Compendium [G.marciani] - Telecomunicazioni

I Compendi

di Giacomo Marciani

Telecomunicazioni

Teoria, Formulario e Suggerimenti Pratici

1

1 LAN

1.1 Interconnessioni

Un hub (o repeater) forwarda i frame ricevuti su tutte le porte ad accezione

della porta mittente.

Uno switch (o bridge) partiziona la rete in domini di collisione, unendo i

domini di broadcast; inoltra i frame ricevuti in base alle entries del proprio

forwarding database.

Un router partiziona la rete in domini di broadcast e collisione; inoltra i

frame ricevuti in base alle entries del proprio forwarding database.

Una generica entry del forwarding database una tupla (port, address, ageing),dove port la porta che permette di raggiungere la stazione con indirizzo MACaddress, ed ageing l'ageing-time della entry,al termine del quale la entryviene rimossa. Il processo di learning prevede l'inserimento di una entry in

fase di ricezione. Qualora venga ricevuto un frame destinato ad una stazione

non presente nel forwarding database, il frame viene inoltrato in broadcast.

Qualora venga ricevuto un frame destinato ad una stazione presente nel for-

warding database, il frame viene inoltrato sulla porta corrispondente.

Esercizi

1. Sia data la seguente topologia, con i dispositivi di rete aventi forwarding

databases inizialmente vuoti, e congurati con un ageing-time Ta = 10s.

Si considerino le seguenti trasmissioni.

Time (s) Frame Source Destination

1 W DD Broadcast

2 X EE DD

3 Y AA BB

4 Z BB AA

(a) Determinare i domini di broadcast.

(b) Determinare i domini di collisione.

(c) Determinare il contenuto dei forwarding database dello switch S1 altempo T = 5s.

(d) Determinare il contenuto dei forwarding database dello switch S2 altempo T = 5s.

(e) Determinare i frames ricevuti da ogni stazione al tempo T = 5s.

Risposte

2

(a) Vi un unico dominio di broadcast, in quanto gli switch uniscono

domini di broadcast.

(b) Vi sono quattro domini di collisione, in quanto gli switch partizionano

i domini di collisione: AA-BB, CC, DD, EE.

(c) Le entries del forwarding database dello switch S1 sono le seguenti:

Address Port Ageing Time

DD P3 6AA P1 8BB P1 9

(d) Le entries del forwarding database dello switch S2 sono le seguenti:

Address Port Ageing Time

DD P2 6EE P3 7AA P1 8

(e) I frames ricevuti da ogni stazione sono i seguenti:

Station Frame

AA W,Z

BB W,Y

CC W,Y

DD X,Y

EE W,Y

2. Sia dato uno switch con forwarding database inizialmente vuoto, congu-

rato con un ageing time Ta = 180s. Si considerino le seguenti trasmissioni:

Time (s) Frame Port Source Destination

0 A P1 11 2260 B P2 33 44120 C P3 44 55200 D P4 33 66210 E P3 55 33220 F P2 55 55

(a) Determinare il contenuto del forwarding database al tempo T = 230s.

(b) Determinare i frames ricevuti da ogni stazione al tempo T = 230s.

Risposte

(a) Le entries del forwarding database dello switch sono le seguenti:

(b)

Address Port Ageing Time (s)

33 P4 15044 P3 7055 P2 170

3

(c) I frames ricevuti da ogni stazione sono i seguenti:

Station Frame

11 B,C,D

22 A,B,C,D

33 A,C,E

44 A,B,D

55 A,B,C,D

66 A,B,C,D

3. Sia dato uno switch con forwardinng database inizialmente vuoto, congu-

rato con un ageing-time Ta = 180s. Si considerino le seguenti trasmissioni:

Time (s) Frame Source Destination

1 A 00:11:11:11:11:11 FF:FF:FF:FF:FF:FF

2 B 00:22:22:22:22:22 00:11:11:11:11:11

3 C 00:33:33:33:33:33 00:44:44:44:44:44

4 D 00:44:44:44:44:44 FF:FF:FF:FF:FF:FF

5 E 00:55:55:55:55:55 00:44:44:44:44:44

6 F FF:FF:FF:FF:FF:FF 00:99:99:99:99:99

7 G 00:11:11:11:11:11 00:66:66:66:66:66

8 H 00:66:66:66:66:66 00:22:22:22:22:22

(a) Determinare, per ogni frame inviato, se sia stato ricevuto dalla stazione

con MAC address 00:99:99:99:99:99, e fornire una motivazione.

Risposte

(a) La tabella seguente riassume le risposte:

(b)

Frame Received Cause

A S Broadcast

B N entry in FDB

C S entry non in FDB

D S Broadcast

E N entry in FDB

F N errore: broadcast source

G S entry non in FDB

H N entry in FDB

4. Sia dato un bridge Ethernet dotato di porte Pi con i = 1, 2, 3, 4. Il bridgericeve sulla porta P1 un frame Ethernet avente indirizzo MAC di origine11 : 11 ed indirizzo MAC di destinazione 22 : 22.

(a) Determinare verso quale/i porta/e venga forwardato il frame rice-

vuto, e come cambi il forwarding database, qualora il fowarding

database sia vuoto.

4

(b) Determinare verso quale/i porta/e venga forwardato il frame rice-


database contenga le entry: (11 : 11, P1), (22 : 22, P2)..

(c) Determinare verso quale/i porta/e venga forwardato il frame rice-


database contenga le entry: (22 : 22, P1), (11 : 11, P2).

(d) Determinare verso quale/i porta/e venga forwardato il frame rice-


database contenga le entry: (22 : 22, P3), (11 : 11, P4).

Risposte

(a) Il frame viene inoltrato su tutte le porte. Al forwarding database

viene aggiunta la entry (11 : 11, P1).

(b) Il frame viene inoltrato sulla porta P2. Al forwarding database nonviene aggiunta alcuna entry.

(c) Il frame viene inoltrato sulla porta P1. Al forwarding database vieneaggiunta la entry (11 : 11, P1), e rimossa la entry (11 : 11, P2).

(d) Il frame viene inoltrato sulla porta P3, Al forwarding database vieneaggiunta la entry (11 : 11, P1), e rimossa la entry (11 : 11, P4).

1.2 Protocollo Ethernet (IEEE 802.3)

In generale, il massimo diametro dmax di una rete Ethernet deve essere tale dapermettere ad un terminale all'estremit del bus di accorgersi di una collisione

prima di terminare la trasmissione del proprio frame. Risulta dunque

Tf,min = 2 Tprop,maxdove Tf,min il tempo necessario a trasmettere il frame di dimensione minimaLf,min alla capacit massima Cmax, e Tprop,max il massimo tempo necessarioalla propagazione del frame da un estremo all'altro del bus. Risulta dunque

Lf,minCmax

= 2 (dmaxv

+ Thub)

dove v la velocit di propagazione nel mezzo trasmissivo e Thub la sommadei tempi di ritardo introdotti da tutti gli hub della rete. Naturalmente, Lf,mine C dipedono dalla tecnologia Ethernet adottata.

Esercizi

1. Sia data una rete Ethernet con topologia a stella. I terminali sono connessi

ad un hub centrale che introduce un ritardo Thub = 0.4s.

(a) Determinare il diametro di rete, qualora si adotti la tecnologia Eth-

ernet a 100Mbps.

5

(b) Determinare la massima lunghezza di un link, qualora si adotti la

tecnologia Ethernet a 100Mbps.

(c) Determinare il diametro di rete, qualora si adotti la tecnologia Giga

Ethernet.

(d) Determinare la massima lunghezza di un link, qualora si adotti la

tecnologia Giga Ethernet.

Risposte

(a) Il diametro massimo della rete dmax =(Lf,min2Cmax Thub

)v = 432m,dove Lf,min = 64B e Cmax = 100Mbps.

(b) La massima lunghezza di un link dlnk =dmax

2 = 216m.

(c) Il diametro massimo della rete dmax =(Lf,min2Cmax Thub

) v =

329, 6m, dove Lf,min = 512B Cmax = 1Gbps.

(d) La massima lunghezza di un link dlnk =dmax

2 = 164, 8m.

