COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE Mecânica “QUALIDADE …ead.colegiopolivalente.com.br/AreaFechada/pdf/mecanica.pdf · CINEMÁTICA VETORIAL ... Tais praticas são momentos de aplicação

Mecânica

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APRESENTAÇÃO

Acreditamos que, como nós, você lute “por um Brasil melhor” na perspectiva do desenvolvimento da

Educação Profissional

Você encontrará um material inovador que orientará o seu trabalho na realização das atividades

propostas. Além disso, percebera por meio de recursos diversos como é fascinante o mundo da “Educação

Profissional”. Gradativamente, dominará competências e habilidades para que seja um profissional de

sucesso.

Participe de direito e de fato deste Curso de Educação a Distância, que prioriza as habilidades

necessárias para execução de seu plano de estudo:

• Você precisa ler todo o material de Ensino;

• Você deve realizar toda as atividades propostas;

• Você precisa organizar-se para estudar

Abra, leia, aproveite e acredite que “as chaves estão sendo entregues, logo as portas se abriram”.

Esta disposto a aceitar o convite?

Contamos com a sua participação para tornar este objetivo em realidade.

Os autores

COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE

“QUALIDADE NA ARTE DE ENSINAR” COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE

“QUALIDADE NA ARTE DE ENSINAR”






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MECÂNICA

SUMÁRIO

SUMÁRIO ..................................................................................................................... 2 INTRODUÇÃO...............................................................................................................3 UNIDADE I ................................................................................................................... 4 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA.......................................................................................... 4

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO......................................................................................... 7 GABARITO.............................................................................................................. 8 UNIDADE I: CINEMÁTICA ......................................................................................... 8

UNIDADE II .................................................................................................................. 9 MOVIMENTO UNIFORME (M.U.) ....................................................................................... 9 FUNÇÃO HORÁRIA DO M.U ............................................................................................. 9

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO....................................................................................... 11 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 11 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO....................................................................................... 13 GABARITO............................................................................................................ 15 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 15

UNIDADE III ............................................................................................................... 16 MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.) .......................................................... 16

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 18 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 19 EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM .............................................................................. 20 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 22

LANÇAMENTO VERTICAL .............................................................................................. 25 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 27 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO....................................................................................... 27 GABARITO:........................................................................................................... 28

UNIDADE IV................................................................................................................ 30 CINEMÁTICA VETORIAL................................................................................................ 30

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM .............................................................................. 32 EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM .............................................................................. 32 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO ........................................................................................ 33 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 35 EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM .............................................................................. 35 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 36 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO ........................................................................................ 36

MOVIMENTO CIRCULAR................................................................................................ 37 EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM .............................................................................. 38

MOVIMENTO CIRCULAR................................................................................................ 38 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ............................................................................ 39 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO....................................................................................... 40 GABARITO:........................................................................................................... 41

GLOSSÁRIO................................................................................................................ 43



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Mecânica

INTRODUÇÃO

Você esta iniciando o estudo do Módulo VII – MECÂNICA, onde você terá contato com teorias

importantes que vão proporcionar um desempenho eficiente durante o seu Curso.

O módulo esta dividido em quatro Unidades: UNIDADE I: Introdução à cinemática. UNIDADE II:

Movimento Uniforme (M.U.), Função Horária do M.U. UNIDADE III: Movimento Uniformemente Variado (MUV) e

Lançamento Vertical. UNIDADE IV: Cinemática Vetorial, Movimento Circular.

Nossa linha de trabalho abre um caminho atraente e seguro pela seqüência das atividades – leitura,

interpretação, reflexão, e pela variedade de propostas que mostram maneiras de pensar e agir, e que recriam

situações de aprendizagem.

As aprendizagens teóricas são acompanhadas de sua contrapartida prática, pois se aprende melhor

fazendo. Tais praticas são momentos de aplicação privilegiados, oportunidades por excelência, de demonstrar o

saber adquirido.

Nessa perspectiva, dois objetivos principais serão perseguidos neste material. De um lado, torná-lo

habilitado a aproveitar os frutos da aprendizagem, desses saberes que lhe são oferecidos de muitas maneiras,

em seu estudo, ou até pela mídia – jornais, revistas, rádio, televisão e outros - pois sabendo como foram

construídos poderá melhor julgar o seu valor. Por outro lado, capacitando-se para construir novos saberes. Daí

a necessidade do seu estágio para aliar a teoria à prática.

A soma de esforços para que estes módulos respondessem as suas necessidades, só foi possível mediante a

ação conjunta da Equipe Polivalente.

Nossa intenção é conduzir um dialogo para o ensino aprendizagem com vistas a conscientização,

participação para ação do aluno sobre a realidade em que vive.

A Coordenação e Tutores/Professores irá acompanhá-lo em todo o seu percurso de estudo, onde as

suas dúvidas serão sanadas, bastando ára isso acessar o nosso site:

www.colegiopolivalente.com.br

Equipe Polivalente

COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE “Qualidade na Arte de Ensinar”



Mecânica


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MECÂNICA

CINEMÁTICA DOS MOVIMENTOS

O que é a Física? A palavra física tem origem grega e significa natureza. Assim física é a ciência que estuda a natureza, daí o nome de ciência natural.

UNIDADE I

INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA

Antes de definirmos cinemática, vamos definir mecânica: A mecânica tem por finalidade o estudo dos movimentos e das condições de equilíbrio dos corpos. A Mecânica interessa-se pelos movimentos de sólidos, líquidos e gases. Nesta etapa do curso daremos atenção especial à Cinemática.

A Cinemática é a parte da Mecânica que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com suas causas.

DEFINIÇÃO: Um corpo está em movimento quando a sua posição varia com o tempo. De um modo geral, dá-se o nome de móvel a qualquer corpo em movimento. PARTÍCULA: É qualquer corpo cujas dimensões geométricas sejam desprezíveis em face da sua trajetória. Isto é, da linha que ela descreve no espaço. Em seu movimento em torno do Sol, a Terra é uma partícula. Em problemas de física a partícula muitas vezes é chamada de ponto material. REFERENCIAL: Para definir a posição de uma partícula, precisamos de um sistema de referencia, ou, como também se diz de maneira mais cômoda, de um referencial. O referencial pode ser a Terra, o Sol, um corpo, um sistema de eixo, etc. Se a posição da partícula permanecer invariável em relação ao referencial usado, dizendo que ela está em repouso. Se variar com o tempo, dizemos que ela está em movimento. É claro que o repouso e o movimento citados são relativos ao referencial usado. Por exemplo – Quando você viaja de ônibus, a sua posição em relação à estrada varia com o tempo. Então você está em movimento em relação à estrada. Mas sua posição em relação ao

motorista não se modifica. Então você está em repouso em relação ao motorista. ESPAÇO E DESLOCAMENTO: Um corpo é dito em movimento em relação a um certo referencial quando sua posição varia para este referencial. Variando o local onde e encontra, o corpo descreve uma curva no espaço� que é denominada trajetória�. Orientando-se a trajetória e escolhendo-se um ponto que sirva como origem para marcarmos (medirmos) distâncias, podemos definir a posição do corpo na trajetória pela distância à origem, acompanhada por um sinal que se relaciona com o sentido

escolhido. Acompanhe o exemplo: SA = +10m SB = -14m Este número (+10m ou –14m) é chamado ESPAÇO - note que o sinal DO ESPAÇO NÃO DEPENTE DO SENTIDO DO MOVIMENTO DO CORPO. Ele está relacionado com o sentido da trajetória e evidentemente, com a posição que o corpo ocupa na trajetória. Quando o móvel (corpo em movimento) muda de posição ele sofre um deslocamento escalar, definido como a diferença entre os espaços final e inicial no intervalo de tempo considerado para a variação da posição. No exemplo dado, se o móvel fosse do ponto A ao ponto B ele sofreria um deslocamento escalar dado por:

mssSSs AB 24)10(14 −=∆⇒+−−=∆⇒−=∆ Se ele fosse de B para A seu deslocamento

escalar seria de +24m. Repare que s∆ tem um sinal que relaciona com o sentido do movimento do corpo, se considerarmos apenas os pontos inicial e final. Responda – Se a distância entre dois corpos não variar, logicamente eles estão em repouso um em relação ao outro? A resposta é não! Você não pode afirmar que um está em repouso em relação ao outro, pois se um estiver girando em torno do outro em uma

� espaço - Extensão indefinida, capacidade de terreno,

sítio ou lugar, intervalo, duração, demora.

� trajetória – Linha descrita ou percorrida por um corpo

em movimento trajeto; meio; via; percurso

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trajetória circular, a distancia entre eles não irá alterar porém , suas posições relativas irão se alterar.

Obs: Existe uma diferença entre deslocamento e deslocamento escalar. O deslocamento é a distância entre a posição final e aposição inicial, mas em linha reta. Chamamos isto também de deslocamento vetorial. Já no deslocamento escalar, esta distancia é medida sobre a trajetória. Vejamos um exemplo:

A seguir você tem um esquema do movimento de um móvel (figura 1). Ele sai de A indo até B e de B ele prossegue até C. DETERMINE:

a) o deslocamento escalar b) o deslocamento c) o deslocamento vetorial

SOLUÇÃO:

a) mms

sss BCAB

34 +=∆∆+∆=∆

b) 916∆s

(BC)(AB)s

AC

22AC

+=

+=∆

Teorema de Pitágoras c)

Aproveitando ainda o exemplo anterior, suponha que o móvel prossegue o movimento e vai até D e retorne depois a C (figura 2). Neste caso teremos

a) O deslocamento escalar será ms 7=∆ b) O deslocamento ou deslocamento vetorial

será: ms 5=∆ c) Agora chamaremos a soma total (4 + 3 +

4 + 4 = 15m) de distancia efetivamente percorrida ou espaço percorrido

Obs: Tanto o deslocamento escalar como o deslocamento, podem ser negativos já a distancia efetivamente percorrida será sempre positiva.

VELOCIDADE

É a grandeza vetorial que indica como varia a posição de um corpo com o tempo. Em outras palavras, está relacionada com quão rápido um corpo se movimenta. VELOCIDADE MÉDIA: Existem 2 tipos de velocidade média, a velocidade escalar média e a velocidade vetorial média ou simplesmente velocidade média: a) ESCALAR: É a razão entre o deslocamento escalar de um móvel e o tempo total gasto.

t

s V

gasto tempo

escalar todeslocamenV MM ∆

∆=⇒=

t

s V

gasto tempo

todeslocamenV MM

∆∆=⇒=

ρρρ

Quando um corpo possui velocidade constante, isto significa que a velocidade conserva o valor algébrico, a direção e o sentido. Uma mudança em qualquer um dos três elementos citados acarreta uma variação na velocidade como um todo. Como uma mudança de sentido corresponde a uma alteração no sinal da velocidade escalar, e conseqüentemente no valor algébrico, dizemos simplesmente, que uma velocidade pode variar seu valor algébrico e/ou sua direção. Sendo assim, atenção: se um carro percorre sempre 80 Km em cada hora de movimento, não podemos garantir que sua velocidade seja constante, pois ele pode estar fazendo curvas e, assim, a velocidade mudará de direção!

ms 7=∆

ms 5=∆

ms 5=∆

As perguntas b e c são equivalentes

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Agora, podemos afirmar com certeza, que a velocidade escalar é constante, se o ponteiro do velocímetro está sempre no mesmo número (velocidade instantânea). TRANSFORMAÇÃO DE Km/h PARA m/s: Obtemos a unidade de velocidade dividindo a unidade de distância pela unidade de tempo. A unidade mais comum é o quilometro por hora (Km/h), indicada nos velocímetros dos carros, utilizados para medir velocidade instantânea. No sistema Internacional de Unidades (SI), a velocidade é expressa por metros por segundo (m/s). A relação entre Km e m/s é:

s/m6,3

1

s3600

m1000h/Km1 ==

Para transformar Km/h para m/s, basta dividir por 3,6. Para transformar m/s para Km/h, basta multiplicar por 3,6.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 1. Analise as afirmativas abaixo: a) Uma partícula em movimento em relação pode

estar em repouso em relação a outro. b) A forma da trajetória de uma partícula

independe do referencial usado. c) Dois ônibus se deslocam por uma estrada

retilínea� com velocidade constante, sendo assim um está em repouso em relação ao outro.

2. Uma formiga A caminha radialmente sobre um

disco de vitrola, do eixo para a periferia, quando o disco gira.

a) Qual a trajetória da formiga A para um observador, em repouso, situado fora do disco?

b) Qual a trajetória da formiga A para uma outra

formiga B, situada sobre o disco, repouso em relação a ele?

3. Uma mola tem em sua extremidade, uma

partícula que oscila entre os pontos A e B da figura. Marcamos a origem dos tempos no instante em que a partícula passa pelo ponto B, e a origem das posições no ponto 0. No instante t0 = 0 a partícula está em B; no instante t1 = 1,0s está em 0; no instante t2 = 2,0s, está em A; no instante t3 = 3,0s volta a passar por 0; e no instante t4 = 4,0s retorna a B.

a) Qual a posição inicial da partícula?

� Retilínea – Que se dirige como a linha reta, que é

formado por segmento de reta

b) Qual o deslocamento escalar da partícula entre 0 e 2s?

c) Qual o espaço percorrido pela partícula entre os instantes 0 e 4s?

d) Qual a velocidade média da partícula entre os instantes 2 e 4s?

e) Qual a velocidade média da partícula entre os instantes 0 e 4s?

20cm 20cm

A B C 4. Um motorista levou 2h para ir de Niterói a

Friburgo (distancia aproximada de 120 Km), tendo parado 30 minutos para fazer um lanche. Marque com x a opção correta.

a) Durante todo o percurso o velocímetro marcou 80 Km/h.

b) Durante todo o percurso o velocímetro marcou 60 Km/h.

c) A velocidade escalar média foi de 60 Km/h. d) A velocidade escalar média foi 80 Km/h, pois é

preciso descontar o tempo que o motorista parou para lanchar.

e) Há duas respostas corretas. 5. Marque com V para verdadeiro F para falso: a. ( ) A terra em seu movimento ao redor do Sol,

pode ser considerada como ponto material. b. ( ) A terra em seu movimento em torno de seu

eixo, pode ser considerada como ponto material.

c. ( ) Quando um corpo se encontra em movimento, em relação a um dado referencial, podemos concluir que estará sempre em movimento, em relação a qualquer referencial.

d. ( ) O movimento da Lua em relação à Terra é diferente do movimento daquele satélite em relação ao Sol.

