin5x tan 3osx+cos3x+cos5x

xc

=

Bài 24: Giải pt: a/ 2 2 2sin sin 5 2sin 3x x x+ = ; b/ 8cos4x = 1 + cos4x

c/ 2 2 2 3os 3 os 4 os 52

c x c x c x+ + = ; d/ sin4x + cos4x = cos4x

e/ 3cos22x - 3sin2x + cos2x g/ sin3xcosx - sinxcos3x = 28

h/ (1 − tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx; i/ tanx + tan2x = sin3xcosx

ĐỀ THI ĐẠI HỌC

1/ 1 1 74sin3sin 4sin2

xx x

ππ

⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠−⎜ ⎟⎝ ⎠

(A-08)

2/ 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin .cosx x x x x x− = − (B-08) 3/ ( )2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = + (D-08) 4/ ( ) ( )2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + (A-07)

5/ 22sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = (B-07); 6/2

sin cos 3 cos 22 2x x x⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠(D-07)

7/ ( )6 62 cos sin sin cos

02 2sin

x x x

x

+ −=

− (A06);8/ cot sin 1 tan tan 4

2xx x x⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠;

9/ cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − = 10/ 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x− = (A-05) 11/ 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = (B-05)

12/ 4 4 3cos sin cos sin 3 04 4 2

x x x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(D-05)

13/ ( ) 25sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (B-04)


Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a/ 1cos2

x = − , b/ 3cos(2 ) 16

x π+ =

Giải

a/ Ta có 1 2cos cos cos 2 ( )2 3 3

x x x k kπ π π= − ⇔ = ⇔ = ± + ∈

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 ( )3

x k kπ π= ± + ∈

b/ 13cos(2 ) 1 cos(2 )6 6 3

x xπ π+ = ⇔ + = ⇔cos(2 )

6x π+ = cosα (với cosα= 1

3)

⇔ 2 26

x kπ α π+ = ± + 2 2 ( )6 12 2

x k x k kπ π αα π π⇔ = − ± + ⇔ = − ± + ∈

Vậy phương trình có nghiệm là: 12 2

x kπ α π= − ± + .

Ví dụ 3: Giải phương trình: a/ tan 3x = ; b/ tan( ) 25

xπ− =

Giải

a/ Ta có: tan 3 tan tan3 3

x x x kπ π π= ⇔ = ⇔ = + , k∈

Vậy phương trình có nghiệm là: 3

x kπ π= + , k∈

b/ Ta có: tan( ) 2 tan( ) tan5 5

x xπ π α− = ⇔ − = (với tanα = 2)

( )5 5

x k x k kπ πα π α π⇔ − = + ⇔ = − − ∈

Vậy phương trình có nghiệm là: ( )5

x k kπ α π= − − ∈

Cách khác: tan( ) 25

xπ− = ⇔ tan 2

5x arc kπ π− = + ⇔ x =

5π −arctan2−kπ

Ví dụ 4: Giải pt sau: a/ 1cot( )4 3

xπ− = ; b/ cot(4 35 ) 1ox + = −

c/ tan5x – cotx = 0 d/ tan3x − tanx = 0 Giải

a/ Ta có: 1cot( )4 3

xπ− = ⇔ cot( ) cot

4 3xπ π

− =


⇔ ,4 3 12

x k x k kπ π ππ π− = + ⇔ = − − ∈

Vậy phương trình có nghiệm là: ,12

x k kπ π= − − ∈

b/ Ta có cot(4 35 ) 1 cot(4 35 ) cot( 45 )o o ox x+ = − ⇔ + = − ⇔ 4 35 45 180 4 80 180 20 45 , ( )o o o o o o ox k x k x k k+ = − + ⇔ = − + ⇔ = − + ∈ Vậy phương trình có nghiệm là: 20 45 , ( )o ox k k= − + ∈ c/ Đk: cos5x ≠ 0, sinx ≠ 0

Khi đó: tan5x − cotx = 0 ⇔ tan5x = cotx ⇔ tan5x = cot(2π − x)

⇔ 5x = 2π − x + kπ ⇔ x =

12 6kπ π

+ (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 12 6

kπ π+ , k∈Z

d/ Đk: cos3x ≠ 0, cosx ≠ 0

Ta có: tan3x − tanx = 0 ⇔ sin 2 0cos3 cos

xx x

= ⇔ 2sin cos 0cos3 cos

x xx x

=

⇔ 2sin 0cos3

xx= ⇔ sinx = 0 ⇔ x = kπ (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = kπ, k∈Z Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a/ sin3x = cos2x; b/ 1 − cos4x = sin2x c/ 2cos22x =1 d/ sinx − 3 cosx = 2sin2x; e/ 3 sin4x − cos4x = 2cos3x

Giải

a/ Ta có: sin3x = cos2x ⇔ sin3x = sin(2π − 2x)

⇔ 3 2 2

2

3 2 22

x x k

x x k

π π

π π

⎡ = − +⎢⎢⎢ = + +⎢⎣

⇔

210 5

22

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

, k∈Z

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 210 5 2

x k x kπ π π π= + = + , k∈Z

b/ Ta có: 1 − cos4x = sin2x ⇔ 2sin22x − sin2x = 0

⇔ sin2x(2sin2x − 1) = 0 ⇔ sin2x = 0 ∨ sin2x = 12

Phương trình lượng giác 37 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Bài 12: Tìm nghiệm của các phương trình sau trên các khoảng đã cho:

a/ 0tan(2 15 ) 1x − = , x ∈(-1800,900); b/ s inx = 3 osxc , với 2 ;3

x π π⎡ ⎞∈ − ⎟⎢⎣ ⎠

Bài 13: Giải các pt: a/ 2os os x-2 4 2

c cπ π⎡ ⎤⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦; b/ ( )tan osx+sinx 1

4cπ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

c./ sin(πcos2x) = 1 d/ 3sinx + 4cosx = 5 Bài 14: Giải các pt: a/ 3 tan 3 3 0x − = ; b/ ( )( )s inx+1 2 os2x - 2 0c =

c/ 23sin 2 7 os2x - 3 = 0x c+ d/ 23 cot 4cot 3 0x x− + = Bài 15: Giải các pt: a/ os2x - sinx +2 =0c ; b/ 2 tan 2 cot 2 3x x+ = c/ 2os2x + sin 2 osx +1 = 0c x c+ ; d/ 2 24sin 2 8 os 9 0x c x+ − =

Bài 16: Tìm các nghiệm của pt 2sin 3 sin 3 0x x+ = thỏa 2 4;3 3

x π π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Bài 17: Giải pt sau: a/ 3cosx + 4sinx = −5 b/ 25sin 2 6 os 13x c x− = c/ 3 os2x - 2sinxcosx = 2sin7xc ; d/ sin8 cos 6 3(sin 6 cos8 )x x x x− = +

e/ (3sin cos )(cos 2sin ) 1x x x x+ − = ; g/ 2cos cos( ) 4sin 2 13

x x xπ+ + =

Bài 18: Giải pt: a/ 2 2cos 2 3 sin cos 3sin 1x x x x+ + = .

b/ 3 34sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + = . c/ 24sin ( ) sin 2 16

x xπ+ + =

d/ cos7 sin 5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = − ; e/ 22sin(2 ) 4sin 16

x xπ+ + =

Bai 19: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

a/ sin 2cos 1sin cos 2

x xyx x+ +

=+ +

. b/ sincos 3

xyx

=+

c/ 24sin

2 sin(2 )6

xyx π=

+ +.

