Circuit Book 2_2551

วเคราะหวงจรไฟฟา 1 พมพครงท 1

ปรชา สาคะรงค

ภาควชาวศวกรรมไฟฟา คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยธ$รกจบณฑตย

ตวเก'บประจ$ Capacitor

ตวต(านทานResistor

วธการ วเคราะห แบบต+างๆ

ตวเหนยวน-าInductor

คน

ตรเลมนเหมะสมสหรบใชประกอบกรเรยนกรสอนในรยวชวเคระหวงจรไฟฟ 1ของนกศ%กษชนป'ท) 2 ภควชวศวกรรมไฟฟ คณะวศวกรรมศสตร มหวทยลยธ/รกจบณฑตย

เน1อหของตรแบงออกเป3น 3 สวน สวนแรกจะกลวถ%งทฤษฎกรวเคระหพ1นฐนท)จเป3น เชน กฎของโอหม กฎของเคอรชอฟฟ; วธกรวเคระหแบบปม วธกรวเคระหแบบเมช เป3นตน ทงนโดยแสดงใหเห=นกรประย/กตใชกบวงจรท)ประกอบไปดวยตวตนทนและแหลงจยไฟตรง

สวนท)สองของตรจะพจรณผลตอบสนองธรรมชต (ผลตอบสนองช)วคร@) และผลตอบสนองสมบ@รณของวงจรท)ถ@กกระต/นดวยแหลงจยไฟตรงในวงจร RL, RC และ RLC อยงงย กรคนวณหผลตอบสนองดงกลวจเป3นตองประย/กตใชแคลค@ลส (อน/พนธและอนทเกรช)น) ในสวนนยงไดแนะนฟFงกชนหน%)งหนวยซ%)งเป3นฟFงกชนไมตอเน1)องท)สคญ

สวนท)สมจะไดแนะนแนวคดในโดเมนควมถ) และกรคนวณท)เก)ยวของกบจนวนเชง ซอนโดยพจรณเจะจงไปท)กรวเคระหสญญณซยนในสภวะอย@ตว นอกจกนยงกลวถ%ง กลงเฉล)ย คอรเอ=มเอส วงจรหลยเฟส ซ%)งทงหมดมควมสอดคลองกนกบกรวเคระหวงจรสญญณซยน

ตรเลมนใชโปรแกรม Open Office ร/น 2.2.1 และใชโปรแกรม PSCAD V4.2 EVAL ในกรพมพตนฉบบและจลองระบบดวยเคร1)องคอมพวเตอรตมลดบ

ผ@เขยนขอขอบค/ณมหวทยลยธ/รกจบณฑตย ท)ใหท/นสนบสน/นกรแตงตรในครงน รวมทงเพ1)อนรวมงนในคณะวศวกรรมศสตร และครอบครวของขพเจ

ทยส/ดนขพเจหวงเป3นอยงย)งว ตรเลมนจะเป3นประโยชนตอผ@อนในกรทควม เขใจเก)ยวกบกรวเคระหวงจรไฟฟ

มหวทยลยธ/รกจบณฑตย8 สงหคม 2551 ปรช สคะรงค

I

ดวยควมดททไวขออทศแด

พอทองปน แมสมจต ป ทองหยบ พ)วนด นองประสทธ\ นองผองพรรณ และครอบครวว/ฒศกด\

II

สรบญ หน

คน Iบทท 1 หนวยและนยม 1 1.1 แนะน 1 1.2 ระบบของหนวย 1 1.3 ประจ/ กระแส แรงดน และกลง 3 1.4 ชนดของอ/ปกรณ และอ/ปกรณทงไฟฟ 6 1.5 แบบฝ`กหดทยบท 9

บทท 2 กฎจกกรทดลองและวงจรอยงงย 12 2.1 แนะน 12 2.2 กฎของโอหม (Ohm's Law) 12 2.3 กฎของเคอรชอฟท (Kirchhoff 's Law) 13 2.4 กรวเคระหวงจรท)มวงเดยว 16 2.5 วงจรสองปม 20 2.6 กรรวมตวตนทนและกรรวมแหลงจย 22 2.7 กรแบงกระแสและแรงดน (Voltage and current division) 26 2.8 ตวอยงในทงปฏบตของออปแอมป; (OPeration AMPlifier,op-amp) 28 2.9 แบบฝ`กหดทยบท 30

บทท 3 เทคนคกรวเคระห&วงจร 41 3.1 แนะน 41 3.2 กรวเคระหแบบปม (Nodal Analysis) 41 3.3 กรวเคระหแบบเมช (Mesh Analysis) 50

III

สรบญ (ตอ) หน

3.4 ภวะเชงเสนและทฤษฎบทกรทบซอน (Linearity and Superposition theorem) 58 3.5 กรแปลงแหลงจย (Source transformations) 62 3.6 ทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตน

(Thevenin’ s and Norton's theorems) 67 3.7 ทรและกรวเคระหแบบปมท)วไป (Tree and general nodal analysis) 75 3.8 ก)งเช1)อมและกรวเคระหแบบวง (Links and loop analysis) 83 3.9 แบบฝ`กหดทยบท 89

บทท 4 ต+วเหนยวน (Inductor) และต+วเก4บประจ (Capacitor) 110 4.1 แนะน 110 4.2 ตวเหน)ยวน (Inductor) 110 4.3 ควมสมพนธของตวเหน)ยวนและกรอนทเกรท 114 4.4 ตวเก=บประจ/ 118 4.5 กรรวมตวเหน)ยวนและตวเก=บประจ/ 125 4.6 แบบฝ`กหดทยบท 130

บทท 5 วงจร RL และวงจร RC ทไมมแหลงจย 132 5.1 แนะน 132 5.2 วงจร RL อยงงย 133 5.3 ค/ณลกษณะของผลตอบสนองเอ=กซโปแนนเชยล 135 5.4 วงจร RL โดยท)วไป 137 5.5 วงจร RC อยงงย 140 5.6 วงจร RC โดยท)วไป 142 5.7 แบบฝ`กหดทยบท 144

IV


บทท 6 ฟ?งก&ช+นกระตนหนAงหนวยและกรประยกต&ใช 155 6.1 แนะน 155 6.2 ฟFงกชนกระต/นหน%)งหนวย 155 6.3 วงจร RL 160 6.4 ผลตอบสนองธรรมชตและผลตอบสนองกระต/น 162 6.5 วงจร RL 163 6.6 วงจร RC 169 6.7 แบบฝ`กหดทยบท 172

บทท 7 วงจร RLC 179 7.1 แนะน 179 7.2 วงจร RLC ตอแบบขนนท)ไมมแหลงจย 180 7.3 วงจรขนน RLC แบบหนวงส@งกววกฤต (Overdamped) 183 7.4 วงจรขนน RLC แบบหนวงวกฤต (Critical damping) 187 7.5 วงจรขนน RLC แบบหนวงต)กววกฤต (underdamped) 189 7.6 วงจรอน/กรม RLC ท)ไมมแหลงจย 192 7.7 ผลตอบสนองสมบ@รณของวงจร RLC 195 7.8 วงจร LC ท)ไมมกรส@ญเสย (lossless LC circuit) 201 7.9 แบบฝ`กหดทยบท 204

บทท 8 ฟ?งก&ช+นกระตนส+ญญณซยน& 212 8.1 แนะน 212 8.2 ค/ณลกษณะของสญญณซยน 212 8.3 ผลตอบสนองกระต/นตอฟFงกชนกระต/นซยน 215 8.4 แบบฝ`กหดทยบท 220

V


บทท 9 หล+กกรของเฟสเซอร& (Phasor concept) 222 9.1 แนะน 222 9.2 ฟFงกชนกระต/นท)เป3นตวเลขเชงซอน 222 9.3 เฟสเซอร (Phasor) 227 9.4 ควมสมพนธของเฟสเซอรสหรบ R, L และ C 230 9.5 อมพแดนซ (Impedance) 234 9.6 แอดมตแตนซ (Admittance) 237 9.7 แบบฝ`กหดทยบท 239

บทท 10 ผลตอบสนองในสภวะอยOต+วรOปคลPนซยน& 243 10.1 แนะน 243 10.2 กรวเคระหแบบปมและเมซ 243 10.3 ทฤษฎบทกรทบซอน กรแปลงแหลงจยและทฤษฎเทวนน 246 10.4 แผนภพเฟสเซอร (Phasor Diagrams) 247 10.5 ผลตอบสนองท)เป3นฟFงกชนของควมถ)เชงม/ม 251 10.6 แบบฝ`กหดทยบท 257

บทท 11 กล+งเฉลยและคอร&เอ4มเอส 265 11.1 แนะน 265 11.2 กลงช)วขณะ (Instantaneous power) 265 11.3 กลงเฉล)ย (Average power) 267 11.4 คประสทธผลของกระแสและแรงดน (Effective value) 275 11.5 กลงปรกฏ (Apparent power) และตวประกอบกลง 278 11.6 กลงเชงซอน (Complex Power) 281 11.7 แบบฝ`กหดทยบท 284

VI


บทท 12 วงจรหลยเฟส 292 12.1 แนะน 292 12.2 ระบบหน%)งเฟสสมสย 294 12.3 กรตอแหลงจยไฟสมเฟสแบบวย-วย (Y-Y) 298 12.4 กรตอแบบเดลต ( ∆ ) 304 12.5 แบบฝ`กหดทยบท 308

VII

หน+งสPอององ

[1] William H. Hayt, Jr And Jack E. Kemmerly, “Engineering Circuit Analysis” ,Fifth Edition McGraw-Hill, Inc.1993.[2] J.David Irwin, “Basic Engineering Circuit Analysis” ,Fifth Edition Prentice-Hall 1996.Lawrence P. Huelsman, “Basic Circuit Theory” Third Edition Prentice-Hall 1991.[3] Boylestad, “Introduction Circuit Analysis” Seven Edition Macmillan 1994.[4] Jame W. Nilsson And Susan A. Riedel, “Electric Circuits” ,Fifth Edition Addison-Wesley 1996.

VIII

1 บทท 1 หนวยและนยาม

บทท 1

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศกษาไดอานบทเรยนน จบ นกศกษาจะมความสามารถดงน

อธบายความหมายของหนวยพ' นฐานทางไฟฟ*าไดอธบายความหมายของนยามอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าพ' นฐานได

หวขอยอย หนา 1.1 แนะน0า 1 1.2 ระบบของหนวย 1 1.3 ประจ+ กระแส แรงดน และก0าลง 3 1.4 ชนดของอ+ปกรณ. และอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*า 6 1.5 แบบฝ8กหดทายบท 9

หนวย และนยาม


1.1 แนะน!า (Introduction)

การวเคราะห.วงจรไฟฟ*า ค'อ การศกษาการใชคณตศาสตร.กบวงจรทประกอบดวยอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าอยางงาย วชาน เป<นวชาพ' นฐานส0าหรบนกศกษาวศวกรรมช นป=ท 2 ไมเฉพาะนกศกษาภาควชาวศวกรรมไฟฟ*าเทาน น แตยงรวมไปถงวศวกรรมโทรคมนาคม วศวกรรมคอมพวเตอร. ความรAทไดรบจากวชาน จะเป<นพ' นฐานทดส0าหรบการศกษาตอเน'องทางวศวกรรมไฟฟ*า วศวกรรมอเลคทรอนกส. เคร'องม'อวดทางไฟฟ*า และในสาขาอ'นๆ

1.2 ระบบของหนวย (System of Units)

หนวยมความส0าคญตอวศวกรอยางมาก เน'องจากการท0างานของวศวกรจะเกยวของกบ คณตศาสตร.ซงตวเลขตาง ๆ จะไมมความหมายเลยถาไมมหนวยก0ากบ การนยามหนวยตางๆ ไม สามารถนยามกบสงของทพบเหEนในชวตประจ0าวนได ท งน เพราะสงของตาง ๆ เหลาน นไมมความ คงทนและแนนอนเพยงพอ องค.กรทจดการเร'องของหนวยทส0าคญค'อ International System of Unit (SI) ซงนยามหนวยพ' นฐาน 6 หนวยดงน ค'อ เมตร (meter) , กโลกรม (kilogram), วนาท (second), แอมแปร. (ampere),เคลวน (kelvin)และแคนเดลา (candela) ซงเรยกวาระบบเมตรก (Metric system) ตวอยางนยามของเมตรค'อ แสงทเดนทางผานระยะทางดวย เวลา 1/299 792 458 วนาท นอกจากน แลว SI ยงก0าหนดคาอ+ปสรรค (Prefix) ไวเตมหนาหนวยเพ'อบอกความมากหร'อนอยของหนวยเป<น เทาของ 10 อกดวย

atto- (a- ,10-18) deci- (d- ,10-1)femto- (f- ,10-15) deka- (da-,101)pico- (p- ,10-12) hecto- (h- ,102)nano- (n- ,10-9) kilo- (k- ,103)micro- ( µ -,10-6) mega- (M-,106)milli- (m- ,10-3) giga- (G- ,109)centi- (c- ,10-2) tera- (T- ,1012)

คาอ+ปสรรคทอยAในกรอบสเหลยมเป<นคาอ+ปสรรคทมการใชงานบอย ๆ ในต0าราเลมน


1.3 ประจ กระแส แรงดน และก!าลง

1.3.1 ประจ (the unit of Charge)ในหวขอน แบงการแนะน0าถงปรมาณทางไฟฟ*าพ' นฐาน โดยเรมจากประจ+ หนวยของประจ+

เรยกวา “คAลอมปk” (Coulomb, C) เพ'อเป<นเกยรตแก Charles Coulomb ผAทศกษาเกยวกบการวดแรงระหวางประจ+ 2 ประจ+ นยามของประจ+มใจความวาอน+ภาค 2 อน+ภาคทมประจ+เหม'อนกนวางแยกกน 1 เมตรในสAญญากาศจะมแรงทกระท0าตอกน 10-7c2 N ซงเทากบ 1 คAลอมปk ไมวาจะเป<นประจ+บวก หร'อประจ+ลบ โดย c ค'อความเรEวของแสงซงเทากบ 2.997925 x 108 m/s ในเทอมของหนวยน ประจ+ของอเลEกตรอนจะมคาเทากบ -1.60219 x 10-19C และประจ+ –1 C จะมคาเทากบประจ+ทรวมกนของ อเลEกตรอนจ0านวน 6.24 x 1018 ตว การใชสญลกษณ. Q (ตวใหญ) หมายถงประจ+ทคงทไมเปลยนแปลงตามเวลา ในขณะท q (ตวเลEก) หมายถงประจ+ทเปลยนแปลงตามเวลา หร'อ q(t) ในการเขยน สญลกษณ.ทถAกตองนกศกษาท+กคนควรฝ8กใหเป<นนสยเพ'อการแสดงความหมายทถAกตองและชดเจน

ร=ป 1.1 ก) กระแสไฟตรง (DC) ข) กระแสไฟสลบหร'อสญญาณซายน. (AC) ค) กระแสมรAปแบบ เอEกโปแนนเชยล (exponential) ง) กระแสมรAปแบบเอEกโปแนนเชยลผสมสญญาณซายน.

i

t

i

t

i

t

i

t

ก) ข)

ค) ง)


1.3.2 กระแส (Current)ประจ+เม'อเคล'อนทจากจ+ดหนงไปอกจ+ดหนงน น กEถายเทพลงงานจากจ+ดหนงไปอกจ+ดหนง

ดวย การเคล'อนทของประจ+เรยกวากระแส กระแสมท งขนาดและทศทางซงสามารถวดไดจากอตรา การเคล'อนทของประจ+ในทศทางทก0าหนด โดยเขยนเป<นสมการไดดงน

dqi dt

= (1-1)หนวยของกระแสค'อ แอมแปร. (A) เพ'อเป<นเกยรตแก A. M. Ampere และกระแส 1A จะเทากบการ เคล'อนทของประจ+ดวยอตรา 1 C/s กระแสมหลายชนดแสดงไดดงตวอยางในรAป 1.1

จากทกลาวไปแลววากระแสมท งขนาดและทศทาง จากรAป 1.2 ก) ประจ+ 3 A เคล'อนทจาก ซายไปขวาม'อ ซงเทากบประจ+ -3 A เคล'อนทจากขวาไปซายม'อดงในรAป 1.2 ข) หร'อจากรAป 1.2 ข) ประจ+ -3 A เคล'อนทจากขวาไปซายม'อ ซงเทากบประจ+ 3 A เคล'อนทจากซายไปขวาม'อดงในรAป 1.2ก)

ร=ป 1.2 การเขยนกระแสแสดงใน 2 ลกษณะ

1.3.3 แรงดน (Voltage)เรมดวยการก0าหนดอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*า เชน ตวตานทาน แบตเตอร ฯลฯ ใหอยAในรAปทวๆไป

ค'อไมมรAปรางทแนนอน และมข วสองข ว ดงรAป 1.3

ร=ป 1.3 อ+ปกรณ.โดยทวไปทแทนอ+ปกรณ.ทมสองข ว

3 A 3 A−

ก) ข)

A

B


กระแสจะไหลเขาหร'อออกจากอ+ปกรณ.น ไดโดยผานข วท งสอง และแรงดนจะเกดข นกEตอเม'อม กระแสไหลผาน แรงดนทเกดข นค'องานทตองการส0าหรบการเคล'อนทประจ+บวก 1C จากข วหนงไป อกข วหนง เพ'อเป<นเกยรตแก Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta จงก0าหนดใหหนวย ของแรงดนค'อโวลต. (Volt, V) และแรงดน 1 โวลต.จะมคาเทากบ 1 J/C เชนเดยวกบกระแสแรงดน มท งขนาดและทศทางซงสงเกตไดจากรAป 1.4

ร=ป 1.4 ก,ข) ข ว B เป<นข วบวกมขนาด 5 โวลต.เม'อเทยบกบข ว A สวน ค,ง) ข ว A เป<นข วบวก มขนาด 5 โวลต. เม'อเทยบกบข ว B

1.3.4 ก!าลง (Power)อตราการถายเทพลงงานเรยกวาก0าลง (Power, P) มหนวยเป<นวตต. (Watt) ซงจะเทากบพลง-

งาน 1 จAล (joule) ใชในการเคล'อนทประจ+ 1 A (หร'อกระแส) ผานอ+ปกรณ. (หร'อแรงดน) ซงเขยน เป<นสมการได

p vi= (1-2)

ร=ป 1.5 ก) แสดงการรบก0าลงของอ+ปกรณ.มคาเทากบ 6 W ข) การรบก0าลงของอ+ปกรณ.มคา เทากบ 6 W ค) การสงก0าลงออกจากอ+ปกรณ. มคาเทากบ 20 W.

ค) ง)ก) ข)

A

B

A

B

A

B

A

Bv 5 V= − v 5 V= v 5 V= v 5 V= −

ค)ก) ข)

2 V 2 V− 4 V

3 A

3 A−

5 A−


อ+ปกรณ.สามารถรบพลงงาน (absorbed) เม'อกระแสไหลเขาข วบวกของอ+ปกรณ. หร'อสงพลงงานได (delivered) เม'อกระแสไหลเขาข วลบของอ+ปกรณ. จะเหEนไดชดเจนจากตวอยางดงรAป 1.5

1.4 ชนดของวงจร และอปกรณทางไฟฟHา

โดยการใชนยามของกระแสและแรงดน เป<นไปไดทเราจะสามารถสรางนยามของอ+ปกรณ. ทางไฟฟ*าได ในความเป<นจรงแลวมความแตกตางกนระหวางอ+ปกรณ.จรงกบแบบจ0าลองทางคณต- ศาสตร.ของอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าดงกลาวทใชในการวเคราะห.วงจร จากน ไปอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าตางๆ จะถAกแทนดวยสมการทางคณตศาสตร.ทไดจากการทดลอง หร'อจากประสบการณ.

การวเคราะห.วงจรในตอนเรมแรก เราจะวเคราะห.ในทางอ+ดมคตกอน ดงน นจงขอแนะน0า อ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าในอ+ดมคตดงน

แหลงจายแรงดนอสระ (Independent Voltage Source)

ร=ป 1.6 สญลกษณ.ของแหลงจายแรงดนอสระ

ร=ป 1.7 สญลกษณ.ท งสองแทนแหลงจายแรงดนอสระ ก) แหลงจายสงก0าลง 12 W ข) แหลงจายรบก0าลง 12 W

sv

ก) ข)

2 A 2 A

6 V 6 V


แหลงจายอ+ดมคตน สามารถจายพลงงานไดไมจ0ากด เชน ถาเป<นแหลงจายแรงดนอสระ แรงดนทข วของแหลงจายจะมคาคงท ไมวาจะตออ+ปกรณ.ใดๆ เขาทข วของแหลงจายและไมมขอจ0ากดดานกระแส ซงแตกตางจากแหลงจายแรงดนในทางปฏบต เชน แบตเตอรใชในรถยนต.ทสามารถ จายกระแสไดไมกแอมแปร.เทาน น หร'อมขอจ0ากดกระแส กระแสสามารถไหลผานแบตเตอรไดท ง สองทาง ถากระแสไหลเขาทางข วบวกของแบตเตอรแสดงวาแบตเตอรรบพลงงานเขา (charging) แตถาการไหลออกจากข วบวกของแบตเตอรแสดงวาแบตเตอรสงพลงงานออก (discharge)

แหลงจายกระแสอสระ (Independent Current Source)

ร=ป 1.8 สญลกษณ.ของแหลงจายกระแสอสระ

ร=ป 1.9 สญลกษณ.ท งสองแทนแหลงจายควบค+ม ก) แหลงจายแรงดนควบค+ม ข) แหลงจายกระแสควบค+ม

อ+ปกรณ.ท งสองเรยกวาเป<นแหลงจายอสระ เพราะสามารถรกษาแรงดนหร'อกระแสใหคงท ไดตลอดแมวาวงจรจะถAกรบกวนหร'อมการเปลยนแปลงไป ในทางตรงกนขามกEมแหลงจายอก ประเภททมค+ณลกษณะตรงขามกนค'อ แหลงจายควบคม (Dependent or Controlled Source) แนนอนวามท งแหลงจายควบค+มแรงดน (dependent voltage source) และแหลงจายควบค+มกระแส (dependent current source) ในตอนน เรามแหลงจายท งหมด 4 ตวค'อแหลงจายแรงดนอสระ แหลง จายกระแสอสระ แหลงจายควบค+มกระแส และแหลงจายควบค+มแรงดนรวมเรยกวาอ+ปกรณ.

si

sv si

ก) ข)


แอกทฟ (active) หมายความวามความสามารถสงจายพลงงานใหกบอ+ปกรณ.ภายนอกอ'น ๆ ได ใน ทางกลบกนอ+ปกรณ.ทรบพลงงานอยางเดยวเชน ตวตานทาน ตวเกEบประจ+ และตวเหนยวน0าจะเรยก วาอ+ปกรณ.พาสซฟ (passive)

การตอกนของอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าต งแต 2 อ+ปกรณ.ข นไป เรยกวาวงจรขาย (Network) ถาวงจรขายมอยางนอยหนงทางเดนเป<นวงปด เราจะเรยกวาวงจรไฟฟ*า ท+กวงจรไฟฟ*าเป<นวงจรขาย แตไมท+กวงจรขายเป<นวงจรไฟฟ*า เราจะเรยกวงจรขายทมอยางนอย 1 อ+ปกรณ.แอกทฟเชน แหลงจายแรงดนอสระ หร'อแหลงจายกระแสอสระวาวงจรขายแอกทฟ สวนวงจรขายพาสซฟค'อวงจรขายทไมมอ+ปกรณ.แอกทฟอยAเลย

ร=ป 1.10 ก) แสดงวงจรขายทไมเป<นวงจรไฟฟ*า ข) แสดงวงจรขายทเป<นวงจรไฟฟ*า

sv

ก) ข)

sv


1.5 แบบฝQกหดทายบท 1. จงหาก0าลงทรบเขาไปของอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าดงรAป P1.1

ร=ป P1.1

2. จงหาก0าลงทรบเขาไปของอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าดงรAป P1.2 พรอมกบแสดงสมการผลรวมของก0าลงท งหาอ+ปกรณ.วามคาเทากบศAนย.

ร=ป P1.2

2 A

7 V 2 A

-10 V

4 A x6v V

xv = 0.5 V

ค)

25t A

2t V

t = -1 s

ง)

ก) ข)

20 V

-5 V

3 A 9 A

15 V

-8 A

15 V

4 A


3. จงหาก0าลงทรบเขาไปของอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าดงรAป P1.3 พรอมกบแสดงสมการผลรวมของก0าลงท งหาอ+ปกรณ.วามคาเทากบศAนย.

ร=ป P1.3

1.6 เฉลย (เฉพาะค!าถามขอหมายเลขคT)

1. ก) -14 Wข) 20 W ค) -12 Wง) -10 W

3.8v

8v

4v

14A

2ix

P 32WP 16WP 24WP 56WP 32W

P 32 16 24 56 32 0

−

= −= −

==

= −

= − − + + − =∑

-8 V 8 V 4 A

2 A 14 A

4 V

6 A

4 V

x2i 4 V −

xi

1 บทท 2 กฎจากการทดลอง และวงจรอยางงาย

บทท 2


สามารถว%เคราะห&วงจรตวตานทานโดยใชกฎของโอห&มและกฎของเคอร&ชอฟท&ไดสามารถรวมตวตานทานและรวมแหลงจายในวงจรตวตานทานไดสามารถว%เคราะห&วงจรตวตานทานโดยใชการแบงกระแสและแรงดนได

หวขอยอย หนา 2.1 แนะน.า 12 2.2 กฎของโอห&ม (Ohm's Law) 12 2.3 กฎของเคอร&ชอฟท& (Kirchhoff 's Law) 13 2.4 การว%เคราะห&วงจรทมวงเดยว 16 2.5 วงจรสองปม 20 2.6 การรวมตวตานทานและการรวมแหลงจาย 22 2.7 การแบงกระแสและแรงดน (Voltage and current division) 26 2.8 ตวอยางในทางปฏ%บต%ของออปแอมปQ (OPeration AMPlifier,op-amp) 28 2.9 แบบฝZกหดทายบท 30

กฎจากการทดลองและวงจรอยางงาย


2.1 แนะน#า

จากบททแลวเราไดท.าความร[จกและค\นเคยกบแหลงจายแรงดน และกระแส (ท งแหลงจายอ%สระและแหลงจายควบค\ม) ไปแลว ซงสมการคณ%ตศาสตร&ดงกลาวใชแทนแหลงจายในอ\ดมคต% เชนเดยวกบอ\ปกรณ&ตวตานทาน (เช%งเสน) ทจะแนะน.าในบทน

เราจะศกษากฏพ` นฐานทส.าคญสองกฏของเคอร&ชอฟฟQ และเม`อน.ามาว%เคราะห&วงจรทประ- กอบดวยอ\ปกรณ&ทางไฟฟcาอยางงายท ง 5 อ\ปกรณ& ซงจะเปdนพ` นฐานในการว%เคราะห&เพ`อหาแรงดน กระแสและก.าลงทตองการ

2.2 กฎของโอหม (Ohm's Law)

ในหวขอกอนไดกลาวถงท งแหลงจายอ%สระและแหลงจายควบค\มไปแลว ซงเปdนอ\ปกรณ& ทางไฟฟcาในอ\ดมคต% ในหวขอน จะไดแนะน.าอ\ปกรณ&ในอ\ดมคต%อกตวค`อ ตวตานทาน ซงเปdน อ\ปกรณ&พาสซฟ (passive) จากการศกษาและทดลองนกว%ทยาศาสตร&ชาวเยอรมนช`อ Georg Simon Ohm ไดสรางกฎข นมาโดยกลาวไววา แรงดนทตกครอมตวน.าจะแปรผนโดยตรงกบกระแสทไหล ผานตวน.าน น

v Ri= (2-1)โดยคาคงท R เรยกวาตวตานทานมหนวยเปdน โอห&ม (ohm), ( ), 1 V/AΩ ถาเราวาดร[ปกราฟความ สมพนธ&ระหวางแรงดน v กบกระแส i จะไดเสนตรงตดผานจ\ดเร%มตน ดงน นจงเรยกตวตานทาน ชน%ดน วาตวตานทานเช%งเสนตรง

ร0ป 2.1 สญลกษณ&ของตวตานทานรวมท งท%ศทางของแรงดน และกระแสทน%ยามใหเปdนอ\ปกรณ&พาสซฟ

ร[ป 2.1 แสดงสญลกษณ&ทใชในวงจรโดยทวไปทใชส.าหรบตวตานทาน ท%ศทางของกระแสไหลเขา ข วบวกและไหลออกทข วลบของแรงดน ด งน นตวตานทานรบก.าลง (absorbed power) ดง

i

v

R


สมการ 2 2p vi i R v / R= = = อตราสวนของกระแสตอแรงดนเปdนคาคงทดงสมการ i/v = 1/R = G เม`อ G ค`อความน.า (Conductance) มหนวยเปdนซเมนต& (siemen, S) หร`อในอดตใช mho, J ก.าลงทตวน.ารบเขาไปสามารถเขยนเปdนสมการได 2 2p vi i / G v G= = = คาความตานทาน สามารถใชน%ยามการลดวงจร (short circuit) และการเปnดวงจร (open circuit) ได โดยการลดวงจร หมายถงมคาความตานทานมคาเทากบศ[นย& ดงน นจะมแรงดนตกครอมการลดวงจรเทากบศ[นย&ท งท มกระไหลผานแตคาความตานทานเทากบศ[นย& ในขณะการเปnดวงจรคาความตานทานจะมคาส[งมาก ๆ จนท.าใหกระแสไมสามารถไหลผานได ดงน นแรงดนตกครอมการเปnดวงจรจงไมสามารถระบ\ ตายตวได

ค#าเต2อน สมการใดๆ ทเขยนเม`อมการใชคาแรงดนและกระแสจ.าเปdน จะตองระบ\ข วถาเปdน แรงดน และระบ\ท%ศทางการไหลเม`อเปdนกระแส

ร0ป 2.2 ก) วงจรประกอบดวย 3 ปมและ 5 ก%ง ข) ปมล.าดบท 1 เขยนเปdน 2 ปมแต ยงคงนบได 1 ปม

2.3 กฎของเคอรชอฟท (Kirchhoff 's Law)

ตอจากน กpพรอมจะศกษาวงจรงาย ๆ ทมอ\ปกรณ&ไมซบซอนนกไดจากร[ป 2.2 จ\ดทมขาของ อ\ปกรณ&ตอเช`อมกนเรยกวาปม (node) จากร[ป 2.2 ก) ม 3 ปม จากปมหนงผานตวอ\ปกรณ& ถงอกปม และตอไปเร`อย ๆ เรยกว%ถ (path) เม`อปมเร%มตนและปมส\ดทายเปdนปมเดยวกนเรยกว%ถปnด (closed path) หร`อ วง (loop)

1

2

3

ก) ข)

1

2

3


อ\ปกรณ&ตอกนโดยผานลวดตวน.าทมความตานทานเปdนศ[นย&หร`อลวดตวน.าในอ\ดมคต% เม`อวงจรขายมอ\ปกรณ&ทางไฟฟcาอยางงายเปdนตวๆ ตอเขาดวยกนดวยลวดตวน.า เราจะเรยกวาวงจรขายแบบกล\มกอนคาคงท (lumped-constant network) ซงตรงกนขามกบวงจรขายแบบกระจายคาคงท (distributed-constant network) ทอ\ปกรณ&ทางไฟฟcาจะประกอบดวยอ\ปกรณ&ทางไฟฟcาเลpกๆ จ.านวนมากตอเขาดวยกนซงมความย\งยากมากในการว%เคราะห& (ไมกลาวถงในต.าราเลมน )

จากตวอยางร[ป 2.2 จากปม 2 ผานแหลงจายกระแสอ%สระผานตวตานทานไปถงปม 3 เรยก ว%ถ ถาเคล`อนทจากปม 3 ไปจนถงปม 2 อกทจะเรยกวง (loop) สวนก%ง (branch) คอ อ\ปกรณ&ตวหนง จากร[ป 2.2 ม 5 ก%ง กฎของเคอร&ชอฟฟQ (เพ`อเปdนเกยรต%แก Gustav Robert Kirchhoff ) ม 2 กฎ กฎขอ แรกเรยก Kirchhoff's Current Law (KCL) กลาววาผลรวมทางพชคณDตของกระแสทEไหลเขาหร2อ ออกทEแตละปมมคาเทากบศ0นย

ร0ป 2.3 จากกฏ KCL สามารถเขยนสมการได A B C D C D A Bi i i i 0, i i i i 0,+ − − = + − − = หร`อ A B C Di i i i+ = +

เม2EอสมมตDใหกระแสไหลเขาเปIนลบจากร[ป 2.3 เม`อใช KCL จะได

A B C Di i i i 0− − + + = หร`อจดใหมได

A B C Di i i i+ = +

อนงสามารถจดเปdนสมการทางคณ%ตศาสตร&ไดดงน N

nn 1i 0

==∑ หร`อ 0i...iii n321 =++++ (2-2)

เม`อ n ค`อจ.านวนของกระแสทไหลเขาหร`อออกจากปม

DiCi

BiAi


ร0ป 2.4 ความตางศกย&ระหวางปม A และปม B ค`อ 1 2 3v v v= −

กฎขอสองค2อ Kirchhoff's Voltage Law (KVL) กลาววาผลรวมพชคณDตของแรงดนรอบแตละวง มคาเทากบศ0นยจากร[ป 2.4 สามารถเขยนสมการได

1 2 3v v v 0− + − =

อนงกฎขอทสองน สามารถเขยนสมการคณ%ตศาสตร& ไดเทากบN

nn 1v 0

==∑ หร`อ 1 2 3 nv v v ... v 0+ + + + = (2-3)

เม`อ n ค`อจ.านวนของแรงดนของอ\ปกรณ&ทางไฟฟcาในวง

ตวอยาง 2.1 จงใช KVL กบวงจรร[ป 2.5 หาคา R 2v และ xv

ร0ป 2.5 ใชกฎ KVL หาคา V32v,V6v 2RX ==

3v

2v

1v

A

B

C

A

B

2v

4 V14 V

12 V36 V

R2v2R S1v

R1v1R

xv


วDธท#า เขยน KVL รอบวงซายม`อได4 – 36 + VR2 = 0

ฉะน น VR2 = 32 Vและเขยน KVL รอบ วงทางซายม`อของจ\ด A และ B

4 – 36 + 12 + 14 + VX = 0VX = 6 V ตอบ

หร`อท.าไดอกว%ธเม`อร[คา VR2

-32 + 12 + 14 + VX = 0VX = 6 V ตอบ

2.4 การวDเคราะหวงจรทEมวงเดยว

จากการทราบถงกฎของโอห&มและกฎของเคอร&ชอฟฟQ เราสามารถน.าเอากฎท งสองมา พ%จารณาวงจรอยางงายไดดงร[ป 2.6 โดยน%ยามของการตออน\กรม (series) กระแสทไหลในอ\ปกรณ&ท\กตวในวงจะมคาเทากน

ถาตองการทราบคากระแสทไหลผานอ\ปกรณ&ตางๆ แรงดนทตกครอมอ\ปกรณ&ตางๆ และ ก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&แตละตวสามารถท.าไดโดยอาศยข นตอนดงน

ขPนตอนแรก ในการว%เคราะห&ค`อ ตองก.าหนดท%ศทางของกระแส สมม\ต%ใหกระแส (i) ไหล ตามเขpมนาฬ%กา จากวงจรวงเดยวกระแสทไหลผานอ\ปกรณ&แตละตวจะมคาเทากน

ขPนตอนทEสอง ค`อก.าหนดข วใหแรงดนทครอมตวตานทานท งหมดในวงจร โดยใชกฎของ โอห&ม และสญลกษณ&เคร`องหมายของตวตานทานดงร[ป 2.1 มาพ%จารณา

ขPนตอนทEสาม ใชกฎของเคอร&ชอฟฟQ (KVL) ประย\กต&ไดดงน - vS1 + vR1 + vS2 + vR2 = 0

เม`อใชกฎของโอห&มกบตวตานทานจะไดvR1 = R1i และ vR2 = R2i

จากน นน.าไปแทนคาในสมการแรกจะได-vS1 + R1i + vS2+ R2i = 0


หาคา i ไดS1 S2

1 2

v viR R

−=+ ตอบ

เม`อเราร[คาในเทอมดานขวาท งหมดแลวกpสามารถหาคากระแส i ได สวนแรงดนและก.าลงทรบเขา ไป (power absorbed) ของอ\ปกรณ&แตละตว สามารถหาคาไดจากการประย\กต& v Ri, p = vi= หร`อ 2p i R=

ร0ป 2.6 ก) ร[ปการตอวงจรวงเดยวในทางปฏ%บต%มจ\ดเช`อม 4 จ\ด ข) เขยนวงจรโดยแทนสญลกษณ& ของแหลงจาย และตวตานทาน ค) เขยนท%ศทางก.ากบแรงดนและกระแส

ตวอยาง 2.2 จากร[ป 2.7 จงหาก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&แตละตววDธท#า วงจรตอแบบอน\กรม ดงน น

ขPนตอนแรกของการค.านวณ ค`อ ก.าหนดกระแสใหมท%ศทางตามเขpมนาฬ%กาขPนตอนทEสอง ค`อ ก.าหนดข วของแรงดนทครอมตวตานทานและ ขPนตอนทEสาม ค`อ ประย\กต&ใช KVL

ก)

ข)

S1v1R

S2v2R

ค)

S1v1R

S2v

2R

R1v

R2vi

i ii


-120 + v30 + 30 + v15 = 0ประย\กต&ใชกฎของโอห&มจะได

-120 + 30i + 30 + 15i = 0ยายขางสมการเพ`อหาคา i

A2153030120i =

+−=

จากน นสามารถค.านวณแรงดนไดจากกฎของโอห&มv30 = 2(30) = 60 V, v15 = 2(15) = 30 V

ก.าลงทแบตเตอรท งสองรบเขาไปกpคอ ผลค[ณของแรงดนและกระแสของอ\ปกรณ&แตละตว ดงน p120V = 120(-2) = -240 W ตอบp30V = 30(2) = 60 W ตอบ

ก.าลงท p120V มคาต%ดลบแสดงวาไดสงก.าลงออก (delivered) ในขณะทก.าลง p30V มคาเปdนบวกแสดง วารบก.าลงเขาไป (absorbed) ก.าลงทตวตานทานท งสองรบเอาไปแสดงไดดงน

p30 = v30i = 60(2) = 120 W และ p15 = v15i = 30(2) = 60 W ตอบ

ร0ป 2.7 ก) วงจรอน\กรม ข) เขยนท%ศทางและข วก.ากบใหกบวงจร

เพ`อเปdนการตรวจค.าตอบ จากการทราบวาพลงงานรวมจะตองเทากบศ[นย& หมายความวาพลงงานท สงออกจากแบตเตอร 120V ตองเทากบก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&อก 3 ตว กอนออกจากตวอยาง น ลองก.าหนดท%ศทางของกระแสใหมใหไหลในท%ศตรงขามกบเขpมนาฬ%กา iX = - i เขยนสมการตาม กฎ KVL จะได

-120 - 30iX + 30 - 15iX = 0ดงน นจะได iX = -2A, vX30 = -60 V และ vX15 = -30 V พ%จารณาท%ศแรงดนและท%ศกระแสของอ\ปกรณ&

ก)

120 V

30 Ω 30 V

15 Ω

ข)

30v

15v

i

120 V

30 Ω

30 V

15 Ω


แตละตวจะมท%ศทางตรงขามกบท%ศทาง (i) แตผลลพธ&ทไดยงคงเหม`อนเด%มค`ออ\ปกรณ&รบก.าลงเขา ไปและสงออกจะยงคงเหม`อนเด%ม การก.าหนดท%ศของกระแสทน%ยมใชกนค`อก.าหนดตามเขpมนาฬ%กา อยางไรกpตามเราสามารถก.าหนดใหเปdนตรงกนขามได ท งน เม`อค.านวณแลวไดกระแสมคาต%ดลบ แสดงวาท%ศทางของกระแสทไหลในวงจรจร%งมท%ศทางตรงกนขามกบท%ศทก.าหนดข น ดงน นควรท.า การค.านวณใหมโดยก.าหนดท%ศทางของกระแสตามความเปdนจร%ง

ตวอยาง 2.3 จากวงจรดงร[ป 2.8 จงหาก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&แตละตว

ร0ป 2.8 วงจรวงเดยวทมแหลงจายควบค\ม

วDธท#า เร%มตนจากการก.าหนดท%ศของกระแส i และข วของแรงดน v30 โดยทข วของแรงดน ของตวตานทาน 15 Ω ไมตองก.าหนดข ว เพราะวาเปdนตวแปรแรงดนควบค\ม vA ควบค\มแหลงจาย ควบค\ม (2 vA) ใช KVL วนรอบวง

-120 + v30 + 2vA – vA = 0เม`อใชกฎของโอห&ม

v30 = 30ivA = -15i (ต%ดลบเพราะมท%ศทางตรงขามกบท%ศทางตามทน%ยามดงร[ป 2.1)

แทนในสมการแรกจะได-120 + 30i – 30i + 15i = 0i = 8 A

ท%ศของกระแสเปdนบวกแสดงวากระแสมท%ศถ[กตองตามความเปdนจร%ง ก.าลงทแหลงจาย 120V จาย ออกเทากบ 960W แหลงจายควบค\มจายก.าลง 1920 W และตวตานทานท งสองจะรบก.าลง 2880W

30v

Av

i

120 V

30 Ω A2v

15 Ω


2.5 วงจรสองปม

จากตวอยางทผานมาจะกลาวถงวงจรวงเดยว (กระแสทไหลผานอ\ปกรณ&ท\กตวมคาเทากน) แตในหวขอน จะกลาวถงวงจรสองปม การตอขนาน (parallel) จะท.าใหอ\ปกรณ&มแรงดนเทากน

ตวอยางทE 2.4 จากวงจรดงร[ป 2.9 จงหาแรงดน กระแส และก.าลงของอ\ปกรณ&แตละตว

ร0ป 2.9 ก) วงจรสองปมทมแหลงจายกระแสกบตวน.า i vG= ข) เขยนข วของแรงดนและท%ศทาง กระแสก.ากบ

วDธท#า เร%มแรกก.าหนดข วของแรงดน และท%ศทางกระแสดงร[ป 2.9 (ตามน%ยามดงร[ป 2.1) จากน นใชกฎ KCL ทปมบนโดยสมม\ต%ใหกระแสไหลออกจากปมเปdนบวก (ในต#าราเลมนPจะใชการก#าหนดทDศของกระแสเชนนPโดยตลอดทPงเลม)

-120 + i30+ 30 + i15 = 0ใชกฎของโอห&มจดสมการใหมในเทอมของแรงดน v

i30 = 30v และ i15 = 15vแทนในสมการขางบน

-120 + 30v + 30 + 15v = 0จะได v = 2 V ตอบและ i30 = 60 A และ i15 = 30 A ตอบหาก.าลงทรบเขาไปของตวตานทาน

p30 = 30(2)2 = 120 W p15 = 15(2)2 = 60W ตอบและส.าหรบแหลงจาย

P120A = 120(-2) = -240 W p30A = 30(2) = 60 W ตอบดงน นแหลงจายกระแส 120A จายก.าลงใหกบอ\ปกรณ&ท งสามในวงจร

120 A 30 A30 15 120 A30 A

30 15

ก) ข)30i 15i

v


ความคลายกนของตวอยางท งสอง (ตวอยาง 2.1 และตวอยาง 2.4) ค`อตวเลขของทเหม`อนกน แตมการสลบกนระหวางกระแสและแรงดน คาความตานทานและคาความน.า การตอวงจรอน\กรมและการตอวงจรขนาน ค\ณลกษณะเชนน เรยกวา ความเสม`อน (duality) เราสามารถกลาวไดวาวงจรท งสองเสม`อนกนอยางแนนอน (exact duals) ไดถาคาของอ\ปกรณ&หร`อแหลงจายมคาเปลยนเปdนอกวงจรโดยไมมเปลยนร[ปแบบการตอวงจร และวงจรท งสองจะมความเสม`อน (duals) ถาวงจรท งสองไมเปdนวงจรเสม`อนอยางแนนอน เราจะพ%จารณาความเสม`อนในบทตอๆ ไป ในทน เราจะพ%จารณาแคผลลพธ&ทไดในเทอมของแรงดน กระแสและความตานทานในวงจรอน\กรม จะเปลยนเปdนคาในเทอมของกระแส แรงดน และความน.าในวงจรขนาน

ตวอยาง 2.5 จงหาของ v และก.าลงทรบเขาไปโดยแหลงจายกระแสอ%สระ

ร0ป 2.10 วงจรสองปมทมแหลงจายควบค\ม

วDธท#า ก.าหนดใหกระแสไหลออกเปdนบวกใชกฎ KCL กบปมขางบน

i6 - 2iX - 0.024 - iX = 0ประย\กต&กฎของโอห&มกบตวตานทานแตละตว

6vi

6000= และ x

vi2000

−=

แทนคาลงในสมการขางบนv v v2 0.024 0

6000 2000 2000− − − − − =

( ) ( )v 6 v 6000*0.024 3 v 0− − − − − =

v 6v 144 3v 0+ − + =

จะได v = 14.4 V และไดแหลงจายอ%สระจายก.าลงงานเทากบ 0.346 W หร`อแหลงจายอ%สระรบก.าลงงาน p24 = 14.4 (-0.024) = -0.346 W ตอบ

6 kΩ 2 kΩx2i24 mA6i

v


2.6 การรวมตวตานทานและการรวมแหลงจาย

การรวมตวตานทานและแหลงจายจะชวยท.าใหการว%เคราะห&วงจรงายข น พ%จารณาจากร[ป 2.11 ก) ร[ปวงจรทประกอบไปดวยตวตานทาน N ตวตออน\กรมกน สามารถจดใหอย[ในตวตานทาน สมม[ล Req แทนร[ป 2.11 ข)

ร0ป 2.11 ก) วงจรทมตวตานทาน N ตว ข) วงจรทแทนตวตานทาน N ตวดวยตวตานทานตวเดยว Req

ตวตานทาน N ตว เราสามารถพ%ส[จน&ไดดวยใชกฎ KVLvS = v1 + v2 +. ......+ vN

และกฎของโอห&มvS = R1i + R2i +.....+ RNi = (R1 + R2 +.....+ RN) i

แลวเปรยบเทยบกบร[ป 2.11 ข) จะไดVS = Reqi โดย R1 + R2 +.....+ RN = Req

สวนการรวมแหลงจายสามารถท.าไดโดยด[จากตวอยาง 2.6 แหลงจายทตออน\กรมกนหลายตวสามารถย\บใหเปdนแหลงจายสมม[ลตวเดยวได โดยผลลพธ&แรงดนทไดจะเทากบผลรวมทางพชคณ%ตของแหลงจายแรงดนท\กตว

ตวอยาง 2.6 จงรวมตวตานทานและแหลงจายใหงายข นเพ`อหากระแส i ในร[ป 2.12วDธท#า จากร[ป 2.12 ก) รวมตวตานทานและแหลงจายไดดงร[ป 2.12 ข)-80 + 10i – 30 + 7i + 5i + 20 + 8i = 0

1R 2R NR

1v 2v Nv

Sv eqR

ii

ก) ข)

Sv


-90 + 30i = 0i = 3 A ตอบ

เพ`อค.านวณหาก.าลงทสงออกจากแหลงจาย 80V จากวงจรในร[ป 2.12b)ซงเราทราบคา i แลวจากการ ค.านวณค`อเทากบ 3A ฉะน นจงหาก.าลงไดเทากบ p vi 80x3 240 W= = = วงจรทประกอบไป ดวยตวน.าตอขนานกนสามารถย\บรวมกนได ซงสามารถพ%ส[จน&ดวยกฎ KCL

ร0ป 2.12 ก) วงจรอน\กรม ข) เขยนวงจรใหมใหงายข น

ร0ป 2.13 ก) วงจรประกอบดวยตวน.า N ตวขนานกน ข) วงจรสมม[ล

จากการท.า KCL ทปมบนiS = i1 + i2 + ... + iN

หร`อ iS = G1v + G2v +...+ GNv = (G1 + G2 +...+ GN)viS = Geqv

ดงน น Geg = G1+ G2+... + GN (2-4)

80 V

10 Ω 7 Ω

30 V

ii

ก) ข)

5 Ω

8 Ω

20 V 90 V 30 Ω

Si 1Gv

2i

ก) ข)

2G NG

1i Ni

Si v eqG


หร`อเขยนในเทอมของตวตานทานไดวา

N21eq R1...

R1

R1

R1 +++=

หร`อNR1...

2R1

1R1

1eqR

+++=

ในกรณทวงจรมตวตานทานสองตวจะได (กรณนPมการใชกนอยางแพรหลายควรจ#าอยางยDEง)

2R1R2R1R

2R1

1R1

12R//1ReqR

+=

+== (2-5)

ถากรณทแหลงจายกระแสตอขนานกนสามารถรวมกนได ในตวอยางท 2.7ตวอยางทE 2.7 จงหาก.าลงและแรงดนของแหลงจายควบค\มในร[ป 2.14วDธท#า ท.าการรวมแหลงจายอ%สระท งสองเขาดวยกนเปdน 2 A และรวมตวตานทาน โดยเร%ม

จากขนาน 6 Ω สองตวได 3 Ω และอน\กรมกบ 15 Ω ได 18 Ω และขนานกบ 9 Ω จะได 6 Ω เปdนผลลพธ&ส\ดทาย และใชกฎ KCL ทโหนดบน

06v

3i23i9.0 =++−− v = 3i3

3vi3

=

และ v = 10 V ตอบดงน นแหลงจายควบค\มจายก.าลง v(0.9i3) = 10(0.9*10/3 ) = 30W ถาตองการทราบก.าลงท

รบเขาไปของตวตานทาน 15 Ω จะตองแปลงกลบไปอย[ในร[ปวงจร 2.14 ก) กอนและหากระแสท ไหลผาน 15 Ω ซงจะได 15*(5/9)2 หร`อ 4.63 W ขอระวง ในการพ%จารณาถงการรวมแหลงจาย แรงดน 2 แหลงตอขนาน และแหลงจายกระแสตออน\กรม เม`อพ%จารณาโดยใชทฤษฎทางอ\ดมคต%ท วาข วของแหลงจายแรงดนไมเปลยนแปลง ซงเปdนไปไมไดในทางปฏ%บต%ทแหลงจายท งสองซงมคา ตางกนจะเทากนได เชน แหลงจาย 5V ตอขนานกบแหลงจาย 10V แรงดน 5V ไมเทากบ 10V แนนอน ในท.านองเดยวกนกบแหลงจายกระแสตออน\กรมกน 2 ตวทกระแสไมสามารถไหลผานแหลงจายกระแสทมคาไมเทากนได ดงนPนเราไมสามารถรวมแหลงจายแรงดนตอขนานกนไดหร2อรวมแหลงจายกระแสตออนกรมกนได


ร0ป 2.14 ก) วงจรทให ข) วงจรทไดหลงจากรวมตวตานทานและแหลงจายบางสวนแลว

ขอสงเกตส\ดทาย 3 ขอเกยวกบ การรวมแบบอน\กรมและแบบขนาน ซงจะชวยใหเก%ดแงค%ด ทเปdนประโยชน& ค.าถามขอแรกดงร[ป 2.15 ก) เปdนการตอแบบอน\กรมหร`อขนาน? ค.าตอบค`อถ[กท ง สองอยาง ถดมาดงร[ป 2.15 ข) เปdนการยากในการรวมอ\ปกรณ&ตางๆ เพราะมแต R2 ขนานกบ R3, R1

อน\กรม R8 และ R7 กบ VS อน\กรมกนเทาน น สวนขอส\ดทาย ดงร[ป 2.15 ค) ไมมอ\ปกรณ&ใดตอแบบ ขนานหร`อแบบอน\กรมกนเลย

ร0ป 2.15 ก) วงจรตอแบบขนานและแบบอน\กรม ข) R2 ตอแบบขนานกบ R3 , R1 อน\กรม R8 และ R7 ตออน\กรมกบ VS ค) ไมมการตอแบบขนานหร`ออน\กรมเลย

ข)

6 A 3Ωv

ก)

9Ω

3i

30.9i

15Ω

6Ω 6Ω

4 A 2 A

v 3Ω

3i

30.9i6Ω

Sv R

ก)

ค) ข)

1R2R

3R

4R5R

6R

7R

8RSv

Sv

AR

BR CR

DR ER


2.7 การแบงกระแสและแรงดน (Voltage and current division)

จากการรวมตวตานทานและแหลงจาย เราคนพบว%ธการงาย ๆทใชว%เคราะห&วงจรดงร[ป 2.16 ค`อการแบงกระแส หรอแรงดนการแบงแรงดน ใชเม`อมการตอตวตานทานแบบอน\กรมและตอง การทราบคาแรงดนทตกครอมแตละตว

ร0ป 2.16 วงจรส.าหรบการแบงแรงดน

ส.าหรบแรงดนตกครอมตวตานทาน R2 สามารถหาไดจากสมการ

หร`อ2 2 2

1 2

22

1 2

vv R i R R R

Rv vR R

= =+

= +

และส.าหรบแรงดนตกครอมตวตานทาน R1

หร`อ1 1 1

1 2

11

1 2

vv R i R R R

Rv vR R

= =+

= +

จากร[ป 2.16 เม`อเอาตวตานทาน R2 ออกและเต%มตวตานทาน N ตวเขาไปจะสามารถเขยนสมการได1

11 2 N

R v vR R ... R

= + + +

v

i

1R

2R

1v

2v


ตวอยางทE 2.8 จงหา vX ในร[ป 2.17

ร0ป 2.17

วDธท#า รวมตวตานทาน 3Ω และ 6Ω ได 2Ω และหา vX ไดเทากบ 2( 12sint )/(2+4) หร`อ 4 sin t V ตอบ

การแบงกระแสพ%จารณาในร[ป 2.18 โดยแทนตวตานทานเปdนตวน.าแทน ท งน เพ`อใหร[ป สมการคลายกนกบการแบงแรงดน

22 2

1 2

Gi G v iG G

= = +

ร0ป 2.18 การแบงกระแสและในท.านองเดยวกน

11

1 2

Gi iG G

= +

เราสามารถจดสมการขางบนใหมไดในเทอมของตวตานทาน โดยแทน G ดวย 1/R1

21 2

21

1 2

Ri i R R

Ri iR R

= +

= +

12sin t V 6Ω 3Ω

4Ω 3i

Xv

v

i

1G2G

1i 2i


และสามารถจดใหอย[ในร[ปทวไปได ดงน ค`อ

1 11

1 2 N

1 2 N

1G Ri i i1 1 1G G ... G ...

R R R

= = + + + + + +

ตวอยาง 2.9 จากร[ป 2.17 จงเขยนสมการการแบงกระแส 3i วDธท#า กระแสทไหลท งหมดค`อ

3//64tsin12i

+=

และหากระแส i3 ได tsin

34

636*

)36()3)(6(4

tsin123i =

++

+= A ตอบ

2.8 ตวอยางในทางปฏDบตDของออปแอมปY (OPeration AMPlifier,op-amp)

ออปแอมปQตวแรกสรางในราวป คศ. 1940 โดยใชหลอดส[ญญากาศ ซงสามารถท.างานทาง คณ%ตศาสตร&เชน บวก ลบ ค[ณ หาร อน\พนธ& และ อ%นท%เกรชน ได หลงจากน นจงเปdนตนก.าเน%ดของ เคร`องคอมพ%วเตอร&แบบอนาลpอกทมความสามารถในการแกปญญาสมการแคลค[ลสได ออปแอมปQสามารถมองใหเปdนแหลงจายแบบควบค\มแรงดนได โดยทแรงดนเอาท&พ\ทจะ เปdนอตราสวนกบแรงดนอ%นพ\ท

สญลกษณ&ของออปแอมปQเปdนดงร[ป 2.19 ก) โดยข วท งสองซายม`อค`อ สญญาณอ%นพ\ท สวน ข วทางขวาม`อค`อสญญาณเอาท&พ\ท ร[ป 2.19 ข) จะใหภาพทชดเจนกวาข วอ%นพ\ทท งสองของออป- แอมปQ มช`อเรยกตามเคร`องหมายดงน ค`อข วบวกเรยกวา อ%นพ\ทไมกลบข ว(noninverting input) และ ข วลบเรยกวา อ%นพ\ทกลบข ว (inverting input) และ v2, v1 ค`อแรงดนทตกครอมข วท งสองตามล.าดบ ถาให vi เทากบ v1-v2 แรงดนเอาท&พ\ทจะมขนาดเทากบคา vi ค[ณกบคาอตราขยาย และมเคร`องหมาย ตรงกนขามกบ vi ( )( )O i 1 2v Av A v v= − = − − ถาสมม\ต%ให v2 = 0 จะได v0 จะเทากบ -Av1 ถาให v1= 0 จะได v0 เทากบ Av2 อตราขยายของออปแอมปQ (A) มคาต งแต 104 ถง 107

แตกตางกนไปตามแต บร%ษทผ[ผล%ต โดยปกต% A มคาประมาณ 105


ร0ป 2.19 ก) สญลกษณ&ของออปแอมปQ ข) อ%นพ\ท v1 และ v2 แรงดน vi และเอาท&พ\ท v0

ออปแอมปQในทางปฎ%บต%แสดงดงร[ป 2.20 ก) จะมตวตานทานอย[ระหวางข วอ%นพ\ทมคา

ความตานทาน iR ประมาณ 105 ถง 1015 Ω และมตวตานทานซงตออน\กรมระหวางแหลงจายควบ ค\มกบข วเอาท&พ\ท มคาความตานทาน OR ประมาณ 1 ถง 1000 Ω สวนแบบจ.าลองทางอ\ดมคต%ของ ออปแอมปQแสดงไดดงร[ป 2.20 ข) ตวตานทานอ%นพ\ทเทากบอ%นฟnน%ต และตวตานทานเอาท&พ\ทเทากบศ[นย&โอห&ม

ร0ป 2.20 วงจรสมม[ลของออปแอมปQ

v+

v−0v

iv

1v

2v

ข)ก)

iAv 0v

iv

1v

2v

ข)ก)

0v

iAviv

1v

2v

OR

iR


ถาสมม\ต%ให v1 = 1 µ V, v2 = 0.6 µ V และ A = 105 ดงน น vi = 10-6 - 0.6x10-6 = 0.4x10-6 Vและ v0 = -105x 0.4x10-6 = -0.04 V จะสงเกตไดวาข วของแรงดนทเอาท&พ\ทจะตรงกนขามกบข วท แหลงจายควบค\ม ถาตอแบบกลบข ว เชน ให v2 = 0, v1= 10-6V และ v0 = -105 x10-6 = -0.1V และถา ตอแบบไมกลบข ว v1 = 0, v2 = -0.6 x10-6V และ v0 = -105 (-0.6x10-6) = 0.06V.

ตวอยาง 2.10 การน.าเอาออปแอมปQ ไปใชงานค`อวงจร ต า ม แ ร งด น (Voltage follower) ในร[ป 2.21 ก) โดยมแหลงจาย VS ตออย[กบข วอ%นพ\ทไมกลบข ว (non inverting) ดงน จะได V2 = VS

ตอลดวงจรระหวางข วเอาท&พ\ทกบข วอ%นพ\ทกลบข ว (inverting) ดงน นจะได V1 = V0 ในร[ป 2.21 ข) แสดงวงจรสมม[ลของออปแอมปQ

ร0ป 2.21 ก) วงจรตามแรงดน (voltage follower) ข) วงจรสมม[ลของวงจรตามแรงดน

ใชกฎ KVL รอบวงได-vS - vi- A*Vi = 0

ในท.านองเดยวกนกบวงขวาม`อv0 = -A*v1

หร`อA

0viv

−=

iAv0v

iv

ข)

Sv0v

Sv 1v

2v

ก)


รวมสมการท งสองได0)A1(

A0v

sv =++−

และA1sAv

0v+

=

ถา A = 105 จะได v0 = 0.999 990 vS ในทางปฏ%บต%แลวถ`อวา v0 = vS เราจงเรยกวงจรน วา วงจรตาม แรงดน ขอดอกอยางค`อกระแสและแรงดนของสญญาณทฝงอ%นพ\ทจะไมมผลตอกระแสและแรงดน ของสญญาณทฝงเอาท&พ\ท ส.าหรบในกรณเม`อเอาท&พ\ทใชกระแสมาก (กระแสทใชมาจากแหลงจายจายกระแสแทน) เราจงเรยกวงจรน อกช`อวาบฟเฟอร& (buffer amplifier) ถาให VS = 1 V และ A= 105

จะได v0 = 0.999 990V และหา vi ไดเทากบ -9.999 µ V. ซงจะเหpนไดวา vi มคานอยมาก ดงน นจง สามารถสร\ปค\ณสมบต%ของออปแอมปQในทางอ\ดมคต%ไดดงน ค`อ 1. แรงดน vi = 0 และ 2. คากระแส ไหลเขาข วอ%นพ\ทท งสองข วมคาเทากบศ[นย&

2.8 แบบฝaกหดทายบท 1. จงหา Xi ในวงจรดงร[ป P2.1

ร0ป P2.1ข)

ก)ค)

5 A

6 A

Xi

6 Ω AR

BR

6 Ω 25 Ω50 Ω 100 Ω

50 Ω

5 Ω

5 Ω

1R

2R

12 VXv

XiXv

2 A

Xi 10 A

Xv

12 A


2. จงหา Xv ในวงจรดงร[ป P2.1

3. จากวงจรดงร[ป P2.2 จงหา ai , av และก.าลงทจายโดยแหลงจาย 15V

ร0ป P2.2

4. จากวงจรดงร[ป P2.2 จงหาก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&แตละตว (ท ง 5 ตว)

5. จากวงจรดงร[ป P2.3 จงหา 1i , 2i และ 3i

ร0ป P2.3

6. จากวงจรดงร[ป P2.3 จงหาก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&แตละตว (ท ง 5 ตว)

7. จากวงจรดงร[ป P2.4 จงหาความตานทานรวมทจ\ด 1) ก-ข 2) ข-ค 3) ข-ก

ข)ก)av

15 V 50 V

ai

3 k Ω

800 Ω

1200 Ωbv

24 V 1 Ω

3 Ω

4 Ω b2v

12 Ω

16 Ω8 Ω

4 A 9 A

1i2i 3i


ร0ป P2.4

8. จากวงจรดงร[ป P2.5 จงหาความน.ารวมทข วท งสองถาสว%ทซ& S 1) เปnด 2) ปnด 3) แทนดวยคาความน.า 10 mJ

ร0ป P2.5

2.9 เฉลย (เฉพาะค#าถามขอหมายเลขคE)

1. ก) 3 A ข) -4 A ค) 13A

3. ก) 7 mA ข) 8.4 V ค) -105 mW

5. ก) -6 A ข) -9 A ค) 4 A

7. 1) 18.75Ω 2) 24Ω 3) 12.75Ω

50 Ω 7 Ω

15 Ω 12 Ω

25 Ω 30 Ω 4 Ω16 Ω

ค

ก

ข

G 10 m =

G

G

GG

GS


2.10 แบบฝaกหดเพDEมเตDมและค#าตอบ (เฉลยวDธท#าเฉพาะขอหมายเลขคE)

1. จากวงจรดงร[ป P2.6 จงหาคา R และ G ถาแหลงจายกระแส 5 A จายก.าลง 125 W

ร0ป P2.6

วDธท#า จากโจทย&เราหาแรงดนทแหลงจายกระแส 5 A ได 25 V จากสมการก.าลง (แหลงจายกระแส 5 A จายก.าลง 125 W) หาแรงดนทตวน.า G ซงเทากบ 40 V (ตอขนานกนแรงดนจะเทากน) หากระแสทตวน.า G ซงเทากบ 18 A จากกฎ KCL และหาแรงดนทตวตานทาน R ซงเทากบ 95 V จากกฎ KVL

จะได 95R 195

= = Ω และ 18G 0.45 40

= = J ตอบ

2. จากวงจรดงร[ป P2.7 จงใชกฎของโอห&มและกฎของเคอร&ชอฟฟQ ค.านวณหาแรงดน inv , Sv และก.าลงทแหลงจายควบค\ม (-26 V, 6 V, -320 W)

R

G110 V−

5 A 40 V

6 A7 A

R

G

110 V−

5 A 40 V

6 A7 A

25 V 40 V

18 A95 V


ร0ป P2.7

3. จากวงจรดงร[ป P2.8 จงใชกฎของโอห&มและกฎของเคอร&ชอฟฟQ ค.านวณหาแรงดน กระแส และก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&แตละตว

ร0ป P2.8

วDธท#า ใชกฎของโอห&มและกฎของเคอร&ชอฟฟQพ%จารณาทละอ\ปกรณ&

5Ω

3Ω

60 V

2 A

X4i

8 A

Xi

inv

Sv

2Ω

60 V 1v 20 Ω

5 Ω

4v

1i 2i

3i

4i 5i

2v2

35 i3

3v

5v1v12

60 V -60 V 20 Ω

5 Ω

35 V

8 A 3 A

5 A

5 A− 10 A

60 V 35 *3 V3

25 V

35 V-6012


4. จงหาก.าลงทอ\ปกรณ& X รบเขาไปในร[ป P2.9 ถา X แทนดวย ก) 70 Ω ข) แหลงจายแรงดนอ%สระ 2 V (เคร`องหมายบวกอย[ทางดานซาย) ค) แหลงจายแรงดนควบค\ม (เคร`องหมายบวกอย[ทางดานซาย) และมขนาด X19i ง) แหลงจายกระแสอ%สระ 52 mA ล[กศรพ\งไปทางขวา

(51.13 mW, 52.17 mW, -51.54 mW, -50.96 mW)

ร0ป P2.9

5. จากวงจรดงร[ป P2.10 จงหาก.าลงทรบเขาไปของอ\ปกรณ&แตละตว

ร0ป P2.10

วDธท#า ก.าหนดแรงดน v และ KCL ทปมบน โดยสมม\ต%ใหกระแสไหลออกจากปมเปdนบวก

Xi

3 V

30 Ω20 Ω

15 Ω 50 Ω8 V

X

A0.2i

Ai

4Ω20 A6Ω

A0.2iAi

4Ω20 A

6Ωv


A Av0.2i 20 i 06

− − + + = สมการ (1)

Avi4

= สมการ (2)จะได v 54.545 V∴ =

หา2 2

6 4v vp 495.9W, p 743.8W6 4

= = = = ตอบ

( )20A54.545p 54.545 0.2 148.76W, p 54.545 20 1090.9W

4< > = − = − = − = −

6. จากวงจรดงร[ป P2.11 จงหา eqR ( )25 , 20.32 , 22.5 Ω Ω Ω

ร0ป P2.11

7. จากวงจรดงร[ป P2.12 จงหา Xv และ Xi

5 Ω 20 Ω 30 Ω

30 Ω 200 Ω 20 ΩeqR

ก)

ค)

ข)

eqR

eqR 2 Ω 15 Ω

8 Ω 10 Ω

20 Ω 10 Ω

30 Ω 40 Ω

20 Ω

40 Ω

30 Ω

50 Ω50 Ω


ร0ป P2.12 วDธท#า จดวงจรใหม (ทตวตานทาน) รวมวงจรใหเหล`อวงจรสองโหนดและใช KCL ทปมบน

โดยสมม\ต%ใหกระแสไหลออกจากปมเปdนบวก

v v3.1 1.4 2.8 06 10

− + + + − =

Xv 16.875 V∴ = ตอบ

X16.875i 2.813 A

6∴ = = ตอบ

8. จากวงจรดงร[ป P2.13 จงใชการรวมตวตานทาน การแบงกระแสและการแบงแรงดน เพ`อหา Xi

(2.286 mA, 2.667 A)

ร0ป P2.13

2.4 Ω

1.4 A

9 Ω 6 Ω

10 Ω

15 Ω

4 Ω

Xi

3.1 A

2.8 AXv

2.4 Ω

1.4 A

9 Ω 6 Ω

10 Ω

15 Ω

4 Ω

Xi

3.1 A

2.8 A

Xv

4 kΩ

Xi2 kΩ

12 mA

3 kΩ5 kΩ

Xi

0.5 Ω

12 V

1 Ω

3 Ω 2 Ω

ก) ข)


9. จากวงจรดงร[ป P2.14 จงใชการรวมตวตานทาน การแบงกระแสและการแบงแรงดน เพ`อเขยนสมการหา 4i , 2v และ 0i

ร0ป P2.14วDธท#า

( ) ( ) ( )3 1 3 S1

4 S 41 2 3 4 3 4 1 2 3 4 3 4

R R R iRi i iR R R // R R R R R R R R R

= → = + + + + + + ตอบ

( )( )

( ) ( )1 2 3 4 S1

2 S 2 21 2 3 4 1 2 3 4 3 4

R R R R iRv i R vR R R // R R R R R R R

+= → = + + + + +

ตอบ

( )( )

( ) ( )1 3 4 SS 1

0 21 2 3 4 1 2 3 4 3 4

R R R ii Ri vR R R // R R R R R R R

− +−= → =+ + + + + ตอบ

10. จากวงจรดงร[ป P2.15 จงใชการรวมตวตานทาน การแบงกระแสและการแบงแรงดน เพ`อหา yi (1.4815 A)

ร0ป P2.15

Si

4i

0i

2v

2R

1R3R 4R

12 V

yi

3 Ω

6 Ω

2 Ω

1 Ω

10 Ω

1 บทท 3 เทคนคการวเคราะหวงจร

บทท 3

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศกษาไดอานบทเรยนน!จบ นกศกษาจะมความสามารถดงน!