7. Um corpo vai de um ponto A a outro B, em 20

segundos, conforme mostra a figura abaixo. Determinar:

a) A velocidade escalar média; b) A velocidade média.

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8. Um móvel se desloca de A a B (AB = d) com

velocidade de 10 m/s e de B a C (BC = 2d) com velocidade média de 30 m/s. Determine a velocidade média desse móvel no percurso AC.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Marque com V para verdadeiro e F para falso. a. ( ) Denominamos ponto material aos corpos de

pequenas dimensões. b. ( ) Um ponto material tem massa desprezível

em relação às massas dos outros corpos considerados no movimento.

c. ( ) Só tem significado falarmos de movimento e repouso de uma partícula se levarmos em consideração um referencial.

d. ( ) A forma da trajetória depende do referencial adotado.

e. ( ) A coordenada de posição de um ponto material num determinado instante indica quanto o ponto material percorreu até este instante.

f. ( ) O fato de a coordenada de posição ser negativa indica que o ponto material se desloca contra a orientação da trajetória.

g. ( ) Deslocamento positivo indica que o ponto material movimentou-se unicamente no sentido positivo da trajetória.

h. ( ) Velocidade média positiva indica que o ponto material deslocou-se unicamente no sentido positivo.

2. Um homem ao inclinar-se sobre a janela do

vagão de um trem que se move com velocidade constante, deixa cair seu relógio. A trajetória do relógio vista pelo homem do trem é (despreze a resistência do ar):

a) uma reta b) uma parábola c) um quarto de circunferência d) uma hipérbole e) n.r.a. 3. A velocidade de um avião é de 360 Km/h. Qual

das seguintes alternativas expressa esta mesma velocidade em m/s?

a) 100m/s b) 600m/s c) 1.000m/s

d) 6.000m/s e) 360.000m/s 4. Um automóvel percorre um trecho retilíneo de

estrada. Indo da cidade A até a cidade B distante 150 Km da primeira. Saindo às 10 h de A, pára às 11h em um restaurante situado no ponto médio do trecho AB, onde gasta exatamente 1h para almoçar. A seguir prossegue a viagem e gasta mais uma hora para chegar à cidade B. Sua velocidade média no trecho AB foi:

a) 75 Km/h b) 50Km/h c) 150 Km/h d) 69Km/h e) 70 Km/h

5. Numa avenida longa, os sinais são sincronizados de tal forma que os carros trafegando a uma determinada velocidade encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sabendo-se que a distancia entre sinais sucessivos (cruzamento) é 200m e que o intervalo de tempo entre a abertura ao sinal seguinte é 12s. Qual a velocidade em que devem trafegar os carros para encontrarem os sinais abertos?

a) 30 Km/h b) 40 Km/h c) 60 Km/h d) 80 Km/h e) 100 Km/h 6. Um ponto material move-se em linha reta

percorrendo dois trechos MN e NP. O trecho MN é percorrido com uma velocidade igual a 20Km/h e o trecho NP com velocidade igual a 60 Km/h. O trecho NP é o dobro do trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de:

a) 36Km/h b) 40Km/h c) 37,3Km/h d) 42Km/h e) n.r.a.

7. Mostre que se a metade de um percurso for feito com uma velocidade V1 e a outra metade com velocidade V2 então a velocidade média no percurso total será de 2V1V2 / (V1 + V2)

d 2d V1 V2

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8. Um automóvel e um trem saem de São Paulo com destino ao Rio de Janeiro e realizam o trajeto com velocidades médias respectivamente iguais a 80 Km/h e 100 Km/h. O trem percorre uma distancia de 500 Km e o automóvel de 400Km até atingir o Rio. Pode-se afirmar que:

a) a duração da viagem para o trem é maior porque a distancia a ser percorrida é maior.

b) a duração da viagem para o automóvel é maior porque a velocidade do automóvel é menor.

c) A duração da viagem para ambos é a mesma. d) O tempo que o trem gasta no percurso é de 7

horas. e) O tempo que o automóvel gasta no percurso é

de horas. 9. Um elétron é emitido por um canhão de um tubo

de televisão e choca-se contra tela após 2 x 10-

4s. Determine a velocidade escalar média deste elétron sabendo-se que a distância que separa o canhão da tela é 30 cm.

10.A luz demora 10 minutos para vir do Sol à

Terra. Sua velocidade é de 3. 105 Km/s. Qual a distancia entre o Sol e a Terra?

GABARITO

UNIDADE I: CINEMÁTICA APRENDIZAGEM FIXAÇÃO 1. V F F 1. 1F 2F 3V 4V 5F 6F 2. a) espiralada 7F 8F b) retilínea 2. a 3. a) 20 cm 3. a b) –40cm 4. b c) 80cm 5. c d) 20cm/s 6. a e) 0 7. c 4. c 8. 1,5 . 105 cm/s 5. F F V 9. 1,8 . 108 6. 50m/s 10. 7. a) π m/s b) 2m/s 8. 18m/s

ESPAÇO RESERVADO PARA CÁLCULOS E RASCUNHO

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UNIDADE II

MOVIMENTO UNIFORME (M.U.)

O movimento de uma partícula é uniforme quando ela percorre ao longo de sua trajetória, espaços iguais em intervalos de tempos iguais. Resumindo o que foi dito, Movimento Uniforme é o que se processa com velocidade escalar constante. A cada trajetória associamos um sentido positivo de percurso�. O movimento que se efetua neste sentido é chamado progressivo� e se caracteriza por ter sua velocidade positiva. O movimento que se efetua em sentido contrário é chamado regressivo ou retrógrado. Neste caso a velocidade é considerada negativa. Portanto, o sinal (+) ou (-), associado à velocidade, apenas indica se o movimento é progressivo ou retrógrado.

FUNÇÃO HORÁRIA DO M.U O movimento uniforme pode ser escrito matematicamente por uma equação que relaciona os espaço do móvel com os instantes de tempo. Para se chegar a essa equação, considere que no M.U. a velocidade escalar instantânea “V” é igual a velocidade escalar média “Vm”:

�

Percurso – Itinerário ação de percorrer; espaço percorrido; trajeto; movimento. � Progressivo – Que progride, que muda de lugar, andando, que segue uma progressão: que se vai realizando gradualmente.

t/sVV M ∆∆== (1)

Considere o intervalo de tempo ∆t desde o instante inicial 0 (zero), em que se observa o movimento, ∆t = t – 0. Nesse intervalo de tempo a variação de espaço ∆s será ∆s = s – s0, onde s é o espaço correspondente ao instante t e s0 é o espaço no instante inicial zero. Substituindo S e t em (1) teremos:

t

ssv logo

tt

ssv 0

0

0 −=

−−

−=

logo Vtss 0 +=

⇒ eq. horária do movimento

Você verá, alguns exercícios resolvidos. Caso não entenda alguma passagem, consulte ao seu professor pois estes exemplos são clássicos e a partir deles você resolverá qualquer problema de Movimento Uniforme. Exemplo 1: Um movimento uniforme é descrito por S= 20+5t (SI). Determine:

a) o espaço inicial e a velocidade; b) b) se o movimento é progressivo ou

retrógrado; c) a posição do móvel no instante 5s.

Solução: A equação horária do M.U. é S = S0 + Vt Compare com a do exemplo: S = 20 + 5t

a) note que S0 = 20m e V = 5m/s b) Como V = 5m/s o movimento é

progressivo pois V>0 c) Queremos saber a posição S = / no

instante t = 5s ⇔ Como S = 20 + 5t S = 20 + 5 . 5 S = 20 + 25 ⇒ S = 45m Exemplo 2: Um móvel passa pela posição + 50m no instante inicial e caminha contra a orientação da trajetória. Sua velocidade escalar é constante e igual a 25 m/s em valor absoluto. Determine:

a) A sua função horária; b) O instante em que o móvel passa pela

origem das posições. Solução: No inicio é fácil concluir que S0 = 50m. A velocidade móvel é V = -25m/s. O sinal (-) é porque o móvel caminha contra a orientação da trajetória.

a) S = S0 + Vt, logo S = 50 + (-25) t, sendo assim a função horária será: S = 50 – 25t

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b) A origem das posições é (S = 0). Queremos o instante t que isso ocorre: t = ?

como S = 50-25t, 0 = 50-25t

25 = 50, t = 50/25 ⇒ t = 2s Exemplo 3: Dois móveis A e B descrevem movimentos sobre a mesma trajetória e as funções horárias dos movimentos são:AS = 60-10t e SB = 15+5t (SI). Determine:

a) O espaço inicial e a velocidade de cada móvel;

b) O sentido dos movimentos (progressivo ou retrógrado;

c) O instante do encontro; d) A posição do encontro.

Solução: a) para o primeiro móvel temos S0 = 60m e para o segundo móvel temos S0 = 15m ⇒ note que os dois estão à direita da origem. b) O primeiro está indo contra a trajetória pois V < 0, logo seu movimento é retrógrado. Já o segundo móvel está indo a favor do movimento pois V > 0, logo seu movimento é progressivo. c) No encontro os dois móveis deverão ocupar a mesma posição, logo teremos: S0 = Sb como Sa = 60 – 10t e Sb = 15+5t, teremos que 60 – 10t = 15 + 5t

⇒ 5t +10t = -15 +60 ⇒ 15t=45 ⇒ t = 3s. d) Para achar a posição de encontro basta substituir t = 3s em qualquer uma das equações horárias:

Sa = 60-10.3 ⇒ Sa = 30m Exemplo 4: Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma locomotiva desloca-se a 20m/s. Sendo o comprimento de cada composição igual a 10m. Qual o tempo que o trem gasta para ultrapassar:

a) Um sinaleiro? b) Uma ponte de 100 metros de

comprimento? Solução: Observe que o trem tem ao todo 20 composições. Se cada composição tem 10 metros, o trem tem ao todo 200 metros. Mas como armar a equação horária desse trem, uma vez que a equação horária é para um ponto material? A resposta é muito simples, basta você imaginar por exemplo um ponto material bem na frente do trem, ou seja, uma pulga no nariz do trem. Você fará a função horária deste ponto tendo em mente sempre que existe um trem atrás da pulga. Vamos agora à solução do problema. a) O trem começará ultrapassar o sinaleiro, quando a pulga passar pelo sinaleiro, logo S0 = 0 (considere o sinaleiro como origem das posições).

Logo a equação horária ficará sendo: S = S0 + Vt ⇒ S = 0 + 20t ⇒ S = 20t Para que o trem todo ultrapasse o sinaleiro, a pulga deverá estar a 200 metros a frente do sinaleiro (S = 200m). Vamos determinar o tempo para que isso ocorra: S = 20t ⇒ 200 = 20t ⇒ t = 200/20 ⇒

t=10s b) Considere agora o início da ponte como sendo a origem das posições. Quando a pulga passar por aquele local, teremos S0 = 0, ou seja, a equação horária será a mesma: S = 20t. Porém agora para o trem todo ultrapassar a ponte, a pulga deverá percorrer os 100 metros da ponte mais 200 metros, que é o equivalente para que todo o trem saia da ponte. Sendo assim a partir do instante em que a pulga entra na ponte, ela deverá percorrer 300 metros para que todo o trem saia da ponte. Sendo assim vamos calcular o tempo em que ela alcança a posição de 300m: S = 20t ⇒ 300 = 20t ⇒ t = 300/20

t = 15s Exemplo 5: Um móvel parte de certo ponto com uma velocidade constante de 240 m/min. Passados quatro segundos parte do mesmo ponto, na mesma direção e no mesmo sentido, do 1º móvel, um segundo móvel com uma velocidade constante de 21,6 km/h. Quantos segundos após a partida do 2º móvel este encontrará com o 1º? E qual a posição de encontro? Solução Note que a primeira pergunta é quantos segundos logo, devemos fazer primeiramente as transformações de m/min para m/s: V1 = 240 m/min ⇒ 240m/60s = 4m/s Já V2 = 21,6 Km/h/3,6 = 6m/c Na realidade este problema se inicia quando o 2º móvel passa por certo ponto, que nós chamaremos de origem das posições. Note que quando o 2º móvel passa pela origem das posições o primeiro móvel já terá 4s de frente à uma velocidade de 4m/s e que dará um total de 16m percorridos. Logo S01 = 16m e S02 = 0. Mostrando a equação horária de cada móvel teremos: S1 = S01 + V1t ⇒ S1 = 16 + 4t S2 = S02 + V2t ⇒ S2 = 0 + 6t ⇒ S2 = 6t Os dois móveis se encontrarão quando: S1 = S2, logo: 16 + 4t = 6t

6t – 4t = 16⇒ 2t = 16 ⇒ 16/2 ⇒ t = 8s Agora para achar a posição de encontro, basta substituir o instante de encontro t = 8s na equação horária de qualquer um dos móveis:

Como S2 = 6t ⇒ S2 = 6.8 ⇒ S2 = 48m

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Coloque V para verdadeiro e F para falso: a. ( ) O diagrama S x t no MRU indica uma reta

inclinada em relação ao eixo dos tempos. b. ( ) O diagrama V x t no MRU fornece uma reta

paralela ao eixo dos tempos. c. ( ) A declividade da reta que você obtém

constituindo S x t é numericamente igual à velocidade que o móvel apresenta naquele instante.

2. Dado o gráfico de um móvel:

Assinale a alternativa incorreta: a) Entre os instantes 0 e t1 o movimento é

progressivo. b) Entre os instantes t1 e t2 o móvel está em

repouso. c) Entre os instantes t2 e t3 o movimento é

retrógrado. d) Os itens A e B são incorretos. e) N.r.ª 3. O gráfico representa os deslocamentos de duas

partículas A e B. Pela interpretação do gráfico, podemos garantir que:

a) as partículas partem de pontos diferentes com

velocidades diferentes. b) As partículas partem de pontos diferentes com

a mesma velocidade. c) As partículas partem de pontos diferentes com

velocidades distintas e conservam suas velocidades.

d) As partículas partem do mesmo ponto com a mesma velocidade.

e) As partículas partem do mesmo ponto com velocidades diferentes.

4. Um móvel se desloca obedecendo o gráfico abaixo. Determine o deslocamento do imóvel entre 2 e 6s.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1. Em cada gráfico abaixo determine a função

horária do movimento que está registrado:

Mecânica


12

2. A velocidade de um ponto material em movimento sobre uma trajetória retilínea, no decorrer do tempo, é indicada pelo gráfico abaixo. Determine a velocidade média do ponto material no intervalo de tempo de 0 a 8s.