Bài 20: Giải các phương trình: a/ 2 26sin s inxcosx - cos 2x x+ = b/ 2 22sin 2 3s in2xcos2x + cos 2 2x x− = c/ 22 3 os 6s inxcosx = 3 + 3c x + d/ 2 24sin 3 3 sin 2 2 os 4x x c x+ − =

e/ ( ) ( )34s inxcos x - 4sin osx + 2sin os x + 12 2

x c x cπ ππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Bài 21: Giải các phương trình

a/ ( )2 23sin 8s inxcosx + 8 3 9 os 0x c x+ − = b/ 2 2 1sin s in2x - 2 os2

x c x+ =

Bài 22: Giải các phương trình

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 36 Phương trình lượng giác ⇔ 2cos4xcosx = 2cos4xsin2x ⇔ 2cos4x(sin2x − cosx) = 0 ⇔ 2cos4x(2sinxcosx − cosx) = 0 ⇔ 2cos4xcosx(2sinx − 1) = 0

Bài 7: Giải phương trình: 1 tan1 tan

xx

+−

= 1 + sin2x (1)

HD: Điều kiện: cosx ≠ 0, tanx ≠ 1

Khi đó: 1 tan1 tan

xx

+−

= 1 + sin2x ⇔ 1 tan1 tan

xx

+−

= 1 + 2

2 tan1 tan

xx+

Bài 8: Giải phương trình: tan2x = 1 cos1 sin

xx

+−

(1)

HD: Ta có tan2x = 2 2

2 2

sin 1 cos (1 cos )(1 cos )cos 1 sin (1 sin )(1 sin )

x x x xx x x x

− + −= =

− + −

Đk: sinx ≠ ±1 ⇔ cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ 2π + kπ

Khi đó (1) ⇔ (1 cos )(1 cos ) 1 cos(1 sin )(1 sin ) 1 sin

x x xx x x

+ − +=

+ − −

⇔ (1 + cosx)(1 − cosx) = (1 + cosx)(1 + sinx) ⇔ (1+cosx)(1+sinx −1 + cosx) = 0 ⇔ (1+cosx)(sinx + cosx) = 0

Bài 9: Giải phương trình: sin22x − cos28x = sin(172π + 10x) (1)

HD: (1) ⇔ − 12

(cos16x + cos4x) = cos10x ⇔ −cos10xcos6x = cos10x

⇔ cos10x(cos6x + 1) = 0 Bài 10: Giải phương trình: 2tanx + tan2x = tan4x (1) HD: Đk: cosx ≠ 0, cos2x ≠ 0, cos4x ≠ 0

Khi đó (1) ⇔tan2x+tanx=tan4x−tanx ⇔ sin 3 sin 3cos 2 cos cos 4 cos

x xx x x x

=

⇔ sin3x(cos4x − cos2x) = 0 ⇔ −2sin23x.sinx = 0

Bài 11: Giải các pt sau: 1osx.cos2x.cos4x.cos8x=16

c

HD: x = kπ (sinx = 0) không là nghiệm của pt nên

PT ⇔ sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 116

sinx

⇔ 12

sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = 116

sinx

⇔ 12

. 12

sin4x.cos4x.cos8x = 116

sinx ⇔ 18

sin8x.cos8x = 116

sinx


sin2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = k2π , k∈Z

sin2x = 12

⇔ 2 2

652 26

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

⇔ 12512

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

, k∈Z

c/ Ta có: 2cos22x =1 ⇔ 2cos22x − 1 = 0 ⇔ cos4x = 0

⇔ 4x =2π + kπ ⇔ x =

8π + k

4π , k∈Z

Vậy phương trình có nghiệm là: x =8π + k

4π , k∈Z

d/ Ta có: sinx − 3 cosx = 2sin2x ⇔ 12

sinx − 32

cosx = sin2x

⇔ sinxcos3π −sin

3π cosx = sin2x ⇔ sin(x −

3π ) = sin2x

⇔ 2 2

3

2 23

x x k

x x k

π π

π π π

⎡ − = +⎢⎢⎢ − = − +⎢⎣

⇔ 2

34 29 3

x k

x k

π π

π π

⎡ = − −⎢⎢⎢ = +⎢⎣

, k∈Z

e/ Ta có: 3 sin4x − cos4x = 2cos3x ⇔ 32

sin4x − 12

cos4x = cos3x

⇔ sin4xcos6π − sin

6π cos4x = cos3x ⇔ sin(4x −

6π ) = sin(

6π − 3x)

⇔ 4 3 2

6 2

4 3 26 2

x x k

x x k

π π π

π π π

⎡ − = − +⎢⎢⎢ − = + +⎢⎣

⇔

2 221 72 23

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

, k∈Z

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: a/ cos4x + sin4x = cos4x; b/ cos7x + sin22x = cos22x c/ sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x); d/ 2sin2x – sin2x = 0

Giải

a/ Ta có: cos4x + sin4x = cos4x ⇔ 3 1 cos 44 4

x+ = cos4x


⇔ cos4x = 1 ⇔ 4x = k2π ⇔ x = k2π , k∈Z

b/ Ta có: cos7x + sin22x = cos22x ⇔ cos7x = cos22x − sin22x

⇔ cos7x = cos4x ⇔ 7 4 27 4 2

x x kx x k

ππ

= +⎡⎢ = − +⎣

⇔

23

211

x k

x k

π

π

⎡ =⎢⎢⎢ =⎢⎣

, k∈Z

c/ Ta có: sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x) ⇔ sin6x − 2sin8x = 2cos8x − cos6x ⇔ sin6x(1 − 2sin2x) = cos6x(2cos2x − 1) ⇔ sin6xcos2x − cos6xcos2x = 0 ⇔ cos2x(sin6x − cos6x) = 0 ⇔ cos2x = 0 ∨ sin6x − cos6x = 0

cos2x = 0 ⇔ 2x =2π + kπ ⇔ x =

4π + k

2π , k∈Z

sin6x − cos6x = 0 ⇔ sin6x = cos6x

⇔ tan6x = 1 ⇔ tanx = ±1 ⇔ x = ±4π + kπ, k∈Z

d/ Ta có: 2sin2x – sin2x = 0 ⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = 0 ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0 ⇔ sinx = 0 ∨ sinx − cosx = 0 sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z

sinx − cosx = 0 ⇔ sinx = cosx ⇔ tanx = 1 ⇔ x = 4π + kπ, k∈Z

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau: a/ sin23x = cos22x (1); b/ cos(πsinx) = cos(3πsinx) (2). c/ sin23x − cos24x = sin25x − cos26x;

Giải

a) Ta có (1) ⇔ 1 cos 6 1 cos 42 2

x x− += ⇔ cos6x = −cos4x

⇔ cos6x = cos(π − 4x)⇔ 6 4 2 10 5

6 ( 4 ) 22

x kx x kx x k x k

π ππ ππ π π π

⎡ = +⎢= − +⎡⇔ ⎢⎢ = − − +⎣ ⎢ = − +⎢⎣

Vậy phương trình có nghiệm là: ,10 5 2

x k x kπ π π π= + = − + , k∈Z.

b) Ta có: cos(πsinx) = cos(3πsinx) ⇔ πsinx=±3πsinx+k2π

Phương trình lượng giác 35 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Ví dụ 5: Giải phương trình: sin3x + cos3x = 2 - sin4x (1) HD: Ta có sin3x + cos3x ≤ sin2x + cos2x = 1; 2 - sin4x ≥ 1. Do đó:

(1)⇔3 3 3 3

4

sin cos 1 sin cos 12 sin 1 sin 1

x x x xx x

⎧ ⎧+ = + =⎪ ⇔⎨ ⎨− = = ±⎪ ⎩⎩

⇔ sinx =1 ⇔ x=2π +k2π

Bài tập: Giải các phương trình sau: a) sin4x + cos17x = 1; b) cos3x + x3cos2 2− = 2(1 + sin22x)

c) x2sin5 2+ = sinx + 2cosx; d) xcos

1 + cosx = 2cosx

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Giải phương trình: cos3x − 2cos2x + cosx = 0 (1) HD: (1)⇔ 2cos2xcosx − 2cos2x = 0 ⇔ 2cos2x(cosx − 1) = 0

Bài 2: Giải pt: cos3xcos4x + sin2xsin5x = 12

(cos2x + cos4x) (2)

HD: (2) ⇔ 12

(cos7x + cosx) − 12

(cos7x − cos3x) = 12

(cos2x + cos4x)

⇔ cos3x + cosx = cos2x + cos4x ⇔ 2cos2xcosx = 2cos3xcosx ⇔ 2cosx(cos3x − cos2x) = 0 Bài 3: Giải pt: 4 3 sinxcosxcos2x = sin8x (3) (ĐHCT-D-2000) HD: (3) ⇔2 3 sin2xcos2x = sin8x ⇔ 3 sin4x =2sin4xcos4x ⇔ sin4x(2cos4x − 3 ) = 0

Bài 4: Giải phương trình sin2x + sin22x + sin23x = 32

(4)