สามารถวเคราะหวงจรตวตานทานโดยใชวธการวเคราะหแบบปมและแบบเมชไดสามารถใชทฤษฎบทการทบซอนในการวเคราะหวงจรไดสามารถใชทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตนในการวเคราะหวงจรได

หวขอยอย หนา 3.1 แนะน1า 41 3.2 การวเคราะหแบบปม (Nodal Analysis) 41 3.3 การวเคราะหแบบเมช (Mesh Analysis) 50 3.4 ภาวะเชงเสนและทฤษฎบทการทบซอน (Linearity and Superposition theorem) 58 3.5 การแปลงแหลงจาย (Source transformations) 62 3.6 ทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตน

(Thevenin’ s and Norton's theorems) 67 3.7 ทรและการวเคราะหแบบปมทวไป (Tree and general nodal analysis) 75 3.8 กงเชWอมและการวเคราะหแบบวง (Links and loop analysis) 83 3.9 แบบฝ[กหดทายบท 89

เทคนคการวเคราะหวงจร


3.1 แนะน!า

เราไดศกษาท1าความค\นเคยกบกฎของโอหม กฎของเคอรชอฟฟ^ และประย\กตใชในการ วเคราะหวงจรอน\กรมและวงจรขนานตวตานทานอยางงาย อกท!งชวยในการรวมตวตานทาน และ แหลงจาย อยางไรก_ตามทกษะการวเคราะหวงจรข!นอย`กบความช1านาญในการท1าโจทยซงแบบฝ[ก- หดมความส1าคญในการพฒนาทกษะการประย\กตใชกฎพW!นฐานเหลาน!

ในบทน! เราจะพจารณาวเคราะหวงจรทมความซบซอนมากข!น วงจรขนาดใหญโดยทวไป ไมวาจะเปgนวงจรควบค\มอเลคทรอนกส ระบบสWอสาร มอเตอรและเจนเนอเรเตอร ระบบการจาย ก1าลงงานหรWอระบบอเลคทรอนกสทม IC เปgนหวใจหลก ลวนใชแบบจ1าลองทางวงจรไฟฟjา วเคราะหท!งส!น

ในบทน!เราจะเรยนร`วธการวเคราะหทงายเหมาะสมกบวงจรทมความซบซอนโดยใชวธการทก1าลงจะสรางข!น เชน ทฤษฏการทบซอน การวเคราะหแบบเมช การวเคราะหแบบปม และวงจร สมม`ลเทวนนหรWอนอรตน

3.2 การวเคราะหแบบปม (Nodal Analysis)

ในบทกอนเราวเคราะหวงจรทมสองปมซงสามารถสรางสมการทมตวแปรหนงตว และตว แปรน!นก_คWอตวแปรทอยากทราบคา โดยอย`ในเทอมของแรงดนทครอมปม เมWอปมมจ1านวนเพมข!น ตวแปรทอยากทราบคาก_จะเพมข!นสอดคลองกนดวย เชน วงจร 10 ปมจะมตวแปรไมทราบคาอย`ใน สมการ 9 ตวแปร สร\ปไดวาปม N ปมจะตองมแรงดน (N-1) ตวและสมการ (N-1) สมการ พจารณา การวเคราะหวงจรแบบปมในร`ป 3.1

ข!นตอนการเขยนสมการจากการวเคราะหแบบปมมดงน!1. สมม\ตกระแสไหลออกจากปมเปgนบวก2. เขยนสมการทปมโดยใช KCL ทปมแรงดนท\กปมยกเวนปมอางอง ( )0 V

3. ส1าหรบแหลงจายใหพจารณาตามขอ 1 และ4. ส1าหรบตวตานทาน ( )R ทตอระหวางปมอางอง ( )0 V กบปมแรงดน (เชน 1v ) ใหแทน

กระแสทไหลผานดวย ( )1v 0 / R−


5. ส1าหรบตวตานทาน ( )R ทตอระหวางปมแรงดน (เชน 1v ) กบปมแรงดน (เชน 2v ) ใหแทนกระแสทไหลผานดวย ( )1 2v v / R− ถาพจารณาทปมแรงดน 1v

ร0ป 3.1 ก) วงจร 3 ปม ข) เขยนวงจรใหมโดยมตวเลขก1ากบทปม ค) เขยนปมแรงดนอางอง 0 V ง) ต!งชWอข!วแรงดนเพWอใหงายในการวเคราะหจะไดเขาใจตรงกน แรงดนทปมตางๆจะมเครWองหมาย

โดยเปรยบเทยบกบปมอางอง

ตวอยาง 3.1 จงหาแรงดนทตกครอมอ\ปกรณท\กตวในวงจรร`ป 3.1 ก) วธท!า กอนอWนวาดร`ปวงจร 3.1 ก) ใหมดงร`ป 3.1 ข) โดยก1าหนดปมเปgน 1, 2, 3 และรวมปม

เดยวกนใหมเพยงจ\ดเดยว ตอจากน!นก_ใหเลWอกปมอางอง เพWอใหปมตาง ๆ ใชเปรยบเทยบ ดงน!นจะ ได N-1 ปมทเปgนปมทมแรงดนในวงจร N ปม สมมตเราเลWอกปม 3 ใหเปgนปมอางองโดยมขอ ก1าหนดเล_กนอยดงน! คWอปมอางองควรจะเปgนปมทมจ1านวนของตวอ\ปกรณตออย`มากทส\ด และบอย คร!งทปมอางองมกจะอย`ขางลางส\ดของวงจร ก1าหนดใหแรงดนปมท 1 เทยบกบปมอางอง 3 คWอ 1v และ 2v เปgนแรงดนทปม 2 เทยบกบปมอางอง แรงดนทปม 1 เทยบกบแรงดนทปม 2 คWอ )vv( 21 − แรงดน 1v แรงดน 2v และปมอางองแสดงในร`ป 3.1 ค) ในร`ปตวตานทานจะถ`กแทนดวยตวน1าไฟ- ฟjา โดยสมมตใหกระแสไหลออกจากปมเปgนบวก ใชกฎ KCL ทปม 1 และ ทปม 2 ทปม 1 1.3)vv(2.0v5.0 211 =−+ (3-1)หรWอ 1.3v2.0v7.0 21 =−

2 Ω

5 Ω

1 Ω 1.4 A−

ก)

ค)

ข)1v

3.1 A 2 Ω

5 Ω

1 Ω 1.4 A−3.1 A

0.5

0.2

1 1.4 A−3.1 A

1

2v

2

3

1v

0.5

0.2

1 1.4 A−3.1 A

2v

ง)


และทปม 2 4.1)vv(2.0v0.1 122 =−+ (3-2)หรWอ 4.1v2.1v2.0 21 =+−

สมการ (3-1) และ (3-2) ม 2 ตวแปรทไมทราบคา สามารถหาคาตวแปรได V2v V5v 21 == ตอบ

และสามารถหาแรงดนตกครอมปม 1 เทยบกบปม 2 หรWอ V3)vv( 21 =−

หมายเหต พส`จนการวเคราะหแบบปมจากร`ป 3.1 ค) เมWอก1าหนดกระแสดงร`ป 3.1 จ)

ร0ป 3.1 จ)

ใช KCL ทปม 1v ได (สมม\ตกระแสไหลออกจากปมเปgนบวก)1 23.1 i i 0− + + =

แทน 1i และ 2i ดวย 10.5v และ 1 20.2(v v )− ตามล1าดบจะได 1 1 20.5v 0.2(v v ) 3.1+ − =

ใช KCL ทปม 2v ได ( )2 3i i 1.4 0− + + − =

แทน 2i และ 3i ดวย 1 20.2(v v )− และ 21(v ) ตามล1าดบจะได 2 2 11.0v 0.2(v v ) 1.4− − =

หรWอ 2 2 11.0v 0.2(v v ) 1.4+ − =

∴ การวเคราะหแบบปมพฒนามาจากกฎ KCL และมขอดกวาการวเคราะหโดยใช KCL แบบเดมคWอไมจ1าเปgนตองก1าหนดกระแสไหลผานตวตานทานท\กตวในวงจร

1v

0.5

0.2

1 1.4 A−3.1 A

2v

1i 3i


ตวอยาง 3.2 จงหาแรงดนทปมท!งหมดในวงจรร`ป 3.2

ร0ป 3.2 ก) วงจรประกอบดวย 4 ปมและ 8 กง ข) เขยนวงจรใหมโดยมชWอแรงดนของปมก1ากบ

วธท!า สมมตใหกระแสไหลออกจากปมเปgนบวก ทปม 1 0)3()8()vv(4)vv(3 3121 =−−−−−+−

หรWอ 11v4v3v7 321 −=−− (3-3)ทปม 2 03)vv(2v1)vv(3 32212 =−−++−

หรWอ 3v2v6v3 321 =−+− (3-4)ทปม 3 025v5)vv(2)vv(4 32313 =−+−+−

หรWอ 25v11v2v4 321 =+−− (3-5)สมการท (3-3) ถง (3-5) จะสามารถแกสมการหาตวแปรทไมทราบคาไดจากกฎของเครเมอร และการหาดเทอรมแนนซ (Cramer's rule and ดเทอรมแนนซs) จะได

1124263437

112252634311

v1

−−−−−−

−−−−−

=

กระจายหา ดเทอรมแนนซโดยใช minor ของ Column แรก

2

1

4

3

3 A−

8 A−

25 A−5

2

1

4

3

3 A−

8 A−

25 A−5

2v

3v1v

ข)ก)


2643

)4(112

43)3(

11226

7

2643

25112

433

11226

11v1

−−−

−+−

−−−−

−−

−−−

+−

−−−

−−

−=

)30(4)41(3)62(7)30(25)41(3)62(11

−−++−−−

=

V1191191

120123434750123682 ==

−−++−= ตอบ

ในท1านองเดยวกนจะได

V2191

112542334117

v 2 =−

−−−−

=ตอบ

และ V3

1912525433311117

v3 =−−

−−

=ตอบ

สวนของดเทอรมแนนซ คWอสวนทางดานซายของสมการ (คWอส.ป.ส.ของตวแปรทตองการทราบคา) และจะสงเกตไดวาไมมคาของแหลงจายรวมอย`ดวย เราสามารถเรยกเมตรกสอกชWอไดวาเมตรกสตว น1า (Conductance Matrix) ( )V GI=

7 3 4

G 3 6 24 2 11

− −= − −

− −

ซงมค\ณสมบตเปgนเมตรกสสมมาตร (Symmetrical Matrix) ตวเลขในต1าแหนง (i,j) ของเมตรกสจะมคาเทากนกบตวเลขในต1าแหนง (j,i) ของเมตรกส และตวเลขทไมอย`ในต1าแหนงเสนทแยงม\ม (Diagonal) จะมคาเปgนลบในขณะทคาทอย`บนต1าแหนงเสนทแยงม\มมคาบวกท!งหมด

ขอจ!ากดของวธการวเคราะหแบบปมและวธการแกไข พจารณาจากร`ป 3.3 เมWอก1าหนดแรงดนปมและปมอางองไดแลวจะมปuญหาตอนเขยนสมการ

ของอ\ปกรณทอย`ระหวางปม 2v และปม 3v เพราะวาเราไมทราบคากระแสทไหลผานอ\ปกรณกงน! จากค\ณสมบตของแหลงจายแรงดนอสระ

มอย`สองวธทงายทจะจดการ วธแรก คWอ สมมตตวแปรกระแสในกงอ\ปกรณทมแหลงจาย แรงดน จากน!นใชกฎ KCL 3 คร!ง และใชกฎ KVL 1 คร!ง ระหวางปม 2 และปม 3 ผลลพธทไดคWอ สมการ 4 สมการ 4 ตวแปร จากน!นก_สามารถหาคาตวแปรแตละตวได วธท6สองคWอ สมมตใหปม 2


และปม 3 เปgนซ`เปอรปม (Supernode) และใชกฎ KCL ท!งสองปมในเวลาเดยวกน ซงสามารถท1า ไดเนWองจากกระแสไหลเขาหรWอออกจากปม 2v และปม 3v เมWอคดเปgนสมการเดยว(หรWอในท1านอง กลบกน) มคาเทากบศ`นย เพราะกระแสไหลเขาปมหนงและไหลออกอกปมหนงดงน!นจะไดกระแส รวมทไหลเขาออกของท!งสองปมเทากบศ`นย

ตวอยาง 3.3 จงหาคาตวแปรแรงดน 1v ในร`ป 3.3

ร0ป 3.3 วงจรคลายกบวงจรร`ป 3.2 เพยงแตแทนความน1า 2 S ดวยแหลงจายแรงดน 22 V

วธท!า เนWองจากผลรวมของกระแสทไหลเขาและออกจากปมท!งค`เทากบศ`นย โดยเรม เขยนสมการจากกงตวน1า 3 S และกงถดไปในทศตามเข_มนาฬกาจะไดสมการ

2 1 3 1 3 23(v v ) 3 4(v v ) 25 5v 1v 0− − + − − + + =

หรWอ 1 2 37v 4v 9v 28− + + =

สมการ KCL ทปม 1v 11v4v3v7 321 −=−−

และเขยนสมการงายๆ ไดอกสมการจากซ`เปอรปมคWอ (KVL รอบวงทมอ\ปกรณดงน! 1 S, 22 V, 5 S)หรWอเขยนไดดงน! ก1าหนดใหปมแรงดนทตดกบเครWองหมายบวกของแหลงจายแรงดนอสระเปgนบวก และก1าหนดใหปมแรงดนทตดกบเครWองหมายลบของแหลงจายแรงดนอสระเปgนลบ ฝuwงขวาของสมการคWอขนาดของแหลงจายแรงดนอสระ

22 V

1

4

3

3 A−

8 A−

25 A−5

2v

3v1v


22vv 23 =−

เขยนสมการท!งหมดจะได 11v4v3v7 321 −=−−

28v9v4v7 321 =++−

2 3v v 22− + =

สามารถหา 1v ไดเทากบ

V5.442189

110947437112294284311

v1 −=−=

−−

−−−

−−−

= ตอบ

จากสวนของดเทอรมแนนซจะเห_นไดวา ไมมค\ณสมบตสมมาตร ท!งน!เพราะมสมการทม แหลงจายแรงดนเขามาเกยวของดวย จงไมใชเมตรกสตวน1าอกตอไป

ตวอยาง 3.4 จงหาคาแรงดนเอาทพ\ท 0v ในวงจรร`ป 3.4 เมWอออปแอมป^มคา Ω= k50R i

และ Ω= k2R 0 ตอแบบวงจรตามแรงดน (voltage follower) โดยม V1v 2 =

ร0ป 3.4 ก) วงจรตามแรงดน ข) เขยนเปgนวงจรสมม`ล

0v

iv

2vLR 1k= Ω 2v

2v

iR 50 k= Ωiv

3v

0R 2 k= Ω

4i10 v

0v

0v LR 1k= Ω

ก) ข)


วธท!า เขยนวงจรสมม`ลของออปแอมป^ รวมท!งตวตานทานอนพ\ท Ω= k50R i และตวตาน- ทานเอาทพ\ท Ω= k2R 0 ดงร`ป 3.4 ข) สมมตให 410A = กราวดถ`กเลWอกใหเปgนปมอางองและมปม อย` 3 ปมคWอ 302 v,v,v มซ`เปอรปม 2 ปมคWอทอ\ปกรณทตอระหวางปม 2v กบปมอางอง และกงท ตอระหวางกราวดกบปม 3v รวมกน 2 ซ`เปอรปม สามารถรวมกนกลายเปgนซ`เปอรปมใหญมากข!น แตเราไมมความจ1าเปgนในการเขยนสมการของซ`เปอรปมเพยงแตเขยนสมการทปม 0v แทน

01000v

2000vv

000,50vv 03020 =+

−+

− (3-6)เมWอ V1v 2 = จะมตวแปรไมทราบคา 2 คา คWอ 0v และ 3v ในสมการท 3-6 หลงจากน!นไปด`แหลง จาย แรงดนภายในซ`เปอรปม แรงดน 2v เทากบ 1V ดงน!นจงใหปมทตออย`เปgน 2v และแรงดน ตกครอมระหวางปม 3 และกราวด

i4

3 v10v −=

ส\ดทายจะไดคากระแสแรงดนทสมพนธกบแหลงจายควบค\มดงน! 1vvvv 020i −=−=

เพWอแกสมการ (3-6) หาคา 0v โดยให )1v(10v 04

3 −−=

01000v

2000)1v(10v

000,501v 00

400 =+

−++

−

V700999.0v0 =

จากผลลพธทไดจะเห_นไดวาคาเอาทพ\ทใกลเคยงกบคาอนพ\ท ถงแมวาจะใชออปแอมป^ทม ค\ณสมบตคาความตานทานอนพ\ทต1าและคาความตานทานเอาทพ\ทส`ง

กอนจะผานไปมาด`ทเทอมแรกของสมการท (3-6) คWอ nA00.650000

)v1( 0 =−

ต1ากวาคานอยท

ส\ดทจะรบกวนแหลงจายอนพ\ท ในทางกลบกนกระแสเอาทพ\ทเทอมท 3 ของสมการ (3-6) คWอmA0.1

1000v0 = มคามากกวากระแสอนพ\ท 510 เทา ดงน!นวงจรตามแรงดนสามารถจายกระแสและ

ก1าลงงานไดจากแหลงจายไฟทเล!ยงออปแอมป^โดยไมกระทบกระเทWอนแหลงจายทอนพ\ทเลย จากวธการเขยนสมการปมของวงจรความตานทาน สามารถสรปไดวา

1. จดวงจรใหอย`ในร`ปอยางงายคWอ การรวมปมทเหมWอนกนใหเปgนจ\ดเดยว และแหลงจายแตละตว จะตองมข!วบวกลบ 2. สมมตใหวงจรม N ปมเลWอก 1 ปมเปgนปมอางอง จากน!นเขยน 1N21 v,...,v,v − ทปมตางๆ จงจ1าไว วาแรงดนทปมจะตองเทยบกบปมอางองเสมอ


3. ถาวงจรมเฉพาะแหลงจายกระแสเทาน!น ใหใช KCL ทแตละปมทไมใชปมอางองและไดเมตรกส ของคาตวน1าเมWอวงจรมแตแหลงจายกระแสอสระเทาน!น 4. ถาวงจรมแหลงจายแรงดน ก1าหนดใหเปgนซ`เปอรปมซงจะลดจ1านวนปมลง 1 ปม และใช KCL กบปมแตละปมหรWอซ`เปอรปม (ทไมรวมปมอางอง)

ตวอยาง 3.5 จงหาแรงดนปมเทยบกบกราวน ในวงจรร`ป 3.5 วธท!า เราเลWอกปมต1าแหนงตรงกลางเปgนปมอางองและก1าหนดปม 1v ถง 4v ตามเข_มนาฬกา

เรมจากดานซาย และก1าหนด ซ`เปอรปม เสร_จแลวก_เขยน KCL ทปม 2 ทปม 2

2 32 1 v vv v 140.5 2

−− + =

ร0ป 3.5 วงจร 5 ปมทมแหลงจาย 4 ประเภท

ทซ`เปอรปม (ปม 3 และปม 4) 0

5.2vv

1v

v5.02

vv 144x

23 =−

++−−

จากร`ปจะไดสมการชวย

2 Ω

1 Ω2.5 Ω

0.5 Ω 14 A

12 V X0.5v

2v

1v 3v

4v

yv

xv


12v1 −=

และสมการชวย)vv(2.0v2.0vv 14y43 −==−

และทแหลงจายควบค\มจะหาได)vv(5.0v5.0 12x −=

เขยนสมการท!งหมดไดเปgน 1 2 3

1

1 2 3 4

1 3 4

2v 2.5v 0.5v 14 v 12 0.1v v 0.5v 1.4v 0 0.2v v 1.2v 0

− + − == −

− + + =+ − =

ค1าตอบคWอ

V2vV0v

V4vV12v

4

3

2

1

−==

−=−=

ตอบ

3.3 การวเคราะหแบบเมช (Mesh Analysis)

วธการวเคราะหแบบปมทอธบายไปแลวในหวขอกอนหนาน! สามารถใชวเคราะหวงจรได ท!งหมด แตไมใชวธเดยวทใชวเคราะหวงจร วธการวเคราะหแบบเมชเปgนอกวธการหนงซงจะ อธบายในหวขอน! แตกอนอWนจะแนะน1าใหร`จกกบวธวเคราะหแบบเมชกอนวา วธการน!สามารถ วเคราะหวงจรทมค\ณสมบต วงจรขายระนาบ (planar) ไดเทาน!น

วงจรขายระนาบ หมายถงวงจรทสาม ารถแผบนพW!นระนาบไดโดยอ\ปกรณแตละตวไมซอน ทบกน ตวอยางแสดงในรป 3.6 โดย 3.6 ก ) มค\ณสมบต วงจรข ายระนาบ 3.6 ข ) ไมมค\ณสมบต วงจรขายระนาบ และร`ป 3.6 ค) มค\ณสมบตวงจรขายระนาบ

นยามของเมช คWอวงทเล_กทส\ดทไมมวงอย`ภายในแสดงดงร`ป 3.7 ก) เปgนวงไมใชเมช ข) เปgนเมช ค) เปgนวงไมใชเมช และง) เปgนเมช


ร0ป 3.6

ร0ป 3.7

ตวอยาง 3.6 จงหาคาของกระแส 1i และ 2i โดยใชวธ KVL ธรรมดาในวงจรร`ป 3.8 (ยงไม ใชวธวเคราะหแบบเมช)

ก) ข) ค)

ก) ข)

ค) ง)


ร0ป 3.8 วงจรม 2 เมช

วธท!าเราเรมจากการก1าหนดตวแปรกระแสของแตละเมช โดยก1าหนด 1i ใหไหลผาน Ω6R และ

2i ไหลผาน Ω4R โดยกระแส 1i มคามากกวา 2i จะไดกระแส ( )1 2i i− ไหลผาน 3R Ω จากน!นก_ ใช KVL กบท!งสองเมช ซงก_จะได 2 สมการ เราจะสามารถหาคากระแสท!งสองได เมชซายมWอ

0)ii(3i642 211 =−++−

หรWอ 42i3i9 21 =− (3-7)เมชขวามWอ 010i4)ii(3 221 =−+−−

หรWอ 10i7i3 21 =+− (3-8)A4i,A6i 21 == ตอบ

ถาวงจรม M เมช จะตองสมมตกระแส M ตว และเขยนสมการได M สมการ การหาค1าตอบจะหาไดอยางเปgนระบบ โดยใชดเทอรมแนนซ ตอไปเราจะเปลยนแปลงการเขยนสมการเล_กนอยโดยใชกระแสเมช (วธวเคราะหแบบเมช)

ข@นตอนการเขยนสมการแบบเมช1. สมม\ตกระแสไหลในแตละเมชโดยใหมทศตามเข_มนาฬกา2. เขยนสมการทเมชท\กเมชโดยใช KVL 3. ส1าหรบตวตานทาน ( )R ทตออย`ระหวางเมชสองเมช ใหแทนแรงดนทตกครอมดวย

( )1 2i i R− โดย 1i คWอกระแสในเมชทเราก1าลงเขยนสมการ และ 2i คWอกระแสในเมชขางเคยงทอย`ตดกน

42 V 10 V

6 Ω

3 Ω

4 Ω

( )1 2i i−

1i 2i


4. ส1าหรบตวตานทาน ( )R ทตออย`ในเมช 1i ซงไมตดกบเมชใดๆ ใหแทนแรงดนทตกครอมดวย 1i R

ตวอยาง 3.7 ท1าตวอยาง 3.6 ใหม โดยใชเทคนคของการวเคราะหแบบเมช โดยแสดงในร`ป 3.9

ร0ป 3.9

วธท!าถาก1าหนดใหเมชซายมWอคWอเมชท 1 และก1าหนดกระแส 1i ไหลตามเข_มนาฬกา และท1าใน

ท1านองเดยวกนกบเมชท 2 การก1าหนดทศของกระแสควรใหหม\นตามเข_มนาฬกาท!งหมดท!งน! เพราะวาสามารถลดขอผดพลาดในการเขยนสมการได เมช 1

0)ii(3i642 211 =−++−

หรWอ 42i3i9 21 =−

เมช 2 010i4)ii(3 212 =−+−

หรWอ 10i7i3 21 =+−

จะสงเกตไดวาท!งสองสมการเหมWอนกบสมการ (3-7) และ (3-8)

หมายเหต ตวอยาง 3.7 แตกตางกบตวอยาง 3.6 ตรงทไมตองก1าหนดกระแสไหลผาน Ω3R เปgน 21 ii − ซงท1าใหสบสนไดเมWอวงจรมขนาดใหญ และเราก_ยงไมทราบวากระแส 1i มคามากกวา 2i

จรง

42 V 10 V

6 Ω

3 Ω

4 Ω

1i2i


ตวอยาง 3.8 จงใชวธการวเคราะหแบบเมช ในวงจรร`ป 3.10

ร0ป 3.10 วงจรทม 5 ปม 7 กง 3 เมช

วธท!า เขยนสมการเมช 1 เมช 2 และเมช 3

0)ii(26)ii(17 3121 =−++−+−

0)ii(3i2)ii(1 32212 =−++−

0i1)ii(36)ii(2 32313 =+−+−−

จดใหอย`ในร`ปอยางงาย 1i2ii3 321 =−−

0i3i6i1 321 =−+−

6i6i3i2 321 =+−−

และใชกฎของเครเมอรหาคาตวแปร

A339

117

632361213

632061113

i3 ==

−−−−−−

−−−

−

= ตอบ

7 V

1 Ω

2 Ω

3 Ω

3i

2i

1i

2 Ω

1 Ω6 V


ท1าในท1านองเดยวกนจะได A2i,A3i 21 == จะสงเกตไดวาสวนของดเทอรมแนนซเปgนเมตรกสสมมาตร และมคาในแนวเสนทแยงม\มเปgนคาบวก นอกจากน!นเปgนคาลบหรWอศ`นย ลกษณะอยางน! จะเกดข!นส1าหรบวงจรทมแตแหลงจายแรงดนอสระเทาน!น ส.ป.ส.หนาตวแปรกระแสของตวแปรท ไมทราบคาคWอเมตรกสตวตานทาน (Resistance Matrix) ( )i Rv=

−−−−−−

=632361213

R

ขอจ!ากดของวธการวเคราะหแบบเมชและการแกไขจะท1าอยางไรเมWอมแหลงจายกระแสอย`ในวงจร (คลายกบการมแหลงจายแรงดนในวงจรท

วเคราะหแบบปม) มสองวธทจะจดการ วธแรก ก1าหนดแรงดนไมทราบคาครอมแหลงจายกระแส และใช KVL เมชอWน ๆ กอน และเขยนสมการเกยวกบกระแสของแหลงจายกระแส วธการน!ย\งยาก วธท6ดกวา คWอ การก1าหนดใหเปgน ซ`เปอรเมช (supermesh) ซงจะคลายกบซ`เปอรปมทสามารถลด จ1านวนของปมทไมตองเปรยบเทยบได 1 ปม กลบมาทซ`เปอรเมชทมแหลงจายกระแสบรรจ\อย` เรา จะลดจ1านวนของเมชลงได 1 เมช เชนเดยวกน

ตวอยาง 3.9 จงใชเทคนควเคราะหแบบเมช (ซ`เปอรเมช) วเคราะหวงจรร`ป 3.11

ร0ป 3.11 ใชการวเคราะหแบบเมช

7 V

1 Ω

2 Ω

3 Ω

3i

2i

1i

2 Ω

1 Ω7 A


วธท!า ก1าหนด 21 i,i และ 3i ไหลตามเข_มนาฬกาในเมช 1 , เมช 2 และเมช 3 แหลงจาย กระแส 7 A อย`ระหวางเมช 1 และ เมช 3 จงใชเปgนซ`เปอรเมช (คWอวนรอบวงทประกอบดวยเมช 1 และเมช 3 โดยไมผานแหลงจายกระแส 7A)

0i1)ii(3)ii(17 32321 =+−+−+−

หรWอ 7i4i4i 321 =+− (3-9)และเมช 2

0)ii(3i2)ii(1 32212 =−++−

หรWอ 0i3i6i 321 =−+− (3-10)เขยนสมการจากซ`เปอรเมชได (กระแสเมช 1 ไหลไปทศทางเดยวกนกบแหลงจายกระแส จงก1าหนดใหเปgนบวก สวนกระแสเมช 3 ไหลในทศทางตรงกนขาม จงก1าหนดใหเปgนลบ )

7ii 31 =− (3-11)แกสมการ (3-9) ถง (3-11) จะได

A21428

101441361

701741061

i3 ==

−−

−−

−−

= ตอบ

และท1าในท1านองเดยวกนจะได A5.2i,A9i 21 == ตอบ

ตวอยาง 3.10 จงใชวธวเคราะหแบบเมช กบวงจรร`ป 3.12

วธท!า เขยนสมการ เมช 2 0)ii(3i2)ii(1 32212 =−++−

แหลงจายกระแส 15 A อย`ในเมช 1 จะได (ถงแมจะเปgนซ`เปอรเมช แตไมมความจ1าเปgนตองสรางสมการเพราะกระแสเมช 1 ตองมคาเทากบแหลงจายกระแสอสระ 15 A เทาน!น)

15i1 =

เขยนสมการชวยทซ`เปอรเมชแหลงจายควบค\มได xv

91


ร0ป 3.12 แหลงจายกระแส 2 แหลงจายท1าใหตองก1าหนดเปgนซ`เปอรเมช

xv คWอแรงดนตกครอม 3Ω จากร`ป 3.12 จะได ( )x 3 2v 3 i i= −

[ ])ii(391iiv

91

2313x −=−=

ดงน!นจะได 0i3i6i 321 =−+−

15i1 =

0i32i

31i 321 =++−

แกสมการได A17i,11i,15i 321 === ตอบสรปวธการวเคราะหแบบเมชได ดงน@

1. ตรวจสอบวงจรทจะวเคราะหวาเปgนวงจรขายระนาบหรWอไม ถาไมใชใชการวเคราะหแบบ เมชไมได

2. จดร`ปวงจรใหงายข!น โดยเขยนคาก1ากบตาง ๆ ทตวอ\ปกรณและแหลงจายท!งหมด3. สมมตวงจรม M เมชโดยก1าหนดกระแสแตละเมชตามเข_มนาฬกาและใช KVL วนรอบเมช

จนครบ M เมช4. ถาวงจรมเฉพาะแหลงจายแรงดนอสระ จะไดเมตรสตวตานทาน5. ถาวงจรมแหลงจายกระแส จะตองก1าหนดเปgนซ`เปอรเมชส1าหรบแตละแหลงจายกระแส

และใชกฎ KVL รอบวงทประกอบดวยเมชท!งหลายทครอบคล\มแหลงจายกระแส

15 A

1 Ω

2 Ω

3 Ω

3i

2i

1i

2 Ω

1 ΩX1 v9

Xv


3.4 ภาวะเชงเสนและทฤษฎบทการทบซอน (Linearity and Superposition theorem)

วงจรท\กวงจรทเราวเคราะหถงตอนน! (และทจะพบหลงจากน!) เรยกวา วงจรเชงเสน (linear circuit) ถงเวลาน!เราจะนยามวงจรเชงเสน โดยพจารณาค\ณสมบตของวงจรเชงเสนอยางหนง คWอ ทฤษฎบทการทบซอน หลกการน!งายมากและใชบอยในการศกษาเรWองวงจรเชงเสน หลกการน!ไม สามารถใชไดกบวงจรทไมใชเชงเสน (nonlinear circuit) หลกการของทฤษฎบทการทบซอนคWอการ พจารณาผลตอบสนอง (คากระแสหรWอแรงดน) ทจ\ดตางๆ ในวงจรเชงเสน จะเปgนผลมาจากแหลง จายอสระแตละตวท1างานอยางโดดเดยวแตละคร!งรวมกน

อ\ปกรณเชงเสน (linear element) คWออ\ปกรณพาสซฟ (passive) ทมความสมพนธระหวาง แรงดนและกระแสเปgนเชงเสน ในตอนน!เราจะพจารณาเฉพาะตวตานทานเทาน!น

)t(Ri)t(v =

ถาวาดกราฟแรงดน )t(v เปgนฟuงกชนกระแส i(t) จะไดผลลพธเปgนเสนตรง เราจะไดเห_น ในบทท 4 พรอมกบจะนยามสมการของตวเหนยวน1า (inductor) และตวเก_บประจ\ (capacitor) ทเปgน อ\ปกรณเชงเสนดวย เราจะนยามแหลงจายควบค\มเชงเสนไมวาจะเปgนแหลงจายกระแสควบค\ม หรWอ แหลงจายแรงดนควบค\ม กระแสเอาทพ\ทหรWอแรงดนเอาทพ\ท เปgนอตราสวนเฉพาะตวแปรตวใด ตวหนง ค Wอ กระแสหรWอแรงดน เช น แหลงจายแรงดนควบค\มมสมการ 21s v14i6.0v −= เปgนเชง เสนแต 2

1s i6.0v = และ 21s vi6.0v = ไมเปgนเชงเสน ฉะน!นวงจรเชงเสนประกอบข!นจากแหลงจายอสระ แหลงจายควบค\มและอ\ปกรณเชงเสน

จากนยามน!สามารถแสดงใหเห_นไดวา "ผลตอบสนองจะเปgนอตราสวนกบแหลงจาย" หรWอ การค`ณ ท\กแหลงจายแรงดนอสระและกระแสอสระโดยคาคงท k จะท1าใหผลตอบสนองแรงดน และกระแส เพมข!นตามดวยอตราสวนคาคงท k เดยวกน (รวมท!งเอาทพ\ทของแหลงจายกระแส และแรงดน ควบค\มดวย) ค\ณลกษณะทส1าคญของวงจรเชงเสน คWอทฤษฎบทการทบซอน พจารณาวงจรร`ป 3.13 วงจร มแหลงจายอสระ 2 แหลงคWอแหลงจายกระแส ba i,i โดยทวไปเราจะเรยกแหลงจายวาฟuงกชน กระต\น (forcing function) เพราะวาท1าใหเกดแรงดนข!นทปม 1 และปม 2 เทยบกบปมอาง องซงเราจะเรยกวา ผลตอบสนองตอฟuงกชน (response function) หรWอผลตอบสนอง


ร0ป 3.13 วงจร 3 ปมมแหลงจาย 2 แหลงจาย

ผลตอบสนองท!งสองน!เปgนฟuงกชนของเวลา เขยนสมการจากท!งสองปมได a21 iv2.0v7.0 =− (3-12)

b21 iv2.1v2.0 =+− (3-13)ก1าหนดให x คWอการทดลองคร!งแรก โดยเปลยนฟuงกชนท!งค`เปgน axi และ bxi รวมท!งจะไดแรงดน ตอบสนอง 1xv และ 2xv

axx2x1 iv2.0v7.0 =− (3-14)bxx2x1 iv2.1v2.0 =+− (3-15)

ก1าหนดให y คWอการทดลองคร!งทสอง ฟuงกชนกระต\นเปลยนไปเปgน ayi และ byi และไดแรงดน ผลตอบสนอง y1v และ y2v

ayy2y1 iv2.0v7.0 =− (3-16)byy2y1 iv2.1v2.0 =+− (3-17)

สมการท!งสามช\ดไดจากวงจรเดยวกนแตแตกตางกนทแหลงจายท1างานไมเหมWอนกน จากน!นท1า การบวกกนของสมการ (3-14) และ (3-16)

ayaxy2x2y1x1 ii)v2.0v2.0()v7.0v7.0( +=+−+ (3-18)a21 iv2.0v7.0 =− (3-12)

และสมการ (3-15) และ (3-17) bybxy2x2y1x1 ii)v2.1v2.1()v2.0v2.0( +=+++− (3-19)

b21 iv2.1v2.0 =+− (3-13)

ai bi2 Ω 1 Ω

5 Ω

จ\ดอางอง

1v 2v


จากความเปgนเชงเสนของสมการ เปรยบเทยบสมการ (3-18) กบสมการ (3-12) และสมการ (3-19) กบสมการ (3-13) ได โดยกระแส axi และ ayi รวมกนจะได ai ในท1านองเดยวกน bi คWอผล รวมของกระแส bxi และ byi ฉะน!นจะไดผลตอบสนอง คWอผลรวมของ x1v และ y1v สวน 2v ก_ ในท1านองเดยวกนหรWอสามารถกลาวไดวาท1าการทดลองคร!งท x และจดผลตอบสนองไว และท1า การทดลองคร!งท y และจดผลตอบสนองไว จากน!นส\ดทายเอาผลท!งสองคร!งมารวมกนก_จะไดผล ตอบสนองทสมบ`รณของวงจร และน!คWอลกษณะพW!นฐานของทฤษฎบทการทบซอน

ทฤษฎบทการทบซอน เขยนไววา "ในวงจรตาขายตวตานทานเชงเสนใดๆ ทมแหลงจาย อสระหลายตว แรงดน หรWอ กระแสทตวตานทาน หรWอ ทแหลงจายจะค1านวณไดจากผลรวมทาง พชคณต ของแหลงจายแรงดนหรWอแหลงจายกระแสอสระท!งหมด ท!งน!โดยแยกใหแตละแหลงจาย อสระท1างานตวเดยวในแตละคร!ง โดยไมมแหลงจายตวอWนท1างานดวย วธการทท1าใหแหลงจายตวอWนๆ ไมท1างาน ท1าไดโดยแทนแหลงจายกระแสดวยการเป|ดวงจร และแทนแหลงจายแรงดนดวย การลดวงจร"

ดงน!นถามแหลงจายอสระ N ตว ในวงจรจะตองค1านวณ N คร!ง ในแตละคร!งจะมแหลงจาย ท1างานเพยงตวเดยวเทาน!น โดยวธการไมใหแหลงจายตวอWนท1างานท1าไดเพยงแทนดวยการลดวงจร ส1าหรบแหลงจายแรงดน และแทนการเป|ดวงจรส1าหรบแหลงจายกระแส

ขอควรระวง แหลงจายควบค\มยงคงท1างานโดยตลอดท\กคร!งของการท1างานท!ง N คร!ง

ตวอยาง 3.11 จงใชทฤษฎบทการทบซอนกบวงจรร`ป 3.14 โดยหาคา xi

ร0ป 3.14 วงจรประกอบดวยแหลงจายกระแสอสระและแหลงจายแรงดนอสระ

วธท!าเราสามารถต!งคาแหลงจายกระแสใหเทากบศนย และหาคา xi ทเกดจากแหลงจาย sv จากน!นก_ต!งคาแหลงจายแรงดนใหเทากบศ`นยและหาคา xi ทเกดจากแหลงจายกระแส Si

Si 2A=Sv 3V= 9 Ω

6 Ω

Xi


ผลรวมของการคดท!งสองคร!งคWอค1าตอบทสมบ`รณของ xi

0vx0ixx SSiii == +=

A18.02.0)96

6(296

3 =+=+

++

=

ตวอยาง 3.12 ในวงจรร`ป 3.15 ก) จงใชหลกการทฤษฎบทการทบซอนหาคา xi

ร0ป 3.15 ก) วงจร 4 ปม ข) เป|ดวงจรแหลงจาย 3A และ ค) ลดวงจรแหลงจาย 10V

วธท!า เป|ดวงจรแหลงจาย 3A ดงร`ป 3.15 ข)0i2i1i210 xxx =′+′+′+−

ดงน!น A2i x =′

ตอจากน!น ลดวงจรแหลงจาย 10 V ดงร`ป 3.15 ค)

31

i2v2v x =

″−′′+

′′

และจากแหลงจายควบค\มจะได ″−=′′ xi2v

X2i10V 3 A

2 Ω

Xi

1 Ω

v

ก)

X2i10V

2 Ω

Xi

1 Ω

ข)

X2i3 A

2 Ω

Xi

1 Ω

v

ค)


จะได A6.0i x −=″

และดงน!นA4.16.02iii xxx =−=″+′=

ขอควรระวง หลกการทฤษฎบทการทบซอนสามารถใชไดกบวงจรเชงเสนใดๆ ได หรWอ ฟuงกชนทเปgนเชงเสนไดเทาน!น ตวอยางพจารณาแหลงจายแรงดน 2 ตว และตวตานทานตออน\กรมกนท!งหมด โดยแหลงจายแรงดนแตละตวมแรงดนเทากบ 1 V สวนตวตานทานมคา Ω1 ก1าลงงาน ทสงออกจากแหลงจายไปทตวตานทาน คWอ W4 แตถาใชหลกการทฤษฎทบซอนจะไดก1าลงงานแต ละคร!งเทากบ 1 W รวมท!งสองคร!งคWอ 2 W ซงเปgนค1าตอบทผด ท!งน!เปgนเพราะสมการของก1าลงงานไมใชสมการเชงเสน

3.5 การแปลงแหลงจาย (Source transformations)

จากการศกษามาต!งแตตนเราใชแหลงจายอ\ดมคตท!งแหลงจายกระแส และแหลงจายแรงดน ในหวขอน!จะกลาวถงแหลงจายในทางปฏบตกน ซงแหลงจายทก1าลงกลาวถงน!นจะใชแทนแหลงจายในทางกายภาพไดใกลเคยงความเปgนจรงมากข!น และตอจากน!นจะท1าการแปลงแหลงจายจาก อนหนงใหกลายเปgนอกอนหนงโดยไมมผลกระทบตอวงจร ซงวธเดยวกนน!สามารถประย\กตใช ได ท!งกบแหลงจายควบค\มและแหลงจายอสระได แตท!งน!วธน!จะไมคอยมประโยชนส1าหรบแหลงจาย ควบค\ม แหลงจายแรงดนอ\ดมคตนยามดงน!คWอ ข!วแรงดนไมข!นอย`กบปรมาณของกระแสทไหลผาน เชน แหลงจาย 1V ผลตกระแส 1A ผานตวตานทาน Ω1 และผลตกระแส 1000000 A ผานตวตาน ทาน Ωµ1 จะเห_นไดวาไมจ1ากดก1าลงงานทผลตไดจากแหลงจายอ\ดมคต ซงในทางปฏบตเปgนไป ไมได พจารณาแหลงจายในทางปฏบต เชน แบตเตอรจะมแรงดน 12 V เมWอไมมกระแสไหลผานมน แตเมWอมกระแสไหลผาน 100A แรงดนจะตกลงเหลWอ 11V ดงน!นเพWอความถ`กตองจะแทนแหลงจาย ในทางปฏบตดวยแหลงจายแรงดนอ\ดมคต 12V ตออน\กรมกบตวตานทาน Ω01.0 ดงน!นเราจงใช การตออน\กรมของอ\ปกรณอ\ดมคต คWอ แหลงจายแรงดนอสระและตวตานทานแทนแบบจ1าลองของแหลงจายในทางปฏบต โดยปกตการตอใชงานแหลงจายจะตอดงในร`ป 3.16 โดยจะมการตอโหลด ดวย RL แรงดนตกครอมโหลดอาจจะเรยกวา Lv


ร0ป 3.18 ก) แหลงจายในทางปฏบตของแบตเตอร 12 V ตอกบโหลดตวตานทานข) กราฟแสดงความสมพนธระหวาง Li และ Lv เปgนเชงเสน

สมการ KVL ส1าหรบวงจรในร`ป 3.16 ก) สามารถเขยนในเทอม Li และ Lv

LL vi01.012 +=

ดงน!น LL v1001200i −=

ซงเปgนสมการเชงเสนในเทอม Li และ Lv และวาดกราฟ เปgนเสนตรงไดดงร`ป 3.16 ข) แตละจ\ด บนเสนตรงจะสอดคลองกบคาของ RL (ทเปลยนคาต!งแต 0 ถง ∞ )

ตวอยางทจ\ดกลางของเสนตรงไดมาจากโหลดความตานทานมคาเทากบความตานทานภาย ในของแบตเตอรหรWอ Ω= 01.0R L แรงดนทโหลดจะเปgนครงหนงของแรงดนทแหลงจายแรงดนอ\ดมคต เมWอ ∞=LR วงจรเป|ดออกไมมกระแสไหล (แรงดนตกครอมตวตานทาน 0.01Ω เทากบศ`นย) จะไดแรงดน V12vLoc = ในทางกลบกนเมWอ 0R L = หรWอลดวงจรจะได กระแสลดวงจรเทากบ A1200iLsc = ซงในทางปฏบตอาจจะเกดความเสยหายได ส1าหรบแหลงจายอ\ดมคตข!วของ แรงดนยงคงมคาคงท ถงแมวากระแสทไหลผานโหลดจะเปลยนไป ส1าหรบแหลงจายแรงดนใน ทางปฏบตแรงดนทข!วจะมคาใกลแหลงจายอ\ดมคต เฉพาะเมWอกระแสทโหลดมคาต1าๆ

ตอไปพจารณาแหลงจายแรงดนในทางปฏบตโดยทวไปแสดงในร`ป 3.17 ก) แรงดนของ แหลงจายอ\ดมคตคWอ Sv และคาความตานทาน SVR เรยกวาความตานทานภายใน หรWอความตาน ทานเอาทพ\ทตออน\กรมกบแหลงจาย เขยนสมการเชงเสนระหวาง Lv และ Li ได

LSVSL iRvv −= (3-20)

12V LR

0.01 Ω Li

Lv

ก)

300

600

900

1200Li (A) LSCi

00 2 4 6 8 10 12

LOCv

Lv (V)ข)

แหลงจายแรงดนอ\ดมคต

แหลงจายแรงดน

ในทางปฎบต

โหลด


และวาดกราฟไดในร`ป 3.17 ข) แรงดนเป|ดวงจร Locv และกระแสลดวงจร Lsci คWอ SLoc vv = (3-21)

SV

SLsc R

vi = (3-22)

ร0ป 3.17 ก) แบบจ1าลองของแหลงจายแรงดนในทางปฏบตเมWอตอกบโหลดตวตานทาน LR ข) แรงดนทข!ว Lv ลดลงเมWอ Li เพมข!นและ L L LR v I= ลดลง

แหลงจายกระแสอ\ดมคตไมมจรงในทางปฏบตหรWอไมมอ\ปกรณใด จายกระแสทคงทไดแม เมWอแรงดนทตกครอมเปลยนแปลงไป ในทางปฏบตแหลงจายกระแสจะนยามดวยการตอแหลง จายกระแสอ\ดมคตตอขนานกบคาความตานทานภายใน SiR ดงในร`ป 3.18 ก) ซงเขยนสมการแสดง ความสมพนธระหวางกระแส Li และแรงดน Lv สอดคลองกบโหลดความตานทาน LR ไดดง สมการ

Si

LSL R

vii −= (3-23)

จากสมการเชงเสนดงกลาว สามารถหาคาแรงดนเป|ดวงจรและกระแสลดวงจรได SSiLOC iRv = (3-24)

SLSC ii = (3-25)กระแสโหลดและแรงดนตกครอมโหลดทเปลยนแปลงไป จะสอดคลองกนแสดงดงกราฟ

ร`ป 3.18 ข) โดยกราฟเสนตรงจะเรมจากจ\ดลดวงจรไปหาจ\ดเป|ดวงจร สอดคลองกบความตานทาน LR เปลยนแปลงโดยเพมจาก 0 ถง ∞ ตามล1าดบ และจ\ดกงกลางเกดข!นท L SiR R= กระแสโหลด

SvLR

SVR Li

Lv

ก)

300

600

900

1200Li (A) LSC S SVi v R=

00 2 4 6 8 10 12

LOC Sv v=

Lv (V)ข)

แหลงจายแรงดน


แหลงจายแรงดนอ\ดมคต

โหลด


Li และกระแสของแหลงจายในทางปฎบต Si จะมคาเทากนเฉพาะทแรงดนโหลด Lv คาต1าๆ เมWอเทยบกบ SiR

ร0ป 3.18 ก) แบบจ1าลองของแหลงจายกระแสในทางปฏบต ข) กระแสโหลด Li ของแหลงจาย กระแสในทางปฎบตแสดงเปgนฟuงกชนของแรงดนโหลด Lv

หลงจากไดร`จกกบท!งสองแหลงจายเรยบรอยแลว ตอไปจะไดท1าการเปลยนกลบไปกลบมา หรWอเรยกวาการสรางวงจรสมม`ล คWอการสรางแรงดน Lv และกระแส Li ทเหมWอนกน เมWอตออย`กบโหลดความตานทาน LR หรWอกลาวไดวา แหลงจายท!งสองคWอแหลงจายกระแสในทางปฏบต และแหลงจายแรงดนในทางปฏบตถ`กบรรจ\อย`ในกลองด1า มองเห_นแตข!ว 2 ข!วทโผลออกมานอก กลองด1า เราสามารถวดคาแรงดนหรWอกระแสได

ลกษณะของการสมม`ลกน คWอ แรงดนเป|ดวงจรจะตองมคาเทากน จากสมการ (3-21) และสมการ (3-24)

SSiSLOC iRvv == (3-26)กระแสลดวงจรตองเทากน จากสมการ (3-22) และ (3-25)

SSV

SLSC i

Rv

i ==

จะได SSiSV RRR == (3-27)และ SSS iRv = (3-28)

Si LRSiR

Li

Lv

ก)

Li (A) LSC Si i=

00

LOC Si Sv R i=

Lv (V)ข)

แหลงจายกระแส


โหลด

แหลงจายกระแสอ\ดมคต


เมWอให SR แทนคาความตานทานภายในของท!งสองแหลงจาย เพWอแสดงแนวคดอนน! พจารณาแหลงจายกระแสในทางปฏบตในร`ป 3.19 ก) เมWอคาความตานทานภายใน Ω2 จะเทากบคา ความตานทานภายในของแหลงจายแรงดน Ω2 แรงดนของแหลงจายแรงดนอ\ดมคตในแหลงจาย แรงดนในทางปฏบตคWอ (2) (3) = 6 V วงจรสมม`ลของแหลงจายแรงดนในทางปฏบตแสดงในร`ป 3.19 ข)

ร0ป 3.19 ก) แหลงจายกระแสในทางปฏบต ข) แหลงจายแรงดนในทางปฏบตทเปgนวงจรสมม`ลของแหลงจายกระแสในทางปฏบต

เพWอตรวจสอบความสมม`ลกน สมมตใหตอตวตานทาน Ω4 กบแหลงจายในทางปฏบตแต ละตว ท!งสองกรณจะไดกระแส 1 A แรงดน 4V ค1านวณไดก1าลง 4 W เมWอโหลดมคา Ω4 อยางไรก_ ตามเมWอพจารณาอยางระมดระวงแหลงจายกระแสอ\ดมคตจะสงก1าลงรวมได 12 W ขณะทแหลงจาย แรงดนอ\ดมคตจะสงไดเพยง 6W ท!งน! เพราะตวตานทานภายในของแหลงจายกระแสในทางปฏบต จะรบก1าลง 8W ขณะตวตานทานภายในของแหลงจายแรงดนในทางปฏบตจะรบก1าลงเพยง 2Wดงน!น จะเห_นไดวาแหลงจายท!งสองในทางปฏบตจะสมม`ลกนเฉพาะ เมWอพจารณาทโหลดเทาน!น แตจะไมสมม`ลกนเมWอพจารณาภายในแหลงจายเอง

ทฤษฎการค1านวณก1าลงทมประโยชนจากแหลงจายท!งสอง ในทางปฏบตส1าหรบแหลงจาย ในร`ป 3.19 เมWอ SSV RR = จะไดก1าลงทโหลด LR เทากบ

2LS

L2

SL

2LL )RR(

RvRip

+==

เพWอหาคา LR ทรบก1าลงส`งส\ดจากแหลงจายในทางปฏบต เราจะท1าการอน\พนธโดยเปรยบเทยบกบ LR ได

3 A2 Ω

ก) ข)

6 V

2 Ω


4LS

LSL2

S2

S2

LS

L

L

)RR()RR)(2(Rvv)RR(

dRdp

++−+

=

และก1าหนดใหเทากบศ`นยจะได 2

LSLSL )RR()RR(R2 +=+

หรWอLS RR =

เมWอคา LR 0= และ ∞=LR จะไดคาก1าลงต1าส\ด 0pL = และ เมWอเราไดสรางวงจรสมม`ลระหวางแหลงจายแรงดนในทางปฎบต และแหลงจายกระแสในทางปฎบต ดงน!นสามารถสร\ปไดดงน! ทฤษฎการถายโอนก1าลงสงส\ด (maximun power transfer theorem) “แหลงจายแรงดนอสระตอ อน\กรมกบความตานทาน SR หรWอ แหลงจายกระแสอสระตอขนานกบคาความตานทาน SR จะสง ก1าลงถายโอนส`งส\ดทโหลดเมWอ SL RR = ” พจารณาวงจรดงร`ป 3.19 ก1าลงทโหลดจะมคาส`งส\ดเมWอตอตวตานทานทมคาเทากบ Ω2 โดยมคาก1าลงเทากบ 4.5 W

3.6 ทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตน (Thevenin’ s and Norton's theorems)

ในหวขอน!จะอธบายถงทฤษฎทมประโยชนในการวเคราะหวงจรทท1าใหวงจรทมความซบ- ซอนคดไดงายข!น กอนอWนขอแนะน1าใหร`จก M.L Thevenin วศวกรชาวฝรงเศสท1างานทส1านกงาน โทรเลขซงเปgนผ`คดทฤษฎบทของเทเวนนน!ข!นในป ค.ศ. 1883 และอกคนคWอ E.L. Norton นกวทยา- ศาสตรท1างานทหองวจยเบลลเปgนผ`คดทฤษฎบทของนอรตน

สมมตวาเราตองการหาคากระแส หรWอแรงดนทตวตานทาน หรWอก1าลงทรบเขาไปของตว ตานทานเพยงตวเดยวในวงจรทประกอบไปดวยแหลงจายและตวตานทานจ1านวนมากมาย หรWอตอง การหาผลตอบสนองเมWอเปลยนคาความตานทานโหลด ทฤษฎบทของเทเวนนสามารถท1าไดโดย การแทนสวนตางๆ ของวงจร ยกเวนโหลดความตานทานดวยแหลงจายแรงดนอสระหนงแหลงจาย ตออน\กรมกบตวตานทาน ซงท1าใหผลตอบสนองทวดไดทโหลดความตานทานถ`กตองเหมWอนกน กบวงจรกอนท1าการแปลง อกแนวทางหนงทสามารถท1าไดและใหผลลพธเหมWอนกนคWอ ทฤษฎบท ของนอรตน ซงหมายถงการแทนวงจรดวยแหลงจายกระแสอสระตอขนานกบตวตานทาน


ในอกความหมายหนงทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตน คWอ การแทนพW!นท ขนาดใหญของวงจรตาขายดวยวงจรสมม`ลอยางงาย บอยคร!งในการวเคราะหวงจรขนาดใหญม พW!นทของวงจรขนาดใหญทเราไมสนใจ วธทงาย คWอการแทนวงจรตางๆ เหลาน!นดวยวงจรสมม`ล อยางงายไมวาจะเปgนวงจรสมม`ลเทเวนน หรWอวงจรสมม`ลนอรตน หลงจากน!นก_ค1านวณวงจรได อยางงายดาย ตวอยาง ในวงจรขยายก1าลงดานทรานซสเตอรจะใชทฤษฎบทของเทเวนน หรWอทฤษฎ บทของนอรตน เพWอท1าการหาก1าลงถายโอนสงส\ดจากวงจรขยายไปทโหลดความตานทาน เพWอ เลWอกคาความตานทานทท1าใหไดก1าลงส`งส\ดเกดข!นทโหลดความตานทาน

ตวอยาง 3.13 จงใชทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตน เพWอหาวงจรสมม`ล ดานวงจรขายดานซาย

ร0ป 3.20 วงจรตวตานทานอยางงาย

วธท!าสมมต LR คWอตวตานทานทเราสนใจ ตอจากน!นเราจะหาวงจรสมม`ลแทนวงจรขาย ดาน

ซาย ข@นตอนแรก คWอแปลงแหลงจาย 12V กบตวตานทาน Ω3 ไปเปgนแหลงจายกระแส 4A ตอ ขนานกบตวตานทาน Ω3 ตอจากน!นขนานตวตานทาน Ω3 กบ Ω6 ได Ω2 และแปลงแหลงจาย กระแสกลบไปเปgนแหลงจายแรงดน ข!นตอนการท1าแสดงไดในร`ป 3.21 ถงตรงน! วงจรจะอย`ในร`ป งายมากและเราสามารถค1านวณก1าลงทโหลดไดอยางงาย

L

2

LL R

R98p

+

=

จากวงจรสมม`ลร`ป 3.21 ง) แรงดนตกครอมเทากบ 8V เมWอ LR มคาเทากบ ∞ ตอจากน!จะใชทฤษฎ บทของนอรตนในการหาวงจรสมม`ลจากการแปลงแหลงจายแรงดนในวงจรสมม`ลใหเปgนแหลงจาย

12 V 6 Ω

3 Ω 7 Ω

LR

วงจรขาย ก วงจรขาย ข


กระแสจะได A98 เมWอ 0R L = และไดก1าลงส`งส\ดเทากบ W

916 ทโหลดความตานทาน Ω9 จาก

หลกการถายโอนก1าลงสงส\ด

ร`ป 3.21 ข!นตอนการแปลงวงจรขาย ก ใหเปgนวงจรสมม`ลเทเวนน

ถาวงจรขาย ก (ดานซายมWอ) มความซบซอนมากท1าใหย\งยากในการใชการแปลงแหลงจาย และการรวมตวตานทาน เพWอจดใหอย`ในร`ปวงจรสมม`ลเทเวนนหรWอวงจรสมม`ลนอรตน หรWอถามแหลงจายควบค\มวธการแปลงแหลงจายจะไมสามารถใชได ดงน!นจ1าเปgนตองใชทฤษฎบทของ เทเวนนเพWอชวยสรางวงจรสมม`ลเมเวนนซงท1าใหงายข!น ทฤษฎบทของเทเวนนกลาวดงน! “พจารณาวงจรเชงเส นใดๆ ทาการแบงวงจรขายออกเปน 2 สวน ค!อวงจรขาย ก และวงจรขาย ข โดย ม&จ'ดเช!(อมตอก*นด วยเส น 2 เส น ท&(ไมม&ความต านทาน ถ าแตละวงจรขายม&แหลงจายควบค'ม ต*วแปรท&(ควบค'มจะต องอย.ในวงจรขายเด&ยวก*น นยาม OCv ค!อแรงด*นเป/ดวงจรท&(ปรากฏท&(จ'ดเช!(อม ตอระหวางวงจรขาย ก และวงจรขาย ข เม!(อท*1งสองวงจรขายแยกออกจากก*น จะทาให ไมม&กระแส

6 Ω3 Ω

7 Ω

LR

วงจรขาย ก

4 A

ก)

2 Ω7 Ω

LR

วงจรขาย ก

4 A

ข)

วงจรขาย กค)

8 V

2 Ω 7 Ω

LR

วงจรขาย กง)

8 V

9 Ω

LR


ไหล ผานจากวงจรขายหน3(งไปอ&กวงจรขายหน3(ง ด*งน*1นคากระแสและแรงด*นในวงจรขาย ก จะไม เปล&(ยน แปลงถ าวงจรขาย ข ถ.กทาลาย ( แหลงจายแรงด*นอสระท'กต*วในวงจรขาย ก แทนด วยการ ล*ดวงจรและแหลงจายกระแสอสระท'กต*วแทนด วยการเป/ดวงจร ) ซ3(งจะได วงจรสมม.ลของเทเวนน ค!อแหลงจาย OCv ท&(ม&ข*1วท&(ถ.กต องตออน'กรมก*บต*วต านทาน (ท&(ได จากการทาลายแหลงจายในวงจร ขาย ก แล ว)”

ตวอยาง 3.14 จงใชทฤษฎบทของเทเวนนกบวงจรร`ป 3.20 เพWอหาวงจรสมม`ลเทเวนนโดย ใหวงจรขาย ก อย`ทางซายมWอของโหลด LR

วธท!า ปลดโหลด LR ออกและหาแรงดนเป|ดวงจร OCv ไดเทากบ 8 V และท1าใหวงจร ขาย ก ไมท1างาน (ตาย) โดยการแทนแหลงจายแรงดน 12 V ดวยการลดวงจร ซงจะหาคาความตาน ทานไดเทากบ Ω7 ตออน\กรมกบผลขนานของ Ω6 และ Ω3 จะได Ω9 ผลลพธทไดถ`กตองตรงกบ ตวอยาง 3.13 ตวตานทานทอย`กบวงจรสมม`ลเทเวนน เรยกวา ตวตานทานเทเวนน ( )thR ทฤษฎบท ของนอรตนมความคลายกนกบทฤษฎบทของเทเวนน แตเปgนในลกษณะค`เสมอกน (duality) ดงน! “ พจารณาวงจรเชงเส นใดๆ ท&(สามารถแบงออกเปน 2 สวนค!อวงจรขาย ก และวงจรขาย ข ท&(ตอก*น ด วยสายต*วนา 2 เส น สมม'ตค!อจ'ด C และ D ถ าท*1งสองวงจรขายประกอบด วยแหลงจายควบค'ม ต*วแปรควบค'มจะต องอย.ในวงจรขายเด&ยวก*น นยาม SCi ค!อ กระแสล*ดวงจรปรากฎท&(ข*1ว C และ D เม!(อม&การล*ดวงจร ทาให ไมม&แรงด*นตกครอม C และ D ด*งน*1นคากระแสและแรงด*นท'กคาในวงจร ขาย ข ไมเปล&(ยนแปลง ถ าวงจรขาย ก ถ.กทาลาย (แหลงจายแรงด*นอสระท'กต*วถ.กแทนด วยการล*ด วงจรและแหลงจายกระแสท'กต*วต านทานด วยการเป/ดวงจร) วงจรสมม.ลของนอร6ต*นท&(ได ค!อ แหลง จายกระแสอสระ SCi ท&(ม&ทศทางถ.กต องตอขนานก*บคาความต านทานของวงจรขายถ.กทาลายแล ว”

วงจรสมม`ลนอรตน คWอ แหลงจายกระแสลดวงจร SCi ตอขนานกบตวตานทาน thR ความ สมพนธระหวางวงจรสมม`ลเทเวนนและนอรตนของวงจรความตานทานคWอ

SCthOC iRv = (3-29)ในวงจรความตานทานทประกอบไปดวยแหลงจายควบค\มและแหลงจายอสระก_ยงสามารถ

ใชทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตนหาวงจรสมม`ลได โดยการหาแรงดนเป|ดวงจรOCv กระแสลดวงจร SCi และความตานทานเทเวนน thR สมการ (3-29) มประโยชนอยางมากใน

การตรวจสอบความถ`กตอง


ตวอยาง 3.15 จงหาวงจรสมม`ลเทเวนน และนอรตนของวงจรร`ป 3.22 โดยใหความตานทาน Ωk1 เปgนวงจรขาย ข

ร`ป 3.22 ก) ใหความตานทาน Ωk 1 จงเปgนเน_ตเวรค ข ข) วงจรสมม`ลเทเวนน ค) วงจรสมม`ลนอรตน

วธท!า วงจรน!ไมมแหลงจายควบค\มงายในการหาวงจรสมม`ลเทเวนน โดยเฉพาะตวตาน ทานเทเวนน thR เรมจากค1านวณหา OCv และ SCi แรงดนเป|ดวงจร OCv หาไดโดยการใชทฤษฎ การทบซอน คร!งแรกคดผลตอบสนองของแหลงจาย 4V กระท1าตอแรงดนเป|ดวงจรได 1OCv = 4 V คร!งทสองคดผลตอบสนองแหลงจาย 2mA กระท1าตอแรงดนวงจรเป|ดได 2OCv = 4 V คดผลรวมท ได OCv = 4 + 4 = 8 V หา SCi ไดโดยใชทฤษฎทบซอนและหลกการแบงกระแสดงน!