3. Classifique o movimento em cada trecho do

diagrama abaixo:

GRÁFICO VELOCIDADE X TEMPO: Sendo a velocidade constante e não nula em um movimento uniforme, o gráfico é representado por uma reta paralela ao eixo dos tempos. Temos os seguintes casos: 1° Caso: Velocidade positiva (V>0)

2º Caso: Velocidade negativa (V<0)

Obs.: A área do gráfico compreendida entre a reta e o eixo das abcissas� da figura, entre os tempos t1 e t2, é numericamente igual ao deslocamento do móvel neste intervalo de tempo. Demonstração: A = b x h A = (t2 – t1) x V A = ∆t x V ou A = V x ∆t Mas t2 – t1 = ∆t Como V = ∆s/ ∆t, teremos que ∆S = V x ∆t Conclusão: A = ∆s

Exemplos: 1. Um móvel tem velocidade, em função do tempo, dada pelo gráfico abaixo: Determine o espaço percorrido pelo móvel entre 1s e 4s, sabendo-se que o móvel desloca-se em linha reta.

Solução: A = ∆s = V . ∆t ∆ = V. (t2 – t1) ∆s = 4 . (4 – 1) ∆s = 4 . 3 ∆s = 12m

2. A velocidade de um ponto material em movimento sobre uma trajetória retilínea, no decorrer do tempo, é indicada no gráfico abaixo. Determine a velocidade média do ponto material no intervalo de tempo de 0 a 8s.

� Abcissa – Distância entre um ponto e um plano fixo entre os quais se traça uma linha (abscissa)

Mecânica


13

Solução: O deslocamento de 0 a 4s equivale a A, e entre 4 e 8s equivale a área 2, sendo assim devemos calcular o valor numérico das duas áreas e somar: De 0 a 4s teremos A1 = ∆s1 = 4 . 20 logo ∆s1 = 80m De 4 a 8s teremos A2 = ∆s2 = 4 . 10, logo ∆s2 = 40m Como a velocidade média é dada por: V = ∆s / ∆t e ∆s = ∆s1 + ∆s2, logo ∆s = 80 + 40 = 120m E como ∆t = 8s, teremos que: V = 120/8, logo V = 15m/s GRÁFICOS DO MOVIMENTO UNIFORME: Uma das partes mais importantes da Cinemática envolve a interpretação de gráficos. Iremos agora aprender como tirar informações a partir de um gráfico do MU. A função horária das posições de um movimento uniforme é dada por s = s0 + Vt. Esta equação é do 1° grau em relação ao tempo; portanto, o gráfico da função é uma reta. Teremos dois casos: 1° caso: Quando a velocidade é positiva o móvel caminha no sentido positivo da trajetória, isto é, as posições crescem algebricamente com o tempo. O gráfico representativo é o de uma reta inclinada para cima.

Movimento progressivo

2° caso: Se a

velocidade é negativa, o móvel caminha no sentido contrário ao positivo da trajetória, isto é, as posições decrescem algebricamente no decorrer do tempo. O gráfico representativo é o de uma reta inclinada para baixo.

Movimento retrógrado

Obs. Importante: a) O valor da ordenada em que a reta corta o eixo “s” representa o valor de S0. S = S0 + vt para t = 0 temos que S = S0 + v . 0 S = S0 b) Quando o corpo não estiver em movimento, isto é, v = 0, a posição do móvel é sempre a mesma.

c) No gráfico S = f(t) a tg θ é numericamente igual à velocidade:

Vtt

SS

t

stg

12

1a =−−

=∆∆=θ

Exemplo: Um móvel tem posição em função do tempo, dada pelo gráfico abaixo. Pede-se:

a) sua posição inicial; b) sua velocidade; c) sua função horária.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Marque com V para verdadeiro e F para falso:

Mecânica


14

a. ( ) No MRU p móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo iguais.

b. ( ) Um MRU é sempre progressivo. c. ( ) Um corpo pode estar simultaneamente em

MRU em relação a um dado referencial e em repouso em relação a outro referencial.

d. ( ) Um movimento é uniforme quando sua trajetória em relação a um dado referencial é retilínea.

2. Uma pessoa lhe informa que um corpo está em movimento retilíneo uniforme:

a) O que está indicado pelo termo “retilíneo”? b) E pelo termo “uniforme”? c) Qual é a expressão matemática que nos

permite calcular a distancia que este corpo percorre após decorrido um tempo t?

3. Um set de uma partida de voleibol tem início às 19h 25min e 30s e termina às 20h 5min 15s. O intervalo de tempo de duração dessa etapa do jogo é de:

a) 1h 39min 46s b) 1h 20min 15s c) 39min 45s d) 30min 45s e) 20min 15s.

4. Dentre as velocidades citadas nas seguintes alternativas, qual é a maior?

a) 190 m/s b) 25m/min c) 105 mm/s d) 900 Km/h e) 7,9 Km/s

5. Um automóvel mantém uma velocidade constante de 72 Km/h. Em 1h e 10min ele percorre, em Km, uma distancia de:

a) 79,2 b) 80 c) 82,4 d) 84 e) 90

6. Dois móveis partem das posições –30 e 10m respectivamente, ambos em UM. Sabendo-se que a velocidade de A é 18m/s e de B é 6m/s, qual o instante em que eles vão se encontrar? Em que posição isto ocorre?

7. A distancia de dois automóveis é de 225 Km. Se eles andam um ao encontro do outro com 60Km/h e 90Km/h, ao fim de quantas horas se encontrarão?

a) 1 hora b) 1h 15min c) 1h 30min d) 1h 50min e) 2h 30min 8. Dois móveis A e B partem simultaneamente do

mesmo ponto, com velocidades constantes iguais a 6m/s e 8m/s. Qual a distancia entre eles em

metros, depois de 5s, se eles se movem na mesma direção e no mesmo sentido?

a) 10 b) 30 c) 50 d) 70 e) 90 9. Um atirador aciona o gatinho de sua espingarda

que aponta para um alvo fixo na terra. Depois de 1s ele ouve o barulho da bala atingindo o alvo. Qual a distancia do atirador ao alvo? Sabe-se que a velocidade da bala ao deixar a espingarda é 1.000m/s e que a velocidade do som é 340m/s.

10. Um trem de comprimento 130 metros e um

automóvel de comprimento desprezível caminham paralelamente num mesmo sentido em um trecho retilíneo. Seus movimentos são uniformes e a velocidade do automóvel é o dobro da velocidade do trem. Pergunta-se: Qual a distância percorrida pelo automóvel desde o instante em que alcança o trem até o instante em que o ultrapassa?

11. Duas locomotivas, uma de 80 m e outra de

120m de comprimento movem-se paralelamente uma à outra. Quando elas caminham no mesmo sentido são necessários 20s para a ultrapassagem e quando caminham em sentidos opostos 10s são suficientes para a ultrapassagem. Calcule a velocidade das locomotivas sabendo que a maior é a mais veloz.

12. Um trem de 150 metros de comprimento, com

velocidade de 90 Km/h, leva 0,5 minutos para atravessar um túnel. Determine o comprimento do túnel.

13. Dois móveis, A e B, deslocam-se segundo

trajetórias perpendiculares entre si com movimento retilíneo e uniforme e velocidade VA = 72 km/h e VB = 108 Km/h. No instante inicial eles se encontram nas posições indicadas pela figura abaixo:

Determine o instante em que a distancia entre eles

é m1810 14. Um motorista deseja percorrer uma certa

distancia com a velocidade média de 16K/h. Percorre a primeira metade mantendo uma

Mecânica


15

velocidade de 10Km/h. Com que velocidade ele deve completar o percurso?

GABARITO 1. V F V F 2. a) reta b) velocidade constante c) d = Vt 3. c 4. e 5. d 6. 3,3s e 30m 7. c 8. a 9. ≡ 254m 10. 260m 11. 5m/s e 15m/s 12. 600m 13. 1s 14. 40Km/h

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1. Um ponto material parte da posição (-30m) e

caminha em M.U. com velocidade de 15m/s. Pede-se: a) a função horária do móvel; b) qual o instante em que ele passa pela

origem dos espaços; c) qual o instante em que ele passa pela

posição 30m. 2. Um automóvel parte da cidade C em direção à

cidade C’ com velocidade constante de 20m/s e 20s depois um automóvel B faz o mesmo trajeto também com velocidade constante de 40m/s. Sabendo-se que os dois móveis se encontram entre as duas cidades, a que distancia da cidade C este encontro se dá?

3. Um automóvel parte de uma cidade A rumo a

uma cidade C passando por uma cidade B. Durante o trajeto AB, ele descreve M.U. com velocidade de 12m/s e durante o trajeto BC também o seu movimento é uniforme porém, com velocidade de 8m/s. Sabendo-se que o móvel gasta tempos iguais para ir de A a B e de B a C, qual a distancia entre as duas cidades A e C? Dado AB = 10.000m

4. Uma partícula se move com velocidade escalar

constante. No instante 11 = 2s ela ocupa a posição escalar S1 = 19m; no instante t2 = 4s ela ocupa a posição a posição S2 = 23m. Determine a equação horária do movimento.

5. Numa estrada andando de caminhão com

velocidade constante, você leva 4 segundos para ultrapassar um outro caminhão cuja velocidade é também constante. Sendo 10m o

comprimento de cada caminhão, qual a diferença entre a sua velocidade e a do caminhão que você ultrapassou?

6. Dois corpos deslocam-se ortogonalmente entre

si, com velocidade uniforme V1 = 2,0m/s. No instante t = 0s eles se encontram na origem de um sistema de referencia 0xy. Considerando que o corpo (1) se desloca ao longo do eixo-x e o corpo (2) ao longo do eixo-y, qual a distancia que os separa no instante t = 2s?

7. Um móvel percorre o primeiro terço de uma

estrada com uma velocidade média v1 e os dois terços seguintes com uma velocidade média v2. Mostre que a velocidade média no percurso

total é dada por 21

21

mvv2

vv3v

+= .

8. (UFJF-2000) – A Avenida Pedro Álvares Cabral,

localizada numa grande cidade, é plana e retilínea. Num trecho, a avenida é cortada por duas ruas transversais, conforme mostra a figura. Para permitir a travessia segura de pedestres, os sinais de trânsito existentes nos cruzamentos devem ser fechados, simultaneamente, a cada 1,5min. Um carro, trafegando pela avenida com velocidade constante, chega ao cruzamento com a Rua Pero Vaz de Caminha 10s depois que o sinal abriu. Qual deve ser o módulo dessa velocidade, em Km/h, para que ele possa percorrer todo o trecho da avenida indicado na figura, desde a Rua Pero Vaz de Caminha até a Rua Fernão de Magalhães, encontrando todos os sinais abertos?

Mecânica


16

UNIDADE III

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE

VARIADO (M.U.V.)

ACELERAÇÃO ESCALAR (a): Em movimento nos quais as velocidades dos móveis variam com o decurso do tempo, introduz-se o conceito de uma grandeza cinemática denominada aceleração. ACELERAÇÃO ESCALAR (a) = taxa de variação da velocidade escalar numa unidade de tempo. Num intervalo de tempo (∆t = tf – ti), com uma variação de velocidade escalar (∆v = vf – vi), define-se a aceleração escalar média (am) pela

relação: t

vam ∆

∆=

Quando o intervalo de tempo é infinitamente pequeno, a aceleração escalar média passa a ser chamada de aceleração escalar instantânea (a) Exemplo 1: Qual é a aceleração de um móvel que em 5s altera a sua velocidade escalar de 3m/s para 13m/s? Solução:

am = 0

0

tt

vv

t

v

−−

=∆∆

, logo am =

s5

s/m3s/m13 − ⇒ am=

s

s/m2

Conclusão: am = 2m/s² ⇒ Esse resultado indica que a cada Segundo que passa, a velocidade escalar aumenta em 2m/s em média. CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO A classificação do movimento com variação de velocidade escalar é feita comparando-se os sinais da velocidade e da aceleração em um certo momento, deste modo: ACELERADO ⇒ mesmo sinal V > 0 e a > 0 + +

V < 0 e a < 0 - - RETARDADO ⇒ sinais opostos V > 0 e a < 0 + -

V < 0 e a > 0 - +

Conclui-se matematicamente, que nos movimentos acelerados o módulo da velocidade aumenta, enquanto que nos retardados, diminui. Exemplo 2: Qual é a aceleração escalar média de uma partícula que, em 10 segundos, altera a velocidade escalar de 17m/s para 2m/s? Classifique o movimento. Solução: Como já vimos no exemplo 1:

0

0

mtt

vva

−−

= logo

2

m s/m5,110

15

10

172a −=−=−=

Observe que esta partícula está sendo freada pois sua velocidade é positiva mas sua aceleração é negativa, logo, temos um movimento progressivo retardado. Obs.: As unidades mais utilizadas de aceleração são:

No Sl No CGS Outras M/s² Cm/s² Km/h² . km/s²

etc MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.): Um movimento no qual o móvel mantém sua aceleração escalar constante, não nula, é denominado movimento uniformemente variado. Em conseqüência, a aceleração escalar instantânea (a) e a aceleração escalar média (am) são iguais. Equação das velocidades: Como no MUV a aceleração é constante, teremos a=am ou seja:

tavvtavt

va 0 ∆⋅=−⇒∆⋅=∆⇒

∆∆=

Como ∆t = t – t0, chamaremos de t0 o exato momento em que se dispara um cronômetro� para registrar o tempo t0 = 0

tavv 0 ⋅=− ⇒ v = v0 + q . t

Esta expressão é chamada de equação horária das velocidades de um Exemplo 3: Um móvel tem velocidade de 20m/s quando a ele é aplicada uma aceleração constante e igual a –2m/s². Determine:

a) o instante em que o móvel pára:

� cronômetro – Instrumento de medição do tempo; relógio

de grande precisão.

Mecânica


17

b) classifique o movimento antes da parada e depois da parada sabendo-se que o móvel continuou com aceleração igual.

Solução: Dados: V0 = 20m/s a = -2m/s²

a) t = ? v = 0 ⇒ v = v0 + ªt ⇒ 0 = 2- - 2t ⇒ 2t = 20 ⇒ t = 10s

b) Como o movimento é uniformemente variado, isto significa que a aceleração é constante, sendo assim a = -2m/s² <0

Antes da parada ⇒ v > 0 e a < 0 MUV progressivo e retardado Depois da parada ⇒ v < 0 e a 0 MUV retrógrado e acelerado.