HD: (4) ⇔ 12

(1 − cos2x) + 12

(1 − cos4x) + 12

(1 − cos6x) = 32

⇔ cos6x + cos2x + cos4x = 0 ⇔ 2cos4xcosx + cos4x = 0 ⇔ cos4x(2cosx + 1) = 0 Bài 5: Giải pt: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1) (ĐHNT-00) HD:(1) ⇔ (1 −cos2x) + sinx = (cosx − cos3x) + sin2x ⇔ 2sin2x + sinx = 2sin2xsinx + sin2x ⇔ sinx(2sinx+1) = sin2x(2sinx+1) ⇔ (2sinx+1)(sin2x −sinx) = 0 Bài 6: Giải pt: 2cos2x + 2cos22x+2cos23x−3 = cos4x(2sin2x +1) (*) HD: (*) ⇔ 1 + cos2x + 1 + cos4x + 1 + cos6x − 3 = cos4x(2sin2x + 1) ⇔ cos6x + cos2x = cos4x(2sin2x + 1) − cos4x

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 34 Phương trình lượng giác Vấn đề 5: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT:

1/ Phương pháp tổng bình phương: Ta có A2 + B2 = 0 ⇔ 00

AB=⎧

⎨ =⎩;

2/ Phương pháp đối lập: Ta có A BA MB M

=⎧⎪ ≤⎨⎪ ≥⎩

⇔ A MB M=⎧

⎨ =⎩

Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 + 2xsinxy + 1 = 0 (1) HD: (1) ⇔ (x + sinxy)2 + 1 - sin2xy = 0 ⇔ (x + sinxy)2 + cos2xy = 0

⇔ ⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−==

∨−=

−=

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

⇔±=

−=⇔

==+

1sin1

1sin1

1sinsin

0cos0sin

yx

yx

xyxyx

xyxyx

Ví dụ 2: Giải pt: 4cos2x + 3tg2x - 4 3 cosx + 2 3 tgx + 4 = 0 (2) HD: (2) ⇔ (2cosx − 3 )2 + ( 3 tgx + 1)2 = 0

Ví dụ 3: Giải phương trình: sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 49 (3)

HD: (3) ⇔ 21 −

21 cos2x +

21 −

21 cos2y + 1−cos2(x + y) =

49

⇔ 2 −21 (cos2x + cos2y)− cos2(x + y) =

49

⇔ 41 + cos(x + y)cos(x − y) + cos2( x + y) = 0

⇔ 41 cos2(x−y) + cos(x−y)cos(x + y) + cos2(x + y) +

41 sin2(x−y) = 0

⇔ [cos(x + y) + 21 cos(x − y)]2 +

41 sin2(x − y) = 0

Ví dụ 4: Giải phương trình: (cos4x − cos2x)2 = 5 + sin3x (1) HD: Ta có: ⎜cos4x −cos2x⎜≤ ⎜cos4x⎜+⎜cos2x⎜≤ 2 ⇒ (cos4x − cos2x)2 ≤ 4 Ta lại có 5 + sin3x ≥ 4

Do đó (1) ⇔ ⎩⎨⎧

−=±=

⇔⎩⎨⎧

=+±=−

13sin1sin3sin

43sin522cos4cos

xxx

xxx

⇔ sin 1sin 3 1

xx= ±⎧

⎨ = −⎩⇔ 2

2sin 3 1

x k

x

π π⎧ = ± +⎪⎨⎪ = −⎩

⇔ x =2π + k2π


⇔sin (3)sin 3sin 2

sin 3sin 2 sin (4)2

x kx x kkx x k x

⎡ = −⎡= +⎢ ⎢⇔⎢ ⎢= − + =⎢ ⎣⎣

Xét pt (3): sinx = −k. Do k∈Z nên (3) ⇔sin 0sin 1

xx=⎡

⎢ = ±⎣

Xét pt (4): sinx=−2k . Do k nguyên nên (4) ⇔

sin 0 sin 11sin2

x x

x

= ∨ = ±⎡⎢⎢ = ±⎣

• sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈Z

• sinx = ±1 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = 2π + kπ, k ∈Z

• Pt sinx = ± 12⇔ sin2x = 1

4⇔ 1 cos 2 1

2 4x−= ⇔ cos2x = 1

2

⇔ 2x = ±3π + k2π ⇔ x = ±

6π + kπ, k ∈Z

Vậy pt đã cho có nghiệm x = kπ, x =2π + kπ, x = ±

6π + kπ, (k∈ Z)

c/ Ta có: sin23x − cos24x = sin25x − cos26x

⇔ 1 cos 62

x− −1 cos82

x+ = 1 cos102

x− −1 cos122

x+

⇔ 1 − cos6x − 1 − cos8x = 1 − cos10x − 1 − cos12x ⇔ cos8x + cos6x = cos12x + cos10x ⇔ 2cos7xcosx = 2cos11xcosx ⇔ 2osx(cos11x − cos7x) = 0 ⇔ cosx = 0 ∨ cos11x − cos7x = 0

• cosx = 0 ⇔ x = 2π + kπ, k ∈Z

• cos11x − cos7x = 0 ⇔ cos11x = cos7x

⇔ 11x = ±7x + k2π ⇔ x = k2π ∨ x = k

9π

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau: a/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x b/ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4cos2x = 3

Giải a/ Ta có: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x ⇔ (1 − cos2x) + (cos3x − cosx) = sin2x − sinx

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 12 Phương trình lượng giác ⇔ 2sin2x − 2sin2xsinx = 2sinxcosx − sinx ⇔ 2sin2x(1 − 2cosx) = sinx(2cosx − 1) ⇔ 2sin2x(1 − 2cosx) − sinx(1 − 2cosx) = 0 ⇔ (1 − 2cosx)(2sin2x − sinx) = 0

⇔ cosx = 12

∨ sinx = 0 ∨ sinx = 12

cosx = 12

⇔ x = ±3π + k2π, k∈Z

sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z

sinx = 12

⇔ x = 6π + k2π ∨ x = 5

6π + k2π, k∈Z

b/ Ta có: (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4cos2x = 3 ⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) + 4(1 − sin2x) = 3 ⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) = 4sin2x − 1 ⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4) = (2sinx + 1)(2sinx − 1) ⇔ (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx − 4 − 2sinx + 1) = 0

⇔ (2sinx + 1)(3cos4x − 3) = 0 ⇔ sinx = 12

∨ cos4x = 1

sinx = 12

⇔ x = 6π + k2π ∨ x = 5

6π + k2π, k∈Z

cos4x = 1 ⇔ 4x = k2π ⇔ x = k2π , k∈Z

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a/ cos(3x −6π )= − 2

2 b/ cos(x − 2) = 2

5 c/ cos(2x + 500) = 1

2

d/ (1+ 2sinx)(3−cosx)= 0 e/ tan2x = tan 56π f/ tan(3x−300) = − 3

3

g/ cot(4x −6π )= 3 h/ sin(3x− 450) = 1

2 i/ sin(2x +100)= sinx

k/ (cot3x −1)(cot

2x +1)= 0 l/ cos2x.cotx = 0 m/ cot( 2

3 5x π+ )= −1

n/ cos3x – sin2x = 0 p/ sin3x + sin5x = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a/ sin(2x−1) = sin(x+3); b/ sin3x = cos2x; c/ sin4x + cos5x = 0


8. 6 62(sin cos ) sin cos

02 2 sin

x x x x

x

+ −=

− [ĐH-khối A-2006]

9. 2cot tan 4 sin2

sin2x x x

x− + = [ĐH-khối B-2003]

10. cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − − [ĐH Hàng Hải-1999]

11. (1 sin cos2 )sin

14 cos1 tan 2

x x xx

x

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠=

+ [ĐH-khối A-2010]

Bài 9: Giải các phương trình sau: 1. 2 24sin 4sin cos 2cos 1x x x x− + = 2. 2 22sin sin x cos os 1x x c x+ − = 3. 2 22cos 3sin 2 sin 1x x x− + = 4. 2 23cos 2sin 5sin cos 0x x x x+ − = 5. 2 24cos 3sin cos sin 3x x x x+ − = 6. 2 23sin 3sin cos 4cos 2x x x x− + = 7. 2 22sin 3sin cos 7 cos 1x x x x− − = − 8. 2 2sin 3 sin 2 os 1x x c x+ − = 9. 24sin sin 2 4 0x x− − = 10. 2 24sin 3 3 sin 2 2 os 4x x c x+ − = 11. 2 23sin 4sin cos os 0x x x c x− + = 12. 2 22sin (3 3)sin cos ( 3 1) os 1x x x c x+ + + − = − 13. 2 22sin 4sin cos 4cos 1 0x x x x+ − − = 14. 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − =

15. 2 2 52sin 4 3 sin cos 4cos 02

x x x x− − + =

16. 25sin sin x cos os2 2 0x x c x+ − − = 17. 2sin 3sin cos 1 0x x x− + = 18. 2 23sin 3 sin x cos os 3 0x x c x− + − = 19. 2os 2 sin 2 1 0c x x+ + = 20. 2 22sin (1 3)sin x cos (1 3) os 1x x c x+ − + − =