322)2(

324iii mA2SCV4SCSC +

++

=+=

mA6.18.08.0 =+=

4 V 2 mA

2 kΩ 3 kΩ

1 kΩ

ก)

ข)

8 V

5 kΩ

1 kΩ 1.6 mA 5 kΩ 1 kΩ

ค)


คาความตานทานเทเวนน หาไดจากการท1าใหแหลงจายอสระท!งหมดในวงจรขาย ก ไมท1างาน โดย แหลงจายแรงดน 4 V ลดวงจรและแหลงจาย 2mA เป|ดวงจร จะได Ωk2 อน\กรม Ωk3 เทากบ Ωk5 ตรวจสอบค1าตอบจะได SCthOC iRv = )10*6.1(10*58 33 −= ถ`กตอง

ตวอยาง 3.16 จงหาวงจรสมม`ลเทเวนนของวงจรร`ป 3.23

ร0ป 3.23 วงจรทตองการหาวงจรสมม`ลเทเวนน

วธท!า วงจรน!มแหลงจายควบค\มอย`ท1าใหการหา thR มความย\งยาก ดงน!น ควรจะหา OCv

และ SCi กอน และหลงจากน!นใชความสมพนธ SCthOC iRv = หาคา thR แรงดน OCv ซงในทน! XOC vv = และกระแสทมาจากแหลงจายกระแสควบค\มจะไหลผานตวตานทาน Ωk2 เพราะเมWอ

วงจรเป|ดแรงดนรวมของล`ปนอกเทากบ 0v)0(10*3)

4000v

(10*24 X3X3 =++

−+−

OCX v8v ==

หา SCi เมWอ 0v X = แหลงจายกระแสควบค\มเทากบศ`นย ดงน!นmA8.0

)10*5(4i

3SC ==

ดงน!นΩ===

−k10

10*8.08

iv

R3

SC

OCth

ตวอยาง 3.17 จงหาวงจรสมม`ลของวงจรตามแรงดน (voltage follower) ร`ป 3.24 วธท!า หา LOCv โดยก1าหนดให ∞=LR หรWอพจารณางาย ๆ โดยการปลด LR ออกท1าให

ไมมกระแสไหลผานความตานทาน Ωk2

4 V

2 kΩ 3 kΩ

Xv4000

Xv 8 V

10 kΩ


ร0ป 3.24 วงจรตามแรงดน

i4

LOC v10v −=

5vv LOCi −=

จะได V0.510001

)5(10v

4

LOC ==

ตอจากน!นหาคา LSCi ดวยการแทน 0R L = หรWอลดวงจร และใช KVL ในเมชขวา 0i2000v10 LSCi

4 =+

และ KVL เมชนอก 0v5 i =−−

0i2000)5(10 LSC4 =+−

และ A0.25i LSC =

หา thR ไดΩ=== 2.0

0.250.5

iv

RLSC

LOCth

ดงน!นวงจรสมม`ลเทเวนนคWอแหลงจายเป|ดวงจร 5V ตออน\กรมกบ Ω= 2.0R th

ตวอยาง 3.18 จงหาวงจรสมม`ลเทเวนนในวงจรร`ป 3.25 วธท!า เราไมสามารถหา OCv และ SCi ไดเพราะไมมแหลงจายอสระในวงจรเลย เราจงหา

thR โดยการใชการตอแหลงจายขนาด 1A ตอภายนอก และวดแรงดนทตกครอม จากน!นใชกฎของ โอหมหา thR ( )thR v 1= ได

5 V2 kΩ

4i10 v

Li

iv

LRLv


ร0ป 3.25 วงจรทไมมแหลงจายอสระ

จากร`ป 3.25 คดสมการทปม v ได1

2v

3)1(5.1v

=+−−

ดงน!น v = 0.6 Vและ Ω= 6.0R th

จากตวอยางท!งสองไดแสดงใหเห_นวธในการหาวงจรสมม`ลเทเวนนหรWอวงจรสมม`ลนอรตน แลว ตวอยางแรก (ร`ป 3.22) มเฉพาะแหลงจายอสระ เราสามารถหาวงจรสมม`ลไดหลายวธ ในตว อยางทสองและสาม (ร`ป 3.23, 3.24) มท!งแหลงจายอสระและแหลงจายควบค\ม มวธเดยวในการหาวงจรสมม`ลคWอหา OCv และ SCi กอน แลวหลงจากน!นจงหา thR จากความสมพนธ SCthOC iRv =

เพราะวาแหลงจายควบค\มไมสามารถระบ\คาความตานทานทแนนอนได สวนตวอยางส\ดทายไมม แหลงจายอสระในวงจร วงจรสมม`ลจะเปgนตวตานทานอยางเดยวการหา thR ท1าไดโดยตอแหลง จายกระแสทมขนาด 1A และหา thR จากสมการ thR v 1= หรWอตอแหลงจายแรงดนทมขนาด 1V และหา thi 1 R= ก_ไดเชนกน

จากการแกปuญหาของการหาวงจรสมม`ลเทเวนนหรWอวงจรสมม`ลนอรตน สามารถสร\ปวธการหาค1าตอบไดเปgนตารางท 3.1

นอกจากน!ยงมวธทไมไดสร\ปลงในตาราง เชน การแปลงแหลงจายสามารถใชไดกบวงจรท ไมมแหลงจายควบค\ม และเปgนวงจรทไมซบซอนนก เราสามารถใชทฤษฎบทของเทเวนน และ ทฤษฎบทของนอรตนไดกบวงจรทเปgนเชงเสนเทาน!นโดยเนนแตเฉพาะวงจรขาย ก เทาน!นทจ1าเปgน จะตองเปgนเชงเสน

1.5i

3 Ω i

2 Ω

ก)

1.5i

3 Ω i

2 Ω

ข)

v 1 A 0.6 Ω

ค)


ตารางท6 3.1วงจรประกอบดวย

วธการ ตวตานทานแหลงจายอสระ

ตวตานทานแหลงจายอสระ

แหลงจายควบค\ม

ตวตานทานแหลงจายควบค\ม

thR และ OCv (หรWอ SCi ) ใชได ใชไมได ใชไมไดOCv และ SCi สามารถใชได ใชได ใชไมได

I = 1 A หรWอ v = 1 V ใชไมได ใชไมได ใชได

3.7 ทรและการวเคราะหแบบปมท6วไป (Tree and general nodal analysis)

ในหวขอน! เราจะศกษาการวเคราะหแบบปมทวไป ดวยวธการน!จะท1าใหเราวเคราะหวงจรใดๆ ไดอยางงายข!น

เราจะเรมจากการนยามสงทเกยวของกบร`ปแบบของวงจรขาย (topology) แตกอนอWนมาท1า ความร`จกกบร`ปแบบของวงจรขายกอน

ร`ปแบบของวงจรขาย คWอ กล\มของกงทตอกนเปgนร`ปทรงและมค\ณสมบตทางร`ปทรงโดยเฉพาะซงจะไมมการเปลยนแปลงเมWอท1าการบด หรWองอ ท!งน!โดยทไมไดมการตดหรWอรวมปมเขาดวยกน ร`ปทรงกลมและร`ปแปดเหลยมจะมร`ปแบบของวงจรขายทเหมWอนกน และเหมWอนกนกบสเหลยมและวงกลม ในเทอมของการวเคราะหวงจรแบบน! เราจะไมพจารณาชนดของอ\ปกรณตางๆในวงจร แตเราจะสนใจแตกงและ ปมทตอเขาดวยกน ดงน!นในทางปฎบตเราจะเขยนวงจรโดยการแทนคาอ\ปกรณตางๆเปgนเสนตรง การวาดร`ปในลกษณะน!เราจะเรยกวา กราฟเชงเสน (linear graph) หรWอกราฟอยางงาย วงจรทวาดไดแสดงดงร`ป 3.26 หมายเหต ปมท!งหมดจะแสดงดวยวงกลมตว หนาในกราฟ

เมWอค\ณสมบตของร`ปแบบของตาขายของวงจรหรWอกราฟไมมการเปลยนแปลง กราฟท!งสามดงร`ป 3.27 มร`ปแบบของตาขายทเหมWอนกบวงจรและกราฟในร`ป 3.26

นยามร`ปแบบของตาขายทเราตองร`เพWอใชใหถ`กตองตอไป


ปม (node) คWอจ\ดทเชWอมตอกนของอ\ปกรณมากกวาสองตววถ (path) คWอกล\มของอ\ปกรณทตอเชWอมโยงกนอยางตอเนWองโดยไมใชปมเดมสองคร!งก6ง (branch) คWอ อ\ปกรณหนงตว (วถของอ\ปกรณตวเดยว)วง (loop) คWอวถป|ดเมช (mesh) คWอวงทเล_กทส\ดทไมมวงอย`ภายในวงจรขายระนาบ (planar circuit) คWอวงจรทสามารถแผราบบนพW!นระนาบแลว ไมมกงใด

ซอนทบกนวงจรขายไมระนาบ (planar circuit) คWอวงจรใดๆ ทไมใชวงจรขายระนาบ

ร0ป 3.26 ก) วงจร ข) กราฟเชงเสนของวงจร

ร0ป 3.27 กราฟทเขยนแตกตางกนสามร`ปแบบ แตมร`ปแบบของตาขายทเหมWอนกนในแตละแบบ และเหมWอนกบกราฟในร`ป 3.26 ข) โดยแตละกราฟคWอกราฟของวงจรทแสดงดงร`ป 3.26 ก)

ก) ข)

ก) ข) ค)


กราฟของร`ป 3.28 แตละร`ปจะม 12 กง 7 ปม

ร0ป 3.28 ก) กราฟเชงเสนของวงจรขายสามปม ข- จ) ร`ปแบบของทร 4 ร`ปแบบทแตกตางกน

ค\ณสมบตใหม 3 อยางของกราฟเชงเสนทตองนยามมดงน! ทร (tree), โคทร (cotree) และกงเชWอม (link) เรมจากนยาม ทร คWอกล\มของกงใดๆ ทตอกนไมไดเปgนวงใดๆ และตอเชWอมกบท\กปม โดยไมจ1าเปgนตองเปgนทางตรง โดยปกตจะมจ1านวนของทรทแตกตางกนไดส1าหรบวงจรขายใดๆ และจะมจ1านวนเพมข!นสอดคลองกบความซบซอนของวงจรทมมากข!น กราฟของวงจรอยางงายแสดงดงร`ป 3.28 ก) มทรทเปgนไปได 8 ร`ปแบบ จ1านวนของทรครงหนงแสดงดงร`ป 3.28 ข- จ)

ร0ป 3.29 ก) กราฟเชงเสน ข) ทรทเปgนไปไดของกราฟน! ค) และ ง) กล\มของกงเหลาน!ทไมเปgนไปตามนยามของทร

ในร`ป 3.29 ก) แสดงกราฟทมความซบซอนมากข!น ร`ป 3.29 ข) แสดงทรแบบหนงทเปgนไปได และร`ป 3.29 ค) และ ง) แสดงกล\มของกงทไมใชทรเพราะวาไมเปgนไปตามนยาม

หลงจากไดเขยนทรแลว กงทเหลWอทไมใชสวนหนงของทรเราจะเรยกวา โคทร หรWอสวนเตมเต_มของทร (เมWอรวมทรเขากบโคทรจะไดกราฟวงจรนนเอง) ร`ป 3.28 ข- จ) แสดงโคทร (เสนประ) สอดคลองกบทร (เสนทบ)

ก) ข) ค) ง) จ)

ก) ข) ค) ง)


เมWอเราเขาใจการสรางทรและโคทรแลว หลกการของกงเชWอมจะไมยากในการท1าความเขา ใจซงกงเชWอมคWอ กงใดๆ ทเปgนของโคทร จะเห_นไดชดเจนวา กงตางๆ จะเปgนหรWอไมเปgนกงเชWอมไดข!นอย`กบทรทเลWอก

จ1านวนของกงเชWอมในกราฟจะเกยวเนWองกบจ1านวนของกงและปม ถากราฟม N ปม การสรางทรตองการ (N-1) กง เพราะวากงแรกทเลWอกจะตอเชWอมกบ 2 ปม และแตละกงทเพมมาจะใชปมมากข!นอก 1 ปม ดงน!นถาม N กง จ1านวนของ กงเชWอม L จะตองเปgน

L B (N 1)= − −

หรWอ L B N 1= − + (3-30)เมWอ B คWอจ1านวนของกง N คWอจ1านวนของปม และ L คWอจ1านวนของกงเชWอม ซงม L กงในโคทรและ (N-1) กงในทร

ในกราฟตางๆ ทแสดงในร`ป 3.28 เราจะไดวา 3 = 5 – 3 + 1 และในกราฟดงร`ป 3.29 จะได 6 = 10 – 5 + 1 ถาวงจรขายมหลายสวนทไมตอเนWอง และสมการ (3-30) อาจจะท1าใหใชไดโดยทว ไปโดยแทน +1 ดวย +S เมWอ S คWอจ1านวนของสวนทแยกออกมา อยางไรก_ตามเปgนไปไดในการตอกนของสองวงจรทใชสายตวน1าเสนเดยว ดงน!นจะท1าใหปมสองปมกลายเปgนปมเดยว ไมมกระแสไหลผานตวน1าเสนเดยว (เพราะไมครบวงจร) ซงกระบวนการน!อาจจะใชในการตอเชWอมวงจรสองวงจร ดงน!นเพWอใหสามารถใชสมการ (3-30) ไดเราจะก1าหนดให S เทากบ 1 ในกรณเชนน!

เราพรอมทจะเขยนกล\มของสมการปมทประกอบดวย สมการอสระทเพยงพอในการหาค1าตอบทตองการ ดวยวธการน!จะท1าใหเราไดสมการทหลากหลายจ1านวนมากส1าหรบวงจรขายเดยว กนและท\กสมการจะมความถ`กตอง อยางไรก_ตามวธการน!จะไมใหสมการท!งหมดทเปgนไปได เพWออธบายข!นตอนการท1า เราจะศกษาจากการพจารณาตวอยาง 3 ตวอยาง และจากน!นจงจะสร\ปเหต\ผลทระบ\วาสมการท!งหมดมความเปgนอสระและมจ1านวนพอเพยงตอการหาค1าตอบ

จากวงจรขาย เราควรท1าดงน!1. วาดกราฟและหาทร2. วางแหลงจายแรงดนในทร3. วางแหลงจายกระแสในโคทร4. วางกงของแรงดนควบค\มส1าหรบแหลงจายแรงดนควบค\มท!งหมดอย`ในทร (ถาเปgนไปได)5. วางกงของกระแสควบค\มส1าหรบแหลงจายกระแสควบค\มท!งหมดอย`ในโคทร (ถาเปgนไป

ได)


ข!นตอน 4 ขอหลงเปgนข!นตอนทมประสทธภาพเพWอจดใหกงทสอดคลองกบแรงดนเปgนทร และจดกงทสอดคลองกบกระแสใหเปgนโคทร

เราจะก1าหนดใหตวแปรแรงดน (ค`ของข!วบวกลบ) ครอมแตละ (N-1) กงในทร กงทมแหลงจายแรงดน (อสระหรWอควบค\ม) ควรจะก1าหนดใหเปgนแหลงจายแรงดน และกงทมตวแปรแรงดนควบค\ม ควรก1าหนดใหเปgนแรงดนควบค\ม จ1านวนของตวแปรใหมทเราไดเขยนจะมจ1านวนเทากบกงในทร (N-1) ลบดวยจ1านวนของแหลงจายแรงดนในทร และลบดวยจ1านวนของตว แปรแรงดนควบค\มทอย`ในทร ในตวอยางขางลาง เราจะหาจ1านวนของตวแปรใหมทตองการไดซงอาจเปgนศ`นยไดในกรณของตวอยางท 3 (ร`ป 3.32)

ถาตองการหาตวแปรตางๆ เราจ1าเปgนตองเขยนกล\มของสมการทเพยงพอเพWอหาตวแปรเหลาน!น สมการจะเขยนไดจากการประย\กตใช KCL แหลงจายแรงดนจะคดในลกษณะเดยวกนกบการคดดวยวธวเคราะหแบบปม แตละแหลงจายแรงดนและปมท!งสองทข!วของแหลงจายแรงดนจะถกก1าหนดใหเปgนซ\ปเปอรปมหรWอสวนหนงของซ\ปเปอรปม เราจะเขยนสมการทปมท!งหมดดวย KCL ยกเวนปมหนงปมทเหลWออย` (ปมอางอง) และซ\ปเปอรปม เราก1าหนดใหผลรวมของกระแสไหลออกจากปมในกงท!งหมดทตออย`กบปมมคาเทากบศ`นย กระแสแตละตวจะแสดงดวยเทอมของตวแปรแรงดนทเราเพงก1าหนด ปมหนงปมอาจละเลยเหมWอนกรณกอนหนาน!ส1าหรบปมอางอง ในทส\ดในกรณทมแหลงจายกระแสควบค\ม เราตองเขยนสมการส1าหรบแตละตวแปรกระแสควบ ค\มทเกยวของกบตวแปรแรงดน วธการทใชไมมความแตกตางจากวธการทใชในการวเคราะหแบบปม

ลองท1ากบวงจรดงร`ป 3.30 ก) ทม 4 ปม 5 กง ซงแสดงดวยกราฟดงร`ป 3.30 ข) สอดคลอง กบข!นตอนท 2 และ 3 ของการวาดทรตามข!นตอน เราจะวางแหลงจายแรงดนในทรและแหลงจายกระแสในโคทร ข!นตอนท 4 เราจะก1าหนดใหกง Xv วางในทร เมWอมนไมไดเปgนวง (ไมขดแยงกบนยามของทร) เราจะมกง 2 กงในทรและ 1 กงเชWอมดงร`ป 3.30 ค) และเรายงไมไดทรเมWอปมทางดานขวายงไมไดตอกบกงอWนๆ ของทร ทางเดยวทเปgนไปไดเพWอสรางทรทสมบ`รณแสดงดงร`ป 3.30 ง) แหลงจายแรงดน 100 V และตวแปรแรงดนควบค\ม Xv และตวแปรแรงดน 1v อนใหมรวมกนเปgน 3 กงของทร

เรามตวแปรไมทราบคา 2 ตวคWอ Xv และ 1v ดงน!นเราตองการสรางสมการอยางนอย 2 สมการในเทอมของตวแปรท!งสอง ในวงจรน!ม 4 ปม แตการมแหลงจายแรงดนท1าให 2 ปมอย`ในร`ปของซ\ปเปอรปม ประย\กตใช KCL ทปมใดๆ 2 ปมของปมทเหลWอ (3 ปม) หรWอทซ\ปเปอรปม เรมคด


ปมแรกจากปมขวาส\ด กระแสไหลออกไปทางซายเทากบ 1v 15− ขณะทกระแสไหลลงดานลางเทากบ Xv 14− ดงน!นจะไดสมการแรกคWอ

1 Xv v 015 14

− − =

ร0ป 3.30 ก) วงจรทใชเปgนตวอยางส1าหรบการวเคราะหแบบปมโดยทวไป ข) กราฟของวงจร ค) แหลงจายแรงดนและตวแปรแรงดนควบค\มวางในทรขณะทแหลงจายกระแสวางในโคทร

ทปมตรงกลางดานบนมองงายกวาซ\ปเปอรปม ดงน!นเราจะไดผลรวมของกระแสไปทางดานซายคWอ Xv 8− กระแสไปทางขวาคWอ 1v 15 และกระแสไหลลงดานลางผานตวตานทาน 4Ω มคาเทากบศ`นย กระแสดงกลาวไดจากแรงดนตกครอมหารดวยคาตวตานทาน 4Ω แตไมมการก1าหนดแรงดนบนกงเชWอมน!น อยางไรก_ตามเมWอทรถ`กสรางข!นจากความตานทานของนยามจะมทางเดนผานมนจากปมใดๆไปปมอWนๆ ดงน!นเมWอกงท!งหลายในทร ก1าหนดใหเปgนแรงดน เราจะแทนแรงดนตกครอมกงเชWอมใดๆ ในเทอมของแรงดนในกงของทร กระแสไหลลงดานลางคWอ ( )Xv 100 4− +

และเราจะไดสมการทสองคWอX 1 Xv v v 100 0

8 15 4− +− + + =

8 Ω

Xv14

15 Ω

4 ΩXv

100 V

ข) ค) ง)

ก)Xv 1v

100 V


หาค1าตอบไดจากสมการท!งสองคWอ 1v 60 V= − และ Xv 56 V=

ในตวอยางทสอง พจารณาวงจรทมความซบซอนมากข!น เรมตนดวยการก1าหนดปมแรงดนเทยบกบปมอางอง วงจรในร`ป 3.5 (แสดงในร`ป 3.31 ก)) เราวาดทรไดพรอมกบก1าหนดตวแปรตางๆ ทรประกอบดวย 4 กงดงร`ป 3.31 ข) และแรงดนของทรคWอ X yv , 1 , v และ y4v

ท!งแหลงจายแรงดนทนยามเปgนซ\ปเปอรปม และใช KCL สองคร!ง จะไดสมการจากปมบนส\ดคWอ

( )X X y y2v 1 v v 4v 2+ − − =

และอกสมการจากซ\ปเปอรปม (แหลงจายแรงดนควบค\ม) ทประกอบดวยปมทางดานขวา และปมดานลาง

( ) ( )y y y y X X1v 2 v 1 1 4v v v 2v+ − + + − =

แทนทจะไดสสมการ ตอนน!เราไดแคสองสมการ แตเราจะหาตวแปรไดอยางงายดายคWอ Xv 26 9 V= และ yv 4 3 V=

ร0ป 3.31 ก) วงจรของร`ป 3.5 ข) การเลWอกทรทมกงของท!งแหลงจายแรงดนและตวแปรแรงดนควบค\ม

2

Xv

ก)

1 V

1

2 1

y4v

2 A

X2v

yvyv

Xv

1 V

y4v

ข)


ส1าหรบตวอยางส\ดทายพจารณาร`ป 3.32 ก) แหลงจายแรงดนสองตวและตวแปรแรงดนควบค\ม ก1าหนดใหเปgนทร แสดงดงร`ป 3.32 ข) เมWอสองปมบน และปมดานขวาลางท1าเปgนซ\ปเปอรปม (ปมเดยว) สามารถเขยนสมการ KCL ไดหนงสมการ จากปมดานลางซายจะไดสมการ

X X Xv v 30 6v1 3 04 5

− + +− − + + =

และหา Xv 32 3 V= − ท!งๆ ทวงจรน!มความซบซอน แตเมWอประย\กตใชการวเคราะหแบบปมโดยทวไปแลวเราจะสามารถหาค1าตอบไดอยางงายดาย ผดกบการก1าหนดกระแสเมชหรWอแรงดนทปมเทยบกบปมอางองซงตางก_ลวนตองการสมการทมจ1านวนมากกวา

ร0ป 3.32 ก) วงจรทใชการวเคราะหแบบปมโดยทวไปเขยนสมการไดเทาน!น ข) ทรและกงของแรงดนทรทใช

ถาเราตองการร`คาแรงดน กระแส หรWอก1าลงบางคาในตวอยางกอนหนาน! ข!นตอนการหาจะเพมข!นอก 1 ข!นตอน ตวอยางการหาก1าลงทจายใหแกแหลงจายกระแส 3 A คWอ

( )3 30 32 3 122W− − = −

สร\ปไดวาประสทธภาพของวธการน!เกดข!นจากการก1าหนดทรใหเปgนกงของตวแปรแรงดนและตวแปรแรงดนควบค\มในสมการปม ถากงของแรงดนในทรมพอเพยง หลงจากน!นแรงดนของกงตางๆไมวาจะอย`ในทรหรWอโคทรจะตองทราบคาจากแรงดนในกงของทรท!งหมด ส1าหรบกงเชWอม

ก) ข)

XvX6v

30 V30 V

2 A

5 Ω

4 Ω1 AX6v3 A

Xv


เราร`วาแตละกงเชWอมตอระหวาง 2 ปม และจากการนยามทรจะตองตอระหวางปมท!งสอง ดงน!นท\กๆ แรงดนทกงเชWอมจะแสดงไดในเทอมของแรงดนทกงของทร

เมWอเราทราบคาแรงดนตกครอมท\กๆ กงในวงจร จะสามารถหากระแสท!งหมดไดไมวาจะโดยใชคาทใหของกระแสถากงประกอบดวยแหลงจายกระแส หรWอกฎของโอหมถาเปgนกงของตวตานทาน หรWอใช KCL ถาเปgนกงแหลงจายแรงดนซงจะไดกระแสทเปgนผลมาจากกระแสตางๆ เหลาน!น ดงน!นแรงดนและกระแสท!งหมด จะหาไดอยางมประสทธภาพ

อยางทกลาวไปแลว แหลงจายแรงดนอสระในวงจรจะท1าใหเขยนสมการไดจ1านวนนอย ขณะทแหลงจายควบค\มโดยปกตตองการจ1านวนของสมการทมากกวา เพWอแสดงความเปgนอสระ เราจะสมม\ตวาวงจรขายมเฉพาะแหลงจายกระแสอสระ ส1าหรบแหลงจายกระแสอสระเพยงอยางเดยวจะเขยนสมการปมได (N-1) สมการ ซงเขยนในเทอม (N-1) แรงดนทกงของทร เพWอแสดงสมการเหลาน! (N-1) สมการวาเปgนอสระ การประย\กตใช KCL กบปมตางๆ (N-1) ปม แตละคร!งทเขยนสมการ KCL จะมกงของทรใหมเกยวของดวยซงมนจะตอเชWอมปมน!นกบทรทเหลWอ เมWออ\ปกรณน!นไมปรากฎในสมการใดๆ กอนหนา เราจะไดสมการอสระ ซงเปgนความจรงส1าหรบแตละ (N-1) ปมและดงน!นเราจะได (N-1) สมการอสระ

3.8 ก6งเชY6อมและการวเคราะหแบบวง (Links and loop analysis)

ในหวขอน!เราพจารณาการใชทรเพWอเขยนกล\มของสมการวงทเหมาะสม เราสามารถมองไดวาวธการน!เปgนค`เสมWอนกบการเขยนสมการปม ในลกษณะเดยวกนเราสามารถสรางกล\มของสมการทรบประกนไดถงความเปgนอสระและมจ1านวนเพยงพอ แตเราก_ไมไดคาดหวงวาวธน!จะแสดงกล\มของสมการท!งหมดทเปgนไปได

เราจะเรมจากการสรางทร โดยใชกฎการเขยนเหมWอนกบการวเคราะหแบบปมโดยทวไป วตถ\ประสงคของการวเคราะหท!งแบบปมและแบบวงตางก_จะวาดแรงดนในทรและกระแสในโคทร กฎน!ใชไดกบท!งแหลงจายและตวแปรควบค\ม

ตอนน!อยางไรก_ตามแทนทจะก1าหนดแรงดนในแตละกงในทร เราจะก1าหนดกระแส (รวมท!งทศทางของกระแส) ใหกบแตละอ\ปกรณในโคทรหรWอแตละกงเชWอม ถาวงจรม 10 กงเชWอม เราจะก1าหนดกระแสในกงเชWอมท!ง 10 กงเชWอม กงเชWอมใดๆ ทมแหลงจายกระแส เราจะก1าหนดใหแหลงจายกระแสเปgนกงเชWอมกระแส ซงแตละกงกระแสอาจคดเปgนวงกระแส ส1าหรบกงเชWอมจะตอง


ขยายระหวางปมทเฉพาะ 2 ปม และจะมวถระหวางปมท!งสองทเหมWอนกนผานทร ดงน!นกบแตละกงเชWอมจะมวงเดยวทรวมหนงกงเชWอมและวถเฉพาะผานทร จะเห_นอยางชดเจนวากระแสอาจจะก1าหนดไมวาจะเปgนกระแสวงหรWอกระแสกงเชWอม กงเชWอมจะมประโยชนตอนเวลาทกระแสไดถ`กก1าหนดส1าหรบแสดงในแตละกงเชWอมวงจะท1าใหสะดวกสบายในการเขยนสมการ เพราะวาเราใช KVL รอบแตละวง

พจารณาตวอยางข!นตอนการคด โดยเรมจากการก1าหนดกระแสในกงเชWอมในตวอยางกอนหนาน! วงจรแสดงดงร`ป 3.12 ซงวาดใหมไดดงร`ป 3.33 ก) การเลWอกทรไดแบบหนงของทรทเปgนไปได (โดยแหลงจายแรงดนอย`ในทรและกระแสอย`ในกงเชWอม) พจารณากงเชWอมทมแหลงจายกระแส วงทมกงเชWอมน!อย`คWอเมชซายมWอ ดงน!นเราแสดงกระแสในกงเชWอมไหลรอบเมชน!ดงร`ป 3.33 ข) คาของกระแสกงเชWอมคWอ 7A จ1าไววาไมมกระแสอWนใดสามารถไหลผานกงเชWอมเฉพาะน!ไดและดงน!นคากระแสจะตองมคาเทากบแหลงจายกระแสเทาน!น

เราพจารณาทตวตานทาน 3Ω วงของเมชดานบนและกระแสของวงน! (หรWอเมช) ก1าหนดใหเปgน Ai ดงร`ป 3.33 ข) กงเชWอมส\ดทายคWอตวตานทาน 1Ω ดานลาง และโดยเฉพาะวถระหวางข!วผานทรรอบวงจร กระแสกงเชWอมเรยกวา Bi และทศทางแสดงวถและทศทางอางองแสดงดงร`ป 3.33 ข) ซงไมใชกระแสเมช

ร0ป 3.33 ก) วงจรของร`ป 3.12 ข) ทรทเลWอก

7 V

7 A

2 Ω

3 Ω

1 Ω 2 Ω

1 Ω

7 A

Ai

Bi

ก) ข)


แตละกงเชWอมจะมกระแสเพยงคาเดยว แตกงของทรอาจจะมตวเลขใดๆ ไดจากหนงถงจ1านวนโดยรวมของกงเชWอมทก1าหนด การใชเสนวงทยาวและสวนมากจะวนใหเปgนวงป|ดมประโยชนในการชวยแสดงกระแสในวงทไหลผานกงของทรใดบางและทศทางอางองทก1าหนด

สมการ KVL จะเขยนไดรอบๆ แตละวงท!งหลาย ตวแปรทใชก1าหนดกระแสกงเชWอม เมWอแรงดนครอมแหลงจายกระแสจะไมสามารถแทนในเทอมของแหลงจายกระแส และเมWอเราใชคาของแหลงจายกระแสเปgนกงเชWอมกระแส เราจะละเลยวงใดๆ ทมแหลงจายกระแส

ส1าหรบตวอยางดงร`ป 3.33 เราจะวนรอบวง Ai ตามเข_มนาฬกาจากม\มซายลางส\ด กระแสไหลผานตวตานทาน 1Ω คWอ ( )Ai 7− ในตวตานทาน 2Ω คWอ ( )A Bi i+ และในกงเชWอมทมกระแส Ai จะได

( ) ( )A A B A1 i 7 2 i i 3i 0− + + + =

ส1าหรบกงเชWอม Bi วนตามเข_มนาฬกาจากม\มลางซายจะได( )A B B7 2 i i 1i 0− + + + =

วงทนยามดวยกงเชWอม 7 A (ไมมความจ1าเปgน) หาค1าตอบได Ai 0.5A= และ Bi 2A= และอกคร!ง ค1าตอบจะไดจากสมการทมนอยกวาการวเคราะหแบบเมช

ร`ป 3.34 ก) แสดงตวอยางทมแหลงจายควบค\มอย`ในวงจร วงจรน!ม 6 ปมและเขยนทรได 5 กงท!งน!เมWอวงจรม 8 อ\ปกรณ และได 3 กงเชWอมในโคทร ถาเราวาดแหลงจายแรงดนในทร และแหลงจายกระแสสองตวและตวแปรกระแสควบค\มในโคทร เราแสดงทรในร`ป 3.34 แหลงจายอสระหาไดจากกระแสวง 11.5i รอบเมชทางขวาและตวแปรกระแส 1i จะท1าใหเรานกถงกระแสวงรอบๆวงจร ซงกระแสท!งสามจะไหลผานตวตานทาน 4Ω

เรามเพยงตวแปรไมทราบคาหนงคา 1i และเราไมสามารถสรางวงจากแหลงจายกระแสท!งสองได เราจะใช KVL รอบเมชดานนอกของวงจร

( ) ( ) ( )1 1 1 130 5 i 19 2 i 4 4 i 4 1.5i 25 0− + − + + − − + − − + − =

แหลงจายแรงดนท!งสามและตวตานทานท!งสามอย`ในวงน! ตวตานทาน 5Ω จะมกระแสวงเดยวทไหลผานมน (เมWอมนเปgนกงเชWอมดวย) ตวตานทาน 2Ω มกระแส 2 วงและตวตานทาน 4Ω มกระแส 3 วง เราควรระมดระวงในการเขยนกล\มของกระแสวงทจ1าเปgนทอาจเกดจากความผดพลาดจากการขามกระแสหรWอความผดพลาดในการก1าหนดทศทางกระแส (ทถ`กตอง) อยางไรก_ตามจะหาคา 1i ไดเทากบ -12 A


เราจะสาธตความพอเพยงไดอยางไร ลองพจารณาทรซงไมมวงและมอยางนอย 2 ปมตอแต ละกงของทรทตอ กระแสในแตละกงของสองกงหาไดอยางงายจากกงเชWอมกระแส โดยการใช KCL ถามปมอWนทมเพยงทรอนเดยวตออย` กระแสของกงของทรเหลาน!นจะหาไดอยางทนททนใด ในทรดงร`ป 3.35 เราหากระแสในกง a), b), c) และ d) ตอนน!เราจะเคลWอนทไปตามกงของทรหาคากระแส ในกงของทร e) และ f) วธการน!จะด1าเนนตอไปจนกระทงหากระแสในกงท!งหมดได กระแสกงเชWอมท!งหลายทมจ1านวนเพยงพอในการหากระแสในกงท!งหมด ซงมประโยชนในการมองในสถาน การณทวาดทรผดพลาด (มวงอย`) ถงแมวากระแสในกงเชWอมท!งหมดเปgนศ`นย กระแสจะยงคงไหลวนในวงของทร ดงน!นกระแสในกงเชWอมจะไมสามารถหากระแสน!ได และจะแสดงถงความไมเพยงพอของสมการ เพราะทรไมเปgนไปตามนยาม

ร0ป 3.34 ก) วงจรทหา 1i ไดโดยใชสมการเดยวจากการวเคราะหแบบวง ข) ทรเดยวทก1าหนดไดตามนยาม ค) กงเชWอมกระแสสามกงแสดงในแตละวง

30 V 4 A

5 Ω 2 Ω

ก)

4 Ω

11.5i1i 19 V

25 V

ข)

ค)

1i

11.5i4A


เพWอแสดงความเปgนอสระของสมการ สมม\ตใหพจารณาเฉพาะวงจรทมแหลงจายแรงดนอสระในวงจรขาย อยางทกลาวไปแลวกอนหนา แหลงจายกระแสอสระในวงจรจะท1าใหเขยนสมการไดนอย ขณะแหลงจายควบค\มโดยทวไปจะเขยนสมการไดจ1านวนมากกวาส1าหรบแหลงจายแรงดนอสระโดยเฉพาะ จะไดสมการของวงเทากบ (B-N+1) สมการซงเขยนในเทอมของ(B-N+1) กระแสกงเชWอม เพWอแสดงสมการวง (B-N+1) วามความอสระ จ1าเปgนตองแสดงโดยใช KVL รอบวงทมกงเชWอมอนเดยวทไมปรากฎในสมการอWนๆ เราจะมองเห_นความแตกตางของตวตานทาน 1 2 B N 1R ,R ,...,R − + ในแตละกงเชWอมและมนจะปรากฎเปgนสมการซงไมไดซ!1ากน และมสมประสทธไมซ!1ากบสมการอWนๆ

ร0ป 3.35 ทรทใชเปgนตวอยางเพWอแสดงความเพยงพอของกระแสกงเชWอม

ดงน!น กระแสกงเชWอมจะมจ1านวนเพยงพอเพWอหาค1าตอบทสมบ`รณ และกล\มของสมการทเราใชหากระแสกงเชWอมจะเปgนกล\มของสมการอสระ

พจารณาท!งวธการวเคราะหแบบปมโดยทวไปและแบบวง เราจะพบขอดและขอเสยของแต ละวธ ดงน!นควรเตรยมตวใหดกอนใชงาน

วธวเคราะหแบบปมโดยทวไปตองการ (N-1) สมการ แตจ1านวนน!จะลดลงทละ 1 ตอการเพมข!นของกงในทร (แหลงจายแรงดนอสระหรWอตวแปรแรงดน) และจะเพมข!นทละ 1 ตอการเพมข!นของแหลงจายควบค\มทเปgนแรงดนควบค\มจาก กงเชWอมแรงดนหรWอกระแสควบค\ม

พW!นฐานของการวเคราะหแบบวงจะม (B – N +1) สมการ อยางไรก_ตามแตละแหลงจายกระแสอสระหรWอแหลงจายกระแสควบค\มในกงเชWอมจะลดจ1านวนสมการลงดวยตวเลข 1 ขณะท

b

a

c

d

e

gf


แตละแหลงจายควบค\มทควบค\มกระแสดวยกระแสในกงทร หรWอควบค\มแรงดนจะเพมจ1านวนสมการดวยตวเลข 1

พจารณาวงจรสมม`ลของแบบจ1าลองร`ป T ของทรานซสเตอรแสดงดงร`ป 3.36 ตออย`กบแหลงจายสญญาณซายน 4sin1000t mV และโหลด 10kΩ เราเลWอกคาโดยทวไปส1าหรบความตาน- ทานอมตเตอร (emitter) er 50= Ω ความตานทานเบส (base) br 500= Ω ความตานทานคอลเล_ก-เตอร (collector) cr 20k= Ω และส1าหรบอตราสวนฟuงกชนถายโอนกระแสไปขางหนาเบสรวม (common-base forward-current-transfer ratio) 0.98α = สมม\ตวาตองการหากระแสอนพ\ท (emitter) ei และแรงดนโหลด Lv

เราจะวาดทรทตองการได 3 กง สมการปมโดยทวไป (N-1-1+1) หรWอ 2 สมการวง (B-N+1-1) ดงน!นเราจะได 3 สมการทตองการในเทอมของแรงดนปมเปรยบกบปมอางองหรWอสมการเมช 2 สมการ จะหาค1าตอบไดดงน!

ei 18.14sin1000t A= µ

Lv 119.6sin1000t mV=

และเราจะหาอตราขยายแรงดนของวงจรทรานซสเตอรได 29.9 อตราขยายกระแส ( )L ev 10000i

เทากบ 0.659 และอตราขยายก1าลงเทากบผลค`ณของ 29.9 (0.659) =19.70

ร0ป 3.36 แหลงจายแรงดนสญญาณซายนและโหลด 10kΩ ตอกบทรานซสเตอร (แทนดวยวงจรสมม`ล T) โดยตอขาเบสใชรวมกนระหวางอนพ\ทและเอาทพ\ทซงเรยกวาการตอแบบเบสรวม

AC brer cr

eiα

10kΩLv

eiEmitter

Base

Collector

sv4sin1000t mV

=


3.9 แบบฝ\กหดทายบท

1. จงใชวธการวเคราะหแบบปมหา yv ในวงจรดงร`ป P3.1 ถาอ\ปกรณ ก คWอ 1) แหลงจายกระแส 2 A ทมทศของล`กศรช!ไปทางขวา 2) ตวตานทาน 8 Ω 3) แหลงจายแรงดน 10 V ทมข!วบวกอย`ทางขวา

ร0ป P3.1

2. จงใชวธการวเคราะหแบบปมหา yv ในวงจรดงร`ป P3.1 ถาอ\ปกรณ ก คWอ 1) แหลงจายกระแสควบค\ม x0.2v ทมทศของล`กศรช!ไปทางซาย 2) แหลงจายแรงดนควบค\ม Q3i ทมข!วบวกอย`ทางซาย 3) การเป|ดวงจร 4) การลดวงจร

3. จงใชวธการวเคราะหแบบเมชหา Av ในวงจรดงร`ป P3.2 ถาอ\ปกรณ ก คWอ 1) แหลงจายแรงดน 4 V ทมข!วบวกอย`ดานบน 2) ตวตานทาน 9 Ω 3) แหลงจายกระแส 600 mA ทมทศของล`กศรช!ลงดานลาง

ร0ป P3.2

Qi

6 Ωxv

ก

4 Ω 2 Ω17 A9 A

yv

ก12 V

9 Ω 8 Ω

Ci

Bi20 V

3 Ω

Av

18 Ω


4. จงใชวธการวเคราะหแบบเมชหา Ci ในวงจรดงร`ป P3.2 ถาอ\ปกรณ ก คWอ 1) แหลงจายแรงดนควบค\ม A0.2v ทมข!วบวกอย`ทางดานบน 2) แหลงจายกระแสควบค\ม B0.5i ทมทศของล`กศรช!ลงดานลาง

5. จากวงจรดงร`ป P3.3 จงใชทฤษฎบทการทบซอนหา Xi ในแตละวงจร

ร0ป P3.3

6. จากวงจรดงร`ป P3.4 ก) จงหา 1) Li ถา LR 80 = Ω 2) แปลงแหลงจายกระแสในทางปฎบตไปเปgนแหลงจายแรงดนในทางปฎบตและหา Li ถา LR 80 = Ω 3) หาก1าลงทแหลงจายในอ\ดมคตของกรณท!งสองทรบเขาไป 4) หาคาของ LR ทท1าใหรบก1าลงไดส`งส\ด และหาก1าลงวามคาเทาไร

7. แปลงแหลงจายแรงดน 24 V ในทางปฎบตในร`ป P3.4 ข) ใหเปgนแหลงจายกระแสในทางปฎบต และท1าการรวมตวตานทานและรวมแหลงจายกระแสอ\ดมคต จากน!นแปลงผลลพธทได (แหลงจายกระแสในทางปฎบต) ไปเปgนแหลงจายแรงดนในทางปฎบต และรวมแหลงจายแรงดนอ\ดมคต

80 mV0.5 A

0.1 Ω 0.3 Ω

Xi

ก)

Xi

3 V 1 V 2 V−

10 Ω 40 Ω

ข)

120 A 40 A50 Ω 150 Ω

10 V

Xi

ค)


จงหา 1) ก1าลงทรบเขาไปของ XR ถา XR 2 = Ω 2) หาคาก1าลงส`งส\ดทสงไปท XR 3) หาคาของ XR สองคาทท1าให XR รบก1าลงเทากบ 5 W

ร0ป P3.4

8. จงหาวงจรสมม`ลเทเวนน จากวงจรดงร`ป P3.5 ก) และร`ป P3.5 ข)

ร0ป P3.5

9. จงหาวงจรสมม`ลนอรตน จากวงจรดงร`ป P3.6 ก) และร`ป P3.65 ข)

Li

20 Ω

LR

100 mA−

ก)

1 Ω 2 Ω

24 V

XR

24 V

28 V

ข)

60 V

3 A

32 Ω8 Ω

5 A

ก

ขก)

m 2g vSv

1R 2R

2v

ก

ขข)


ร0ป P3.6

3.10 เฉลย

1. 1) -20 V 2) -16 V 3) -6.91 V2. 1) 49.3 V 2) -14.14 V 3) -22.7 V 4) -8.73 V3. 1) 23.7 V 2) 23.6 V 3) 23.9 V4. 1) 0.462 A 2) -0.281 A5. 1) -175 mA 2) 200 mA 3) 50 mA6. 1) 20 mA 2) 20 mA 3) 160 mW, 40 mW 4) 20 Ω , 50 mW7. 1) 4.5 W 2) 6 W 3) 0.28 Ω และ 1.587 Ω

8. 1) 356 V, 40 Ω 2) ( )S m 1v 1 g R V− , ( ) ( )1 2 m 1R R / 1 g R + − Ω

9. 1) 0 A, 14.6 Ω 2) 0.75 A, 26.7 Ω

ก

ข

3 Ω 5 Ω

36 Ω

12 Ω

X3v

Xv

ก

ข

1 Ω 2 Ω

10 Ω12 V 20 Ω10.1v28i1v

2i

ข)ก)


3.11 แบบฝ\กหดเพ6มเตมและค!าตอบ (เฉลยวธท!าเฉพาะขอหมายเลขค6)

1. จงใชวธการวเคราะหแบบปมหา Pv ในวงจรดงร`ป P3.7

ร0ป P3.7

วธท!า ก1าหนดแรงดนทปมและเขยนสมการทปม 1v , Pv , 3v และ 4v

ปม 1v 1 P0.15v 0.05v 20− =

ปม Pv 1 P 30.05v 0.11v 0.04v 0− + − =

ปม 3v P 3 40.04v 0.24v 0.2v 1− + − = −

ปม 4v 3 40.2v 0.21v 6− + =

25 Ω

20 A

20 Ω

10 Ω

50 Ω

5 Ω

100 Ω 10 A

4 A

Pv

25 Ω

20 A

20 Ω

10 Ω

50 Ω

5 Ω

100 Ω 10 A

4 A

Pv

1v Pv 3v 4v


หา P

0.15 20 0 00.05 0 0.04 00 1 0.24 0.20 6 0.2 0.21

v 171.63 V0.15 0.05 0 00.05 0.11 0.04 00 0.04 0.24 0.20 0 0.2 0.21

− −− −

−= =

−− −

− −−

ตอบ

2. จากวงจรดงร`ป P3.8 จงใชวธการวเคราะหแบบปมหา 1) 3v 2) ก1าลงทแหลงจาย 5 A รบเขาไป (-60.87 V, 195.65 W)

ร0ป P3.8

25 Ω 20 Ω 40 Ω5 A

4 A100 V

60 V

3v


3. จากวงจรดงร`ป P3.9 จงเขยนสมการปมและหาก1าลงทจายออกมาของแหลงจายแรงดน 5 V

ร0ป P3.9

วธท!า ก1าหนดแรงดนทปม และเขยนสมการทซ\ปเปอรปม 1v และ 1 Xv 5 v+ −

ซ\ปเปอรปม 1v ( )1 1 1 X X6 3v 2 v v 5 v 4v 0+ + − − + + =

1 X3v 6v 5∴ + = ตอบและปม 1 Xv 5 v+ −

( ) ( )X X X 1 X4v 2 5 v 4v 1 v 5 v 0− + − − + + − =

1 Xv 11v 15∴ − = − ตอบ

4 S

3 S

2 S

1 SX4 v5 A

5 V Xv

4 S

3 S

2 S

1 SX4 v5 A

5 V Xv

1v1 Xv 5 v+ −


หา 1

5 615 11 35v V3 6 391 11

− −= =

−−

และ X

3 51 15 50v V3 6 391 11

− −= =−

−

หา ( )5V XP 5 4v 25.64 W= = ตอบ

4. จงใชวธการวเคราะหแบบปมหา Xv ในวงจรดงร`ป P3.10 (1.7692 V)

ร0ป P3.10

5. จากวงจรดงร`ป P3.11 จงใชวธวเคราะหแบบเมชหา 1) ก1าลงทรบเขาไปของตวตานทาน 4 Ω 2) หาขนาดของแรงดนทแหลงจาย 100 V จะเปลยนแปลงแลวท1าใหไมมก1าลงเกดข!นทตวตานทาน

ร0ป P3.11

3 Ω

2 Ω1 Ω

4 Ω 8 V

6 VX5v

Xv

2 Ω

3 Ω

4 Ω80 V

100 V

40 V


วธท!า ก1าหนดกระแส 1i และ 2i

เมช 1i 1 25i 3i 120− = −

เมช 2i

1 23i 7i 60− + = −

จะได 2

5 1203 60 660i = A5 3 263 7

−− − −=

−−

หา 24 2P 4i 2578 WΩ∴ = = ตอบ

หรWอ2

5 1203 40 E 160 5Ei

26 26

−− − − −= =

หา 160E 32 V5

−∴ = = − ตอบ

6. จากวงจรดงร`ป P3.12 จงใชวธวเคราะหแบบเมชหาก1าลงทจายออกมาของแหลงจายแรงดน 4V ( )13 mW

2 Ω

3 Ω

4 Ω80 V

100 V

40 V

1i 2i


ร0ป P3.12

7. จากวงจรดงร`ป P3.13 เมWอตวตานทานท\กตวมคาเทากบ 6 Ω และแหลงจายแรงดนท\กตวมคาเทากบ 12 V จงหา Ai

ร0ป P3.13

วธท!า ละเลยไมคดวงจรครงบนเพราะไมใชในการหาคา Ai

1 kΩ

0.5 kΩ

0.2 kΩ 0.6 kΩ

0.4 kΩ

4 V

5 mA

2v400

2v

Ai


เมช 1i

( )1 1 212i 12 6 i i 0− + − =

1 218i 6i 12∴ − =

เมช 2i

( )2 2 112i 12 6 i i 0+ + − =

2 118i 6i 12∴ − = −

จะได 1

12 612 18 144i 0.5 A

18 6 2886 18

−−

= = =−

−

และ 2

18 126 12 144i 0.5 A

18 6 2886 18

− −= = − = −

−−

A 1 2i i i 1 A∴ = − = ตอบ

8. จากวงจรดงร`ป P3.14 จงใชวธวเคราะหแบบเมชหากระแสท!งส( 1 2 3 4i 1.2 A, i 4.2 A, i 2 A, i 3.2 A= = = = )

Ai

1i2i


ร0ป P3.14

9. จากวงจรดงร`ป P3.15 จงใชทฤษฎบทการทบซอนหา Xi

ร0ป P3.15วธท!า คดแหลงจายแรงดน 24V ท1างาน

ได ( )X24i

5 200 30′ =+

1i 2i

3i 4i

5 V

1 V 3 V

2 A

1 A

3 A

1 Ω 1 Ω 1 Ω

1 Ω1 Ω

1 Ω

Xi

5 Ω 10 Ω

20 Ω2 A24 V 36 V

Xi

5 Ω 10 Ω

20 Ω24 V


คดแหลงจายกระแส 2 A ท1างาน

ได ( )( )X

200 30i 2*

5 200 30′ ′ = −+

คดแหลงจายแรงดน 36 V ท1างาน

ได X36 20i *

10 4 25′ ′ ′ = − +

X72 40 28.8i 1.1429 A35 35 14

= − − = − ตอบ 10. จากวงจรดงร`ป P3.16 จงใชทฤษฎบทการทบซอนหา i (-9 A)

ร0ป P3.16

Xi

5 Ω 10 Ω

20 Ω 36 V

Xi

5 Ω 10 Ω

20 Ω2 A

i

4 Ω

6 Ω2 Ω

24 Ω

12 Ω

180 V

30 V

15 A

45 A


11. จากวงจรดงร`ป P3.17 จงใชทฤษฎบทการทบซอนหา i

ร0ป P3.17วธท!า คดแหลงจายแรงดน -4V ท1างาน

X Xv 4 3i 5v 0′− + + + =

และ Xv 2i′= −

จะได i 0.8 A′ =

คดแหลงจายกระแส 2 A ท1างาน

( ) ( ) ( )2 i 2 3i 5 2 2 i 0′′ ′′ ′′− + + − =

จะได i 3.2 A′′ =

i 0.8 3.2 4 A∴ = + = ตอบ

2 A

2 Ω1 Ω

3 Ω4 V−

X5vXv

i

2 Ω1 Ω

3 Ω4 V−

X5vXv

i

2 A

2 Ω1 Ω

3 Ω

X5vXv

i


12. จากวงจรดงร`ป P3.18 จงใชทฤษฎบทการทบซอนหาก1าลงทแหลงจายแตละตวรบเขาไป (6V => -6W, 3A => 18 W, 12 V => 24 W, 2A => -36 W)

ร0ป P3.18

13. จากวงจรดงร`ป P3.19 จงใชการแปลงแหลงจายและการรวมตวตานทานจดวงจรดานซายของจ\ด ก-ข ใหอย`ในร`ปของวงจรอน\กรมระหวางแหลงจายแรงดนและตวตานทาน

ร0ป P3.19วธท!า

3 A 2 A6 V12 V

ก

ข

25 Ω

500 Ω200 Ω

200 Ω

0.2 A

ก) ข)

60 Ω 8 Ω

40 Ω

ก

ข24 V

2 A

25 Ω

500 Ω200 Ω

200 Ω

0.2 A

ก

ข

25 Ω

500 Ω

100 Ω

20 V

ก

ข

500 Ω125 Ω0.16 A

ก

ข

100 Ω

16 V

ก

ข

60 Ω 8 Ω

40 Ω

ก

ข24 V

2 A 60 Ω 8 Ω

40 Ω

ก

ข

5 A 6 Ω

ก

ข

5 A

6 Ω

30 V

ก

ข


14. จากวงจรดงร`ป P3.20 คาของ LR จะเปgนเทาไร ถา 1) เกดก1าลงส`งส\ดท R L,maxP และก1าลงส`งส\ด มคาเปgนเทาไร 2) เกดแรงดนส`งส\ด R L,maxv และแรงดนมคาเปgนเทาไร 3) เกดกระแสส`งส\ด R L,maxi และกระแสมคาเปgนเทาไร

(12Ω , 0.75 W; ∞ Ω , 6V; 0Ω , 0.5 A)

ร0ป P3.20

15. จากวงจรดงร`ป P3.21 จงหา 1) OCv , SCi และ thR 2) วาดวงจรสมม`ลเทเวนนและวงจรสมม`ลนอรตน

ร0ป P3.21

วธท!า( ) ( )OC

25 15v 60* 2 20 // 20 37.5 15 22.5 V40 20

− ± = + = − + = −

( )SC60 20i 2 4 1.6 2.4 A

15 25− ↓ = + = − + = −

และ

( )thR 5 20 //15 9.375= + = Ω ตอบ

20 Ω

60 Ω 90 Ω 180 Ω

LR10 V

กข

20 Ω

5 Ω

15 Ω

60 V

2 A


วงจรสมม`ลเทเวนน และ วงจรสมม`ลนอรตน

16. จากวงจรดงร`ป P3.22 จงหาวงจรสมม`ลเทเวนนทข!ว ก-ข (16 Ω , 10 V, 0.625 A)

ร0ป P3.22

17. จากวงจรดงร`ป P3.23 จงหา 1) วงจรสมม`ลเทเวนนและวงจรสมม`ลนอรตนทข!ว ก-ข 2) ถาแทน แหลงจายกระแส 5 A ดวยแหลงจายแรงดนควบค\ม X5i (+ อย`ทางดานขวา) และหาวงจรสมม`ลเทเวนนและวงจรสมม`ลนอรตนทข!ว ก-ข

ร0ป P3.23

9.375 Ω

22.5 V

ก

ข

ก

ข

9.375 Ω2.4 A

กข

20 Ω 40 Ω

50 V110i

1i

12 Ω 4 Ω12 A

3 A

5 A

Xi

ก

ข


วธท!า

ขอ (1) ( ) ( ) ( )OC th SCv 3*4 5*4 32 V; R 4 ; i 8 A± = + = = Ω = ตอบ

ขอ (2) XOC X X X

17i 15*4 20OC : v 17i ; 12 i 3 0 i4 21 7

= − + + − = ∴ = =

OC20 v 17 48.57 V7

∴ = = ตอบ

X X SCSC : 17i 0 i 0 i 12 3 15 A= ∴ = ∴ = + = ตอบ

OCth

SC

v 340R 3.238 i 7*15

∴ = = = Ω ตอบ

18. จากวงจรดงร`ป P3.24 จงหาวงจรสมม`ลเทเวนนทข!ว ก-ข ( 238.5 Ω )

ร0ป P3.24

4 Ω

32 V

ก

ข

4 Ω8 A

3.238 Ω

48.57 V

ก

ข

15 A3.238 Ω12 Ω 4 Ω

12 A3 A

5 A

Xi

ก

ข

200 Ω 100 Ω

X0.01vXv 50 Ω

150 Ω


19. ส1าหรบวงจรดงร`ป P3.25 จงหา 1v โดยวาดทรท 1v และ 2v และเขยนสมการปม


เขยนสมการ ปม ก1 2 1v v 20 80 v 2 0

5 10+ + − + + =

1 20.3v 0.2v 10∴ + =

เขยนสมการ ปม ข1 2 2v v v 20 0

10 20 50+− + + =

1 20.1v 0.07v 0.4∴ − + = −

1

10 0.20.4 0.07 0.7 0.08v 19.024 V

0.3 0.2 0.021 0.020.1 0.07

− += = =+

−

ตอบ

80 V

2 A5 Ω

20 V

10 Ω 20 Ω

50 Ω

1v 2v

80V

1v 2v

20V

ก ข


20. ส1าหรบวงจรดงร`ป P3.26 จงหา 1i และ 2i โดยวาดทรทให 1i และ 2i อย`ในกงเชWอมกระแส ( )1 2i 1.9024 A, i 1.0732 A= =

ร0ป P3.26

21. ส1าหรบวงจรดงร`ป P3.27 จงหา 1i โดยวาดทรทเหมาะสม และเขยนสมการเพยงสมการเดยว


เขยนสมการ ( )1 1 18i 6 i 2 20 4i 30 0+ − − − + =

1i 0.2 A= ตอบ

8 Ω

6 Ω

20V

30V

2A

14i

1i

1i2i

80 V

2 A5 Ω

20 V

10 Ω 20 Ω

50 Ω1i 2i

1 บทท 4 ตวเหนยวน (Inductor) และตวเก บประจ$ (Capacitor)

บทท 4

วตถประสงคของบทเรยนหลงจกนกศ+กษได/อ1นบทเรยนน2จบ นกศ+กษจะมควมสมรถดงน2

สมรถอธ8บยสมกรแสดงควมสมพนธ:ระหว1งแรงดนและกระแสของตวเหนยวนได/สมรถอธ8บยสมกรแสดงควมสมพนธ:ระหว1งแรงดนและกระแสของตวเก บประจ$ได/สมรถรวมตวเหนยวนและตวเก บประจ$ในวงจรได/

หวขอยอย หน/ 4.1 แนะน 110 4.2 ตวเหนยวน (Inductor) 110 4.3 ควมสมพนธ:ของตวเหนยวนและกรอ8นท8เกรท 114 4.4 ตวเก บประจ$ 118 4.5 กรรวมตวเหนยวนและตวเก บประจ$ 125 4.6 แบบฝEกหดท/ยบท 130

ตวเหนยวน (Inductor)และตวเก+บประจ (Capacitor)


4.1 แนะน

ในส1วนทสองของกรเรยนว8ชว8เคระห:วงจรไฟฟH 1 จะแนะนอ$ปกรณ:ใหม1สองอ$ปกรณ: ทมควมสมพนธ:ของแรงดนและ กระแสในรJปของอตรกรเปลยนแปลงของแรงดน หรKอกระแสต1อเวล ก1อนเร8มศ+กษส8งใหม1 มทบทวนส8งทเรยนมแล/วสกเล กน/อย

หลงจกรJ/จกระบบของหน1วย น8ยมกระแส แรงดน และอ$ปกรณ:พK2นฐน 5 ตว คKอแหล1งจ1ย กระแสอ8สระ แหล1งจ1ยแรงดนอ8สระ แหล1งจ1ยกระแสควบค$ม แหล1งจ1ยแรงดนควบค$ม ท2งหมด รวมเรยกว1อ$ปกรณ:แอกทฟ (active element) และเรยกตวต/นทน (ทเปQนเช8งเส/น) ว1อ$ปกรณ: พสซฟ (passive element) หลยคนอจมควมสบสบเกยวกบอ$ปกรณ:แอกทฟและอ$ปกรณ:พสซฟ เรจะน8ยมให/อ$ปกรณ:แอกทฟคKออ$ปกรณ:ทมควมสมรถในกรจ1ยกลงเฉลยมกกว1ศJนย:ให/กบ อ$ปกรณ:อKน ๆ ภยนอกตวมนได/ เมKอค1เฉลยทค8ดใช/เวลถ+งอนนต: (infinity) แหล1งจ1ยอ$ดมคต8เปQน อ$ปกรณ:แอกทฟรวมท2งออปแอมปY (operation amplifier) ก เปQนอ$ปกรณ:แอกทฟด/วย ในทงตรงกน ข/มอ$ปกรณ:พสซฟ คKออ$ปกรณ:ทไม1สมรถส1งกลงเฉลยให/กบอ$ปกรณ:อKนๆ ได/ ตวอย1งทเห นได/ ชดคKอตวต/นทนเพระว1กลงทมนรบเข/ไปจะเปลยนไปเปQนควมร/อนท2งหมด

อ$ปกรณ:แต1ละตวจะน8ยมในรJปแบบของควมสมพนธ:ระหว1งแรงดน และกระแสในกรณ ของแหล1งจ1ยแรงดนอ8สระ แรงดนจะต/องคงทแม/เมKอจ1ยกระแสทมค1ถ+งอนนต: (ไม1ข+2นอยJ1กบระแส ทไหลผ1น) เมKอพ8จรณวงจรทมอ$ปกรณ:หลยตวต1ออยJ1ด/วยกน โดยทวไปเรจะใช/แหล1งจ1ยโดยเฉพะแหล1งจ1ยแรงดนหรKอแหล1งจ1ยกระแสคงท และพ8จรณว8เคระห:ทเปQนแบบวงจรตวต/น- ทนอย1งเดยว (ใช/เทคน8คกรแก/ป]ญหแบบวงจรตวต/นทนในบทท 1 และ 2) ต1อจกน2เรจะเร8ม พ8จรณส8งทน1สนใจและเปQนวงจรทพอเห นในชว8ตจร8ง คKอ วงจรทประกอบด/วย ตวเหนยวน และ ตวเก บประจ$ รวมท2งฟ]งก:ชนกระต$/น (forcing function) และผลตอบสนองทเปลยนแปลงตมเวล

4.2 ตวเหนยวน (Inductor)

ท2งตวเหนยวนและตวเก บประจ$เปQนอ$ปกรณ:พสซฟทมควมสมรถในกรเก บ และส1ง กลงในช1วงเวลหน+ง ไม1เหมKอนกบแหล1งจ1ยอ$ดมคต8ทจ1ยกลงได/อย1งไม1จกด


ก1อนดJเรKองควมสมพนธ:ระหว1งแรงดนและกระแสของตวเหนยวน เรมทควมรJ/จก ประวต8ควมเปQนมกนก1อน ในป` ประมณ ค.ศ. 1800 นกว8ทยศสตร:ชวเดนมร:กชKอ Oersted ได/ แสดงให/เห นว1กระแสเก8ดมจกกรนตวนตดผ1นสนมแม1เหล ก และเข มท8ศจะได/รบผลกระทบ เมKอมกระแสไหลผ1นตวน หลงจกน2นในฝรงเศส Ampere ทดลองหควมสมพนธ:ระหว1ง กระแส และสนมแม1เหล ก ต1อมอก 20 ป` นกว8ทยศสตร:ชวองกฤษ Michael Faraday และนกประด8ษฐ:ชวอเมร8ก Joseph Henry พบว1กรเปลยนแปลงของสนมแม1เหล ก เหนยวนทให/เก8ด แรงดนข+2นในวงจรใกล/เคยงน2น และแสดงว1แรงดนเปQนอตรส1วนกบอตรกรเปลยนแปลงของ กระแสเทยบต1อเวลทผล8ตสนมแม1เหล ก ค1คงทของอตรส1วนเรยกว1ตวเหนยวนซ+งมสญลกษณ: L ดงสมกร

div Ldt

= (4-1)เมKอ v และ i เปQนฟ]งก:ชนของเวล (หรKอ v(t), i(t)) สญลกษณ:ของตวเหนยวนในรJป 4.1 จะมเครKอง หมยกกบเหมKอนกบตวต/นทน เพระเปQนอ$ปกรณ:พสซฟเช1นเดยวกนหน1วยของตวเหนยวน คKอ เฮนร (Henry) ซ+งจกสมกร (4-1) เฮนรคKอโวลต: ว8นท ต1อแอมแปร:

ร4ป 4.1 สญลกษณ:ของตวเหนยวน

สมกร (4-1) คKอแบบจลองทงคณ8ตศสตร: (Mathematical model)ซ+งเปQนอ$ปกรณ:อ$ดมคต8 ทสมรถใช/แทนพฤต8กรรมของอ$ปกรณ:จร8งได/ โครงสร/งทงกยภพของตวเหนยวนประกอบ ด/วยขดลวดพนเปQนวงหลยวงเรยงซ/อนกน เมKอมกระแสไหลผ1นขดลวดเพ8มข+2นจะทให/เก8ดสนม แม1เหล กมกข+2น รวมท2งแรงดนทเหนยวนข+2นในวงจรข/งเคยง ผลทได/คKอค1ตวเหนยวนของ ขดลวดมค1ประมณเปQนอตรส1วนของกลงสองของจนวนรอบของขดลวด ตวอย1ง ตวเหนยวน ทพนรอบแกนอย1งยวทมระยะระหว1งรอบน/อยๆ จะมค1ตวเหนยวนเท1กบ 2N A Sµ เมKอ A คKอพK2นทหน/ตด S คKอ ควมยวของขดลวดทพน N คKอจนวนรอบของขดลวด และ µ (ม8ว) คKอ ค1คงทของสสรภยในแกนททงเด8นสนมแม1เหล กผ1น เรยกว1ควมซ+มซบ (permeability) สหรบระยะห1ง ( ทใกล/มกๆ สหรบอกศ ) จะได/ควมซ+มซบ m

H 70 10*4 −π=µ=µ

L

v

i


สมกร (4-1) แสดงให/เห นว1แรงดนทตกคร1อมตวเหนยวน จะเปQนอตรส1วนต1ออตรกร เปลยนแปลงของกระแสต1อเวล ในทนองกลบกนมควมหมยว1ไม1มแรงดนตกคร1อมตวเหนยว- นเมKอค1กระแสคงทไม1ว1จะมขนดเท1ใด สอดคล/องกบคกล1วทว1 “ตวเหนยวนจะลดวงจร เม8ออย4ในวงจรกระแสตรง”

ควมจร8งอกอย1งหน+งทได/ เมKอพ8จรณสมกรน2เกยวข/องกบอตรกรเปลยนแปลงของ กระแสตวเหนยวนทมค1เปQนอนนต: เช1นกรเปลยนแปลงแบบทนททนใดของกระแสจกค1หน+ง ไปเปQนอกค1หน+ง เมKอมกรเปลยนแปลงของกระแสอย1งไม1ต1อเนKอง ทให/เก8ดแรงดนคร1อมตว เหนยวนซ+งมค1เปQนอนนต: ในอกแง1หน+งถ/เรทให/กรเปลยนแปลงของกระแสตวเหนยวนอย1ง รวดเร ว เรจะได/แรงดนอนนต:ด/วย ท2งๆ ทฟ]งก:ชนกระต$/นทมแรงดนอนนต:ไม1ม ในทงปฏ8บต8 เร จะเห นได/ว1กรเปลยนแปลงค1กระแสในตวเหนยวนอย1งรวดเร ว จะทให/มกรเปลยนแปลงของกลงในตวเหนยวน และมกรเปลยนแปลงของกลงทจะจ1ยให/ได/ค1อนนต:ซ+งจะไม1มทงเปQนไป ได/ ในทงปฏ8บต8เพKอทจะหลกเลยงแรงดนอนนต: และกลงอนนต: กระแสของตว เหนยวนจะต/อง ไม1มกรเปลยนแปลงอย1งทนททนใดจกค1หน+งไปเปQนอกค1หน+ง ถ/มควมพยยมเปpดวงจรของ วงจรตวเหนยวนเพKอทให/กระแสทไหลผ1นสว8ตซ:เก8ดกรหย$ดชะงกข+2น กลงทเก บอยJ1จะถJกถ1ยเท ไปในอกศในรJปของกรอร:ค (arc) ปรกฎกรณ:น2มประโยชน:อย1งมกในระบบจ$ดระเบ8ดใน รถยนต: เมKอมกระแสไหลผ1นขดลวดสปร:ค (spark coil) และถJกทให/หย$ดอย1งกระทนหน จะเก8ด กรอร:คทข2วของขดลวด สมกรท (4-1) สมรถใช/ช1วยแก/ป]ญหด/วยว8ธกรฟได/

ร4ป 4.2 ก) กระแสไหลผ1นตวเหนยวน 3H ข) แรงดนทเก8ดข+2น div 3dt

=

ก)

( )t s

1

( ) ( )i t A

-1 0 1 2 3

ข)

( )t s

3

( ) ( )v t V

-1 0 1 2 3

3−


ตวอยง 4.1 ให/รJปสญญณของกระแสทไหลผ1นตวเหนยวนขนด 3 H แสดงในรJป 4.2 ก) จงหแรงดนของตวเหนยวนและวดรJปของสญญณแรงดนด/วย ว;ธท

กระแสจะเท1กบศJนย:ท t = -1 s และเพ8มเปQนเช8งเส/นถ+ง 1A ทว8นทต1อไป และคงทถ+งท 2 ว8นท และลดลงถ+งศJนย:ทว8นทต1อไป และยงคงเปQนศJนย: ต1อจกน2นถ/ค1กระแสน2ไหลผ1นตว เหนยวน 3 H สมรถใช/สมกรท (4-1) หรJปสญญณของแรงดนได/ เมKอกระแสเปQนศJนย: และ คงทเมKอ t < -1 แรงดนจะเท1กบศJนย:ในช1วงเวลดงกล1ว กระแสจะเร8มเพ8มข+2นเปQนเช8งเส/นด/วย อตร 1A S และมค1คงทเท1กบ 3 V ระหว1ง 2 ว8นทถดมกระแสจะคงทและแรงดนเท1กบศJนย: ค1แรงดนจะลดลงถ+ง -3 V ในตอนท/ย และไม1มผลตอบสนองต1อจกน2นรJปสญญณแรงดนวดได/ ในรJป 4.2 ข) ตวอย1งต1อไปจะพ8จรณถ+งผลของกระแสทมกรเปลยนแปลงข+2นหรKอลงอย1งรวด เร วระหว1งศJนย:และค1 1A

ตวอยง 4.2 จงหแรงดนทได/จกตวเหนยวนขนด 3 H เมKอมกระแสไหลผ1นดงรJป 4.3 ก

ร4ป 4.3 ก) กระแสไหลผ1นตวเหนยวน ข) แรงดนทเก8ดข+2น

ว;ธท ช1วงเวลในกรเพ8มข+2นหรKอลดลงของกระแสคKอ 0.1 s ดงน2นเทอมของอน$พนธ: จะต/องมค1

มกข+2นเปQน 10 เท1 จกรJป 4.2 ข) และ 4.3 ข) ทน1สนใจมกคKอพK2นทข/งใต/กรฟของแต1ละรJปคลKน แรงดนคKอ 3 V-s กรลดช1วงเวลในกรเพ8มข+2น หรKอลดลงของค1กระแสจะทให/ขนดของแรงดน

ก)

( )t s

1

( ) ( )i t A

-1 0 1 2 3

ข)

( )t s

30

( ) ( )v t V

-1 0 1 2 3

30−0.1− 2.1 0.1− 2.1


เพ8มข+2นอย1งสJงถ+งอนนต:ได/ (spikes) และเมKอรJปสญญณกระแสเปQนในรJป 4.4 ก) ค1แรงดนจะมค1 เปQนอนนต: ซ+งสญญณรJปแบบน2 (แรงดนหรKอกระแสก ตม) เรยกว1อ8มพลส: (impulses) เรจะได/ เรยนกนภยหลง อย1งไรก ตมในทงปฏ8บต8แล/วจะไม1มแรงดน กระแส หรKอกลงทมค1เปQนอนนต:

ร4ป 4.4 ก) เวลทใช/ในกรเปลยนจก 0 เปQน 1 และจก 1 เปQน 0 ลดลงเหลKอศJนย: ข) ทให/แรงดนมค1เปQนอนนต:ท2งบวกและลบ

4.3 ควมสมพนธของตวเหนยวนและกรอ;นท;เกรท

น8ยมของตวเหนยวนแสดงได/ด/วยสมกรอน$พนธ:อย1งง1ย div Ldt

=

จกสมกรท (4-2) น2 เรสมรถเขยนข/อสร$ปจกควมสมพนธ:น2ได/ ตวอย1งตวเหนยวนจะลด วงจรเมKอมกระแสตรงไหลผ1น และตวเหนยวนจะไม1ยอมให/กระแสเปลยนแปลงจกค1หน+งไปอก ค1หน+งโดยฉบพลน เพระว1จะทให/เก8ดแรงดนและกลงมค1เปQนอนนต: ซ+งไม1เปQนจร8งในทง ปฏ8บต8 เรสมรถเขยนสมกรท (4-2)ใหม1ได/เปQน

1di vdtL

= (4-2)และใส1อ8นท8กรล (integral) ท2งสองข/ง โดยกหนดให/กระแส i ทเวล t (i(t)) คKอขอบด/นบน และกระแส i ทเวล 0 (i(0)) คKอขอบด/นล1งจะได/

ก)

( )t s

1

( ) ( )i t A

-1 0 1 2 3

ข)

( )t s

∞

( ) ( )v t V

-1 0 1 2 3− ∞


0 0

i( t ) t

i( t ) t

1di vdtL

=∫ ∫

หรKอ ∫=−t

t0

0

vdtL1)t(i)t(i

และ )t(ivdtL1)t(i 0

t

t0

+∫= (4-3)สมกรท 4-2 แสดงแรงดนตวเหนยวนในเทอมของกระแส ขณะทสมกรท 4-3 แสดงกระแสใน เทอมของแรงดน เรสมรถเขยนสมกรท 4-3 ใหม1ได/ โดยแทนค1คงท k ในเทอมหลง (อ8นท8เกรทแบบไม1จกดขอบเขต, indefinite integral)

kvdtL1)t(i +∫= (4-4)

ในทงปฏ8บต8เรสมมต8ให/ 0t คKอ ∞− จะได/รบประกนว1ไม1มกระแส หรKอพลงงนอยJ1ในตวเหนยว น ดงน2นถ/

0)(i)t(i 0 =− ∞= จะได/ ∫=

∞−

tvdt

L1)t(i (4-5)

ตวอยง 4.3 สมมต8ให/แรงดนคร1อมตวเหนยวน 2 H มค1เท1กบ V t5cos6 จกข/อมJล ดงกล1วจงหกระแส ว;ธท จกสมกร 4-3

)t(itdt5cos621)t(i 0

t

t0

+∫=

หรKอ )t(it5sin56

21t5sin

56

21)t(i 00 +

−=

( )00 tit5sin6.0t5sin6.0 +−=

ในเทอมแรกช2ให/เห นว1กระแสตวเหนยวนจะแปรผนตมฟ]งก:ชนซยน: ในเทอมท 2 และ 3 คKอ ค1 คงทเมKอรJ/ค1กระแสทเวลใดๆ ถ/สมม$ต8ให/ค1กระแสเท1กบ 1A ทเวล s