Obs.: Se você não enxergou que a velocidade antes de 10s é maior que zero e depois de 10s é menor que zero, basta substituir um tempo qualquer na equação das velocidades que verificará.

Gráfico das velocidades no MUV: Como no MUV temos que v = v0 + at (uma função do 1º grau em t) o diagrama correspondente será uma reta. Essa reta poderá ser crescente ou decrescente conforme a aceleração seja maior ou menor que zero.

Da mesma forma que no M.U., a área sob o gráfico v x t é numericamente igual ao espaço percorrido entre dois instantes:

Uma outra propriedade relacionada ao diagrama v x t para o MUV, está ligada à tangente do ângulo formado entre o eixo t e a reta do gráfico v x t:

Sabemos que tgθ = ∆v / ∆t = a n Portanto tgθ = a Conclusão: A tangente é numericamente igual a aceleração da partícula. Exemplo 4: Um ponto material desloca-se sobre uma reta e sua velocidade em função do tempo é dada pelo gráfico:

Pede-se:

a) a velocidade inicial; b) a aceleração; c) a função horária das velocidades; d) o deslocamento do ponto material entre 0

e 2s; e) a velocidade média entre 0 e 2s.

Solução:

a) A velocidade inicial é determinada quando t = 0, logo V0 = 5m/s.

b) A aceleração é calculada pela tangente do ângulo θ.

tgθ = 22

4

02

59

tt

vv

t

va

02

02 ==−−=

−−

=∆∆=

então: a = 2m/s²

c) Como o gráfico v = f(t) é uma reta, a função é do 1º grau; portanto: v = v0 + a.t

Mecânica


18

v = 5 + 2.t

d) O deslocamento é calculado pela área compreendida entre os instantes 0 e 2s e a reta que representa a velocidade:

Área do trapézio

A = ∆S = ( )

m142

259 =⋅+

e) Vm = s/m7v logo , 72

14

t

Sm

===∆∆

Ou leitura do gráfico só para MUV:

Vm= s/m72

14

2

95

2

VV 21 ==+=+

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 1. O gráfico da velocidade para um móvel que se

desloca numa trajetória retilínea é dado a seguir:

Determine:

a) A função horária das velocidades; b) O deslocamento do móvel entre 0 e 5s c) A velocidade média entre 0 e 5s.

2. Os gráficos abaixo indicados representam a

velocidade de um móvel em função do tempo. Determine para cada caso a função v = f(t).

Gráfico da aceleração No movimento uniformemente variado a aceleração é constante e diferente de zero; portanto, p gráfico tem as formas:

Propriedade: No gráfico a = f(t) a área A, compreendida entre os instantes t1 e t2, mede a variação de velocidade entre estes instantes.

Sabemos que: A = a1 . (t2 – t1) 1

Mecânica


19

Mas a1= 12 tt

V

t

V

−∆=

∆∆

⇒ ∆V = a1 . (t2 – t1) 2

⇒ numericamente igual ⇒ A = ∆V Exemplo 5: O gráfico a seguir indica a aceleração adquirida por um móvel em função do tempo sobre uma trajetória retilínea:

Sabemos no instante t = 0 o móvel tinha velocidade 10m/s e estava na posição +8m, pede-se: Construir o gráfico da velocidade em função do tempo. Solução: Cálculo de: A1 = 3 ⇒ ∆V1 = 3m/s A2 = 5 ⇒ ∆V2 = 5m/s A3 = 4 ⇒ ∆V3 = 4m/s A4 = 4 ⇒ ∆V4 = -4m/s A velocidade no instante t = 1s é: V1 = V0 + ∆V1 = 10 + 3 = 13m/s. A velocidade no instante t = 2s é: V2 = V1 + ∆V2 = 13 + 5 = 18m/s. A velocidade no instante t = 3s é: V3 = V2 + ∆V3 = 18 + 4 = 22m/s. A velocidade no instante t = 4s é: V4 = V3 = 22m/s. A velocidade no instante t = 5s é: V4 = V0 - ∆V4 = 22 - 4 = 18m/s. t(s)

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 3. O gráfico a seguir indica a velocidade em função

do tempo de um móvel que se movimenta sobre uma trajetória retilínea

Sabendo que no instante t = 0 o móvel estava na posição +6m. Pede-se:

a) representar numa trajetória esse movimento;

b) construir o gráfico da aceleração em função do tempo.

4. O gráfico abaixo indica a aceleração adquirida

por um móvel sobre uma trajetória retilínea.

Sabendo que no instante t = 0s o móvel tinha velocidade de 8m/s e estava na origem das posições, pede-se:

a) construir o gráfico v = f(t); b) representar numa trajetória esse

movimento. Equação horária das posições no MUV:

Mecânica


20

∆s = área = h2

bB ⋅+ e B = v, b = v0 e h = t

Então: ∆s = t2

vv 0 ⋅+, onde v = v0 + a . t

Logo: ∆s = 2

vtav 00 +⋅+ . t=

2

tatv22

0 ⋅+⋅=

2

tatv

2

0

⋅+⋅ ou 2

t.atvss

2

0

⋅+⋅=−

Portanto, s = f(t) do MUV é:

2

tatVSS

2

00

⋅+⋅+= Esta função é do 2º

grau em t, cujo gráfico é parabólico, como será visto no próximo segmento. Exemplo 6: Um móvel desloca-se sobre uma reta segundo a função horária S = -15 – 2t + t² (no SI). Pede-se:

a) o tipo de movimento; b) a posição inicial; c) a velocidade inicial; d) a aceleração; e) a função v = f(t); f) o instante em que o móvel passa pela

origem das posições. Solução:

a) A função horária S = -15 – 2t + t² é do 2º grau, portanto o movimento é uniformemente variado.

b) Por comparação: S = S0 + v0t + a/2 . t² ⇒ S0 = -15m (o móvel está a 15 metros da origem).

c) Também por comparação temos que V0 = -2 + 2.t

d) Por comparação temos: (1/2) a = 1 então a = 2m/s²

e) V = V0 + a.t ⇒ Substituindo os valores encontrados anteriormente temos que: V=-2 + 2.t

f) A origem das posições temos quando S=0:

S = -15 – 2t + t² 0 = -15 – 2t + t² Resolvendo a equação temos:

s52

82

a2

bt =±=∆±−= só é considerado o

tempo positivo.

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM 5. Um ponto material caminha em MUV segundo a

função horária S = 12-8t + 4t², no SI. Pergunta-se:

a) Qual a sua posição inicial; b) Qual a sua velocidade inicial; c) Qual a sua aceleração; d) Qual a sua posição no instante 10s; e) O instante em que ele passa pela origem dos

espaços; f) Determine a função horária das velocidades; g) O instante em que o móvel inverte o sentido do

movimento; h) Classifique o movimento para o instante t = 3s. Gráfico S x t no MUV: Para o MUV temos que S = S0 + V0t + at²/2. Como esta é uma função do 2º grau em t, o gráfico correspondente será uma parábola.

Propriedades do Diagrama: 1º) O diagrama horário de um MUV resulta sempre numa parábola, a qual pode apresentar sua concavidade voltada para cima ou para baixo:

O fato de a concavidade ser voltada para cima ou para baixo depende de o sinal da aceleração ser positivo ou negativo.

Mecânica


21

2º) No diagrama horário, quando a curva se apresenta ascendente, a velocidade é positiva; quando descendente, a velocidade é negativa. Nos vértices das parábolas, as velocidades se anulam.

A 2ª propriedade ´que de uma maneira não muito simples, pode-se calcular velocidades através de tangentes, da mesma forma que já foi visto no M.U.. A demonstração disso você verá quando cursar a universidade e poderá utilizar esse fato quando conhecer um pouco de limites e derivadas que será dado no curso de Matemática. Exemplo 7: Baseado no que foi exposto, analisemos o gráfico abaixo:

1. De 0 t2 temos um M.U.V. com aceleração negativa, pois a concavidade da parábola é para baixo. 2. De 0 a t1 o movimento é progressivo, pois o espaço é crescente, o que nos indica velocidade positiva. 3. De 0 a t1 o movimento é retardado, pois a velocidade e a aceleração apresentam sinais contrários.

4. De t1 a t2 o movimento é retrógrado e acelerado, pois temos velocidade e aceleração negativas. 5. De t2 a t4 a aceleração é positiva pois a concavidade da parábola é para cima. 6. De t2 a t3 o movimento é retrogrado e retardado, pois a velocidade é negativa e a aceleração é positiva 7. De t3 a t4 o movimento é progressivo e acelerado, pois a velocidade e a aceleração são positivas. 8. De t4 a t5 o movimento é progressivo e uniforme, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é crescente. 9. De t5 a t6 o corpo está em repouso, pois a sua posição não varia no decorrer do tempo. 10. A partir de t6 o movimento é uniforme e retrógrado, pois o espaço varia linearmente com o tempo e a curva é decrescente. 11. Nos instantes t1 e t3 o móvel inverte o sentido do movimento. Equação de Torricelli: Temos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua velocidade em relação ao tempo. Torna-se útil encontrar uma equação que possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando o tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade.

S = S0 + V0 . t + (a . t²)/2 1

V = V0 + a . t 2 Isolando o tempo t na segunda equação e substituindo na primeira, vem:

De (2): a

vvt

0−=

Substituindo em (1):

s = s0 + v0 . 2

00

a

vva

2

1

a

vv⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−+

−+=

a

vvv2v

2

1

a

vvvss

2

00

22

00

0

Mecânica


22

Reduzindo ao mesmo denominador: 2a(S – S0) = 2v0v – 2v0

2 + v2 – 2v v + v02

2a(S – S0 = -v02 + v2

v2 = v02 + 2a(S – S0) mas ∆S = S – S0

Sendo assim: v² = v0² + 2a

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 6. Um carro tem velocidade de 20m/s quando, a

30m de distancia, um sinal vermelho é observado. Qual deve ser a desaceleração produzida pelos freios para que o carro pare a 5m do sinal?

7. A equação horária de um móvel é S = 3 – 4t + t² (SI). Construa o diagrama S x t desse movimento. Sugestão: Após construir o diagrama, retorne para a equação horária a partir do diagrama. 8. Classifique o movimento para cada trecho do

diagrama S x t abaixo:

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 9. Coloque “V” para verdadeiro e “F” para falso: a. ( ) No MRUV a aceleração do móvel varia

linearmente com o tempo. b. ( ) No MRUV a velocidade varia linearmente

com o tempo. c. ( ) Um carro em marcha a ré não pode realizar

movimento acelerado. d. ( ) No movimento uniformemente retardado a

velocidade e a aceleração têm sinais opostos.

e. ( ) No MRUV o diagrama e x t fornece uma reta inclinada em relação ao eixo dos tempos.

f. ( ) A declividade da reta que você obtém ao construir o diagrama v x t indica a aceleração do móvel.

g. ( ) A velocidade média do móvel que realiza MRUV, entre dois instantes, vale a média aritmética das velocidades instantâneas que o móvel apresenta nos citados instantes.

h. ( ) O movimento uniformemente acelerado não pode ser retrógrado.

10. Um móvel percorre o segmento de reta AC com

velocidade constante, passando por um ponto B, onde AB ≠ BC. Se t1 e t2 são os tempos gastos nos percurso AB e BC, é verdadeira a seguinte relação:

a) AB/t1 = BC/t2 b) AB/BC = t2/t1 c) AB/BC = (t2/t1)² d) AC = (AB/t1) + (BC/t2) 11. Um móvel partindo do repouso executa

movimento retilíneo cuja aceleração escalar varia com o tempo conforme o diagrama. Pode-se afirmar que ao fim de 4s, o espaço percorrido é:

a) 45m b) 100m c) 180 d) 30m e) 50m 12. Um ponto material caminha em MUV com

aceleração de 10m/s². Sabendo-se que inicialmente sua posição era 30m e sua velocidade 15m/s, encontre a sua função horária e a sua posição no instante t = 3s.

13. É conhecida a função das velocidades de um

ponto material que caminha em MUV como v = 2 – 8t (SI). Sabendo-se que o móvel partiu da origem pede-se:

a) a função horária do móvel; b) o instante em que sua velocidade é nula; c) o instante em que o móvel passa pela posição

-6m. 14. Um automóvel trafega sobre uma avenida em

UM, quando é obrigado a frear bruscamente para não bater em um poste. Sabendo-se que sua velocidade antes de frear era 20m/s e que ele pára em 2s, e supondo que a aceleração imposta pelos freios é constante. Qual a distância que ele percorre durante a freagem?

15. Um fuzil é acionado e sabe-se que a bala sai do

cano com velocidade de 500m/s. Sabe-se também que o comprimento do cano é 0,7m. Calcule:

a) a aceleração da bala dentro do cano (suposta constante);

b) o tempo de percurso da bala dentro do cano.

Mecânica


23

16. O diagrama abaixo representa a variação da velocidade de um móvel em relação ao tempo. Determine:

a) A aceleração do móvel; b) O instante em que a velocidade é nula. 17. Um ponto material caminha obedecendo a

função horária S = 2t² - 18t + (MKS). Pede-se: a) sua posição inicial; b) sua velocidade inicial; c) sua aceleração; d) os instantes em que o móvel passa pela

posição –10m. 18. Um ponto material caminha em MUV

obedecendo a seguinte função das velocidades: v = 10 – 4t(SI). Pede-se:

a) classificar o movimento para t = 2s; b) classificar o movimento para t = 3s. 19. Um ponto material caminha segundo a função

S = 3t – 8t² (SI). Classifique o movimento do móvel para:

a) t = 0 b) t = 1s. 20. Um motorista quando enxerga um obstáculo e

precisa frear, leva cerca de 0,7s para acionar os freios. Se um motorista caminha a 20m/s, que distancia irá percorrer após enxergar um obstáculo e frear (parar)? Suponha que os freios do carro imprimam ao veículo uma aceleração de 5m/s².

21. Um objeto se move de acordo com a seguinte

equação horária: d = 5t² + 2t + 3. Determine a velocidade média deste objeto entre os instantes 0 e 2s (use sistema CGS).