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 32 Phương trình lượng giác 1. 2cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + = 2. 2 24sin 2 6sin 3cos 2 9 0x x x+ − − = 3. 2cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + = 4. 2 24sin 2 8cos 3 0x x− + = 5. 2 26sin 2sin 2 5x x+ = 6. 24cos 2 4sin 4sin 1x x x+ + =

7. 2 2 1sin 2 sin2

x x− = 8. 2 2 3sin 2 2cos 04

x x− + =

9. 48sin 1 cos 4x x= + 10. 2 2 2cos 2 cos 2 4sin 2 .cosx x x x− = 11. 22cos3 cos 4 4sin 2 0x x x+ − = 12. 210cos 3cos 4 4 0x x− − = Bài 6: Giải các phương trình sau:

1. 2sin 2 8 tan 9 3x x+ = 2. 42cos 6 tan 35

x x+ =

3. (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x− + = + 4. 22cos 2 tan 5x x+ = 5. 26cos 2 tan 1 0x x− − = 6. sin 2 2 tan 3x x+ =

7. 2cot tan 4sin 2sin 2

x x xx

− + =


1. 2(3 cot ) 5(3 cot )x x+ = + 2. 2 2

1 3 4sin cos sin cosx x x x

+ =

3. 2 2tan cot 2(1 tan cot ) 0x x x x+ + + + =

4. 2 3tan 9cos

xx

+ = 5. 2 5tan 7 0cos

xx

− + = 6. 2 32 tan 3cos

xx

+ =


1. cos2 3 cot2 sin 42

cot2 cos2x x x

x x+ +

=−

[ĐHKT TP.HCM-1990]

2. 2 24 sin 2 6 sin 3 cos2 9

0cos

x x xx

+ − −= [ĐHBK Hà Nội-1994]

3. cos (cos 2 sin ) 3 sin (sin 2)1

sin2 1x x x x x

x+ + +

=−

[TS Nha Trang-01]

4. cos 3 sin 35 sin 3 cos2

1 2 sin2x x

x xx

⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠+ [ĐH-khối A-2002]

5. 2 2cos 3 .cos2 cos 0x x x− = [ĐH-khối A-2005]

6. 4 4 3cos sin cos .sin 3 0

4 4 2x x x x

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ + − − − =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [ĐH-khối D-05]

7. 25 sin 2 3(1 sin )tanx x x− = − [ĐH-khối B-2004]

Phương trình lượng giác 13 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 d/ 2sinx + 2 sin2x = 0; e/ sin22x + cos23x = 1; f/ sin3x + sin5x = 0 g/ sin(2x+500) = cos(x +1200) h/ cos3x – sin4x = 0

i/ tan(x−5π ) + cotx = 0 j/ tan5x = tan3x

Bài 3: Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( )sin 3 1 sin 2x x+ = − 2) ( )0sin 120 cos 2 0x x− + =

3) cos3 sin 2x x= 4) cos cos 23 6

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5) cos 2 cos 03 3

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6) sin 3 sin 04 2

xx π⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

7) tan 3 tan4 6

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8) cot 2 cot4 3

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9) ( )tan 2 1 cot 0x x+ + = 10) ( )2cos 0x x+ =

11) ( )2sin 2 0x x− = 12) ( )2tan 2 3 tan 2x x+ + =

13) 2cot 1x = 14) 2 1sin2

x =

15) 1cos2

x = 16) 2 2sin cos4

x xπ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

Bài 4. Giải các phương trình sau:

1. 2 2 17sin 2 cos 8 sin 10

2x x x

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2. 3 3 3cos cos 3 sin sin 3 cos 4x x x x x+ = 3. 2 3cos10 2 cos 4 6 cos 3 cos cos 8 cos cos 3x x x x x x x+ + = + 4. 2 2 22 cos 2 cos 2 2 cos 3 3 cos 4 (2 sin2 1)x x x x x+ + − = +

5. sin 4 3 sin2 tanx x x+ = 6. 3 1sin 3 sin 5 cos5 0

2 2x x x+ + =

7. sin2 3 sinx x= 8. 2sin sin 0x x− = 9. 2(2 sin 1)(2 sin2 1) 3 4 cosx x x− + = − Bài 5. Giải các phương trình sau: 1/ (2 cos 1)(2 sin cos ) sin2 sinx x x x x− + = − [ĐH-khối D-2004] 2/ 22 sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = [ĐH-khối B-2007] 3/ 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − [ĐH-khối B-2002]

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 14 Phương trình lượng giác 4/ sin cos 1 sin2 cos2 0x x x x+ + + + = [ĐH-khối B-2005]

5/ 2 2 2sin tan cos 02 4 2x x

xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− − =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

[ĐH-khối D-2003]

6/ cot sin 1 tan tan 42x

x x x⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

[ĐH-khối D-2005]

7/ 3 sintan 2

2 1 cosx

xx

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− + =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ + [DBĐH-khối D-2005]

8/ cos 3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = [ĐH-khối D-2006] 9/ cos 3 4 cos2 3 cos 4 0x x x− + − = [ĐH-khối D-2002]

10/ cot sin 1 tan tan 42x

x x x⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

[ĐH-khối B-2006]

11/ 1 1 74 sin

sin 43sin

2

xx

x

ππ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ = −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

[ĐH-khối A-2008]

12/ 2 sin (1 cos2 ) sin2 1 2cosx x x x+ + = + [ĐH-khối D-2008] 13/ 2(1 2 sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + + [CĐ-khối A,B,D-2009] 14/ 2(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x+ = + + (CĐ−09)

15/ (1 sin cos 2 )sin

14 cos1 tan 2

x x xx

x

π⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ =

+( A - 10)

16/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (B−10) 17/ sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = (D−10)

18/ 4cos 52x cos 3

2x + 2(8sinx − 1)cosx = 5 (CĐ−10)

19/ 2

1 sin 2 cos 2 2 sin sin 21 cot

x x x xx

+ +=

+(A−11);

20/ cos4x + 12sin2x − 1 = 0 (CĐ11) 21/ sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x+ = + + (B−11)

22/ s n2 2cos sin 1 0tan 3

i x x xx

+ − −=

+(D11);

23/ 3 s in2x+cos2x=2cosx-1 (A−12) 24/ 2(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1.x x x x x+ = − + (B−12) 25/ sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x (D−12) 26/ 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ−12)

Phương trình lượng giác 31 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Ví dụ 12: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2.

Giải Điều kiện: cosx ≠ 0. Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được: tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x) ⇔ tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x ⇔ tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0 ⇔ tanx = 1 ∨ tanx = −3 tanx = −3 ⇔ tanx = tanα (với tanα = −3) ⇔ x = α + kπ, k∈Z

tanx = 1 ⇔ x = 4π + kπ, k∈Z

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải các phương trình sau: 1/ 22sin s inx 1=0x − − 2/ 2cos 4cos 5 0x x+ − = 3/ 22 tan 5 tan 3 0x x− + = 4/ 2sin 4sin 3 0x x− + = 5/ 2cos 2 cos2 2 0x x+ − = 6/ 2cot 3cot 2 0x x+ + =

7/ 23 tan 3 t anx 0x + = 8/ 22sin 7sin 3 02 2x x− + =

Bài 2: Giải các phương trình sau: 1/ 26cos 5sin 2 0x x+ − = 2/ 22cos 3sin 3 0x x+ − = 3/ 22cos 5sin 4 0x x+ − = 4/ cos2x + sinx + 1= 0 5/ 6 − 4cos2x −9sinx = 0 6/ 2sin2x+cos2x+sinx-1=0 Bài 3: Giải các phương trình sau: 1/ cos2x = cosx 2/ cos2x = sinx 3/ cos2 2sin 3 0x x− + = 4/ sin2x + cos2x + cosx = 0 5/ sin2x – 2cos2x+cos2x=0 6/ 22sin 4sin cos2 1x x x+ − = − 7/ cos2 3cos 2 0x x− + = 8/ 3cos 2 8sin 5 0x x+ − = 9/ 25cos 7sin 7 0x x+ − = 10/ cos2 9cos 8 0x x+ + = 11/ cos2 3sin 2x x− = 12/ cos2 cos 2 0x x+ − = Bài 4: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 cos 1x x+ = 2. 24cos 2 4sin 4sin 1x x x+ + =