2t π−= ดงน2นสมรถ

เขยนให/เวล s 2

t0π−= จะได/ 1)t(i 0 = และเขยนสมกรได/

1)5.2sin(6.0t5sin6.0)t(i +π−−=

หรKอ 6.1t5sin6.0)t(i +=

ซ+งผลลพธ:ทได/จะเหมKอนกบกรใช/สมกรท 4-4 ค8ดkt5sin6.0)t(i +=


จะหค1 k ได/จกแทนค1 1A ทเวล 2t π−=

k)5.2sin(6.01 +π−=

6.16.01k =+=

และ 6.1t5sin6.0)t(i +=

สมกรท (4-5) ก เปQนไปในทนองเดยวกน เมKอสมมต8ให/กระแสเปQนศJนย:เมKอเวล − ∞=t

tt5sin6.0)t(i ∞−=

)sin(6.0t5sin6.0)t(i − ∞−=

ค1ของ sin( )± ∞ ไม1สมรถหได/ ดงน2นเรจ+งแทนด/วยตวแปรไม1ทรบค1 kt5sin6.0)t(i +=

ซ+งจะเหมKอนกบในสมกรท (4-4) และเมKอพ8จรณถ+งกลงทรบเข/ไปในตวเหนยวน W

dtdiLivip ==

พลงงน Lw จะเก บอยJ1ในรJปของสนมแม1เหล กรอบ ๆ ขดลวดและแสดงได/ด/วยสมกรกร อ8นท8- กรลของกลงต1อเวล

[ ] [ ] 0 0 0

i( t )t t2 2

L 0t t i( t )

di 1w pdt L i dt L idi L i(t) i(t )dt 2

= = = = −∫ ∫ ∫

และได/ [ ] [ ] 2 2L L 0 0

1w (t) W (t ) L i(t) i(t ) J2

− = − (4-6)เมKอสมมต8ให/กระแส )t(i 0 คKอกระแสทเวล 0t เมKอกหนดให/ทเวลดงกล1วมค1เท1กบศJนย:จะได/ สมกรอย1งง1ย

2L

1w (t) Li(t)2

= (4-7)จกสมกร (4-7) สมรถสร$ปได/ว1 เมKอกระแสมค1เท1กบศJนย:จะทให/กลงมค1เท1กบศJนย:ด/วย เช1นกน ในทงกลบกนถ/กระแสมค1ไม1เท1กบศJนย: (ไม1คน+งถ+งท8ศทง) ตวเหนยวนจะมพลงงนเก บอยJ1ทตวเหนยวน ในทงทฤษฎตวเหนยวนจะเก บพลงงนไว/และจะจ1ยออกมโดยไม1มกรสJญเสย แต1ในทงปฏ8บต8กรสร/งขดลวดจะมค1ควมต/นทนของขดลวดมเกยวข/องเสมอ ดงน2น กลงทเก8ดข+2นจะไม1สมรถเก บพลงงนโดยไม1มกรสJญเสยได/

ตวอยงท 4.4 จงหกลงสJงส$ดทเก บทตวเหนยวนดง รJป 4.5 และคนวณค1กลงทจ1ยให/ กบตวต/นทนในระหว1งเวลทตวเหนยวนเก บพลงงนและคยพลงงนออก


ร4ป 4.5 วงจรอน$กรม RL

ว;ธท แรงดนตกคร1อมตวต/นทนเท1กบ

t6

sin2.1RivRπ==

และแรงดนตกคร1อมตวเหนยวนจะหได/โดยใช/สมกรน8ยมของตวเหนยวน

t6

cos6dt

)t6

sin12(d3

dtdiLvL

ππ=

π

==

พลงงนทเก บในตวเหนยวนเท1กบ 2 2

L1w Li 216sin t J2 6

π= =

ซ+งจะเห นว1 พลงงนน2เพ8มจกศJนย:ทเวล t = 0 s ถ+ง 216 J ทเวล t = 3 s ดงน2นค1พลงงนสJงส$ดท เก บได/ จ+งเท1กบ 216 J และในอก 3 ว8นทต1อมพลงงนไหลออกจกตวเหนยวนไปสJ1ตวต/นทนซ+งสมรถหได/

t6

sin4.14Rip 22R

π== และพลงงนแปลงไปเปQนควมร/อนระหว1งเวล 0 ถ+ง 6 ว8นทดงน2คKอ เวล 0 ถ+ง 3 ว8นท พลงงน มจกแหล1งจ1ยและเวล 3 ถ+ง 6 ว8นทพลงงนมจกตวเหนยวน

∫π=∫=

6

0

26

0RR tdt

6sin4.14dtpW

หรKอ J 2.43dt)t3

cos1)(21(4.14W

6

0R =∫

π−=

ดงน2น เรจะได/กลง 43.2 J จกค1ควมร/อนทเก8ดข+2นทตวต/นทน ในกระบวนกรเก บ และจ1ยพลงงน 216 J ทเก8ดข+2นในเวล 6 ว8นทหรKอประมณ 20% ของค1พลงงนทเก บได/สJงส$ด

Rv

Lv

i

0.1Ω3H

t12sin A6

π


ซ+งเปQนไปตมค$ณสมบต8ของตวเหนยวนค1สJงๆ ในขณะทตวเหนยวนค1ตๆ ประมณ H100µ จะ ลดลงเหลKอประมณ 2 - 3%

จกสมกรควมสมพนธ:ของตวเหนยวนสมรถสร$ปค$ณลกษณะได/ ดงน2 1. ถ/กระแสทไหลผ1นตวเหนยวนมค1คงทไม1เปลยนแปลงตมเวล จะทให/ไม1มค1แรงดน

ตกคร1อมตวเหนยวน ซ+งจะประพฤต8ตวเหมKอนกรลดวงจรเมKอต1อไฟกระแสตรง 2. พลงงนค1หน+งจะเก บไว/ในตวเหนยวนได/ แม/ว 1จะมแรงดนตกคร1อมตวเหนยวนจะ

เท1กบศJนย:เมKอมกระแสไหลผ1นตวเหนยวนค1คงท 3. กระแสทไหลผ1นตวเหนยวนจะเปลยนแปลงอย1งฉบพลนไม1ได/ 4. ตวเหนยวนในทงอ$ดมคต8จะเก บพลงงนได/และจะไม1ใช/พลงงน ซ+งเปQนค วมจร8งตม

ควมสมพนธ:ของสมกร แต1ไม1เปQนจร8งในทงปฏ8บต8

4.4 ตวเก+บประจ

ตวเก บประจ$คKอ อ$ปกรณ:พสซฟตวต1อไปทจะแนะน ควมสมพนธ:ระหว1งแรงดนและ กระแสเปQนดงสมกรท (4-8)

dtdvCi = (4-8)

เมKอ v และ i น8ยมตมอ$ปกรณ:พสซฟตมปกต8แสดงในรJป 4.6 จกสมกรท 4-8 จะได/หน1วยของ ตวเก บประจ$ คKอ แอมแปร: ว8นท ต1อโวลต: หรKอ คJลอมปY ต1อโวลต: แต1เรจะเรยกว1 ฟรด (farad,F) เพKอควมสะดวก

ร4ป 4.6 สญลกษณ:ตวเก บประจ$

ในทงกยภพ ตวเก บประจ$ทจกแผ1นตวน 2 แผ1น ทสมรถเก บประจ$ได/ แผ1นท2งสอง ถJกแยกออกจกกนด/วยฉนวนทมควมต/นทนสJง (อนนต:) เรจะเรยกแผ1นท2งสองน2ว1เพลทซ+งแผ1นเพลทท2งสองจะมประจ$เท1กนแต1มท8ศตรงกนข/ม (บวกหรKอลบ) และเมKอพ8จรณภยในของ

C

v

i


ตวเก บประจ$ เมKอมกรอดประจ$หมยถ+งกรเก บพลงงนกระแสไหลเข/เพลทหน+งสมมต8ให/เปQน เพลทบวก (และกระแสไหลออกอกเพลทหน+ง) ประจ$น2ไม1สมรถข/มจกเพลทหน+งไปอกเพลท ได/ซ+งอธ8บยได/ดงสมกรกระแสและกรเพ8มของประจ$

dtdqi =

เรจะสนใจแต1กระแสตวน (conduction current) ทไหลเข/และออกจกตวเก บประจ$เท1น2น ทเปลยนแปลงตมกรเปลยนแปลงของแรงดนตกคร1อมตวเก บประจ$ต1อเวล ควมสมพนธ:น2เปQนเช8ง เส/นและค1คงทของอตรส1วนจะเรยกว1ค1ควมเก บประจ$ (Capacitance, C) dvi C

dt=

ตวเก บประจ$สร/งจกเพลท 2 เพลท มพK2นท A ห1งกน d จะมค1ตวเก บประจ$ dAC ε= เมKอ

ε คKอ ค1คงทควมซ+มซบของสร (permittivity) ทใช/ทฉนวนระหว1งเพลท สหรบอกศหรKอ สJญญกศ 0 8.854 pF m ε = ε = จกสมกรท (4-8) เรจะได/ข/อสร$ปต1งๆ เช1น เมKอมแรงดน คงทคร1อมตวเก บประจ$ จะมกระแสเท1กบศJนย:ไหลผ1นหรKอไม1มกระแสไหลผ1นน2นเอง ซ+งจะ ประพฤต8ตวคล/ยกบเปpดวงจรเมKอทงนในวงจรไฟตรง และในทนองคล/ยกนกบตวเหนยวน ตวเก บประจ$จะไม1ยอมให/แรงดนเปลยนแปลงอย1งฉบพลน แรงดนของตวเก บประจ$สมรถเขยน ในเทอมกระแสได/ โดยกรอ8นท8เกรทสมกร (4-8) ข2นตอนแรกเร8มจก

idtC1dv =

และอ8นท8กรลท2งสองข/งของสมกรระหว1งเวล to และ t สอดคล/องกบแรงดน ( )0v t และ ( )v t )t(vidt

C1)t(v 0

t

t0

+∫= (4-9)สมกรท (4-9) สมรถเขยนด/วยกรอ8นท8เกรทแบบไม1มขอบเขตบวกด/วยค1คงทกรอ8นท8เกรท ( )t(v 0 แทนด/วยค1คงทได/)

kidtC1)t(v +∫= (4-10)

เมKอแทน 0t ด/วย − ∞ และกหนดให/ )v(-∞ เท1กบศJนย: ∫=∞−

tidt

C1)t(v (4-11)

เมKอกรอ8นท8กรลของกระแสต1อช1วงเวลคKอกรอดประจ$ในช1วงเวลน2น ๆ ทเก8ดข+2นกบเพลทของตว เก บประจ$ เมKอมกระแสไหลผ1น จกควมสมพนธ:ดงกล1วสมรถสร/งสมกรประจ$ (q) ได/ q = Cv


ควมคล/ยกนระหว1งสมกรอ8ท8กรลหลยๆ สมกรทได/กล1วไปแล/วในหวข/อน2กบสมกรของตวเหนยวน แสดงว1มค$ณสมบต8ของคJ1เสมKอน (duality) ดงทสงเกตเห นได/จกสมกรปมและสมกรเมชในวงจรตวต/นทน

ตวอยง 4.5 จงใช/สมกรอ8นท8กรลของตวเก บประจ$ แสดงกรว8เคระห: หแรงดนตวเก บ ประจ$ทมรJปร1งกระแส ดงรJป 4.7 ก) โดยกรสมมต8ให/กระแสรJปสญญณสเหลยม 20 mA ในเวล 2 ม8ลล8ว8นท (ms) ผ1นตวเก บประจ$ F5µ

ร4ป 4.7 ก) รJปแบบกระแสทไหลผ1นตวเก บประจ$ F5µ ข) แรงดนท ได/จกกรอ8นท8กรล

ว;ธท จกสมกรท (4-9) เรจะรJ/ว1ค1ผลต1งแรงดนท t และ 0t เปQนอตรส1วนต1อพK2นทภยใต/กรฟ กระแสระหว1งค1เวลท2งสองข/งต/นโดยมอตรส1วนค1คงทคKอ 1 C พK2นทได/มจกรJป 4.7 ก) โดย กรหค1ท 0t และ t ดงน2นถ/ ms5.0t 0 −= และ ms 5.0t = จะได/

v(0.5) = 2 + v(-0.5) = 2 + 0หรKอถ/ 0t 0 = และ t = 3

v (3) = 8 + v (0) = 8 + 0และจะแสดงผลลพธ:ในเทอมทวไปได/ โดยกรแบ1งช1วงเวลทสนใจในหลย ๆ ช1วง เลKอกจกจ$ด 0t ก1อนถ+งเวลศJนย: ดงน2นช1วงแรกทพ8จรณคKอเวลระหว1ง 0t และศJนย: 0t t)t(v0)t(v 00 ≤≤+=

ก)

( )t ms

20

( ) ( )i t mA

-1 0 1 2 3

ข)

( )t ms

8

( ) ( )v t V

-1 0 1 2 3


และเมKอไม1มกระแสไหลผ1นเข/ไปในตวเก บประจ$ทให/ 0)t(v 0 =

ดงน2น 0 t0)t(v ≤=

ถ/เรพ8จรณช1วงเวลทได/จกพลส:สเหลยม คKอจก ms0t 0 = และ ms2t =

2mst0 t4000)t(v ≤≤=

และทเวลมกกว1 2 ms จะได/ 2ms t8)t(v ≥=

ผลลพธ:ทได/ท2งสมช1วงเวล ทให/เรสมรถว8เคระห:แรงดนตวเก บประจ$ทเวลต1ง ๆ ได/ดงรJป 4.7 ข)

กลงทตวเก บประจ$เก บไว/คKอ

dtdvCvvip ==

และพลงงนทเก บได/ในรJปสนมไฟฟH [ ] [ ] 2

02

)t(v

)t(v

t

t

t

t)t(v)t(vC

21vdvCdt

dtdvvCpdt

000

−=∫=∫=∫

และได/ [ ] [ ] 2 2C C 0 0

1w (t) w (t ) C v(t) v(t ) 2

− = − (4-12)เมKอพลงงนทเก บไว/คKอ C ow (t ) และแรงดนคKอ )t(v 0 ทเวล 0t ถ/เรเลKอกพลงงนให/เท1กบ ศJนย:ทเวล 0t แรงดนทตวเก บประจ$จะเท1กบศJนย:ด/วยทเวลดงกล1ว ดงน2น

2C

1w (t) Cv(t)2

= (4-13)

ตวอยง 4.6 จงหพลงงนค1สJงส$ดทเก บไว/ในตวเก บประจ$ รJป 4.8 และพลงงนทจ1ยออกไป ให/ทตวต/นทนในช1วงเวล s5.0t0 ≤≤

ร4ป 4.8 วงจรขนน RC

1MΩv

CiRi

20 Fµ

100sin 2 t Vπ


ว;ธท กระแสไหลผ1นตวต/นทน A t2sin10

Rvi 4

R π== − ค1กระแสผ1นตวเก บประจ$ คKอ

dt)t2sin100(d10*20

dtdvCi 6

Cπ== −

A t2cos10*4 3 ππ= −

พลงงนทเก บในตวเก บประจ$ 2 2

C1w (t) Cv 0.1sin 2 t J2

= = π

และจะเห นว1พลงงนทเพ8มข+2นจก 0 ท t = 0 และมค1สJงส$ด 0.1 J ทเวล t = 41 ว8นท และลดลง

เท1กบศJนย: ในเวล 41 ว8นทต1อม (หรKอ

21 ว8นท) ระหว1งเวล 0 ถ+ง

21 ว8นท พลงงนจะจ1ยไป

ทตวต/นทนคKอ 0.5 0.5

2 2R R

0 0

w p dt 10 sin 2 tdt 2.5mJ−= = π =∫ ∫เรจะได/ C,maxw 0.1J= และ Rw 2.5mJ= ดงน2นพลงงนเก8ดทตวต/นทนจะเท1กบ 2.5% ของ ค1พลงงนสJงส$ดทเก บได/ทตวเก บประจ$ ตวเก บประจ$ทมค1ตๆ เมKอมกรถ1ยโอนพลงงนจะมกร สJญเสยตตมไปด/วย

ตวเก บประจ$มค$ณลกษณะทสคญสร$ปได/ดงน2 1. ถ/แรงดนตกคร1อมตวเก บประจ$ไม1เปลยนแปลงตมเวล จะทให/ไม1มกระแสไหลผ1น

ตวเก บประจ$ ซ+งคล/ยกบกรเปpดวงจรเมKอทงนในวงจรกระแสไฟตรง 2. พลงงนปร8มณหน+งจะถJกเก บในตวเก บประจ$ แม/ว1จะไม1มกระแสไหลผ1น เมKอแรงดน

ตกคร1อมมค1คงท 3. แรงดนตกคร1อมตวเก บประจ$จะเปลยนแปลงอย1งฉบพลนไม1ได/ 4. ตวเก บประจ$ในทงอ$ดมคต8จะไม1ใช/พลงงนแต1จะเก บพลงงนไว/อย1งเดยว แต1ไม1เปQน

จร8งในทงปฏ8บต8 ส8งทน1สนใจเกยวกบค$ณสมบต8เสมKอน แสดงให/เห นได/จกกรอ1นค$ณลกษณะของตวเก บ

ประจ$ท2ง 4 ข/อโดยแทนคศพท:ทเปQนคJ1เสมKอนดงน2 ตวเก บประจ$และตวเหนยวน แรงดนและ กระแส เปpดวงจรและปpดวงจร ดงน2นส$ดท/ยเรจะได/ค$ณสมบต8ท2ง 4 ข/อทเปQนของตวเหนยวนแทน


ต1อไปน2จะแนะนตวเก บประจ$อ$ดมคต8 โดยกรต1อรวมกบออปแอมปYอ$ดมคต8 ทผ1นมเร ใช/ออปแอมปYต1อเปQนวงจรตมแรงดน วงจรทได/จะมควมต/นทนเอท:พ$ทต และแรงดนเอท:พ$ท จะมค1เท1กบแรงดนอ8นพ$ท วงจรทจะต1อจะมแรงดนเอท:พ$ทเปQนอตรส1วนกบอ8นพ$ท ด/วยค1เวลอ8นท8กรลและเรยกว1วงจรอ8นท8เกรเตอร: เรจะต1อขไม1กลบข2ว (+) กบกรวด: ซ+งทให/ค1ควมต/น ทนอ8นพ$ทเปQนอนนต: และค1ควมต/นทนเอท:พ$ทเปQนศJนย: ต1อตวเก บประจ$อ$ดมคต8ปHอนกลบจก เอท:พ$ทมยงขกลบข2ว (-) และต1อแหล1งจ1ยสญญณ Sv กบขกลบข2ว (-) โดยต1อผ1นตวต/นทน อ$ดมคต8 ดงรJป 4.9 ก) เมKอกหนดให/ ∞=iR และ 0R 0 = เรจะได/วงจรดงรJป 4.9 ข) เขยนสมกร แรงดนเอท:พ$ทในเทอมของแรงดนอ8นพ$ท iv ได/

ร4ป 4.9 a) วงจรอ8นท8เกรเตอร: b) วงจรสมมJลอ8นท8เกรเตอร:

i0 Avv −=

ดงน2น Av

v 0i

−= (4-14)

สมมต8ให/ A มค1อนนต: จกสมกร (4-14) จะได/ 0v i = และจกรJป 4.9 ข)

Rv

i S=

เมKอ 0v i = แรงดนตวเก บประจ$ Cv จะเท1กบ )v( 0− และ )0(vdt

Rv

C1)0(vidt

C1vv C

t

0

SC

t

00C +∫=+∫=−=

หรKอ )0(vdtvRC1v C

t

0S0 −∫−= (4-15)

ก) ข)

Ov

R

C

SvOv

R

C

Sv iAviv

i Cv


จกสมกร 4-15 ในเทอมแรก แรงดนเอท:พ$ททได/จะเปQนผลคJณของ 1 RC− กบกรอ8นท8กรล อ8นพ$ทจก t = 0 ถ+ง t และเทอมทสองคKอ ค1เร8มต/นของ Cv ทมเครKองหมยลบ ค1ของ 1 RC จะม ค1เปQนหน+งได/ ถ/เรเลKอก R 1M= Ω และ C 1 F= µ หรKอจะเลKอกค1 R และ C เพKอทให/แรงดน เอท:พ$ทให/มค1มกกว1หรKอมค1น/อยกว1น2ได/ เครKองหมยลบสมรถเปลยนได/เมKอใช/วงจรขยยกลบเฟส (inverting amplifier) ทจะปรกฎในบทท 7 ต1อทเอท:พ$ทเพKอกลบข2วสญญณ ก1อนจะผ1น ไปพ8จรณค1 A ทมค1สJงถ+งอนนต: แรงดนทข2ว(-) จะใกล/เคยงกบกรวด:หรKอใกล/เคยงศJนย: iv จะม แรงดนเสมKอนกรวน: (virtual ground) แรงดนค1เร8มต/น )0(vC ในสมกร 4-15 สมรถเขยนให/ เสมKอนมแบตเตอรต1ออยJ1กบสว8ตซ:ทปกต8ปpดอยJ1 ดงรJป 4.10

ร4ป 4.10 ใช/สว8ตซ:ปกต8ปpดและแหล1งจ1ยอ$ดมคต8จะมค1 0v (0 )+ เท1กบ Cv (0)− ถ/สมมต8ให/ A มค1ไม1เท1กบอนนต: และใช/ KVL เขยนสมกรของวงจรรJป 4.9 ข) 0v)0(vidt

C1Riv 0C

t

0S =++∫++−

ใช/ R

)vv(i is −

= เพKอกจด i และใช/สมกร (4-14) กจด iv จะได/

)0(vdt)Av

v(RC1v)

A11( C

t

0

0S0 −∫ +−=+ (4-16)

เมKอให/ ∞→A สมกรท (4-16) จะเหมKอนกบสมกรท (4-15) ก1อนจบหวข/อน2 มคถมชวนค8ดว1 เรสมรถแทนตวเก บประจ$ด/วยตวเหนยวน และจะ

ได/วงจรทอน$พนธ: (differentiator) แทนหรKอไม1 ในทงควมค8ดสมรถทได/แต1นกออกแบบจะ พยยมหลกเลยงเพระว1ตวเหนยวนมขนดใหญ1 น2หนกมก รคสJง และมค1ควมต/นทน ผสมอยJ1ในตวเหนยวนด/วย

Ov

t=0

C( )Cv 0


4.5 กรรวมตวเหนยวนและตวเก+บประจ

ในหวข/อน2 จะเปQนกรรวมค1ตวเหนยวน และตวเก บประจ$ททกรต1อแบบอน$กรมและต1อ แบบขนนโดยพ8จรณกรต1อตวเหนยวนแบบอน$กรมก1อนดงรJป 4.11 ในวงจรจะมแหล1งจ1ย แรงดนต1อแบบอน$กรมกบตวเหนยวน n ตว เรต/องกรรวมตวเหนยวนท2งหมดให/กลยเปQนตว เหนยวนตวเดยว eqL โดยใช/ KVL พ8จรณจะได/

N21S v...vvv +++=

dtdiL...

dtdiL

dtdiL N21 +++=

dtdi)L...LL( N21 +++=

หรKอเขยนในรJปผลรวมได/ ∑ ∑==∑=

= ==

N

1n

N

1nnn

N

1nnS L

dtdi

dtdiLvv

จะได/วงจรสมมJล

dtdiLv eqS =

ดงน2นค1ตวเหนยวนสมมJลคKอ )L...LL(L N21eq +++=

หรKอ ∑==

N

1nneq LL

ตวเหนยวนเมKอต1ออน$กรมกน ค1ควมเหนยวนจะเท1กบกรรวมกนของค1ควมเหนยว นทต1ออน$กรมกนคล/ยกบกรต1อตวต/นทนอน$กรมกน

ร4ป 4.11 กรต1อตวเหนยวนอน$กรมกน N ตว

1L

1vi

2L

2v

NL NvSv

i

eqLSv

ก) ข)


กรรวมกนของ ตวเหนยวนทต1อขนนกนแสดง ดงรJป 4.12 ก) เมKอใช/ KCL จะได/

∑ ∑ ∫= =

+==

N

1n

N

1n

t

t0n

nnS

0)t(ivdt

L1 ii

0

tN N

n 0n 1 n 1n t

1 vdt i (t )L= =

= +

∑ ∑∫

ร4ป 4.12 กรต1อตวเหนยวนขนนกน N ตว

และเปรยบเทยบกบผลลพธ:ของวงจรสมมJลรJป 4.12 ข) )t(ivdt

L1i 0S

t

teqS

0

+∫=

)t(i 0S จะเท1กบผลรวมของกระแสทก8งต1ง ๆ ทเวล 0t เมKอเปรยบเทยบส.ป.ส ของท2งสองสมกร ดงน2นจะได/

n21

eq

L1...

L1

L1

1L+++

=

สหรบกรณพ8เศษ คKอ ตวเหนยวนสองตวต1อขนนกน ซ+งเหมKอนกบกรต1อตวต/นทน 2 ตวขนนกน

21

21eq LL

LLL

+=

เมKอทกรหค1ตวเก บประจ$สมมJลของกรต1อตวเก บประจ$อน$กรมกนโดยใช/รJป 4.13 ก) และวงจร สมมJลดงรJป 4.13 ข) เขยนได/

0

tN N

S n n 0n 1 n 1 n t

1v v idt v (t )C= =

= = +

∑ ∑ ∫

1L

1i

2L NLvSi eqLSi

ก) ข)

2i Ni

v


∑∫∑==

+

=

N

1n0n

t

t

N

1n n

)t(vidt C1

0

และ )t(vidtC

1v 0S

t

teqS

0

+∫=

ร4ป 4.13 วงจรทมตวเก บประจ$ N ตว

อย1งไรก ตมเมKอใช/ KVL จะได/ )t(v 0S เท1กบผลรวมของแรงดนตวเก บประจ$ท2งหมดทเวล 0t

N21

eq

C1...

C1

C1

1C+++

=

ดงน2นตวเก บประจ$ต1ออน$กรมกน จะเหมKอนกบค1ควมนต1ออน$กรมกนหรKอตวต/นทน ต1อขนน สหรบกรณพ8เศษคKอเมKอตวเก บประจ$สองตวต1ออน$กรมกนจะได/

21

21eq CC

CCC

+=

กรต1อตวเก บประจ$แบบขนนดงรJป 4.14 จะได/ตวเก บประจ$สมมJล ซ+งจะคล/ยกบกรต1อ ตวต/นทนแบบอน$กรม

N21eq C...CCC +++=

1C

1vi

2C

2v

NC NvSv

i

eqCSv

ก) ข)


ร4ป 4.14 กรต1อตวเก บประจ$ขนนกน N ตว

ตวอยง 4.7 จงหวงจรสมมJลของวงจรดงรJป 4.15 ก)

ร4ป 4.15 วงจร LC

ว;ธท ตวเก บประจ$ F6µ และ F3µ ต1ออน$กรมกนรวมได/ F2µ และตวเก บประจ$น2ต1อขนน กบ F1µ จะได/ F3µ ส1วนตวเหนยวน 3 H และ 2H ต1อขนนกนจะได/1.2 H และต1ออน$กรมกบ 0.8 H ได/ 2H วงจรสมมJลได/ดงรJป 4.15 ข)

ตวอยง 4.8 จงเขยนสมกรปมของวงจรดงรJป 4.16 ว;ธท กหนดปมแรงดนก1อนจกน2นใช/ KCL ทปมตรงกลง

( ) 0dt

dvC

Rvv

)t(idtvvL1 1

2

t

t

210LS1

0

=+∫−

++−

เมKอ )t(i 0L คKอ ค1ของกระแสตวเหนยวนทเวลเร8มต/นของกรอ8นท8เกรทหรKอคKอค1เร8มต/น

1C

1i

2C NCvSi eqCSi

ก) ข)

2i Ni

v

0.8H

3H

2H

1 Fµ6 Fµ

3 Fµ

2H

3 Fµ

ก) ข)


และใช/ KCL ทปมขวมKอ 0i

Rvv

dt)vv(d

C S12S2

1 =−−

+−

เขยนท2งสองสมกรใหม1ได/ )t(idtv

L1

Rv

dtvL1

dtdv

CRv

0L

t

tS

2t

t1

12

1

00

−∫=−∫++

SS

12

121 i

dtdv

Cdt

dvC

Rv

Rv

+=++−

ร4ป 4.16 วงจร RLC

สมกรอ8นท8กรลผสมอน$พนธ: (integrodifferential) น2 มหลยประเด นทน1สนใจ ประกร แรกแหล1งจ1ยแรงดน Sv จะอยJ1ในสมกรท2งกรทอ8นท8กรลและอน$พนธ: เมKอแหล1งจ1ยท2งสอง ทงนด/วยค1คงทตลอดเวลเรจะสมรถหค1อน$พนธ:และอ8นท8กรลได/ ประกรทสองคKอค1เร8ม ต/นของกระแสตวเหนยวน )t(i 0L ประพฤต8เหมKอนแหล1งจ1ยกระแสค1คงท ทปมตรงกลง

เรจะไม1พยยมหคตอบของสมกรน2ในตอนน2 อย1งไรก ตมเมKอแหล1งจ1ยแรงดน กระต$/นท2งสองคKอ สญญณซยน:เปลยนแปลงตมเวล เปQนไปได/ทเรจะน8ยมอตรส1วนแรงดนต1อ กระแสว1อ8มพแดนซ~ (impedance) หรKอกระแสต1อแรงดนว1 แอดม8ตแตนซ: (admittance) สหรบ อ$ปกรณ:พสซฟท2งสม และเมKอแทนค1ท2งหมดในวงจรข/งต/นจะทให/ตวเหนยวน ตวเก บประจ$ กลยเปQนตวคJณตวหน+งเท1น2น สมกรจะกลยเปQนสมกรพชคณ8ตเช8งเส/นธรรมด และสมรถห คตอบอย1งง1ยดยโดยกรกจดตวแปรต1ง ๆ

1C

2C

L R

Sv Si

2v1vSv

Li


4.6 ระบบค4เสม8อน (duality)

เรจะน8ยมคJ1เสมKอนในเทอมของสมกรของวงจร วงจรสองวงจรจะเปQนคJ1เสมKอนได/ถ/สมกรเมซของวงจรหน+งมค$ณลกษณะเหมKอนกบสมกรปมของอกวงจรหน+ง เรจะเรยกว1เปQนคJ 1เสมKอนทตรงกน (exact dual) ถ/สมกรเมซของวงจรหน+งมตวเลขเท1กนกบตวเลขในสมกรปมของอกวงจร ค$ณสมบต8ควมเสมKอนจะหมยถ+งค$ณลกษณะทเหมKอนกนของวงจรทเปQนคJ1เสมKอน

ร4ป 4.17

เรจะแสดงให/เห นถ+งวงจรคJ1เสมKอน โดยกรเขยนสมกรเมซ (2 สมกร) ของวงจรดงรJป 4.17

1 21

di di3i 4 4 2cos6tdt dt

+ − = (4-17)t

1 22 2

0

di di 14 4 i dt 5i 10dt dt 8

− + + + = −∫ (4-18)

เมKอกหนดให/แรงดนตวเก บประจ$ Cv เท1กบ 10 V ท t = 0 เรจะเขยนสมกรทอธ8บยค$ณสมบต8คJ1เสมKอน (โดยกรเขยนสมกรปม) โดยแทนกระแส

เมซ 1i ในสมกร (4-17) และ 2i (สมกร 4-18) ด/วยแรงดนปม 1v และ 2v ตมลดบจะได/1 2

1dv dv3v 4 4 2cos6tdt dt

+ − = (4-19)t

1 22 2

0

dv dv 14 4 v dt 5v 10dt dt 8

− + + + = −∫ (4-20)

และวดรJปวงจรจกสมกรปมท2งสองได/ดงรJป 4.18

4 H

3 Ω

5 Ω

8 F

2cos 6t V1i

2i

Cv


ร4ป 4.18

ข2นตอนของกรวดรJป เร8มจกเรจะวดเส/นทแสดงปมอ/งอ8ง และจกน2นจะกหนดปมแรงดน 1v และ 2v จกสมกร (4-19) แสดงว1มแหล1งจ1ยกระแส 2cos6t ต1อระหว1งปม 1 และปมอ/งอ8ง โดยมท8ศทงกระแสเข/ปม 1 สมกรน2แสดงว1ค1ตวน 3 J ต1ออยJ1ระหว1งปม 1 และปมอ/งอ8ง จกสมกร (4-20) พ8จรณเทอมทไม1อยJ1ในสมกร (4-19) และสร/งได/โดยต1อตวเหนยวน 8 H และตวน 5 J (ขนนกน) ระหว1งปม 2 และปมอ/งอ8ง เทอมทเหมKอนกนของสมกร (4-19) และ (4-20) แทนได/ด/วยตวเก บประจ$ 4 F ระหว1งปม 1 และปม 2 ค1คงททอยJ1ในสมกร (4-20) คKอกระแสตวเหนยวนท t = 0 ( )( )Li 0 10 A=

วงจรคJ1เสมKอนสมรถสร/งได/อย1งง1ยอกว8ธดงน2 จกวงจรให/วงปมอยJ1ตรงกลงแต1ละเมซและวงปมอ/งอ8งใกล/กบวงจร (ในพK2นทรอบวงจรเด8ม) แต1ละอ$ปกรณ:ทต1อเชKอมระหว1งสองเมซ (mutual) ให/เขยนด/วยเทอมเสมKอนยกเว/นเครKองหมย ในสมกรของสองเมซทพ8จรณจะแทนด/วยอ$ปกรณ:ทเปQนคJ1เสมKอนระหว1งปมท2งสอง ธรรมชต8ของอ$ปกรณ:เสมKอนหได/อย1งง1ย รJปแบบของสมกรคณ8ตศสตร: เหมKอนเด8มเพยงแต1แทนตวเหนยวนด/วยตวเก บประจ$ (หรKอแทนตวเก บประจ$ด/วยตวเหน ยวน) แทนตวต/นทนด/วยตวน (หรKอแทนตวนด/วยตวต/นทน) ดงน 2นตวเหน ยวน 4 H ต1อระหว1งเมซ 1 และเมซ 2 ในวงจรรJป 4.17 จะแทนด/วยตวเก บประจ$ 4 F ต1อระหว1งปม 1 และปม 2 ในวงจรเสมKอนดงรJป 4.18

อ$ปกรณ:ทต1ออยJ1ในแต1ละเมซอ8สระจะแทนด/วยอ$ปกรณ:ทต1อจกปมแรงดนกบปมอ/งอ8ง ตวอย1ง แหล1งจ1ยแรงดน 2 cos 6t V ทอยJ1ในเมซ 1 จะแทนด/วยแหล1งจ1ยกระแส 2 cos 6t A ต1อระหว1งปม 1 และปมอ/งอ8ง เมKอแหล1งจ1ยแรงดนมท8ศตมเข มนฬ8ก แหล1งจ1ยกระแสจะไหลเข/

4 F

8 H3 5 2cos 6t A

1v 2v

Li

ปมอ/งอ8ง


ปมทไม1ใช1ปมอ/งอ8ง สหรบแรงดนค1เร8มต/นของตวเก บประจ$ 8 F จะแทนด/วยกระแสค1เร8มต/นของตวเหนยวน ค1ทงคณ8ตศสตร:จะเหมKอนเด8มและเครK องหมยของค1เร8 มต/นจะหได/อย1งรวดเร ว โดยกรพ8จรณท2งค1แรงดนเร8มต/นและค1กระแสเร8มต/นของท2งสองวงจร ดงน2นถ/ Cv ในวงจรค8ดเปQนแหล1งจ1ยจะเขยน Cv− อยJ1ทงด/นขวของสมกรเมซ ในวงจรเสมKอนถ/ค8ดกระแส

Li เปQนแหล1งจ1ยจะได/เทอม Li− อยJ1ทงด/นขวของสมกรปม เมKอค8ดค1เร8มต/นให/เปQนแหล1งจ1ย แต1ละค1จะมเครKองหมยทเหมKอนกน ดงน2นถ/ ( )Cv 0 10 V= จะได/ ( )Li 0 10 A=

วงจรดงรJป 4.17 เขยนเปQนวงจรคJ1เสมKอนอกว8ธได/ดงรJป 4.19

ร4ป 4.19 วงจรเสมKอน (เส/นท+บ) ของวงจรดงรJป 4.17 (เส/นประ)

เรจะใช/ค$ณสมบต8คJ1เสมKอนเพKอลดข2นตอนกรคนวณลงในกรพ8จรณวงจรมตรฐนพK2นฐน เช1นวงจรอน$กรม RL (คล/ยกบวงจรขนน RC) ดงน 2นจ+งไม1จเปQนต/องพ8จรณท2งสองวงจร (พ8จรณวงจรใดวงจรหน+งก เพยงพอ) อย1งไรก ตมสหรบวงจรทมควมซบซ/อน โดยปกต8จะไม1สมรถใช/ค$ณสมบต8คJ1เสมKอนเพKอให/ได/คตอบอย1งรวดเร ว

4.7 แบบฝHกหดทยบท

1. ตวเหนยวนแต1ละตวในวงจรดงรJป P4.1 มค1เท1กบ 1 H 1) จงหควมเหนยวนสมมJล eqL ทจ$ด ก-ข และ 2) จงหควมเก บประจ$สมมJล eqC ทจ$ด ก-ข เมKอแทนตวเหนยวนด/วยตวเก บประจ$ 1 F

(2.618 H, 0.3819 F)

4 H

3 Ω

5 Ω

8 F

2cos6t V

ปมอ/งอ8ง

2cos 6t A3

5

8 H

4 F


ร4ป P4.1

2. ตวเก บประจ$แต1ละตวในรJป P4.2 มค1เท1กบ 1 Fµ จงหควมเก บประจ$สมมJล eqC ทจ$ด ก-ข เมKอ 1) ท2งจ$ด 1-2 และ 1-3 เปpดวงจร 2) ท2งจ$ด 1-2 และ 1-3 ลดวงจร 3) จ$ด 1-2 เปpดวงจร และจ$ด 1-3 ลด วงจร 4) จ$ด 1-2 ลดวงจร และจ$ด 1-3 เปpดวงจร ( 0.6 Fµ , 0.75 Fµ , 0.7059 Fµ , 0.6 Fµ )

ร4ป P4.2

ข

ก

ข

ก21

13

1 บทท 5 วงจร RL และวงจร RC ทไมมแหลงจาย

บทท 5

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศกษาได อานบทเรยนน#จบ นกศกษาจะมความสามารถดงน#

สามารถอธ(บายสมการค)ณลกษณะของผลตอบสนองของวงจร RC และวงจร RL ได สามารถอธ(บายสมการค)ณลกษณะของผลตอบสนองแบบเอ.กซ0โปแนนเชยลได

หวขอยอย หน า 5.1 แนะน5า 132 5.2 วงจร RL อยางงาย 133 5.3 ค)ณลกษณะของผลตอบสนองเอ.กซ0โปแนนเชยล 135 5.4 วงจร RL โดยทวไป 137 5.5 วงจร RC อยางงาย 140 5.6 วงจร RC โดยทวไป 142 5.7 แบบฝ=กหดท ายบท 144

วงจร RL และวงจร RC ท!ไมมแหลงจาย


5.1 แนะน'า


ในบทกอนเราได เขยนสมการผลตอบสนองของวงจร ทประกอบด วยอ)ปกรณ0ตวเหนยวน5า และตวเก.บประจ) แตเรายงไมได แก สมการ ในบทน#เราจะมาแก สมการดงกลาว แตจะพ(จารณาเฉพาะ วงจรอยางงายคAอวงจรทประกอบด วยตวต านทานและตวเหนยวน5า (RL) หรAอวงจรทประกอบด วย ตวต านทานและตวเก.บประจ) (RC) เทาน#น และในวงจรจะไมมแหลงจาย อยางไรก.ตามอน)ญาต(ให อ)ปกรณ0สะสมพลงงาน (L หรAอ C) เก.บพลงงานไว ได

การว(เคราะห0วงจร (RC หรAอ RL) ข#นอยEกบการสร าง และหาค5าตอบของสมการอ(นท(กรลผสมอน)พนธ0 (integrodifferential) ซงเปQนค)ณลกษณะของวงจร เราจะเรยกสมการชน(ดน#วา homogeneous linear differential equation ซงสมการอน)พนธ0อยางงายน# จะเปQนสมการอนดบหนง รEปแบบของค5าตอบจะข#นอยEกบตวแปรทเปQนฟXงก0ชนของเวลาและคาคงท ณเวลาใดๆ ของตวเหนยว น5าหรAอตวเก.บประจ) (โดยปกต(คAอทเวลาเทากบศEนย0)

ค5าตอบของสมการอน)พนธ0คAอผลตอบสนองของวงจรซงมชAอเรยกหลายชAอ เชนเมAอผลตอบ สนองน#ข#นอยEกบธรรมชาต(โดยปกต(ของวงจร (ชน(ดของอ)ปกรณ0 ขนาด ความสมพนธ0ระหวาง อ)ปกรณ0) เราจะเรยกผลตอบสนองแบบน#วาผลตอบสนองธรรมชาต( ( natural response ) เราต องรE กอนวาวงจรใดๆ ในทางปฏ(บต(ไมมความสามารถเก.บพลงงานได ตลอดไป ตวต านทานตวเก.บประจ) และตวเหนยวน5าจะแปลงพลงงานดงกลาวไปเปQนความร อน ท#งน#เพราะตวเหนยวน5าและ ตวเก.บ ประจ)ในทางปฏ(บต(จะมคาความต านทานผสมอยE นอกจากน#ผลตอบสนองน#จะหายไปเมAอเวลาผานไป ดงน#นเราจงเรยกผลตอบสนองน#ได อกชAอหนงวา ผลตอบสนองชวครE (transient response) ผลตอบสนองน#เปQนผลตอบสนองสวนหนงของผลตอบสนองสมบEรณ0 เมAอเราพ(จารณาวงจรทมการ กระต) น (จายพลงงาน) จากแหลงจายอ(สระ ผลตอบสนองทเก(ดข#นจากการกระต) นน#จะเรยกวาผลตอบสนองกระต) น (forced response) หรAอ ผลตอบสนองอยEตว (steady-state response) ดงน#นผลตอบสนองทเก(ดข#นจากการว(เคราะห0วงจรใดๆ คAอผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต( (ผลตอบสนองชวครE) กบผลตอบสนองกระต) น(ผลตอบสนองอยEตว)ซงจะรวมเรยกวาผลตอบสนองสมบEรณ0 (complete response) โดยในบทน#จะพ(จารณาเฉพาะผลตอบสนองธรรมชาต( สวนผลตอบสนอง กระต) นเราจะพ(จารณากนในบทท 6 5.2 วงจร RL อยางงาย


เราจะพ(จารณาวงจร RL อยางงายในรEป 5.1 เร(มจากการพ(จารณาทกระแสเปลยนแปลงตาม เวลา i(t) โดยก5าหนดให กระแส i(t) ท t = 0 มคาเปQน I0 นนคAอ i(0) = I0 จะได

0dtdiLRivv LR =+=+

หรAอ 0iLR

dtdi =+ (5-1)

และเราจะต องหาคา i(t) จากสมการน# เมAอรE คา I0 เวลา t = 0 ค5าตอบของสมการน#หาได จากหลายว(ธ

ร)ป 5.1 วงจร RL อยางงาย

ว*ธท!หน,!ง คAอการเขยนสมการโดยแยกตวแปรออกจากกน และอ(นท(เกรทท#งสองข างของ สมการ ตวแปรในสมการท (5-1) คAอ i และ t โดยการคEณด วย dt และหารด วย i จากน#นจดให ตวแปร ตางๆ แยกออกจากกน

dtLR

idi −= (5-2)

เมAอกระแส I0 คAอกระแสท t = 0 และ i(t) คAอกระแสทเวลา t อ(นท(เกรทท#งสองข างของสมการได

0

i( t ) t

I 0

di Rdti L

= −∫ ∫

และ 0

ti

I0

Rln i tL

= −

หรAอ 0Rln i ln I (t 0)L

− = − −

ดงน#น R tL

0i(t) I e−

= (5-3)เราจะตรวจสอบค5าตอบของเราโดยแทนสมการ (5-3) ในสมการ (5-1) ซงจะเหมAอนกบ

RRv

( )i t

L Lv


0 = 0 และเมAอแทน t = 0 ในสมการ (5-3) จะได i(0) = I0 ซงยAนยนวาท)กอยางถEกต อง

ว*ธท!สอง คAอการสมม)ต(รEปแบบของค5าตอบกอนแล วถงหาคาค5าตอบทถEกต อง โดยเร(มจาก การสมม)ต(ค5าตอบของสมการท (5-1) ในรEปเอ.กซ0โปแนนเชยล

ts1Ae)t(i = (5-4)เมAอ A และ 1s คAอคาคงททต องการทราบคา หลงจากการแทนคาสมม)ต(น#ในสมการ (5-1) จะได

0eLReAs tsts

111 =+

หรAอ 0Ae)LRs( ts

11 =+

เพAอทจะหาค5าตอบของสมการน#ส5าหรบท)กคาของเวลา ซงจะได ค5าตอบทเปQนไปได คAอ A = 0 หรAอ 1s = − ∞ หรAอ 1

RsL

= − แตถ าเราใช ค5าตอบ A = 0 หรAอ 1s = − ∞ ผลตอบสนองท#งหมดจะมคาเทา- กบศEนย0 และหาคาค5าตอบไมได สมม)ต(ฐานของค5าตอบท#งสองจงไมใช ค5าตอบทเราต องการ ดงน#น จงเหลAอค5าตอบทเปQนไปได คAอ

LRs1 −=

และเขยนสมการ (5-4) ได เปQนLRt

Ae)t(i−

=

คาคงทจะหาได จากคาเร(มต น 0I)0(i = โดยแทน t = 0 ลงในสมการข างบนดงน#นI0 = A

และรEปแบบส)ดท ายของค5าตอบสมม)ต(คAอLRt

0eI)t(i−

= (5-5)ซงถEกต องตรงกบว(ธการหาค5าตอบว(ธอAน กอนทเราจะไปดEผลตอบสนอง เราจะตรวจสอบความ สมพนธ0ของก5าลงและพลงงานในวงจร ก5าลงงานทใช ในตวต านทานคAอ

LRt2

20

2R ReIRiP

−==

และพลงงานรวมทเปลยนไปเปQนความร อนของตวต านทานได จากการอ(นท(เกรทก5าลงงานชวขณะ (instantaneous power) จากเวลาศEนย0ถงเวลาอนนต0

2Rt2 L

R R 00 0

w P dt (I R) e dt∞ ∞

−= =∫ ∫


0

2RtL2

0L(I R( )) e

2R

∞

−= −

20LI

21=

ผลลพธ0ทได แสดงวาพลงงานรวมทเก.บในตวเหนยวน5ามคาเทากบ 20LI

21 และไมมพลงงาน

เก.บอยEถงเวลาอนนต0 พลงงานทเก.บในตวเหนยวน5าท#งหมดจะถEกตวต านทานใช จนหมด

5.3 คณลกษณะของผลตอบสนองเอ2กซโปแนนเชยล

จากการพ(จารณาผลตอบสนองธรรมชาต(ของวงจรอน)กรม RL จะได LRt

0eI)t(i−

= (5-6)ทเวลาศEนย0กระแสถEกสมม)ต(ให เทากบ 0I และเมAอเวลาผานไป คากระแสจะมคาลดลงใกล

ศEนย0 รEปรางทได เปQนรEปแบบเอ.กซ0โปแนนเชยล ในรEป 5.2 แสดงกราฟความสมพนธ0ระหวางกระแส 0i(t) I กบเวลา t กราฟจะไมเปลยนถ า R L ไมเปลยน ดงน#นกราฟจะเหมAอนกนส5าหรบวงจร

อน)กรม RL ทมอตราสวน (ratio) ของ R L หรAอ L R เหมAอนกน

ร)ป 5.2 กราฟของฟXงก0ชน LRt

e−

ถ าอตราสวนของ L ตอ R เพ(มมากข#นเปQนสองเทา เวลาทใช ในการลดลงจะเพ(มข#นเปQนสอง เทา เมAอคาอตราสวน L R มากข#น คากระแสจะลดลงช ากวาเด(ม เราจะน(ยามความเร.วในการลดลง

t

1 0

i I

0


ของผลตอบสนองโดยพ(จารณาเวลาทใช ส5าหรบการลดลงของกระแสจากคาเทากบหนงถงคาเทากบ ศEนย0 ถ าการลดลงมอตราการลดลงอยางตอเนAอง อตราการลดลงตอนเร(มต นหาได จากการอน)พนธ0 สมการ 5-6 ทเวลาเทากบศEนย0

LRe

LR

dtdi

I1

0tLRt

0t0

−=−= =

−

=

เราจะให คาอตราการลดลงเปQนคาคงท โดยพ(จารณาจากเวลาทท5าให 0i(t) I ลดลงจาก 1 ถง 0 และ ให มสญลกษณ0 τ ดงน#นความชนของกราฟจะเทากบ R L

1LR =τ

หรAอ RL=τ

อตราสวน L R มหนวยเปQนว(นาท แต Rt L− จะไมมหนวย คา τ เรยกวาคาคงตวทาง เวลา (time constant) คาคงตวทางเวลาแสดงในรEป 5.3 คาคงตวทางเวลาของวงจรอน)กรม RL สามารถหาได จากกราฟผลตอบสนองโดยการลากเส นสมผสกบกราฟทเวลา t = 0 และลากมาตดท แกนเวลา ว(ธการน#เปQนว(ธการประมาณคาอยางงายๆ ซงสามารถท5าได กบกราฟบนเครAองออสช(ลโล- สโคป (osciloscope) ความส5าคญของคาคงตวทางเวลาคAอสามารถหาคาของ 0i(t) I ท t = τ ได

368.0eI

)(i 1

0==

τ − และ 0I368.0)(i =τ

ดงน#นทเวลาเทากบหนงเทาของคาคงตวทางเวลา ขนาดของผลตอบสนองจะลดลงเหลAอเทากบ 36.8% ของคาเร(มต น คาคาคงตวทางเวลาจะหาได จากกราฟในรEป 5.4 ซงงายในการหาการ ลดลงของกระแสในหนงเทาของคาคงตวทางเวลา และสามารถค5านวณการลดลงของกระแสได ดงน#

0i(t) I จะมคาลดลงเหลAอเทากบ 0.368 ท t = τ และมคาเทากบ 0.135 ท t = 2 τ เมAอค(ดท t = 3 τ จะมคาเทากบ 0.0498 และท t = 4 τ จะมคาเทากบ 0.0183 ส)ดท ายทเวลา t = 5 τ มคาเทากบ 0.0067 เพAอความสะดวกเราจะก5าหนดให ทเวลา 3 τ ถง 5 τ คากระแสลดลงเปQนศEนย0เพราะมคาน อยกวา 1% ของคาเร(มต น

ถ าท5าให อตราสวน L R มคามากจะท5าให ผลตอบสนองลดลงช ามากข#น เมAอคา L มากข#น พลงงานทเก.บอยEในตวเหนยวน5าจะมากตามไปด วย ท5าให ในการถายเทพลงงานออกมาจงใช เวลา มากข#นตามไปด วย ในเทอมของคาคงตวทางเวลา ผลตอบสนองของวงจรอน)กรม RL จะเขยนได

τ−

=t

0eI)t(i


ร)ป 5.3 คาคงตวทางเวลา τ คAอ L R ส5าหรบวงจรอน)กรม RL

ร)ป 5.4 กระแสในวงจรอน)กรม RL มคาเทากบ 36.8% 13.5% และ 5% ของคาเร(มต น ทเวลาเทากบ 1 τ , 2 τ และ 3 τ ตามล5าดบ

5.4 วงจร RL โดยท!วไป

สามารถท5าการขยายผลลพธ0ทได จากวงจรอน)กรม RL กบวงจรทม R และ L ประกอบข#น เปQนวงจร จะพ(จารณาเฉพาะกบอ)ปกรณ0ท#งสองน#เทาน#น ตวอยางในรEป 5.5 หาวงจรสมมEลของ R และ L กอน

21

2143eq RR

RRRRR

+++=

และคาคงตวทางเวลาคAอ

t

1 0

i I

0 τ

t

1 0

i I

0

0.3680.1350.050

τ 2τ 3τ


eqRL=τ

กระแสตวเหนยวน5า iL คAอτ

−

=t

LL e)0(ii (5-8)เราจะเรยกสมการ (5-8) วาเปQนค5าตอบพA#นฐานของปXญหาน# เชนถ าต องการหาคา 2i ใน 2R เรา สามารถใช กฎการแบงกระแสหาค5าตอบของวงจรได

τ−

+−=

t

L21

12 e)0(i

RRR

i

ร)ป 5.5 วงจรไมมแหลงจายทประกอบด วยตวเหนยวน5า 1 ตวและตวต านทานหลายตว ซงหาคาคงตวทางเวลาได เทากบ eqR/L=τ

ถ าเรารE คาเร(มต นของกระแสอAนทไมใชกระแสตวเหนยวน5า ตวอยางกระแสในตวต านทาน ซงจะเปลยนแปลงคาอยางทนททนใด เราจะแทนเวลาหลงจากมการเปลยนแปลงท t = 0 โดยใช สญลกษณ0 +0 ในภาษาคณ(ตศาสตร0 ( +0 ) คAอขอบด านบวก ดงน#นถ าเราให คาเร(มต นของ i1 คAอ i1( +0 ) เราจะหาคาเร(มต นของ i2 ได

2

112 R

R)0(i)0(i ++ =

จากคาน#เราจะได คาเร(มต น iL (0) หรAอ [ iL(0- ) หรAอ iL (0+) ซงท#งสามคาจะเทากนตามน(ยามของตวเหนยวน5าทกระแสจะเปลยนแปลงอยางฉบพลนไมได ]

[ ] )0(iR

RR)0(i)0(i)0(i 1

2

2121L

++++ +−=+−=

และสมการ i2 จะกลายเปQนτ

−+=t

2

112 e

RR

)0(ii

1R

LiL

4R2R

3R

1i 2i


จะเห.นได วา เราจะได สวนท ายของสมการน#โดยตรงจากวงจรเมAอกระแสตวเหนยวน5าลดลง เปQนเอ.กซ0โปเนนเชยล t

e−τ กระแสทไหลในวงจรท#งหมดจะมฟXงก0ชนเอ.กซ0โปเนนเชยลเหมAอนกน

ซงจะเห.นได อยางชดเจน ถ าเราพ(จารณากระแสตวเหนยวน5าให เปQนแหลงจายกระแสทจายให กบ วงจรความต านทาน คาของกระแสและแรงดนท)กคา ในวงจรความต านทานจะต องมตวแปรเวลา t ด วยเหมAอนกน โดยใช แนวความค(ดน# เราจะได i2 คAอ

τ−

=t

2 Aei

เมAอ eqR

L=τ

และ A หาได จากการรE คาเร(มต นของ i2 เมAอทราบ )0(i1+ คาแรงดนตกครอม 1R และ 2R จะได

2

112 R

R)0(i)0(i ++ =

ดงน#น τ−+=

t

2

112 e

RR

)0(ii

ข#นตอนคล ายกนน#จะชวยให เราหาค5าตอบได อยางรวดเร.วในวงจรขนาดใหญ ส(งแรกทต อง นกถงคAอตวแปรเวลาของผลตอบสนองในรEปแบบเอ.กช0โปเนนเชยล จะหาคาคงตวทางเวลาได โดย การหาความต านทานสมมEล เขยนค5าตอบกบขนาดทไมทราบคา (A) และหาขนาดจากสภาวะเร(มต น (โดยปกต(คAอ t = 0) ว(ธการเดยวกนน#สามารถประย)กต0ใช ได กบวงจรทประกอบด วยตวต านทานสมมEล 1 ตวและตวเหนยวน5าสมมEล 1 ตว

ตวอยาง 5.1 จงหา 1i และ Li ในวงจรรEป 5.6

ร)ป 5.6 หลงจาก t = 0, วงจรจะลดรEปเหลAอตวต านทานสมมEล 110 โอมห0 อน)กรมกบตวเหนยวน5าสมมEล 2.2 mH

90Ω

Li

1mH

3mH50Ω

2mH

1i

t = 0

60Ω120Ω

18 V


ว*ธท'า หลงจาก t = 0 เมAอแหลงจายไมได จายแรงดนแล ว เราค5านวณตวเหนยวน5าสมมEลได mH2.21

323x2L eq =+

+=

และความต านทานสมมEล

eq90(60 120)R 50 110

90 180+= + = Ω

+และหาคาคงตวทางเวลา

s20110

10x2.2RL 3

eq

eq µ===τ−

ดงน#นรEปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต(คAอ Ae-50 000t เมAอแหลงจายอ(สระตออยE (t < 0) จะได iL เทากบ 18/50 หรAอ 0.36 A. ขณะ ( )1i 0− เทากบ 18/90 หรAอ 0.2A สวนทเวลา t = +0 , Li จะ ยงคงเทากบ 0.36 A แต i1 จะเปลยนแปลงไปเทากบ

A24.0270180)0(i)0(i L1 −=−= ++

ดงน#น L 50 000t

0.36 (t 0)i

0.36e (t 0)−

<= >

และ 1 50 000t

0.2 (t 0)i

0.24e (t 0)−

<= − >

5.5 วงจร RC อยางงาย

วงจรอน)กรมระหวางตวต านทานและตวเก.บประจ)มจ5านวนมากกวา วงจรอน)กรมระหวาง ตวต านทานและตวเหนยวน5า ท#งน#เพราะความงายในการใช ตวเก.บประจ) มมากกวาตวเหนยวน5าไม วาจะเปQนวงจรขยาย วงจรชดเชยในระบบควบค)มอตโนมต( หรAอในการสงเคราะห0วงจรตางๆ เรา เลAอกวงจร RC มากกวาวงจร RL เทาทเปQนไปได เหต)ผลหนงคAอการสEญเสยของตวเก.บประจ)มน อย กวาตวเหนยวน5า ในอ)ปกรณ0ทใช จร(ง ก.มราคาทถEกกวา อกท#งแบบจ5าลองทางคณ(ตศาสตร0ก.มความ ถEกต องมากกวา ขนาดเล.ก และน#5าหนกเบากวา

พ(จารณารEป 5.7 โดยสมม)ต(พลงงานทเก.บไว ในตวเก.บประจ)0v)0(v =

กระแสรวมทไหลเข าออกจากปมบนของวงจรจะเทากบศEนย0


0Rv

dtdvC =+

หาร C ตลอด0

RCv

dtdv =+ (5-9)

สมการ (5-9) เทยบกบสมการ (5-10)0

LRi

dtdi =+ (5-10)

ร)ป 5.7 วงจรขนาน RC ก5าหนดให คาเร(มต นเทากบ 0v)0(v =

แสดงการแทน i ด วย v และ L R ด วย RC จะท5าให สมการเหมAอนเด(ม ดงทกลาวไปแล ว วงจร RC เปQนวงจรคEเสมAอน (dual) กบวงจร RL ทพ(จารณาไปกอนแล วและจากค)ณสมบต(คEเสมAอน (duality) ของวงจร RC เราจะพ(จารณา )t(v โดยการแทน i(t) ในวงจร RL ถ าความต านทานของ วงจรหนงเทากบสวนกลบของความต านทานอกวงจรหนง และคา L เทากบคา C ดงน#นผลตอบ สนองของ RL

LRt

0LRt

eIe)0(i)t(i−−

==

สามารถเขยนได ใหมเปQนRCt

0RC

t

eVe)0(v)t(v−

−

==

ส5าหรบวงจร RC สมม)ต(เลAอกกระแส i เปQนตวแปรในวงจร RC และใช กฎ KVL0Ri)t(vidt

C1

0

t

t0

=+−∫

เราจะได สมการอ(นท(เกรท อยางไรก.ตาม ถ าเราอน)พนธ0เทยบเวลาท#งสองข างของสมการ0

dtRdi

Ci =+ (5-11)

และแทน i ด วย V R จะได สมการ (5-9) อกคร#ง

Rv

i

C


0dtdv

RCv =+

คาคงตวทางเวลาของวงจร RC หาได โดยใช ความสมพนธ0คล ายกนกบคาคงตวทางเวลาของ วงจร RL หรAอหาได จากเวลาทผลตอบสนองตกลง 36.8% ของคาเร(มต น

1RC

=τ

และ RCτ =

ร)ป 5.8 กราฟแรงดนตวเก.บประจ)ของวงจรขนาน RC วาดในฟXงก0ชนของเวลา

กราฟเอ.กช0โปเนนเชยลทมก5าลงต(ดลบ เมAอคา R หรAอ C มากข#น คาคงตวทางเวลาจะมากข#น ตามไปด วย และการสEญเสยพลงงานก.จะช าลงด วย คาความต านทานทมคามากจะก(นพลงงานน อย ดงน#นจงใช เวลาในการเปลยนพลงงานไปเปQนความร อนนาน สอดคล องกบตวเก.บประจ)ทมคาสEงๆ ซงจะสามารถเก.บพลงงานได มาก

5.6 วงจร RC โดยท!วไป

วงจร RC ตาง ๆ ทเราจะหาผลตอบสนองธรรมชาต(จะต องจดให วงจรประกอบด วยตวต าน- ทานสมมEลและตวเก.บประจ)สมมEลอยางละ 1 ตวกอน

ตวอยาง 5.2 จงหา )0(v + และ )0(i1+ ของวงจรรEป 5.9

t

0V

v

0 τ

00.368V


ร)ป 5.9 ก) วงจร RC ทมเก.บประจ)หนงตวและตวต านทานหลายตว ข) ตวต านทานสามารถรวมกนเปQนตวต านทานสมมEลได

ว*ธท'า เราท5าวงจร 5.9 ก) ให งายข#นดงแสดงในรEป 5.9 ข) และสามารถเขยนค5าตอบได วาCR

t

0eqeV)t(v

−

=

เมAอ v(0) = V0 และ

31

312eq RR

RRRR

++=

กระแสและแรงดนท#งหมดในวงจรจะอยEในรEปแบบ CRt

eqAe−

เหมAอนกน เมAอ A คAอคาเร(ม ต นของคากระแสหรAอแรงดน ดงน#นกระแสใน R1 คAอ

τ−

+=t

11 e)0(ii

เมAอ C)RR

RRR(

31

312 +

+=τ และ )0(i1

+ หาได จากสภาวะเร(มต น สมม)ต(วาโจทย0ก5าหนดให คา v(0) มา จากน(ยามของตวเก.บประจ) แรงดนทตกครอมตวเก.บประจ)ไมสามารถเปลยนแปลงคาได อยางทนททนใด ดงน#นเราอาจค(ดให แหลงจายแรงดนอ(สระแทนตวเก.บประจ)ได , v(0) จะได

31

3

313121 RR

R)RR/(RRR

)0(v)0(i+

++

=+

ผลตอบสนองทได (รวมท#งว(ธค(ดทกลาวมา) เหมาะสมส5าหรบวงจร (RC) ทสามารถย)บตวต านทานและตวเก.บประจ)เหลAออยางละตวได (และเหมาะสมส5าหรบวงจร (RL) ทสามารถย)บตวต านทานและตวเหนยวน5าให เหลAออยางละตวได )

ก) ข)

eqRvC

1i

1R

2R

C

3R

v


5.7 แบบฝCกหดทายบท

1. หลงจากสว(ตซ0ปtดมาเปQนเวลานานดงรEป P5.1 เมAอสว(ตซ0เปtดออกทเวลาเทากบศEนย0 ( )t 0= จงหา 1) ( )Li 0+ และ ( )Lw 0+ 2) ( )Li t และ 3) ( )10v t

ร)ป P5.1ว*ธท'า

1) ( ) ( ) ( )L L L12i 0 i 0 i 0 2 5 A4

− += = = + = และ ตอบ

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

L L1 1w 0 L i 0 4 5 50 J2 2

+ += = = ตอบ

2) ( ) ( )Rt 10t

2.5tL 4L Li t i 0 e 5e 5e A, t 0

− − −= = = > ตอบ

3) ( ) ( )Rt

2.5tL10 10v t v 0 e 50e V, t 0

−+ −= = − > ตอบ

2. ส5าหรบวงจรในรEป P5.2 จงหา ( )Li t ( )2000t8e mA, t > 0−

ร)ป P5.2

4 Ω

12 V

t 0=

10v 10 Ω 4 H2 A

Li

100 Ω

50 Ω

200 Ω 20 mH

Li

t 0=12 mA


3. จงหาพลงงานทเก.บอยEในตวเหนยวน5าของวงจรดงรEป P5.3 หลงจากเปลยนสว(ตซ0ไป 20 sµ

ร)ป P5.3

ว*ธท'า ( ) 4

200t4x10 t0.005

Li t 5e 5e mA, t 0− −= = >

( ) ( ) ( ) 42 3 6 8x10 tL L

1 1w t Li 5x10 25x10 e J2 2

− −= = ( )5

Lw 2x10 12.619 nJ− = ตอบ

4. สว(ตซ0ในวงจรดงรEป P5.4 เปtดทเวลา t = 0 จงหา 1) ( )v t ส5าหรบ t > 0

2t

72 V t 0v(t)

144e V t > 0−

− < =

ร)ป P5.4

5 mH

200 Ω5 mA

t 0=

90 V

12 Ω

24 Ω

2 Ω

t 0=

v

18 H


5. แบตเตอรในรEป P5.5 ไมตอทเวลา t = 0 จงหา 1) ( )Li 0− 2) ( )Li 0+ 3) หาคาคงตวทางเวลา 4) ( )Li t

ร)ป P5.5ว*ธท'า

1) ( ) ( )L100 20i 0 x 8 A

6 20 // 5 25− = =

+ ตอบ

2) ( )Li 0 8 A+ = ตอบ

3)eq

L 0.01=0.5 msR 20

τ = = ตอบ

4) ( )L 2000t

8 A t 0i t

8e A t 0−

<=

>ตอบ

6. สว(ตซ0ในรEป P5.6 เปtดทเวลา t = 0 หลงจากปtดมาเปQนเวลานานจงหา ( )Cv t และ ( )Xv t ท t > 0 ( )3333t

Cv (t) 9.6e V, t > 0 −=

( Xv (0 ) 7.2 V − = , 3333tXv (0 ) 5.76e V , t > 0+ −= )

ร)ป P5.6

10 mH100 Ω5 Ω

20 Ω

6 Ω100 V

t 0=Li

18 Ω

6 Ω1 Ω

6 Ω

10 V

t 0=Xv Cv10 Fµ


7. จากวงจรดงรEป P5.7 จงหาคาตางๆ ทเวลา t = 1 ว(นาท 1) Cv 2) Rv 3) SWv

ร)ป P5.7

ว*ธท'า1) ( ) ( ) 0.8t

C Cv 0 10 V v t 10e V, t 0−= ∴ = > ( )Cv 1 4.493 V= ตอบ

2) ( ) ( ) ( )0.8t 0.8tR R Rv t v 0 e 8e v 1 =3.595 V+ − −= = ∴ ตอบ

3) ( ) ( )SW Rv 1 12 v 1 8.405 V= − = ตอบ

8. ในวงจรดงรEป P5.8 ทเวลา t = 0 เลAอนสว(ตซ0จากจ)ด A ไปจ)ด B จงหา ( )i t

2000t

10 A t < 0i(t)

6e A t > 0−

=

ร)ป P5.8

12 V

4 Ω

20 Ω

5 Ω

50 mFCv

Rv

t 0=

SWv

200 V

2 Ω

9 Ω 18 Ω

4 Ω

50 Fµ

i

t 0=A

B


9. จากวงจรดงรEป P5.9 จงหา 1) ( )Cv 0 2) คาคงตวทางเวลา 3) ( )Cv t

ร)ป P5.9

ว*ธท'า1) ( ) ( )C

20 200v 0 x x1500 = 10 V 120 1800 // 200 1800+200

=+ ตอบ

2) ( ) 775 500 //1500 10 45 sτ + = µ ตอบ

3) ( ) 22,222tCv t 10e V, t > 0−= ตอบ

10. ในวงจรดงรEป P5.10 จงหา ( )Rv t

R 500,000t

800 V t < 0v (t)

200e V t > 0−

= −

ร)ป P5.10

20 V 120 Ω

200 Ω

300 Ω 1500 Ω 75 Ω

0.1 Fµ

Cv

t 0=

10 Ω

50 Ω20 Ω

5 Ω0.5 Fµt 0=

60 A

Rv

1 บทท 6 ฟงก ชนกระตนหนงหนวยและการประยกต ใช

บทท 6

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศกษาไดอานบทเรยนน'จบ นกศกษาจะมความสามารถดงน'

สามารถอธ-บายฟงก ชนกระตนหนงหนวยไดสามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตนของวงจร RL ไดสามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตนของวงจร RC ได

หวขอยอย หนา 6.1 แนะน.า 155 6.2 ฟงก ชนกระตนหนงหนวย 155 6.3 วงจร RL 160 6.4 ผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน 162 6.5 วงจร RL 163 6.6 วงจร RC 169 6.7 แบบฝ>กหดทายบท 172

ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช


6.1 แนะน&า

ในบททแลวเราเรยนร?ผลตอบสนองของวงจร RL และ RC เม@อไมมแหลงจาย (หร@อฟงก ชน กระตน (Forcing function)) ซงเราจะเรยกวาผลตอบสนองธรรมชาต- ท'งน'เพราะวาข'นอย?กบธรรม- ชาต-ของวงจร ในตวอยางหลาย ๆ ขอเราพบวงจรทมแหลงจายและสว-ตซ ซงเราสามารถยายเอา แหลงจายออกจากวงจรได โดยการเปRดสว-ตช ทเวลา t = 0 ขณะทตวเหนยวน.าและตวเกTบประจซง เกTบพลงงานไวและถายพลงงานออกไปใหตวตานทานจนหมด (ผลตอบสนองชวคร?) หร@อกลาวได วาเราสามารถว-เคราะห ผลตอบสนองของวงจรเม@อแหลงจายถ?กยายออกจากวงจรได ส.าหรบในบท น'เราจะพ-จารณาผลตอบสนองสมบ?รณ ซงเปUนผลตอบสนองทเก-ดข'นเม@อมการท.างานของสว-ตซ แลวท.าใหวงจรมแหลงจายอย?ในวงจร