2. Sia data una rete Ethernet a 100Mbps composta da due segmenti di retecon topologia a stella, connessi da due repeater RA ed RB connessi da unlink di lunghezza LR. Ogni repeater introduce un ritardo di elaborazioneThub = 0.5us. Il terminali del primo segmento sono connessi ad RA dalink di lunghezza LA,max = 20m. I terminali del secondo segmento sonoconnessi ad RB da link di lunghezza LB,min = 10m ed LB,max = 50m.

(a) Determinare la massima lunghezza del link che connette i due re-

peater, qualora si adotti la tecnologia Ethernet a 100Mbps.

(b) Determinare la massima lunghezza del link che connette i due re-

peater, qualora si adotti la tecnologia Giga Ethernet.

Risposte

(a) Il diametro massimo della rete dmax =(Lf,min2Cmax Thub

)v = 432m,dove Lf,min = 64B e Cmax = 100Mbps. La massima lunghezza dellink che connette i repeater risulta da dmax = LA,max + LR,max +LB,max, da cui LR,max = 362m.

(b) Il diametro massimo della rete dmax =(Lf,min2Cmax Thub

) v =

329, 6m, dove Lf,min = 512B Cmax = 1Gbps. La massima lunghezzadel link che connette i repeater risulta da dmax = LA,max+LR,max+LB,max, da cui LR,max = 259, 6m.

1.3 Protocollo Wi-Fi (IEEE 802.11b)

I parametri di congurazione previsti dal protocollo sono i seguenti:

dimensione RTS Lrts = 20B

6

dimensione CTS Lcts = 14B dimensione header Lh = 28B dimensione ACK Lack = 14B tempo slot Tslot = 20s tempo SIFS Tsifs = 10s tempo DIFS Tdifs = Tsifs + 2 Tslot = 50s tempo preambolo Tplcp = 192s oppure Tplcp = 96s timeout Ttmo = Tack oppure Ttmo = Tsifs + Tack nestra di contesa minima CWmin = 31 nestra di contesa massima CWmax = 1023 regola backo alla i-esima ritrasmissione: estrarre un numero casuale in

[0, 2i (CWmin + 1) 1]In generale, il tempo di trasferimento dei dati Tdata = Tplcp+

Lh+LpCd, il tempo

di trasferimento del riscontro Tack = Tplcp+LackCbed il tempo medio di backo

alla i-esima ritrasmissione E[Tback,i] =2i(CWmin+1)1

2 Tslot. Qualora gli slotdi backo siano presi da un insieme S di N slot equiprobabili, il tempo medio di

backo E[Tback] =iS i|S| Tslot. Quando in una rete sono connesse pi stazioniche trasmettono senza errori, il tempo di ciclo considera un unico backo, in

quanto il protocollo prevede il frozen backo.

In modalit basic, il tempo necessario al corretto trasferimento di un frame

T = Tdata + Tsifs + Tack + Tdifs + E[Tback,0].In modalit basic, il tempo necessario al trasferimento di un frame che abbia

subitoM fallimenti consecutivi di trasmissione T = M (Tdata+Tsifs+Ttmo+Tdifs) + (Tdata + Tsifs + Tack + Tdifs) +

Mi=0E[Tback,i].In modalit RTS/CTS, necessario un tempo di inizializzazione Trts/cts =

Trts + Tsifs + Tcts + Tsifs, dove Trts = Tplcp +LrtsCbe Tcts = Tplcp +

LctsCb.

In modalit RTS/CTS, il tempo necessario al corretto trasferimento di un

frame T = Trts/cts + Tdata + Tsifs + Tack + Tdifs + E[Tback,0].In modalit RTS/CTS, il tempo necessario al trasferimento di un frame che

abbia subitoM fallimenti consecutivi di trasmissione T = M (Trts/cts+Tdata+Tsifs+Ttmo+Tdifs) + (Trts/cts+Tdata+Tsifs+Tack +Tdifs) +

Mi=0E[Tback,i].

Esercizi

1. Sia data una stazione Wireless LAN operante con protocollo Wi-Fi 802.11b

ad accesso basic congurato con timeout Ttmo = Tack . La stazione connessa al AP della rete e trasmette pacchetti di dimensione Lp = 1500Bad un data rate Cd = 11Mbps e basic rate Cb = 1Mbps.

7

(a) Determinare il tempo di trasferimento di un pacchetto, in assenza di

errori.

(b) Determinare il tempo di trasferimento di un pacchetto, qualora subisca

tre errori consecutivi, e venga correttamente trasmesso al quarto ten-

tativo.

Risposte

(a) Il tempo di trasferimento di un frame in assenza di errori T =Tdata + Tsifs + Tack + Tdifs + Tback,0 = 1927, 273s.(b) Il tempo di trasferimento di un frame con tre errori consecutivi

T = 4 (Tdata + Tsifs + Tack + Tdifs) +3i=0 Tback,i

= 7539, 636s.2. Sia data una stazione Wireless LAN operante con protocollo Wi-Fi 802.11b

ad accesso basic congurato con una regola di backo che prevede una

trasmissione dopo 1,2,6 o 7 slot equiprobabili. La stazione trasmette pac-

chetti di dimensione Lp = 500B ad un data rate Cd = 5.5Mbps e basicrate Cb = 1Mbps.

(a) Determinare il tempo di trasferimento di un pacchetto.

(b) Determinare il throughput della stazione.

Risposte

(a) Il tempo di trasferimento di un pacchetto T = Tplcp +Lh+LpCd

+

Tsifs + Tplcp +LackCb

+ Tdifs +E[Tback,0] = 1020s, dove E[Tback,0] =1+2+6+7

2 Tslot = 80s.(b) Il throughput della stazione THR =

E[Lp]E[Tciclo]

= 3, 92Mbps, doveE[Lp] = Lp e Tciclo = T calcolato al punto precedente.

3. Siano date due stazioni Wireless LAN operanti con protocollo Wi-Fi 802.11b

ad accesso basic. La prima stazione trasmette pacchetti di dimensione

Lp,A = 1470B ad un data rate Cd,A = 11Mbps e basic rate Cb,A = 1Mbps.La seconda stazione trasmette pacchetti di dimensione Lp,B = 576B adun data rate Cd,B = 2Mbps e basic rate Cb,B = 1Mbps.

(a) Determinare il throughput della prima stazione.

(b) Determinare il throughput della seconda stazione.

(c) Determinare il throughput complessivo.

(d) Determinare il throughput della prima stazione, qualora fosse sola

nella rete.

(e) Determinare il throughput della seconda stazione, qualora fosse sola

nella rete.

Risposte

8

(a) Il throughput della prima stazione THRA =E[Lp,A]

E[Tciclo,A+B ]= 2, 39Mbps,dove E[Lp,A] = Lp,A e E[Tciclo,A+B ] = Tplcp +

Lp,A+LhCd,A

+ Tsifs +

Tplcp +LackCb,A

+Tdifs +Tplcp +Lp,B+LhCd,B

+Tsifs +Tplcp +LackCb,B

+Tdifs +

E[Tback,A,0] = 4927, 46s.(b) Il throughput della seconda stazione THRB =

E[Lp,B ]E[Tciclo,A+B ]

=0, 94Mbps, dove E[Lp,B ] = Lp,B e E[Tciclo,A+B ] lo stesso calco-lato al punto precedente.

(c) Il throughput complessivo THRA+B =E[Lp,A+B ]

E[Tciclo,A+B ]= 3, 32Mbps,dove E[Lp,A+B ] = Lp,A + Lp,B e E[Tciclo,A+B ] lo stesso calcolatoal punto precedente.

(d) Il throughput della prima stazione, qualora fosse sola nella rete,

THRA =E[Lp,A]

E[Tciclo,A]= 6, 02Mbps, dove E[Lp,A] = Lp,A e E[Tciclo,A] =

Tplcp+Lh+Lp,ACd,A

+Tsifs+Tplcp+LackCb,A

+Tdifs+E[Tback,A,0] = 19955, 46s.(e) Il throughput della seconda stazione, qualora fosse sola nella rete,

THRB =E[Lp,B ]

E[Tciclo,B ]= 1, 4Mbps, dove E[Lp,B ] = Lp,B e E[Tciclo,B ] =

Tplcp+Lh+Lp,BCd,B

+Tsifs+Tplcp+LackCb,B

+Tdifs+E[Tback,B,0] = 3282s.4. Sia data una stazione Wireless LAN operante con protocollo Wi-Fi 802.11b

ad accesso basic. La stazione connessa al AP della rete e deve scaricare

un le di dimensione Lf = 3500B da un DB connesso al AP. La stazioneutilizza il protocollo TCP congurato con MSS = 1460B. La stazionetrasmette ad un data rate Cd,A = 11Mbps e basic rate Cb,A = 1Mbps.