3. cos 2 3sin 2 0x x+ − = 4. cos 2 sin 12xx + =

5. cos 2 2cos 3 0x x− − = 6. cos 2 sin 0x x− = 7. cos 2 5sin 2 0x x+ + = 8. cos 2 9cos 5 0x x+ + = Bài 5: Giải các phương trình sau:

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 30 Phương trình lượng giác ⇔ tan4x + tan3x − 2tan2x − 3tanx − 3 = 0 Đặt t = tanx, ta được pt: t4 + t3 − 2t2 − 3t − 3 = 0 ⇔ (t − 3 )(t + 3 )(t2 + t + 1) = 0 ⇔ t =± 3 (do t2 + t + 1 > 0 ∀t)

⇔ tanx =± 3 ⇔ x = ±3π + kπ, k ∈Z

Ví dụ 9: Giải phươg trình: 2sin3x = cosx (1) Giải

Vì cosx = 0 không thỏa (1) nên (1) ⇔ 23

3 2

sin 1cos cos

xx x=

⇔ 2tan3x = 1 + tan2x ⇔ 2tan3x − tan2x − 1 = 0

⇔ (tanx−1)(2tan2x +2tanx +1) = 0 ⇔ tanx = 1 ⇔ x =4π + kπ, k∈Z

Ví dụ 10: Giải phươg trình: 3tan2x − 3tanx − 52

= 0

Giải Đk: cos2x ≠ 0, cosx ≠ 0

Ta có: 3tan2x − 3tanx − 52

= 0 ⇔ 3 sin 2cos 2

xx− 3 sin

cosxx− 5

2= 0

⇔ 6(sin2xcosx − sinxcos2x) − 5cos2xcosx = 0 ⇔ 6sinx − 5(2cos2x − 1)cosx = 0 ⇔ 6sinx + 5cosx − 10cos3x = 0 ⇔ 6tanx(1 + tan2x) + 5(1 + tan2x) − 10 = 0 ⇔ 6tan3x + 5tan2x + 6tanx − 5 = 0

⇔ tanx = 12

= tanα ⇔ x = α + kπ, k∈Z

Ví dụ 11: Giải phương trình: sin3(x −4π ) = 2 sinx

Giải

Ta có: sin3(x −4π ) = 2 sinx ⇔

3

2 sin4

x π⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ = 4sinx

⇔ (sinx − cosx)3 = 4sinx (*) Nếu cosx = 0 thì pt (*) vô nghiệm ⇒ cosx ≠ 0 ⇒ (*) ⇔ (tanx − 1)3 =4tanx(1 + tan2x) ⇔ 3tan3x + 3tan2x + tanx − 1 = 0

⇔ tanx = 1 ⇔ x = 4π + kπ, k∈Z


27/ 1 tan x 2 2 sin x4π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (A-13); 28/ 2sin 5 2cos 1x x+ = (B-13)

29/ sin3x + cos2x – sinx = 0 (D-13); 30/ cos sin 2 02

x xπ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(CĐ-13)

31/ x 4 x 2 xsin cos s in2+ = + (A−14) 32/ ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = − Bài 6. Giải các phương trình sau:

1/ 2 2 2 2sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = + 2/ sin22cos 0

1 sinx

xx+ =

+

3/ 1 12 2 cos

cos sin 4x

x xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

4/ 2 2 2(2 sin 1)tan 2 3(2 cos 1) 0x x x− + − =

5/ 3 34 cos cos 3 4 sin sin 3 2x x x x+ = 6/ sincot 2

1 cosx

xx

+ =+

7/ 2 2 7sin .cos 4 sin 2 4 sin

4 2 2x

x x xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

8/ 6 6 8 8sin cos 2(sin cos )x x x x+ = + ; 9/ 1cos .cos2 .cos 4 .cos 8

16x x x x =

10/ 2sin2 (cot tan2 ) 4 cosx x x x+ = ;

11/ 12 tan cot2 2 sin2

sin2x x x

x+ = +

12/ 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = 13/ sin cos 2 4 06 3

x xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14/ 3(sin tan )2(1 cos ) 0

tan sinx x

xx x+

− + =−

15/ cos 3 .tan5 sin 7x x x=

16/ 4 4sin cos 1

(tan cot2 )sin2 2x x

x xx

+= +

17/ 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x+ = + 18/2cos (cos 1)

2(1 sin )sin cosx x

xx x

−= +

+

19/ 2 1 costan

1 sinx

xx

+=

− 20/

24

4

(2 sin 2 )sin 3tan 1

cos

x xx

x

−+ =

21/ 1 12 2 sin

4 sin cosx

x xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ = +⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

; 22/ 22 tan cot2 3

sin2x x

x+ = +


23/ 23 tan 3 cot2 2 tan

sin 4x x x

x+ = +

24/ sin sin2 sin 3 cos cos2 cos 3x x x x x x+ + = + + 25/ 2(2 sin 1)(3 cos 4 2 sin 4) 4 cos 3x x x x+ + − + =

26/ 3 3 2 3 2cos 3 .cos sin 3 .sin

8x x x x

+− = (CT x 3 ngược)

27/ 2 2

2 2(1 cos ) (1 cos ) 1tan sin (1 sin ) tan

4(1 sin ) 2x x

x x x xx

− + +− = + +

−

28/ Tìm các nghiệm trên khoảng ;33π

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

của phương trình

5 7sin 2 3 cos 1 2 sin

2 2x x x

π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ − − = +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

29/ Tìm các nghiệm trên khoảng 0;2π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

của phương trình

2 2sin 4 cos 6 sin(10,5 10 )x x xπ− = +

Phương trình lượng giác 29 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 ⇔ 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3(sin2x + cos2x) ⇔ cos2x + 3sinxcosx – 4sin2x = 0 (*) Nếu cosx = 0 thì (*) ⇔ −4sin2x = 0 ⇔ sinx = 0 (vô lí) ⇒ cosx ≠ 0

⇒ (*) ⇔ −4tan2x + 3tanx + 1 = 0 ⇔ tan 1

1tan tan4

x

x α

=⎡⎢⎢ = − =⎣

⇔ 4x k

x k

π π

α π

⎡ = +⎢⎢

= +⎣

Ví dụ 6: Giải phương trình: 22 3 cos 6sin .cos 3 3x x x+ = + (1) Giải

Cách 1: (1) 3(1 cos 2 ) 3sin 2 3 3 cos 2 3 sin 2 3x x x x⇔ + + = + ⇔ + =

1 3 3 3cos 2 sin 2 cos(2 )2 2 2 3 2

x x x π⇔ + = ⇔ − =

2 2

3 6 4 ,2 2

3 6 12

x k x kk

x k x k

π π ππ π

π π ππ π

⎡ ⎡− = + = +⎢ ⎢⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢

⎢ ⎢− = − + = +⎢ ⎢⎣⎣

Cách 2: Nếu cosx = 0 thì (1) ⇔ 0 = 3 + 3 (vô nghiệm) ⇒ cosx ≠ 0 ⇒ (1) ⇔ 2 3 + 6tanx = (3 + 3 )(1 + tan2x) ⇔ (3 + 3 )tan2x − 6tanx + 3 − 3 = 0

tan 1

4 ,tan 2 3 tan

12 12

x x kk

x x k

π ππ π π

⎡= = +⎡ ⎢⎢⇔ ⇔ ∈⎢⎢ = − = ⎢ = +⎣ ⎢⎣

Ví dụ 7: Giải phương trình: 9cos3x − 5cosx + sin3x = 0 (1) Giải

Vì cosx = 0 không thỏa pt (1) nên chia cả 2 vế của (1) cho cos3x ta được: tan3x − 5(1 + tan2x) + 9 = 0 ⇔ tan3x − 5tanx + 4 = 0 ⇔ (tanx − 1)(tan2x − 4tanx − 4) = 0 Ví dụ 8: Giải phương trình: 5cos4x +3cos3xsinx +6cos2xsin2x −cosxsin3x + sin4x = 2 (1)

Giải Vì cosx = 0 không thỏa pt (1) nên (1) ⇔ tan4x - tan3x + 6tan2x + 3tanx + 5 = 2(1 + tan2x)2 ⇔ tan4x - tan3x + 6tan2x + 3tanx + 5 = 2(1 + 2tan2x + tan4x)


e/ Ta có: 1+ sin2x = 2(cos4x + sin4x) ⇔ 1+ sin2x = 2(1 − 12

sin22x)