6.2 ฟงกชนกระตนหนงหนวย

การใหแหลงจายท.างานอยางทนททนใด เชนการสว-ตช แบตเตอรเขาไปในวงจร การท.างาน ในลกษณะน'จะคลายกบ ฟงก ชนกระตนทมคาเร-มตนจากศ?นย และเพ-มข'นอยางรวดเรTวไปอย?ระดบ คงทคาหนงเชน เทากบแรงดนแบตเตอร (เม@อสว-ตช ปRดสน-ท) ฟงก ชนกระตนจะมความไมตอเน@อง ขณะเม@อสว-ตช ปRด และเราจะเรยกฟงก ชนกระตนพ-เศษน'ทมความไมตอเน@องหร@อมอนพนธ ทไมตอเน@องวาฟงก ชนเอกฐาน (Singularity function) ฟงก ชนทส.าคญ 2 ฟงก ชนค@อ ฟงก ชนหนงหนวย (unit-step function) และฟงก ชนอ-มพลส (unit-impulse function) ในบทน'จะพ-จารณาเฉพาะฟงก ชน หนงหนวย

เราน-ยามฟงก ชนกระตนหนงหนวยเปUนฟงก ชนของเวลาทมคาเทากบศ?นย ทเวลา(ในวงเลTบ) มคานอยกวาศ?นย และจะมคาเทากบหนงเม@อเวลา (ในวงเลTบ) มคามากกวาศ?นย ดงร?ป 6.2 ถาเวลาในวงเลTบค@อ )tt( 0− ฟงก ชนหนงหนวย )tt(u 0− จะมคาเทากบศ?นย เม@อคาของ t มคานอยกวา 0t และจะมคาเทากบหนง เม@อคาของ t มคามากกวา 0t ท 0tt = , )tt(u 0− จะเปลยนจาก 0 เปUน 1 อยางทนททนใด เราจะไมน-ยามคาของฟงก ชนกระตนหนงหนวยทเวลา 0tt = (เราร?เฉพาะคาทใกล เคยง 0tt = เทาน'น) ดงน'นสมการทางคณ-ตศาสตร ของฟงก ชนหนงหนวยค@อ


><

=−0

00 tt 1

tt 0 )tt(u

และฟงก ชน )tt(u 0− วาดแสดงเปUนกราฟไดในร?ป 6.1

ร(ป 6.1 ฟงก ชนกระตนหนงหนวย

ในบทน'เราจะพ-จารณาเฉพาะฟงก ชนของเวลา (ถงแมวาฟงก ชนหนงหนวยจะไมจ.าเปUนตองเปUนฟงก ชนของเวลาเทาน'น) ตวอยางเชน )xx(u 0− เปUนฟงก ชนหนงหนวย แตไมใชฟงก ชน กระตนหนงหนวย เพราะวาไมเปUนฟงก ชนของเวลา แตเปUนฟงก ชนของ x เม@อ x แทนระยะทางใน หนวยเมตร บอยคร'งในการว-เคราะห วงจรทมการสว-ตช เก-ดข'น หร@อมการกระท.าแบบไมตอเน@อง เก-ดข'นทเวลา t = 0 ซงในกรณน'เราสามารถเขยนเวลาขณะทเก-ดการเปลยนแปลงไดเปUน 0t 0 = และสามารถแทนฟงก ชนกระตนหนงหนวยดวย )0t(u − หร@อ u(t) ได

ร(ป 6.2 ฟงก ชนกระตนหนงหนวยแสดงในเทอมเวลา

t

1

0u(t t )−

0 0t

t

1

u(t)

0


><

=0t 10t 0

)t(u

ฟงก ชนกระตนหนงหนวยไมมหนวย ถาเราตองการใหมขนาดแรงดนเทาไร (หร@อกระแสเทาไร) กTสามารถท.าไดโดยการค?ณแรงดนคาคงท (หร@อกระแสคาคงท, 0i ) 0v กบ )tt(u 0− กTจะ ไดแรงดน (กระแส) มขนาดเทาทตองการ ตวอยาง )tt(uv)t(v 00 −= ซงเปUนแหลงจายแรงดนทมคา เทากบศ?นย ท 0tt = และมคาเทากบ 0v หลงจาก 0tt = ฟงก ชนกระตนน'แสดงในร?ป 6.3 ก)

ร(ป 6.3 ก) แหลงจายฟงก ชนกระตนหนงหนวย ข) วงจรอยางงาย ค) วงจรสมม?ล

ถาเราถามวาจะมแหลงจายในทางปฏ-บต-ชน-ดใด ทมพฤต-กรรมเหม@อน (สมม?ล) กบฟงก ชน กระตนแบบไมตอเน@อง เม@อความสมม?ล (equivalent) หมายถง วงจรขายสองวงจรมความสมพนธ ระหวางแรงดนและกระแสทเหม@อนกน ดงน'นส.าหรบแหลงจายแรงดนหนงหนวยในร?ป 6.3 ก) วงจรขายมแรงดนเทากบศ?นย เม@อ 0t t< และมคาเทากบ 0V เม@อ 0t t> เราสามารถสรางวงจรทมพฤต-กรรมใกลเคยงกบวงจรน'ไดดงร?ป 6.3 ข) เม@อตอแหลงจายไฟตรง 0V อนกรมกบสว-ตช ทปRด ณ เวลา 0t t= แตวงจรขายน'จะไมสมม?ลกบร?ป 6.3 ก) ในชวงเวลา 0t t< เน@องจากแหลงจายจะเปRด วงจรท.าใหเราไมทราบวามแรงดนตกครอมทข'วของวงจรขายเทาไร (ซงไมรบประกนวาเทากบศ?นย แนนอน) แตหลงจาก 0t t= วงจรขายจะมคณสมบต-เหม@อนกน

ดงน'นเพ@อสรางวงจรขายทสมม?ลกนทกประการ เราจะใชสว-ตช 2 ทางดงร?ป 6.3 ค) ทกอน เวลา 0t t= วงจรขายจะมคาแรงดน 0 V หลงจาก 0t t= วงจรขายจะมแรงดนเทากบ 0V

ร?ป 6.4 ก) แสดงฟงก ชนกระตนกระแสหนงหนวย เราสามารถสรางวงจรสมม?ลไดโดยการตอแหลงจายกระแสตรงขนานกบสว-ตช (ทเปRดเม@อ 0t t= ) ซงเราจะไดวงจรสมม?ลเฉพาะเวลาหลง จาก 0t t= ท'งน'โดยมเง@อนไขวาคาเร-มตนของท'งค?ตองมคาเทากนเทาน'น ดงน'นเราจงสามารถแทน วงจรร?ป 6.4 ก) ดวยร?ป 6.4 ข) ไดดงทกลาว

ก)

0 0V u(t t )−วงจรขายโดยทวไป

ข)

0V

วงจรขายโดยทวไป

ค)

0V

วงจรขายโดยทวไป

t = 0

0t = t


ร(ป 6.4 ก) ฟงก ชนกระตนกระแสหนงหนวย ข) วงจรอยางงายทไมสมม?ลกบร?ป ก แตใชแทนไดโดยมเง@อนไข

เราสามารถสรางแรงดนทมร?ปคล@นเปUนพลส สเหลยม (rectangular voltage pulse) ไดโดยใช ฟงก ชนหนงหนวย ร?ปพลส วาดไดในร?ป 6.5 และสามารถเขยนร?ปคล@นพลส ในเทอมของฟงก ชน หนงหนวยได

<<<

<=

tt 0ttt V

tt 0 )t(v

1

100

0

ร(ป 6.5 แรงดนร?ปคล@นพลส สเหลยม

พ-จารณาผลตางของฟงก ชนหนงหนวย 2 ฟงก ชน )tt(u)tt(u 10 −−− ดงร?ป 6.6 ก) ผลตาง ทไดจะมร?ปรางสเหลยม และเม@อเราใหแหลงจายแรงดนเปUน )tt(uV)tt(uV 1000 −−− ดงร?ป 6.6 ข) จะไดแรงดนสเหลยม

ก)

0 0I u(t t )−วงจรขายโดยทวไป

ข)

0Iวงจรขายโดยทวไป

t = 0

t

0V

v(t)

0 0t 1t


ร(ป 6.6 ก) ฟงก ชนหนงหนวย )tt(u 0− และ )tt(u 1−− ข) แหลงจายทก.าเน-ดแรงดนสเหลยม

ถาเรามแหลงจายแรงดนซายน )tsin(Vm ω ตอเขากบวงจรทเวลา 0t t= เ ราจะไดแรงดน ฟงก ชนกระตนค@อ )tsin()tt(uV)t(u 0m ω−= ถาสมมต-วาเราตองการสงสญญาณน'ออกจากเคร@อง สงเรดาร ในชวงเวลา 1 10 sµ เทาน'น เราจะใชฟงก ชนกระตนหนงหนวยท.างานในร?ปแบบของคล@นเปUนพลส สเหลยมทมชวงเวลาเทากบ 1 10 sµ ดงน'นจะไดแรงดนร?ปคล@นพลส ค@อ

7m 0 0u(t) V u(t t ) u(t t 10 ) sin t− = − − − − ω

ร(ป 6.7 ร?ปคล@นพลส ความถว-ทยฟงก ชนกระตนหนงหนวยทพ-จารณามแตเฉพาะในแบบจ.าลองทางคณ-ตศาสตร ท'งน'เพราะ

หลกการท.างานของสว-ตช ในทางปฏ-บต-ไมมคณสมบต-ทเหม@อนแบบจ.าลองทางคณ-ตศาสตร ฟงก ชนกระตนหนงหนวย แตอยางไรกTตามถาเวลาในการสว-ตช มคานอยกวา 1 ns กTพอเพยงส.าหรบวงจร โดยทวไปเพราะคาเวลาของการสว-ตช น'มคาต.าเพยงพอ เม@อเปรยบเทยบกบคาคงตวทางเวลาของ วงจร ดงน'นเราจงสามารถสมมต-การท.างานของสว-ตช น'ใหเปUนฟงก ชนหนงหนวยได

t

10u(t t )−

00t 1t

1− 1u(t t )− −

ก)

0Vu(t t )−

1Vu(t t )−v(t)

ข)

t

V

0 0t 70t 10−+

V−


6.3 วงจร RL

พ-จารณาวงจรอยางงายดงร?ป 6.8 ก) ประกอบดวยแหลงจาย 0V ตออนกรมกบสว-ตช ตว ตานทาน และตวเหนยวน.า สว-ตช ปRดทเวลา t = 0 ก.าหนดใหกระแส i(t) มคาเทากบศ?นย ทเวลากอน t = 0 (หร@อ t < 0) และเราสามารถแทนแหลงจายและสว-ตช ดวยฟงก ชนกระตนหนงหนวย )t(uV0 ซงจะใหผลตอบสนองกอน t = 0 และหลง t = 0 ของท'งสองวงจรทเหม@อนกน

เราจะหา i(t) ไดโดยการเขยนสมการ และแกสมการ (ดวยการแยกตวแปรออกจากกนและ อ-นท-เกรท) หลงจากน'นเราจะไดค.าตอบซงจะสงเกตเหTนไดวาม 2 สวนประกอบกน (ในหวขอน'จะ พ-จารณาถงความส.าคญของท'งสองเทอม)

ร(ป 6.8 ก) วงจรอนกรม ข) วงจรสมม?ลโดยการแทนสว-ตซ ดวยฟงก ชนหนงหนวย

เราสรางสมการไดอยางงาย ๆ โดยประยกต ใช KVL)t(uV

dtdiLRi 0=+

เม@อฟงก ชนกระตนหนงหนวย ( )u(t) มสญญาณไมตอเน@องทเวลา t = 0 ซงแบงออกไดเปUนสองเทอมค@อ เทอมแรกเม@อ t < 0 และ

0t 0)t(i <=

เทอมทสองเม@อ t > 0 (ส.าหรบเวลาเปUนบวก u(t) เทากบหนง) จะได0t V

dtdiLRi 0 >=+

การแกสมการทเวลา t > 0 ท.าไดโดยเร-มจากการแยกตวแปรออกจากกน

R

t = 0 ( )i t

0V L

R

( )i t

0V u(t) L

ก) ข)


dtRiV

Ldi

0=

−

และอ-นท-เกรทท'งสองขางของสมการkt)RiVln(

RL

0 +=−−

เพ@อทจะหาคาของ k เราจะใชคากระแสทสถานะเร-มตน (กอน t = 0) ซงจะได i(t) = 0 หร@อ 0)0(i =− เม@อกระแสในตวเหนยวน.าไมสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได จะได 0)0(i =+

ดวย kVln

RL

0 =−

และดงน'น[ ] tVln)RiVln(

RL

00 =−−−

จดใหมไดLRt

0

0 eV

RiV−

=−

หร@อ LRt

00 eRV

RV

i−

−=

ดงน'น สมการผลตอบสนองสมบ?รณ ค@อ

)t(u)eRV

RV

(i LRt

00−

−= (6-1)เทอมเอTกช โปแนนเชยลในสมการ(6-1) ค@อผลตอบสนองธรรมชาต-ของวงจร RL ซงเปUนคา

เอTกซ โปแนนเชยลต-ดลบ (แสดงวาเทอมน'จะมคาเปUนศ?นย เม@อเวลาเพ-มข'น) สวนอตราการลดลงจะ เรTวหร@อชาข'นอย?กบคาคงททางเวลา (L R)τ = สวนขนาดของผลตอบสนองจะข'นอย?กบคา 0V สวนอกเทอมทเหล@อค@อคาคงท 0V R เทอมคาคงทน'อธ-บายไดเม@อผลตอบสนองธรรมชาต-มคา เทากบศ?นย แลวหลงจากการเปลยนแปลงผานไป (ประมาณ 5τ หร@อมากกวา) ผลตอบสนองยงคง เหล@ออย?เฉพาะผลตอบสนองจากฟงก ชนกระตนเพยงอยางเดยว เราจงเรยกผลตอบสนองน'วาผล ตอบสนองกระตน (forced response) ผลตอบสนองน'จะมผลเม@อเวลาผานไปนานๆ หลงจากสว-ตช ปRดแลว ดงน'นผลตอบสนองสมบ?รณ จะประกอบไปดวย 2 สวน ค@อผลตอบสนองธรรมชาต-และผล ตอบสนองกระตน ผลตอบสนองธรรมชาต-ค@อ ผลตอบสนองทสอดคลองกบคณลกษณะของวงจร โดยไมเกยวของกบแหลงจายท'งร?ปแบบหร@อฟงก ชน และจะหาไดจากวงจรโดยไมค-ดแหลงจาย สวนขนาดของผลตอบสนองธรรมชาต-จะข'นอย?กบขนาดทสภาวะเร-มตนของแหลงจายและพลงงาน


เร-มตนทเกTบไว ผลตอบสนองกระตนค@อผลตอบสนองทเกยวของกบคณลกษณะของฟงก ชน กระตนซงจะหาไดหลงจากสว-ตช ปRดไปแลวเปUนเวลานาน ๆ

6.4 ผลตอบสนองธรรมชาต5และผลตอบสนองกระตน

หวขอน'จะใชคณ-ตศาสตร มาพ-จารณาผลตอบสนองสมบ?รณ ท'งสองสวนค@อ ผลตอบสนอง กระตนและผลตอบสนองธรรมชาต- โดยใชสมการอนพนธ ทมร?ปแบบคลายกบค.าตอบหวขอกอน หนาน'

QPidtdi =+

หร@อ QdtPidtdi =+ (6-2)เราก.าหนดให Q ค@อ ฟงก ชนกระตน และ Q(t) ค@อฟงก ชนกระตนแปรผนตามเวลา P ค@อคา

คงทและมคาเปUนบวก จากสมการ (6-2) เพ@อท.าใหงายเขา เราจะสมมต-ให P เปUนคาคงทและเปUนบวก ตอมาเราจะสมมต-ให Q เปUนคาคงท ดงน'นฟงก ชนกระตนจะกลายเปUนฟงก ชนกระตนไฟตรง เราค?ณ ท'งสองขางของสมการดวยตวแปรชวยในการอ-นท-เกรทค@อ Pte ซงจะได

dtQedtiPedie PtPtPt =+

ดานซายของสมการจะจดไดเปUนdtiPedie)ie(d PtPtPt +=

ดงน'นdtQe)ie(d PtPt =

อ-นท-เกรทท'งสองขางของสมการAdtQeie PtPt +∫=

เม@อ A ค@อคาคงทของการอ-นท-เกรท และค?ณท'งสองขางของสมการดวย Pte −

PtPtPt AedtQeei −− +∫= (6-3)ถา Q(t) ค@อฟงก ชนกระตนทอย?ในเทอมอ-นท-เกรทเทาน'น ตอจากน'เราจะหาขอสรปโดยทวๆ ไปกน ขอแรกส.าหรบวงจรทไมมแหลงจาย Q จะตองเปUนศ?นย และค.าตอบทไดค@อ ผลตอบสนองธรรมชาต-

Ptn Aei −= (6-4)

จะหาคาคงท P โดยคาน'จะไมเปUนคาลบ คาน'ข'นอย?กบอปกรณ พาสชพในวงจร ผลตอบสนองธรรม


ชาต-จะมคาเทากบศ?นย เม@อเวลาเพ-มข'น ขนาดของผลตอบสนอง A จะข'นอย?กบคาเร-มตนของผล ตอบสนองสมบ?รณ และแนนอนข'นอย?กบคาเร-มตนของฟงก ชนกระตนดวย

สงเกตเทอมแรกของสมการ (6-3) ข'นอย?กบร?ปแบบของฟงก ชน Q(t) ฟงก ชนกระตน เม@อ วงจรมผลตอบสนองธรรมชาต-เทากบศ?นย หลงจากเวลาผานไปนาน ๆ เทอมแรกของสมการจะ อธ-บายผลตอบสนองหลงจากผลตอบสนองธรรมชาต-หมดไป เทอมน'เรยกวา ผลตอบสนองกระตน หร@อผลตอบสนองอย?ตว (steady state response) ในหวขอน'จะพ-จารณาแหลงจายไฟตรง เทาน'น Q(t) จะมคาคงทแมเวลาจะเปลยนไป หร@อหลงจากสว-ตช ปRดแลว ร?ป 6.9 เราสามารถหาคาของเทอม อ-นท-เกรทในสมการ (6-3) จะไดผลตอบสนองกระตน

PQi f =

หร@อผลตอบสนองสมบ?รณ ค@อPtAe

PQ)t(i −+=

ส.าหรบวงจรอนกรม RL ดงร?ป 6.9 คา Q/P ค@อคาคงทกระแสหร@อ ( )0V / R และ 1/P ค@อ คา คงตวทางเวลา ( )τ จากสมการเราจะเหTนไดวาผลตอบสนองกระตนจะไมมเทอมอ-นท-เกรท เพราะวาเปUนผลตอบสนองสมบ?รณ ทเวลาอนนต เราจะค.านวณไดจากการน.าคาแหลงจายแรงดน หารดวยคาความตานทาน

6.5 วงจร RL

พ-จารณาวงจร RL อยางงายโดยการหาผลตอบสนองสมบ?รณ ซงเปUนผลรวมระหวางผลตอบ สนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตนจากวงจรร?ป 6.9 ตองการหาผลตอบสนองกระแส i(t)

fn iii +=

ร?ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต-ของวงจรโดยปกต-จะไดจากการแทนแหลงจายดวยการ ลดวงจร และจากวงจรร?ป 6.9 จะไดวงจรอนกรม ซงสามารถเขยนสมการของผลตอบสนองธรรม- ชาต-ได

LRt

n Aei−

=

เม@อ A ค@อขนาด


ตอไปเราจะพ-จารณาผลตอบสนองกระตน ซงเปUนคาคงท เพราะวาแหลงจายมคาคงท 0V ไมเปลยนแปลงตอทกคาของเวลา หลงจากผลตอบสนองธรรมชาต-หมดไปแลวจะไมมแรงดนตก ครอมตวเหนยวน.า ดงน'นจะมแรงดนเทากบ 0V ตกครอม R และหาผลตอบสนองกระตนอยางงาย ได

RV

i 0f =

ผลตอบสนองสมบ?รณ หาไดจากการรวมผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน

RV

Aei 0LRt

+=−

และใชคาเร-มตนทโจทย ใหมาเพ@อหาคา A เม@อกระแสเร-มตนมคาเทากบศ?นย กอน t = 0 และคา กระแสทไหลผานตวเหนยวน.าจะไมสามารถเปลยนแปลงคาอยางทนททนใดได ดงน'นกระแสจะ เปUนศ?นย ขณะท t = 0 เม@อแทน t = 0 และ i = 0 ลงในสมการขางบนจะได

RV

A0 0+=

และไดสมการทวไปค@อ

)e1(RV

i LRt

0−

−= (6-5)

ร(ป 6.9 วงจรอนกรม RL

ขอควรระวง คา A ไมใชคาเร-มตนของกระแสเหม@อนกบในบทท 5 เม@อวงจรกลายเปUนวงจรทไมม แหลงจาย ส.าหรบการค-ดผลตอบสนองสมบ?รณ จะหาคา A ไดโดยแทนคาเร-มตนลงไปในสมการ

ของผลตอบสนองสมบ?รณ RtL

0i Ae V R−

= +

จะได RV

A 0−= เม@อ i(0) = 0

R

( )i t

0V u(t) L


ร(ป 6.10 กระแสทไดจากสมการท (6-5)

กระแสจะเพ-มจากคาเร-มตนค@อศ?นย ไปส-'นสดทคา R/V0 ในเวลาประมาณ5τ ถาวงจรของ เราแทนมอเตอร ไฟตรงทมคา L = 10 H และ R = 20 Ω จะหาคาคงททางเวลาไดเทากบ 0.5 ว-นาท ซงจะไดคากระแสทคงทหลงจากเวลาผานไปประมาณ 2.5 ว-นาท โดยทเวลาเทากบ τ1 = 0.5 ว-นาทกระแสจะมคาเทากบ 63.2% ของคาสดทาย (กระแสในสภาวะอย?ตวหร@อผลตอบสนองกระตน)

ตวอยาง 6.1 จงหา i(t) ทเวลาตางๆจากวงจรร?ป 6.11

ร(ป 6.11

ว5ธท&า วงจรประกอบดวยแหลงจายแรงดนไฟตรงและแหลงจายแรงดนกระตนหนงหนวย โดยการ แทนอปกรณ ทกตวทางซายของตวเหนยวน.าโดยใชวงจรสมบ?รณ เทว-น-น ซงจะไดแหลงจายแรงดน ตออนกรมกบตวตานทาน วงจรจะประกอบดวยตวตานทานและตวเหนยวน.าอยางละ 1 ตวซงจะได

s 25.1

3R

L

eq===τ

t

0V Ri

0

00.632V R

1τ 2τ 3τ

50u(t) V

50 V

2Ω

6Ω 3H

( )i t


และผลตอบสนองสมบ?รณ ค@อnf iii +=

ผลตอบสนองธรรมชาต-ค@อ

0t Aei 2t

n >=−

ผลตอบสนองกระตนมคาคงท และไมมแรงดนตกครอมตวเหนยวน.า (พฤต-กรรมคลายลดวงจรเม@อ เวลาผานไปนานๆ)

502

100i f ==

ดงน'น0t Ae50i t5.0 >+= −

เพ@อหาคา A จะตองใชคาเร-มตนของกระแสตวเหนยวน.ากอน t = 0 ตวเหนยวน.าจะลดวงจรซงท.าให ตวตานทาน 6 Ω ลดวงจรดวย และมแหลงจาย 50 V ท.างานเทาน'นซงสามารถค.านวณคากระแสได เทากบ 50/2 = 25A

25 = 50 + A หร@อ A = -25ดงน'นเราจะไดผลตอบสนองสมบ?รณ

0.5t

25 t 0i

50 25e t 0−

<= − >

หร@อเขยนเปUนสมการเดยวไดดงน'A )t(u)e1(2525i t5.0−−+=

และสามารถวาดร?ปผลตอบสนองสมบ?รณ ไดในร?ป 6.12

ร(ป 6.12 ผลตอบสนอง i(t) ของวงจรตวอยาง 6.1

t(s)

50

( )i(t) A

0

25

2 4 6


ตวอยาง 6.2 จงหาผลตอบสนองกระแสจากวงจร RL ดงร?ป 6.13 ข) เม@อแหลงจายเปUน ฟงก ชนสเหลยมซงมขนาด 0V และมคาบเวลาเทากบ 0t

ร(ป 6.13 ก) ร?ปรางของแรงดนสเหลยม ข) วงจร RL อยางงาย

ว5ธท&า เราจะแทนฟงก ชนกระตนสเหลยมดวยผลรวมของแหลงจายแรงดนหนงหนวย )t(uV0 และ )tt(uV 00 −− ดงร?ป 6.13 ก) และ 6.13 ข)และเราจะประยกต ใชทฤษฎบทการทบซอนชวยหาค.าตอบ

โดยเร-มจากการท.างานของแหลงจาย )t(uV0 กอน โดยใหสญลกษณ )t(i1 และ )t(i 2 แทนการ ท.างานของ )t(uV0 และ )tt(uV 00 −− ตามล.าดบ ดงน'นจะไดผลตอบสนองรวมเทากบ

)t(i)t(i)t(i 21 +=

ผลตอบสนอง ( )1i t และ ( )2i t ค@อผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน ผลตอบสนอง )t(i1 จะมสมการคลายสมการ (6-5)

0t )e1(RV

)t(i LRt

01 >−=

−

สวนผลตอบสนองของ )t(i 2 จะพ-จารณาแตกตางออกไป (ค-ดแตกตางเฉพาะข'วของแหลงจายและ เวลา) ซงสามารถเขยนสมการได

0L

)tt(R0

2 tt ]e1[RV

)t(i0

>−−=−−

จากน'นน.าเอาผลตอบสนองท'งสองรวมกน จะได

0LRt

0 tt0 )e1(RV

)t(i <<−=−

t

0V

v(t)

0 0t

0V u(t)

0 0V u(t t )− − v(t)

ข)

R

L

ก)


0L

)tt(R0L

Rt0 tt )e1(

RV

)e1(RV

)t(i0

>−−−=−−−

หร@อ 0L

RtLRt

0 tt )1e(eRV

)t(i0

>−=−

ผลตอบสนองสมบ?รณ เร-มจากกระแสเร-มตน i(t) มคาเทากบศ?นย ส ำหรบเวลานอยกวาศ?นย และวาดผลตอบสนองเปUนฟงก ชนของเวลา ร?ปรางของกราฟข'นอย?กบคาของ 0t และคาคงตวทาง เวลา ( )τ กราฟทเปUนไปไดท'งสองแสดงดงร?ป 6.14 กราฟทางซายวาดจากคาคงตวทางเวลาของวงจรเปUนครงหนงของคาบเวลาของพลส สวนกราฟทางขวาม@อมคาคงตวเวลาเปUนสองเทาของคาบเวลาของพลส ท'งน'ร?ปแบบจะไมมการเปลยนแปลง (จะเปลยนเฉพาะขนาดและเวลาเทาน'น)

ร(ป 6.14 ผลตอบสนองทเปUนไปได ก) 2/t 0=τ ข) 0t2=τ

ข'นตอนการหาผลตอบสนองวงจร RL หลงจากแหลงจายไฟตรงสว-ตซ ปRดหร@อเปRดทเวลา ขณะหนง (สมมต- t = 0) โดยสมมต-วงจรทพ-จารณามตวตานทาน 1 ตว ( eqR ) และตวเหนยวน.า 1 ตว ( eqL ) เม@อไมมแหลงจายควบคมอย?ในวงจร ผลตอบสนองทเก-ดข'นเราจะเรยกวา f(t)

ข8นตอนการค5ด1. ก.าจดแหลงจายควบคมออกใหหมด และจดวงจรใหงาย เพ@อหา eqR , eqL และหาคาคงตว

ทางเวลา ( )τ โดย eqeq R/L=τ

2. มองตวเหนยวน.า eqL ใหลดวงจรและใชว-ธว-เคราะห วงจรแบบไฟตรงหาคา )0(i L− กระแส

ตวเหนยวน.ากอนการเปลยนแปลงแบบไมตอเน@อง3. มอง eqL แบบลดวงจรอกคร'งโดยใชการว-เคราะห วงจรแบบไฟตรงหาผลตอบสนองกระตน

คาน'จะหาเม@อ t เขาใกลอนนต )(∞ (หร@อเราจะแทนดวย )(f ∞ )

t(s)

i(t)

00t 02t

0V R

t(s)

i(t)

00t 02t

0V R

03tข)ก)


4. เขยนผลตอบสนองสมบ?รณ ในร?ปผลรวมของผลตอบสนองกระตนและผลตอบสนองธรรมชาต- τ

−+∞=

t

Ae)(f)t(f

5. หา )0(f + โดยใชความสมพนธ )0(i)0(i LL−+ = นอกจากกระแสตวเหนยวน.า (หร@อแรงดน

ตวเกTบประจ) กระแสและแรงดนอ@นๆ ในวงจรสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได6. ดงน'นจะได ผลตอบสนองสมบ?รณ = คาสดทาย + ( คาเร-มตน – คาสดทาย ) τ

−t

e หร@อτ

−++ ∞−+∞=t

e)](f)0(f[)(f)0(f

6.6 วงจร RC

ผลตอบสนองสมบ?รณ ของวงจร RC ค@อผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบ สนองกระตนเชนเดยวกบ วงจร RL

ตวอยาง 6.3 ร?ป 6.15 ประกอบดวยแบตเตอร 2 ตว ตวตานทาน 4 ตว ตวเกTบประจ 1 ตว และสว-ตช อย?ทต.าแหนง a เปUนเวลานาน จงหาแรงดนตวเกTบประจ )t(VC และกระแส )t(i ไหลผานตวตานทาน 200 Ω ในเทอมของเวลา

ร(ป 6.15 วงจร RC

ว5ธท&า พ-จารณาผลตอบสนองธรรมชาต-เปUนอนดบแรกกอนซงเปUนผลเน@องมาจาก สว-ตช เคล@อนท จากจด a ไปจด b หาผลตอบสนองทเวลากอน t = 0 เม@อสว-ตช อย?ทต.าแหนง a แรงดนจะมคาคงท

Cv (t)0.05 F

50 Ω200 Ω60 Ω10 Ω

120 V50 V

t 0=

( )i t

ab


ท'งหมดและไมมกระแสไหลผานตวเกTบประจ แรงดนเร-มตนเทากบ.V 100

)1050()120(50)0(vc =

+=

เม@อแรงดนตวเกTบประจไมสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใด ( )C CV (0 ) V (0 )+ −= เม@อสว-ทช อย?ต.าแหนง b จะไดผลตอบสนองสมบ?รณ ค@อ

CnCfC vvv +=

ร?ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต-จะไดจากการแทนแหลงจาย 50V ดวยการลดวงจรและหาคาตว ตานทานสมม?ลเพ@อหาคาคงททางเวลาตอไป

CRt

CneqAev

−

=

เม@อ Ω=++

= 24

601

2001

501

1R eq

หร@อ 2.1t

Cn Aev−

=

เพ@อจะหาผลตอบสนองกระตนเม@อสว-ตช อย?ทต.าแหนง b เม@อเวลาผานไปนานๆ คาแรงดนและ กระแสท'งหมดจะไมมการเปลยนแปลง ดงน'นตวเกTบประจจะประพฤต-คลายกบเปRดวงจร เม@อใช หลกการแบงแรงดน

20)50()20050/()200)(50(60

)20050/()200)(50(vCf =++

+=

ดงน'น 2.1t

C Ae20v−

+=

และจากสภาวะเร-มตนสามารถหา A ได100 = 20 + A

หร@อ 0t e8020v 2.1t

C >+=−

ผลตอบสนองสามารถวาดร?ปไดดงร?ป 6.16 ก)ตอไปหา i(t) ผลตอบสนองทตองการน'จะไมเปUนคาคงทระหวางขณะสว-ทช เคล@อนทจาก a

ไป b เม@อสว-ตช อย?ต.าแหนง a จะได i = 50/260 = 0.1923 A และเม@อสว-ตช เคล@อนไปอย?ต.าแหนง b ผลตอบสนองกระตนของกระแสจะได

A 1.0)20050

50()20050/()200)(50(60

50i f =+++

=

ร?ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต-จะเหม@อนกนกบแรงดนตวเกTบประจ (คาคงททางเวลาเทากน)


2.1t

n Aei−

=

เม@อรวมผลตอบสนองกระตนและผลตอบสนองธรรมชาต-จะได2.1t

Ae1.0i−

+=

เพ@อหาคา A จ.าเปUนตองร?คา )0(i + เราสามารถหาไดดงน' แรงดนเร-มตนของตวเกTบประจมคาเทากบ 100 V ( )CV (0 ) 100V+ = และตวเกTบประจขนานกบตวตานทาน 200 Ω จะได i(0 ) 0.5A+ = และได A = 0.4

t1.2

0.1923 t < 0i(t)

0.1 0.4e t 0−

= + >

หร@อ

A )u(t)e4.00923.0(1923.0)t(i 2.1t−

+−+=

สมการสดทายไดแสดงผลตอบสนองครอบคลมเวลากอนและหลงการเปลยนแปลงท'งหมด เราสามารถเขยนผลตอบสนองสมบ?รณ โดยใช )t(u − ซงฟงก ชนหนงหนวยน'จะมคาเทากบหนงเม@อเวลา t < 0 และจะมคาเทากบศ?นย เม@อเวลา t > 0 ดงน'น

A )u(t)e4.01.0()t(u1923.0)t(i 2.1t−

++−=

ผลตอบสนองวาดเปUนกราฟดงร?ป 6.16 คากระแสเร-มตน 0.1923 A หลงจากมการสว-ตช คา กระแสมคา 0.5A ผลตอบสนองกระตนมคาคงทเทากบ 0.1A และมคาคงตวทางเวลา 1.2 sec

ร(ป 6.16 ก) ผลตอบสนอง CV ข) ผลตอบสนอง i

ข'นตอนการหาผลตอบสนองของวงจร RC หลงจากสว-ตช ปRดหร@อเปRด โดยสมมต-วาวงจรม ตวตานทาน 1 ตว eqR และตวเกTบประจ 1 ตว eqC เม@อไมมแหลงจายควบคมอย?ในวงจร ผลตอบ

t(s)

( )Cv (t) V

0 1 2

100

20

3τ t(s)

( )i(t) A

0 1 2

0.5

0.1

3τ

0.192

ข)ก)


สนองเราจะเรยกวา f(t) ข8นตอนการค5ด

1. ก.าจดแหลงจายควบคมท'งหมด จดวงจรใหเหล@อแตเฉพาะ eqR และ eqC และหาคาคงททาง เวลา eqeqCR=τ

2. มอง eqC เหม@อนเปRดวงจรและใชการว-เคราะห วงจรไฟตรงหาแรงดนตวเกTบประจ )0(VC−

กอนการเปลยนแปลงแบบไมตอเน@อง3. มอง eqC เหม@อนเปRดวงจรและใชว-ธว-เคราะห วงจรแบบไฟตรงเพ@อหาผลตอบสนองกระตน

คาน' f(t) เม@อ t ใกลคาอนนต )(∞ (และเรยกผลตอบสนองน'วา )(f ∞ )4. เขยนผลตอบสนองสมบ?รณ ทได จากผลรวมของผลตอบสนองกระตนและผลตอบสนอง

ธรรมชาต- τ−

+∞=t

Ae)(f)t(f 5. หา )0(f + โดยใชสภาวะ )0(V)0(V CC

−+ = นอกจากแรงดนตวเกTบประจ (และกระแส ตวเหนยวน.า) แรงดนและกระแสทอปกรณ อ@นๆ สามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได ดงน'น A)(f)0(f +∞=+ และ τ

−+ ∞−+∞=t

e)](f)0(f[)(f)t(f หร@อผลตอบสนองสมบ?รณ = คาสดทาย + (คาเร-มตน - คาสดทาย) τ

−t

e

6.7 แบบฝ<กหดทายบท

1. จากวงจรดงร?ป P6.1 จงหา ( )Li t และ ( )Lv t ขณะเวลา 3 t 3− τ < < τ

ร(ป P6.1

Li

Lv

5 Ω

0.2 H

10 V

( )20u t V


ว5ธท&า ( )Li 0 2 A− = ; ( )Li 6 A∞ =

( ) 25tLi t 6 4e A, t 0−∴ = − >

25tL

div L 20e V, t 0dt

−= = > ตอบ

2. สว-ตซ ในวงจรดงร?ป P6.2 เปRดมาเปUนเวลานาน และจะปRดทเวลา t = 0 จงหาคา ( )Li t ( ) ( ) ( )( )4t

Li t 25 1 e u t A−= −

ร(ป P6.2

3. สว-ตซ ในวงจรดงร?ป P6.3 ปRดมาเปUนเวลานาน และจะเปRดทเวลา t = 0 จงหาคา ( )Li t

ร(ป P6.3

6 Ω 30 Ω

3 Ω

2 H

Li

240 V t 0=

6 Ω 30 Ω

3 Ω

2 H

Li

240 V t 0=


ว5ธท&า ( )L240i 0 40 A6

= = ; ( ) ( )L240 30i * 25 A

6 3// 30 33∞ = =

+

eq

L 2 1R 3 5 4

τ = = =+

( )L 4t

40 A t 0i t

25 15e A t 0−

<∴ = + >

ตอบ

4. จากวงจรดงร?ป P6.4 จงหา ( )Li t

( )L 2t

2 A t 0i t

2 4e A t 0−

< = − + >

ร(ป P6.4

5. จากวงจรดงร?ป P6.5 จงหา ( )Li t

ร(ป P6.5

Li

6 Ω

2.25 H( )12u t V− 18 Ω ( )2u t A

Ai

10 Ω

20 Ω( )100u t V

0.05 H

Li

A1.5i


ว5ธท&า

ท.าวงจรสมม?ลเทว-น-น (สวนทประกอบดวยแหลงจายกระแสควบคม) ลดวงจร ( ) ( )A A SC

100u ti 0 1.5i 0 i 10u t

10= ∴ = ∴ = =

เป?ดวงจร ( )OC OCA A OC

v 100u t v 1.5i = 0 ; i 0.05v 10 20

−+ − =

( )( ) ( )

OC OC

OC

OCth

SC

0.1v 10u t 0.05v 0

10u tv 133.33u t

0.075v 133.33R 13.333i 10

∴ − + =

∴ = =

∴ = = = Ω

( )Li 0 0 A= ; ( )Li 10 A∞ = ; 0.05 113.333 266.7

τ = =

( )L 266.7 t

0 A t 0i t

10 10e A t 0−

<∴ = − >

ตอบ

6. จากวงจรดงร?ป P6.6 จงหา ( )Cv 2ms ( )( )266.7(0.002)Cv 2ms 900 300e 1076 V−= + =

ร(ป P6.6

Ai

10 Ω

20 Ω

( )100u t V

0.05 H

Li

A1.5i

100 Ω

1200 V

t 0=

300 Ω

50 Fµ Cv


7. สว-ตซ ในวงจรดงร?ป P6.7 เปRดมาเปUนเวลานานและจะปRดทเวลา t = 0 จงหาคา ( )Cv t และ ( )2v t

ร(ป P6.7

ว5ธท&า ( )C4v 0 9* 3 V

12= = ; ( )C

21*4 9*4v 20 V6 6

∞ = + =

( )C 22,500t

3 V t 0v t

20 17e V t 0−

<∴ = − >

ตอบ

2t 0, v 1.5 V< = ; 2 Ct 0, v 30 v> = −

( )2 22,500t

1.5 V t 0v t

10 17e V t 0−

<∴ = + >

ตอบ

8. สว-ตซ ในวงจรดงร?ป P6.8 อย?ต.าแหนง A มาเปUนเวลานานและจะเคล@อนทมาท B ทเวลา t = 0 จง

หา ( )Cv t ( )C 250t

6 V t 0v t

2.4 3.6e V t 0−

< = + >

ร(ป P6.8

t 0=

21 V

600 Ω

200 Ω 300 Ω

100 Ω

9 V

1 F3

µ Cv

2v

12 V

A B60 Ω

60 Ω

40 Ω 0.1 A

1 mF6 Cv


9. สว-ตซ ในวงจรดงร?ป P6.9 เปRดมาเปUนเวลานานและจะปRดทเวลา t = 0 จงหาคา ( )Cv t

ร(ป P6.9

ว5ธท&า ( )C1v 0 120* 60 V2

= =

( )C120 1 240 1v * *10 * *10 40 V15 2 15 2

∞ = − = −

( )C 30,000t

60 V t 0v t

40 100e V t 0−

<∴ = − + >

ตอบ

10. จากวงจรดงร?ป P6.10 จงหาเวลาทแรงดนตวเกTบประจเทากบศ?นย ( )t 27.73 s= µ

ร(ป P6.10

t 0=10 Ω

120 V 10 Ω 240 V

10 Ω

10 FµCv

40 Fµ

90 V

4 Ω

5 ΩC2v

( )180u t V

Cv

1 บทท 7 วงจร RLC

บทท 7


สามารถอธ'บายฟ)งก*ชนกระต-นหนงหนวยไดสามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต'และผลตอบสนองกระต-นของวงจร RL ไดสามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต'และผลตอบสนองกระต-นของวงจร RC ได

หวขอยอย หนา 7.1 แนะน.า 179 7.2 วงจร RLC ตอแบบขนานทไมมแหลงจาย 180 7.3 วงจรขนาน RLC แบบหนวงส9งกวาว'กฤต (Overdamped) 183 7.4 วงจรขนาน RLC แบบหนวงว'กฤต (Critical damping) 187 7.5 วงจรขนาน RLC แบบหนวงต.ากวาว'กฤต (underdamped) 189 7.6 วงจรอน-กรม RLC ทไมมแหลงจาย 192 7.7 ผลตอบสนองสมบ9รณ*ของวงจร RLC 195 7.8 วงจร LC ทไมมการส9ญเสย (lossless LC circuit) 201 7.9 แบบฝSกหดทายบท 204

วงจร RLC


7.1 แนะน"#

ในบทน จะว'เคราะห*วงจร RLC ซงมความยากกวาการว'เคราะห*วงจร RL และ RC วงจรทม ตวเกVบประจ- และตวเหนยวน.ารวมอย9ในวงจรเดยวกนจะท.าใหระบบมสมการตอบสนองอนดบสอง ซงมลกษณะเปXนสมการอน-พนธ*เช'งเสนทมการอน-พนธ*อนดบสอง หรZอแบงสมการออกไดเปXนสมการอน-พนธ*เช'งเสนอนดบหนงสองสมการ การเพ'มข นของอนดบของสมการจะท.าใหจ.าเปXนตองหาเงZอนไขเร'มตน (initial condition) ส.าหรบการท.าอน-พนธ* ผลตอบสนองทเก'ดจากวงจร RLC จะใหร9ปแบบทแตกตางกนข นอย9กบคาของ RLC และร9ปแบบการตอวงจร

เราจะเร'มจากการพ'จารณาระบบอนดบหนง (RC หรZอ RL)ทไมมแหลงจายซงจะไดผลตอบ สองธรรมชาต'อยางเดยว ท งน โดยข นอย9กบลกษณะการตอกนของอ-ปกรณ*พาสซฟ และสภาพตอน เร'มตนของอ-ปกรณ*เกVบพลงงาน (L หรZอ C) ผลตอบสนองธรรมชาต'จะเปลยนแปลงในเทอมของ เอVกซ*โพเนนเชยล (ต'ดลบ) ซงท.าใหเปลยนแปลงตามเวลาโดยมขนาดลดลง เมZอเวลาผานไปมากข น โดยปกต'แลวจะมคาเทากบศ9นย* เมZอเวลาเขาส9คาอนนต* ยกเวนวงจรทมการขนานหรZออน-กรมกนของตวเกVบประจ-และตวเหนยวน.าทยอมใหเก'ดการเรโซแนนซ*ของแรงดนหรZอกระแสข น

การจายแหลงจายใหกบระบบอนดบหนงจะท.าใหมผลตอบสนองสองสวน คZอผลตอบสนองธรรมชาต' (ทเราไดกลาวไปแลว) กบผลตอบสนองกระต-น การเรยกชZอผลตอบสนองกระต-นแสดงวาผลตอบสนองน เกยวของกบฟ)งก*ชนกระต-น (แหลงจายทจายใหกบวงจร) ซงมร9ปแบบคลายกบร9ปแบบของฟ)งก*ชนกระต-นเองรวมกบเทอมของการอ'นท'เกรท และเทอมอน-พนธ*ของฟ)งก*ชนกระต-น ในบทตางๆ กอนหนาน เราพ'จารณาแตเฉพาะฟ)งก*ชนกระต-นคาคงท ดงน นเราไมจ.าเปXนตองพ'จารณาถงร9ปแบบของผลตอบสนองกระต-นมากนก (จะพ'จารณาถงร9ปแบบของผลตอบสนองกระต-นเมZอมแหลงจายเปXนสญญาณซายน*ในบทตอจากน ) เมZอหาผลตอบสนองกระต-นได เราจะเพ'มเทอมของผลตอบสนองธรรมชาต'เขาไป (ยกเวนคาคงททค9ณ) โดยคาคงทน จะหาไดจากการแกสมการของผลตอบสนองสมบ9รณ* (ผลตอบสนองกระต-นรวมกบผลตอบสนองธรรมชาต') ทสอด คลองกบเงZอนไขตอนเร'มตน

เรากลบไปพ'จารณาวงจรทมค-ณลกษณะเปXนสมการอน-พนธ*อนดบสอง ข นตอนแรกของเราคZอการหาผลตอบสนองธรรมชาต' ซงจะมความสะดวกอยางมาก เมZอพ'จารณาวงจรทไมมแหลงจายเปXนหวขอแรก หลงจากน นเราจะพ'จารณาผลตอบสนองสมบ9รณ*ทเปXนผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต'และผลตอบสนองกระต-น (โดยปกต'เปXนคาคงท)


7.2 วงจร RLC ตอแบบขน#นท%ไมมแหลงจ#ย

วตถ-ประสงค*ของหวขอน คZอการหาผลตอบสนองธรรมชาต'ของวงจร RLC อยางงายทตอ กนแบบขนาน วงจรแบบน มใชกนในวงจรสZอสาร เชน ใชในการเลZอกความถสถานของเครZองรบว'ทย- ซงสามารถขยายขนาดของสญญาณใหมคามากข นไดในชวงความถทตองการ และลดขนาดของสญญาณใหมคาต.าลงไดในชวงความถทไมตองการว'ทย- เปXนตน

การว'เคราะห*น จะมค.าศพท*ใหมเก'ดข น เชน เรโซแนนซ* (resonance) ผลตอบสนองเช'ง ความถ (frequency response) และอ'มพแดนซ* (impedance)

ความเขาใจของผลตอบสนองธรรมชาต'ของวงจร RLC จะเปXนพZ นฐานทส.าคญ ส.าหรบการ ศกษาและออกแบบวงจรสZอสาร และวงจรกรอง (filter) ตอไป

ร)ป 7.1 วงจรขนาน RLC ทไมมแหลงจาย

ในการว'เคราะห* เราจะสมมต'ใหมพลงงานเกVบไวในตวเหนยวน.าและตวเกVบประจ-ท งสอง กอนแลว ดงน นในตวเกVบประจ-จะมแรงดนคางอย9และในตวเหนยวน.าจะมกระแสคางอย9เชนกน จากร9ป 7.1 จะเขยนสมการปมไดเปXน

0dtdvC)t(ivdt

L1

Rv

0

t

t0

=+−∫+ (7-1)เครZองหมายลบเปXนไปตามการก.าหนดท'ศทางของกระแส i แกสมการ (7-1) โดยใชสภาพเร'มตน

0I)0(i =+ (7-2)0v(0 ) V+ = (7-3)

R

i

Re f .

L

v

C


เมZอท.าอน-พนธ*ท งสองขางของสมการ (7-1) เทยบกบเวลา ผลลพธ*ทไดคZอสมการอน-พนธ*เช'งเสน อนดบสอง (linear second-order homogeneous differential equation)

0vL1

dtdv

R1

dtvdC2

2=++ (7-4)

ค.าตอบของ v(t) คZอผลตอบสนองธรรมชาต'ทตองการ มหลายว'ธในการหาค.าตอบ แตเพZอความรวดเรVวเราจะใชว'ธการสมมต'ใหค.าตอบคZอ

stAev = (7-5)เมZอใหค.าตอบทเปXนไปไดม A เปXนขนาด และ s คZอจ.านวนเช'งซอน และแทนสมการ (7-5) ใน สมการ (7-1) จะได

0AeL1Ase

R1eCAs ststst2 =++

หรZอ 0)

L1

RsCs(Ae 2st =++

สมการจะถ9กตองม 2 กรณคZอเทอม 0Aest = และเทอมในวงเลVบเทากบศ9นย* เราจะพ'จารณาเทอมใน วงเลVบใหเทากบศ9นย*เทาน นเพราะเทอมแรกไมมผลอะไร

0L1

RsCs 2 =++ (7-6)

นกคณ'ตศาสตร*เรยกสมการน วา สมการชวย (auxiliary equation) หรZอ สมการค-ณลกษณะ (characteristic equation) เมZอสมการ (7-6) เปXนสมการ quadratic จะมไดสองค.าตอบ (ข นอย9กบคา

1s และ 2s )2

11 1 1s ( )

2RC 2RC LC−= + − (7-7)

และ 2

21 1 1s ( )

2RC 2RC LC−= − − (7-8)

สมมต'แทน s ดวย 1s ลงในสมการ (7-5) จะได ts

111eA)t(v =

และในท.านองเดยวกนโดยแทน s ดวย 2s ลงในสมการ (7-5) ts

222eA)t(v =

สมการอน-พนธ*ทไดคZอ


0vL1

dtdv

R1

dtvd

C 11

21

2=++

และ 0v

L1

dtdv

R1

dtvd

C 22

22

2=++

รวมสมการอน-พนธ*ท งสองและรวมเทอมทคลายกนเขาดวยกน จะได 0)vv(

L1

dt)vv(d

R1

dt)vv(d

C 2121

221

2=++

++

+

ดวยค-ณสมบต'ความเปXนเช'งเสนจงสามารถรวมสองค.าตอบได เราจะไดผลตอบสนองธรรมชาต'คZอ ts

2ts

121 eAeA)t(v += (7-9)

เมZอ 1s และ 2s ไดจากสมการ (7-7) และ (7-8) โดย 1A และ 2A เปXนคาคงททไดจากสภาพเร'มตน ของอ-ปกรณ*ในวงจร

ผลตอบสนองธรรมชาต'จะไดดงสมการ (7-9) และคา 1s และ 2s จะข นอย9กบคา R, L และ C ในวงจร เทอม ts1 และ ts 2 ไมมม'ต' สวน 1s และ 2s จากปร'มาณทไมมม'ต'จะไดหนวยตอว'นาท (per second, 1s − ) จากสมการ (7-7) และ (7-8) หนวยของ 1 2RC และ 1 LC คZอ 1s − เราจะน'ยามโอเมกา (omega ) ใหเทากบ

LC1

0 =ω (7-10)ซงคZอ ความถเรโซแนนซ* (resonant radian frequency) และจะน'ยามแอลฟา (alpha) ใหเปXนความถ นเปอร* (neper frequency) หรZอสมประส'ทธ'hการหนวงแบบเอVกซ*โพเนนเชยล (exponential damping coefficient)

RC21=α (7-11)

แอลฟาจะใชวดความเรVวของผลตอบสนองธรรมชาต'ทลดลง หรZอเขาส9สภาวะอย9ตวคาส-ดทาย (ปกต' จะเทากบศ9นย*) s , 1s และ 2s คZอความถเช'งซอน (complex frequency) เราจะใชสญลกษณ*ตางๆ เหลาน เพZอท.าใหสมการของวงจร RLC งายข น ดงน

ts2

ts1

21 eAeA)t(v += (7-9)เมZอ

20

21s ω−α+α−= (7-12)

20

22s ω−α−α−= (7-13)

RC21=α (7-11)


LC1

0 =ω (7-10)คา 1A และ 2A จะหาไดจากการใชคาสภาพเร'มตน ร9ปแบบของผลตอบสนองแรงดน v(t) ขางตนเปXนร9ปแบบโดยทวไป ซงเราสามารถแทนดวยผลตอบสนองกระแส i(t) ไดโดยร9ปแบบของผลตอบ สนองยงคงเหมZอนเด'ม คา 1s และ 2s จะเปXนคาตวเลขจ.านวนจร'ง เมZอ α มากกวา 0ω และเปXนคา จ'นตภาพ (imaginary) เมZอ α นอยกวา 0ω และมคาเปXนศ9นย* เมZอ α เทากบ 0ω แตละกรณจะแยก พ'จารณาในแตละหวขอ

7.3 วงจรขน#น RLC แบบหนวงส)งกว#ว,กฤต (Overdamped)

เปรยบเทยบสมการ (7-10) และ (7-11) ในหวขอ 7.2 จะเหVนวา α มคามากกวา 0ω หรZอ 22CR4LC > ในกรณน คา 1s และ 2s จะเปXนจ.านวนจร'ง

α<ω−α 20

2

0)()( 20

220

2 <ω−α+α−<ω−α−α−

จากสมการ (7-12) และ (7-13) จะไดวาท ง 1s และ 2s เปXนจ.านวนจร'งต'ดลบ ดงน นผลตอบ สนอง v(t) สามารถแสดงเปXนผลรวมพชคณ'ตของเทอมเอVกซ*โพเนนเชยลทลดลง ขนาดจะมคาใกล ศ9นย*เมZอเวลาเพ'มข นเรZอยๆ ในความเปXนจร'งเมZอคาสมบ9รณ* (absolute value) ของ 2s มคามากกวา

1s เทอมทมคา 2s อย9ดวยจะลดลงดวยอตราความเรVวทมากกวา เมZอเวลามคามากๆ ดงน นสามารถ เขยนสมการล'ม'ตไดดงน

∞ → → → t 0eA)t(v ts1

1

เพZอหาคาคงท 1A และ 2A จะตองใชสภาวะเร'มตนของวงจร ตวอยางวงจรร9ป 7.2 มคา Ω= 6R และ L = 7 H พลงงานเร'มตนทเกVบไวในอ-ปกรณ*เกVบ

พลงงาน มดงน คZอแรงดนครอมวงจร v(0) = 0 และกระแสตวเหนยวน.า i(0) =10 A จะหาคา v และ i เราจะหาคาตาง ๆ ไดดงน

6s1s65.3

21

0

−=−==ω=α

และเขยนร9ปแบบทวไปของผลตอบสนองธรรมชาต'ได t6

2t

1 eAeA)t(v −− += (7-14)


ร)ป 7.2 วงจรขนาน RLC

เราจะหาคาคงท 1A และ 2A ไดจากการทเราร9ผลตอบสนอง )t(v ทเวลาแตกตางกนสองคา และ แทนคาลงในสมการ (7-14) จะไดคา 1A และ 2A แตจากโจทย*เราร9คาเดยวคZอ

0)0(v =

เมZอแทนในสมการ (7-14) 21 AA0 += (7-15)

เราจะหาอกสมการไดโดยการอน-พนธ* v(t) เทยบกบเวลาในสมการ (7-14) เพZอหาคาเร'มตนของคาอน-พนธ*โดยใชคาเร'มตน i(0) = 10 และแกสมการท งสอง

เมZออน-พนธ*สมการ (7-14) จะได t6

2t

1 eA6eAdtdv −− −−=

และหาคาอน-พนธ*ท t = 0 210t A6A

dtdv −−==

ตอไป เราจะพ'จารณาสภาวะเร'มตนของคาอน-พนธ*ซงเกยวของกบคากระแสตวเกVบประจ-

dtdvCiC =

ดงน น C Ri (0) i(0) i (0)dv i(0) 420V / s

t 0dt C C C+= = = =

=

เมZอคาแรงดนเร'มตนเทากบศ9นย* แรงดนตกครอมตวตานทานจะมคาเร'มตนเทากบศ9นย*ดวยซงจะไดคากระแสเทากบศ9นย* เราจะได สมการท งสอง คZอ

21 A6A420 −−= (7-16)

6 Ω

i

Re f.

7 Hv 1 F42

RiCi


แกสมการ (7-15) และ (7-16) จะไดคา 84A1 = และ 84A 2 −= ค.าตอบส-ดทายคZอ )ee(84)t(v t6t −− −= (7-17)

ร)ป 7.3 ผลตอบสนอง )ee(84)t(v t6t −− −=

ตวอย#ง 7.1 จงหา )t(vC ทเวลา t > 0 ในวงจรร9ป 7.4 ว,ธท"# กอนอZนตองหาคา 0,α ω จากวงจรมคา L = 5 mH ,R = 200 Ω และ C = 20 nF จะได

10

1 1125000 s , 100000 rad / s2RC LC

−α = = ω = =

เมZอ 0α > ω แสดงวาเปXนหนวงส9งกวาว'กฤตและไดร9ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต'คZอt200000

2t50000

1C eAeA)t(v −− +=

เมZอ 2 21,2 0s = − α ± α − ω

12

11 s 200000s,s 50000s −− −=−=

6 Ω 7 H 1 F42

( )( )

0

i 0 = 10 A

v 0 = 0 V = 3.5

6

α

ω =

หนวงส9งกวาว'กฤต

( )v t ( )V

( )t s

( )t 6t84 e e− −−

( )t84 e−

( )6t84 e−

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

10

20

30

40

50

60

70

80

90


ร)ป 7.4 ก) วงจร RLC ข) วงจรสมม9ลท −= 0t ได A3.0)0(i L −=− และ V60)0(vC =− ค) วงจรสมม9ลท += 0t

ตอไปหาสภาวะเร'มตนของ )0(vC+ และ C

t 0

dvdt +=

หาแรงดนตวเกVบประจ-และกระแสตวเหนยวน.า

ท −= 0t กระแสตวเหนยวน.าและแรงดนตวเกVบประจ-มขนาดไมเปลยนแปลงในเวลา 0 t 0− +< < เพZอความชดเจนเราจะแสดงวงจรสมม9ลท งสองวงจร วงจรแรกท −= 0t ในร9ป 7.7 ข) และวงจรท สอง += 0t ในร9ป 7.4 ค) วงจรแรกหาคา )0(i L

− และ )0(vC− และวงจรทสองแสดงท งสองคา

แทนดวยแหลงจายอ'สระ จากร9ป 7.4 ข) วงจรวงเดยวหาคา Li (0 ) 150 (200 300) 0.3A− = + = − ขณะ V60)3.0(200)0(vC ==− คาท งสองจะแสดงเปXนแหลงจายในร9ป 7.4 ค) สว'ตซ*ปnดทชวงเวลา

−= 0t ถง += 0t จะหาคากระแส )0(i R+ และ )0(iC

+ ได จากทเราร9คา V60)0(vC =+ และ

สามารถหาคา C

t 0

dvdt +=

ไดจากสมการของตวเกVบประจ-

300 Ω

5 mH

Ci

150 V

t 0=

ก) ข)

LiRi

200 Ω 20 nF Cv

300 Ω

150 V

( )Li 0−

200 Ω ( )Cv 0−

ค)

( ) ( )L Li 0 i 0

0.3 A

− +=

= − 200 Ω

( )Ri 0+ ( )Ci 0+

( ) ( )C Cv 0 v 0

60 V

− +=

=


CC L R

dv 1 1i (0 ) [ i (0 ) i (0 )]t 0dt C C

+ + ++ = = − −

=

หรZอ 9

C

t 0

dv 10 60(0.3 ) 0dt 20 200+=

= − =

เราจะใชคาเร'มตนของ Ci และ dt

dvC แทนใน )t(vC

21C AA60)0(v +==+

และ C

1 2dv 0 50000A 200000A

t 0dt + = = − −=

เมZอ 21 A4A −= ดงน นจะได

80A1 = และ 20A 2 −= ค.าตอบทไดคZอ

0tVe20e80)t(v t200000t50000C >−= −−

7.4 วงจรขน#น RLC แบบหนวงว,กฤต (Critical damping)

ในหวขอกอนหนาน กรณหนวงส9งกวาว'กฤตมค-ณลกษณะดงน คZอ 0ω>α

หรZอ 22CR4LC >

ซงไดคา 1s และ 2s เปXนจ.านวนจร'งต'ดลบ และผลตอบสนองจะอย9ในร9ปของผลรวมของเทอม เอVกซ*โพเนนเชยลต'ดลบ ในหวขอน จะก.าหนดคาใหของ α และ 0ω เทากนและเรยกกรณน วาหนวงว'กฤต ถาเราพยายามสรางวงจรขนาน RLC แบบหนวงว'กฤต ไมมทางท.าใหเปXนจร'งไดเพราะ ไมสามารถหาคา R, L และ C ทมคาคงทแนนอนได (ผลลพธ*ทไดอาจจะเปXนแบบหนวงส9งกวาว'กฤตหรZอหนวงต.ากวาว'กฤต)

กรณหนวงว'กฤตจะเก'ดไดเมZอ 0ω=α

หรZอ 22CR4LC =


หรZอ CR4L 2=

จากวงจรในหวขอ 7.3 เมZอเลZอกคาตวตานทานใหมคาเพ'มข นจนกระทงไดกรณหนวงว'กฤต โดยไม เปลยนคา 0ω คาตวตานทานจะตองมคาเทากบ 7 6 2 Ω ตวเหนยวน.ายงคงมคาเทากบ 7H และ ตวเกVบประจ-ยงคงมคาเทากบ 1 42 F จะหาคาได

60 =ω=α และ 6ss 21 −==

เมZอ 0ω=α สมการท 7-4 จะเปXน 0v

dtdv2

dtvd 22

2=α+α+

ค.าตอบของสมการน คZอ (ไมแสดงข นตอนการหาค.าตอบ) )AtA(e)t(v 21

t += α− (7-18)เมZอแทนคา α ในสมการ (7-18) จะได

)eAteA()t(v t62

t61

−− +=

จะหาคา 1A และ 2A ไดโดยใชคาเร'มตน v(0) = 0 ดงน นจะได 0A 2 = และคาเร'มตนอกคาหนงจะ ใชกบการอน-พนธ* dv dt เหมZอนกบกรณหนวงส9งกวาว'กฤต

t61

t61 eAe)6(tA

dtdv −− +−=

หาท t = 0

1t 0

dv Adt =

=

และเขยนสมการเดร'เวทฟในเทอมของคากระแสตวเกVบประจ-ทเวลาเร'มตน C R

t 0

i (0) i (0)dv i(0)dt C C C=

= = +

เมZอท'ศทางของ i,i,i RC น'ยามตามร9ป 6.2 ดงน นจะได 420A1 =

ผลตอบสนองธรรมชาต'ทไดคZอ t45.2te420)t(v −= (7-19)


ร9ป 7.5 ผลตอบสนอง t45.2te420)t(v −= ของวงจรร9ป 7.2 เมZอ R เปลยนคาและท.าใหเก'ดผลตอบสนองแบบหนวงว'กฤต

7.5 วงจรขน#น RLC แบบหนวงต%"#กว#ว,กฤต (underdamped)

พ'จารณาวงจรเด'มร9ป 7.2 โดยเพ'มคา R ใหมากข น ซงท.าใหคาสปส. การหนวง (damping factor, ζ ) ลดลงขณะ 0ω มคาคงท คา 2α จะมขนาดนอยกวา 2

0ω และท.าให 20

2 ωα − ต'ดลบคา 21 s,s จงมคาต'ดลบดวย และท.าใหผลตอบสนองมค-ณลกษณะแตกตางออกไป แตโชคดทไม ตองแกสมการอน-พนธ*ใหม เพยงแตใชจ.านวนเช'งซอนพ'จารณา ร9ปแบบของผลตอบสนองในเทอมของเอVกซ*โพเนนเชยลจะเปลยนเปXนผลตอบสนองร9ปซายน*แบบมหนวง ผลตอบสนองน จะประกอบ ดวยจ.านวนจร'งและจ.านวนเช'งซอน

เร'มจากการพ'จารณาร9ปแบบเอVกซ*โพเนนเชยล ts

2ts

121 eAeA)t(v +=

8.57 Ω 7 H 1 F42

( )( )

0

i 0 = 10 A

v 0 = 0 V

= 6α ω =

หนวงว'กฤต2.45t420te−

i

v

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

10

20

30

40

50

60

70

( )v t ( )V

( )t s


เมZอ 2

02

2,1s ω−α±α−=

และ (กรณหนวงต.ากวาว'กฤต ( )0α < ω ) 22

022

02

02 j1 α−ω=α−ω−=ω−α

เมZอ 1j −=

ในกรณของหนวงต.ากวาว'กฤต เราน'ยาม dω วาความถเรโซแนนซ*ธรรมชาต' (natural resonant frequency)

220d α−ω=ω

ผลตอบสนองสามารถเขยนไดเปXน )eAeA(e)t(v tj

2tj

1t dd ω−ωα− +=

หรZอเขยนในร9ปแบบขนาดยาวได d d d dj t j t j t j t

t1 2 1 2

e e e ev(t) e (A A )[ ] j(A A )2 j2

ω − ω ω − ω− α + − = + + −

จากทฤษฎจ.านวนเช'งซอน ในวงเลVบสเหลยมแรกจะแทนดวย t)( cos dω และในวงเลVบสเหลยมท สองแทนดวย t)(sin dω ได ดงน น

)]tsin()AA(j)tcos()AA[(e)t(v d21d21t ω−+ω+= α−

และแทนตวแปร 1A และ 2A ดวยสญลกษณ*ใหม )tsinBtcosB(e)t(v d2d1

t ω+ω= α− (7-20)คา 1B และ 2B จะเปXนคาจ.านวนจร'ง คาท งสองสามารถหาไดโดยใชคาสภาวะเร'มตน เมZอเพ'มคาตว ตานทานจาก 7 6 2 หรZอ Ω57.8 ไปเปXน Ω5.10 โดยทคา L และคา C ไมเปลยนแปลง จะได

2RC21 ==α

6LC1

0 ==ω

และ 2 2

d 0 2 rad / sω = ω − α =

จะได)t2sinBt2cosB(e)t(v 21

t2 += −


หาคาคงทท งสองกอน โดยจากสภาวะเร'มตน v(0) = 0 และ i(0) = 10 ดงน นจะได 1B เทากบศ9นย* t2sineB)t(v t2

2−=

อน-พนธ*สมการขางบนจะได t2sineB2t2coseB2

dtdv t2

2t2

2−− −=

และท t = 0 จะได C

2i (0)dv 2B 420

t 0dt C= = =

=

เมZอ Ci น'ยามดงร9ป 7.2 จะได t2sine2210)t(v t2−=

ผลตอบสนองแสดงดงร9ป 7.6

ร)ป 7.6 ผลตอบสนอง t2sine2210)t(v t2−=

10.5 Ω 7 H 1 F42

( )( )

0

i 0 = 10 A

v 0 = 0 V = 2

6

α

ω =

หนวงต.ากวาว'กฤต

( )v t ( )V

2t210 2e sin 2t−

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

( )t s

i

v


7.6 วงจรอนกรม RLC ท%ไมมแหลงจ#ย

วงจรอน-กรม RLC เปXนค9เสมZอนกบวงจรขนาน RLC ซงท.าใหว'เคราะห*สะดวกข น ร9ป 7.7 ก) แสดงวงจรอน-กรม RLC และเขยนสมการอ'นท'กรลผสมอน-พนธ*ได

0)t(vidtC1Ri

dtdiL 0C

t

t0

=−∫++

เปรยบเทยบกบสมการของวงจรขนาน RLC ในร9ป 7.7 ข) ได 0)t(ivdt

L1v

R1

dtdvC 0L

t

t0

=−∫++

ร)ป 7.7 ก) วงจรอน-กรม RLC ข) วงจรขนาน RLC

สมการอนดบสองทไดจากการอน-พนธ*ท งสองขางของสมการเทยบกบเวลา 2

2

d i di iL R 0dt dt C

+ + =

2

2

d v 1 dv vC 0dt R dt L

+ + =

พ'จารณาวงจรขนาน RLC ทสามารถน.าเอามาใชไดกบวงจรอน-กรม RLC คาเร'มตนของ แรงดนตวเกVบประจ-และกระแสตวเหนยวน.าในวงจรขนาน RLC จะเหมZอนกบคาเร'มตนของกระแส ตวเหนยวน.าและแรงดนตวเกVบประจ-ในวงจรอน-กรม RLC ผลตอบสนองแรงดนในวงจรขนานจะ กลายเปXนผลตอบสนองกระแสในวงจรอน-กรม หวขอท ง 4 ขางตนสามารถน.าเอาไปใชกบวงจร อน-กรม RLC ไดโดยใชค-ณลกษณะของค9เสมZอน อยางไรกVตามสามารถสร-ปร9ปแบบของผลตอบ สนองกระแสในวงจรอน-กรม RLC แบบตางๆ ไดดงน

R

C

L

i

Lv

Cv

R L CLi

Ci


กรณหนวงส9งกวาว'กฤตคZอ ts

2ts

121 eAeA)t(i +=

เมZอ

LC1)

L2R(

L2Rs 2

2,1 −±−=

20

2 ω−α±α−=

เมZอ

L2R=α

LC1

0 =ω

ร9ปแบบของผลตอบสนองกรณหนวงว'กฤตคZอ )AtA(e)t(i 21

t += α−

และร9ปแบบของผลตอบสนองกรณหนวงต.ากวาว'กฤตคZอ )tsinBtcosB(e)t(i d2d1

t ω+ω= α−

เมZอ 220d α−ω=ω

แตส'งหนงทแตกตางกนระหวางวงจร RLC ท งสองวงจรคZอคา α โดยวงจรขนาน RLC จะมคา 1 2RCα = สวนวงจรอน-กรม RLC จะมคา R 2Lα = ดงน นเมZอคา α เพ'มข นคาตวตานทาน