(a) Determinare il tempo di trasferimento del le, in assenza di errori.

(b) Determinare il throughput della stazione.

Risposte

(a) Il le viene segmentato in 2 pacchetti TCP di dimensione Lp,1 =Lh,tcp + MSS = 1500B (ricordiamo che la dimensione di un headerTCP Lh,tcp = 40B) ed un pacchetto TCP di dimensione Lp,2 =Lh,tcp + Lfmod(MSS) = 620B. Il tempo di trasferimento di un

pacchetto TCP di dimensione Lp,1 T1 = Tplcp +Lh+Lp,1

Cd+ Tsifs +

Tplcp +LackCb

+ Tdifs + Tplcp +Lh+Lack,tcp

Cd+ Tsifs + Tplcp +

LackCb

+

Tdifs + E[Tback,0] = 2582, 73s. Il tempo di trasferimento di unpacchetto TCP di dimensione Lp,2 T2 = Tplcp +

Lh+Lp,2Cd

+ Tsifs +

Tplcp +LackCb


Cd+ Tsifs + Tplcp +

LackCb

+

Tdifs + E[Tback,0] = 2437, 27s . Il tempo di trasferimento del le T = 2 T1 + T2 = 7602, 73s.(b) Il throughput della stazione THR =

E[Lp]E[Tciclo]

= 4, 52Mbps, doveE[Lp] = MSS e E[Tciclo] = Tplcp +

Lh+Lh,tcp+MSSCd

+ Tsifs + Tplcp +

9

LackCb


Cd+ Tsifs + Tplcp +

LackCb

+ Tdifs +

E[Tback,0] = 2582, 73s5. Sia data una stazione Wireless LAN operante con protocollo Wi-Fi 802.11b

ad accesso basic congurato con un timeout Ttmo = Tack e con un mec-canismo di rate adaption che prevede le trasmissioni ad un data rate

Cd,t = 11Mbps e basic rate Cb,t = 1Mbps, mentre le ritrasmissioni adun data rate Cd,r = 2Mbps e basic rate Cb,r = 1Mbps. La stazionetrasmette pacchetti di dimensione Lp = 1500B. Le trasmissioni fallisconocon probabilit pi = 60%, mentre le prime ritrasmissioni hanno sempresuccesso.

(a) Determinare il throughput della stazione.

Risposte

(a) Il thourghput della stazione THR =E[Lp]

E[Tciclo]=

(1pi)Lp+piLp(1pi)Tt+piTr ,dove Tt il tempo necessario a trasmettere un pacchetto con unatrasmissione e Tr il tempo necessario a trasmettere un pacchetto conuna ritrasmissione. Il tempo necessario a trasmettere un pacchetto

con una trasmissione Tt = Tplcp +Lh+LpCd,t

+ Tsifs + Tplcp +LackCb,t

+

Tdifs+E[Tback,0] = 1977, 27s. Il tempo necessario a trasmettere unpacchetto con una ritrasmissione Tr = Tplcp+

Lh+LpCd,t

+Tsifs+Ttmo+

Tdifs + E[Tback,1] + Tplcp +Lh+LpCd,r

+ Tsifs + Tplcp +LackCb,r

+ Tdifs +

E[Tback,0] = 9275, 27s con Ttmo = Tack = Tplcp + LackCb,t = 304s.Risulta dunque THR = 1, 88Mbps.6. Sia data una stazione Wireless LAN A operante con protocollo Wi-Fi802.11b ad accesso basic che trasmette pacchetti di dimensione Lp,A =1500B ad un data rate Cd,A = 11Mbps e basic rate Cb = 1Mbps. Siadata una stazione Wireless LAN B operante con protocollo Wi-Fi 802.11bad accesso RTS/CTS che trasmette pacchetti di dimensione Lp,B = 750Bad un data rate Cd,B = 11Mbps e basic rate Cb = 1Mbps. Si trascurinoeventuali collisioni.

(a) Determinare il throughput della prima stazione.

(b) Determinare il throughput della seconda stazione. (doppio rispetto

alla prima)

(c) Determinare il throughput complessivo.

(d) Determinare il throughput della prima stazione, qualora fosse sola

nella rete.

(e) Determinare il throughput della seconda stazione, qualora fosse sola

nella rete.

Risposte

10

(a) Il throughput della prima stazione THRA =E[Lp,A]

E[Tciclo,A+B ]= 3, 18Mbpsdove E[Lp,A] = Lp,A e E[Tciclo,A+B ] = Tplcp+

Lh+Lp,ACd,A


+Tdifs+Trts/cts+Tsifs+Tplcp+Lh+Lp,BCd,B

+Tsifs+Tplcp+LackCb,B

+

Tdifs + E[Tback,A,0] = 3775s con Trts/cts = Tplcp + LrtsCb,B + Tsifs +Tplcp +

LctsCb,B

= 666s.(b) Il throughput della seconda stazione THRB =

E[Lp,B ]E[Tciclo,A+B ]

=1, 56Mbps, dove E[Lp,B ] = Lp,B e E[Tciclo,A+B ] lo stesso calco-lato al punto precedente.

(c) Il throughput complessivo THRA+B =E[Lp,A+B ]

E[Tciclo,A+B ]= 4, 78Mbps,dove E[Lp,A+B ] = Lp,A + Lp,B e E[Tciclo,A+B ] lo stesso calcolatoal punto precedente.

(d) Il throughput della prima stazione, qualora fosse sola nella rete,

THRA =E[Lp,A]

E[Tciclo,A]= 6, 07Mbps, dove E[Lp,A] = Lp,A e E[Tciclo,A] =

Tplcp+Lh+Lp,ACd,A


+Tdifs+E[Tback,A,0] = 1977, 27s.(e) Il throughput della seconda stazione, qualora fosse sola nella rete,

THRB =E[Lp,B ]

E[Tciclo,B ]= 2, 84Mbps, dove E[Lp,B ] = Lp,B e E[Tciclo,B ] =

Trts/cts + Tsifs + Tplcp +Lh+Lp,BCd,B

+ Tsifs + Tplcp +LackCb,B

+ Tdifs +

E[Tback,B,0] = 2107, 82s con Trts/cts = Tplcp+ LrtsCb,B +Tsifs+Tplcp+LctsCb,B

= 666s.

11

2 Protocolli S&W e Sliding-Window

Tempi di trasmissione Un segmento ha una dimensione Lsgm = Lh + Lp,dove Lh la dimensione dell'header e Lp la dimensione del payload. Unriscontro ha una dimensione Lack = Lh, in quanto trattasi di un segmento privodi payload.

Il tempo necessario a trasmettere un segmento di dimensione Lsgm su unalinea di capacit C

Tsgm =LsgmC

=Lh + Lp

C(1)

Il tempo di trasmissione di un segnale lungo un canale trasmissivo dipendedalle caratteristiche siche del mezzo ed proporzionale alla velocit della luce.

= (2)

Il tempo di round-trip-time (RTT) Trtt il tempo necessario ad un segnaleper percorrere avanti e indietro il canale trasmissivo.

Trtt = 2 (3)Il tempo necessario alle ritrasmissioni Trtx dato dal numero di ritrasmissioniaette da errori Nrtx, dal tempo di trasmissione di una ritrasmissione (pari altempo di trasmissione di un segmento Tsgm) e dal tempo previsto dal timeoutTtmo.

Trtx = (Nrtx 1) (Tsgm + Ttmo) (4)Il numero di ritrasmissioniNrtx dipende dalla probabilit di errore della linea

pierr e dal numero di ritrasmissioni krtx indotte dalla perdita di un segmento.

Nrtx =1 + (krtx 1) pierr

1 pierr (5)

Il numero di ritrasmissioni indotte dalla non corretta ricezione dipende dal

tipo di protocollo adottato.

I protocolli Stop&Wait e Selective-Repeat hanno krtx = 1, in quanto laperdita di un segmento induce la ritrasmissione del solo segmento perduto. I

protocolli Go-Back-N hanno krtx variabile aleatoria, in quanto il numero diritrasmissioni indotte dalla perdita di un segmento dipende dalla posizione del

segmeto perduto all'interno della sliding-window.