⇔ sin22x + sin2x − 1 = 0 ⇔ sin2x = 1 52

− + ∨ sin2x = 1 52

− − (VN)

⇔ sin2x = sinα, với sinα = 1 52

− +

⇔ 2 22 2

x kx k

α ππ α π

= +⎡⎢ = − +⎣

⇔ 2

22 2

x k

x k

α π

π α π

⎡ = +⎢⎢⎢ = − +⎢⎣

, k∈Z

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2cot tan 4sin 2sin 2

x x xx

− + = (2)

Giải Điều kiện: sin2x ≠ 0

Ta có: cos sin 2(2) 4sin 2sin cos sin 2

x x xx x x

⇔ − + = 2 2cos sin 24sin 2

sin .cos sin 2x x xx x x−

⇔ + =2cos 2 24sin 2sin 2 sin 2

x xx x

⇔ + =

⇔ 2cos2x + 4sin22x = 2 ⇔ cos2x + 2(1 − cos22x) = 1

⇔ −2cos22x + cos2x + 1 = 0 ⇔ cos2x = − 12

∨ cos2x = 1 (loại)

⇔ 2x = ± 23π + k2π ⇔ x = ±

3π + kπ, k∈Z

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1 Giải

Ta có: 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1 ⇔ 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = sin2x + cos2x ⇔ sin2x + 4sinx.cosx – 5cos2x = 0 (1) Nếu cosx = 0 thì (1) ⇔ sin2x = 0 ⇔ sinx = 0 (vô lí) ⇒ cosx ≠ 0

⇒ (1) ⇔ tan2x + 4tanx − 5 = 0 ⇔tan 1tan 5 tan

xx β=⎡

⎢ = − =⎣⇔ 4

x k

x k

π π

β π

⎡ = +⎢⎢

= +⎣

,k∈Z

Ví dụ 5: Giải phương trình: 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Giải

Ta có: 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3

Phương trình lượng giác 17 GV: Phạm Bắc Tiến−0939319183 Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH: asinx + bcosx = c (1) (a2 + b2 ≠ 0)

1. Cách giải: Chia cả 2 vế của pt cho 2 2a b+ ta được:

2 2

aa b+

sinx + 2 2

ba b+

cosx = 2 2

ca b+

⇔cosαsinx+sinαcosx=2 2

ca b+

(với cosα=2 2

aa b+

,sinα=2 2

ba b+

)

⇔ sin(x + α) = 2 2

ca b+

(2)

2. Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Pt (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm ⇔2 2

ca b+

≤ 1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a/ cosx − sinx = −1 b/ sin2x − cos2x = −1 c/ sin2x + cos2x = 0 d/ sinx + 3 cosx = 1 e/ 3cos3x + 4cos3x = −3 f/ 3 sinx + cosx = −2

Giải

a/ Ta có: cosx − sinx = −1 ⇔ 2 cos(x +4π ) = −1 ⇔ cos(x +

4π ) = − 1

2

⇔ cos(x+4π ) = cos 3

4π ⇔

3 24 4

3 24 4

x k

x k

π π π

π π π

⎡ + = +⎢⎢⎢ + = − +⎢⎣

⇔2

22

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢

= − +⎣

, k∈Z

b/ Ta có: sin2x −cos2x = −1 ⇔ 2 sin(2x−4π )=−1 ⇔sin(2x−

4π ) = − 1

2

⇔ 2 2

4 452 2

4 4

x k

x k

π π π

π π π

⎡ − = − +⎢⎢⎢ − = +⎢⎣

⇔ 34

x k

x k

ππ π

=⎡⎢⎢ = +⎣

, k∈Z

Cácch khác: sin2x −cos2x = −1 ⇔ sin2x + 1 −cos2x = 0 ⇔ 2sinxcosx + 2sin2x = 0 ⇔ 2sinx(cosx + sinx) = 0 ⇔ sinx = 0 ∨ cosx + sinx = 0 sinx = 0 ⇔ x = kπ, k∈Z


cosx + sinx = 0 ⇔ sinx = −cosx ⇔ tanx= −1 ⇔x = −4π +kπ, k∈Z

c/ Ta có: sin2x + cos2x = 0 ⇔ 2 sin(2x +4π ) = 0 ⇔ sin(2x +

4π ) = 0

⇔ 2x +4π = kπ ⇔ x = −

8π + k

2π , k∈Z

Cácch khác: sin2x + cos2x = 0 ⇔ sin2x = −cos2x

⇔ tan2x = −1 ⇔ 2x = −4π + kπ ⇔ x = −

8π + k

2π , k∈Z

d/ Ta có: sinx + 3 cosx = 1 ⇔ 12

sinx + 32

cosx = 12

⇔ sinxcos3π + sin

3π cosx = 1

2 ⇔ sin(x +

3π ) = sin

6π

⇔ 2

3 65 2

3 6

x k

x k

π π π

π π π

⎡ + = +⎢⎢⎢ + = +⎢⎣

⇔ 2

6

22

x k

x k

π π

π π

⎡ = − +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

, k∈Z

e/ Ta có: 3cos3x + 4cos3x = −3 ⇔ 35

cos3x + 45

sin3x = − 35

⇔ cos3xcosα + sin3xsinα = −cosα, với cosα = 35

, sinα = 45

⇔ cos(3x − α) = cos(π − α)

⇔ 3 23 2

x kx k

α π α πα π α π

− = − +⎡⎢ − = − + +⎣

⇔

23 3

2 23 3 3

x k

x k

π π

π α π

⎡ = +⎢⎢⎢ = − + +⎢⎣

, k∈Z

f/ Ta có: 3 sinx + cosx = −2 ⇔ 32

sinx + 12

cosx = −1

⇔ sinxcos6π + sin

6π cosx = −1 ⇔ sin(x +

6π ) = −1

⇔ x +6π = −

2π + k2π ⇔ x = − 2

3π + k2π, k∈Z

Ví dụ 2: Cho phương trình sinx + mcosx = 1 a/ Giải pt khi m = − 3 . b/ Tìm m để phương trình vô nghiệm

Giải


sinx =21⇔ )(

26

5

26 Zk

kx

kx∈

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

+=

ππ

ππ

d/ Ta có:tan4x + 4tan2x − 5 = 0 ⇔ tan2x = 1 ∨ tan2x = −5 (vô nghiệm)

⇔ tanx = ±1 ⇔ x = ±4π + kπ, k∈Z

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a/ 2cos2x − 3cosx + 1 = 0 b/ 5sin2x − 4sinx + 1 = 0 c/ cos2x − 3cosx − 4 = 0; d/ cos4x + 3sin2x = 2 e/ 1+ sin2x = 2(cos4x + sin4x)

Giải

a/ Ta có: 2cos2x − 3cosx + 1 = 02cos 1

,1 2cos32

x kxk

x kx

ππ π

== ⎡⎡⎢⎢⇔ ⇔ ∈⎢⎢ = ± +=

⎣ ⎣

b/ Ta có: 5sin2x − 4sinx + 1 = 0 ⇔ sinx = 1 ∨ sinx = − 15

sinx = 1 ⇔ x = 2π + k2π, k∈Z

sinx = − 15

= sinα ⇔ x = α + k2π ∨ x = π − α + k2π, k∈Z

c/ Ta có: cos2x − 3cosx − 4 = 0 ⇔ 2cos2x − 3cosx − 5 = 0

⇔ cosx = −1 ∨ cosx = 52

(vô nghiệm)

cosx = −1 ⇔ x = π + k2π, k∈Z d/ Ta có: cos4x + 3sin2x = 2 ⇔ 1 − 2sin22x + 3sin2x − 2 = 0