22. Um móvel animado de MRUV, parte do repouso

e adquire ao fim de 5s a velocidade de 18Km/h. Que distancia, em metros percorreu o móvel durante esse tempo?

23. Uma partícula se movimenta segundo a

equação e = 5 + 2t + 5t². Nestas condições pode-se afirmar que, no SI:

a) A partícula se movimenta com a velocidade de 10m/s;

b) A partícula se movimenta com aceleração variável;

c) No intervalo de tempo de 1 a 3s sua velocidade média é de 22m/s;

d) A trajetória descrita por ela é retilínea; e) A partícula inicia seu movimento com

velocidade de 5m/s. 24. O gráfico representa a velocidade de uma

partícula em função do tempo. Podemos afirmar que:

a) o movimento é

retilíneo uniformemente variado; b) o movimento é acelerado somente no trecho

CD; c) o movimento é retardado somente no trecho

DE; d) nenhuma das afirmativas é satisfatória. 25. O gráfico a seguir representa a posição de um

móvel dado pelo espaço em função do tempo. A velocidade escalar media no intervalo de 0 a 7s foi igual a:

a) 20m/s b) 2m/s c) 23m/s d) 6,6m/s e) zero. As informações a seguir referem-se às questões de 26 e 27: Uma partícula descreve o movimento cujo gráfico horário, parabólico é dado abaixo, mostrando que para t = 1s, x é máximo. Os valores da abcissa x são medidos a partir de um ponto 0, ponto origem da reta orientada sobre a qual a partícula se movimenta.

26. A equação horária é: a) x = 15 + 2t + t² b) x = 15 – 2t – t² c) x = 15 – t + t² d) x = 15 + 2t – t² e) x = 15 – 2t + ½ t² 27. A velocidade da partícula obedece a equação: a) v = 2 – t b) v = -2 + t c) v = 2 – 2t d) v = 2 + 2t

Mecânica


24

e) v = 1 – 2t As informações a seguir referem-se às questões de 28 a 32: O diagrama representa a velocidade de um pequeno foguete, com um só estágio verticalmente.

28. Enquanto o motor está funcionando a

aceleração é: a) 5,00 x 10³ m/s b) 2,5 x 10m/s c) 5,0m/s² d) 9,8m/s² e) n.r.a. 29. A altura em que o motor deixa de funcionar é: a) 5,00 x 10m b) 5,00 x 10³m c) 2,50 x 10m d) 1,00 x 10³m e) n.r.a. 30. O foguete atinge sua altitude no instante: a) 10s b) 60s c) 5s d) 115s e) n.r.a. 31. A altitude máxima atingida pelo foguete é: a) 3,00 x 104m b) 2,50 x 10³m c) 1,50 x 104m d) 5,00 x 10²m e) n.r.a. 32. O foguete atingirá p solo no instante t que vale

aproximadamente: a) 100s b) 120s c) 115s d) 60,0s e) n.r.a. 33. A velocidade de um carro em função do tempo,

pode ser descrita pelo gráfico abaixo. Quanto andou o carro nos primeiros 5s? Quanto andou durante vinte segundos? Qual a velocidade média do movimento?

34. O diagrama abaixo representa, em função do

tempo, a velocidade de um objeto. Traçar um diagrama da aceleração em função do tempo.

35. Eis o diagrama representativo da variação do

espaço S de um móvel em função do tempo t:

Assinale a alternativa errada: a) A velocidade inicial é negativa. b) Entre 0 e 1s, o movimento é retrogrado e

uniformemente retardado. c) A partir de t = 3s o movimento é uniforme. d) A velocidade escalar média entre 0 e 3s é igual

a 5/3m/s. e) N.r.a. Dado o gráfico seguinte, que representa a variação do espaço de uma partícula em relação z\o tempo, responda à questões de 36 a 45 de acordo com o seguinte código:

a. A assertiva e a razão são preposições corretas e a razão é justificativa da assertiva.

Mecânica


25

b. A assertiva e a razão são proposições corretas, porém a razão não é justificativa da assertiva.

c. A assertiva está correta e a razão incorreta. d. A assertiva está incorreta e a razão correta.

36.( ) De 0 a t1 o móvel está se aproximando da

origem dos espaços PORQUE de 0 a t1 a velocidade é negativa.

37.( ) De 0 a t1 o movimento é acelerado PORQUE de 0 a t1 a aceleração é positiva.

38.( ) De 0 a t1 o movimento é uniformemente variado PORQUE a velocidade é função do 2° grau em relação ao tempo.

39.( ) De 0 a t1 o movimento é retrógrado PORQUE de 0 a t1 a velocidade é negativa.

40.( ) De t1 a t2 o movimento é retardado PORQUE de t1 a t2 a velocidade diminui em módulo.

41.( ) De t1 a t2 o móvel se afasta da origem dos espaços PORQUE no instante t = 2s a aceleração é nula.

42.( ) De t2 a t3 o movimento é progressivo PORQUE de t2 a t3 a aceleração é positiva.

43.( ) De t2 a t3 o movimento é acelerado PORQUE de t2 a t3

a velocidade aumenta em módulo.

44.( ) De t3 a t4 o móvel está em repouso PORQUE de t3 a t4 a aceleração é nula.

45.( ) De t3 a t4 o movimento é uniforme PORQUE de t3 a t4 o movimento é uniforme PORQUE de t3 a t4 o espaço varia linearmente com o tempo.

LANÇAMENTO VERTICAL E QUEDA LIVRE

Quando um corpo é lançado nas proximidades da superfície da Terra fica sujeito a uma aceleração constante orientada sempre para baixo, na direção vertical. Tal aceleração será estudada na Gravitação� Universal. Ela existe devido ao campo gravitacional terrestre.

� Gravitação – força atrativa que se exerce entre os astros, em particular entre o Sol e os planetas; força de atração mútua das massas e cuja expressão matemática é dada pela lei de Newton: a matéria atrai a matéria na razão direta de suas massas e na inversa do quadrado de suas distâncias.

A aceleração da gravidade não é a mesma em todos os lugares da terra. Ela varia com a latitude� e com a altitude�. Ela aumenta quando se passa do equador (g = 9,78039 m/s²) para o pólo (g = 9,83217 m/s²). Ela diminui quando se vai da base de uma montanha para o seu cume. O valor de g num lugar situado ao nível do mar é a latitude de 45º chama-se aceleração normal da gravidade.

gnormal = 9,80665m/s² Se trabalharmos com dois algarismos significativos apenas, podemos considerar o valor de g como o mesmo para todos os lugares da Terra:

g = 9,8m/s² Para facilitar os cálculos normalmente usa-se g = 10m/s². A expressão queda livre, utilizada com freqüência, refere-se a um movimento de descida, livre dos efeitos do ar; é, portanto, um M.U.V. acelerado sob a ação da aceleração da gravidade, assim como no lançamento vertical. Porém no lançamento vertical, quando o corpo sobe o movimento é retardado e quando desce é acelerado. Observação: 1. Como a aceleração da gravidade nas proximidades da Terra é constante, nosso movimento será uniformemente variado. (MUV) 2. Em um mesmo lugar da Terra todos os corpos caem livremente com a mesma aceleração, independentemente de seu peso, forma ou tamanho. Isto é, naquele lugar da Terra o valor de g é o mesmo para qualquer corpo em queda livre. 3. Quando lançamos um corpo verticalmente para cima, quando este alcança a altura máxima, sua velocidade será nula (V = 0). 4. Quando o corpo é lançado do solo verticalmente para cima (desprezando a resistência do ar), o tempo que ele gasta para atingir a altura máxima é igual ao tempo que ele leva para retornar ao solo. Neste caso a velocidade com que ele é lançado também será a mesma, em módulo, que ele retorna ao solo.

� Latitude – distância de qualquer ponto da Terra ao equador, medida em graus no meridiano desse ponto.

� Altitude – Elevação vertical acima do nível dos mares, ângulo formado pelo horizonte e pelo raio visual dirigido a um astro.

Mecânica


26

Há duas possibilidades para a orientação da trajetória, conforme as conveniências. A seguir, elas são apresentadas com as respectivas equações, em que o espaço (S) é trocado pela altura (h) e a aceleração escalar (a), pela aceleração gravitacional (g):

Exemplo: Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10m/s², pede-se:

a) a função horária das alturas; b) a função horária das velocidades; c) o tempo gasto para o corpo atingir a altura

máxima; d) a altura máxima atingida em relação ao solo; e) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao

solo; f) a velocidade do corpo ao tocar o solo.

Solução: Adotaremos como positiva a trajetória para cima: o movimento em questão é um MUV. a) S = S0 + V0 + ½ gt², como V0 = 20m/s S0 = 0

e g = -10m/s² substituindo na equação teremos S = 20t – 5t.

b) V = V0 + gt Substituindo os valores já conhecidos teremos: V = 20 – 10t

c) Na altura máxima (V = 0) V = 20 – 10t então: 0 = 20 – 10t ⇒ 10t = 20 ⇒ t = 20/10 logo t = 2s.

d) Substituindo t = 2s em S = 20t – t², temos: S = 40 – 20 ou seja: S = 20m

e) No solo (S = 0), pois retorna a origem. S = 20t –5t², substituindo S = 0 na equação teremos: 0 = 20t – 5t² ⇒ 0 = 5t (4-t) ⇒ t = 4s

f) Substituindo t = 4s e, V = 20 – 10t, temos: V = 20 – 10 . 4 ⇒ V = 20 – 40 ⇒ V = -20m/s (negativa porque é contrária ao sentido positivo adotado).

Observe no exemplo anterior que:

Mecânica


27

• Tempo de subida = tempo de descida. • Velocidade de saída = velocidade de

chegada (em módulo). Esta observação é valida para qualquer corpo lançado verticalmente para cima, mas sempre em relação ao mesmo plano de referencia.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 46. Um corpo é abandonado do alto de uma torre

de 125 metros de altura em relação ao solo. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10 m/s², pede-se:

a) A função H = f(t); b) A função v = f(t); c) O tempo gasto para atingir o solo; d) A velocidade ao atingir solo. 47. Uma pedra é lançada no vácuo verticalmente

para cima com velocidade de 10m/s. Qual a altura máxima atingida pela pedra? Adote g = 10m/s².

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 48. Assinale com “V” para verdadeiro e “F” para

falso: a. ( ) As acelerações dos corpos em queda livre

depende das massas dos corpos. b. ( ) Na queda livre o tempo de queda pode ser

determinado se conhecermos a altura de queda e a aceleração da gravidade do local.

c. ( ) Na queda livre, a velocidade com que o corpo chega ao plano de referencia pode ser determinada se conhecermos a altura de queda relativa a esse plano e a aceleração da gravidade do local.

d. ( ) Na queda livre os espaços percorridos na vertical são proporcionais ao tempo de percurso.

e. ( ) Na queda livre, quando o corpo atinge a metade do percurso, sua velocidade será igual à metade da velocidade com que atinge o plano de referência.

f. ( ) Na queda livre os espaços percorridos na vertical são proporcionais aos quadrados dos tempos de percurso.

g. ( ) Um corpo lançado verticalmente para cima realiza movimento uniformemente acelerado.

h. ( ) No lançamento vertical ascendente no vácuo o tempo de subida é igual ao tempo de queda.

i. ( ) A partir de um plano de referencia um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade V. Ao retornar ao plano de referencia o corpo apresenta velocidade em módulo igual a V.

j. ( ) Você poderá calcular a máxima altura atingida por um corpo lançado verticalmente para cima no vácuo se conhecer a velocidade de lançamento e a aceleração da gravidade do local.

k. ( ) No ponto de cota máxima, a velocidade de um corpo lançado verticalmente para cima, no vácuo, vale a metade da velocidade de lançamento.

l. ( ) Considere um ponto da trajetória de um corpo lançado verticalmente para cima, no vácuo. No retorno, ao passar pelo ponto considerado, o corpo apresenta velocidade em módulo igual à que apresentou na subida.

49. Um pára-quedista, quando a 120m do solo,

deixa cair uma bomba. Esta leva 4s para atingir o solo. Qual a velocidade de descida do pára-quedista? (g = 10m/s²).

a) 1m/s b) 2m/s c) 5m/s d) 8m/s e) 10ms 50. Dois objetos A e B, de massas m1 = 1Kg e

m2 = 2Kg são simultaneamente lançados verticalmente, para cima, com a mesma velocidade inicial, a partir do solo. Desprezando-se a resistência do ar, podemos afirmar que:

a) A atinge uma altura menor do que B e volta ao solo ao mesmo tempo que B.

b) A atinge uma altura menor do que B e volta ao solo antes de B.

c) A atinge uma altura igual à de B e volta ao solo antes de B.

d) A atinge uma altura igual à de B e volta ao solo ao mesmo tempo que B.

e) A atinge uma altura maior do que B e volta ao solo depois de B.

51. Uma bola é lançada para cima com velocidade

de 20 m/s (g = 10m/s²). Indique a afirmativa errada (despreze a resistência do ar):

a) A bola atinge uma altura de 20m. b) No ponto mais alto a velocidade da bola é nulo. c) No ponto mais alto a aceleração da bola é nula. d) A bola retorna ao ponto de partida com

velocidade de 20m/s. e) A bola volta ao ponto de partida depois de 4s. 52 Queremos determinar a altura de um edifício,

um estudante deixou cair uma pedra do terraço e ela levou 3s para chegar ao chão.

a) Qual a altura que ele obteve para o edifício? b) Qual a velocidade da pedra ao chegar ao chão? 53. Uma pedra é lançada verticalmente para cima

do topo de um edifício suficientemente alto, com velocidade de 29,4m/s. Decorridos 4s deixa-se cair outra pedra. Contada a partir do instante de lançamento da segunda, a primeira passará pela segunda no instante: (dado g = 9,8m/s²)

Mecânica


28

a) 1/2s b) 2,0s c) 3,0s d) 4,0s e) n.r.a. 54. Um observador vê um corpo cair, passando por

sua janela, com velocidade de 10m/s. 75 metros abaixo, outro observador vê o mesmo objeto passar por ele em queda livre. Admite-se para a aceleração da gravidade do local g = 10m/s². Qual a velocidade do móvel ao passar pelo segundo observador?

a) 10m/s b) 12m/s c) 15m/s d) 40m/s e) n.r.a. 55. Na questão anterior o tempo que o corpo leva para ir de um a outro observador é: a) 0,5s b) 3s c) 10s d) 20s e) n.r.a. 56. Continuando as questões anteriores, sabemos

que o corpo leva ainda 1 segundo para chegar ao solo depois de passar pelo segundo observador. Pode-se afirmar que:

a) O segundo observador está a 10m acima do solo.

b) O primeiro observador está a 95m acima do solo.

c) Não se pode determinar as alturas dos observadores sobre o solo.

d) O primeiro observador está a 120m de altura. e) N.r.a. 57. A figura representa o gráfico posição x tempo do movimento de um corpo lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial V0, na superfície de um planeta.

a) Qual a aceleração da gravidade na superfície

do planeta?

b) Qual o valor da velocidade inicialV0? 58. Um balão está subindo à razão de 12m/s e se

encontra a uma altura de 80 metros acima do solo quando dele deixa-se cair um embrulho. Quanto tempo leva o embrulho par atingir o solo? Adote g = 10m/s².