Trasmissione continua Il regime di trasmissione continua permette ad un

sistema di trasmettere i propri segmenti senza interruzione. Il regime di trasmis-

sione discontinua impedisce ci obbligando il sistema ad attendere il riscontro

del primo segmento in pipeline prima di riprendere la trasmissione. Un sistema

12

che adotti un protocollo S&W non permette mai il regime di trasmissione con-

tinua. Un sistema che adotti un protocollo Sliding-Window deve essere corret-

tamente dimensionato per poter permettere il regime di trasmissione continua.

La condizione del regime di trasmissione continua la seguente:

W Tsgm Tsgm + Tack + Trtt (6)dove W la dimensione della nestra, espressa in numero di segmenti.

Throughput Il throughput denito come la quantit di bit utili trasmessi

nell'unit di tempo, ed limitato dalla capacit della linea di trasmissione.

THR = min{C, E[bit utili]E[tempo di ciclo](7)

Il thourughput duque caratterizzato dall'overhead dei segmenti, dal regime

di trasmissione e dalla probabilit di errore delle trasmissioni.

In assenza di errori (pierr = 0), il throughput caratterizzato da un tempodi ciclo dipendente dal regime di trasmissione. In caso di trasmissione continua,

il tempo di ciclo dominato dal tempo necessario alla trasmissione dei segmenti

in pipeline. In caso di trasmissione discontinua, il tempo di ciclo dominato dal

tempo necessario al riscontro del primo segmento in pipeline.

THR =

{W LpW Tsgm = C

LpLsgm

tx continuaW Lp

Tsgm+Tack+Trtttx discontinua(8)

In presenza di errori (pierr 6= 0), il throughput caratterizzato da un tempodi ciclo dipendente dal regime di trasmissione e dalla probabilit di errore della

trasmissione. In caso di trasmissione continua, il tempo di ciclo dominato dal

tempo necessario alla trasmissione dei segmenti in pipeline e alla ritrasmissione

dei segmenti aetti da errore. In caso di trasmissione discontinua, il tempo

di ciclo dominato dal tempo necessario al riscontro del primo segmento in

pipeline e alla ritrasmissione dei segmenti aetti da errore.

THR =

{W Lp

W Tsgm+Trtx tx continuaW Lp

Tsgm+Tack+Trtt+Trtxtx discontinua(9)

Esercizi

1. Sia dato un link avente capacit C = 512Kbps, caratterizzato da un tempodi propagazione = 50ms e da una probabilit di errore pierr = 10%. Illink opera con protocollo Stop-and-Wait, segmenti con header di dimen-

sione Lh = 40B e payload di dimensione massima Lp = 800B, ACKs didimensione La = 200B ed un timeout deterministico di To = 120ms. Siconsideri inoltre un le di dimensioni Lf = 4.5KB.

(a) Determinare se il sistema sia in regime di trasmissione continua.

13

(b) Determinare il throughput in condizioni ideali.

(c) Determinare il throughput in condizioni reali.

(d) Determinare il tempo necessario al trasferimento del le in condizioni

ideali.

(e) Determinare il tempo necessario al trasferimento del le in condizioni

reali, assumendo che probabilit di errore pierr sia tale da corrompereil terzo segmento, e che la congestione sia tale da ritardare la linea

di Tcong = 2ms per i successivi segmenti.

2. Siano dati due terminali A e B connessi da un nodo relay R con buerinnito, rispettivamente dai link L1 e L2. Il link L1 ha una capacitC1 = 960Kbps ed caratterizzato da un tempo di propagazione 1 = 50mse da una probabilit di errore pierr = 10%. Il link L2 ha una capacitC2 = 640Kbps ed caratterizzato da un tempo di propagazione 1 = 60mse da una probabilit di errore pierr = 10%. I link operano con protocolloStop-and-Wait, segmenti con header di dimensione Lh = 40B e payloaddi dimensione massima Lp = 800B, ed ACKs di dimensione La = 200B.Si consideri inoltre un le di dimensioni Lf = 4.5KB.


(b) Determinare il throughput su L1.

(c) Determinare il throughput sulla L2.

(d) Determinare il throughput complessivo.


non ideali ed ACKs non trascurabili, assumendo che probabilit di

errore pierr sia tale da corrompere il terzo segmento, e che la conges-tione sia tale da ritardare il link L2 di Tcong = 2ms per i successivisegmenti.

3. Siano dati due terminali A e B connessi da un nodo relay R con buerinnito, rispettivamente dai link L1 e L2. Il link L1 ha una capacitC1 = 960Kbps ed caratterizzato da un tempo di propagazione 1 = 50mse da una probabilit di errore pierr = 10%. Il link L2 ha una capacitC2 = 640Kbps ed caratterizzato da un tempo di propagazione 1 = 60mse da una probabilit di errore pierr = 10%. I link operano con protocolloSliding-Window a nestra di dimensione W = 3, segmenti con header didimensione Lh = 40B e payload di dimensione massima Lp = 800B, edACKs di dimensione La = 200B. Si consideri inoltre un le di dimensioniLf = 4.5KB.




14


(e) Determinare la dimensione della nestra tale da garantire il regime

di trasmissione continua.

(f) Determinare il tempo necessario al trasferimento del le in condizioni

non ideali ed ACKs non trascurabili, assumendo che probabilit di

errore pierr sia tale da corrompere il terzo segmento, e che la conges-tione sia tale da ritardare il link L2 di Tcong = 2ms per i successivisegmenti.

4. Sia dato un link avente capacit C = 512Kbps, caratterizzato da un tempodi propagazione = 1ms e da una probabilit di errore pierr = 10%. Illink opera con protocollo Go-Back-N a nestra di dimensione W = 4,segmenti con header di dimensione Lh = 40B e payload di dimensionemassima Lp = 800B, ACKs di dimensione La = 200B ed un timeoutdeterministico di To = 10ms. Si consideri inoltre un le di dimensioniLf = 4.5KB.





ideali.


reali, assumendo la che probabilit di errore pierr sia tale da cor-rompere il terzo segmento, e che la congestione sia tale da ritardare

la linea di Tcong = 2ms per i successivi segmenti.

5. Sia dato un link avente capacit C = 512Kbps, caratterizzato da un tempodi propagazione = 1ms e da una probabilit di errore pierr = 10%. Illink opera con protocollo Selective-Repeat a nestra di dimensioneW = 4,segmenti con header di dimensione Lh = 40B e payload di dimensionemassima Lp = 800B, ACKs di dimensione La = 200B ed un timeoutdeterministico di To = 10ms. Si consideri inoltre un le di dimensioniLf = 4.5KB.





ideali.


reali, assumendo la che probabilit di errore pierr sia tale da cor-rompere il terzo segmento, e che la congestione sia tale da ritardare

la linea di Tcong = 2ms per i successivi segmenti.

15

6. Sia dato un link avente capacit C = 128Kbps e caratterizzato da untempo di propagazione = 50ms. Il link opera con protocollo Sliding-Window a nestra di dimensione W = 4, segmenti con header di dimen-sione Lh = 40B e payload di dimensione massima Lp = 800B, ed ACKsdi dimensione La = 200B.


(b) Determinare la capacit C, tale da massimizzare il throughput.

(c) Determinare la dimensione della nestra W , tale da massimizzare ilthroughput.

(d) Determinare la dimensione del payload Lp, tale da massimizzare ilthroughput.

7. Sia dato un link L1 avente capacit C1 = 960Kbps e caratterizzato daun tempo di propagazione 1 = 50ms. Sia dato inoltre un link L2 aventecapacit C2 = 640Kbps e caratterizzato da un tempo di propagazione1 = 60ms. Il nodo che connette L1 con L2 ha un buer innito. I linkoperano con protocollo Sliding-Window a nestra di dimensione W = 4,segmenti con header di dimensione Lh = 40B e payload di dimensionemassima Lp = 800B, ed ACKs di dimensione La = 200B





(e) Determinare la dimensione della nestra W tale da massimizzare ilthroughput su L1.

(f) Determinare la dimensione della nestra W tale da massimizzare ilthroughput su L2.

(g) Determinare la dimensione della nestra W tale da massimizzare ilthroughput complessivo.

(h) Determinare il throughput massimo, qualora la dimensione della nes-

tra sia quella calcolata al punto precedente.