ในวงจรอน-กรมจะเพ'มข นหรZอคาตวตานทานในวงจรขนานจะลดลง

ตวอย#ง 7.2 วงจรอน-กรม RLC มคา L = 1 H, R = 2 k Ω , F4011C µ= , i(0) = 2 mA และ

V2)0(vC = จงหากระแส i(t) พรอมและวาดกราฟ ว,ธท"# หา 1s 1000

L2R −==α และ 1

0 s 20025LC1 −==ω ดงน นเมZอ α>ω 0 จะไดผลตอบ

สนองหนวงต.ากวาว'กฤต จากน น ค.านวณคา 20000d =ω ร9ปแบบของผลตอบสนองคZอ

)t20000sinBt20000cosB(e)t(i 21t1000 += −

โดยการใชคาเร'มตนของกระแส หาคา 1B ได (i(0) = 2 mA)002.0B1 =


และดงน น)t20000sinBt20000cos002.0(e)t(i 2

t1000 += −

คาเร'มตนอกคาจะใชเมZอ derivative สมการขางบนจะได )t20000sinB1000t20000cos2t20000cosB20000t20000sin40(e

dtdi

22t1000 −−+−= −

และ CL2

t 0

v (0) Ri(0)v (0)di 20000B 2dt L L=

−= − = =

2 2000(0.002) 2 A / s1

−= = −

หรZอ 0B2 =

ผลตอบสนองธรรมชาต'คZอ (ผลตอบสนองน มการออสซ'ลเลทคอนขางมากหรZอมการหนวงต.า)mAt20000cose2)t(i t1000 −=

ร)ป 7.8 ผลตอบสนองกระแสกรณหนวงต.ากวาว'กฤตของวงจรอน-กรม RLC

0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

( )i t ( )mA

( )t s


7.7 ผลตอบสนองสมบ)รณของวงจร RLC

ในหวขอน จะพ'จารณาแหลงจายไฟฟrากระแสตรงอย9ในวงจร RLC ดวย (หลงจากเก'ดการเปลยนแปลงในวงจร เชนการสว'ตซ*แหลงจายเขามาในวงจร) ซงจะท.าใหผลตอบสนองทไดคลายกบวงจร RL และวงจร RC ในหวขอกอนหนาน

ผลตอบสนองสมบ9รณ*ทได เก'ดจากผลรวมของผลตอบสนองกระต-น และผลตอบสนอง ธรรมชาต' คาเร'มตนของวงจรจะใชหาคาคงทของผลตอบสนองสมบ9รณ* ผลตอบสนองสมบ9รณ* (สมมต'วาผลตอบสนองแรงดน) ของระบบอนดบสองประกอบดวย ผลตอบสนองกระต-น เปXนคาคงทเมZอถ9กกระต-นดวยแหลงจายไฟตรง

ff V)t(v =

และผลตอบสนองธรรมชาต' tsts

n21 BeAe)t(v +=

ดงน นจะไดผลตอบสนองสมบ9รณ*คZอtsts

f21 BeAeV)t(v ++=

เราจะสมมต'ให 1s , 2s และ fV หาไดจากวงจรและฟ)งก*ชนกระต-น ส.าหรบคาคงท A และ B สามารถหาไดสมการส-ดทายทแสดงความสมพนธ*ระหวางคา A, B, v และ t เราจะตองสรางสองสมการ สมการแรกโดยจากการแทนคา v ทเวลา += 0t ดงน นจะได BAV)0(v f ++=+ ซงสวน น เปXนสวนทงาย แตสวนทยากกVคZอการอน-พนธ*ผลตอบสนองซงเปXนสมการทสองทแสดงความสมพนธ*ระหวาง A และ B ทจ.าเปXนอกสมการ

1 2s t s t1 2

dv 0 s Ae s Bedt

= + +

และใสคาททราบคาของ dv dt ท += 0t ดงน นสมการท งสองเปXนจ.านวนทพอเพยงแลวในการหาคา A และ B

ตวอย#ง 7.3 จากวงจรร9ป 7.9 จงหาคาของตวแปรแรงดนและกระแสท งหกตว ทเวลา −= 0t และ += 0t


ร)ป 7.9 วงจร RLC

เรามว'ธการท.าสองว'ธ ว,ธแรก ท −= 0t เฉพาะแหลงจายกระแสทางขวามZอ (5A) ทท.างาน อย9 คากระแสและแรงดนจะมคาคงท หรZอกลาวไดวาอย9ในสภาวะอย9ตว (steady-state condition) ดงน น กระแสตวเหนยวน.ามคาคงท และแรงดนตกครอมตวเหนยวน.าเทากบศ9นย*

0)0(vL =−

คาแรงดนตกครอมตวเกVบประจ-มคาคงทและกระแสไหลผานตวเกVบประจ-เทากบศ9นย* 0)0(iC =−

จากน น ใช KCL ทปมขวามZอจะได A5)0(iR −=−

และ V150)0(vR −=−

ใชกฎ KVL รอบเมซตรงกลาง V150)0(vC =−

และใช KCL หาคากระแสตวเหนยวน.าA5)0(iL =−

เมZอเวลาอย9ในชวงระหวาง −= 0t ถง += 0t แหลงจายกระแสทางซายมZอ (4A)จะท.างาน คาแรงดน และกระแสสวนมากท −= 0t จะเปลยนแปลงอยางทนททนใด อยางไรกVตามเราจะพ'จารณาเฉพาะ คาทไมเปลยนแปลงอยางทนททนใดกอน คZอ กระแสตวเหนยวน.าและแรงดนตวเกVบประจ- (ท งสอง คาจะมคาคงท) น นคZอ

A5)0(iL =+ และ V150)0(vC =+

เมZอท งสองกระแสของปมซายมZอเราร9คา จะได

3 H( )4u t A

Ri

Lv Cv

Li

Rv

30 Ω

1 F27

5 A

Ci


A1)0(iR −=+ และ V30)0(vR −=+

ดงน น A4)0(iC =+ และ V120)0(vL =+

เราจะไดคาท งหกคาครบถวน โดยกระแสของตวเหนยวน.าและคาแรงดนของตวเกVบประจ- เทาน นทไมมการเปลยนแปลงชวง −= 0t ถง += 0t

ว,ธท%สอง กอนการเปลยนแปลงจาก −= 0t เปXน += 0t ในวงจรมแตเฉพาะแหลงจายไฟตรงเทาน น

ตวเหนยวน.าสามารถแทนไดดวยการลดวงจร ขณะทตวเกVบประจ-สามารถแทนดวยการเปnดวงจร หรZอเขยนไดในร9ป 7.10 ก) เฉพาะแหลงจายกระแสขวามZอเทาน นทท.างาน จะไดกระแส 5A ไหล ผานตวตานทานและตวเหนยวน.า

Ri (0 ) 5A− = −

V150)0(vR −=−

A5)0(iL =− Lv (0 ) 0V− =

0)0(iC =−

และ V150)0(vC =−

ในขณะทมการเปลยนแปลงจาก −= 0t เปXน += 0t คาแรงดนตวเกVบประจ- และกระแสของตว เหนยวน.าจะไมเปลยนแปลง ในสภาพแบบน สามารถแทนตวเกVบประจ-ดวยแหลงจายแรงดน และ แทนตวเหนยวน.าดวยแหลงจายกระแส แสดงไดดงร9ป 7.10 ข) แหลงจายกระแสทางดานซายมZอม คา 4A

ร)ป 7.10 ก) วงจรสมม9ลอยางงายของวงจรร9ป 7.9 ทเวลา −= 0t

ข) วงจรสมม9ลขณะเปลยนเวลาจาก −= 0t เปXน += 0t

0 A

Ri

Lv CvLi

Rv

30 Ω

5 A

Ci

5 A4 A

Ri

Lv Cv

Li

Rv

30 Ω

150 V 5 A

Ci

ก) ข)


แรงดนและกระแสท += 0t ไดจากการว'เคราะห*วงจรไฟตรงในบทกอนๆ ตอนแรกเร'มจากการค'ดปมซายบนจะได A154)0(iR −=−=+ และต งสมการปมขวาบนจะได Ci (0 ) 1 5 4A+ = − + = และได A5)0(iL =+ และใชกฎของโอห*มจะได V30)1(30)0(vR −=−−=+ ส.าหรบตวเหนยวน.าใช KVL จะได

V12015030)0(vL =+−=+ และส-ดทายจะได

V150)0(vC =+

ตวอย#ง 7.4 จงหาตวแปรอน-พนธ*ของกระแสและแรงดนทเวลา += 0t จากวงจรดงร9ป 7.9 ว,ธท"# เร'มจากตวเหนยวน.า

dtdi

Lv LL =

และ +=

+ = 0tL

L dtdi

L)0(v

ดงน น L L

t 0

di v (0 ) 120 A40 sdt L 3+

+

=

= = =

ในท.านองเดยวกน C C

t 0

dv i (0 ) 4 V108 s1dt C27

+

+

=

= = =

ตวแปรอน-พนธ*อZนๆ หาไดจาก การท.า KCL และ KVL และท.าอน-พนธ* ตวอยางเชน ทปมซายมZอใน ร9ป 7.9

0t 0ii4 RL >=−−

และท.าอน-พนธ* 0t0

dtdi

dtdi

0 RL >=−−

และดงน น R

t 0

di A40 sdt +=

= −

คาตวแปรอน-พนธ*ทเหลZอท งสามหาได


R

t 0

dv V1200 sdt +=

= −

L

t 0

dv V1092 sdt +=

= −

และ C

t 0

di A40 sdt +=

= −

กอนจะออกจากการหาคาเร'มตนน เราจะหาผลตอบสนองของวงจรในร9ป 7.9 โดยการท.า ใหแหลงจายท งสองไมท.างาน วงจรจะกลายเปXนวงจรอน-กรม RLC ซงเราสามารถหา 1s และ 2s

ไดเทากบ –1 และ -9 ตามล.าดบ ผลตอบสนองกระต-นจะหาไดเหมZอนวงจรร9ป 7.10 ข) โดยแหลง จายกระแส 4A และ 5A ท.างานจะไดผลตอบสนองกระต-น คZอ 150 V ดงน น

t9tC BeAe150)t(v −− ++=

และ BA150150)0(vC ++==+

หรZอ 0BA =+

t9tC Be9Aedt

dv −− −−=

และ B9A108

dtdv

0t

C −−==+=

ส-ดทายจะได A = 13.5 B = -13.5และเขยนผลตอบสนองสมบ9รณ*

)ee(5.13150)t(v t9tC

−− −+=

สรปไดว# เมZอตองการหาพฤต'กรรมในสภาวะชวคร9 หรZอผลตอบสนองธรรมชาต'ของวงจร RLC เราจะตองพ'จารณาจากวงจรกอนวาเปXนการตอ RLC แบบอน-กรมหรZอขนาน หลงจากน นจะใช สมการหาคา α คZอ

RC21=α (วงจร RLC ตอแบบขนาน)

L2R=α (วงจร RLC ตอแบบอน-กรม)

ถดมาจะท.าการเปรยบเทยบ α กบ 0ω ซงหามาไดจากวงจรเดยวกน คZอ


LC1

0 =ω

ถา 0ω>α วงจรมผลตอบสนองกรณหนวงส9งกวาว'กฤตและมผลตอบสนองธรรมชาต' คZอ tS

2tS

1n21 eAeA)t(f +=

เมZอ 20

22,1s ω−α±α−=

ถา 0ω=α วงจรมผลตอบสนองกรณหนวงว'กฤตจะไดผลตอบสนองธรรมชาต'คZอt

n 1 2f (t) e (A t A )− α= +

และเมZอคา 0ω<α วงจรมผลตอบสนองกรณหนวงต.ากวาว'กฤตและมผลตอบสนองธรรมชาต' คZอ)tsinAtcosA(e)t(f d2d1

tn ω+ω= α−

เมZอ 220d α−ω=ω

ข นตอนพ'จารณาทายส-ด จะพ'จารณาทแหลงจายอ'สระทอย9ในวงจร ถาหลงจากการสว'ทซ*แลวไมมแหลงจายอ'สระอย9ในวงจร ดงน นวงจรจะกลายเปXนวงจรทไมมแหลงจายและผลตอบสนองสมบ9รณ*คZอผลตอบสนองธรรมชาต' แตถามแหลงจายอ'สระท.างานในวงจรอย9หลงการเปลยนแปลง ผลตอบ สนองสมบ9รณ* คZอผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต'กบผลตอบสนองกระต-น

)t(f)t(f)t(f nf +=

ร9ปแบบของผลตอบสนองน สามารถใชไดท งกบผลตอบสนองกระแสและผลตอบสนองแรงดนใน วงจร

ต#ร#ง 7.1 แสดงร9ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต'แตละแบบข นอย9กบการตอวงจรและคา α และ 0ω ส.าหรบวงจร RLC ตอแบบขนาน

กรณ ร)ปแบบผลตอบสนองธรรมช#ต, ตวแปรหนวงส9งกวาว'กฤต

( )0α > ω

1 2s t s tn 1 2f (t) A e A e= +

หนวงว'กฤต( )0α = ω

tn 1 2f (t) e (A t A )− α= +

หนวงต.ากวาว'กฤต( )0α < ω

tn 1 d 2 df (t) e (B cos t B sin t)− α= ω + ω

20

21s ω−α+α−=

20

22s ω−α−α−=

RC21=α

LC1

0 =ω 22

0d α−ω=ω


ต#ร#ง 7.2 แสดงร9ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต'แตละแบบข นอย9กบการตอวงจรและคา α และ 0ω ส.าหรบวงจร RLC ตอแบบอน-กรม

กรณ ร)ปแบบผลตอบสนองธรรมช#ต, ตวแปรหนวงส9งกวาว'กฤต

( )0α > ω

1 2s t s tn 1 2f (t) A e A e= +

หนวงว'กฤต( )0α = ω

tn 1 2f (t) e (A t A )− α= +

หนวงต.ากวาว'กฤต( )0α < ω

tn 1 d 2 df (t) e (B cos t B sin t)− α= ω + ω

20

21s ω−α+α−=

20

22s ω−α−α−=

L2R=α

LC1

0 =ω 22

0d α−ω=ω

7.8 วงจร LC ท%ไมมก#รส)ญเสย (lossless LC circuit)

ถาคาของตวตานทานในวงจรขนาน RLC มคาเปXนอนนต*หรZอมคาเปXนศ9นย*ในวงจรอน-กรม RLC เราจะไดวงจร LC ซงจะใหผลตอบสนองทออสซ'ลเลทตลอดเวลา (ขนาดเทาเด'มตลอด)

ร)ป 7.11 วงจร LC ทไมมการส9ญเสย

พ'จารณาวงจรดงร9ป 7.11 ทมตวเหนยวน.า L = 4 H และตวเกVบประจ- C = 1/36 F (ใชคาน เพราะงายตอการพ'จารณาทางคณ'ตศาสตร*) ก.าหนดให i(0) = -1/6 A และ v(0) = 0 V วงจรไมมแหลงจายและหาคาตวแปร ( )0α = และ ( )2

0 9ω = ดงน น ( )d 0 3ω = ω = ผลตอบสนองแรงดนคZอ

4H1 F

36

i

v


v Acos3t Bsin3t= +

เมZอ v(0) = 0 V เราจะได A = 0 และอน-พนธ*สมการน ได dv i(0)3B

t 0dt C= = −

=

แต i(0) = -1/6 A และได dv dt 6 V / s= ท t = 0 และ B = 2 ดงน นv 2sin 3t V=

สมการแรงดนน เปXนผลตอบสนองซายน*แบบไมมหนวง (undamped sinusoidal response)ตอนน เราจะสรางผลตอบสนองแบบน โดยไมใชวงจร LC แตใชออปแอมปxแทน โดยเร'ม

จากการเขยนสมการอน-พนธ*ทมแรงดน (v) เปXนตวแปรและหลงจากน นจะสรางร9ปแบบการตอวงจรของออปแอมปxทเปXนค.าตอบของสมการ เทคน'คน เปXนเทคน'คโดยทวไปทใชในการหาค.าตอบของสมการอน-พนธ*เอกพนธ-*เช'งเสน

ส.าหรบวงจร LC ดงร9ป 7.11 เราเลZอก v เปXนตวแปรและใช KCL ทปมดานบนt

0

1 1 1 dvvdt 04 6 36 dt

− + =∫ท.าอน-พนธ*หนงคร งจะได

2

2

1 1 d vv 04 36 dt

+ =

หรZอ

2

2

d v 9vdt

= −

เพZอทจะแกสมการหาค.าตอบ เราจะใชออปแอมปx (ทท.าหนาทเปXนอ'นท'เกรเตอร*) สองคร ง เราสมม-ต' ใหอน-พนธ*อนดบส9งส-ดในสมการมอนดบสองอย9ทต.าแหนง A ในร9ป 7.12 อ'นท'เกรเตอร* (RC = 1) ตวแรกมอ'นพ-ทคZอ 2 2d v dt และเอาท*พ-ทคZอ dv dt− เมZอเครZองหมายลบเก'ดจากตวอ'นท'เกรเตอร* คาเร'มตนของ dv dt คZอ 6 V/s (ซงแสดงไปแลวในการว'เคราะห*วงจร) ดงน นคาเร'มตน -6 V จะตองก.าหนดในตวอ'นท'เกรเตอร* คาเอาท*พ-ททเปXนลบของตวอ'นท'เกรเตอร*ตวทหนงจะเปXนอ'นพ-ทใหกบอ'นท'เกรเตอร*ตวทสอง เอาท*พ-ท v(t) และคาเร'มตน v(0) = 0 เพZอท.าใหอน-พนธ*อนดบสองทจ-ด A เทากบ -9v เราจงค9ณ -9 เขาไปโดยใชออปแอมปxท.าหนาทเปXนวงจรขยายกลบข ว (inverting amplifier)


ร9ป 7.12 แสดงวงจรขยายกลบข ว (ส.าหรบออปแอมปxในอ-ดมคต') กระแสทไหลเขาอ'นพ-ทและแรงดนท งสองมคาเทากบศ9นย* ดงน นกระแสจะไหลผาน 1R เทากบ S 1v R และไหลผาน

fR ( )O fv R เมZอผลรวมมคาเทากบศ9นย*จะไดo f

S i

v Rv R

= −

ร)ป 7.12 วงจรขยายกลบข ว

ดงน นเราสามารถสรางอตราขยาย -9 ได โดยการเลZอก fR 90 k= Ω และ 1R 10 k= Ω ตวอยาง ถาเราใช R เทากบ 1 MΩ และ C เทากบ 1 Fµ ในแตละวงจรอ'นท'เกรเตอร* จากน นจะได

t

O S O0

v v dt v (0)= − +∫ ในแตละกรณเอาท*พ-ทของวงจรขยายกลบข วอย9ในร9ปแบบดงทสมม-ต'ทจ-ด

A ดงร9ป 7.13 ถาสว'ตซ*ดานซายมZอปnดทเวลา t = 0 ขณะทเงZอนไขเร'มตนอกสองอนจะเปnดในเวลาเดยวกน เอาท*พ-ทของอ'นท'เกรเตอร*ตวทสองจะเปXนสญญาณซายน*ไมมหนวง v 2sin 3t V=

หม#ยเหต ท งวงจร LC ในร9ป 7.11 และวงจรออปแอมปxในร9ป 7.13 มเอาท*พ-ททเหมZอนกน วงจรออปแอมปxไมมตวเหนยวน.าแมแตตวเดยว แตวงจรน กVท.าหนาทเหมZอนกบมตวเหนยวน.าอย9ในวงจร (ใหแรงดนเอาท*พ-ทสญญาณซายน*ไมมหนวงระหวางข วเอาท*พ-ทกบกราวด*) ซงเปXนขอดเมZอ พ'จารณาการออกแบบวงจรในทางปฏ'บต'หรZอทางดานเศรษฐศาสตร*

Ov

iR

fR

Sv


ร)ป 7.13 วงจรอ'นท'เกรเตอร*สองตวและวงจรขยายกลบข วตอกนเพZอใหไดค.าตอบของ

สมการอน-พนธ* 2

2

d v 9vdt

= −

7.9 แบบฝNกหดท#ยบท

1. กระแสตวเหนยวน.าในวงจรดงร9ป P7.1 คZอ 5t 10ti 2e 5e A− −= − ถา L 0.2 H= จงหา ( )v t ( )Ri t และ ( )Ci t

1 MΩ

t = 0

1 Fµ

6 V

v = 2 sin 3t V

9v−

t = 0

1 Fµ

1 MΩ

90 kΩ

10 kΩ

2

2

d vdt

At = 0

dvdt

−


ร)ป P7.1ว,ธท"#

5t 10ti 2e 5e A− −= −

( ) ( )5t 10t 5t 10tdiv t L 0.2 10e 50e = 2e 10e Vdt

− − − −= = − + − + ตอบ

1 21 1s s 15 2 7.5 R

2RC 15C+ = − = − α ∴ α = = ∴ =

2 2 21 2 0 0

1 1s s 5 2 50 50 C 0.1 FLC 50*0.2

− = = α − ω ∴ ω = ∴ = ∴ = =

1 2R 15*0.1 3

= = Ω

5t 10tR

vi 3e 15e VR

− −= = − + ตอบ

( )5t 10t 5t 10tC

dvi C 0.1 10e 100e e 10e Adt

− − − −= = − = − ตอบ

2. วงจรดงร9ป P7.2 จงหาคา ( )Lv t ( )2t 3t10e 15e V, t > 0− −− +

ร)ป P7.2

R

i

Lv C

RiCi

5 Ω25 H6

1 F25

5u( t) V−Lv


3. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.3 ปnดมาเปXนเวลานาน และจะเปnดทเวลา t = 0 จงหาคา ( )Li t

ร)ป P7.3

ว,ธท"# ( )Li 0 20 A= ; ( )Cv 0 60 V= − 2 6

0 3

30000 300004000 ; 15*102*3.75 2*10−α = = ω = =

11,2s 4000 1000 3000, 5000 s−= − ± = −

( )3000t 5000tL Li Ae Be ; i 0 20 A B− −∴ = + = = +

( ) ( )Lt 0

div 0 60 L 0.002 3000A 5000Bdt =

∴ = − = = − −

L 3000t 5000t

20 A, t < 0i

35e 15e A, t 0− −

∴ = − >

ตอบ

4. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.4 เปnดมาเปXนเวลานาน และจะปnดทเวลา t = 0 จงหา ( )Cv t และ ( )Li t

( )C 2t 8t

60 V, t 0v t

80e 20e V, t 0− −

< = − >

, ( )L 2t 8t

6 A, t 0i t

6.4e 0.4e A, t 0− −

< = − >

2 Ω

3.75 Ω2 mH

1 mF30

40 V

60u( t) V−

t = 0

Li


ร)ป P7.4

5. จากวงจรดงร9ป P7.5 จงหา ( )i t

ร)ป P7.5ว,ธท"#

( ) ( ) 450v 0 0 ; i 0 0.18 A2500

= = =

61 10 4002RC 1250*2

α = = =

62 2 2

0 d 01 10 250,000;

LC 2*2ω = = = ω = ω − α

2 2d 25 16 *100 300ω = − =

( ) ( )400tLi t e A cos300t Bsin 300t A = 0.18B−= + ∴

( ) ( )Lt 0

div 0 v 0 2 0 300B 400*0.18 B 0.2dt +=

= = = = − ∴ =

( ) ( )400tLi t e 0.18cos300t 0.24sin 300t A, t > 0 −= + ตอบ

10 Ω0.01 FCv

6.25 HLi

t = 06 A

i

2 H 2 Fµ

2500 Ω

625 Ω450 V

t = 0


6. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.6 เปnดมาเปXนเวลานานและจะปnดทเวลา t = 0 จงหา ( )Cv t

( )C 2t

-130 V, t < 0v

e 130cos10t 26sin10t V, t 0−

= − − >

ร)ป P7.6

7. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.7 ปnดมาเปXนเวลานานและจะเปnดทเวลา t = 0 จงหาคา ( )Rv t

ร)ป P7.7

20 A5 Ω

6.5 Ω1 F26Cv1 H

4

t = 0

625 Ω

250 mH

1 Fµ

0.25 Fµt = 0

1v

100u( t) V−

Rv


ว,ธท"#

( )61 10 4000

2RC 2*625* 0.25 //1α = = =

62 6 2 2

0 d 01 10 20*10 ; 2000

LC 0.2*0.25ω = = = ω = ω − α =

( ) ( ) ( )R 1 L100v 0 v 0 100 V, i 0 0.16 A625

+ = = = =

( )4000tRv e 100cos 2000t Bsin 2000t−= +

( ) ( )R6 RL

t 0

v 0dv 1000.2*10 2000B 4000*100 i 0 0.16 0dt 625 625

B 200+

−

=

= − = − = − =

∴ =( ) ( )4000t

Rv t e 100cos 2000t 200sin 2000t V, t 0−∴ = + > ตอบ

8. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.8 ปnดมาเปXนเวลานานและจะเปnดทเวลา t = 0 จงหา ( )v t ส.าหรบ t > 0 ( )( )4tv e 24cos3t 32sin 3t V, t 0−= + >

ร)ป P7.8

9. จากวงจรดงร9ป P7.9 จงหาคา ( )Li t

ว,ธท"# 6

eq 20

R 250 1 1025; 4002L 10 LC 5*500

α = = = ω = = =

1,2s 25 15 10, 40= − ± = − −

( ) ( )C L Lfv 0 1000 V, i 0 10 A, i 10 A= − = =

24 V

t = 0

0.04 F 8 Ω Rv

1 H


( )10t 40tL Li 10 Ae Be ;i 0 10 A B 10 A B− −∴ = + + = + + = ∴ = −

( ) ( ) ( ) ( )L L C5 10A 40B 50i 0 10 i 0 200 v 0 50A 200B 1500− − = − + − + ∴ − − = − A 10,B 10∴ = − =

10t 40tLi 10 10e 10e A, t 0− −∴ = − + > ตอบ

ร)ป P7.9

10. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.10 เปnดมาเปXนเวลานานและจะปnดทเวลา t = 0 จงหา ( )i t ( )( )500ti 0.18 e 90t 0.18 A , t > 0−= + − −

ร)ป P7.10

500 Fµ

50 Ω

5 H

Li10 A 200 Ω

1 kV

t = 0

i

2 H 2 Fµ

2500 Ω

625 Ω450 V

t = 0

1 บทท 8 ฟงก ชนกระตนสญญาณซายน

บทท 8

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศ กษาไดอ%านบทเรยนน'จบ นกศ กษาจะมความสามารถดงน'

สามารถอธ-บายคณลกษณะของสญญาณซายน ไดสามารถเขยนสมการผลตอบสนองกระตนต%อฟงก ชนกระตนซายน ได

หวขอยอย หนา 8.1 แนะน2า 212 8.2 คณลกษณะของสญญาณซายน 212 8.3 ผลตอบสนองกระตนต%อฟงก ชนกระตนซายน 215 8.4 แบบฝ8กหดทายบท 220

ฟงกชนกระตนสญญาณซายน



ผลตอบสนองสมบ:รณ ของวงจรไฟฟ;าเช-งเสนประกอบดวยสองส%วนค=อ ผลตอบสนอง ธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน ในบทท 1 ถ งบทท 3 ไดศ กษาวงจรตวตานทานซ งจะมแต%ผล ตอบสนองกระตนอย%างเดยว และก2าหนดใหฟงก ชนกระตนค=อแหล%งจ%ายไฟตรงอกดวย และต%อมา เราไดเรยนร:ว-ธการต%างๆ ในการแกสมการเพ=อหาผลตอบสนองกระตนต%อแหล%งจ%ายไฟตรง ในส%วน ทสองค=อบทท 4 ถ งบทท 7 เราไดร:จกผลตอบสนองธรรมชาต-จากวงจรทประกอบดวยอปกรณ สะสมพลงงานหน งหร=อสองตว และเราสามารถหาผลตอบสนองสมบ:รณ ไดค=อผลตอบสนองธรรมชาต- (ข 'นอย:%กบคณลกษณะของวงจร) และผลตอบสนองกระตน (เก-ดจากฟงก ชนกระตนไฟตรง) เม=อน2าเอาท'งสองผลตอบสนองมารวมกน

ในส%วนทสามน' เราจะพ-จารณาผลตอบสนองกระตนโดยเฉพาะฟงก ชนซายน (sinusoidal forcing function) เหตผลทเราเล=อกศ กษาฟงก ชนกระตนซายน มหลายประการ เช%น ผลตอบสนอง ธรรมชาต-ของระบบอนดบสอง ชน-ดหน%วงต2ากว%าว-กฤตแบบซายน และถาไม%มการส:ญเสย (ไม%มหน%วง) กTจะกลายเปUนซายน อย%างเดยว ธรรมชาต-ของส-งต%างๆ จะมลกษณะแบบฟงก ชนซายน เช%น การเคล=อนทของเพนด:ลม (pendulum) การกระเดงของล:กบอล นกคณ-ตศาสตร ชาวฝรงเศสช=อ ฟ:ร-เยร (Fourier) ไดสงเกตปรากฏการณ ธรรมชาต- และสรางทฤษฎฟ:ร-เยร ข 'นมาซ งเปUนทฤษฎทม ประโยชน อย%างมาก ทฤษฎน'กล%าวถ งฟงก ชนทางคณ-ตศาสตร ซ งสามารถสรางข 'นมาจากผลรวมของฟงก ชนซายน ทมความถเปUนจ2านวนเท%าของความถพ='นฐาน (f0) เช%น ฟงก ชนรายคาบ (periodic) สามารถสรางไดจากผลรวมของเทอมของฟงก ชนซายน ความถต%างๆ การแตกฟงก ชนรายคาบให กลายมาเปUนฟงก ชนกระตนซายน เทอมต%างๆ เปUนว-ธทมประโยชน มาก และน'ค=ออกเหตผลทเรยน ผลตอบสนองของฟงก ชนกระตนซายน เหตผลทสามค=อคณสมบต-ส2าคญทางคณ-ตศาสตร ของ ฟงก ชนซายน จะไม%เปลยนแปลงไม%ว%าจะท2าอนพนธ (derivatives) หร=ออ-นท-กรล (integrals) กTจะยง คงเปUนฟงก ชนซายน อย:% ส%วนเหตผลสดทายค=อฟงก ชนกระตนซายน ใชในทางปฏ-บต-อย%างมากมาย

8.2 คณลกษณะของสญญาณซายน

ในหวขอน'จะอธ-บายฟงก ชนซายน หร=อโคซายน (sinusoidal or cosinusoidal) พ-จารณา


แรงดนสญญาณซายน ทเปลยนแปลงตามเวลาmv(t) V sin t= ω

ร+ป 8.1 ฟงก ชนซานย mv(t) V sin( t)= ω ก) วาดกบแกน tω ข) วาดกบแกน t

T4

− T4

T2

0 3T4

T

( )t s

( )v t

mV

mV−

2π−

2π π0 3

2π 2π

( )t radω

( )v t

mV

mV−

ก)

ข)


ในร:ป 8.1 ขนาด (amplitude) ของคล=นซายน ค=อ Vm และ ω ค=อ ความถเรเดยน (radian frequency) หร=อความถเช-งมม (angular frequency) ในร:ป 8.1 ก) mV sin tω วาดกราฟในฟงก ชนของ

tω จะเหTนไดว%าฟงก ชนซายน เปUนฟงก ชนรายคาบ โดยฟงก ชนจะเคล=อนทซ'2าทกๆ 2π เรเดยน (radian) (หร=อคาบเท%ากบ 2π เรเดยน) ในร:ป 8.1 ข) mV sin tω วาดในฟงก ชนของ t และคาบค=อ T ว-นาทสามารถแสดงไดท'งในหน%วยองศา (degree) หร=อหน%วยอ=นๆ เช%น เซนต-เมตรหร=อน-'ว คาบเวลา T จะท2างาน 1 T คาบในแต%ละว-นาทหร=อความถ f เท%ากบ 1 T มหน%วยเปUนเฮร-ท (Hertz ,Hz) ดงน'น 1 เฮร-ท เท%ากบหน งรอบต%อว-นาท ( )f 1 T= และเม=อ

T 2ω = π

จะไดความสมพนธ ระหว%างความถและความถเรเดยนดงน' f2π=ω

ร:ปแบบของสญญาณซายน โดยทวไปค=อ )tsin(v)t(v m θ+ω= (8-1)

θ ค=อมมเฟส (phase angle) แสดงสมการ (8-1) ไดดงร:ปท 8.2 วาดกราฟเปUนฟงก ชนของ t และมม เฟสจะปรากฏเปUนหน%วยเรเดยน โดยเสนประค=อคล=นซายน เด-ม เสนท บค=อคล=นซายน ใหม%ทเล=อนไป ทางซายดวย θ เรเดยน เราสามารถเขยน mV sin( t )ω + θ น2าหนา (leads) mV sin( t)ω ดวยมม θ เรเดยน หร=อในทางกลบกน )tsin(ω ตามหลง (lagging) )tsin( θ+ω อย:%ดวยมม θ เรเดยน หร=อน2าหนา

)tsin( θ+ω ดวยมม − θ เรเดยน หร=อน2าหนา )tsin( θ−ω ดวยมม θ เรเดยน ท'งการน2าหนาและการ ตามหลงรวมแลวเราจะเรยกว%าไม%ตรงเฟส (out of phase) ถามมมเฟสเท%ากนจะเรยกว%าเฟสตรงกน (in phase) ส2าหรบว-ศวกรไฟฟ;ามมเฟสจะมหน%วยเปUนองศามากกว%าเรเดยน เช%นสมการ

)6

t10002sin(100v π−π=

สามารถเขยนไดใหม%โดยแทนดวยมมในหน%วยองศา)30t10002sin(100v −π=

เพ=อหาค%าของสมการน'ทเวลาใด ๆ เช%น t = 10-4 ว-นาท ค%า t10002π จะกลายเปUน π2.0

เรเดยนและเปลยนเปUนองศาได 36 ก%อนจะลบดวย 30 คล=นซายน สองคล=นทน2ามาเปรยบเทยบกนว%าเฟสตรงกน (inphase) หร=อไม% จะตองมร:ป

แบบเปUนซายน หร=อโคซายน ทเหม=อนกนท'งสองร:ปคล=น โดยเขยนขนาดเปUนค%าบวกและตองม ความถเดยวกน (การบวกหร=อลบดวยมม 360o ไม%ท2าใหฟงก ชนเปลยนแปลง) ตวอย%างการเปรยบเทยบ 1 m1v (t) V sin(5t 30 )= − o และ 2 m2v (t) V cos(5t 10 )= + o


เราจะตองแปลงเปUนร:ปซายน (หร=อโคซายน ) เหม=อนกนจ งจะท2าการเปรยบเทยบได2 m2v (t) V sin(5t 90 10 )= + +o o

2 m2v (t) V sin(5t 100 )= + o

ผลต%าง 130 หร=อกล%าวไดว%า 1v (t) น2าหนา 2 v (t) ดวยมม 230 เม=อ 2v (t) เขยนไดเปUน 2 m2v (t) v sin(5t 260 )= − o

เราสมมต-ให 1mv และ 2mv เปUนบวกท'งค:% โดยปกต-ผลต%างของมมเฟสของท'งสองร:ปคล=นซายน จะ แทนดวยค%าทนอยกว%าหร=อเท%ากบ 180

ร+ป 8.2 ร:ปคล=นซายน mv(t) V sin( t )= ω + θ น2าหนา mV sin( t)ω ดวยมม θ เรเดยน

หลกการของการน2าหนาหร=อการตามหลงของสญญาณซายน ท'งสองมไวเพ=อ ช%วยแสดง ความสมพนธ ของฟงก ชนซายน ท'งสองร:ปคล=นท'งทางคณ-ตศาสตร และทางร:ปกราฟ

8.3 ผลตอบสนองกระตนตอฟงกชนกระตนซายน

ผลตอบสนองกระตน จะมร:ปแบบทางสมการคณ-ตศาสตร เหม=อนกบร:ปแบบของฟงก ชน กระตนรวมท'งเทอมอนพนธ และเทอมอ-นท-กรล (ของฟงก ชนกระตนเอง)

2π π 3

2π 2π

( )t radω

( )v t

mV

mV−

( )mV sin tω

( )mV sin tω + θ

θ


เราจะเรยกผลตอบสนองอย:%ตว (steady-state response) ในอกช=อว%าผลตอบสนองกระตน (forced response) ผลตอบสนองอย:%ตวในทางปกต-มความหมายว%า ไม%เปลยนแปลงตามเวลาซ งเปUน จร-งส2าหรบฟงก ชนกระตนไฟตรง แต%ส2าหรบฟงก ชนซายน แลวน-ยามไดเปลยนแปลงไปดงน'ค=อ สภาพอย:%ตวจะหมายถ งสภาพหลงจากผลตอบสนองชวคร:%หร=อผลตอบสนองธรรมชาต-หมดส-'นแลว

ตอนน'พ-จารณาวงจรอนกรม RL ในร:ป 8.3 แหล%งจ%ายแรงดนซายน ถ:กสว-ตซ เขาไปในวงจร ทเวลาช%วงหน งในอดตและผลตอบสนองธรรมชาต-ไดเสรTจส-'นโดยสมบ:รณ แลว เราจะหาผลตอบ สนองกระตนหร=อผลตอบสนองอย:%ตวไดดงสมการ

tcosVRidtdiL m ω=+ (8-2)

ร+ป 8.3 วงจรอนกรม RL

ร:ปแบบฟงก ชนของผลตอบสนองกระตน ซ งท2าหลงจากอ-นท-เกรชน (integration) และอนพนธ ของฟงก ชนกระตนแลวจะมเพยงแต%ร:ปแบบทแตกต%างกนสองแบบค=อ sin tω และ cos tω ดงน'นผลตอบสนองกระตนจะมร:ปแบบโดยทวไป

tsinItcosI)t(i 21 ω+ω= (8-3)เม=อ 1I และ 2I เปUนค%าคงทจ2านวนจร-งซ งข 'นอย:%กบค%า mV , R, L และ ω แทนสมการ (8-3) ในสมการ (8-4) จะได

tcosV)tsinItcosI(R)tcosItsinI(L m2121 ω=ω+ω+ωω+ωω−

และยายใหเทอมซายน และโคซายน อย:%ดวยกน 0tcos)VRILI(tsin)RILI( m1221 =ω−+ω+ω+ω−

สมการน'จะเปUนจร-งส2าหรบทกค%าของ t และแกสมการไดโดยใหเทอมซายน และเทอมของโคซายน เท%ากบศ:นย ดงน'น 0RILI 21 =+ω− และ 0VRILI m12 =−+ω− ซ งจะไดค2าตอบของ 1I และ 2I ค=อ

i

( )( )

S

m

v t

V cos t

=

ω

RL


222m

1L*R

RVI

ω+=

222m

2L*R

LVI

ω+ω

=

ดงน'น ผลตอบสนองกระตนทไดค=อ m m

2 2 2 2 2 2

RV LVi(t) cos t sin tR L R L

ω= ω + ω+ ω + ω (8-5)

สมการน'ยงยากในการแกสมการ อย%างไรกTตามกTไดเหTนภาพทชดเจนของการแสดงผลตอบสนอง ในเทอมของฟงก ชนซายน หร=อโคซายน อย%างใดอย%างหน งกบมมเฟส เราเล=อกฟงก ชนโคซายน ใน การหาค2าตอบ (เพ=อหาค2าตอบทง%ายกว%าสมการ (8-4))

)tcos(A)t(i θ−ω= (8-6)มว-ธการอย%างนอยสองว-ธในการหาค%า A และ θ ว-ธแรก เราจะแทนสมการ (8-5) ลงในสมการอนพนธ (8-2) โดยตรง หร=อว-ธทสอง จบสมการ (8-4) เท%ากบสมการ (8-5) เราเล=อกว-ธการทสอง จากสมการ (8-5) หลงจากกระจายฟงก ชน )tcos( θ−ω ไดซ งจะมค%าเท%ากบสมการ (8-4)

m m2 2 2 2 2 2

RV LVAcos cos t Asin sin t cos t sin tR L R L

ωθ ω + θ ω = ω + ω+ ω + ω

เปรยบเทยบส.ป.ส.ของ tcos ω และ tsin ω จะไดm

2 2 2

RVAcosR L

θ =+ ω

m2 2 2

LVAsinR L

ωθ =+ ω

หาค%า A และ θ โดยการหารสมการหน งดวยอกสมการหน งเพ=อหาค%า A

RLtan

cosAsinA ω=θ=

θθ

และยกก2าลงสอง ท'งสองสมการและรวมกน 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 m m m2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

R V L V VA cos A sin A(R L ) (R L ) R L

ωθ + θ = = + =+ ω + ω + ω

จะได RLtan 1 ω=θ −

และ m2 2 2

VAR L

=+ ω

ร:ปแบบของผลตอบสนองกระตนเขยนไดใหม%ค=อ 1m

2 2 2

V Li(t) cos( t tan )RR L

− ω= ω −+ ω

(8-7)เราจะพ-จารณาคณลกษณะทางไฟฟ;าของผลตอบสนอง i(t) ดงน'ขนาดของผลตอบสนองจะ

เปUนอตราส%วนกบขนาดของฟงก ชนกระตน ขนาดของผลตอบสนองจะลดลงขณะทค%าของ R, L หร=อ ω เพ-มข 'น แต%ไม%เปUนอตราส%วนกน ด:ไดจากสมการอนพนธ ส2าหรบการเพ-มข 'นของค%า R,L


หร=อ dtdi ขนาดของกระแสจะลดลงถาแหล%งจ%ายแรงดนไม%เปลยนแปลง กระแสจะตามหลงแรงดน

ดวยมม )RL(tan 1 ω− ซ งอย:%ระหว%าง 0 ถ ง 90 เม=อ 0=ω หร=อ L = 0 กระแสจะมเฟสตรงกนกบ

แรงดนซ งเก-ดในกรณวงจรแหล%งจ%ายไฟตรงกบวงจรตวตานทาน เม=อค%า R = 0 กระแสจะตามหลง แรงดนดวย 90 ซ งตามความสมพนธ )

dtdi(Lv s = ในวงจรทมตวเหนยวน2าอย%างเดยวกระแสจะตาม

หลงแรงดนดวยมม 90 ในท2านองคลายกนแต%ในวงจรมตวเกTบประจอย%างเดยว กระแสจะน2าหนา แรงดนดวยมม 90

แรงดนจากแหล%งจ%ายและผลตอบสนองค%ากระแส i(t) วาดไดในร:ป 8.4 โดยมขนาดของ กระแสและแรงดนไม%ถ:กตองตามสเกล กระแสตามหลงแรงดนในวงจร RL

ผลต%างของเฟสระหว%างแรงดนและกระแสข 'นอย:%กบอตราส%วนของปร-มาณ Lω ต%อ R ซ ง เราจะเรยก Lω ว%าค%ารแอคตฟของตวเหนยวน2า (inductive reactive) มหน%วยเปUนโอห ม

ร+ป 8.4 กราฟแรงดนฟงก ชนกระตนซายน และกราฟกระแสซายน

π 2π( )t radω

v,i

( )i t

( )v t

0

θ


ตวอยาง 8.1 จงหากระแส Li ในวงจรร:ป 8.5

ร+ป 8.5

ว0ธท&า วงจร RL มตวตานทาน 2 ตว และไม%เปUนวงเดยว เพ=อจะใชผลลพธ ทไดจากการ ว-เคราะห ก%อนหนาน' จะตองจดร:ปใหม%ใหอย:%ในร:ป 8.5 ข) โดยใชวงจรสมม:ลเทว-น-น ทจด a และ b แรงดนเปqดวงจร OCv ค=อ

V t10cos825100

100)t10cos10(v 33OC =

+=

เม=อไม%มแหล%งจ%ายเราจะได Ω=

+= 20

)10025()100*25(

R th

ตอนน'เราจะได วงจร RL เม=อ L = 30 mH, Ω= 20R th และแหล%งจ%ายแรงดน t10cos8 3 V ดงน'นเราสามารถหาผลตอบสนองอย:%ตวได

)2030tant10cos(

)10*30*10(20

8i 13

2332L

−

−−

+=

)3.56t10cos(222.0 3 −= Aว-ธการทใชหาผลตอบสนองคงตวส2าหรบวงจรอนกรม RL น'มความส2าคญไม%มาก ท'งน'

เพราะว%าความยากในการแกสมการ ถาอปกรณ ท'งสองเปUนตวตานทาน เราจะแกสมการไดอย%างง%าย โดยใชกฎของโอห ม แต%ความสมพนธ ของตวเหนยวน2าไม%ง%ายอย%างน'น อย%างไรกTตามแทนทจะแก สมการพชคณ-ตธรรมดาๆ แต%จะตองแกสมการอนพนธ ไม%เอกพนธ (nonhomogeneous differential) ในบทต%อจากน'เราจะท2าใหการว-เคราะห ง%ายข 'น สมการจะอย:%ในร:ปพชคณ-ตและมความสมพนธ ระหว%างแรงดนและกระแสของตวเหนยวน2าและตวเกTบประจคลายความสมพนธ ของตวตานทานซ งท2าใหวงจรซบซอนว-เคราะห ง%ายข 'น ค%าคงทและตวแปรในสมการจะเปUนจ2านวนเช-งซอน แต%การ ว-เคราะห วงจรใดๆในการหาผลตอบสนองอย:%ตวของฟงก ชนซายน จะกลายเปUนเร=องง%ายประหน ง เสม=อนกบการว-เคราะห วงจรตวตานทาน

Li310cos10 t

25 Ω30 mH 100 Ω

OCv310cos10 t

25 Ω100 Ω

a

b

ก) ข)


8.4 แบบฝ3กหดทายบท

1. แหล%งจ%ายแรงดน ( )Sv 10cos 800t 30 V= − o ตวตานทาน 20 Ω และตวเหนยวน2า50 mH ท'งหมดต%ออนกรมกน จงหาขนาดของก2าลงชวขณะทส:งสดท ก) ผล-ตจากแหล%งจ%าย ข) ตวตานทาน และ ค) ตวเหนยวน2า

ว0ธท&า ( )Sv 10cos 800t 30 V= − o

( )1

2 2

10 40i cos 800t 30 tan 0.2236cos 800t 93.43 A2020 40

− ∴ = − − = − +o o

( ) ( )S Sp v i 10*0.2236cos 800t 30 cos 800t 93.43= = − −o o

( ) ( )1 1cos A cos B cos A B cos A B2 2

= + + −

( )S2.236p cos 1600t 123.43 cos63.43

2 ∴ = − +

o o

( )S maxp , 1.118 1 0.4472 1.6181 W∴ = + = ตอบ( )2 2 2

Rp Ri 20*0.2236 cos 800t 93.43= = − o

2R maxp , 20*0.2236 1 W∴ = = ตอบ

( ) ( ) ( )Ldiv 0.05 0.05*0.2236 800 cos 800t 176.57 8.944cos 800t 3.43dt

= = − + = −o o

( ) ( )L Lp v i 8.944*0.2236cos 800t 3.43 cos 800t 93.43∴ = = − −o o

( ) L,max1 *2 cos 1600t 96.87 cos90 p 1 W2

= − + ∴ = o o ตอบ

2. ต%อแหล%งจ%ายแรงดน Sv 100cos300t V= ตวเหนยวน2า 0.2 H ตวตานทาน 10 Ω และตวตานทาน 30 Ω อนกรมกน จงหาขนาดของแรงดนทตกคร%อมตวเหนยวน2า 0.2 H และตวตานทาน 10 Ω

( ) ( )( )76.92cos 300t 34.62sin 300t V−

1 บทท 9 หลกการของเฟสเซอร (Phasor concept)

บทท 9

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศ'กษาได+อ,านบทเรยนน.จบ นกศ'กษาจะมความสามารถดงน.

สามารถอธ5บายค6ณลกษณะของฟ8งกชนกระต6+นทเป<นตวเลขเช5งซ+อนได+สามารถเขยนเฟสเซอรแรงดนและกระแสของฟ8งกชนกระต6+นซายนได+สามารถเขยนอ5มพแดนซของ R, L และ C ได+

หวขอยอย หน+า 9.1 แนะนDา 222 9.2 ฟ8งกชนกระต6+นทเป<นตวเลขเช5งซ+อน 222 9.3 เฟสเซอร (Phasor) 227 9.4 ความสมพนธของเฟสเซอรสDาหรบ R, L และ C 230 9.5 อ5มพแดนซ (Impedance) 234 9.6 แอดม5ตแตนซ (Admittance) 237 9.7 แบบฝRกหดท+ายบท 239

หลกการของเฟสเซอร (Phasor concept)


9.1 แนะน0า

ในบทน. เราจะเรยนรT+ว5ธการแสดงฟ8งกชนกระต6+นซายนหรUอผลตอบสนองซายน โดยใช+ สญลกษณตวเลขเช5งซ+อนทเรยกว,าการแปลงเฟสเซอร (Phasor transform) ซ'งประกอบด+วยขนาด (amplitude) และม6มเฟส (phase angle) ของซายน และเมUอใช+หลกการเฟสเซอรแก+ป8ญหาทมแหล,ง จ,ายเป<นฟ8งกชนซายนก]จะสามารถทDาได+ง,ายกว,าว5ธทเรยนมาก,อนหน+าน. (โดยเฉพาะการว5เคราะหผลตอบสนองซายนในสภาวะอยT,ตวของวงจร RLC โดยทวไป)

การใช+การแปลงทางคณ5ตศาสตร มวตถ6ประสงคเพUอทDาให+การแก+ป8ญหาง,ายข' .น ว5ธการน. ไม,ใช,แนวความค5ดใหม,ต,อพวกเรา เราค6+นเคยกบการใช+ลอกาล5ธ'ม (logarithm) เพUอทDาให+การจDานวนคร.งของคDานวณด+วยการคTณและหารมจDานวนน+อยลง เพUอทจะคTณตวเลขหลายๆ ตวเข+าด+วยกนเราจะ ต+องหาค,าลอกาล5ธ'มของแต,ละค,าเสยก,อน หรUอแปลง (transform) ตวเลขแต,ละตวให+อยT,ในรTปแบบ ทแตกต,างออกไปซ'งเราเรยกว,าการแปลงลอกาล5ธ'ม (logarithm transform) จากน.นเราก]สามารถบวก ค,าลอกาล5ธ'มท.งหมดเข+าด+วยกนก]จะได+ผลรวม ต,อจากน.นจ'งทDาการแปลงกลบลอกาล5ธ'ม (anti-logarithm) หรUอการแปลงย+อนกลบ (inverse transformation) ก]จะได+ค,าคDาตอบทต+องการ

9.2 ฟ2งกชนกระตนท4เป5นตวเลขเช6งซอน

การประย6กตใช+ตวเลขเช5งซ+อนมาใช+กบการว5เคราะหสญญาณซายนในสภาวะอยT,ตว จะทDา ให+การว5เคราะหง,ายกว,าการใช+ตวเลขจDานวนจร5งอย,างเดยว เราต.งสมมต5ฐานก,อนว,าแหล,งจ,าย ฟ8งกชนกระต6+นเช5งซ+อนจะกระทDาต,อวงจรและให+ผลตอบสนองเป<นจDานวนเช5งซ+อนด+วย โดยส,วน จDานวนจร5งของแหล,งจ,ายจะทDาให+เก5ดผลตอบสนองในส,วนของจDานวนจร5ง ในขณะทส,วนจDานวน จ5ตนภาพของแหล,งจ,ายจะทDาให+เก5ดผลตอบสนองในส,วนของจDานวนจ5นตภาพเท,าน.น

สามารถพ5สTจนว,าสมมต5ฐานน.ถTกต+องได+ดงน. พ5จารณาแหล,งจ,ายแรงดนซายนในรTป 9.1 )tcos(Vm θ+ω (9-1)

ต,ออยT,กบวงจรใดๆ โดยสมมต5ให+เป<นวงจรพาสซฟ (passive) และเป<นเช5งเส+น สมม6ต5ให+ผลตอบสนองทต+องการคUอ กระแส เพUอหลกเลยงความย6,งยากเราจะประย6กตหลกการของทฤษฎบทการ ทบซ+อนพ5จารณา


ร7ป 9.1 ฟ8งกชนกระต6+นซายน )tcos(Vm θ+ω ทDาให+เก5ดผลตอบสนองซายน )tcos(I m φ+ω

จากบทท 8 ผลตอบสนองทได+จากฟ8งกชนกระต6+นซายน จะยงเป<นซายนอยT, โดยจะแทนผลตอบสนองทมค,าขนาดและม6มเฟสดงสมการท (9-2)

)tcos(I m φ+ω (9-2)ฟ8งกชนกระต6+นซายนจะกDาเน5ดผลตอบสนองซายนทมความถค,าเดยวกนในวงจรเช5งเส+นเสมอ

จากน.นเราจะเปลยนแกนอ+างอ5งเวลา โดยการเลUอนม6มเฟสของฟ8งกชนกระต6+นด+วยม6ม 90

หรUอเปลยนแกนเวลา t = 0 ดงน.นจะได+ฟ8งกชนกระต6+นคUอ )tsin(V)90tcos(V mm θ+ω=−θ+ω (9-3)

เมUอประย6กตใช+กบวงจรเด5มจะกDาเน5ดผลตอบสนองสอดคล+องกบ )tsin(I)90tcos(I mm φ+ω=−φ+ω (9-4)

เราจะพ5จารณาฟ8งกชนกระต6+นทเป<นจDานวนจ5นตภาพ ซ'งไม,สามารถพบในทางปฏ5บต5 แต,ในทาง คณ5ตศาสตรสามารถทDาได+ เราสร+างแหล,งจ,ายจDานวนจ5นตภาพได+อย,างง,าย โดยเพยงแต,คTณ (จDานวน จ5นตภาพ) กบสมการ (9-3) จะได+

)tsin(jVm θ+ω (9-5)ถ+าเรามแหล,งจ,ายสองตวจะทDาให+เก5ดผลตอบสนองสองตวด+วยเสมอ ด+วยหลกการของทฤษฏบทการ ทบซ+อน เมUอคTณด+วยค,าคงท k กบแหล,งจ,ายผลตอบสนองทได+จะถTกคTณด+วยค,า k เดยวกนด+วย แม+แต, เมUอ k เป<น จDานวนจ5นตภาพค6ณสมบต5น.ยงคงใช+ได+อยT, ดงน.นจะได+ผลตอบสนองของสมการ (9-5) คUอ

)tsin(jI m φ+ω (9-6)เมUอเราใช+แหล,งจ,ายจDานวนจร5ง ผลตอบสนองทได+จะเป<นผลตอบสนองจDานวนจร5ง และเมUอเราใช+ แหล,งจ,ายจDานวนจ5นตภาพก]จะได+ผลตอบสนองจ5นตภาพ ตอนน.เราจะประย6กตใช+ทฤษฎบทการ ทบซ+อนเพUอหาผลตอบสนองจากแหล,งจ,าย ดงน.นเมUอให+ฟ8งกชนกระต6+นเช5งซ+อนคUอผลรวมของ ฟ8งกชนกระต6+น (9-1) และ (9-5)

วงจรเช5งเส+น( )mI cos tω + φ

( )mV cos tω + θ


ร7ป 9.2 ฟ8งกชนกระต6+นจDานวนจ5นตภาพ )tsin(jVm θ+ω จะสร+างผลตอบสนอง จDานวนจ5นตภาพ )tsin(jI m φ+ω ในวงจรรTป 9.1

)tsin(jV)tcos(V mm θ+ω+θ+ω (9-7)ผลตอบสนองทได+คUอผลรวมของ (9-2) และ (9-6)

)tsin(jI)tcos(I mm φ+ω+φ+ω (9-8)แหล,งจ,ายเช5งซ+อนและผลตอบสนองจะแสดงในสมการโดยใช+สมการออยเลอร (Euler's identity) สมการ (9-7) จะได+

)t(jmeV θ+ω (9-9)

และผลตอบสนองของสมการ (9-8) จะได+)t(j

meI φ+ω (9-10)

ร7ป 9.3 ฟ8งกชนกระต6+นเช5งซ+อน )t(jmeV θ+ω จะสร+างผลตอบสนองเช5งซ+อน )t(j

meI φ+ω ในวงจรรTป 9.1

พ5จารณาวงจร RL อย,างง,ายในรTป 9.4 แหล,งจ,ายจDานวนจร5ง t cosVm ω จ,ายให+กบวงจร และ ต+องการหาผลตอบสนอง i(t)

ก,อนอUนเราเร5มจากการสร+างฟ8งกชนกระต6+นเช5งซ+อน ให+อยT,ในรTปของ Euler's identity โดยม ฟ8งกชนกระต6+นส,วนจDานวนจร5งคUอ

)e ( Retcos tjω=ω

วงจรเช5งเส+น( )mjI sin tω + φ

( )mjV sin tω + θ

วงจรเช5งเส+น( )j t

mI e ω + φ( )j t

mV e ω + θ


ร7ป 9.4 วงจร RL อย,างง,าย

เราจะได+แหล,งจ,ายเช5งซ+อนคUอ tj

meV ω

ผลตอบสนองเช5งซ+อนแสดงในเทอมของขนาดทไม,ทราบค,าและม6มเฟสทไม,ทราบค,า )t(j

meI φ+ω

เขยนสมการอน6พนธจากวงจรได+ sv

dtdiLRi =+

เขยนสมการใหม,โดยแทนด+วยจDานวนเช5งซ+อนสDาหรบ sv และ si

tjm

)t(jm

)t(jm eV)eI(

dtdLeRI ωφ+ωφ+ω =+

ทDาอน6พนธให+เรยบร+อย tj

m)t(j

m)t(j

m eV)eLIjeRI ωφ+ωφ+ω =ω+

จากสมการพUชคณ5ตเช5งซ+อน เพUอทจะหาค,าของ mI และ φ เราจะโดยแยกตวแปร tje ω ร,วมออกm

jm

jm VeLIjeRI =ω+ φφ (9-11)

ตวแปรทางด+านซ+ายคUอ m

jm V)LjR(eI =ω+φ

จดสมการใหม,

)LjR(V

eI mjm ω+

=φ

และเปรยบเทยบหาค,า mI และ φ โดยการแทนสมการทางด+านขวาให+อยT,ในรTปเอกซโพเนนเชยล หรUอรTปแบบโพลาร (polar form)

1j j[ tan ( L / R )]mm 2 2 2

VI e e(R L )

−φ − ω=+ ω

(9-12)

i

( )( )

S

m

v t

V cos t

=

ω

RL


ดงน.นจะได+

222

mm

LR

VI

ω+=

และ

RLtan 1 ω−=φ −

ผลตอบสนองเช5งซ+อนทได+คUอสมการ (9-12) เราสามารถเขยน i(t) ได+อย,างทนททนใดถ+าเรา ต+องการทราบผลตอบสนองจDานวนจร5งของ i(t) ก]เพยงใส,ตวแปร j te ω เข+าไปท.งสองข+างของสมการ (9-12) และเลUอกเอาเฉพาะส,วนจDานวนจร5งเท,าน.นโดยใช+ Euler's omnipotent formula ซ'งจะได+

)tcos(I)t(i m φ+ω=

)RLtantcos(

LR

V 1

222

m ω−ωω+

= −

ผลตอบสนองทได+คUอสมการเดยวกบสมการท (8-4) ในบทก,อน

ตวอยาง 9.1 จงหาแรงดนเช5งซ+อนตกคร,อมตวต+านทาน 500 Ω และตวเหนยวนDา 95 mH ต,ออน6กรมกน ถ+ากระแสเช5งซ+อนคUอ )t3000( je8 mA ไหลผ,านอ6ปกรณท.งสอง

ว6ธท0า เราสามารถหาคDาตอบได+อย,างง,ายๆ โดยใช+ข+อมTลจากคDาอธ5บายทผ,านมา ถ+าเราให+ แรงดนเช5งซ+อนทไม,ทราบค,ามขนาด mV และมม6มเฟส θ โดยมความถ 3000 rad/s เราจะแสดง แรงดนน.ได+

j (3000t )mV e + θ

และจะเท,ากบผลรวมของแรงดนคร,อมตวต+านทานและตวเหนยวนDา j3000t

j(3000t ) j3000tm

d(0.008e )V e (500)0.008e (0.095)dt

+ θ = +

ทDาอน6พนธได+ j(3000t ) j3000t j3000t

mV e 4e j2.28e+ θ = +

เมUอตดเทอมทเหมUอนกนออกไปจะได+ j

mV e 4 j2.28θ = +

แต,เมUอ 7.29je60.428.2j4 =+

เราจะได+ V 60.4Vm = และ 29.7θ = o ดงน.นแรงดนทต+องการคUอ


V e60.4 )7.29t3000(j +

ผลตอบสนองในส,วนจDานวนจร5งหาได+จากการเอาเฉพาะส,วนจDานวนจร5งของผลตอบสนองเช5งซ+อน V )29.700t4.60cos(30)e60.4Re( )7.29t3000(j

+=+

9.3 เฟสเซอร (Phasor)

กระแสหรUอแรงดนรTปสญญาณซายนทความถต,างๆ มสองตวแปรเท,าน.นทแสดงค6ณสมบต5 คUอขนาดและม6มเฟส การแสดงแรงดนหรUอกระแสเช5งซ+อน ก]เป<นไปในทDานองเดยวกนคUอสามารถ แสดงในรTปตวแปรขนาดและม6มเฟสเท,าน.น ตวอย,างผลตอบสนองกระแสในตวอย,าง 9.1

)tcos(I m φ+ω

ซ'งสอดคล+องกบการแสดงอกรTปแบบเช5งซ+อนคUอ )t(j

meI φ+ω

เมUอวงจรเช5งเส+นใดๆ ทDางานในสภาวะอยT,ตวซายนทความถเดยวกน ค,าแรงดน และกระแสสามารถ จDาแนกได+โดยใช+ขนาดและม6มเฟส อย,างไรก]ตามการแสดงความเป<นเช5งซ+อนของแรงดนและ กระแสจะมเทอม tje ω คTณด+วยเสมอแต, เพUอความสะดวกเราอาจจะเขยนแหล,งจ,ายแรงดนและผล ตอบสนองกระแสได+ดงน.คUอ mV หรUอ 0j

meV และ φj

meI

ปร5มาณเช5งซ+อนโดยปกต5จะเขยนอยT,ในรTปโฟลารมากกว,าในรTปเอ]กซโพเนนเชยล เพUอประหยดเวลา และง,าย ดงน.นแหล,งจ,ายแรงดน

tcosV)t(v m ω=

เราจะแทนในรTปโพลาร 0Vm ∠

และผลตอบสนองกระแส )tcos(I)t(i m φ+ω=

จะกลายเป<น φ∠mI


เราจะเรยกการแสดงในรTปโพลารแบบน.ว,าเฟสเชอร (Phasor) ข.นตอนการแปลงเฟสเซอรมดงน.จากกระแสซายนค,าจDานวนจร5ง

)tcos(I)t(i m φ+ω=

แทนส,วนจDานวนจร5งของปร5มาณเช5งซ+อนด+วยสมการออยเลอร (Euler's identity) )eIRe()t(i )t(j

mφ+ω=

เราจะแสดงกระแสในรTปจDานวนเช5งซ+อน โดยการไม,เขยนเครUองหมาย Re ดงน.นการเต5มเทอม จ5นตภาพเข+าไปในกระแส จ'งไม,มผลกระทบต,อเทอมจDานวนจร5งซ'งสามารถทDาได+อย,างง,ายๆ โดย การไม,เขยนเทอม tje ω

jmI I e φ=

และเขยนผลลพธในรTปแบบโพลาร (polar form) mI I= ∠ φ

การแสดงจDานวนเช5งซ+อนแบบน.เรยกว,า เฟสเชอร (Phasor) เฟสเซอรเป<นปร5มาณเช5งซ+อน ซ'งแสดง โดยเป<นอกษรพ5มพใหญ,เพราะไม,ใช,ค,าชวขณะ เฟสเซอรมเฉพาะขนาดและม6มเฟส เราจะเรยกการ แปลงจาก i(t) ไปเป<น I ว,าการแปลงเฟสเซอร (phasor transformation) จากเทอมเวลาไปเป<นเทอม ความถ

โดยมข.นตอนการแปลงจาก i(t) ไปเป<น I ดงน. 1. เร5มจากเขยนฟ8งกชนซายน i(t) ในเทอมเวลา โดยเขยนในเทอมโคซายน (cosine) พร+อม

กบใส,ค,าม6มเฟสด+วย ตวอย,าง )tsin(ω จะเขยนเป<น )90tcos( −ω

2. แสดงสญญาณโคซายน (cosine) เป<นเหมUอนเทอมจDานวนจร5งของปร5มาณเช5งซ+อน โดย ใช+ Euler's identity

3. เอา Re ออก 4. ไม,เขยนเทอม tje ω

ในทางปฏ5บต5แล+วเราจะรวมข.นตอนท.งหมด โดยเพยงแต,การแยกขนาดและม6มเฟสของ ฟ8งกชนโคซายน (cosine) ออกจากเทอมเวลาเท,าน.น


ตวอยาง 9.2 จงแปลง )30t400cos(100)t(v −= ให+ไปอยT,ในเทอมของความถ ว6ธท0า เปลยนให+อยT,ในเทอมของโคซายน (cosine) ทมม6มเฟสและขนาด ถ+าเป<นเทอมของ

โคซายนแล+วก]ไม,ต+องเปลยน หลงจากน.นทDาให+อยT,ในเทอมจDานวนจร5งจะได+ )e100Re()t(v )30t400(j −=

และเอา Re ออกและไม,เขยนเทอม tje ω (ซ'งเท,ากบ t400je ) 30100V −∠=

อย,างไรก]ตามเป<นการง,ายมากเมUอทราบค,าขนาดเท,ากบ 100 และม6มเฟสเท,ากบ 30− ซ'งอยT,ในเทอม เวลา เราสามารถแปลงให+เป<นเฟสเชอรได+โดยตรงเลย

30100V −∠=

และในทDานองเดยวกนถ+ามกระแสในเทอมเวลา )150t377sin(5)t(i +=

ถ+าต+องการแปลงให+อยT,ในเทอมความถก]ทDาได+โดยแปลงฟ8งกชนซายนให+เป<นโคซายน โดยลบม6มเฟสด+วย 90 (ในวงเล]บ) )90150t377cos(5)t(i −+=

ต,อจากน.นแปลงให+เป<นเฟสเชอรได+605I ∠=

ก,อนจะพ5จารณาการว5เคราะหวงจรสถานะอยT,ตวของสญญาณซายน โดยการใช+เฟสเซอรเราจDาเป<นทจะต+องเรยนการแปลงจากเทอมความถกลบมาอยT,ในเทอมเวลาก,อน

1. จากเฟสเชอร I ในเทอมความถเขยนให+อยT,ในรTปแบบเช5งซ+อน (ในเทอมเอ]กซโพเนนเชยล) 2. คTณด+วย tje ω

3. ใส,ค,า Re (ส,วนจDานวนจร5งของฟ8งกชนตวเลขเช5งซ+อน)4. ใช+ Euler's identity แปลงจากเทอมความถไปเป<นเทอมเวลา ถ+าต+องการแปลงจากฟ8งกชน

โคซายนไปเป<นฟ8งกชนซายนทDาได+โดยการบวกเข+าไป 90 (ในวงเล]บ) และในทDานองเดยวกน เราสามารถลดข.นตอนการแปลงท.งหมดลงได+ ตวอย,าง แรงดน

เฟสเชอร 45115V −∠= เขยนให+อยT,เทอมเวลาได+โดยตรง )45tcos(115)t(v −ω= และแปลงให+ อยT,ในรTปคลUนซายนได+เท,ากบ )45tsin(115)t(v +ω= ก,อนจะนDาเอาเฟสเชอรไปใช+ว5เคราะหวงจร สถานะอยT,ตวของสญญาณซายน เรามาดTข+อดของว5ธเฟสเซอรกนก,อน จากวงจรอน6กรม RL อย,างง,ายดงรTป 9.4 สามารถเขยนสมการได+


mj

mj

m VeLIjeRI =ω+ φφ

ถ+าเราแทนเฟสเชอรกระแสด+วยφ∠= mII

และเฟสเชอรแรงดนmV V 0= ∠ o

เราจะได+ VLIjRI =ω+

หรUอ VI)LjR( =ω+ (9-13)จากสมการ (9-13) เมUอแทนด+วยเฟสเชอรแล+วจะดTง,ายคล+ายกฎของโอหมทใช+สDาหรบคDานวณวงจร ตวต+านทาน

9.4 ความสมพนธของเฟสเซอรส0าหรบ R, L และ C

ตอนน.เราสามารถแปลงกลบไปกลบมา ระหว,างเทอมเวลากบเทอมความถได+แล+ว ในหวข+อ น.จะพ5จารณาความสมพนธของเฟสเซอรแรงดน และเฟสเซอรกระแสของแต,ละอ6ปกรณ โดยเร5ม จากตวต+านทาน ในรTป 9.5 สมการคUอ

)t(Ri)t(v = (9-14)

ร7ป 9.5 ความสมพนธระหว,างแรงดนและกระแสของตวต+านทาน ก) ในโดเมนเวลา v = iR ข) ในโดเมนความถ V = IR

ประย6กตใช+แรงดนเช5งซ+อน )tsin(jV)tcos(VeV mm

)t(jm θ+ω+θ+ω=θ+ω (9-15)

v Ri= R

i Ι

RV RI=


และสมมต5ให+ผลตอบสนองกระแสเช5งซ+อน )tsin(jI)tcos(IeI mm

)t(jm φ+ω+φ+ω=φ+ω (9-16)