GABARITO: 1. a) V = 3t b) 37,5m c) 7,5 m/s 2. a) V = 6 + 1/2t b) v = 2t c) v = 10-2t 3. a)

4.

5. a) S0 = 12m b) V0 = -8m/s c) a = 8m/s d) 332m e) Ele não passa em S = 0 f) V = -8 + 8 . t g) T = 1s h) MUV progressivo acelerado 6. – 8m/s² 7. 8. O a t1 – M.U. progressivo

Mecânica


29

t1 a t2 – repouso t2 a t3 – MUV retrógrado retardado t3 a t4 – MUV progressivo acelerado t4 a t5 – MUV progressivo retardado t5 a t6 – MUV retrógrado acelerado t6 a t7 – repouso t7 a t8 – M.U. retrógrado 9. a) F b) V c) F d) V e) F f) V g) V h) F 10. a 11. d 12. S = 30 + 15t + 5t² S = 120m 13. a) S = 2t – 4t² b) 0,25s c) 1,5s 14. 20m 15. a) a = 178571,42m/s² b) t = 0,--28s 16. a) a = 5 m/s² b) t = 2s 17. a) 6m b) –18m/s c) 4m/s² d) 1s e 8s 18. a) mov. progressivo e retardado b) mov. retrógrado e acelerado 19. a) progressivo retardado b) retrogrado acelerado 20. 54m 21. 12 cm/s 22. 12,5m 23. c 24. e 25. e 26. d 27. c 28. e 29. e 30. b 31. c 32. c 33. 50m, 300m, 15m/s 34.

35. c

36. b 37. c 38. c 39. a 40. a 41. c 42. b 43. a 44. d 45. a 46. a) S = 5t² ou 125 – 5t² b) V = 10t ou V = -10t c) t = 5s d) V = 50m/s 47. 5m 48. a) F b) V c) V d) F e) F f) V

g) V h) V i) V j) V k) F l) V 49. e 50. d 51. c 52. 45m e 30m/s 53. d 54. d 55. b 56. d 57. a) 2m/s² b) 6m/s 58. 5,4s

Mecânica


30

UNIDADE IV

CINEMÁTICA VETORIAL

VETORES: As grandezas vetoriais são aquelas que envolvem os conceitos de direção e sentido para uma completa caracterização. Um vetor é a imagem de uma grandeza vetorial, simbolizado por uma seta (�). Assim o Vetor velocidade é

O Vetor aceleração é O Vetor força é Uma outra maneira de representarmos um vetor é escrevermos em negrito , ou seja, o vetor velocidade é v, o vetor aceleração é a e o vetor força é F. Usaremos esta maneira de representar por ser menos trabalhosa para a impressão desta apostila. Um vetor tem as seguintes características: valor (módulo ou intensidade), direção e sentido. v

r’ r sendo v = 10 unidades características de um vetor

O vetor v acima apresenta as seguintes características: Valor: 10 u Direção: horizontal Sentido: para a direita (ou LESTE) A reta r’ r é chamada de suporte do vetor e indica a sua direção.

O valor de um vetor também pode ser indicado na própria direção do vetor. O vetor u tem o valor de duas unidades

vetoriais (2uv). Operações com vetores: a) Soma de dois vetores: 1º Dados dois vetores v1 e v2, o vetor soma v1 (ou resultante) é obtido pela Regra do paralelogramo. Para o cálculo do valor do vetor soma v1 aplicaremos conhecimentos de trigonometria.

vs2 = h² + (v2 + m)² lembre que (a + b)² - a² +

2ab + b² e que h = v1 sen θ vs

2 = v V12 sen θ + (V2

2 + 2 v2 m + m²) lembrar que m = v1 cos θ vs

2 = v12 sen θ + v2

2 + 2 v2v1 cos θ + V12 cos θ

vs

2 = v12 (sen² θ + cos² θ) + v2

2 + 2v1v2 cos θ lembrar que sen² θ + cos² θ = 1 vs

2 = v12 + v2

2 + 2v1v2 cos θ

θ++= cosvv2vvv 21

2

2

2

1s

Caso particular: θ = 90° Cos 90° = 0

2°) Processo do triângulo:

a) Vetor soma

vs = v1 + v2

b) Diferença de dois vetores: v1 + D = v2 A diferença de dois vetores v1 e v2 é um terceiro vetor D que D = v2 – v1 somando ao segundo , dá como resultante o primeiro.

A subtração de vetores é um caso particular da ADIÇÃO.

u

v1 vs = v1 + v2

v2

vs v1

v2

v1 v2

v2 v1 vs

v1 D v2

2

2

2

1 vvv +=

Mecânica


31

Quando se desejar o valor diferença aplicaremos a Lei dos Co-senos:

θ⋅⋅⋅−+= cosvv2vvD 21

2

2

2

1

Obs.: a) Quando dois vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido (θ = 0²), o vetor resultante será

Intensidade: R = a + b Direção: mesma de a e b Sentido mesmo de a e b c) Quando dois vetores tiverem a mesma direção e os sentidos opostos (θ = 180°), o vetor resultante será:

Intensidade: R = a - b Direção: mesma de a e b Sentido mesmo sentido do vetor de maior Exemplo 1: Sejam os vetores F1 e F2 de valores iguais a 10uv e 5uv, respectivamente, cuja representação vetorial se encontra abaixo. Trace a resultante R e dê o seu valor.

Solução: R² = F1

2 + F22

R² = 100 + 25 R² = 125

R = 55 uv

Exemplo 2: Dado o diagrama vetorial, trace o vetor resultante e dê o seu valor: θ = 60° a = 4 uv b = 3 uv Solução:

uv 37R

2/1.2425R

60cos.3.4.2916R

cosb.abaR22

=

+=

°++=

θ++=

Exemplo 3: Trace a resultante R do sistema de vetores abaixo:

Solução: Um vetor eqüipolente é um outro vetor de mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido

Os vetores v1 e v2 são eqüipolentes (1 = v2)

De um ponto qualquer, traçam-se vetores eqüipolentes aos vetores a, b e c, construindo-se um polígono. A resultante R é um vetor que liga a

a b a b R

a b Intensidade b R

a θ

b

b a c

v1 v2

Mecânica


32

origem do primeiro vetor traçado ao final do último vetor: R = a + b + c

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM 1. Mariana anda 40 metros para o leste e certa

distância para o norte, de tal forma que fica afastada 50 metros do ponto de partida. Determine a distância percorrida para o norte.

2. Os deslocamentos sucessivos efetuados por um

veículo, quando se movimenta de um ponto A para outro B, foram: 40 Km para o norte, 40Km para o leste e 10 Km para o sul. Para retornar de B para A, qual a menor distância a ser percorrida?

3. Considere dois vetores: um cujo módulo seja 30

e outro cujo módulo seja 40. Determine como os vetores podem ser combinados para que a soma tenha módulo:

a) 70 b) 10 c) 50 4. Um barco desenvolve, em relação à água de um

rio, velocidade de 3m/s. A velocidade da correnteza é de 6m/s, em relação às margens. Determine a velocidade resultante do barco em relação às margens quando:

a) ele desce o rio: b) ele sobe o rio: Decomposição de um vetor sobre dois eixos ortogonais: Dado um vetor a e um sistema de dois eixos ortogonais x e y:

Projetando ortogonalmente as extremidades do vetor a nos eixos x e y, obtemos

seus componentes retangulares ax e ay. Analiticamente temos: o triângulo OP’P é retângulo, portanto:

θ⋅=⇒==θ cosaaa

a

OP

'OPcos

x

x

θ⋅=⇒==θ senaaa

a

OP

'PPsen y

y

Exemplo 4: Determine o módulo das componentes

retangulares do vetor a de módulo 10 metros, conforme a figura: Solução: Pelo ponto de origem do vetor a,

consideremos um sistema de eixos coordenados x e y, como mostra a figura: Projetando o vetor a, nos eixos x e y, temos: Componente segundo

x

m35a

2/310a

30cosaa

x

x

x

⋅=

⋅=

°⋅=

Componente segundo y

m5a

2/110a

30senaa

y

y

y

=⋅=

°⋅=

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM 6. Um corpo é lançado com velocidade de 500m/s,

fazendo um ângulo de 60° com a horizontal. Determine as componentes verticais e horizontais da velocidade do corpo.

b a c R

Y P’’ P ay a θ 0 ax P’ x

A 30°

Y ay a ax x

Mecânica


33

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 7. Os vetores ao lado têm: a) mesmo módulo b) mesmo sentido c) mesma direção d) direções diferentes e paralelas. e) Simetria. 8. São dados são vetores a e b. Assinale o vetor que melhor representa a diferença (a-b)

a) b) c) d)

9. Dois vetores têm módulos 4m/s e 5m/s e

formam entre si um ângulo de 60°. A razão entre módulo do vetor soma e o módulo do vetor diferença é aproximadamente:

a) 2,3 b) 1,7 c) 3 d) 4,2 10. Dois vetores têm módulos iguais a v e formam

entre si um ângulo de 120º. A resultante entre eles tem módulo:

a) v b) 2v c) 3v d) d/2 11. Um barco alcança a velocidade de 18 Km/h, em

relação às margens de um rio, quando se desloca no sentido da correnteza e de 12Km/h quando se desloca em sentido contrário ao da correnteza. Determine o módulo da velocidade do barco em relação às margens e o módulo da velocidade das águas em relação às margens.

12. Um homem nadando em um rio paralelamente

às suas margens, vai de um marco P a outro Q em 30 minutos e volta para P em 15 minutos. Se a velocidade da correnteza é de 1Km/h, qual a distancia entre P e Q?

13. Um pescador rema perpendicularmente às margens de um rio, com uma velocidade de 3m/s em relação às águas. As águas possuem velocidade de 4m/s em relação às margens.

Determine a velocidade do pescador em relação às margens.

MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL

Na figura acima, mostra um canhão lançando uma bala obliquamente, próximo à superfície da Terra, com uma velocidade inicial v0 e um ângulo de lançamento com a horizontal igual a θ. Para facilitar o nosso estudo, desprezaremos a resistência do ar, pois este iria frear o projétil prejudicando seu movimento. Supondo então desprezível a resistência doar, após o lançamento o projétil sofre apenas com a ação da gravidade, que o trará de volta ao solo. O projétil descreverá uma trajetória curva, semelhante aquela mostrada na figura. Mostraremos no Ex. 5 que essa curva é uma parábola. Como a única força que atua no projétil é o seu peso, concluímos que o movimento é acelerado e a sua aceleração será a aceleração da gravidade g. Se fossemos estudar a trajetória do projétil sobre a parábola, tendo como dados iniciais apenas a velocidade inicial do projétil e o ângulo que este faz com a horizontal, nosso estudo ficaria muito complicado. Se você observar bem um movimento deste tipo, você notará que este movimento poderá ser decomposto em dois movimentos que nós já estudamos e que já estamos habituados com suas equações: 1°. Na vertical, teremos um lançamento vertical para cima, onde a velocidade inicial será v0y, que é a velocidade de lançamento projetada no eixo-y como foi feito no exercício de aprendizagem número 6 e no exemplo 4. Sendo assim, teremos no eixo-y um lançamento vertical para cima com uma velocidade inicial voy = v0 . senθ e cuja equação horária das alturas ficará: y = y0 + v0y . t – (g/2) . t² onde y0 = altura de lançamento

a b

Mecânica


34

Já a velocidade de subida do projétil segundo o

eixo-y poderá ser dada por: vy = v0y - g . t Podemos lançar mão também da equação de

Torricelli: vy2 = voy

2 – 2g∆y

2°. Na horizontal, teremos um movimento retilíneo

e uniforme, pois a única força que atua no projétil é a gravitacional e esta força é vertical, não atrapalhando o movimento na horizontal. Sendo assim teremos no eixo-x um M.U. cuja velocidade será dada pela projeção da velocidade de lançamento sobre o eixo-x:

vx = v0 . cós θ A equação horária da posição x será dada por:

x = x0 + vx . t Normalmente usa-se x0 = 0 Vamos fazer agora uma análise do movimento do projétil lançado pelo canhão da figura. O projétil é lançado com uma velocidade inicial v0y e vx. Quando ele estiver a uma altura y’, ele já terá deslocado na horizontal até x’ e terá uma velocidade v’ que poderá ser decomposta na vertical como vy. Só que normalmente no problema você não conhecerá v’ que poderá ser calculada através da soma vetorial de vx e vy’, pois vx e vy’’ é fácil de achar através das equações já estudadas.

Logo v’ = vx + vy ou seja v’ = 2'y

2x vv +

Quando o projétil alcançar a altura y’ ‘, ele está alcançando a altura máxima o que tornará vy = 0 e neste ponto o projétil terá apenas uma velocidade horizontal igual a vx. Note agora que quando o projétil estiver na posição x ‘ ‘ ‘, ele já estará descendo com uma velocidade na vertical vy’ ‘ ‘ < 0. Você poderá calcular a velocidade v’ ‘ da mesma forma que foi calculada na subida. Vamos ver agora como funciona isso tudo! Exemplo 5: Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, segundo um ângulo de 60° com a horizontal com velocidade de 400m/s. Admitindo

g = 10m/s² e 7,13 = ; pede-se:

a) o tempo que o corpo leva para atingir a altura máxima em relação ao solo;

b) a altura máxima atingida; c) o tempo gasto para atingir o solo; d) o alcance máximo do corpo; e) a velocidade do corpo no instante 8 segundos; f) a equação da trajetória do corpo. Solução: O movimento do corpo pode ser decomposto em dois eixos x e y, perpendiculares entre si. Segundo x, o movimento é uniforme e segundo y o movimento é uniformemente variado.