16

3 HDLC

HDLC Bit-oriented Un frame HDLC delimitato dalla sequenza 01111110.

L'escaping all'interno del frame viene eettuato inserendo un bit 0 dopo ogni

occorrenza di cinque bits 1 consecutivi.

HDLC Byte-oriented Un frame HDLC delimitato dal byte 7E. L'escaping

all'interno del frame viene eettuato preponendo il byte 7D ai bytes di controllo

7E e 7D i quali vengono posti in XOR con la sequenza 00100000 (7Exor00100000=5E

e 7Dxor00100000=5D).

Esercizi I delimitatori sono sottolineati, gli escapes barrati e i bytes escaped

curvati.

1. Si trasmetta la seguente sequenza su collegamento HDLC bit-oriented.

000111111111110001111100

Risposta

0111111000011111011111010001111100001111110

La sequenza codicata la seguente:

0111111000011111011111010001111100001111110

2. Si decodichi la seguente sequenza ricevuta su collegamento HDLC bit-

oriented.

01111110010111000111111001111110010101111101011110100111101111110

Risposta

01111110010111000111111001111110010101111101011110100111101111110

Le sequenze decodicate sono le seguenti:

01011100,010101111110111101001111

3. Si decodichi la seguente sequenza ricevuta su collegamento HDLC bit-

oriented.

011111100100001111100111111001111110111111101111110

Risposta

011111100100001111100111111001111110111111101111110


01000011111,1111111

La seconda sequenza contiene un errore di trasmissione, in quanto presenta

sette 1 senza escape.

17

4. Si trasmetta la seguente sequenza su collegamento HDLC byte-oriented.

7E-41-13-35-7D-5D-7E-7E-11-01-7D-5E-5D-7E

Risposta

7E-7D-

:::7E-41-13-35-7D-

:::7D-5D-7D-

::7E-7D-

:::7E-11-01-7D-

::7D-5E-5D-7D-

:::7E-7E

Ponendo in Xor i byte escaped:

7E-7D-5E-41-13-35-7D-5D-5D-7D-5E-7D-5E-11-01-7D-5D-5E-5D-7D-5E-7E

La sequenza codicata la seguente:

7E-7D-5E-41-13-35-7D-5D-5D-7D-5E-7D-5E-11-01-7D-5D-5E-5D-7D-5E-7E

5. Si decodichi la seguente sequenza ricevuta su collegamento HDLC byte-

oriented.

7E-41-13-35-7D-5D-7E-7E-11-01-7D-5E-5D-7E

Risposta

7E-41-13-35-7D-

:::5D-7E-7E-11-01-7D-

::5E-5D-7E


41-13-35-7D,11-01-7E-5D

6. Si decodichi la seguente sequenza ricevuta su collegamento HDLC byte-

oriented.

7E-41-13-35-7D-5D-7E-7E-7E-11-01-7D-5E-5D-7E

Risposta

7E-41-13-35-7D-

:::5D-7E-7E-7E-11-01-7D-

::5E-5D-7E


41-13-35-7D,7E-11-01-7E-5D

La seconda sequenza contiene un errore di trasmissione, in quanto presenta

un 7E senza escape.

18

4 Traco

Trunking Gain Il trunking gain aerma che, a parit di probabilit di blocco,

un aumento lineare dei circuiti induce un aumento sovralineare del traco of-

ferto.

Interpolazione lineare In generale, l'equazione As = Ao (1 pib) nonlineare in quanto la formula di Erlang non lineare. Per risolvere la suddetta

equazione in due incognite necessario conoscere il numero di circuiti K eprocedere per interpolazione lineare sulle incognite. Supponiamo di avere Kssato, di conoscere As e di dover determinare Ao e pib. Determiniamo, medi-ante la tabella di Erlang, due quadruple (K, Ao1 , pib1 , As1) e (K, Ao2 , pib2 , As2)

tali che As [As1 , As2 ]. Applichiamo ora l'interpolazione lineare (AoAo1 )(Ao2Ao1 ) =(AsAs1 )(As2As1 ), da cui ricaviamo Ao e pib = 1 AsAo .

Probabilit In generale, il numero di positivit in N estrazioni senza reinser-imento con probabilit uniforme pi una variabile aleatoria X con distribuzionebinomiale. La sua funzione di distribuzione [X = k] =

(Nk

) pik (1 pi)Nk.In generale, il numero di positivit in N = estrazioni senza reinserimentocon probabilit uniforme pi una variabile aleatoria X con distribuzione pois-

soniana. La sua fuzione di distribuzione [X = k] = epi pikk! ed il suo valoremedio E[X] = pi.In generale, il traco pu essere interpretato come la probabilit di impiego

di una risorsa di rete. Ne consegue che il numero di circuiti occupati in un

sistema che attesti utenti niti una variabile aleatoria con distribuzione bino-

miale, e che il numero di circuiti occupati in un sistema che attesti utenti inniti

una variabile aleatoria con distribuzione poissoniana.

In generale, il tempo di interarrivo in un processo poissoniano con frequenza

di arrivo una variabile aleatoria X con distribuzione esponenziale. La suafunzione di ripartizione [X k] = 1ek ed il suo valore medio E[X] = 1 .In generale, il numero di arrivi in un processo poissoniano con frequenza

di arrivo una variabile aleatoria X con distribuzione poissoniana. La sua

fuzione di distribuzione [X = k] = e kk! ed il suo valore medio E[X] = .In generale, il traco smaltito rappresenta il numero medio di circuiti occu-

pati.

Traco di trabocco In generale, dato un sistema dotato di circuiti primari

e di circuiti di trabocco, il traco oerto ai circuiti primari il traco oerto

al sistema, ovvero Ao,p = Ao; mentre il traco oerto ai circuiti di trabocco il traco perduto dai circuiti primari, ovvero Aot = Ao pibp .

Sistemi equivalenti In generale, dato un sistema X ed un sistema Y , Y equivalente ad X se e solo se As,Y As,X , e pib,Y pib,X .

19

Esercizi

1. Sia data una centrale telefonica dotata di K circuiti che debba garantireuna probabilit di blocco pib 1%.

(a) Determinare il numero di circuiti necessari a smaltire un traco of-

ferto Ao = 17, 7974Erl.

(b) Determinare il numero di circuiti necessari a smaltire un traco As =20Erl.

(c) Determinare il numero di circuiti necessari, qualora K = 15 circuitismaltiscano un traco As = 11, 931Erl con una probabilit di bloccopib insuciente.

(d) Determinare il numero di circuiti mediamente occupati, qualora il

traco oerto sia Ao = 17, 7974Erl.

(e) Determinare il numero di circuiti necessari a smaltire un traco As =18Erl con ecienza 40%.(f) Determinare il numero di circuiti necessari a smaltire un traco As =

18Erl con ecienza 90%.(g) Determinare l'aumento 4Ao del traco oerto Ao conseguente adun aumento 4K = 20% dei circuiti.

Risposte

(a) Il numero di circuiti necessari risulta, dalla tabella di Erlang, K =E(Ao, pib) = 27.(b) Il numero di circuiti necessari risulta, dalla tabella di Erlang, K =E(Ao, pib) = 30, dove il traco oerto Ao = As(1pib) = 20, 2Erl.(c) Il numero di circuiti necessari risulta, dalla tabella di Erlang, K =E(Ao, pib), dove il traco oerto risulta da As = Ao (1 pib). Nonconoscendo pib, necessario procedere per interpolazione lineare, dacui risulta Ao = 14Erl e pib = 1 AsAo = 14.778%. Dalla tabella diErlang risulta inne che i circuiti necessari sono K = E(Ao, pib) = 23.(d) Il numero di circuiti mediamente occupati K = As = 17, 619, dove

As = Ao (1 pib) = 17, 619Erl(e) Il numero di circuiti necessari a soddisfare il requisito di ecienza

risulta, dalla denizione di ecienza = AsK , K As = 45. Ilnumero di circuiti necessari a soddisfare il requisito di probabilit

di blocco risulta, dalla tabella di Erlang, K E(Ao, pib) = 32 doveAo =

As(1pib)

= 18, 18Erl. Per soddisfare entrambi i requisiti, ilnumero di circuiti necessari K [32, 45].(f) Il numero di circuiti necessari a soddisfare il requisito di ecienza

risulta, dalla denizione di ecienza = AsK , K As = 20. Ilnumero di circuiti necessari a soddisfare il requisito di probabilit

20

di blocco risulta, dalla tabella di Erlang, K E(Ao, pib) = 45 doveAo =

As(1pib) ' 18, 18Erl. Soddisfare entrambe i requisiti risultadunque impossibile.