⇔ −2sin22x + 3sin2x − 1 = 0 ⇔ sin2x = 1 ∨ sin2x = 12

sin2x = 1 ⇔ 2x =2π + k2π ⇔ x =

4π + kπ, k∈Z

sin2x = 12

⇔ 2 2

6 12 ,5 52 26 12

x k x kk

x k x k

π ππ π

π ππ π

⎡ ⎡= + = +⎢ ⎢⇔ ∈⎢ ⎢

⎢ ⎢= + = +⎢ ⎢⎣⎣

GV: Phạm Bắc Tiến−0995095121 26 Phương trình lượng giác Vấn đề 4: ĐẠI SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1/ Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác: Dạng: af2(x) +bf(x) +c= 0 (a≠0); af3(x)+bf2(x) +cf(x) +d = 0 (a ≠0); … Trong đó f(x) là một trong các hàm số sinx, cosx, tanx, cotx. Cách giải: Đặt t=sinx, đk:|t| ≤1 hoặc t=cosx, đk:|t|≤1 hoặc t=tanx hoặc t=cotx 2/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx: Một pt chỉ chứa sinx và cosx gọi là pt đẳng cấp theo sinx và cosx nếu các đơn thức chứa trong pt có cùng bậc chẵn hoặc cùng bậc lẻ. Khi đó, ta xét cosx=0 (hoặc sinx = 0) có thỏa pt hay không, nếu thỏa thì ta ghi nhận nghiệm này; sau đó xét cosx ≠ 0 (hoặc sinx ≠ 0), chia 2 vế của phương trình cho coskx (hoặc sinkx) (với pt bậc k) và đưa pt đã cho về pt theo tanx (hoặc cotx). Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a/ 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b/ cot22x – 4cot2x -3 = 0 c/ 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d/ tan4x + 4tan2x - 5 = 0

Giải

a/ Ta có: 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 ⇔ sinx = − 12

∨ sinx = 3 (vô nghiệm)

sinx = − 12

⇔ x = −6π + k2π ∨ x = 7

6π + k2π, k∈Z

b/ Ta có: cot22x – 4cot2x − 3 = 0⇔cot 2 1cot 2 3

xx=⎡

⎢ =⎣

⇔ cot 2 1cot 2 cot

xx α=⎡

⎢ =⎣, với cotα = 3 ⇔ 2

42

x k

x k

π π

α π

⎡ = +⎢⎢

= +⎣

⇔ 8 2

2 2

x k

x k

π π

α π

⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

, k∈Z

c/ Ta có: 2cos2x +3sinx − 3 = 0 ⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2sin2x – 3sinx + 1 = 0

⇔ sinx = 1 ∨ sinx = 12

sinx = 1 ⇔ x = )(22

Zkk ∈+ ππ


a/ Khi m = − 3 , ta có pt sinx − 3 cosx = 1 ⇔ 12

sinx − 32

cosx = 12

⇔ sinx.cos3π −sin

3π .cosx = 1

2 ⇔ sin(x −

3π ) = sin

6π ⇔

22

7 26

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

b/ Pt đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi m2 + 1 < 1 ⇔ m2 < 0 ⇔ m∈∅ Vậy không có giá trị nào của m để pt đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình: a/ cos2x + 2 3 sinxcosx + 3sin2x = 1 b/ cos7x.cos5x – 3 sin2x = 1 – sin7x.sin5x

Giải a/ Ta có: cos2x + 2 3 sinxcosx + 3sin2x = 1 ⇔ cos2x + 3 sin2x + 3sin2x = sin2x + cos2x ⇔ 3 sin2x +2sin2x =0 ⇔ 3 sìn2x −cos2x = −1

⇔ 32

sin2x− 12

cos2x =− 12

⇔ sin2xcos6π − sin

6π cos2x = − 1

2 ⇔ sin(2x −

6π ) = sin(−

6π )

⇔ 2 2

6 672 2

6 6

x k

x k

π π π

π π π

⎡ − = − +⎢⎢⎢ − = +⎢⎣

⇔ 23

x k

x k

ππ π

=⎡⎢⎢ = +⎣

, k∈Z

b/ Ta có: cos7x.cos5x – 3 sin2x = 1 – sin7x.sin5x ⇔ cos7x.cos5x + sin7x.sin5x – 3 sin2x = 1

⇔ cos2x – 3 sin2x = 1 ⇔ 12

cos2x – 32

sin2x = 12

⇔ cos2xcos3π − sin

3π sin2x = 1

2 ⇔ cos(2x +

3π ) = cos

3π

⇔ 2 2

3 3

2 23 3

x k

x k

π π π

π π π

⎡ + = +⎢⎢⎢ + = − +⎢⎣

⇔3

x k

x k

ππ π

=⎡⎢⎢ = − +⎣

, k∈Z


Ví dụ 4: Tìm x∈ 2 6;5 7π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

thỏa phương trình: cos7x − 3 sin7x = – 2

Giải

Ta có: cos7x − 3 sin7x = – 2 ⇔ 12

cos7x − 32

sin7x = − 22

⇔ cos7x cos3π − sin

3π sin7x = − 2

2 ⇔ cos(7x +

3π ) = cos 3

4π

⇔

37 23 4

37 23 4

x k

x k

π π π

π π π

⎡ + = +⎢⎢⎢ + = − +⎢⎣

⇔

5 284 7

13 284 7

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢⎢ = − +⎢⎣

, k∈Z

Do x∈ 2 6;5 7π π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

nên ta có các nghiệm là: x1 =5384π , x2 =

5984π , x3 =

512π .

Ví dụ 5: Giải pt: sin8x −cos6x = 3 (sin6x + cos8x) (1) Giải

Ta có: (1) ⇔ sin8x − 3 cos8x = 3 sin6x + cos6x

⇔ 12

sin8x − 32

cos8x = 32

sin6x + 12

cos6x

⇔ sin8xcos3π −sin

3π cos8x = sin6xcos

6π + sin

6π cos6x

⇔ sin(8x −3π ) = sin(6x +

6π )

⇔ 8 6 2

3 658 6 2

3 6

x x k

x x k

π π π

π π π

⎡ − = + +⎢⎢⎢ − = − + +⎢⎣

⇔ 4

12 7

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢⎢ = +⎢⎣

, k∈Z

Ví dụ 6: Tìm x sao cho y = 1 sin2 cos

xx

++

là số nguyên

Giải TXĐ: D = R

Trước hết ta tìm miền giá trị của y, tức là tìm y sao cho pt 1 sin2 cos

xx

++

= y

có nghiệm x∈R


cos 5x- os2x6

cπ⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )25 2

6 3 30 525 2

6 3 10 5

kx k xk Z

kx k x

π π π ππ

π π π ππ

⎡ ⎡− = − + = − +⎢ ⎢⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢

⎢ ⎢− = + = +⎢ ⎢⎣ ⎣

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các phương trình sau: 1/ 2sin 2cos 2 0x x− + = 2/ 3sin 3 cos 3x x+ = − 3 5 s inx 2cos 4x+ = 4/ os7 3 sin 7 2c x x+ = 5/ 2 s inx cos 3x− = 6/ 3sin 2 4cos 2 5x x+ = 7/ 5cos 2 12sin 2 13x x− = 8/ sin 5 os5 2 s inxx c x+ = 9/ sin 7 3 cos7 2x x+ = 10/ 3 cos sin 2x x+ = 11/ 5 2 12 2 13cos sin− =x x 12/ 2 5 4sin cos− =x x Bài 2: Giải các phương trình sau:

1/ 2(sin 1)(1 cos ) cosx x x− + = 2/ sin 2 3 sin( 2 ) 12

x xπ

π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + − =⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

3/ sin 2 sin5 cosx x x= − 4/ sin2 cos2 2 sin 3x x x+ = 5/ 4 42(cos sin ) cos sinx x x x− = + 6/ 22 sin 3 sin2 3x x+ = 7/ sin cos 2 2 sin cosx x x x+ = 8/ 3 sin 3 3 cosx x= − 9/ sin 8 cos6 3(sin 6 cos 8 )x x x x− = +

10/ cos 3 sin 3(cos sin 3 )x x x x− = − ; 11/ 4 4 1sin cos ( )

4 4x x

π+ + =

11/ + 33 sin 3 3 cos9 1 4 sinx x x− = ; 12/ 2cos2 6(cos sin )x x x= − 13/(1 3)sin (1 3)cos 2x x+ + − = ; 14/ (2 cos 1)(sin cos ) 1x x x− + = 15/ 9 sin 6 cos 3 sin2 cos2 8x x x x+ − + =

16/ 2(sin2 3 cos2 ) 5 cos 26

x x xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − = −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

17/ 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x+ + = ; 18/ 3 3 11 sin cos sin 4

2x x x+ + =

19/ 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = + ; 20/ 2cos 3 3 sin cos 0x x x+ + =

21/ Tìm nghiệm x∈(0;π) của pt 2 2 34 sin 3 cos2 1 2cos

2 4x

x xπ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− = + −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