จะได+ )t(j

m)t(j

m eRIeV φ+ωθ+ω =

หารด+วย tje ω ท.งสองข+างจะได+ φθ = j

mj

m eRIeV

จดให+อยT,ในรTปแบบโพลาร φ∠=θ∠ mm RIV

แต, θ∠mV และ φ∠mI แสดงด+วยเฟสเซอรแรงดน V และเฟสเซอรกระแส I ได+ตามลDาดบ จะได+ RIV = (9-17)

ความสมพนธแรงดนกระแสในรTปแบบเฟสเซอรของตวต+านทาน มรTปแบบเหมUอนเด5มกบในโดเมนเวลา ม6ม θ และม6ม φ ทเขยนในรTป 9.5 ข) เท,ากนซ'งแสดงว,าเฟสตรงกน ( inphase) กฏของโอหมสามารถใช+ได+ท.งโดเมนเวลาและโดเมนความถ

ตวอยาง สมมต5มแรงดน )50t100cos(8 − V คร,อมตวต+านทาน 4 Ω

ว5เคราะหในเทอมเวลาจะได+ กระแสเท,ากบ )50t100cos(2

R)t(v

)t(i −== AและคDานวณในเทอมเฟสเซอร จะได+ (แรงดน 8 50 V∠ − o )

502RVI −∠== A

รTป 9.6 ความสมพนธระหว,างแรงดนและกระแสของตวเหนยวนDา ก) ในโดเมนเวลา

dt)t(di

L)t(v = ข) ในโดเมนความถ LIjV ω=

div Ldt

=L

i Ι

LV j LI= ω


พ5จารณาตวเหนยวนDาในรTป 9.6 ก) สมการแสดงในเทอมเวลาได+

dt)t(di

L)t(v = (9-18)หลงจากแทนแรงดนเช5งซ+อนสมการ (9-15) และกระแสเช5งซ+อนในสมการ (9-16) ลงในสมการของ ตวเหนยวนDา (9-18) จะได+

)t(jm

)t(jm eI

dtdLeV φ+ωθ+ω =

หลงจากทDาอน6พนธแล+วได+ )t(j

m)t(j

m eLIjeV φ+ωθ+ω ω=

และเอา tje ω ออก φθ ω= j

mj

m eLIjeV

เราจะได+ความสมพนธเฟสเซอรของตวเหนยวนDา LIjV ω= (9-19)

จากสมการ (9-18) ในเทอมเวลา กลายมาเป<นสมการ (9-19) ในเทอมความถ ความสมพนธเฟสเซอร แสดงในรTป 9.6 ข) ม6มของตวแปร Ljω จะเท,ากบ 90+ ซ'งหมายถ'งกระแสตามแรงดนอยT, 90+ ( I ตามหลง V 90 ) สDาหรบตวเหนยวนDา

ตวอยาง 9.3 วงจรมแหล,งจ,ายแรงดน 508 −∠ ทความถ s/rad100 =ω ต,ออน6กรมกบตว เหนยวนDา 4 H จงหากระแสเฟสเซอร

ว6ธท0า เราใช+สมการเฟสเซอรของตวเหนยวนDา

5002.0j

)4(100j508

LjVI −∠−=−∠=ω

=

หรUอ 14002.0I −∠= A

ถ+าเราแสดงกระแสในเทอมเวลาจะกลายเป<น )140t100cos(02.0)t(i −= A

พ5จารณาอ6ปกรณท+ายส6ดคUอตวเก]บประจ6 น5ยามของตวเก]บประจ6ในเทอมเวลาคUอ

dt)t(Cdv

)t(i = (9-20)สมการในโดเมนความถของตวเก]บประจ6สามารถแปลงได+ในทDานองเดยวกบตวเหนยวนDา

CVjI ω= (9-21)


ดงน.นกระแสนDาแรงดน ด+วยม6ม 90+ สDาหรบตวเก]บประจ6 ถ+ามแรงดนเฟสเซอร 508 −∠ ต,อกบตวเก]บประจ6 4 F ทความถ rad/s 100=ω เฟสเซอร

ของกระแสคUอ 403200)508)(4(100jI ∠=−∠= Aขนาดของกระแสจะมขนาดใหญ,มาก แต,ก]เพราะค,าตวเก]บประจ6มค,ามากนนเองซ'งจะไม,พบ

ในทางปฏ5บต5 ตวเก]บประจ6แสดงในโดเมนเวลาและในโดเมนความถ แสดงดงรTป 9.7 เราจะได+ความ สมพนธระหว,างแรงดนและกระแสของอ6ปกรณท.งสามซ'งสร6ปได+ในตาราง 9.1

ร7ป 9.7 ความสมพนธระหว,างแรงดนและกระแสของตวเก]บประจ6 ก) ในโดเมนเวลา

dt)t(Cdv

)t(i = ข) ในโดเมนความถ CVjI ω=

ตารางท4 9.1

v C

dvi=Cdt j CVΙ = ω

CV

i v

R

i v

L

i v

C

v Ri=

โดเมนเวลา (Time domain) โดเมนความถ (Frequency domain)

div Ldt

=

1v idtC

= ∫

V RI=

V j LI= ω

1V Ij C

=ω

I V

R

I V

j Lω

I V

1j Cω


พ5จารณาวงจรอน6กรม RL รTป 9.8 โดยหาผลตอบสนองกระแสในเทอมเวลา ข.นตอนการทDาเร5มจาก การแปลงวงจรให+อยT,ในโดเมนความถก,อนและใช+กฎ KVL จะได+

SLR VVV =+

และแทนด+วยความสมพนธเฟสเซอรแรงดนและกระแสของแต,ละอ6ปกรณจะได+ SVLIjRI =ω+

ร7ป 9.8 วงจรอน6กรม

เฟสเซอรกระแสหาได+จากแหล,งจ,ายแรงดน SV

LjRV

I S

ω+=

เลUอกขนาดแหล,งจ,ายแรงดนเป<น mV และม6มเฟส 0 จะได+

LjR0V

I m

ω+∠

=

แปลงเฟสเซอรกระแสกลบไปในโดเมนเวลาโดยเขยนในรTปแบบโพลารก,อน )R/L(tan

LR

VI 1

222

m ω−∠ω+

= −

ผลลพธทได+ (อย,างง,าย) ตรงกนกบว5ธทย6,งยากในการได+มาของสมการท (8-4) ในหวข+อ 8.3

9.5 อ6มพแดนซ (Impedance)

ความสมพนธของกระแสและแรงดนของอ6ปกรณพาสซพท.งสามตวในเทอมความถคUอ RIV = LIjV ω=

CjIV

ω=

I

SVR

L

RV

LV


หรUอเขยนสมการใหม,ในอตราส,วนของเฟสเซอรแรงดนต,อเฟสเซอรกระแสได+ R

IV = Lj

IV ω= Cj

1IV

ω=

ในกรณของตวเหนยวนDาและตวเก]บประจ6เราจะได+อตราส,วนคล+ายตวต+านทาน โดยมเทอม เช5งซ+อนรวมอยT,ด+วย เราน5ยามอตราส,วนของเฟสเซอรแรงดนต,อเฟสเซอรกระแสว,า อ5มพแดนซ (impedance) มสญลกษณคUอ Z อ5มพแดนซ เป<นปร5มาณเช5งซ+อนมหน,วยเป<นโอหม (ohm) อ5มพแดนซไม,ใช,เฟสเซอรและไม,สามารถแปลงไปอยT,ในเทอมเวลาด+วยการคTณ tje ω ได+ และไม, สามารถเอาค,าเฉพาะส,วนจDานวนจร5งได+ นนคUอตวเหนยวนDาในเทอมเวลามค,าเป<น L และในเทอม ความถมค,าเป<น Ljω ตวเก]บประจ6ในเทอมเวลามค,าเป<น C และในเทอมความถมค,าเป<น Cj

1ω

อ5มพแดนซเป<นค,าทอยT,ในโดเมนความถซ'งใช+ไม,ได+ในโดเมนเวลา กฎของเคอรซอฟฟท.ง สองข+อสามารถประย6กตใช+ได+กบโดเมนความถเพUอแสดงให+เห]นอย,างง,าย อ5มพแดนซสามารถรวมกนแบบอน6กรมและขนานได+เหมUอนกบตวต+านทาน เช,นทความถ rad/s 104=ω ตวเหนยวนDา 5 mH ต,ออน6กรมกบตวเก]บประจ6 F 100 µ เราสามารถแทนด+วยอ5มพแดนซตวเดยวได+ซ'งจะมค,า เท,ากบอ5มพแดนซของแต,ละตวรวมกนอ5มพแดนซของตวเหนยวนDาคUอ

Ω=ω= 50jLjZL อ5มพแดนซของตวเก]บประจ6คUอ

Ω−=ω

= 1jCj

1ZC

และอ5มพแดนซรวมของการต,ออน6กรมกนคUอ Ω=−= 49j1j50jZeq

อ5มพแดนซรวมของตวเหนยวนDาและตวเก]บประจ6 เป<นฟ8งกชนในเทอมความถและ อ5มพแดนซสมมTลน.จะใช+ได+เฉพาะทความถเดยวกนเท,าน.น เช,นทความถ rad/s 5000=ω จะมค,า อ5มพ5แดนซสมมTลเท,ากบ eqZ j23 = Ω

การรวมกนแบบขนานของตวเหนยวนDาและตวเก]บประจ6ท.งสองตวทความถ 410 rad/sω = จะได+เท,ากบ

02.1j49j50

)1j50j()1j)(50j(

Zeq −==−

−=

ทพ5จารณาทความถ rad/s 5000=ω จะได+ Ω−= 17.2jZeq


อ5มพแดนซเป<นจDานวนเช5งซ+อนจ'ง สามารถแทนได+ด+วยรTปแบบโพลารหรUอจDานวนเช5งซ+อน ได+ (รTปแบบพ5กดเช5งซ+อน) ในรTปแบบโพลาร ตวอย,าง 60100Z −∠= มความหมายดงน. หรUอกล,าวได+ว,าขนาดเท,ากบ Ω 100 และมม6มเฟส 60− อ5มพแดนซตวเด5มน.สามารถแสดงในจDานวน เช5งซ+อนได+เท,ากบ 6.86j50 − อ5มพแดนซน.มเทอมความต+านทาน Ω 50 และเทอมรแอคตฟ (reactive) หรUอรแอคแตนช (reactance) เท,ากบ -86.6 Ω ค,าจDานวนจร5งของอ5มพแดนซ คUอค,าความ ต+านทานและค,าจDานวนจ5นตภาพของอ5มพแดนซ (รวมเครUองหมายบวกลบแต,ไม,รวมเครUองหมาย j) คUอรแอคแตนช (reactance)

ข+อสงเกตบางประการ คUอ ค,าความต+านทานในอ5มพแดนซไม,จDาเป<นจะต+องเท,ากบตวต+าน ทานทต,ออยT,ในวงจร เช,นมตวต+านทาน 20 Ω อน6กรมกบตวเหนยวนDา 5 H ทความถ rad/s 4=ω

หาค,าอ5มพแดนซได+เท,ากบ Z 20 j20 = + Ω หรUอแสดงในรTปโพลารได+เท,ากบ 28.3 45∠ o ใน กรณน.ค,าจDานวนจร5งของอ5มพแดนซเท,ากบตวต+านทานทต,ออยT,ในวงจร อย,างไรก]ตามในวงจรเด5มแต,

เปลยนการต,อจากแบบอน6กรมไปเป<นแบบขนาน จะหาอ5มพแดนซได+เท,ากบ 20( j20)(20 j20)+ หรUอ

10 j10 + Ω ค,าจDานวนจร5งของอ5มพแดนซเท,ากบ 10 Ω จะสงเกตได+ว,าค,าจDานวนจร5งทได+ไม, เท,ากบค,าตวต+านทานทต,อในวงจร

รTปแบบโพลารโดยทวไปของอ5มพแดนซ คUอ θ∠= ZZ

เมUอ Z คUอขนาดและ θ คUอม6มเฟสรTปแบบจDานวนเช5งซ+อนโดยทวไปของอ5มพแดนซคUอ

jXRZ +=

เมUอ R คUอ ค,าความต+านทาน X คUอ ค,ารแอคตฟ

ตวอยาง 9.4 จงหากระแส i(t) ในวงจรรTป 9.10 ว6ธท0า วงจรแสดงในโดเมนเวลาและผลตอบสนองกระแส i(t) ทต+องการให+หาอยT,ในโดเมน

เวลาเช,นกน อย,างไรก]ตามการว5เคราะหจะต+องทDาการแปลงให+อยT,ในโดเมนความถก,อน โดยเร5มจาก แปลงแหล,งจ,ายให+อยT,ในโดเมนความถจะได+ 9040 −∠ ผลตอบสนองแปลงให+อยT,ในโดเมนความถ คUอ I อ5มพแดนซของตวเหนยวนDาและค,าตวเก]บประจ6หาทความถ rad/s 3000=ω จะได+ j1 และ

Ω− k 2j ตามลDาดบ รTป 9.10 ข) แสดงวงจรในโดเมนความถจะได+อ5มพแดนซสมมTล


1j11j2

5.12j11j)2j1)(1j(

5.1Zeq −+

+=−+−

+=

2 j1 1 j1 1 j31.5 * 1.51 j1 1 j1 2

+ + += + = +− +

Ω∠=+= k9.365.25.1j2

กระแสเฟสเซอร

mA 9.126169.365.2

9040ZV

Ieq

S

−∠=

∠−∠==

แปลงเฟสเซอรกระแสกลบไปในเทอมเวลาได+ mA )9.126t3000cos(16)t(i −=

ร7ป 9.10 วงจร RLC

9.6 แอดม6ตแตนซ (Admittance)

ไม,ใช,มแต,ค,าความนDาทเป<นตรงกนข+ามกบค,าความต+านทาน อ5มพแดนซก]มค,าแอคม5ตแตนซ เป<นค,าตรงกนข+ามเช,นกนม โดยสญลกษณ Y และเป<นอตราส,วนเป<นเฟสเซอรกระแสต,อเฟสเซอร แรงดน

VIY =

ดงน.น

Z1Y =

( )i t

40 sin 3000t V1.5 kΩ 1.0 kΩ

1 H3

1 F6

µ

I

40 90 V∠ − 1.5 kΩ 1.0 kΩ

j1 kΩ j2 k− Ω

ก) ข)


ค,าส,วนจDานวนจร5งของแอตม5ตแตนซ คUอ ความนDา (conductance ,G) และค,าส,วนจ5นตภาพของ แอตม5ตแตนซ คUอ ซสเซปแตนซ (susceptance, B) ดงน.น

jXR1

Z1jBGY

+==+= (9-22)

สมการ (9-22) ควรใช+อย,างระวง เพราะว,าส,วนของจDานวนจร5งของแอตม5ตแตนซจะไม,เท,ากนกบ ส,วนกลบของค,าจDานวนจร5งของอ5มพแดนซ หรUอส,วนจ5นตภาพของแอตม5ตแตนซจะไม,เท,ากบค,า ส,วนกลบของส,วนจDานวนจ5นตภาพของอ5มพแดนซ แอตม5ตแตนซ ความนDา และซสเซปแตนซ ม หน,วยเป<นซเมนต (siemens) หรUอ (mho, J )

ตวอย,าง อ5มพแดนซ Ω−= 2j1Z

สามารถสร+างได+จากตวต+านทาน Ω1 ต,ออน6กรมกบตวเก]บประจ6 F1.0 µ ทความถ Mrad/s 5=ω และ จะได+ค,าแอตม5ตแตนซ

S 4.0j2.02j12j1

*2j1

12j1

1Z1Y +=

++

−=

−==

มค,าเหมUอนกบค,าความนDา 0.2 S ต,อแบบขนานกบค,าซสเซปแตนซ 0.4 S หรUอตวต+านทาน Ω5 ต,อ ขนานกบตวเก]บประจ6 F 08.0 µ ทความถ s/Mrad 5=ω เมUอค,าแอตม5ตแตนซของตวเก]บประจ6คUอ

Cjω เพUอตรวจสอบการว5เคราะห เราจะคDานวณอ5มพแดนซได+Ω−=

−−

=ω+

ω= 2j1

5.2j5)5.2j(5

Cj/15)Cj/1(5

Z ซ'งสงเกตได+ว,าค,าคอนดกแตนซไม,ใช,ส,วนกลบของค,าส,วนจDานวนจร5งของอ5มพแดนซ และค,า ซสเซปแตนซไม,ใช,ส,วนกลบของค,าจDานวนจ5นตภาพของอ5มพแดนซ

คDาว,า อ5มม5ตแตนซ (immittance) ใช+เรยกผสมคDาระหว,าง อ5มพแดนซและแอตม5ตแตนซ บางคร.งใช+เป<นคDาศพทโดยทวไปของท.งอ5มพแดนซและแอตม5ตแตนซ ตวอย,าง เรารT+ว,าเฟสเซอรแรงดนตกคร,อมอ5มม5ตแตนซทรT+ค,าจะทDาให+เก5ดกระแสไหลผ,านอ5มม5ตแตนซทคDานวณได+


9.7 แบบฝMกหดทายบท

1. เมUอแหล,งจ,ายแรงดนเท,ากบ ( ) j20 t30 j40 e V− และให+กระแสเช5งซ+อนคUอ j20t0.8e A ในรTป P9.1 จงหาแรงดนเช5งซ+อน ( )inv t

รTป P9.1ว6ธท0า

( ) ( )( )j20 tinv t e 80 j20*0.8*10 30 j40= + + −

( ) ( ) ( )j 20t 47.49j20tinv t e 110 j120 162.79e V+= + =

o ตอบ

2. เมUอให+ ( ) j50tSi t j2e A= และ ( ) j50 tv t 240e V= ในรTป P9.2 จงหา ( )ini t

( )oj 50t 18.4352.530e A−

รTป P9.2

3. เมUอให+ 1I 6 j1 A= + , 2I 2 j5 A= − และความถ 1 krad / sω = ทเวลา 2.5 ms ดงรTป P9.3จงหาค,าชวขณะท Av , Ai และกDาลงทอ6ปกรณ A รบเข+าไป

100 Ω 10 H

( )inv t

( )i t

( )Sv t

100 Ω 0.1 mF( )v t

( )ini t

( )Si t


รTป P9.3

ว6ธท0า 1 2ω = 1000, I = 6 + j1, I = 2 j5−

( ) ( )A Av 150 100 j40 50 j40 v t 64.03cos t 38.66= − + = + ∴ = ω + o

( )A180v 2.5ms 64.03cos 2.5* 38.66 64 V

= + = − π

oo ตอบ

A 1 2I I I 8 j4 8.944 26.57= + = − = ∠ − o

( )A450i 2.5ms 8.944cos 26.57 4.015 A

∴ = − = − π

oo ตอบ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A Ap 2.5ms v 2.5ms i 2.5ms 64 4.015 257 W= = − − = ตอบ

4. เมUอให+ 500 rad/sω = ในรTป P9.4 จงหาเฟสเซอรแรงดน V ( )o29.96 39.14 V∠ −

รTป P9.4

A150 0 V∠

AVAI

100 j40 V−

1I 2I

4 Ω 1 mF

V 12 mH

10 Ω

2 30 A∠ 1 mF4


5. เมUอให+ 500 rad/sω = ในรTป P9.5 จงหา ( )1v t , ( )2v t และ ( )3v t

รTป P9.5

ว6ธท0า ( )1ω = 5000, V = 10 135 j5= 50 225∠ ∠o o

( ) ( )1v t 50cos 5000t 135 V∴ = − o ตอบ2v 20 30 50 45 69.51 40.73 V= ∠ + ∠ = ∠o o o

( ) ( )2v t 69.51cos 5000t 40.73 V∴ = + o ตอบ

3 3 320 30I 4 0 3.5 38.21 ;V 6I 21 38.21

j8∠= ∠ + = ∠ = = ∠−

oo o o

( ) ( )3v t 21cos 5000t 38.21 V∴ = + o ตอบ

1V10 135 A∠

1 mH4 0 A∠

2V

25 Fµ 20 30 V∠ SV

3V

6 Ω

1 บทท 10 ผลตอบสนองในสภาวะอยตวรปคลนซายน

บทท 1

0

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศ#กษาได'อานบทเรยนน)จบ นกศ#กษาจะมความสามารถดงน)

สามารถอธ-บายผลตอบสนองทเป.นฟ0งกชนของความถเช-งม3มได'สามารถเขยนแผนภาพเฟสเซอรได'สามารถว-เคราะหวงจร RLC โดยใช'เทคน-คแบบตางๆ ในโดเมนความถได'

หวขอยอย หน'า 10.1 แนะน<า 243 10.2 การว-เคราะหแบบปมและเมซ 243 10.3 ทฤษฎบทการทบซ'อน การแปลงแหลงจายและทฤษฎเทว-น-น 246 10.4 แผนภาพเฟสเซอร (Phasor Diagrams) 247 10.5 ผลตอบสนองทเป.นฟ0งกชนของความถเช-งม3ม 251 10.6 แบบฝRกหดท'ายบท 257

ผลตอบสนองในสภาวะอย ตว ร ปคล!"นซายน



ในบทท 2 และบทท 3 เราได'เรยนร'การว-เคราะหวงจรความต'านทานหลายว-ธ ซ#งไมมอะไร ซบซ'อนในวงจรความต'านทาน สามารถหาคาของผลตอบสนองตางๆได'โดยใช'ว-ธการว-เคราะห แบบปม เมซ ทฤษฎบทการทบซ'อน หรอทฤษฎเทว-น-น ในบางคร)งเมอใช'ว-ธใดว-ธหน#งกSสามารถ ว-เคราะหได'อยางมประส-ทธ-ภาพ แตบอยคร)งทจะต'องใช'หลายว-ธรวมกน ในบทน)จะขยายขอบเขตของว-ธการว-เคราะหในบทท 2 และ 3 มาใช'กบวงจรทอยในสถานะอยตวรปสญญาณซายน ในบท กอนหน'าน)เราได'ร'จกอ-มพแดนซซ#งมค3ณลกษณะคล'ายกบค3ณลกษณะของตวต'านทาน

10.2 การว)เคราะหแบบปมและเมซ

กอนอนมาทบทวนว-ธการว-เคราะหแบบปม โดยเร-มจากก<าหนดปมอ'างอ-งของวงจร ตวต'านทาน N ปม ตอจากน)นกSก<าหนดตวแปรปมแรงดน N-1 ปมทปมทเหลอ และสร'างสมการท ปม N-1 ปมโดยใช'กฏเคอรซอฟฟY (KCL) และกฎของโอหมซ#งจะได' N-1 สมการ N-1 ตวแปร ข)น ตอนน)ส<าหรบวงจรทไมมแหลงจายแรงดนหรอแหลงจายควบค3ม แตถ'ามจะต'องสร'างสมการเกยว กบแหลงจายดงกลาวเพ-ม เมอเราจะน<าว-ธการว-เคราะหแบบปมมาประย3กตใช' จะมโดเมนเฟสเซอร และอ-มพแดนซของวงจรทเปลยนไปเทาน)น นอกน )นยงคงใช'ได' พ-จารณาจากตวอยางทใช'ว-ธปม ว-เคราะห

ตวอยาง 10.1 จงหาแรงดนปม (t) v1 และ (t) v2 ในวงจรรป 10.1

ร ป 10.1 วงจรในโดเมนความถ

5 Ω

1V

1 0A

∠ j10 − Ω

10 Ω

j5 − Ω

j10 Ω

j5 Ω 0.5 90A

∠ −

2V


ว)ธท&า ในวงจรน) อ3ปกรณพาสชพท)งหมดอยในรปอ-มพแดนซ แหลงจายกระแสท)งสองเป.น เฟสเซอร และทปมแรงดน V1 และ V2 กSเป.นเฟสเซอรด'วย ใช' KCL ทปมซ'าย

0j110j5j10j5

212111 +=−

+−

−+

−+

VVVVVV

จดสมการให'อยในรปอยางงาย11.0j)2.0j2.0( 21 =−+ VV (10-1)

ทปมขวา)5.0j(

105j10j5j221212 −−=++

−+

−− VVVVVV

และ5.0j)1.0j1.0(1.0j 21 =−+− VV (10-2)

แก'สมการ (10-1) และ (10-2) จะได'

)1.0j1.0(1.0j1.0j)2.0j2.0(

)1.0j1.0(5.0j1.0j1

1

−−−+

−−

=V

V2j105.0

1.0j05.0 −=−=

และ 05.0

5.0j1.0j12.0j2.0

2−

+

=V

05.01.0j1.0j1.0 ++−=

V 4j2 +−=

เมอต'องการค<าตอบในโดเมนเวลาท<าได'โดยการแปลง V1 และ V2 โดยเร-มจากแปลงไปอยในรป โพลารกอน

4.6324.2 (t)1 −∠= V6.11647.4 (t)2 ∠= V

และแปลงไปอยในโดเมนเวลา1v (t) 2.24cos( t 63.4 ) V= ω − o

2v (t) 4.47cos( t 116.6 ) V= ω + o

จะสงเกตได'วาความถของแหลงจายท)งสองจะต'องเทากน


ตวอยาง 10.2 จงหากระแส i1 และ i2 ในโดเมนเวลาโดยใช'ว-ธว-เคราะหแบบเมซ

รป 10.2 ก) วงจรในโดเมนเวลา ข) วงจรในโดเมนความถ

ว)ธท&า แปลงวงจรจาก 10.2 ก) ไปเป.น 10.2 ข) โดยมความถ rad/s 10 3=ω และก<าหนด ท-ศทางการไหลของ I1 และ I2 เมซ I1 จะได'

010)(4j3 211 ∠=−+ III

หรอ 104j)4j3( 21 =−+ II

เมซ I2 จะได'0I2I2j)II(4j 1212 =+−−

หรอ 02j)4j2( 21 =+− II

แก'สมการได'A7.29240.1

138j14

1 I ∠=+

=

A3.5677.213

30j202 I ∠=

+=

แปลงกลบไปอยในโดเมนเวลาA )7.29t10cos(240.1 (t) i 3

1+=

A )3.56t10cos(77.2 (t) i 32

+=

ค<าตอบของท)งสองตวอยางข'างต'นอยในโดเมนเวลา แตข)นตอนการท<าจะอยในโดเมนความถซ#งท<า ให'งายข#)นและลดความผ-ดพลาดลง

( )310 cos 10 t

V

3 Ω

4 mH

500 Fµ

12i

1i 2i

10 0V

∠ 3 Ω

j4 Ω

j2 − Ω

12I

1I 2I

ก) ข)


10.3 ทฤษฎบทการทบซอน การแปลงแหลงจายและทฤษฎเทว)น)น

หลงจากได'แนะน<าตวเหนยวน<าในบทท 4 แล'ว เราพบวาวงจรยงมความเป.นเช-งเส'น เพราะ วงจรประกอบไปด'วยอ3ปกรณทเป.นเช-งเส'น ดงน)นทฤษฎบทการทบซ'อน การแปลงแหลงจายและ ทฤษฎเทว-น-นยงใช'ได'กบวงจรทเปลยนแหลงจายไฟตรงไปเป.นแหลงจายสญญาณซายน และการ ว-เคราะหวงจรในรปแบบเฟสเซอร วงจรทได'กSยงคงมค3ณสมบต-เช-งเส'นอย เรายงคงจ<าได'ถ#งความ เป.นเช-งเส'นและทฤษฎบทการทบซ'อนในวงจร เมอมการรวมกนของแหลงจายจ<านวนจร-งและแหลง จายจ<านวนจ-นตภาพเพอให'กลายเป.นแหลงจายเช-งซ'อน

ตวอยาง 10.3 จงใช'ทฤษฎบทการทบซ'อนหาแรงดน V1 ในวงจรรป 10.1 ซ#งเขยนใหมได'ดงรป 10.3

ร ป 10.3 เฟสเซอรแรงดน V1 และ V2 หาได'โดยใช'ทฤษฎบทการทบซ'อน

ว)ธท&า แปลงวงจรรป 10.1 ให'อยในรป 10.3 โดยรวมคาอ-มพแดนซของการตอขนานกนให' อยเป.นคาเดยว เชน 5 Ω กบ - j10 Ω รวมแบบขนานจะได' 4 - j2 Ω และ j10 Ω ขนานกบ -j5 Ω

จะได' - j10 Ω และ 10 Ω ขนานกบ j5 Ω จะได' 2 + j4 Ω เพอหา V1 โดยใช'ทฤษฎบทการทบซ'อน เร-มจากการให'แหลงจายทางซ'ายท<างานตวเดยว

จะได'

1V

1 0A

∠

ปมอ'างอ-ง

4 j2 − Ω 0.5 90A

∠ −

2V

2 j4 + Ω

j10 − Ω


4j210j2j4)4j210j)(2j4(

011L ++−−++−−

∠= V

2j28j628j4 −=

−−−=

ให'แหลงจายทางขวาท<างานตวเดยวจะได'1)2j4)(

4j210j2j44j2

)(905.0(R1 −=−++−−

+−∠−= V

รวมกนจะได'V2j112j21 V −=−−=

ตวอยาง 10.4 จงใช'ทฤษฎเทว-น-นว-เคราะหวงจรในรป 10.3 ว)ธท&า หาแรงดนเป_ดวงจรระหวางปม V1 และ V2 (ให'ปม V1 เป.น +) จะได'

)4j2)(905.0()2j4)(01(oc +−∠+−∠= VV 3j61j22j4 −=−+−

หาอ-มพแดนซของวงจรเมอเอาแหลงจายท)งสองออกจะได'Ω+= Z 2j6th

หากระแสไหลผาน j10 − Ω

126 j3I 0.6 j0.3

6 j2 j10−= = +

+ −

หากระแสไหลผาน Ω− )2j4( ได'1I 1 0.6 j0.3 0.4 j0.3 = − − = −

และได'1V (0.4 j0.3)(4 j2) 1 j2 V= − − = −

10.4 แผนภาพเฟสเซอร (Phasor Diagrams)

การวาดกราฟของระนาบเช-งซ'อนแสดงความสมพนธของเฟสเซอรแรงดน และเฟสเซอร กระแสของวงจรเราจะเรยกวา แผนภาพเฟสเซอร เป.นว-ธการหน#งในการแก'ป0ญหาและอาจจะใช'เป.น การตรวจสอบค<าตอบทถกต'องได'อกด'วย เราได'ค3'นเคยกบระนาบเช-งซ'อนมาแล'วซ#งแผนภาพ เฟสเซอรมความเหมอนกน ตวอยาง เฟสเซอรแรงดน V1.53108j61 V ∠=+= แสดงในรป 10.4


ร ป 10.4 แผนภาพเฟสเซอรอยางงายแสดง V1.53108j61 V ∠=+=

แกนแนวนอนแทนคาจ<านวนจร-ง แกนแนวต)งแทนคาจ<านวนจ-นตภาพ แรงดน V1 มท-ศพ3ง ออกจากจ3ดก<าเน-ด เมอมการบวกและลบจะแสดงได'งายมากในระนาบเช-งซ'อน สวนการคณและหาร ผลลพธทได'จะอยในรปของผลบวกและผลลบของม3มเฟสตามล<าดบ และมการเปลยนขนาดตามผล คณหรอผลหาร เมอมการเปลยนแปลงของขนาดข#)นอยกบขนาดของแตละเฟสเซอรและสเกลของ ระนาบ รป 10.5 ก) แสดงการบวกของ V1 กบ V2 ( )3 j4 5 53.1 − = ∠ − o

และรป 10.5 ข) แสดง กระแส I1 เป.นผลคณของ V1 และคาแอดม-ตแตนซ Y = 1 + j1 S.

ร ป 10.5 ก) แผนภาพเฟสเซอรผลบวกของ V8j61 V += และ V4j32 V −= ซ#งเทากบ24.09.854j921 ∠=+=+ VV ข) แผนภาพเฟสเซอร 1V , 1I เมอ 11 YVI = และ S1j1 Y +=

j8

6

53.110

1V

Real axis (V)

Imaginary axis (V)

( )1 1I 1 j1 V= +

451 2V V+

1V

2V

1V

ข)


ในรป 10.5 แสดงเฟสเซอรแรงดนและเฟสเซอรกระแสในรปเดยวกน ซ#งแตละเฟสเซอรจะ มขนาดและม3มเป.นคาของตวเอง แตมขนาดตามสเกลของระนาบเช-งซ'อน ตวอยางเฟสเซอรแรงดน ความยาว 1 cm จะแทน 100 V ขณะกระแสเฟสเซอรยาว 1 cm จะแทน 3 mA

ร ป 10.6 ก) เฟสเซอรแรงดน α∠mV ข) แรงดนเช-งซ'อน α+ω∠ tVm

การใช'แผนภาพเฟสเซอรคอการแปลงจากโดเมนเวลาไปเป.นโดเมนความถ แตอยางไรกS ตามกSสามารถใช'แผนภาพเฟสเซอรในม3มมองของโดเมนเวลาได' รป 10.6 ก) α∠= mVV แปลงไป เป.น v(t) ในโดเมนเวลา ข)นตอนตอมาคอการคณเฟสเซอรด'วย tje ω ซ#งจะได'แรงดนเช-งซ'อน

α+ω∠=ωα tVeeV mtjj

m แรงดนน)จะแทนเฟสเซอรซ#งจะเหSนได'วาม3มเฟสจะแปรผนเป.นเช-งเส'น ตามเวลา ในแผนภาพเฟสเซอรจะแสดงการหม3นของเส'นทมการบวกด'วย tω เรเดยน (น<าหน'าใน ท-ศทวนเขSมนาฬ-กา) ท)ง α∠mV และ α+ω∠ tVm แสดงในแผนภาพเฟสเซอรรป 10.6 ข) สวนของ จ<านวนจร-งของปร-มาณเช-งซ'อนคอโดเมนเวลาหรอคอเงาของ α+ω∠ tVm ททาบลงบนแกนจ<านวน จร-ง

โดยการสร3ปคอ เฟสเซอรในโดเมนความถจะเขยนบนแผนภาพเฟสเซอร และสามารถ แปลงไปอยในโดเมนเวลาได'โดยเฟสเซอรจะหม3นทวนเขSมนาฬ-กาด'วยความถ ω rad/s และจะเหSน ได'จากเงาททาบลงบนแกนจ<านวนจร-ง ส-งส<าคญของลกศรในการแสดงเฟสเซอร V บนแผนภาพ เฟสเซอรจะเหมอนกบรปภาพน-งท 0t =ω ของลกศรทหม3น และเงาททาบลงบนแกนจ<านวนจร-ง ทเวลาขณะใดๆ คอแรงดน v(t) ทเวลาขณะใด ๆ นนเอง

พ-จารณาการสร'างแผนภาพเฟสเซอรจากวงจรอยางงาย ในรป 10.7 ก) วงจรอน3กรม RLC ม แรงดนหลายคาแตมกระแสคาเดยว แผนภาพเฟสเซอรสร'างได'งายโดยเร-มจากเขยนกระแสเป.น

α

mV mV ∠ α

α

mV ∠ αtω + α

tω

( )mV t∠ ω + α

ข)


เฟสเซอรอ'างอ-งกอน โดยเลอก 0Im ∠=I และเขยนลงบนระนาบเช-งซ'อนในรป 10.7 ข) แรงดน ครอมตวต'านทาน ตวเกSบประจ3 และตวเหนยวน<า จะค<านวณได'ตามมาและเขยนลงไปบนระนาบเช-ง ซ'อน เมอความสมพนธของม3มเฟสแตกตางกน 90 องศา ผลรวมของแรงดนท)งสามจะมคาเทากบคา แรงดนของแหลงจาย และส<าหรบวงจรน)เก-ดเรโซแนนซ (resonant) ข#)นเมอ LC ZZ −= และแรงดน ทแหลงจายจะเทากบแรงดนทตกครอมตวต'านทาน

ร ป 10.7 ก) วงจรอน3กรม RLC ข) แผนภาพเฟสเซอร

รป 10.8 ก) แสดงวงจรขนานอยางงายเราจะใช'แรงดนเป.นส-งอ'างอ-งเพราะมคาเดยว สมม3ต- ให' 01∠=V กระแสผานตวต'านทาน 0 0.2 R ∠=I A ซ#งมเฟสตรงกนกบเฟสเซอรแรงดนและ กระแสตวเกSบประจ3 j 0.1 C =I A น<าหน'าแรงดนอ'างอ-งอย 90 หลงจากรวมกระแสท)งสองด'วย กนจะได'แหลงจายกระแส j 0.1 A 0.2 S +=I

แผนภาพเฟสเซอรงายตอการสร'างและมประโยชนมากในการว-เคราะหสญญาณซายนในสภาวะอยตว

SV

j50 Ω

j50 − Ω

10 Ω

LV RV

I

CV

R LV V+

R CV V+

LV

CV

R SV V=

I

ก) ข)


ร ป 10.8 ก) วงจรขนาน RLC ข) แผนภาพเฟสเซอร

10.5 ผลตอบสนองท"เปGนฟHงกชนของความถ"เช)งมม

เราจะพ-จารณาว-ธการทได'มา และการแสดงผลตอบสนองของวงจรตอการกระต3'นด'วย ฟ0งกชนซายนในโดเมนความถ ω โดยให'มความถ 50 Hz คงท และจะเปลยนแปลงคาของโหลด ผลตอบสนองความถซายนมความส<าคญมากในท3กๆสาขาของว-ศวกรไฟฟuา และสาขาทเกยวข'อง เชน ทฤษฎของการสนทางกล ระบบควบค3มอตโนมต- เป.นต'น สมม3ต-วามวงจรทมแหลงจาย

θ∠= SS VV เฟสเซอรแรงดนน)จะถกแปลงไปอยในโดเมนเวลาได'เทากบ ) t ( cos Vs θ+ω ถ'าเรา ต'องการหาผลตอบสนองบางจ3ดในวงจร เชน กระแส I เราร'วาผลตอบสนองเฟสเซอรเป.นจ<านวน เช-งซ'อนและจะประกอบไปด'วยสวนจ<านวนจร-งและสวนจ<านวนจ-นตภาพ หรอคาของขนาดและม3มเฟส ข'อมลทใช'จะอยในรปฟ0งกชนในโดเมนความถโดยพ-จารณาแยกออกเป.นกราฟ 2 รปรปแรก จะแสดงขนาดของผลตอบสนองในโดเมน ω และรปทสองจะแสดงม3มเฟสของผลตอบสนองใน โดเมน ω เราจะนอรแมลไลซ (Normalize) กราฟโดยการวาดกราฟขนาดของอตราสวนของกระแส -แรงดนและม3มเฟสของอตราสวนกระแส-แรงดนเปรยบเทยบกบ ω เราสามารถเรยกกราฟน)ใหม ได'วากราฟอ-นพ3ทแอดม-ตแตนซในโดเมน ω หรอถ'าวดกระแสและแรงดนทต<าแหนงตางๆในวงจร กSจะเรยกแอดม-ตแตนซถายโอน (transfer admittance) ผลตอบสนองแรงดนนอรแมลไลซตอแหลง จายกระแสแสดงได'ในลกษณะคล'ายกนกบการแสดงขนาดและม3มเฟสของอ-นพ3ท หรอ อ-มพแดนซ ถายโอนเปรยบเทยบกบ ω ซ#งมมากมายหลายชอเรยก เชนอตราสวนของแรงดนตอแรงดน (อตรา สวนแรงดน) หรออตราสวนกระแสตอกระแส (อตราสวนกระแส) พ-จารณาได'จากตวอยางตอไป

SI V

RI CI

= 2000 rad/sω

5 Ω 50 Fµ

V 1 0= ∠

CI j0.1=

SI 0.2 j0.1= +

RI 0.2=

ข)ก)


ตวอยาง พ-จารณาวงจรอน3กรม RL เมอแหลงจายเฟสเซอรแรงดน VS จายก<าลงให'วงจรน) และกระแสเฟสเซอร I (ออกจากข)วบวกของแหลงจายแรงดน) ถกเลอกให'เป.นผลตอบสนองทเรา ต'องการ เราจะหาเฉพาะผลตอบสนองกระต3'นเทาน)น และใช'ว-ธเฟสเซอรในการหา

LjRV

I S

ω+=

จะแทนผลลพธทได'ด'วยรปแบบนอรแมลไลซ เป.นอตราสวนของกระแสตอแรงดน น)นคออ-นพ3ท แอดม-ตแตนซ

SVI Y =

หรอ LjR1 Y

ω+= (10-3)

ถ'าเราพ-จารณาแอดม-ตแตนซขณะกระแสทผล-ตจากแหลงจายแรงดน 01∠ V ขนาดของผลตอบสนองคอ

222 LR

1

ω+=Y (10-4)

ขณะม3มของผลตอบสนองหาได'จาก

RLtanang 1 ω−= − Y (10-5)

สมการ (10-4) และ (10-5) แสดงขนาดและม3มเฟสของผลตอบสนองทเป.นฟ0งกชนของความถเช-ง ม3ม ω

พ-จารณารปกราฟขนาดโดยเร-มวาดจากคาสมบรณของขนาดกบ ω ผลตอบสนองความถท สร'างจะมคาเทากบ 1 R ทความถเทากบศนย ความชนเร-มต'นเทากบศนยและผลตอบสนองจะใกล' ศนยเมอความถใกล'อนนตกราฟของขนาดของผลตอบสนองตอฟ0งกชน ω แสดงในรป 10.9 ก)

ผลตอบสนองทแสดงมท)งคาความถเป.นบวกและลบ กราฟจะสมมาตรกนสอดคล'องกบ สมการ (10-4) เมอ Y ไมเปลยนแปลงเมอแทน ω ด'วย − ω การแปลคาความถต-ดลบ เชน ω = -100 rad/s ข#)นอยกบฟ0งกชนในโดเมนเวลา ตวอยาง แรงดน )30 t ( cos 50 v(t) +ω= ถ'า ω = 100 แรงดนคอ ) 3000t 50 cos (1v(t) += แตถ'า ω เทากบ -100, )30 t (-100 cos 50 (t)v += หรอ

)30 -(100t cos 50


ร ป 10.9 ก) ขนาดของ S

IV

Y = ข) ม3มของ Y

สวนทสองคอผลตอบสนองม3มเฟส Y กบ ω เป.นฟ0งกชนอ-นเวอรแทนเจน (inverse tangent) ดงรป 10.9 ข) จ3ดท L

R±=ω ท<าเครองหมายบนกราฟขนาดและม3มเฟสทความถน)มขนาด 0.707 เทาของขนาดสงส3ดทความถศนยและมม3มเฟส 45 องศา ทความถน)คาแอดม-ตแตนซมขนาดเป.น 0.707 เทาของคาสงส3ด ขนาดของกระแสจะเป.น 0.707 เทาของคาสงส3ดและคาก<าลงเฉลยจาก แหลงจายเทากบ 0.7072 หรอ 0.5 เทาของคาสงส3ด เราเรยก L

R=ω วาคอความถคร#งก<าลง (half- power frequency)

ตวอยาง วงจรขนาน LC โดยมแหลงจายกระแสกระต3'น แสดงในรป 10.10 ก) ผลตอบ สนองแรงดน V หาได'

( )

)ωC1L-j(j

)Cj1(Lj

I V Sω

ωω=

และแสดงเป.นอ-นพ3ทอ-มพแดนซ

)C1L(jCL

S ω−ω==

IV Z

หรอ

LC1C1-j

2 −ω

ω= Z (10-6)

2RL

− RL

− RL

− 2RL

ω

90

90−

ang YY1R

0

2RL

− RL

− RL

− 2RL

0ω

ข)ก)


ร ป 10.10 ก a) วงจรขนาน LC ข) ขนาดของอ-นพ3ทอ-มพแดนซ SI

V Z = ค) ม3มเฟสของอ-นพ3ทอ-มพแดนซ Z วาดเป.นฟ0งกชนของความถ

โดยให'

LC1

O =ω

และแยกสมการอ-มพ3ทอ-มพแดนซเป.นขนาดและม3มเฟส ซ#งขนาดของอ-มพ-แดนซจะเขยนในรป โดเมนความถเช-งม3ม

))((C1

OO ω+ωω−ωω

=Z (10-7)

ความถทท<าให'ขนาดผลตอบสนองมคาเทากบศนยหรออนนต จะเรยกวาความถว-กฤต (critical frequency) จะเป.นการงายในการสร'างกราฟผลตอบสนอง ตอนแรกผลตอบสนองจะม ขนาดเทากบศนยท 0=ω และขนาดมคาอนนตท Oω=ω และ Oω− ความถทท<าให'ขนาดเทากบ ศนยเราเรยกวาศนย (Zero) สวนความถทท<าให'ขนาดเทากบอนนตเรยกวาโพล (Pole) และผลตอบ

SI V L C

ก)

ω

90

90−

ang Z

Z

0

2Cω

02− ω 0− ω0

ω

ค)ข)

0

1Cω

02ω0ω

02− ω 0− ω 0 02ω0ω

oo


สนองจะมขนาดใกล'ศนยเมอ ∞→ω และดงน)นเมอ ± ∞=ω ซ#งจะเป.นศนย (Zero) ด'วยต<าแหนงของความถว-กฤต-จะท<าเครองหมายบนแกน ω โดยใช'วงกลมแทนศนย และใช'

กากบาทแทนโพล สวนโพลหรอศนยทอนนตจะแสดงด'วยลกศรผสมกบ ศนยหรอโพลดงแสดงใน 10.10 ข) การวาดกราฟจะงายมากข#)นเมอเขยนเส'นประเพอใช'เป.นเส'นขอบ (asymptotes) ทแตละ ต<าแหนงของโพล กราฟทวาดอยางสมบรณของขนาดตอ ω แสดงในรป 10.10 ข) ความชนทจ3ด เร-มต'นไมเทากบศนย

สมการ (10-6) แสดงม3มเฟสของอ-นพ3ทอ-มพ-แดนซจะมคาอยสองคา คอไมเทากบ 90+

กSจะเทากบ 90- เทาน)น ซ#งจะปรากฏกบวงจรทมตวเหนยวน<าหรอตวเกSบประจ3อยางเดยวดงแสดง ในรป 10.10 ค)

ตวอยาง 10.5 จงวาดกราฟขนาดและเฟสของ Zin กบ ω ของวงจร LC รป 10.11

ร ป 10.11 วงจร LC

ว)ธท&า เราเร-มจากหา inZ

40j

10j)100(1

40j

j1010j)j/10)(10/j(

2inω

+ωω−

=ω

+ω+ωωω

=Z

ω−

+ω−ω=ω+ω−

ω= )100(40

400100 j40j

10010j

2

2

22

−ω−ωω=

100500

40j

2

2

ดงน)น

)10)(10(40)4.22)(4.22(

jin +ω−ω+ω−ω

ω=Z

0.1 F1 H40inZ

0.1 H


จงหาขนาดได'

)10)(10(40

)4.22)(4.22( Zin +ω−ω+ω−ωω= (10-8)

มศนยอยท ω = 0, - 22.4 และ 22.4 rad/s, โพลอยท ω = -10 และ 10 rad/s คาขนาด inZ ใกล' อนนต เมอ ω ใกล'อนนตเชนกน และมโพลอยท ± ∞=ω ด'วย ดงน)นจ#งเป.นความถว-กฤต (ท)งหมด 5 ความถคอ -22.4, -10, 0, 10, 22.4) และวาดกราฟได'ดงรป 10.12 ก)

จากสมการ (10-8) เราจะเหSนขนาดมคาสงเมอ ω มคาลบมากข#)น เชน 100ω = − จะท<าให' สวนจ<านวนจ-นตภาพของ inZ ต-ดลบและได' Ω−= 40.2jinZ ม3มเฟสจะเทากบ 90- ส<าหรบ

4.22−<ω<− ∞ ม3มเฟสจะสลบระหวาง 90- และ 90+ ท3กๆ คาของเวลาทผานโพลหรอศนย กราฟม3มเฟสแสดงดงรป 10.12 ข)

รป 10.12 ก) กราฟขนาด inZ ตอความถเช-งม3ม


รป 10.12 ข) ม3มเฟส inZ ตอความถเช-งม3ม

10.6 แบบฝNกหดทายบท

1. จงใช'ว-ธการว-เคราะหแบบปมหาเฟสเซอรแรงดน RLV ในรป P10.1

รป P10.1

2 Ω j4 − Ω

1 Ω

RLVX50V

XV100 0 V∠

j3 Ω


ว)ธท&า

( )1 1 21 1 2 V 50 V VV 100 V V 02 1 j4

− −− −+ + =−

( ) ( )1 21.5 j12.25 V 1 j12.5 V 50∴ − + − + =

2 1 2V V V 01 j3− + =

1 21V 1 j V 03

∴ − + − =

( )1 RL

50 1 j12.550 j50 30 1 j1 3V V 1.5 j12.25 1 j12.5 10.75 3 j0.25

1 1 j1 3

− +−−= = =− − + − −

− −

14.673 157.57 V= ∠ o ตอบ

2. จงหา 1V ในรป P10.2 ( )o15.617 128.66 V∠

รป P10.2

2 Ω

j4 − Ω1 Ω

X50V

XV100 0 V∠

j3 Ω

1V ( )1 250 V V−

2V

100

j10 − Ω j10 − Ω j10 − Ω

10 Ω 10 Ω 10 Ω100 0 V∠

1V


3. ถ'า ( ) 3 4Si t 10 cos10 t A−= อยในวงจรดงรป P10.3 จงหา ( )1v t

รป P10.3

ว)ธท&า

2 1 12 1

V 1.5V V 1 V 1 3.5V1 0.5

+ + = ∴ = −

1 2 22 2 1

V V V 0 V 5V j1V 00.5 j0.5 j0.1

− + + = ∴ − − =−

2 1 1 1j1V V j0.25V 1 3.5V4

∴ = = − = −−3 4

S 11i 10 cos10 t A, V 0.2850 4.09

3.5 j0.25−= = = ∠

−o

( ) ( )41v t 0.285cos 10 t 4.09∴ = + o ตอบ

4. เมอให' 100 rad/sω = ในรป P10.4 จงหาเฟสเซอรแรงดน 1I ( )o6.417 1.02 A∠ −

50 mH

500 Ω

1 Fµ10.5v1v1 kΩSi

50 mH

500 Ω

1 Fµ10.5v1v1 kΩSi

2 1V 1.5V+2 1V 0.5V+

2V


รป P10.4

5. ในรป P10.5 จงใช'ทฤษฎบทการทบซ'อนหา XI และ ( )Xi t

รป P10.5

ว)ธท&า

( )( )

( ) ( ) ( )X

2* 1 3060I = 30+j50// j100 1 30 1 j50 1 j100

−− + + −

60 2 2 146.6 A30 j100 1 j0.6 j0.3

= − = ∠ −+ − +

o

( ) ( )Xi t 2cos 500t 146.6 A∴ = − o ตอบ

100 0 V∠

10 Ω 15 Ω

5 Ω0.1 H

0.4 mF

1I

30 Ω

0.1 H20 Fµ

60cos500t V2cos500t A

XI


6. จงหาวงจรสมมลเทว-น-นทจ3ด a และ b ในรป P10.6 ( )o

th OCZ 16.667 j3.333 , V 70.71 20 V= − Ω = ∠ −

รป P10.6

7. จงหาวงจรสมมลเทว-น-นทจ3ด a และ b ในรป P10.7 เมอให' 10 rad/sω =

รป P10.7

ว)ธท&า

60 25 V∠

12 Ω j8 Ω

j20 − Ω

a

b

20 Ω

0.01 F 2 HXv

X0.1v

a

b

20 Ω

100jω

j2ωXv

X0.1v

a

b

1 0 V∠

inI

a

b

thZ


สมม3ต-ให'ตอแหลงจายแรงดน 1 0 V∠ o เข'าทข)ว a และ b จะได'

X in100 j 5 1 5 1V = 1* I 0.1*

20+100 j 5 j j2 5 j 20+100 j ω = ∴ = − + ω + ω ω + ω ω

( )( )2

in th 2

j2 5 j1 0.5 j0.05 5 0.1I Zj2 5 j j2 5 j 5 0.1

ω + ω− + ω − ω∴ = + = ∴ =ω + ω ω + ω − ω

( )( )th 2

j20 5 j10Z 40 j20 44.72 26.57

5 0.1*10+

∴ = = − = ∠ − Ω−

o ตอบ

8. จงหา XV โดยใช'ทฤษฎบทการทบซ'อนหรอการแปลงแหลงจายในวงจรดงรป P10.8 ( )7.5 V−

รป P10.8

9. ในรป P10.9 เมอให' 50 rad/sω = จงสร'างแผนภาพเฟสเซอรแสดงกระแสท)งสาม โดยใช'สเกล 1A/cm และแผนภาพเฟสเซอรแสดงแรงดนท)งสาม โดยใช'สเกล 1V/cm

รป P10.9ว)ธท&า

S R CI = 2, I =1 j1, I =1+j1 A −

S L RCV 2, V j2, V 2 j2 V= = = − ตอบ

j2 A j15 Ωj5 Ω

j20 − Ωj5 − Ω

j1 A20 0 V∠

2 Ω 0.01 F0.02 HSI 2 0 A= ∠

RI CISV

LV

RCV


10. ในวงจรดงรป P10.10 เมอให' SI มขนาด 3A ท 1000 rad/sω = โดยใช'กระแสน)เป.นเฟสเซอรอ'างอ-งจงหาเฟสเซอรแรงดนท)งสและสร'างแผนภาพเฟสเซอร พร'อมแสดงวา 1 2 3 4V V V V+ = +

รป P10.10 ตอบ

CISI

RI

LV

SV

RCV

20 Ω10 Ω

25 Fµ 30 mH

SI 1V

2V

3V

4V

2V

4V

3V

1V 1 2 3 4V V V V+ = +

30 V/1 cm

1 บทท 11 กลงเฉลยและคอรเอมเอส

บทท 1

1

วตถประสงคของบทเรยนหลงจกนกศกษได#อนบทเรยนน$จบ นกศกษจะมควมสมรถดงน$

สมรถอธ(บยกลงชวขณะได#สมรถหกลงเฉลยของอ,ปกรณใดๆ จกวงจรได#สมรถว(เคระหวงจรโดยใช#เทคน(คกลงเช(งซ#อนได#

หวขอยอย หน# 11.1 แนะน 265 11.2 กลงชวขณะ (Instantaneous power) 265 11.3 กลงเฉลย (Average power) 267 11.4 คประส(ทธ(ผลของกระแสและแรงดน (Effective value) 275 11.5 กลงปรกฏ (Apparent power) และตวประกอบกลง 278 11.6 กลงเช(งซ#อน (Complex Power) 281 11.7 แบบฝWกหดท#ยบท 284

กลงเฉลยและคอรเอ!มเอส


11.1 แนะน

ในหวข#อน$จะกลวถงเรXองกลงเปYนหลกโดยจะกลวถงกลงชวขณะ(instantaneous power) เปYนเรXองแรก กลงดงกลวเปYนผลคZณของแรงดนและกระแสในโดเมนเวลของอ,ปกรณหรXอวงจรขยทสนใจ กลงชวขณะบงคร$งมควมสคญ เชน คสZงส,ดของอ,ปกรณทรบได# หรXอยนกร ทงนของอ,ปกรณน$น แตอยงไรกตมเรจะสนใจคเฉลยของกลงชวขณะหรXอกลงเฉลย (average power) มกกว

เรจะพ(จรณไมครอบคล,มหวข#อท$งหมดของกรสงจยกลงเฉลยโดยแหลงจยสญญณ ซยน (แรงดนและกระแส) เรจะน(ยมปร(มณตวหนงและให#เรยกวคประส(ทธ(ผล (effective value) เพXอใช#วดคประส(ทธ(ผลของสญญณรZปแบบตงๆ ทสงถยกลง กรศกษเรXองกลงเพXอให#มควมสมบZรณจะพ(จรณรวมท$งตวประกอบกลง (power factor) และ กลงเช(งซ#อน(complex power) ด#วย ซงหลกกรท$งสองน$มใช#กนในทงปฎ(บต(ของกรสงจยกลงไฟฟ_

11.2 กลงชวขณะ (Instantaneous power)

กลงเปYนฟ`งกชนของเวล สมรถหได#จกผลคZณของแรงดนชวขณะทตกครอมอ,ปกรณกบกระแสชวขณะทไหลผนอ,ปกรณ

vip = (11-1)ถ#อ,ปกรณตวน$นคXอตวต#นทน สมรถเขยนกลงได#หลยเทอม

RvRivip

22 === (11-2)

ถ#เปYนตวเหนยวน∫===∞−

tvdtv

L1

dtdiLivip (11-3)

และถ#เปYนตวเกบประจ,เมXอสมม,ต(ให#ท t = − ∞ แรงดนครอมตวเกบประจ,มคเทกบศZนย∫===∞−

tidti

C1

dtdvCvvip (11-4)

พ(จรณวงจรอน,กรม RL ดงรZป 11.1 แหลงจยเปYนแบบข$นสมรถหผลตอบสนองกระแสได#

)t(u)e1(RV

)t(i LRt

0 −−=


ร4ป 11.1 กลงชวขณะทตวต#นทน )t(u)e1(R

VRip 2L

Rt202

R

−

−==

และหกลงของแหลงจยได#

)t(u)e1(R

Vvip L

Rt20

−

−==

เมXอกลงสองของฟ`งกชนหนงหนวย คXอ ฟ`งกชนหนงหนวย กลงทรบเข#ไปของตวต#นทนคXอ

)t(u)e1(R

VRip 2L

Rt202

R

−

−==

เพXอทจะหกลงทรบเข#ไปของตวเหนยวน เรจะค(ดโดยเร(มจกแรงดนทตวเหนยวน

dtdiLvL =

dt

)t(du)e1(RV

L)t(ueV LRt

0LRt

0

−−

−+=

RtL

0V e u(t)−

=

เมXอ dt)t(du

เทกบศZนย เมXอ t > 0 และ )t(u)e1( LRt−

− เทกบศZนยท t = 0 กลงทรบเข#ไปของตว เหนยวนคXอ

)t(u)e1(eR

Vivp L

RTLRt2

0LL

−−

−==

ลองเปลยนแหลงจยในวงจรรZป 11.1 ให#เปYนแหลงจยซยน t) cos( Vm ω ผลตอบสนองกระแสใน โดเมนเวลคXอ

) t ( cos I i(t) m φ+ω=

เมXอ

222m

mLR

VI

ω+= และ

RLtan 1 ω−=φ −

R

i

0V u(t) L Lv


กลงชวขณะทแหลงจยจยคXอt cos )t ( cos I V vi p mm ωφ+ω==

เขยนสมกรใหมโดยใช#ค,ณสมบต(ตรโกณ (ผลคZณของฟงกชนโคซยน) ชวยจะได# [ ])cos()t2cos(

2IV

p mm φ+φ+ω=

)t2cos(2IV

cos2IV mmmm φ+ω+φ=

สมกรส,ดท#ยน$ มค,ณลกษณะมกมยทเปYนจร(งในวงจรทวไปเมXออยZในสภวะอยZตวของสญญณซยน เทอมแรกไมใชฟ`งกชนของเวล สวนเทอมทสองจะมควมถเปYนสองเทของควมถทแหลง จย เมXอเทอมน$เปYนสญญณโคซยนคเฉลยของเทอมน$ (ซยนหรXอโคซยน) จะเทกบศZนย (เมXอ อ(นท(เกรทเฉลยตอ 1 คบ) ดงน$นจะกหนดให#คกลงเฉลยคXอ φcosIV

21

mm

11.3 กลงเฉลย (Average power)

เมXอเรกลวถงคเฉลยของกลงชวขณะในชวงเวลหนงหรXอ t1 ถง t2 ซงสมรถเขยนเปYน สมกรได#ดงน$

∫−=

2

1

t

t12dt)t(p

tt1P (11-5)

คเฉลยแทนด#วยสญลกษณ P เมXอไมเปYนฟ`งกชนของเวล แตเปYนฟ`งกชนของ t1 และ t2 ซงใช#เปYน ชวงเวลของกรอ(นท(เกรท คของ P จงข$นอยZกบชวงเวล ถ# p(t) เปYนฟ`งกชนรยคบ (Periodic function)

สมม,ต(ให#ฟงกชนกระต,#นและผลตอบสนองของวงจรเปYนฟ`งกชนรยคบ เรน(ยมฟ`งกชน รยคบ f(t)

f(t) = f ( t + T) (11-6)เมXอ T คXอคบเวล รZปคลXนแบบรยคบโดยทวไปแสดงได#ดงรZป 11.2 (และให#คXอ p(t)) เรสมรถคนวณ กลงเฉลยจกเวล t1 ถง t2 (โดยทเวลถดมคXอ t2 = t1 +T)

( )1

1

t T

t

1p t p(t)dtT

+

= ∫


ร4ป 11.2 คเฉลย P ของฟ`งกชนรยคบ p(t) มคเทกนทคบเวลใดๆ

และพ(จรณกรอ(นท(เกรทจกเวล tX ถง tX + Tdt)t(p

T1P

Tt

tX

X

X

∫=+

กลง P1 และ PX จะเทกนโดยดZได#จกกรฟรZป 11.2 พX$นทของกรอ(นท(เกรทในกรห PX น#อยกว เมXอมองจก t1 ถง tX แตจะมกกวเมXอดZจกพX$นทจก t1 + T ถง tx + T และท$งสองพX$นทมขนด เทกน ดงน$นคกลงเฉลยจะคนวณได#ด#วยกรอ(นท(เกรทคกลงชวครZในชวงเวลหนง (ท 1 คบ เวล) และหรด#วยคบเวลดงกลว

∫=+ Tt

t

X

X

pdtT1p (11-7)

ในกรอ(นท(เกรทฟ`งกชนรยคบเวลทมจนวน n คบเวล เรจะเอจนวน n คบเวลไปหรจก สมกรอ(นท(เกรทด#วย

1,2,3,...n pdtnT1p

nTt

t

X

X

=∫=+

(11-8)ถ#เรหจก ∞− ถง ∞ จะได#

∫=−

2nT

2nT

pdtnT1p

และกหนดให# n เข#ใกล# ∞

t

( )p t

Xt1t

1t T+ Xt T+


∫∞→=

−

2nT

2nT

pdtnT1

nlim

p

ถ# p(t) คXอฟ`งกชนทงคณ(ตศสตร โดยทวไปเหมXอนกบฟ`งกชนกระต,#นและผลตอบสนองในทง กยภพโดยทวไป ถ#เรแทนคของ n ซงมคมกด#วยคน#อยกวเลกน#อยทไมใชเลขจนวนเตม ดงน$นคของกรอ(นท(เกรทและ P จะเปลยนไปโดยละเลยไมค(ดได# อยงไรกตมคควมผ(ดพลด จะลดลงเมXอจนวน n เพ(มข$น เพXอตดควมย,งยกเรจะแทนตวแปรด(สครต nT ด#วยตวแปรตอเนXองτ

2

2

lim 1p pdt

τ

− τ

=τ → ∞ τ ∫ (11-9)

สมกรทใช#ในกรอ(นท(เกรทฟ`งกชนรยคบ เมXอคบเวลเปYนอนนต (infinite period, ∞ ) คXอ สมกรท (11-7) , (11-8) และ (11-9) พ(จรณกรคนวณรZปคลXนรยคบในรZป 11.3 ก) จะได#

Tt0 T

tI)t(i m ≤<=

T2tT T

)Tt(I)t(i m ≤<

−=

และอกมก

ร4ป 11.3 ก) กระแสรZปคลXนฟ`นเลXอย (sawtooth) ข) กลงชวขณะทผนตวต#นทน

หกลงทผนตวต#นทนได#Tt0

TRtI

)t(p2

22m ≤<=

t

( )i t

mI

0 TT− 2T

ก) ข)

t

( )p t

2mI R

0 TT− 2T


T2tT T

)Tt(RI)t(p

2

22m ≤<

−=

และวดรZปได#ในรZป 11.3 ข) อ(นท(เกรทชวงเวลจก t = 0 ถง t = T RI

31

TdtRtI

T1)t(p 2

m

T

02

22m =∫=

และอกมกถ#เรเลXอกยนของคบเวลใหม เชน จก t = 0.1T ถง t = 1.1T จะทให#ได#คตอบเหมXอน

กนกบกรอ(นท(เกรทจก 0 ถง 2T และหรด#วย 2T ดงสมกรท (11-8) โดยม n = 2 และ tx = 0ดงน$นเรจะได#คตอบโดยทวไปของสภวะอยZตวของสญญณซยน เมXอเรสมม,ต(ให#

แรงดนสญญณซยนคXอ) t ( cos V v(t) m θ+ω=

กระแสสญญณซยนคXอ) t ( cos I i(t) m φ+ω=

และได#กลงชวขณะคXอ)tcos()tcos(IV)t(p mm φ+ωθ+ω=

จกตรโกณม(ต( ผลคZณของฟงกชนโคซยนจะเทกบครงหนงของผลรวมของโคซยนของม,มตง เฟสและโคซยนของผลรวมม,ม

)t2cos(IV21)cos(IV

21)t(p mmmm φ+θ+ω+φ−θ= (11-10)

จกสมกรเทอมแรกคXอคคงทไมข $นอยZกบ t และเทอมทสองเปYนฟ`งกชนโคซยนเปYนฟ`งกชนรย คบ โดยมคบเวลเทกบ T 2 คบเวล T เปYนคบเวลของคกระแสและแรงดนทให# อยงไรก ตมเรจะอ(นท(เกรทโดยใช#คบเวล T เพXอหคเฉลยและหรด#วย T เรค,#นเคยกบฟ`งกชนซยน และโคซยนดแล#ว ซงคเฉลยทหได#จะเทกบศZนย คเฉลยของเทอมทสองจะเทกบศZนยตอคบ เวล T (หรXอ T 2 ) และคกลงของเทอมแรกเปYนคคงทดงน$น

)cos(IV21P mm φ−θ= (11-11)

ผลลพธน$มควมสคญ สร,ปได#วเมXอพ(จรณในสภวะอยZตวของฟ`งกชนซยน กลงเฉลยจะเปYน ครงหนงของผลคZณของคสZงส,ดของแรงดนกบคสZงส,ดของกระแสและโคซยนของผลตงม,มเฟสระหวงแรงดและกระแส


ตวอยง 11.1 กหนดให#แรงดนในเทอมเวล )6t( cos 4 v π= V จงหกลงเมXอเฟสเซอร

แรงดน 0 4 V ∠= V ตกครอมอ(มพ(แดนซ Ω∠= 602Z ว:ธท เฟสเซอรกระแสเทกบ 602

ZV −∠= A

และกลงเฉลยW260cos)2)(4(

21P ==

แรงดนในโดเมนเวล

6t4cos v(t) π=

กระแสในโดเมนเวล)60-

6tcos( 2 i(t) π=

และกลงชวขณะ)60

3tcos(42)60

6tcos(

6tcos8)t(p −π+=−ππ=

ร4ป 11.4 กรฟแสดง v(t) , i(t) และ p(t) ของเฟสเซอรแรงดน 0 4 V ∠= V ตกครอมอ(มพ(แดนซ Ω∠= 602Z ทควมถ 6 rad / sω = π

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-2

2

4

6

( )t s

( )p, v,i W, V,A

v

i

p


วดรZปของตวแปรท$งหมดในแกนเวลเดยวกนได#ดงรZป 11.4 คกลงเฉลยมค 2 W มคบเวล 6 ว(นท ทท,กครงคบของกลงมคเทกบศZนยสอดคล#องกบคแรงดนเปYนศZนยหรXอกระแสเปYนศZนย สมรถแยกพ(จรณกลงเฉลยได#สองกรณคXอเก(ดกบตวต#นทนอ,ดมคต( และรแอคเตอร (กรรวม กนระหวงตวเกบประจ,และตวเหนยวน) ม,มเฟสทแตกตงระหวงกระแสทไหลผนและแรงดน ทตกครอมตวต#นทนคXอศZนยดงน$นจะได#

mmR IV21p =

หรXอ RI21p 2

mR = (11-12)

หรXอ R2

Vp

2m

R = (11-13)สองสมกรหลงสมรถใช#ในกรหคกลงเฉลยของตวต#นทน ได#กลงเฉลยทเก(ดกบค รแอคตฟจะมคเทกบศZนย เพระมผลตงม,มเฟส 90 ซงจะทให# 0)cos( =φ−θ

Px = 0ฉะน$น คกลงเฉลยทเก(ดกบวงจรใดๆ ทมแตตวเหนยวนและตวเกบประจ,จะมคเปYนศZนย

ตวอยง 11.2 จงหคกลงเฉลยทจยให#กบอ(มพ(แดนซ Ω−= 11j8ZL โดยมกระแส 205I ∠= Aว:ธทจกสมกร (11-12) ใช#ได#เฉพะตวต#นทน Ω8 เทน$น ทสมรถเก(ดกลงเฉลยได#

W1008)5(21p 2 ==

เมXอกลงเฉลยไมเก(ดข$นกบ j11 − Ω

ตวอยง 11.3 จกวงจรรZป 11.5 จงหกลงเฉลยของอ,ปกรณพสชพท$งสมตวและห กลงเฉลยของแหลงจยท$งสองตว ว:ธท หค 1I และ 2I ได#หลยว(ธ เชนใช#กรว(เคระหแบบเมซ กรว(เคระหแบบปม หรXอทฤษฎบทกรทบซ#อนกได#