(g) L'aumento del traco oerto risulta, dal trunking gain, 4Ao >4K = 20%.2. Sia data una centrale telefonica dotata di K = circuiti, alla quale siaoerto un traco Ao = 1, 2Erl generato da U = 6 utenti.

(a) Determinare il traco oerto da ogni utente.

(b) Determinare la probabilit di avere k = 2 circuiti occupati.

(c) Determinare la probabilit di avere pi di k = 2 circuiti occupati.

Risposte

(a) Il traco oerto da ogni utente ao =AoU = 0, 2Erl.

(b) La probabilit di avere k circuiti occupati considerando U utenti chegenerino un traco unitario ao [K = k] =

(Uk

) ako (1ao)Uk =1, 53%.

(c) La probabilit di avere pi di k circuiti occupati considerando Uutenti che generino un traco unitario ao [K > k] = 1 [K k] = 1ki=0 [K = i] = 1ki=0 (Ui ) aio (1 ao)Ui = 0, 16%.3. Sia data una centrale telefonica dotata di K = circuiti, alla quale siaoerto un traco Ao = 1, 2Erl generato da U = utenti.(a) Determinare la probabilit di avere k = 2 circuiti occupati, qualoragli utenti siano U =.(b) Determinare la probabilit di avere pi di k = 2 circuiti occupati,qualora gli utenti siano U =.Risposte

(a) La probabilit di avere k circuiti occupati considerando U = utentiche generino un traco complessivo Ao [K = k] = e

Ao Akok! =2, 6%.

(b) La probabilit di avere pi di k circuiti occupati considerando U =utenti che generino un traco complessivo Ao [K > k] = 1 [K k] = 1ki=0 [K = i] = 1ki=0 eAo Aioi! = 0, 77%.4. Sia data una centrale telefonica dotata di K = 7 circuiti, alla quale ar-rivano chiamate secondo processo poissoniano con tasso di arrivo =6chiamate/minuto di durata media esponenziale = 5minuti/chiamata.

(a) Determinare la probabilit che il tempo di interarrivo tra due chia-

mate consecutive sia maggiore di T0 = 15secondi.

21

(b) Determinare il tempo medio di interarrivo tra due chiamate.

(c) Determinare la probabilit di avere k = 4 circuiti occupati in T0 =15secondi.

(d) Determinare la probabilit di avere pi di k = 4 circuiti occupati inT0 = 15secondi.

(e) Determinare il numero medio di circuiti occupati.

(f) Determinare la probabilit di blocco pib.

Risposte

(a) La probabilit che il tempo di interarrivo sia maggiore di T0 [T >T0] = e

T0 = 22, 31%.(b) Il tempo medio di interarrivo T tra due chiamate E[T ] = 1 =

10secondi.

(c) La probabilit di avere k circuiti occupati in un intervallo T0, ovverola probabilit che arrivino k chiamate in un intervallo T0, [N =

k] = eT0 (T0)kk! = 4, 71%.(d) La probabilit di avere pi di k circuiti occupati in un intervallo T0,ovvero la probabilit che arrivino pi di k chiamate in un intervallo

T0, [N > k] = 1[N k] = 1ki=0 e

T0 (T0)ii! = 98, 14%.(e) Il numero medio di circuiti occupati il traco smaltito dalla cen-

trale, ovvero As = Ao (1 pib) = 6, 725, dove Ao = = 30Erl epib = E(K,Ao) = 77, 584%.(f) La probabilit di blocco risulta, dalla tabella di Erlang, pib = E(K,Ao) =

77, 584%, dove Ao = = 30Erl.5. Sia data una centrale telefonica dotata di Kp = 20 circuiti primari eKt = 12 circuiti di trabocco, la quale serve U = 640 utenti. Il 75%degli utenti genera un traco poissoniano unitario ao,1 =

130Erl. Il 25%degli utenti genera un traco poissoniano unitario con tasso di arrivo

2 = 1chiamata/2ore di durata media esponenziale 2 = 7.5minuti.

(a) Determinare il traco oerto alla centrale telefonica.

(b) Determinare la probabilit di blocco dei circuiti primari.

(c) Determinare la probabilit di blocco dei circuiti di trabocco.

(d) Determinare la probabilit di blocco della centrale telefonica.

(e) Determinare il traco smaltito dai circuiti primari.

(f) Determinare il traco smaltito dai circuiti di trabocco.

(g) Determinare il numero di circuiti necessari ad una centrale telefonica

equivalente priva di circuiti di trabocco.

Risposte

22

(a) Il traco oerto dal 75% degli utenti Ao,1 = 0.75 U ao,1 = 16Erl.Il traco oerto dal 25% degli utenti Ao,2 = 0.25 U 2 2 =10Erl. Il traco oerto complessivamente alla centrale telefonica Ao = Ao,1 +Ao,2 = 26Erl.

(b) La probabilit di blocco dei circuiti primari risulta, dalla tabella di

Erlang, pib,p = E(Kp, Ao,p) = 30, 179%, dove Ao,p = Ao = 26Erl.(c) (caso approssimato: traco poissoniano oerto ai circuiti di tra-

bocco) Il traco oerto ai circuiti di trabocco il traco perduto

dai circuiti primari, ovvero Ao,t = Ao pib,p = 7, 846Erl. Dalla tabelladi Erlang risulta che la probabilit di blocco dei circuiti di trabocco

pib,t = E(Kt, Ao,t) (3%, 5%). Per avere un valore preciso, calcol-iamo la probabilit di blocco per interpolazione lineare sull'intervallo

di probabilit (3%, 5%), ottenendo pib,t = 4, 741%.(caso reale: traco piccato oerto ai circuiti di trabocco) La prob-

abilit di blocco dei circuiti di trabocco viene calcolata a partire

dal traco smaltito dai circuiti di trabocco, ovvero tale che Ao =As,p + As,t + Ao pib, dove As,p = Ao (1 pib,p) = 18.153Erl,Ao = 26Erl, pib,p = 30, 179%, pib = 4, 122% (calcolato al punto suc-cessivo), da cui As,t = 6, 775Erl. Dalla tabella di Erlang risultadunque che pib,t = E(Kt, Ao,t) (2%, 5%). Per avere un valore pre-ciso, calcoliamo la probabilit di blocco per interpolazione lineare

sull'intervallo di probabilit (2%, 5%), ottenendo pib,t = 2, 821%.(d) (caso approssimato: traco poissoniano oerto ai circuiti di tra-

bocco) La probabilit di blocco della centrale la probabilit che si

verichi il blocco sia dei circuiti primari che dei circuiti di trabocco,

ovvero pib = pibp pibt = 1, 431%.(caso reale: traco piccato oerto ai circuiti di trabocco) La proba-

bilit di blocco della centrale la probabilit di blocco di una centrale

equivalente avente K

= Kp + Kt = 32 circuiti alla quale sia oerto

un traco Ao = Ao = 26Erl, ovvero pib = E(K

, Ao) = 4, 122%.

(e) (caso approssimato: traco poissoniano oerto ai circuiti di tra-

bocco) Il numero Keq di circuiti necessari alla centrale equivalente,risulta, dalla tabella di Erlang, Keq = E(Ao, pib) = 36, dove Ao =26Erl e pib = 1, 431%.

(caso reale: traco piccato oerto ai circuiti di trabocco) Il numero

Keq di circuiti necessari alla centrale equivalente, risulta, dalla tabelladi Erlang, Keq = E(Ao, pib) = 32, dove Ao = 26Erl e pib = 4, 122%.6. Sia data una centrale telefonica dotata di K1 = 40 circuiti, la quale serveU1 = 750 utenti. Ogni utente genera un traco poissoniano con tasso diarrivo 1 = 0.8chiamate/ora e durata media esponenziale 1 = 3minuti.Sia data una seconda centrale telefonica dotata di K2 = 20 circuiti, laquale smaltisce un traco poissoniano As,2 = 14, 96944Erl.

(a) Determinare la probabilit di blocco della prima centrale telefonica.