⇔ sin2xcosα + sinαcos2x = 1 với cosα = 45

, sinα = 35

⇔ sin(2x + α) = 1 ⇔ 2x + α = 2π + k2π ⇔ x =

4π −

2α + kπ, k∈Z

b/ 6 631 sin 4 os sin8

x c x x+ = + ⇔ 3 5 31 sin 4 os4x8 8 8

x c+ = +

cos4x-sin4x=1 2 os 4x+ 14

c π⎛ ⎞⇔ ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2os 4x+4 2

c π⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )4x+ 2

24 4

4x+ 28 24 4

x kkk Z

x kk

ππ π π

π ππ π π

⎡⎡ == + ⎢⎢⇔ ⇔ ∈⎢⎢

⎢⎢ = − += − + ⎢⎢⎣ ⎣

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau : a/ ( )os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c b/ 33sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x− c/. 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c

Giải a/ ( )os7x-sin5x= 3 os5x-sin7x os7x+ 3 sin 7 3 os5x+sin5xc c c x c⇔ =

1 3 3 1os7x+ sin 7 os5x+ sin5x cos 7x+ os 5x-2 2 2 2 3 6

c x c cπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ = ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )7 5 2 2 2

3 6 2 4

12 27 5 26 72 63 6

x x k x k x kk Z

kx k xx x k

π π π ππ π π

π π ππ π ππ

⎡ ⎡ ⎡+ = − + = − + = − +⎢ ⎢ ⎢⇔ ⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢ ⎢

⎢ ⎢ ⎢= − + = − ++ = − + +⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎣⎣

b/ 33sin 3 3 os9x=1+4sin 3x c x− ⇔ 33sin 3 4sin 3 3 os9x=1x x c− + 1 3 1sin 9 3 os9x=1 sin 9 os9x=2 2 2

x c x c⇔ + ⇔ + ⇔ os 9x- = os6 3

c cπ π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ ( )29x- 2

6 3 18 929x- 2

6 3 27 9

kk xk Z

kk x

π π π ππ

π π π ππ

⎡ ⎡= = +⎢ ⎢⇔ ∈⎢ ⎢

⎢ ⎢= − + = − +⎢ ⎢⎣ ⎣

c/ 3 13 os5x+sin5x-2cos2x=0 os5x+ sin5x=cos2x2 2

c c⇔


Ta có 1 sin2 cos

xx

++

= y ⇔ 1 + sinx = y(2 + cosx)

⇔ sinx − ycosx = 2y −1 (2) Pt (2) có nghiệm x∈R ⇔ 1 + (−y)2 ≥ (2y − 1)2

⇔ 3y2 − 4y ≤ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 43

⇒ y nhận giá trị nguyên là y = 0, y = 1

Với y = 0 thì (2) ⇔ sinx = −1 ⇔ x = −2π + k2π

Với y = 1 thì (2) ⇔ sinx − cosx = 1 ⇔ 2 sin(x − 4π ) = 1

⇔ sin(x −4π ) = 1

2 = sin

4π ⇔ 2

22

x k

x k

π π

π π

⎡ = +⎢⎢

= +⎣

Tóm lại với x =±2π +k2π ∨ x =π +k2π thì y = 1 sin

2 cosxx

++

là số nguyên

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau :

a/ 2

sin os 3 osx=22 2x xc c⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ b/ ( )

( )( )1 2sin osx

31 2sin 1 s inx

x cx

−=

+ −

c/ ( )3s inx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x

d/ 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c Giải

a/ 2 1 3 1sin os 3 osx=2 1+sinx+ 3 osx=2 sinx+ osx=

2 2 2 2 2x xc c c c⎛ ⎞+ + ⇔ ⇔⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2 2

3 6 6sin sin53 6 2 2

3 6 2

x k x kx k Z

x k x k

π π ππ ππ π

π π ππ π

⎡ ⎡+ = + = − +⎢ ⎢⎛ ⎞⇔ + = ⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎢+ = + = +⎢ ⎢⎣⎣

b/ ( )( )( )

1 2sin osx3

1 2sin 1 s inxx c

x−

=+ −

. Điều kiện : 1s inx -2

s inx 1

⎧ ≠⎪⎨⎪ ≠⎩

Khi đó: ( )( )( )

21 2sin osx3 osx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin

1 2sin 1 s inxx c

c xx

−= ⇔

+ −


osx-sinx=sin2x+cos2x 2 os 2x- 2 os4 4

c c c xπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ ⇔ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )22 2

24 422 234 4

x kx x kk Z

kxx x k

ππ π ππ

ππ π π

⎡⎡ = +− = + + ⎢⎢⇔ ⇔ ∈⎢⎢

⎢⎢ =− = − − + ⎢⎢⎣ ⎣

c/ ( )3s inx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc x ⇔ sinx(1 − 2sin2x) + sin2xcosx + 3 cos3x = 2cos4x ⇔ sinxcos2x + sin2xcosx + 3 cos3x = 2cos4x

⇔ sin3x + 3 cos3x = 2cos4x ⇔ 1 3sin 3 os3x=cos4x2 2

x c+

⇔ cos4x = sin6π sin3x + cos

6π cos3x ⇔ cos4x = cos(3x −

6π )

( )4 3 2 2

6 624 3 2

6 42 7

x x k x kk Z

kx x k x

π ππ π

π π ππ

⎡ ⎡= − + = − +⎢ ⎢⇔ ∈⎢ ⎢

⎢ ⎢= − + + = +⎢ ⎢⎣ ⎣

d/ ( )3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0 3 os5x- sin5x+sinx s inx=0c c⇔ −

3 13 os5x-sin5x=2sinx os5x- sin 5 s inx2 2

c c x⇔ ⇔ =

⇔ cos6π cos5x − sin

6π sin5x = sinx ⇔ cos(5x +

6π ) = cos(

2π − x)

( )5 2

6 2 18 3

5 26 2 6 2

kx x k xk Z

kx x k x

π π π ππ

π π π ππ

⎡ ⎡+ = − + = +⎢ ⎢⇔ ⇒ ∈⎢ ⎢

⎢ ⎢+ = − + = − +⎢ ⎢⎣ ⎣

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau : a/ ( )4 44 sin os 3 sin 4 2x c x x+ + = b/ 4 4sin os 2 3 s inxcosx+1x c x− =

c/ ( )cos 2 3 sin 2 2 s inx+cosxx x= + Giải

a/ ( )4 4 3 14 sin os 3 sin 4 2 4( cos 4 ) 3 sin 4 24 4

x c x x x x+ + = ⇔ + + =


⇔ cos4x + 3 sin4x = −1 ⇔ 1 3 1os4x+ sin 42 2 2

c x = −

⇔ cos3π cos4x + sin

3π sin4x = − 1

2⇔ cos(4x −

3π ) = cos 2

3π

( )24 2

3 3 4 224 2

3 3 12 2

kx k xk Z

kx k x

π π π ππ

π π π ππ

⎡ ⎡− = + = +⎢ ⎢⇔ ⇔ ∈⎢ ⎢

⎢ ⎢− = − + = − +⎢ ⎢⎣⎣

b/ 4 4sin os 2 3 s inxcosx+1 cos2x+ 3 sin 2 1x c x x− = ⇔ = −

1 3os2x+ sin 2 1 os 2x- 12 2 3

c x c π⎛ ⎞⇔ = − ⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

22 23 3

x k x kπ ππ π π⇔ − = + ⇒ = + , k∈Z

c/ ( )cos 2 3 sin 2 2 s inx+cosx os2x- 3 sin 2 2sin4

x x c x x π⎛ ⎞= + ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3os2x- sin 2 sin2 2 4

c x x π⎛ ⎞⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇔ cos2xcos3π −sin

3π sin2x = sin(x +

4π ) ⇔cos(2x +

3π ) = cos(

4π −x)

⇔ 2 2

3 4

2 23 4

x x k

x x k

π π π

π π π

⎡ + = − +⎢⎢⎢ + = − + +⎢⎣

⇔

236 37 212

x k

x k

π π

π π

⎡ = − +⎢⎢⎢ = − +⎢⎣

, k∈Z

Ví dụ 9: Giải các phương trình sau :

a/ 32sin 4 16sin . osx 3cos 2 5x x c x+ + = b/ 6 631 sin 4 os sin8

x c x x+ = +

Giải a/ 32sin 4 16sin . osx 3cos 2 5x x c x+ + = (1) Ta có: 16sin3xcosx = 2sinxcosx.8sin2x = 4sin2x(1 − cos2x) = 4sin2x − 2sin4x Ta có (1): ⇔ 2sin 4 4sin 2 2sin 4 +3cos2x=5x x x+ −

4sin2x.+3cos2x=5⇔ ⇔ 4 3sin 2 os2x=15 5

x c+

Education

Chuyên đề Lượng giác ôn thi THPT Quốc gia 2016