Inicialmente vamos determinar os componentes horizontal e vertical da velocidade inicial.

Componente segundo x

Componente segundo y

vox = vo . cos 60° v0x = 400 . ½ = 200m/s

(constante)

voy = v0 . sen 60° v0y =

s/m340

7,12002

3400

=

=⋅=⋅

As funções que regem os movimento são:

Segundo x Segundo y x = x0 + v0xt x = 200t

y = y0 + v0yt + ½ gt² y = 0 + 340t + ½ (-10)t² y = 340 t . 5t² vy = v0y + gt vy = 340 – 10 . t

a) Na altura máxima vy = 0 vy = 340 – 10 . t 0 = 340 – 10 . t ⇒ t = 34s b) Substituindo t = 34s em y = 340t – 5t² y = 340 . 34 – 5 . 34² y = 11560 – 5780 y = 5780m c) Quando o corpo toca o solo y = 0 y = 340 t – 5t² 0 = 340t – 5t² 0 = 5t (68 – t) ⇒ t = 0 t = 68s d) Substituindo t = 68s em: x = 200t x = 200 . 68 ⇒ x = 13 600m e) A velocidade v é a resultante de duas

velocidades vox e voy. No instante 8s o corpo está subindo, vide figura:

Cálculo de vy no instante 8s. vy = 340 – 10t vy = 340 – 10 . 8 vy = 260 m/s Portanto: v² = y

2 + vx2

v = 22

200260 + assim

v ≅ 328m/s f) A equação da trajetória é a que relaciona x com

y:

Temos x = 200 t 1

Y = 340 t – 5t² 2

vy v vx

Mecânica


35

De 1 teremos que t = x/200

Substituindo em 2 vem:

y = 340 . (x/200) – 5 . (x/200)² ⇒ y = (17/10)x – (5²/40 000)

y = 2

x8000

1x

10

17 − o que mostra que a

trajetória é uma parábola. Obs.: a) O módulo da velocidade vertical vy diminui

durante a subida e aumenta na descida. b) No ponto de altura máxima (hmáx) o módulo

da velocidade no movimento vertical é zero (v = 0).

c) A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto de queda do corpo é denominada alcance (xmáx). Neste ponto y = 0.

d) A posição do corpo em um dado instante é determinada pelas coordenadas x e y. Por exemplo, P1 (x1 + y1).

e) A velocidade num dado instante é obtida através da soma vetorial das velocidades vertical e horizontal, isto é, v = vx + vy. O vetor v é tangente à trajetória em cada instante.

f) Para um lançamento horizontal, teremos as mesmas equações porém com θ = 0° e v0y = 0 e a velocidade do projétil segundo o eixo-x será igual a velocidade de lançamento. Veja o exemplo 6.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

14. Um canhão dispara um projétil do alto de uma

elevação de 100 metros de altura, segundo um ângulo de 30° com a horizontal, com velocidade de 300m/s, conforme a figura.

Admitindo g = 10m/s² determine o tempo que o projétil leva para tingir um alvo localizado a 1.100 metros de altura, conforme indica a

figura. Faça 7,13 = .

15. Um canhão dispara um projétil que parte com

velocidade de 50m/s. Nesse local g = 10m/s² e o canhão formam 45° com a horizontal. Pergunta-se:

a) Qual o módulo da componente horizontal da velocidade;

b) Qual o módulo da componente vertical da velocidade para t = 0;

c) Em que instante vy = 0;

d) Qual o tempo que o projétil leva para retornar ao chão;

e) Qual o módulo de sua velocidade nesse instante;

f) Qual a altura máxima atingida pelo projétil; g) A que distancia o projétil cai do canhão? Alcance máximo de um projétil: Sabemos que y = v0 sen θ . t – ½ gt² e que vy = v0 sen θ - g.t e que para o eixo-x temos:

x = v0 cos θ . t Quando o projétil atinge a altura máxima

vy = 0 logo 0 = v0 sem θ - g.t ⇒ t = g

senv0 θ ⇒

Tempo de subida logo o tempo total de percurso

será: t = g

cossen2v

g

senv2 2

00 θ⋅θ⋅⋅=

θ mas em

trigonometria sabemos que 2 sen θ cos θ = sen 2θ

então: g

2senvx

2

0

máx

θ= (alcance)

Repare que para termos alcance máximo é preciso que sem 2 θ = 1 e para que isso ocorra 2θ = 90°. Conclusão: θ = 45° Portanto, se quisermos lançar um projétil o mais longe possível, devemos lança-lo com velocidade formando 45° com a horizontal.

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM 16. Usando a formula para o alcance máximo,

determine a letra g no problema 15. Exemplo 6: Um avião bombardeiro está voando a 2 00m de altura quando solta uma bomba. Se a bomba cai a 1 000m da vertical em que foi lançada, qual o módulo da velocidade do avião? Adote g = 10m/s². Solução:

Como o avião está voando horizontalmente a velocidade da bomba é igual à do próprio avião. Chegaremos a esta velocidade pela equação: xmáx = v0.t, onde t será o tempo de queda da bomba que devemos calcular agora.

Mecânica


36

y = y0 + v0y . t – gt²/2 onde y = 0 (solo) y0 = 2000m (altura inicial) e v0y = 0, pois o avião voa horizontalmente. Sendo assim 0 = 2000 – 5t² 5t² = 2000 ⇒ t = 20s (tempo de queda) Substituindo o tempo de queda na equação do alcance máximo teremos: Xmáx = v0 . 20 como xmáx = 1000m 1000 = v0 . 20 ⇒ v0 = 1000/20 ⇒ v0 = 50m/s

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM O enunciado abaixo referem-se às questões 17, 18 e 19: Um projétil é lançado horizontalmente com velocidade inicial de 5m/s de uma altura h = 180m. Considere a resistência do ar desprezível e adote g = 10m/s². 17. No instante t = 5s as coordenadas X e Y, que

determinam as posições do projétil, valem em unidades do S.I. respectivamente:

a) 10 e 45 b) 25 e 55 c) 10 e 125 d) 25 e 80 e) 50 e 180 18. No instante 5s, o projétil da questão anterior se

encontra a uma distancia do solo igual a: a) 25m b) 50m c) 55m d) 70m e) 125m 19. A velocidade do projétil no instante 0,5s, tem

módulo e direção, respectivamente iguais a: a) 7m/s e 45° b) 7m/s e 30º c) 7m/s e 60° d) 5m/s e 30° e) 5m/s e 60°

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

20. Assinale com “V” para verdadeiro e “F” para falso:

a. ( ) A trajetória descrita por um móvel lançado horizontalmente no vácuo é sempre parabólica, se considerarmos g constante.

b. ( ) O movimento realizado pelo projétil lançado horizontalmente no vácuo é uniformemente variado, se considerarmos g constante.

c. ( ) No lançamento horizontal realizado no vácuo, a velocidade do projétil é constante em módulo e direção.

d. ( ) Um avião que voa horizontalmente lança uma bomba contra um alvo. Despreze a resistência do ar. No instante em que a bomba explode no alvo, o avião estará exatamente sobre a vertical que passa pelo alvo.

e. ( ) No lançamento horizontal, o alcance jamais poderá ser igual a altura de lançamento.

f. ( ) A velocidade com que o projétil obliquamente chega ao plano de referencia é igual à velocidade de lançamento.

g. ( ) O lançamento de um projétil lançado oblíqua ou horizontalmente é resultante de um movimento horizontal uniforme e outro vertical uniformemente variado.

h. ( ) O tempo que um corpo lançado horizontalmente leva para atingir o plano de referencia é igual ao tempo que levaria para chegar a esse plano se caísse em queda livre do ponto de lançamento.

i. ( ) Um projétil lançado obliquamente tem seu alcance horizontal máximo quando o ângulo de lançamento acima da horizontal for igual a 45°.

j. ( ) Lançamos obliquamente dois projéteis com velocidade de mesmo módulo, inclinados de 45° + α e 45° - α com α < 45°, acima da horizontal. O primeiro projétil apresentará alcance horizontal maior que aquele apresentado pelo segundo.

Uma bola é lançada para cima, em direção que faz um ângulo de 45° com a horizontal, com velocidade v. Despreze a resistência do ar. Este enunciado refere-se aos exercícios 21, 22 e 23:

21. A composição horizontal vx da velocidade v da bola é:

a) v/cos 45° b) v tg 45º c) v cos 45º d) v sen 45° e) v/sen 45° 22. A componente vy da velocidade v da bola: a) é constante b) é função do 1º grau do tempo. c) É função do 2º grau do tempo. d) Tem o mesmo sentido em qualquer instante. e) É sempre diferente de zero. 23. A aceleração da bola é: a) Horizontal e variável; b) Inclinada e constante; c) Vertical e constante; d) Inclinada e variável e) Nula no ponto mais alto atingido pela bola. 24. Durante um exercício de segurança contra

incêndio um bombeiro segurou a mangueira d’água formando um ângulo de 45° com a horizontal. Sabendo-se que a aceleração local da gravidade é g = 10m/s² e que a velocidade

Mecânica


37

de saída do jato d’água é de 20m/s. Pode-se afirmar que serão atingidos objetos situados a uma distancia horizontal do bico da mangueira de:

a) 50m b) 75m c) 60m d) 40m

e) 80 2 m 25. Um projétil é lançado obliquamente com

velocidade inicial de 100m/s, inclinado com um ângulo θ com a horizontal. Despreza-se a resistência do ar e dados g = 10m/s² e sen θ = 0,6 cos θ = 0,8, calcule a velocidade do projétil no instante 5s e o tempo para que ele atinja a altura máxima? (Dar as velocidades nas direções x e y)

26. A figura abaixo mostra três corpos de massa

diferentes no instante em que são lançados simultaneamente de uma plataforma com velocidade horizontais v1 = 0, v2 = 10m/s e v3 = 50m/s. A altura da plataforma é 1,25m. Despreze o atrito� com o ar e considere g = 10m/s². Quais os tempos de permanência no ar dos três corpos?

27. Um avião deixa cair uma bomba sobre um alvo.

Desprezando a resistência do ar, o movimento da projeção da bomba sobre um plano horizontal é, para um observador na Terra:

a) circular uniforme; b) retilíneo uniforme; c) retilíneo uniformemente variado; d) retilíneo qualquer; e) curvilíneo variado. 28, Uma pequena bola foi ralada numa marquise de

5m de altura, indo chocar-se com o solo a 4m da marquise. Despreze a resistência do ar e adote g = 10m/s². Determine:

a) o tempo da queda da bola; b) a velocidade v0 que a bola possuía ao deixar a

marquise.

MOVIMENTO CIRCULAR

DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO CIRCULAR (M.C.) Um importante exemplo de movimento é o movimento circular. Como exemplo deste

� atrito – fricção entre dois corpos.

movimento temos um corpo na superfície da Terra, que graças ao movimento de rotação� desse último, faz com que tal corpo descreva MC ao redor do centro da Terra. Considere uma partícula em MC e tomemos como origem da trajetória a indicada na figura. Seja S0 a posição inicial da partícula e o ângulo ϕ0 (em radianos�) será chamado ângulo horário inicial ou fase inicial da partícula. Em um certo instante t a partícula estará ocupando a posição S e o ângulo ϕ da figura será chamado ângulo horário ou fase da partícula no instante t.

Neste intervalo de tempo (∆t = t – t0) a

partícula “varreu” um ângulo ∆ϕ = ϕ - ϕ0 que chamaremos de deslocamento angular da partícula no intervalo de tempo ∆t.

∆ϕ = ϕ - ϕ0 (descolamento angular) Define-se então velocidade angular média (ωm) como:

ωm = t∆ϕ∆

(velocidade angular média)

Exemplo 7: Um móvel descreve M.C. Sabe-se que ele partiu com fase de π/2 rad e em 10s sua fase era 5π/2 rad. Qual foi sua velocidade angular média? Solução:

ϕ0 = 2

πrad ⇒ ϕ =

2

5πrad ⇒ ∆t = 10s

�

rotação – movimento que a Terra executa em torno do

seu próprio eixo, de que resultam os dias e as noites.

� radiano – Unidade de ângulo plano.

Mecânica


38

∆ϕ = ϕ - ϕ0 = π=π=π−π2

2

4

22

5 rad

ωm = 510

2

t

π=π=∆ϕ∆

⇒ ωm = 5

π rad/s

EXERCÍCIO DE APRENDIZAGEM

29. Um ciclista está girando numa circular, dando

um volta em cada 12s. Calcule sua velocidade angular em rad/s.

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU):

De modo análogo que fazemos para a velocidade escalar instantânea, definimos também velocidade angular instantânea (ω):

(velocidade angular instantânea)

Em um MCU dá-se o nome de período (T) ao tempo gasto pela partícula para realizar uma volta completa.

Imagine uma partícula em M.C. Digamos que ela tenha dado 10 voltas em 5 segundos. Quantas voltas ela terá dado em 1s? A resposta é 2 voltas. Dizemos então que a freqüência do movimento da partícula é 2 voltas/s. Logo:

Freqüência é o numero de voltas que a partícula realiza por unidade de tempo.

A unidade mais comum de freqüência é voltas/s que também é conhecida como rps (rotação por segundo) ou também Hertz (Hz). voltas/s = rps = Hz Obs.: Existe uma relação muito simples entre f e T: Número de voltas Tempo l T f l

f = T

1

Sabemos que w = T

2π mas 1/T = f ⇒ ω = 2πf

E lembrando que S = ϕR (definição de radiano) temos que: S = ϕR S = ϕ0R

S –S0 = (ϕ - ϕ0) R ⇒ ∆S = ∆ϕ . R

Mas v =

Rv seja ou Rtt

s R0 ⋅ω=⋅ω=∆

ϕ=∆∆ ⋅

A relação acima é valida não só para MCU mas para qualquer movimento circular. Se resumirmos todas as nossas relações teremos:

ACELERAÇÃO NO MCU:

O movimento circular uniforme é um movimento caracterizado pela variação da direção da velocidade. O módulo da velocidade não varia e a aceleração tangencial é nula. No M.C.U. só existe a aceleração centrípeta� (ou normal) que é dada por:

ac = R

v2

sendo v = ωR

ac = R

R22ω

⇒ ac = ω² . R

Exemplo 8: Um LP gira a 33 rps e tem raio de 15cm. Um pequeno pedaço de papel é colocado na sua beira e portanto descreve M.C. Pede-se: a) a freqüência de rotação do papel; b) o período de rotação do papel; c) sua velocidade angular; d) sua velocidade linear; e) o espaço que ele percorre em 10s.