23

(b) Determinare la probabilit di blocco della seconda centrale telefonica.

(c) Determinare il numero di circuiti necessari ad una terza centrale che

voglia garantire il servizio della prima e della seconda con probabilit

di blocco pib3 1%.

Risposte

(a) La probabilit di blocco della prima centrale pib1 = E(K1, Ao1) =1.44%, con Ao1 = U1 1 1 = 30Erl.(b) La probabilit di blocco della seconda centrale si ricava per interpo-

lazione lineare sull'intervallo di probabilit (3%; 10%), da cui risulta

pib2= 7, 284% e Ao2 = As2(1pib2 )

= 16, 145Erl.(c) Il numero di circuiti necessari alla terza centrale K3 = E(Ao3 , pib3) =

60, con Ao3 = Ao1 +Ao2 = 46, 145Erl.

7. Sia dato un ISP dotato di K = 40 modem che convoglia il traco ricevutoverso un multiplatore statistico a coda innita con capacit di linea C =1Mbps e ritardo medio Tmux = 100ms. Ogni connessione ha una duratamedia esponenziale = 1ora/giorno. Ogni utente connesso genera untraco poissoniano con rate medio R = 26950bps e pacchetti di lunghezzamedia esponenziale L = 1KB.

(a) Determinare la frequenza di servizio del multiplatore.

(b) Determinare la frequenza di arrivo al multiplatore.

(c) Determinare il numero medio di pacchetti nel multiplatore.

(d) Determinare il fattore di utilizzo del multiplatore.

(e) Determinare il traco smaltito dal multiplatore.

(f) Determinare il traco oerto al multiplatore.

(g) Determinare il traco smaltito dai modem.

(h) Determinare il traco oerto ai modem.

(i) Determinare la frequenza di arrivo ai modem.

(j) Determinare la frequenza di servizio dei modem.

(k) Determinare il numero di modem necessari a garantire una probabil-

it di blocco pib 1%.(l) Determinare la capacit della linea necessaria a garantire una prob-

abilit di blocco pib 0.5%.(m) Determinare la capacit della linea necessaria a garantire un ritardo

medio Tmux 50ms.(n) Determinare la capacit della linea necessaria a garantire la stabilit

del multiplatore.

24

(o) Determinare il numero di utenti attestabili, qualora ogni utente generi

un tasso di connessioni 5connessioni/giorno. e si voglia garan-tire una probabilit di blocco pib 1%.

Risposte

Il multiplatore pu essere modellizzato con una codaM/M/1, ed assuntostabile.

(a) La frequenza di servizio del multiplatore mux =CL = 125pps.

(b) La frequenza di arrivo al multiplatore risulta da Tmux =1

muxmux ,da cui mux = 115pps.

(c) Il numero medio di pacchetti nel multiplatore risulta, dalla formula

di Little, nmux = mux Tmux = 11.5p.(d) Il fattore di utilizzo del multiplatore risulta da nmux =

1 , da cui

= 0.92 92%.(e) Il traco smaltito dal multiplatore As,mux = Ao,mux, in quantotrattandosi di una coda M/M/1 esso non presenta alcuna perdita.

(f) Il traco oerto al multiplatore Ao,mux =muxmux

= 0.92Erl.

(g) Il traco smaltito dai modem As,mod =s,modmod

= 34.135Erl, doves,mod = mux, e il tasso di servizio dei modem quello richiestodalle connessioni, ovvero mod =

RL= 3.369pps.(h) Il traco oerto ai modem Ao,mod =

As,mod1pib , dove pib si ricava perinterpolazione lineare su un intervallo di probabilit (5%, 10%) conAs,mod = 34, 135Erl, da cui risulta pib = 8, 106%. Risulta dunqueche Ao,mod = 37, 146Erl.(i) Il tasso di arrivo ai modem risulta dalla denizione di traco oerto

Ao,mod = mod Tc, da cui mod = 0.01cps.(j) Il tasso di servizio dei modem mod =

RL= 3.369pps.(k) Il numero K di modem necessari risulta, dalla tabella di Erlang,

K = E(Ao,mod, pib) = 50.(l) La capacit della linea non ha alcuna inuenza sulla probabilit di

blocco, in quanto il multiplatore stato assunto modellizzabile con

una coda M/M/1 e non introduce pertanto alcuna perdita al tracooerto al multiplatore.

(m) La capacit della linea necessaria risulta da Tmux =1

muxmux , dovemux =

CL ; quindi

1CLmux

50ms, da cui C 1.08Mbps.(n) La capacit necessaria risulta dalla condizione di stabilit di un mul-

tiplatore modellizzabile con una coda M/M/1, ovvero mux > mux,dove mux =

CL , da cui C > 920Kbps.

25

(o) Il numero di utenti serviti risulta dal traco oerto ai modem nelle

condizioni richieste. Dalla tabella di Erlang risultaAo,mod = E(K,pib) =29.0074Erl. Detto U il numero di utenti, risulta Ao,mod = U ,da cui U = 139.8. Sia dato un ISP dotato diK modem, che convoglia il traco generato U =U1 +U2 utenti verso un multiplatore statistico a coda innita con capacitdi linea C. Ognuno dei U1 = 416 utenti genera un traco poissoniano contasso di arrivo 1 = 2connessioni/giorno di durata media esponenziale1 = 45minuti. I rimanenti U2 utenti generano complessivamente untraco poissoniano Ao,2 = 9Erl. Ogni connessione genera un tracopoissoniano con rate medio R = 34.25Kbps e pacchetti di dimensionemedia di L = 800B.

(a) Determinare il traco oerto ai modem.

(b) Determinare il numero di modem necessari a garantire una probabil-

it di blocco pib 5%.(c) Determinare il traco smaltito dai modem.

(d) Considerando il numero di modem calcolato, determinare la capac-

it di linea necessaria a garantire un ritardo medio del multiplatore

Tmux 80ms.

Risposte

(a) Il traco oerto ai modem Ao = Ao,1 + Ao,2 = 35Erl, con Ao,1 =U1 1 1 = 26Erl e Ao,2 = 9Erl.(b) Il numero di modem necessari K = E(Ao, pib) = 41 con probabilitdi blocco eettiva pib = 4, 426%.

(c) Il traco smaltito dai modem As = Ao (1 pib) = 33, 451Erl.(d) La capacit di linea necessaria C = mux L, con mux tale che

Tmux =1

muxmux 80ms dove mux = AsRL = 179pps da cuimux 191, 5pps. Risulta dunque C 1, 2256Mbps.9. Sia dato un ISP dotato di K modem che convoglia il traco generato daU = 312 utenti verso un multiplatore statistico a coda innita con capacitdi linea C = 1Mbps e fattore di utilizzo = 88.91%. Ogni utente generaun traco poissoniano con tasso di arrivo = 2connessioni/giorno didurata media esponenziale = 1ora. Ogni connessione genera un tracopoissoniano con rate medio R = 38Kbps, con pacchetti di dimensionemedia esponenziale L = 1KB.

(a) Determinare la probabilit di blocco dell'ISP.

(b) Determinare il ritardo medio introdotto dal multiplatore.

Risposte

26

(a) La probabilit di blocco pib = 1 AsAo . Il traco oerto ai modem Ao = U = 26Erl, il traco smaltito indicato dal fattore diutilizzo della linea, ovvero As =

CR = 23, 397Erl. La probabilit di

blocco risulta dunque essere pib = 1 AsAo = 10, 011%.(b) Il ritardo medio del multiplatore Tmux =

1muxmux , dove il tassodi servizio del multiplatore mux =

CL = 125pps ed il tasso di

arrivo al multiplatore mux =CL = 111, 138pps. Risulta dunqueche Tmux = 72, 14ms.10. Sia dato un ISP dotato di K = 25 modem che convoglia il traco generatoda U = 336 utenti verso un multiplatore statistico a coda innita concapacit di linea C. Ogni utente genera un traco poissoniano con tassodi arrivo = 3connessioni/giorno di durata media esponenziale =40min. Ogni connessione genera un traco poissoniano con rate medioR = 36Kbps e pacchetti di dimensione media espoenziale L = 1, 5KB.

(a) Determinare la capacit di linea necessaria a garantire un ritardo

medio Tmux 100ms.(b) Determinare le conseguenze di un incremento dei modem tale da

garantire una probabilit di blocco pib 1% con capacit di lineaC = 500Kbps.