1I 5 j10 11.18 63.45= − = ∠ − o

4507.75j5I2 −∠=−=

กระแสไหลผนตวต#นทน 2 Ω คXอ9055jII 21 −∠=−=−


ร4ป 11.5 กลงเฉลยทจยไปทรแอคตฟมคเทกบศZนยในสภวะอยZตวสญญณซยน

ดงน$นขนดของเฟสเซอรกระแสไหลผนตวต#นทน Ω 2 คXอ Im = 5A และจกสมกร (11.12) จะได#

W252)5(21RI

21p 22

mR ===

สวนตวเหนยวนและตวเกบประจ,มคกลงเฉลยเปYนศZนย ถดมพ(จรณแหลงจยแรงดน 020∠

และกระแส 4.6318.11 −∠

left1p (20)(11.18)cos(0 63.4 ) 50W2

= + =o o

พ(จรณจกเครXองหมยแสดงวแหลงจยแรงดน 020∠ จยพลงงน

right1p (10)(7.07)cos(0 45 ) 25W2

= + =o o

และแหลงจยแรงดน 010∠ รบพลงงนตรวจสอบกลงได#เทกบ 50 =25 + 25 ซงถZกต#อง ตมกฎอน,รกษพลงงน จกบทท 3 พ(จรณทฤษฎถยโอนพลงงนสZงส,ด ในบทน$เรจะประย,กต กบอ(มพแดนซ ththth jx R Z += ตออน,กรมกบแหลงจย VS กลงเฉลยจะมคสZงส,ดเมXอโหลดมค

ththL jx - R Z = หรXอ Z Z *Lth = และเรยกทฤษฎน$วทฤษฎถยโอนพลงงนสZงส,ดสหรบสภวะ

อยZตวสญญณซยนพ(จรณฟ`งกชนกระต,#นทไมเปYนรยคบ ตวอยงกระแสทไมเปYนรยคบเพระวคบ

ของสญญณซยนท$งสองไมเปYนจนวนเตม( )i t sint sin t= + π (11-14)

ทเวล t = 0 ท$งสองเทอมจะมคเทกบศZนยและมคเพ(มข$น แตเทอมแรกจะมคเทกบศZนย และเพ(มข$นเฉพะเมXอ t=2 nπ เมXอ n คXอจนวนเตมและดงน$นคบเวลทต#องกรคXอ tπ หรXอ ( )2 nπ π

จะต#องเทกบ 2 mπ เมXอ m คXอจนวนเตม ไมมคตอบ (คอ(นท(เกรทสหรบท$ง m และ n) สหรบ

20 0 V∠

1I 2I10 0 V∠

j2 Ω j2 − Ω

2 Ω


สมกรน$ทเปYนไปได# ตอนน$ลองเปรยบเทยบกบฟงกชนรยคบ( )i t sint sin3.14t= + (11-15)

เมXอ 3.14 คXอตวเลขทแสดงคทแนนอน (ซงไมเหมXอนกบค 3.141592..., π ) จกกรหคบเวลจะได#คบเวลของกระแสน$คXอ 100π ว(นท

คเฉลยของกลงทสงไปทตวต#นทน 1 Ω ไมวจะเปYนกระแสรยคบ (11-15) หรXอกระแสไมเปYนรยคบ (11-14) จะหได#จกกรอ(นท(เกรทในชวงเวลอนนต เรจะได#กลงเฉลยเมXอพ(จรณกระแส (11-14) โดยกรประย,กตใช#สมกร (11-9)

2

2

lim 1p pdt

τ

− τ

=τ → ∞ τ ∫

ตอนน$พ(จรณ P ทเปYนผลรวมของคเฉลยท$งสม คเฉลยของ 2sin t ในชวงเวลกว#ง

(อนนต)หได#โดยกรแทนด#วย 1 1 cos 2t2 2

− จะได# 1

2 ในทนองคล#ยกนคเฉลยของ 2sin tπ

จะเทกบ 1 2 สวนเทอมส,ดท#ยสมรถแสดงเปYนผลรวมของฟ`งกชนโคซยนสองเทอม โดยแต ละเทอมมคเฉลยเทกบศZนย ดงน$น

1 1P 1 W2 2

= + =

ผลลพธทได#จะเหมXอนกบกระแสรยคบ (11-15)ประย,กตว(ธกรเดยวกนน$กบพลสกระแสทเปYนผลรวมของสญญณซยนทมคบเวล และ

ขนดแตกตงกน( ) m1 1 m2 2 mN Ni t I cos t I cos t +...+I cos t = ω + ω ω (11-16)

เรจะหกลงเฉลยทสงไปให#ทตวต#นทน R( )2 2 2

m1 m2 mN1P I I +...+I R2

= + (11-17)ผลลพธทได#จะไมเปลยนแปลง ถ#กหนดให#ม,มเฟสของแตละเทอมของกระแสมคตงๆ

ผลลพธทได#มควมสคญ และสร#งควมประหลดใจเมXอเรค(ดถงข$นตอนทใช#ในกรค(ดกลงตมทต#องกร เชนกรอน,พนธ กรกลงสองของฟงกชนกระแส กรอ(นท(เกรทและกรใสขอบเขต ผลลพธทได#สร#งควมประหลดใจเพระวกรณน$เปYนกรณพ(เศษของกระแส (11-16) ซงสมรถใช#ทฤษฎบทกรทบซ#อนในกรหกลงเฉลยได# ท$งน$ทฤษฎบทกรทบซ#อนไมสมรถใช#ได#กบกระแสทเปYนผลรวมของแหลงจยไฟตรงสองแหลงจย หรXอกระแสทเปYนผลรวมของสญญณ


ซยนทมควมถเดยวกน ตวอยง กระแส 1i 2cos10t 3cos20t A= − จะสงกลง 26 W ไปทตวต#นทน 4 Ω ขณะท 2i 2cos10t 3cos10t A= − จะจยกลงเฉลยได#แค 2 W กบตวต#นทนตวเด(ม

11.4 คประส:ทธ:ผลของกระแสและแรงดน (Effective value)

แรงดนตมบ#นเรXอนคXอ 220 V และมควมถ 50 Hz คแรงดนน$คXอคประส(ทธ(ผล หรXอ เทกบ 2220 คXอคขนดของแรงดนยอด (Vpeak) เมXอวดด#วยออสซ(ลโลสโคปแรงดน 220 V คXอค ประส(ทธ(ผลใช#วดประส(ทธ(ผลของแหลงจยแรงดนทสมรถจยกลงให#กบโหลดควมต#นทน

คประส(ทธ(ผลของฟ`งกชนคบกระแสใดๆ จะเทกบคของกระแสตรงทไหลผนตว ต#นทนและทให#เก(ดกลงเฉลยมคเทกน หรXอจดให#กระแสตรงไหลผนตวต#นทนตวเด(ม และ ปรบคกระแสตรงจนกระทงวดคกลงเฉลยมคเทกนกบคประส(ทธ(ผล แนวค(ดน$แสดงในรZป 11.6

ร4ป 11.6 ตวต#นทนรบกลงเฉลยเทกน ก) และ ข) คประส(ทธ(ผลของ ( )i t จะเทกบ effI และคประส(ทธ(ผลของ ( )v t จะเทกบ effV

สมกรคณ(ตศสตรสหรบหคประส(ทธ(ผลของกระแส i(t) หได#งยๆ โดยหจกกลง เฉลยทสงไปทตวต#นทนโดยกระแสรยคบ i(t) คXอ

( )v t

( )i t

R

effV

effI

R

ก) ข)


∫∫ ==T

0

2T

0

2 dtiTRRdti

T1P

เมXอคบของกระแส i(t) คXอ T กลงทจยโดยแหลงจยกระแสตรงคXอRIP 2

eff=

เปรยบเทยบสปส.จะได#

∫=T

0

2eff dti

T1I (11-18)

สมกรท (11-18) จะไมข$นอยZกบคตวต#นทน สมกรน$ใช#กบคประส(ทธ(ผลของแรงดนทเปYนคบ ได#โดยแทน i ด#วย v และแทน Ieff ด#วย Veff จกลกษณะของสมกรท (11-18) เรสมรถเรยกค ประส(ทธ(ผลใหมได#ตมลกษณะของสมกรคXอค root - mean - square (RMS)

ในกรณของรZปสญญณซยนเรจะได#คกระแสแบบซยน) t( cos I i(t) m φ+ω=

มคบ ω

π= 2T

และแทนในสมกรท (18) จะได#คประส(ทธ(ผล

∫ φ+ω=T

0

22meff dt)t(cosI

T1I เมXอ ))2t2cos(1(

21)t(cos2 φ+ω+=φ+ω

∫ω

π

φ+ω+

πω=

2

0m dt)2t2cos(

21

21

2I

[ ]2

It

4I m2

0m =π

ω= ωπ

ดงน$นคประส(ทธ(ผลของกระแสซยน คXอคจนวนจร(งไมข$นอยZกบม,มเฟส ซงเทกบ 0.707 21 = เทของขนดของกระแส กระแส ) t( cos 2 φ+ω จะมคประส(ทธ(ผลเทกบ 1A

สมรถจยกลงเทกบแหลงจยกระแสตรง 1A ไปทโหลดตวต#นทนใดๆ ค 2 เปYนตวคZณ ของกระแสหรXอแรงดนของรZปสญญณซยนเทน $น สหรบรZปสญญณสมเหลยม (sawtooth) คXอค 3 คตวคZณน$จะข$นอยZกบรZปรงของสญญณ กรใช#คประส(ทธ(ผลจะทให#สมกรกลง เฉลยอยZในรZปทงยข$นโดยสมรถตดตวคZณ 1 2 ท($งได#


ตวอยง กลงเฉลยทเก(ดข$นทตวต#นทน R Ω

RI21P 2

m=

เมXอ 2

I I m

eff = คกลงเฉลยจะเขยนได#เปYนRIP 2

eff= (11-19)สมกรเกยวกบกลงอXน ๆ สมรถเขยนได#ในเทอมคประส(ทธ(ผล

)cos(IVP effeff φ−θ= (11-20)

RV

P2

eff= (11-21)ควมจร(งทวคประส(ทธ(ผลทน(ยมในเทอมของปร(มณไฟตรงทสมมZลกน จะทให#สZตร

กรคนวณสหรบวงจรตวต#นทนเหมXอนกบกรว(เคระหไฟตรงท$งๆ ทเรประสบควมสเรจในกรละเลยตวแปร 1 2 จกควมสมพนธกลงเฉลย เรจะ

พ(จรณปร(มณซยนทอยZในรZปแบบของเทอมขนดหรXอคประส(ทธ(ผล ในทงปฎ(บต(คประส(ทธ(ผลใช#อยงมกในกรทงนเกยวกบกรสงจยกลงไฟฟ_หรXอเครXองจกรกลหม,น ในขณะทคขนดจะมกรใช#บอยในแวดวงอ(เลคทรอน(กส กรสXอสร

ในสภวะอยZตวของสญญณซยน เฟสเซอรแรงดนและกระแสจะแสดงได#ในรZปแบบคประส(ทธ(ผลหรXอคขนดโดยม 2 เปYนตวบงช$ควมแตกตง ตวอยง แรงดน 5 30 V∠ o แสดงในเทอมของขนดขณะทคประส(ทธ(ผลจะเขยนว 5 30 Vrms∠ o

เพXอทจะหคประส(ทธ(ผลของรZปคลXนรยคบหรXอไมเปYนรยคบทประกอบด#วยผลรวมของฟ`งกชนซยนทมควมถตงกน เรจะใช#ควมสมพนธของกลงเฉลย (11-17) ทได#จกหวข#อกอน โดยเขยนในคประส(ทธ(ผล

( )2 2 21eff 2eff NeffP I I +...+I R= + (11-22)

ผลลพธทได#แสดงว ถ#กระแสซยน 5 Arms ควมถ 50 Hz ไหลผนตวต#นทน 2 Ω จะมกลงเฉลยเทกบ 50 W ทตวต#นทน ถ#มกระแสตวทสอง เชน 3 Arms ทควมถ 100 Hz จะได#กลงเฉลยรวม 68 W อยงไรกตมถ#กระแสตวทสองมควมถ 50 Hz จะได#กลงเฉลยมคใดคหนงระหวง 8 ถง 128 W ข$นอยZกบม,มเฟสทสมพทธของกระแสท$งสอง

เรพบวคประส(ทธ(ผลของกระแสประกอบด#วยกระแสซยนใดๆ ทมควมถแตกตงกน2 2 2

eff eff eff effI I I +...+I= + (11-23)


ผลรวมของกระแสอจเปYนหรXอไมเปYนฟ`งกชนรยคบผลลพธกยงคงเหมXอนเด(ม คประ-ส(ทธ(ผลของผลรวมของควมถ 50 Hz และ 100 Hz ในตวอยงด#นบนคXอ 5.83 A คประส(ทธ(ผล ของผลรวมของกระแสทมควมถเทกบ 50 Hz อจจะมคใดคหนงระหวง 2 และ 8A

11.5 กลงปรกฏ (Apparent power) และตวประกอบกลง

หลกกรของกลงปรกฏและตวประกอบกลงมประโยชนตออ,ตสหกรรมกรผล(ต และสงกลงไฟฟ_ เพXอใช#ในกรพ(จรณพลงงนไฟฟ_ขนดใหญทจะสงจกจ,ดหนงไปสZอกจ,ดหนง ประส(ทธ(ภพของกรสงกลงไฟฟ_น$สงผลโดยตรงตอต#นท,นกรผล(ตไฟฟ_ เรจะเร(มจกน(ยม กลงปรกฏ(Apparent power) และตวประกอบกลง (Power factor) กอน เมXอสมม,ต(ให#แรงดนสญญณซยนคXอ

)t( cos V v m θ+ω=

ใสเข#ไปในวงจรแล#วเก(ดผลตอบสนองกระแสสญญณซยน) t( cos I i m φ+ω=

ม,มเฟสระหวงแรงดนและกระแส เมXอแรงดนนหน#กระแสคXอ ( )θ − φ กลงเฉลย (สมม,ต(วอ,ปกรณรบกลง) ทสงไปยงวงจรในเทอมของคขนดสZงส,ดคXอ

)cos(IV21P mm φ−θ=

และในเทอมคประส(ทธ(ผลคXอ)cos(IVP effeff φ−θ=

effeff IVPower Apparent =

ถ#เรจยแรงดนไฟตรงให#กบโหลด ผลตอบสนองกจะได#ไฟตรงเชนกนคกลงเฉลยคXอผลคZณของแรงดนและกระแส เรจะประย,กตใช#หลกกรของไฟตรงกบแหลงจยสญญณซยน โดยผลคZณ ของ Veff Ieff เรน(ยมให#คXอกลงปรกฏ (apparent power) ซงไมใชคกลงเฉลยและมหนวยเดยว กนกบคกลงจร(ง (real power) เมXอ )cos( φ−θ ไมมหนวย แตเพXอต#องกรหลกเลยงควมสบสน ระหวงกลงปรกฏและกลงจร(งจงใช#หนวย VoltAmpere หรXอ VA กบกลงปรกฏ และใช#หนวย watt กบกลงจร(ง ขนดของ )cos( φ−θ มคไมเก(น 1 เนXองจกขนดของกลงจร(งไมมโอกสมก กวขนดของกลงปรกฏ


กลงปรกฏไมใชหลกกรทใช#ได#กบรZปสญญณซยนเทน$น แตใช#ได#กบท,กรZปแบบของ สญญณซงสมรถหได#อยงงยโดยกรคZณกนของคประส(ทธ(ผลของกระแสและแรงดน อตร สวนระหวงกลงจร(งหรXอกลงเฉลยตอ กลงปรกฏ เรยกวตวประกอบกลง (power factor, P.F)

eff eff

average power PPFapparent power V I

= =

ในกรณของสญญณซยน ตวประกอบกลงคXอ )cos( φ−θ เมXอ )( φ−θ คXอม,มของแรงดน นหน#ม,มของกระแส ควมสมพนธน$จงเปYนเหต,ผลวทไมจงเรยก )( φ−θ วม,มตวประกอบกลง สหรบโหลดควมต#นทนอยงเดยว แรงดนและกระแสจะมม,มตรงกน )( φ−θ ซงมคเปYนศZนย และ PF มคเปYนหนง กลงปรกฏและกลงเฉลยมคเทกน อยงไรกตม PF สมรถมคเปYน 1 ได#ในกรณทมตวเหนยวนและตวเกบประจ,หกล#งกนหมด สหรบโหลดตวเหนยวนทไมมค ควมต#นทนม,มเฟสของแรงดนและกระแสจะแตกตงกน 90 และจะได# PF เทกบศZนย ฉะน$นสหรบวงจรใดๆ ค PF จะอยZในชวง 0 ถง 1 ตวอยง PF เทกบ 0.5 จะได#มจกควมแตกตงของ เฟส 60 หรXอ 60− สหรบโหลดตวเหนยวนและตวเกบประจ,ตมลดบ เพXอไมให#สบสนเรจะ เรยก ตวประกอบกลงนหน# (leading PF) หรXอตวประกอบกลงตมหลง (lagging PF) เรจะเรยก นหน#หรXอตมหลงน$นเรจะพ(จรณจกม,มเฟสของกระแสเทยบกบม,มเฟสของแรงดน ดงน$น สหรบโหลดตวเหนยวนจะได#ตวประกอบกลงตมหลง และสหรบโหลดตวเกบประจ,จะได#ตว ประกอบกลงนหน#

ตวอยง 11.4 คนวณคของกลงเฉลยของโหลด 2 ตว กลงปรกฎทเก(ดจกแหลงจย และตวประกอบกลงของกรรวมโหลด ในรZป 11.7

ร4ป 11.7

60 0 Vrms∠

SI

2 j1 − Ω

1 j5 + Ω


ว:ธท กระแสของแหลงจยคXอ

S60I 12 53.1 A rms

2 j1 1 j5= = ∠ −

− + +o

แหลงจยจยกลงเฉลยSP (60)(12)cos 0 ( 53.1 ) 432 W = − − =

o o

โหลดตวบนรบกลงเฉลยupper

2P 12 (2) 288 W.= =

โหลดตวขวมXอรบกลงเฉลย W.144 (1)12 P 2

right ==

ดงน$นแหลงจยจยกลงจร(ง 432 W. และจยเปYนกลงปรกฎ 60(12) = 720 VA ส,ดท#ย ห PF ได#หลงจกรวมโหลดด#วยกนแล#ว พ(จรณแรงดนและกระแส

6.0)12(60

432IV

PPFeffeff

===

กรรวมโหลดจะได#เทกบ Ω+ j43 หรXอ 5 53.1 ∠ Ωo ซงม,ม PF จะเทกบ 53.1 หรXอ PF เทกบ 0.6)(53.1 cos = เมXอโหลดคXอตวเหนยวนจะได# PF คXอ 0.6 ตมหลง

คกลงตงๆในทงปฏ(บต(มควมสคญ ซงจะอธ(บยดงตวอยง สมม,ต(วเครXองกเน(ดไฟ สลบให#แรงดนเอทพ,ท 200 Vrms ท 50 Hz สมม,ต(วจยเอทพ,ทได#สZงส,ด 1 kW เครXองกเน(ด ไฟฟ_มควมสมรถจยกระแสได# 5 Arms ทโหลดควมต#นทน ถ#มโหลดใช#พลงงน 1kW ท lagging PF 0.5 ตอกบเครXองกเน(ดไฟฟ_ ดงน$นจะมกระแสไหล 10 Arms (ขณะท PF ลดลงกระแส จะไหลเพ(มข$นทโหลด ถ#เครXองกเน(ดไฟฟ_ออกแบบให#ทงนท 5 Arms แตจเปYนต#องทงนท 10 Arms ฉนวนของเครXองกเน(ดไฟฟ_อจได#รบควมเสยหยได#)

ดงน$นเครXองกเน(ดไฟจะต#องบอกเปYนกลงปรกฎซงจะได# 1000 VA ทงนท 200 V ซง คXอจยกระแสได#สZงส,ด 5A ทแรงดนพ(กด 200 V กลงจร(งทจยจะข$นอยZกบโหลด

เมXอกลงไฟฟ_ถZกสงจยไปโรงงนอ,ตสหกรรมโดยโรงงนผล(ตไฟฟ_ PF ของโรงงนจะมคไมเทกบ 1 โดยปกต(จะมค 0.85 lagging ท$งน$ข$นอยZกบโรงงน ตวอยง สมม,ต(ลZกค#ใช#กลง เฉลยเทกบ 11 kW ท PF เทกบ 1 และ 220 Vrms เรสมม,ต(วมควมต#นทน 0.2 Ω ในสยสง จกโรงงนผล(ตไฟฟ_ถงโรงงนทใช#ไฟ ฉะน$นจะมกระแส 50 Arms ไหลในโหลดและในสยสง ซงจะผล(ตกลงสZญเสยในสยสงได# 500 W เพXอจย 11 kW ให#กบลZกค# โรงงนผล(ตไฟจะต#องผล(ต 11.5 kW (ทแรงดนสZงส,ด 230 V) และลZกค#จะจยเง(นเพยง 95.6% ของพลงงนทโรงงนผล(ตไฟ


ผล(ต พ(จรณลZกค#ใช#ไฟรยอXนทต#องกรใช# 11 kW แตท PF 60 % lagging ซงจะใช#กระแส 100 A ผนโหลดและผนสยสงซงกลงสZญเสยในสยสงเทกบ 2 kW ลZกค#จะจยเง(นเพยง 84.6% ของ กลงทโรงงนผล(ตไฟจยให# กรแก#ป`ญหน$ของโรงงนผล(ตไฟคXอลZกค#จะต#องมค PF มกกว 0.9 lagging เพXอลดกลงสZญเสย

11.6 กลงเช:งซอน (Complex Power)

กรใช#ปร(มณเช(งซ#อนชวยคนวณกลงจะทให#เปYนเรXองงยข$น ขนดของกลงเช(งซ#อน คXอกลงงนปรกฎ ม,มเฟสของกลงเช(งซ#อนคXอ )PF(cos 1− และสวนจนวนจร(งของกลงเช(ง ซ#อนคXอกลงงนเฉลย (กลงจร(ง) และจนวนจ(นตภพของกลงเช(งซ#อน ซงเรจะเรยกวรแอคทฟ เพเวอร (reactive Power)

เรน(ยมกลงเช(งซ#อนอ#งอ(งกบแรงดนซยน Veff θ∠= effV ตกครอมข$วท$งสองของอ,ปกรณและมกระแสซยน Ieff φ∠= effI ไหลเข#ข$วของอ,ปกรณจะสมรถหคกลงเฉลยได#

)cos(IVP effeff φ−θ=

เรใช#กฎของ Euler มใช#โดยแทน[ ])(j

effeff eReIVP φ−θ=

หรXอ [ ]φ−θ= j

effj

eff eIeVReP

เฟสเซอรแรงดนคXอ θjeff eV แตเฟสเชอรกระแสไมใช φ− j

eff eI เพระมเครXองหมยลบอยZ ดงน$นจะ ต#องใช# coningate ชวยจะได#

φ−= jeff

*eff eII

ดงน$น[ ]*

effeff IVReP =

และกลงเช(งซ#อน (โดยใช#สญลกษณ S แทน)*

effeff IVS =

ถ#เรเขยนกลงเช(งซ#อนในรZปโพลร หรXอเอกซโพเนนเชยล)(j

effeff eIVS φ−θ= )(IV effeff φ−θ∠=

ขนดของ S คXอ กลงปรกฎและม,มของ S คXอม,มของ PF (ม,มทแรงดนนกระแส) และสมรถ


เขยนกลงเช(งซ#อนในรZปแบบจนวนเช(งซ#อนได#jQPS +=

เมXอ P คXอ กลงเฉลย Q คXอ กลงรแอคทฟ (หนวยของ Q คXอ VAR ยอมจก VoltAmpere Reactive เพXอป_องกนควมสบสนกบหนวยของ S คXอ โวลต-แอมเปร)

)-sin( I V Q effeff φθ=

กลงรแอคทฟอธ(บยได#โดยเขยนเปYนแผนภพเฟสเชอรดงรZป 11.8 ถ#เฟสเซอรกระแส แบงเปYน 2 สวน อนแรกมเฟสตรงกนกบแรงดนซงมขนด )cos(Ieff φ−θ และเฟสเซอรอกคหนงมม,มแตกตงเปYนม,ม 90 กบแรงดนซงมขนด φθ -sin Ieff กลงจร(ง (real power) คXอผลคZณของ เฟสเซอรแรงดนและเฟสเซอรกระแสทมเฟสตรงกนกบแรงดน สวน Q คXอผลคZณของแรงดนกบ กระแส ทมเฟสแตกตงกน 90 โดยปกต(เฟสเซอรทมเฟสแตกตงกน 90 จะเรยกวสวนประกอบต$งฉก (quadrature component) ดงน$น I*V Q effeff= และเรยก Q วกลงต$งฉก(quadrature power)

ร4ป 11.8 เฟสเซอรกระแส effI แตกออกเปYนสองสวน สวนหนงมม,มตรงกบเฟสเซอรแรงดน effV และอกอนเฟสตงกน 90 กบเฟสเซอรแรงดนซงเรเรยกวสวนประกอบต$งฉก

Re al

Imaginary effV

θ − φeffI

effI sin θ − φ( )effI cos θ − φ


เครXองหมยของกลงรแอคทฟ เปYนค,ณลกษณะของโหลดพสซฟ (ท effI และ effV คหนง) ถ#โหลดเปYนตวเหนยวนจะได# )( φ−θ มม,มระหวง 0 ถง 90o ค sine ของม,มจะเปYนบวก ทให#กลงรแอคทฟเปYนบวก สวนโหลดตวเกบประจ,จะได#กลงรแอคทฟเปYนลบ วตตม(เตอรจะวด ได#เฉพะกลงเฉลยจกโหลด สวนวรม(เตอรอนคกลงรแอคทฟจกโหลด

กลงเช(งซ#อน สมรถค(ดกบโหลดได#หลยตวทตอถงกนได# ซงจะเทกบผลรวมของโหลด แตละตว พ(จรณโหลด 2 ตวตอขนนกน ในรZป 11.9

)I V(I )I(IV VI S 2121∗∗∗∗ +=+==

และ ∗∗ += 21 VI VI S

รZป 11.9 วงจรแสดงกลงเช(งซ#อนรวมเทกบผลรวมของกลงเช(งซ#อนของโหลดท$งสอง

ตวอยง 11.5 สมม,ต(ให#โรงงนหนงทงนท 50 KW (67.1 แรงม#) มอเตอรเหนยวนม lagging PF 0.8 แรงดนแหลงจยคXอ 230 Vrms เพXอจะทให#คไฟฟ_ลดลงเจ#ของโรงงนต#องกร ให# PF เทกบ 0.95 lagging จะต#องทอยงไร

ว:ธท PF ทให#เพ(มข$นได# 2 ว(ธคXอกรให#กลงจร(งเพ(มข$น แตรกษกลงรแอคทฟให#คงท ซงเจ#ของโรงงนไมทเพระคไฟไมลดลง อกว(ธหนงคXอกรตอโหลดรแอคทฟไปในระบบแบบ ขนนทให#คไฟลดลงเพระลดกลงรแอคทฟขณะทกลงจร(งเทเด(ม จกรZป 11.9 กหนดให# S1

คXอมอเตอรเหนยวนและ S2 คXอ โหลดรแอคทฟทใสเข#ไป กลงเช(งซ#อนทจยให#กบมอเตอรเหนยวนคXอสวนจนวนจร(งของ 50 kW และมม,มเทกบ (0.8) cos-1 หรXอ 36.9 ดงน$น

( )1

1

50 cos 0.8S 50 j37.5kVA

0.8

−∠= = +

I

2S1S

1I 2I

V


เพXอให# PF = 0.95 กลงเช(งซ#อนรวมจะต#องเทกบkVA43.16j50

95.0)95.0(cos50 1

S +=∠

=−

ดงน$นกลงเช(งซ#อนของโหลดทต#องตอเพ(ม( 2S ) คXอkVA07.21j2 S −=

อ(มพแดนซของโหลด Z2 หได#จก2

2S j21070I j91.6AV 230

∗ −= = = −

หรXอ A6.91j=2I

ดงน$น Ω−===

IV

Z2

22 51.2j

6.91j230

ถ#ทงนทควมถ 50 Hz จะใช#ตวเกบประจ,มคเทกบ 1268 Fµ ตอขนนกบมอเตอรเหนยวน โหลดทนมตออจเปYนเครXองจกรหม,น (synchronous capacitor) ซงเหมะสมสหรบครแอคแตนซ (ตวเกบประจ,) คน#อย คใช#ไฟทลดลงจะต#องครอบคล,มคใช#จยทใช#ในกรลงท,นต(ดต$งอ,ปกรณรวมท$งส(งสคญทต#องพ(จรณคXอคบร,งรกษ

11.7 แบบฝQกหดทยบท

1. ในรZป P11.1 จงหกลงเฉลยทสงไปทโหลด 8 Ω และทสงออกจกแหลงจย 20 0 V∠ o

รZป P11.1วงจรขยยแหลงจย โหลด

1V

8 Ω3 kΩ

500 Ω1.5 kΩ

20 0 V∠ 10.5V


ว:ธท ( ) ( )1 1 1 120= 2000I I 250I 8 // 3000 4002.7I+ + =

1I 4.9967 mA∴ =

( )38V 251*4.9967*10 8 // 3000 =10.007 V−∴ =

( ) 2

av,8

10.0071P =6.258 W2 8Ω∴ = ตอบ

3av,20V

1P *20*4.9967*10 =0.049967 W2

−∴ = ตอบ

2. ในรZป P11.2 จงหกลงเฉลยทอ,ปกรณท$งห#ตวรบเข#ไป ( )av,S av,6 av,10 av,C av,LP 271.2 W,P 88.9 W,P 182.3 W,P P 0 WΩ Ω= − = = = =

รZป P11.2

วงจรขยยแหลงจย โหลด

1V

8 Ω3 kΩ

500 Ω1.5 kΩ

20 0 V∠ 10.5V

1I 8V

100 0 V∠

6 Ω

j20 Ω

10 Ω

j5 − Ω


3. แรงดนรZปคลXนสเหลยมมขนด 100 V ท 0 t 1 ms< < และเปYน 0 ท 1 t 2 ms< < และมรZปแบบตอเนXองในลกษณะน$ กระแสไหลในวงจร RC คXอ 1000t73.11e mA− ท 0 t 1 ms< < และเปYน ( )1000 t 0.00173.11e mA− −− ท 1 t 2 ms< < และมรZปแบบตอเนXองในลกษณะน$ จงหคเฉลยของ ก) แรงดนรZปคลXนสเหลยม ข) กระแส ค) กลงทตวต#นทน ง) กลงทแหลงจย ดZรZป P11.3

รZป P11.3

ว:ธท

av,S1V = *100*1 50 V2

= ตอบavI 0= ตอบ

( ) 3 2 6 2000t 2000tRp t 10 *73.11 *10 e 5.344e ,0 t 1ms− − −= = < <

0.0012000t

av,R av,C30

1P 5.344e dt 2.311 W,P 010

−−∴ = = =∫ ตอบ

( )1000t

S7.311e W,0 t 1ms

p t 0 ,1 t 2ms

− < <= < <

( )( )0.001

1000t 1av,S 3

0

1p 7.311e dt 3.655 1 e 2.311 W2*10

− −−∴ = = − =∫ ตอบ

4. จงหค R และ C ในรZป P11.4 ททให#เก(ดกลงเฉลยสZงส,ดท R พร#อมคนวณคกลงเฉลยสZง ส,ดดงกลว

( )av,maxR 500 ,C 8 F,P 78.125 W= Ω = µ =

Sv1 kΩ

1 Fµ

i


รZป P11.4

5. ในรZป P11.5 จงเขยนสมกรแสดงกลงเฉลยท LR

รZป P11.5ว:ธท

( )

2

Ldc L 2

L L

2500R50P = R =8+R R 8

+

( )

2

Lac L 2

L L

3200R1 80P R2 8 R j20 R 8 400

= =+ + + +

( ) ( )L L

av dc ac 2 2L L

2500R 3200RP =P PR 8 R 8 400

∴ + = ++ + + ตอบ

6. ในวงจรดงรZป P11.6 ก) จงหกลงปรกฎและกลงจร(งทจยจกแหลงจย ข) จงหตวประกอบกลงทแหลงจย และ ค) หคตวเหนยวนททให#ตวประกอบกลงเปYน 0.92 ตมหลง

( )S SAP 2.888 kVA,P 2.74 kW,PF 0.9487 lag,L 14.984= = = = Ω

250 0 V500 rad / s∠

ω =

100 Ω

C

0.4 H

R

100 cos 200t V

10 Ω LR50 V

0.1 H


รZป P11.6

7. อ,ปกรณไฟฟ_สมตว (3 kVA at PF 0.707 leading,7 kVA at PF 0.8 lagging= = และวงจร RL ( )R = 2 Ω, L = 10.61 mH ) ตอขนนกน เมXอตออยZกบแหลงจยสญญณซยนอ,ดมคต( 100 V และ 120 rad/sω = π จงห ก) ตวประกอบกลงทแหลงจย ข) คประส(ทธ(ผลของกระแสทแหลงจย ค) คตวเกบประจ,ทตอขนนกบโหลดและทให#ตวประกอบกลงเปYน 0.95 ตมหลง

ว:ธท 1 * *

1 1 13000 cos 0.707 100I I 30 45 ;I 30 45−∠ − = ∴ = ∠ − = ∠o o

1 * *2 2 27000 cos 0.8 100I I 70 36.87 ; I 70 36.87−∠ + = ∴ = ∠ = ∠ −o o

3 S 1 2 3100Z 2 j4 I 22.36 63.43 , I I I I

2 j4= + ∴ = = ∠ − = + +

+o

SI 30 45 70 36.87 22.36 63.43 96.28 25.06∴ = ∠ + ∠ − + ∠ − = ∠ −o o o o

PF cos 25.06 0.9058 lag= =o ตอบS,effI 96.28 Arms= ตอบ

1SI 96.28 25.06 87.21 j40.79,cos 0.95 18.195−= ∠ − = − = −o o

( ) 40.79 100*120 Ctan 18.195 0.3287 C 322 F87.21

− + π− = − = ∴ = µo ตอบ

8. ในวงจรดงรZป P11.7 ก) จงหกลงเช(งซ#อนทอ,ปกรณท$งห#ตวรบเข#ไป ข) จงหตวประกอบกลงทแหลงจย ( )SS 530.77 j46.15 VA,PF 0.9962 lead= − + =

12 j15

10 j8

S 184.62 j0 VA,S 0 j230.77 VA,

S 346.15 j0 VA,S 0 j276.92 VAΩ Ω

Ω − Ω

= + = + = + = −

120 0 Vrms∠

1 Ω

10 Ω

5 Ω

j1.2 π Ω


รZป P11.7

9. ในวงจรดงรZป P11.8 ทงนท 120 rad/sω = π ก) จงหตวประกอบกลงของโหลดทงด#นขวของจ,ด a-b ข) จงหคตวเกบประจ,เพXอนมตอทงด#นขวของจ,ด a-b และทให#ตวประกอบกลงเปYน 0.95 ตมหลง

รZป P11.8ว:ธท

inj300Z = 20+ 83.58 36.67

10+j3π = ∠π

o

PF=cos36.67 0.8021 lag=o ตอบ3

in1Y = +j120 C=9.597 j7.145+j120*10 mS

83.58 36.67π −

∠ o

1PF=0.95 lag cos 0.95=18.195 , tan 0.3287−∴ θ =o

412*10 C 7.145 0.32879.597

π −∴ = −

412*10 C 7.145 0.3287*9.597 C 10.58 F∴ π − = − ∴ = µ ตอบ

10 0 A∠

12 Ω

j15 Ω

10 Ω

j8 − Ω

230 Vrms

20 Ω

j30 π Ω 100 Ω

a

b


10. กหนดให# C = 0 ในวงจรดงรZป P11.9 และหตวประกอบกลงท ก) วงจรทงด#นขวของ C ข) โหลดท$งหมดทได#รบกลงจกแหลงจย และ ค) หคตวเกบประจ,ททให#ตวประกอบกลงของวงจรทงด#นขวของตวต#นทน 3 Ω เทกบ 0.95 ตมหลง

( )0.6 lag,0.6364 lag,319.8 Fµ

รZป P11.9

220 Vrms120 rad / sω = π

0.3 Ω

C

3 Ω

j4 Ω

1 บทท 12 วงจรหลายเฟส

บทท 1

2

วตถประสงคของบทเรยนหลงจากนกศกษาไดอานบทเรยนนจบ นกศกษาจะมความสามารถดงน

สามารถอธ%บายผลตอบสนองทเป)นฟ*งก+ชนของความถเช%งม.มไดสามารถเขยนแผนภาพเฟสเซอร+ไดสามารถว%เคราะห+วงจร RLC โดยใชเทคน%คแบบตางๆ ในโดเมนความถได

หวขอยอย หนา 12.1 แนะน:า 292 12.2 ระบบหนงเฟสสามสาย 294 12.3 การตอแหลงจายไฟสามเฟสแบบวาย-วาย (Y-Y) 298 12.4 การตอแบบเดลตา ( ∆ ) 304 12.5 แบบฝFกหดทายบท 308

วงจรหลายเฟส (Polyphase circuits)


12.1 แนะน2า

เหต.ผลหนงทเราเรยนผลตอบสนองสภาวะอยGตวสญญาณซายน+ กJคKอมการใชงานอยางแพร หลาย โดยจะกลาวถงระบบแหลงจายหลายเฟสทแพรหลายคKอระบบไฟสามเฟสสมด.ล แรงดนจะ เฟสไมตรงกนโดยจะมม.มเฟสแตกตางกน 120o เครKองหมายของม.มเฟสขนอยGกบท%ศของแรงดน เมKอมโหลดสมด.ลโหลดจะรบพลงงานเทากนทงสามเฟส แตเมKอแหลงจายเฟสใดเฟสหนงลดลง เทากบศGนย+ ความสมพนธ+ของเฟสจะท:าใหเฟสทเหลKอทงสองมขนาดลดลงครงหนง ในขณะท โหลดยงคงไดรบพลงงานชวขณะรวมมคาคงท (ไมเทากบศGนย+) ซงเป)นขอดส:าหรบเครKองจกรกลหม.นเมKอทอร+คบนโรเตอร+จะมคาคงท (แตถาจายไฟเฟสเดยวจะเก%ดการสนขนเมKอไฟตก) นอกจาก นการสงไฟสามเฟสยงมความประหยดกวาอกดวย

เราจะใชสญลกษณ+ก:ากบสองตว เชน แรงดน abV มความหมายวาแรงดนจ.ด a เทยบกบจ.ด b ดงนน เครKองหมายบวกอยGท a แสดงในรGป 12.1 ก) หรKอจากรGป 12.1 ข)

ad ab cdV V V= + หรKอใช ad ac cd ab bc cdV V V V V V= + = + +

ร3ป 12.1 ก) น%ยามของแรงดน abV ข) ad ab cd ac cd ab bc cdV V V V V V V V= + = + = + +

ระบบสามเฟสระบบหนงมแรงดนแสดงในรGป 12.2 สมม.ต%แรงดน anV , bnV และ cnV

an

bn

cn

V 100 120 Vrms

V 100 120 Vrms

V 100 240 Vrms

= ∠

= ∠ −

= ∠ −

o

o

o

ก)

abV

a

b

a

b

c

d


ร3ป 11.2 วงจรขายทมการใชสญลกษณ+ก:ากบ 2 ตวและแรงดน abV หาได

ab an nb an bnV V V V V= + = −

( )100 0 100 120100 50 j86.6

173.2 30

= ∠ − ∠ −= − − −

= ∠

o o

o

แรงดนทงสามทใหสามารถสรางเฟสเซอร+ Vab แสดงไดดงแผนภาพเฟสเซอร+รGป 12.3

ร3ป 12.3 แผนภาพเฟสเซอร+

n a

b

c

100 120 V∠

100 0 V∠

100 120 V∠ −

cnV

bnV

anV

nbV ab an nbV V V= +


สวนกระแสกJน%ยามใหกระแส abI ไหลจากขว a ไปยงขว b ดวยท%ศทางดงรGป 12.4 กระแส Icd กJท:า ใหเราสบสนได บางทเราอาจจะใชหรKอไมใชสญลกษณ+สองตวกบกระแส

ร3ป 12.4 การใชสญลกษณ+ 2 ตวก:ากบบางทอาจจะสรางความสบสนได

12.2 ระบบหน67งเฟสสามสาย

ระบบหนงเฟสสามสาย น%ยามดวยแหลงจายมขวเอาท+พ.ทสามขว เชน a, n และ b ในรGป 12-5 ก) ขนาดของ anV จะเทากบ nbV การรวมกนของแหลงจายแสดงดงรGป 11.5 ข)

an nb 1V V V= = หรKอ ab an nbV 2V 2V= = ระบบนมการใชในบานของพวกเรา

ร3ป 12.5 ก) วงจรเฟสเดยวสามสาย ข) วงจรเฟสเดยวสามสายมแหลงจายแรงดนเหมKอนกน

abI

a

b cdI ?c

d

cdI ?

a

b

n

1V

1V

a

b

n

แหลงจายสามเฟสสามเสน

ข)ก)


ชKอเฟสเดยวไดมาจากแรงดน anV และ nbV มคาเทากนทงขนาดและม.มเฟส ขว n เรยกวา น%วทรล (neutral) มม.มเฟสตางกน 180o นนคKอ an bnV V= − และ an bnV V 0+ = ตอไปเราจะเหJน ระบบหลายเฟสสมด.ล ท:าไดดวยการใหขนาดของแตละเฟสมคาเทากนและผลรวมทางเฟสเซอร+ ของทงสามเฟสจะเทากบศGนย+ จากจ.ดนระบบหนงเฟสสามสายจะกลายเป)นระบบไฟสองเฟสสมด.ล (ถาใหแหลงจายทงสองมม.มเฟสตางกน 90o ) พ%จารณาระบบหนงเฟสสามสายทมโหลด PZ ระหวางขวเอาท+พ.ทและน%วทรล (neutral)รGป 12.6

ร3ป 12.6 ระบบหนงเฟสสามสายอยางงายทมโหลดตออยG

เมKอ an nbV V=

ดงนน p

nbBb

p

anaA Z

VI

ZV

I ===

และ 0 I - I I I I aABbAaBbnN ==+=

ดงนนจะไมมกระแสไหลในสายน%วทรล และสามารถเอาสายน%วทรลออกไดโดยไมมผล กระทบตอระบบ ถดมาพ%จารณาผลกระทบเมKอค%ดอ%มพแดนซ+ของสายสงก:าหนดใหสาย aA และสาย bB มอ%มพ%แดนซ+เทากน อ%มพ%แดนซ+นจะบวกเขาไปกบ PZ ซงระบบยงคงสมด.ลอยG

ตวอยาง 12.1 ว%เคราะห+วงจรรGป 12.7 เพKอหาก:าลงทโหลดแตละตวไดรบและก:าลงสGญเสย ในสายน%วทรลและสายสงแตละสาย

ว;ธท2า ใชการว%เคราะห+แบบเมซ เขยนสมการทงสามสมการและแกสมการหา 321 I,I,I

A

B

N

anV

nbV PZ

PZ

a

b

n


ร3ป 12.7

rmsA 83.1924.11

104100310010j17050

3505410410011510010j1700

350115

I1−∠=

−−−+−

−−−

−+−−

=

rmsA 47.2439.9

104100310010j17050

350541041153100050

311554

I 2−∠=

−−−+−

−−−

−−−

=

rmsA 80.2137.10

104100310010j17050

350541151003

010j170501155054

I3−∠=

−−−+−

−−−−

+−−

=

กระแสทขวเอาท+พ.ท83.1924.11II 1aA −∠== A rms20.15837.10II 3bB ∠=−=

115 0 Vrms∠

115 0 Vrms∠

1 Ω

3 Ω

1 Ω

50 Ω

100 Ω

20 Ω

j10 Ω

1I

2I

3I

A

B

N

a

n

b


และกระแสในสายน%วทรล7.177946.0III 13nN −∠=−= A rms

ก:าลงทโหลดแตละตวรบไปW206)50(IIP 2

2150 =−=

W117)100(IIP 223100 =−=

W1763)20(IP 2210j20 ==+

ก:าลงทโหลดรวม 2086 W ก:าลงในสายสงW126)1(IP 2

1aA ==

W108)1(IP 23bB ==

W3)3(IP 2nNnN ==

หรKอก:าลงสGญเสยในสายสงรวม 237 W ดงนนพลงงานทจายจากแหลงจายทงหมดเทากบ 206+117+ 1763+237 = 2323 W หรKอ

1216W(19.83) cos 115(11.24) Pan ==

1107W21.80) cos( 115(10.37) Pbn ==

รวมกนแลวเทากบ 2323W ค:านวณหาประส%ทธ%ภาพของระบบการสงก:าลงนคKอ%8.89

23720862086.Eff =

+=

แผนภาพเฟสเซอร+แสดงในรGป 12.8 ซงจะเหJนวา 0 III nNbBaA =++

ร3ป 12.8

bBI

aAI

bnV anV

aA bBI I+

nNI


12.3 การตอแหลงจายไฟสามเฟสแบบวาย-วาย (Y-Y)

แหลงจายสามเฟสมสามขวหรKอขวสาย (line terminal) และอาจมอกสายเพ%มขนมาไดคKอ น%วทรล การตอแบบวาย-วาย แสดงในรGป 12.9 ขว a, b, c และ n เมKอพ%จารณาแหลงจายสามเฟส สมด.ล

V V V cnbnan ==

และ 0 V V V cnbnan =++

แรงดนทงสามไดจากการเปรยบเทยบแรงดนสายกบน%วทรลเรยกวาแรงดนเฟส (phase voltage) ถา เราให anV เป)นแรงดนอางอ%งหรKอ

0 Vp Van ∠=

ก:าหนดให pV แสดงขนาดในคา rms ของแรงดนเฟสใดๆ ดงนนจะไดแรงดนอกสองแหลงจายคKอbn p

cn p

V V 120

V V 240

= ∠ −

= ∠ −

o

o

หรKอ bn p

cn p

V V 120

V V 240

= ∠

= ∠

o

o

ร3ป 12.9 การตอแหลงจายสามเฟสสสาย

n

a b

c

bnVanV

A

B

N

C

cnV


การตอแหลงจายสามเฟสม 2 รGปแบบดงน แหลงจายสามเฟสแบบบวก (positive phase sequence) หรKอ (abc) แสดงในรGป 12.10 ก) และแบบลบ (negative phase sequence) หรKอ (cba) แสดงเป)นแผนภาพเฟสเซอร+ รGป 12.10 ข)

ร3ป 12.10 ก) แหลงจายสามเฟสแบบบวกหรKอ abc ข) แหลงจายสามเฟสแบบลบหรKอ cba

โดยปกต%เราจะใชแหลงจายตอแบบบวก (positive phase sequence) เป)นสวนมาก แรงดนท เปรยบเทยบระหวาง 2 สายเรยกวาแรงดนสายถงสาย (line-to-line voltage) หรKอเรยกอยางยอวา แรงดนสาย และเขยนในเทอมแรงดนเฟสไดดงน

abV 3 Vp 30= ∠ o

bcV 3 Vp 90= ∠ − o

caV 3 Vp 210= ∠ − o

และเขยนแผนภาพเฟสเซอร+ไดดงรGปท 12.11 เมKอใชกฎ KVL ไดผลรวมของแรงดนสามเฟสเทากบ ศGนย+

cn pV V 240 V= ∠ −

( ) sequence+

bn pV V 120 V= ∠ −

an pV V 0 V= ∠

cn pV V 240 V= ∠

( ) sequence−

bn pV V 120 V= ∠

an pV V 0 V= ∠

ก) ข)


ร3ป 12.11 แผนภาพเฟสเซอร+แสดงแรงดนสายจากแรงดนเฟสทให

ขนาด rms ของแรงดนสายใดๆ จะใชสญลกษณ+ยอ LV แทน ดงนนค.ณสมบต%หนงของการ ตอแบบวายคKอ

pL V 3 V =

เมKอใชการตอแหลงจายสามเฟสแบบบวก จะไดแรงดน anV น:าแรงดน bnV และแรงดน bnV น:าแรงดน cnV และมม.มหางกน 120 และแรงดน abV น:าแรงดน bcV และแรงดน bcV น:า

แรงดน caV โดยมม.มหางกน 120 การตอแบบวายวายระหวางแหลงจายกบโหลด (ดGดงรGป 12.12)การหากระแสสายสามารถหาไดอยางงาย

p

anaA Z

VI =

caV

bnV

anV

cnVabV

bcV


120IZ

120VZV

I aAp

an

p

bnbB −∠=

−∠==

240II aAcC −∠=

และ 0IIII cCbBaANn =++=

ร3ป 12.12 ระบบสมด.ลสามเฟสตอแบบวาย-วาย รวมทงสายน%วทรล

ดงนนสายน%วทรลจะไมมกระแสไหล ถาแหลงจายและโหลดมความสมด.ล และถาสายทง สมอ%มพ%แดนซ+เทากบศGนย+หรKอมคาเทากนจะท:าให สายน%วทรลมคาเทากบศGนย+

ตวอยาง 12.2 จากวงจรรGป 12.13 จงหาคากระแส แรงดนและก:าลงรวมว;ธท2า เมKอรGแรงดนเฟสและรGวาเป)นการตอแหลงจายสามเฟสแบบบวกจะไดแรงดนทงสาม

เฟสคKอ0200 Van ∠=

012200 Vbn −∠=024200 Vcn −∠=

ขนาดของแรงดนสายคKอ 3 200 หรKอ 346 V ม.มเฟสของแรงดนสายสามารถหาไดโดยสรางแผน ภาพเฟสเซอร+ดงรGป 12.11 และ abV มคาเทากบ 30 346 ∠ V

ส:าหรบเฟส A มกระแสสาย คKอArms 60-2

601000200

ZV

Ip

anaA

∠=

∠∠==

n

a b

c

A B

N

C

pZpZ

pZ


และเฟส A รบก:าลงคKอ200W)600200(2)cos( PAN =+=

ดงนน ก:าลงรวมทงสามเฟสคKอ 600 W

ร3ป 12.13 ระบบสมด.ลสามเฟสสามสายตอแบบ Y-Y

ร3ป 12.14 แผนภาพเฟสเซอร+แสดงวงจรรGป 12.13

n

a b

c

A B

N

C

pZpZ

pZ

200 0 Vrms∠ 100 60 ∠ Ω

( ) sequence+

caV

bnV

anV

cnVabV

bcV

cCI

bBI

aAI


ตวอยาง 12.3 สมม.ต%ใหระบบสมด.ลสามเฟสมแรงดนสายเทากบ 300 Vrms และเรารGวาตอ กบโหลดแบบวาย 1200 W ทตวประกอบก:าลง (PF) เทากบ 0.8 น:าหนา จงหากระแสสายและ อ%มพ%แดนซ+ของโหลดแตละเฟส

ว;ธท2า แรงดนเฟสคKอ 300 3 Vrms และก:าลงของแตละเฟสคKอ 400 W ดงนนกระแส สายหาไดจากความสมพนธ+ของสมการก:าลงเฉลย

)8.0)(I(3

300 400 L=

และกระแสสายเทากบ 2.89 Arms อ%มพ%แดนซ+แตละเฟสหาไดΩ=== 60

3*89.2300

IV

ZL

pp

เมKอตวประกอบก:าลงเทากบ 0.8 น:าหนา อ%มพ%แดนซ+มม.มเฟส 36.9 - จะได Ω∠= 36.9-60 Zp

ตวอยาง 12.4 สมม.ต%โหลดสมด.ล 600 W ตอขนานกนกบตวอยาง 12.3 จงหากระแสสายว;ธท2า เขยนวงจรในเฟสเดยวไดดงรGป 12.15

ร3ป 12.15 วงจรหนงเฟสทใชว%เคราะห+ไฟสามเฟสสมด.ล

ขนาดของกระแสหาได)0cos(I

3300 200 1

=

และ 1.155 I1 =

ในท:านองเดยวกนขนาดของกระแสโหลดตวเกJบประจ.หาได

2300400 I *0.8

3=

300 Vrms3

200 W

LI

1I

2I

400 W0.8 PFleading


2.89 I2 =

ถาสมม.ต%ใหแรงดนเฟสมม.ม o0 ดงนน 36.9 2.89 I 01.155 I 21 ∠=∠=

และกระแสสายคKอArms 26.63.87 II I 21L

∠=+=

ก:าลงของเฟสนคKอW600)6.26cos(87.3

3300Pp ==

ถามการตอโหลดแบบไมสมด.ลในระบบไฟฟoาสามเฟสสมด.ล การว%เคราะห+จะท:าตอเฟสถาสายน%วทรลตออยGดวยหรKออ%มพแดนซ+ทสายน%วทรลเทากบศGนย+ แตถาไมเป)นตามนนจ:าเป)นตองใชว%ธการว%เคราะห+แบบเมซหรKอปม อยางไรกJตามสวนมากแลวว%ศวกรจะเจอกบระบบไมสมด.ลมาก กวา และจะใชว%ธการสวนประกอบสมมาตร (symmetrical components) ชวยว%เคราะห+แทนเพราะประหยดเวลามากกวา (ไมอยGในขอบเขตของต:าราเลมน)

12.4 การตอแบบเดลตา ( ∆ )

โหลดสามเฟสสวนมากน%ยมตอแบบเดลตามากกวาตอแบบสตาร+ เหต.ผลหนงคKอในกรณท โหลดไมสมด.ลเป)นการงายทจะเต%มเขาไปหรKอเอาออกเสยหนงเฟส ซงจะเป)นการยาก (หรKอเป)นไป ไมได) ทจะท:ากบการตอโหลดแบบสตาร+

พ%จารณาการตอโหลดสมด.ลแบบเดลตาทประกอบดวยอ%มพ%แดนซ+ pZ ตออยGระหวางคGของ สาย เราจะสมม.ต%ระบบสามสายจากทกลาวมาขางตน ดงรGป 12.16 แรงดนสายคKอ

cabcabL VVVV ===

และแรงดนเฟสคKอcnbnanp VVVV ===

เมKอ V3V pL =

และ 30V3V pab ∠=

และเมKอแรงดนครอมแตละคGของการตอแบบเดลตาจะหาคากระแสเฟสได

p

caCA

p

bcBC

p

abAB Z

VI

ZV

I ZV

I ===


และผลตางของกระแสเฟสคKอกระแสสายจะไดaA AB CAI I I= −

ร3ป 12.16 โหลดตอแบบเดลตา แหลงจายตอแบบวาย

ร3ป 12.17 แผนภาพเฟสเซอร+แสดงวงจรรGป 12.16

n

a b

c

200 0 Vrms∠

pZ

C

pZ

pZA B

CAV

bnV

anV

cnVABV

BCV

cCI

bBI aAIBCI

ABI

CAI


กระแสทงสามเฟสมขนาดเทากนCABCABp IIII ===

กระแสสายมขนาดเทากนดวย เพราะวากระแสเฟสมขนาดเทากน และมม.มเฟสแตกตางกน 120 สามารถเขยนแผนภาพเฟสเซอร+ไดดงรGป 12.17

cCbBaAL IIII ===

และ pL I3I =

พ%จารณาโหลดสมด.ลถาโหลดตอแบบเดลตาจะท:าใหแรงดนเฟสและแรงดนสายเทากน แต กระแสสายมากกวากระแสเฟสอยG 3 เทา และถาโหลดตอแบบสตาร+กระแสสายและกระแสเฟส มคาเทากน ขณะทแรงดนสายมคามากกวาแรงดนเฟสอยG 3 เทา

ตวอยาง 12.5 จงหาคากระแสสายในระบบสามเฟส ทมแหลงจาย 300 Vrms จายก:าลง 1200 W โดยตอกบโหลดตอแบบเดลตาและมตวประกอบก:าลงเทากบ 0.8 ตามหลง

ว;ธท2า พ%จารณาทเฟสเดยวจะไดก:าลงเทากบ 400W ตวประกอบก:าลงเทากบ 0.8 ตามหลง ทแรงดนสาย 300 Vrms ดงนน

(0.8) )(I 300 400 p=

และ Arms 1.667 IP =

ความสมพนธ+ระหวางกระแสเฟสและกระแสสายคKอArms 2.89 (1.667) 3 IL ==

นอกจากนม.มเฟสของโหลดคKอ cos-1 (0.8) = 36.9 และอ%มพ%แดนซ+ของแตละเฟสคKอΩ∠=∠= 9.361809.36

667.1300Zp

ตวอยาง 12.6 โหลดในตวอยาง 12.5 โดยตอแบบสตาร+ (แทนการตอแบบเดลตา) จงหา อ%มพ%แดนซ+ของแตละเฟส

ว;ธท2า พ%จารณาทหนงเฟส แรงดนเฟสเทากบ 300 3 Vrms มก:าลง 400 W และมตว ประกอบก:าลงเทากบ 0.8 ตามหลง ดงนน

)8.0)(I(3

300 400 p=

และ 2.89 IP =

หรKอ 2.89 IL = Arms


ม.มเฟสของโหลดคKอ 36.9 และอ%มพ%แดนซ+แตละเฟสของการตอแบบวายคKอ1

P300Z cos 0.8 60 36.9

2.89* 3−= ∠ = ∠ Ωo

ตวคGณ 3 ไมใชจะเกยวของกบคาของเฟสและคาของสายเทานน แตยงปรากฏและใชกบก:าลงรวม อกดวยส:าหรบโหลดสมด.ลสามเฟส ถาเราสมม.ต%ตอโหลดแบบวายทมม.มตวประกอบก:าลง,

)( φ−θ ) ดงนนก:าลงแตละเฟสคKอ)cos(IVP ppP φ−θ= (12-1)

การตอโหลดแบบวายจะได pL II = และ 3

VV L

p = สามารถหาก:าลงของแตละเฟสเมKอตอโหลด แบบวายโดยเขยนสมการ (12-1) ใหมได

)cos(I3

V)cos(IV)cos(IVP L

LLpppP φ−θ=φ−θ=φ−θ=

และหาก:าลงรวมของสามเฟสคKอ)cos(IV3P3P LLp φ−θ==

ในท:านองเดยวกนการตอโหลดแบบเดลตาจะได Lp VV = และ 3

II L

p = สามารถหาก:าลงของแต ละเฟสเมKอตอโหลดแบบเดลตาโดยเขยนสมการ (12-1) ใหมได

)cos(3

IV)cos(IV)cos(IVP L

LLpppP φ−θ=φ−θ=φ−θ=

และหาก:าลงรวมของสามเฟสไดPP3P =

)cos( I V 3 P LL φ−θ= (12-2)ดงนนสมการ (12-2) สามารถใชค:านวณก:าลงรวมของการตอโหลดสมด.ลสามเฟส เมKอเรารGคาขนาด ของแรงดนสาย คากระแสสายและม.มเฟสของโหลดอ%มพ%แดนซ+ (หรKอแอดม%ตแตนซ+) โดยไมสนใจ วาจะตอโหลดแบบสตาร+หรKอเดลตา กระแสสายในตวอยาง 12.5 และ 12.6 สามารถหาไดดวย 2 ขนตอนงายๆ

)8.0)(I)(300(3 1200 L=

และได Arms89.2

35IL ==

แหลงจายกJสามารถตอแบบเดลตาได แตไมน%ยมเพราะวาเมKอแรงดนเฟสเก%ดไมสมด.ลเพยงเลJกนอย สามารถท:าใหเก%ดกระแสไหลวนในวงเดลตาได ตวอยางระบบแหลงจายสามเฟส (ทมแหลงจายเฟส


เดยวสามแหลงจาย) และม ab bcV ,V และ cdV กอนทจะตอปrดวงเดลตาระหวาง d และ a สมม.ต%วาเก%ดความไมสมด.ลเมKอผลรวมของ ab bc caV V V+ + ไมเทากบศGนย+ สมม.ต%วาขนาดของผลรวมเทากบ 1% ของแรงดนสาย กระแสทไหลวนจะประมาณ 1/3 % ของแรงดนสายหารดวยอ%มพแดนซ+ภายในแตละแหลงจาย อ%มพแดนซ+นมคาเทาไร (ขนอยGกบกระแสทแหลงจายคาดหวงจะจายออกมาเมKอแรงดนทขวตกลง) ถาเราสมม.ต%ใหคากระแสสGงส.ดท:าใหแรงดนทขวตกลง 1% ดงนนกระแสทไหลวนจะเป)นหนงในสามของคากระแสสGงส.ด ความสามารถในการจายกระแสของแหลงจายจะลดลง รวมทงเก%ดความสGญเสยในระบบขน

เราสามารถแปลงจากการตอแบบวาย ไปเป)นการตอแบบเดลตาหรKอในท:านองกลบกน โดยไมมผลกระทบตอกระแสหรKอแรงดนทไหล โดยใชความสมพนธ+ทจ:าเป)นระหวางแรงดนสายและแรงดนเฟส แสดงดงรGป 12.12 ส:าหรบกรณท anV คKอแรงดนเฟสอางอ%งทมม.ม 0o อยางไรกJตามเราไมสามารถระบ.คากระแสหรKอแรงดนแนนอนใดๆ ได

12.5 แบบฝGกหดทายบท

1. ก) ถา ANZ 20 j10 = + Ω จงหาก:าลงทแตละแหลงจายสงออกมา ข) เมKอ ANZ 10 j20 = + Ω

จงหาก:าลงทแหลงจายดานบนสงออกมาในรGป P12.1

รGป P12.1

230 0 Vrms∠

230 0 Vrms∠

1 Ω

3 Ω

1 Ω

20 Ω

50 Ω

j20 − Ω

A

B

a

n

b

ANZ

j10 Ω


ว;ธท2า AN nNZ 20 j10 I 0= + ∴ =

( ) ( )40+j20 50 j20 258 j20load on 460 0 V is 2+90 9

− +∠ =o

( )aA460I

258 j20 / 9∴ =

+2 2

230 2 2

460 *9 258 1P * * =3668.7 W258 *20 9 2

∴ = ตอบ

ANZ 10 j20 use mesh currents= +

( )1

1 3 10 j20230 1 24 j10 20 j10

0 20 j10 80 j10 230 176 j117I 13.805 23.805

14 j20 3 10 j20 1896 j29673 24 j10 20 j10

10 j20 20 j10 80 j10

− − −+ − −

− − + +∴ = = = ∠ −

+ − − − +− + − −

− − − − +

o

upperP 230*13.805cos 23.805 =2905 W∴ = o ตอบ

1I

2I

3I

230 0 Vrms∠

230 0 Vrms∠

1 Ω

3 Ω

1 Ω

20 Ω

50 Ω

j20 − Ω

A

B

a

n

b

ANZ

j10 Ω

N


2. วงจรสามเฟสสมด.ลดงรGป P12.2 เมKอท:างานท BCV 100 20 Vrms= ∠ o และมม.มเฟสอน.กรมแบบบวก ถาโหลดรวมใชก:าลง 3 kW ทตวประกอบก:าลง 0.8 ตามหลง และ WR 0.6 = Ω จงหา ก) ก:าลงสGญเสยในสายสงรวม ข) abV

( )wire abP 843.75 W,V 118.77 133.47 Vrms= = ∠ o

รGป P12.2

3. จากวงจรสามเฟสสมด.ลดงรGป P12.2 ท:างานท anV 4600 0 Vrms= ∠ o และมม.มเฟสอน.กรมแบบบวก ถาแหลงจายสงก:าลง S 240 j60 kVA= + และ WR 3.2 = Ω จงหา ก) ANV ข) aAI

ค) pZ ง) คาประส%ทธ%ภาพของสายสง

ว;ธท2า เมKอสมด.ล เราสามารถตอสายน%วทรลได

*aA aA

1 S=80000+j20000=4600I I =17.927 -14.036 Arms3

∴ ∠ o

ANV 4600 3.2*17.927 14.036 4544 0.175 Vrms= − ∠ − = ∠o o ตอบ

n

a

b

c

A

B

N

C

pZ

pZ

pZ

WR

WR

WR

anV

cnV

bnV


aAI 17.927 14.036 Arms= ∠ − o ตอบAN

paA

V 4544 0.175Z 245.7 j62.23 I 17.927 14.036

∠= = = + Ω∠ −

o

o ตอบ245.7eff *100 98.71 %

245.7 3.2= =

+ ตอบ

4. จากวงจรสามเฟสสมด.ลดงรGป P12.2 ท:างานทตวประกอบก:าลง 0.94 ตามหลง โดยมม.มเฟสอน.กรมแบบบวก และ aAI 20 46 Arms= ∠ − o ถา pZ 20 j8 = + Ω จงหา ก) wR ข) ก:าลงเช%ง ซอนทแหลงจายสงออกมา ค) ABV ง) abV

( )WR 2.042 ,S 26.45 j9.6 kVA= Ω = +

( )AB abV 746.2 5.80 Vrms,V 812.3 3.95 Vrms= ∠ = ∠o o

5. วงจรสามเฟสสสายไมสมด.ลดงรGป P12.3 ท:างานดวย anV 100 0 Vrms= ∠ o โดยมม.มเฟสอน.กรมแบบบวก และโหลด AN BN CNZ 10 j5 , Z 8 j5 , Z 12 j0 = − Ω = + Ω = + Ω จงหา nNI

รGป P12.3ว;ธท2า

nN100 100 120 100 120I = 5.767 46.98 Arms

12 j5 10 j5 14 ∠ − ∠− + + = ∠ − − +

o oo ตอบ

n

a

b

c

A

B

N

C

CNZBNZ

ANZanV

bnV cnV

2 Ω

2 Ω

2 Ω


6. โหลดตอแบบวายมอ%มพแดนซ+ 25 j12 + Ω ในแตละเฟส ถาตองการเพ%มตวประกอบก:าลงทโหลดใหเป)น 0.95 ตามหลง ก) ควรจะใชตวเกJบประจ.คาเทาไรในการตอขนานในแตละเฟส ถาท:างานท 120 rad/sω = π ข) ถาแรงดนสายทโหลดเทากบ 500 Vrms ก:าลงเช%งซอนทตวเกJบประจ.จะเป)นเทาไรเมKอตวประกอบก:าลงทโหลดเป)น 0.95 ตามหลง ( )CC 13.044 F,Q 1.2297 kVAR= µ =

7. จากวงจรสามเฟสสมด.ลดงรGป P12.4 ม wR 0 = Ω และ anV 288.7 30 Vrms= ∠ − o โหลดแตละเฟสรบก:าลง 2.4 kW ทตวประกอบก:าลง 0.8 น:าหนา และมม.มเฟสอน.กรมแบบบวก จงหา ก) abV ข) pZ ค) cCI ง) ก:าลงทโหลดรวม

รGป P12.4ว;ธท2า

abV 288.7 3 0 500 0 Vrms= ∠ = ∠o o ตอบ*

p AB AB2400S 36.87 500 0 I I 6 36.87 Arms0.8

= ∠ − = ∠ ∴ = ∠o o o

abp

AB

V 500 0Z 83.33 36.87 66.67 j50 I 6 36.87

∠= = = ∠ − = − Ω∠

oo

o ตอบ

( ) ( )cC CA BCI I I 6 36.87 120 6 36.87 120 10.392 126.87 Arms= − = ∠ + − ∠ − = ∠o o o o o

10.392 126.87 Arms= ∠ o ตอบtotP 3*2400 7.2 kW= = ตอบ

n

a

b

c

pZ

C

pZ

pZA

B

bnV

cnV

anV

WR

WR

WR


8. จากวงจรสามเฟสสมด.ลดงรGป P12.4 ม wR 0.8 = Ω และ CAV 100 20 Vrms= ∠ o โหลดทงหมดรบก:าลง 6 kW ทตวประกอบก:าลง 0.83 ตามหลง และมม.มเฟสอน.กรมแบบบวก จงหา ก)

abV ข) ก:าลงเช%งซอนรวมทจายออกมาจากแหลงจาย ( )ab sourceV 151.47 112.29 Vrms,S 10181 j4032 VA= ∠ − = +o

9. จากวงจรสามเฟสสมด.ลดงรGป P12.4 โหลดทงหมดรบก:าลงเช%งซอน S 2400 j2100 VA= + ม wR 4 = Ω และมก:าลงสGญเสยในสายสง 300 W จงหาคา rms ของ ก) aAI ข) ABI ค) anV

ว;ธท2า loadS =2400 + j2100 VA

WS =300+j0 VA

2L L

300 =4 I I =5 Arms4

∴

L aAI = I =5 Arms ตอบ

Lp AB

I 5I I 2.887 Arms3 3

= = = = ตอบ

( )AB AB2400 2100assume I 2.887 0 and + seq. j V *2.887

3 3= ∠ ∴ + =o

AB CA AB aA AB CAV 368.2 41.19 , I I 120 2.887 120 ; I I I∴ = ∠ = ∠ = ∠ = −o o o

( )aA ab aA bB ABI 2.887 0 2.887 60 5 30 A;V 4 I I V∴ = ∠ + ∠ − = ∠ − = − +o o o

( )abV 4 5 30 5 150 368.2 41.19 395 37.88∴ = ∠ − − ∠ − + ∠ = ∠o o o o

an395V 228 Vrms

3∴ = = ตอบ


10. จากวงจรสามเฟสสมด.ลดงรGป P12.5 ท:างานท 120 rad/sω = π และมม.มเฟสอน.กรมแบบบวก จงหา aAI , bBI , cCI และก:าลงทแหลงจายในแตละเฟส

( )aA bBI 19.829 117.5 Arms, I 5.176 20 Arms= ∠ = ∠o o

( )cC an bn cnI 19.829 77.5 Arms,P 1495.8 W,P 422.7 W,P 1495.8 W= ∠ − = = =o

รGป P12.5

n

ab

c

10 2 Ω

C

AB

81.65 20 Vrms∠

10 j10 + Ω

10 j10 − Ω

Documents

Circuit Book 2_2551