� centrípeto – que se dirige para o centro; que procura

aproximar-se do centro.

ω = lim t∆ϕ∆

∆t �

Mecânica


39

Solução: a) f = 33rps = 33 Hz f = 33Hz b) T = 1/f = 1/33 = 0,03s T = 0,03s c) ω = 2πf = 2π.33 = 66π ω = 66πrad/s d) V = ω . R = 66π . 15 = 990π cm/s

V=990π cm/s

e) V = t

S

∆∆⇒ ∆S = V . ∆t = 990π . 10 = 9 900π

⇒ ∆S = 9 900 π cm ≅ 311m. Exemplo 9: Uma outra unidade de freqüência muito usada é rpm (rotação por minuto). Se um motor a gasolina gira a 3000 rpm, qual a sua velocidade angular? Solução: F = 3000rpm ω = 2π f = 2π . 3000 = 6000π ⇒ ω = 6000π rad/min Exemplo 10: Duas polias são ligadas por uma correia como mostra a figura abaixo. As polias têm raios R1 = 10cm e R2 = 20cm. Se a polia número 1 efetua 40 rpm, qual será a freqüência da segunda?

Solução: Sejam V1 e V2 as velocidades dos pontos das extremidades das polias 1 e 2. Como as polias estão ligadas por uma correia, temos: V1 = V2 ⇒ ω1R1 = ω2R2 ⇒ 2π f1R1 = 2πf2R2 ⇒

f1R1 = f2R2

40.10 = f2.20 ⇒ f2 = 20 rpm

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 30. Qual a velocidade escalar periférica de uma

polia de 30 cm de raio e que está girando a 100 rpm?

31. O tronco vertical de um eucalipto é cortado

rente ao solo e cai, em 5 segundos, num terreno plano e horizontal, sem se desligar por completo de sua base.

a) Qual a velocidade angular média do tronco durante a queda?

b) Qual a velocidade escalar média de um ponto a 10m da base?

32. Dois corredores competem numa pista

perfeitamente circular. O corredor A foi sorteado

para a raia interna e o B, para a exerna. Se ambos conseguem fazer o percurso no mesmo tempo, pode-se afirmar que as velocidades lineares médias VA e VB e as velocidades angulares médias ωA e ωB dos corredores guardam, respectivamente, as seguintes relações:

a) VA > VB e ωA > ωB b) VA < VB e ωA = ωB c) VA = VB e ωA < ωB d) VA = VB e ωA > ωB e) VA = VB e ωA = ωB 33. Uma partícula incide horizontalmente, com

velocidade v = 200m/s, sobre um cilindro colocado na vertical e cujo raio é π/10m. O cilindro possui um orifício por onde a partícula penetra. Determine o menor valor da velocidade angular do cilindro para que a partícula saia do cilindro pelo mesmo orifício pelo qual penetrou. A ação da gravidade sobre a partícula pode ser desconsiderada no caso.

34. Uma partícula executa um M.C.U. de1 m de

raio com aceleração de 0,25 m/s². Determine para esse movimento:

a) A velocidade escalar: b) A velocidade angular: c) O período: 35. Duas polias de centros A e B e raio RA e RB

estão ligadas por uma correia. Na polia A existe um furo F e observa-se que durante o movimento do sistema o furo executa movimento periódico de período T. Pede-se:

a) As velocidades angulares das duas polias; b) A velocidade escalar da correia.

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) Dá-se o nome de movimento circular uniformemente variado (MCUV) àquele que apresenta aceleração angular constante e diferente de zero.

MCUV ⇔ α = cte ≠ 0

Seja V = ω . R V0 = ω0 . R

V – V0 = (ω - ω0) . R

⇒ ∆V = ∆ω . R e então y = Rt

R

t

V ⋅α=∆

⋅ω∆−∆∆

Mecânica


40

y = α . R

No próximo exemplo você irá perceber como surge a equação horária de um MCUV. Exemplo 11: Um ponto realiza MCUV e tem sua velocidade angular variada de 20 rad/s para 40rad/s em 10s. Qual o número de revoluções que ele realizou? Solução: Para o MUV temos: S = S0 + v0t + ½ yt² Dividindo toda a expressão por R, temos:

R2

yt1

R

tv

R

S

R

S 2

00 ++= mas: S/R = ϕ S0/R = ϕ0

V0/R = ω0 y/R = α

logo: ϕ = ϕ0 + ω0t + ½ αt² (1)

Que é a função horária para o MCUV. De modo equivalente podemos mostrar que: ω = ω0 + α . t (equação da velocidade angular) ω² = ωo² + 2α ∆t (equação de Torricelli para MCUV) De (1) tiramos que: ∆ϕ = ω0t + ½ αt² onde

α = 210

20

10

2040

t==−=

∆ω∆

α = 2 rad/s²

logo: ∆ϕ = 20 x 10 + ½ . 2 . 10² ⇒ ∆ϕ = 300 rad 1 volta - 2π rad n voltas – 300rad 2πn = 300 ⇒ n = 300/2π ⇒ n = 47,7 voltas 36. Um motociclista está correndo numa pista

circular de 2,5 . 10²m de raio. Em determinado instante, a velocidade do motociclista é 35m/s, e esta velocidade está crescendo de 2m/s a cada segundo. Qual é o módulo da aceleração do motociclista, no instante considerado?

a) 2m/s² b) 17,5m/s² c) 5,3m/s² d) 6,9m/s² e) n.r.a. 37. Um disco de 20 cm de raio gira com velocidade

angular de 1,0 rad/s, em torno de um eixo vertical que passa por seu centro. Em determinado instante começa a ser celerado com uma aceleração angular constante de 10 rad/s². Meio segundo após o início da aceleração, qual será o módulo do vetor aceleração de um ponto da periferia do disco?

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 38. Assinale com V as afirmações verdadeiras e

com F as afirmações falsas: a. ( ) O vetor posição caracteriza perfeitamente a

posição de um ponto em relação a um referencial.

b. ( ) O vetor deslocamento tem módulo sempre mentor que o deslocamento escalar.

c. ( ) A velocidade vetorial média tem direção tangente à trajetória.

d. ( ) O módulo da velocidade vetorial instantânea é igual ao módulo da velocidade escalar para o mesmo ponto material.

e. ( ) A componente tangencial do vetor aceleração mede a variação do módulo do vetor velocidade.

f. ( ) O movimento circular e uniforme é desprovido de aceleração.

g. ( ) No movimento circular e uniforme a freqüência é constante.

h. ( ) A freqüência é inversamente proporcional ao quadrado do período.

i. ( ) Todo móvel que realiza um movimento circular está sujeito a uma aceleração.

j. ( ) No MCU a velocidade é variável. k. ( ) No MCUV existem três acelerações. l. ( ) O módulo da aceleração normal varia com

o tempo no MCUV. 39. Na pergunta a seguir escolha uma entre as 5

opções apresentadas, nas quais a linha curva representa um trecho da estrada, vista de cima, e as setas indicam o módulo, a direção e o sentido de vetores. O automóvel se desloca da esquerda para a direita da figura. Se o velocímetro indica nesta curva um valor constante (60Km/h), qual das figuras melhor representa a velocidade do automóvel?

a) b)

c) d)

e)

Mecânica


41

40. Considere as afirmativas: I O módulo do vetor velocidade é igual ao

módulo da velocidade escalar. II O módulo do vetor aceleração é igual ao

módulo da aceleração escalar. III O módulo da aceleração tangencial é igual

ao módulo da aceleração escalar. IV A direção do vetor velocidade é sempre

tangente à trajetória. V A direção do vetor aceleração é sempre

perpendicular à trajetória. São erradas: a) I e IV b) III e IV c) II e IV d) I e III e) II e V 41. Num movimento circular e uniforme podemos

dizer que a aceleração centrípeta é dada pela: a) Variação da velocidade escalar no tempo. b) Aceleração vetorial média em uma volta. c) Variação da velocidade vetorial no tempo. d) N.r.a. 42. Para um corpo de massa m que descreve um

movimento circular de raio R: a) A aceleração centrípeta é maior que a

aceleração tangencial. b) A velocidade vetorial varia com o tempo, do

mesmo modo que a velocidade escalar. c) A velocidade vetorial está sempre na direção

da aceleração centrípeta. d) N.r.a. 43. Duas bolas A e B giram em movimento circular

uniforme presas aos extremos de duas cordas de comprimentos respectivamente iguais a 2m e 4m. Sabendo que elas giram com a mesma velocidade tangencial, podemos dizer que num mesmo intervalo de tempo:

a) A bola A dá mais voltas que a bola B. b) A bola B dá mais voltas que a bola ª c) Ambas as bolas darão o mesmo número de

voltas. d) Não há dados para julgar. O esquema representa uma polia que gira em torno de um eixo. A velocidade do ponto A é 50cm/s e a do ponto B é 10 cm/s. A distância AB vale 20cm. Este enunciado refere-se aos exercícios 44 e 45

44. A velocidade angular da polia vale: a) 2 rad/s b) 5rad/s c) 10rad/s d) 20rad/s e) 50 rad/s 45. O diâmetro da polia vale: a) 20cm b) 50cm c) 75cm d) 100cm e) 150cm 46. A figura seguinte representa uma correia

passando pelas roldanas A e B. Sabendo que RA = 2RB, a velocidade angular da roldana A em relação à da roldana B é:

a) ωA = 4ωB b) ωA = 2ωB c) ωA = ωB d) ωA = ωB/2 e) ωA = ωB/4 47. Um corpo realiza um MCU com velocidade

angular de 50rad/s e raio de trajetória igual a 2 metros. Determine o módulo de aceleração centrípeta desse corpo.

48. Duas polias estão ligadas entre si por uma

correia. O raio de uma delas é 20cm e o da outra é 10 cm. Se a polia de raio maior efetua 25 rpm, determine a freqüência de rotação da outra polia e a velocidade linear de um ponto da sua periferia.

GABARITO: CINEMÁTICA VETORIAL 1. 30m 2. 50 km 3. a) θ = 0° b) θ = 180° c) θ = 90° 4. a) 9m/s b) 3m/s 5. 4 Km/h e 5 Km/h 6. 433m/s e 250m/s 7. c 8. c 9. b 10. a 11. vb = 15 Km/h vc = 3 Km/h 12. 1 Km 13. 5 m/s LANÇAMENTOS 14. 20s

Mecânica


42

15. a) s/m225 b) s/m225

c) s2/25 d) s25

e)50m/s f) 62,2m g) 250m 16. 250m 17. b 18. c 19. a 20. a) V b) V c) F d) V e) F f) F g) V h) V i) V j) F 21. c 22. b 23. c 24. d 25. vx = 80m/s vy = 10m/s v ≅ 80,6m/s t = 6s 26. t1 = t2 = t3 = 0,5s 27. b 28. 1s e 4m/s MOVIMENTOS CIRCULARES

29. a) s220 b) 4 000m

c) 16 000m 30. π m/s 31. a) π/10 m/s b) π m/s 32. b 33. 1 000 rad/s 34. a) 0,5 m/s b) 0,5 rad/s c) 4πs 35. ωA = 100π rad/s ωB = 400π rad/s V = 2 000π cm/s 36. c 37. a ≅ 7,5 m/s² 38. a) V b) F c) F d) V e) V f)

F g) V h) F i) V j) V k) F l) V 39. d 40. e 41. c 42. d 43. a 44. a 45. b 46. d 47. 5 000 m/s² 48. 50rpm e 100π 49.

Mecânica


43

GLOSSÁRIO

� Abcissa – Distância entre um ponto e um plano fixo entre

os quais se traça uma linha (abscissa) � Altitude – Elevação vertical acima do nível dos mares,

ângulo formado pelo horizonte e pelo raio visual dirigido a

um astro. � atrito – fricção entre dois corpos. � cronômetro – Instrumento de medição do tempo; relógio

de grande precisão. � espaço - Extensão indefinida, capacidade de terreno,

sítio ou lugar, intervalo, duração, demora. � gravitação – força atrativa que se exerce entre os astros, em particular entre o Sol e os planetas; força de atração mútua das massas e cuja expressão matemática é dada pela lei de Newton: a matéria atrai a matéria na razão direta de suas massas e na inversa do quadrado de suas distâncias. � Latitude – distância de qualquer ponto da Terra ao equador, medida em graus no meridiano desse ponto. �

Percurso – Itinerário ação de percorrer; espaço percorrido; trajeto; movimento. � progressivo – Que progride, que muda de lugar, andando, que segue uma progressão: que se vai realizando gradualmente. � radiano – Unidade de ângulo plano. � Retilínea – Que se dirige como a linha reta, que é formado por segmento de reta � rotação – movimento que a Terra executa em torno do seu próprio eixo, de que resultam os dias e as noites. �

trajetória – Linha descrita ou percorrida por um corpo

em movimento trajeto; meio; via; percurso

Mecânica


44

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste módulo, você encontrou conteúdo, textos e interpretações para apoiá-lo no seu Curso. Aqui, a

teoria é acompanhada da sua contrapartida – estágio – que será de grande valor para o seu enriquecimento

profissional.

Não pretendemos de forma alguma ditar receitas infalíveis. Nossa intenção é conduzir um diálogo

direcionado a você e dessa forma, ajudá-lo a desenvolver habilidades de estudo – consultas a dicionário,

enciclopédia e leitura de textos – tornando-o apto a superar os limites que esse material encerra.

Agora, vamos ao seu desempenho. Se você acertou tudo, passará para o próximo módulo. Caso

contrário, esclareça suas dúvidas com o seu professor/tutor, de acordo com a sua disponibilidade de tempo e

esteja você onde estiver, seja por telefone, fax ou internet (www.colegiopolivalente.com.br.)

O desafio de toda Equipe Polivalente é saber articular um ensino profissionalizante de modo a ser

compreendido pela comunidade. O único modo para articulá-lo e vivê-lo, é dando testemunho de vida.

O seu sucesso é também sucesso do CIP.

Afinal, o CIP é você!!!!

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COLÉGIO INTEGRADO POLIVALENTE Mecânica “QUALIDADE …ead.colegiopolivalente.com.br/AreaFechada/pdf/mecanica.pdf · CINEMÁTICA VETORIAL ... Tais praticas são momentos de aplicação