Risposte

(a) Il ritardo medio del multiplatore Tmux =1

muxmux 100ms. Iltasso di servizio del multiplatore mux =

CL . Il tasso di arrivo al

multiplatore mux = Ao,mux i = As,mod i = Ao (1 pib) i = 66, 722pps, dove il traco oerto Ao = U = 28Erl, laprobabilit di blocco risulta dalla tabella di Erlang pib = E(K,Ao) =20, 57% ed il traco in pacchetti al secondo generato da ogni utente i =

RL = 3pps. Risulta dunque che C = 920, 664Kbps.

(b) Alle condizioni richieste, risulta che il tasso di arrivo al multiplatore

mux = Ao,mux i,mux = Ao (1 pib) i,mux = 83, 16pps ed iltasso di servizio del multiplatore mux =

CL = 41, 667pps. Poich

mux < mux allora il multiplatore instabile.

11. Sia dato un ISP che convoglia il traco generato dagli utenti verso un

multiplatore statistico a coda innita con capacit di linea C = 320Kbpse numero medio di pacchetti in transito nmux = 4. Gli utenti gener-ano complessivamente un traco poissoniano Ao = 9, 2Erl. Ogni utenteconnesso genera un traco poissoniano con tasso di arrivo i = 10pps epacchetti di dimensione media esponenziale L = 400B.

(a) Determinare la probabilit di blocco.

Risposte

27

(a) La probabilit di blocco pib = 1 AsAo = 13, 043%, dove il tracooerto Ao = 9, 2Erl, ed il traco smaltito As = Ao,mux =

CR =

8Erl, con fattore di utilizzo del multiplatore = nmux1+nmux =45 e rate

medio di una connessione R = i L = 32Kbps.12. Sia dato un ISP dotato di K = 23 modem che convoglia il traco gen-erato da U utenti verso un multiplatore statistico a coda innita concapacit di linea C = 1Mbps e numero medio di pacchetti in transitonmux = 4. Ogni utente genera un traco poissoniano con tasso di arrivo = 1connessione/8ore di durata media esponenziale = 1ora. Ogni con-nessione genera un traco poissoniano con tasso di arrivo i = 8.0665ppse pacchetti di dimensione media esponenziale L = 1KB.

(a) Determinare la probabilit di blocco.

(b) Determinare il numero di utenti dell'ISP.

Risposte

(a) La probabilit di blocco si ricava per interpolazione lineare in un

intervallo di probabilit (0, 2%; 0, 3%) con traco smaltito As =Ao,mux =

CiL= 12, 397Erl, da cui risulta pib = 0, 233%(b) Il numero di utenti dell'ISP risulta da U = Ao, con Ao = As1pib =

12, 426Erl, da cui U = 99, 408.

13. Sia dato un ISP che convoglia il traco generato dagli utenti verso un

multiplatore statistico. Gli utenti generano un traco poissoniano con

tasso di arrivo 1 = 6, 4pps e pacchetti di dimensione media esponenzialeL = 1250B . Si consideri un primo multiplatore statistico a coda innitacon capacit di linea C1. Si consideri un secondo multiplatore statisticoprivo di coda con due linee indipendenti di capacit C2 = 1Mbps.

(a) Determinare la capacit di linea necessaria a garantire un ritardo di

multiplazione Tmux,1 0, 1s, qualora venga usato il primo multipla-tore.

(b) Determinare il ritardo di multiplazione, qualora venga usato il sec-

ondo multiplatore e si debba garantire una probabilit di blocco

pib 0, 01%.

Si voglia convogliare il traco ricevuto verso il secondo multiplatore, con

probabilit di inoltro pimux,2.

(a) Determinare la probabilit di inoltro necessaria a garantire una prob-

abilit di blocco pib 0, 01%.(b) Determinare il ritardo di multiplazione del primo multiplatore con

questa nuova congurazione.

28

Risposte

Il primo multiplatore modellizzabile con una coda M/M/1. Il secondomultiplatore modellizzabile con una coda M/M/2/0.

(a) La capacit di linea necessaria al primo multiplatore si ricava da

Tmux,1 =1

11 0, 1s, dove 1 = C1L e 1 = 6, 4pps, da cui C1 164Kbps.

(b) Il ritardo del secondo multiplatore Tmux,2 =1

21(1pib,2) , dove

2 =C2L = 100pps. Risulta dunque Tmux,2

= 0, 011s.(c) La probabilit di blocco del sistema data dalla probabilit di blocco

del secondo multiplatore, in quanto privo di coda. Il secondo mul-

tiplatore pu ricevere un traco Ao,2 = E(K,pib) = 0, 0142Erl contasso di arrivo ricavato da 2 LC2 = Ao,2, da cui 2 = 1, 42pps. Risultadunque che la probabilit ottimale di inoltro al secondo multiplatore

pimux,2 =21= 22, 187%.(d) Il ritardo del primo multiplatore Tmux,1 =

111(1pimux,2)

=0, 087s, dove 1 =

C1L = 16, 4pps, 1 = 6, 4pps e pimux,2 = 22, 187%.

29

5 Reti radiomobili

1. Sia dato un sistema cellulare con topologia esagonale. Si consideri l'insieme

di valori di cluster {K : K [16, 20]}.

(a) Determinare i cluster ammissibili.

(b) Determinare il fattore di riuso di ogni cluster possibile.

(c) Determinare cosa cambierebbe qualora il sistema adotti una topologia

lineare.

Risposte

In una topologia esagonale, l'insieme delle dimensioni di cluster ammissi-

bili {K N : i, j N.K = i2 + j2 + ij}.In una topologia lineare, l'insieme delle dimensioni di cluster ammissibili

{K N}.In generale, il fattore di riuso q = DR =

3KRR =

3K.

(a) La dimensione di cluster ammissibile K = 19.

(b) Il fattore di riuso q = DR =

3KRR= 7.55.(c) La topologia lineare ammette qualsiasi dimensione di cluster.

2. Sia dato un sistema cellulare dotato di celle esagonali con dimensione di

cluster K, numero di interferenti Ni, operante in un territorio caratteriz-zato da un fattore di attenuazione .

(a) Dimostrare che CCI = (3K)2

Ni.

(b) Determinare il SIR. qualora si adottino antenne omnidirezionali.

(c) Determinare il SIR, qualora si adottino antenne trisettorizzate.

(d) Determinare il SIR, qualora si adottino antenne esasettorizzate.

Risposte

In generale, il SIR a bordo cella SIR = (3K)2

Ni. La settorizzazione

delle antenne determina il numero di interferenti Ni: una antenne omni-direzionale ha 6 interferenti, una antenna trisettorizzata ha 2 interferenti,

una antenne esasettorizzata ha 1 interferente.

(a) La interferenza cocanale il SIR a bordo cella in cui gliNi interferenti

sono le celle cocanale di primo anello. Vale dunque CCI = R

NiD =1Ni (DR ). Poich la distanza di riuso D ed il raggio cellulare Rsono legati dalla relazione D =

3KR, allora CCI = 1Ni (DR ) =

1Ni (

3KRR )

= (3K)2

Ni.

30

(b) Una cella omnidirezionale riceve interferenze da 6 celle cocanale di

primo anello dunque SIR = (3K)2

6 .

(c) Una cella trisettorizzata riceve interferenze da 2 celle cocanale di

primo anello, dunque SIR = (3K)2

2 .

(d) Una cella esasettorizzata riceve interferenza da 1 cella cocanale di

primo anello, dunque SIR = (3K)2.

3. Sia dato un sistema cellulare dotato di celle esagonali. Il territorio da

servire caratterizzato da un fattore di attenuazione = 3.4. Il sistemadeve garantire un rapporto segnale-innterferenza a bordo cella SIR 15dB.

(a) Determinare la dimensione del cluster, qualora si adottino celle om-

nidirezionali.

(b) Determinare la dimensione del cluster, qualora si adottino celle triset-

torizzate.

Risposte

In generale, il vincolo sul SIR determina la dimensione del cluster.

(a) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR, infatti da

SIR = (3K)2

6 si ricava K = 7.3. Il primo valore di K ammissibile K = 9.

(b) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR, infatti da

SIR = (3K)2

2 si ricava K = 3.8. Il primo valore di K ammissibile K = 4.

4. Sia dato un sistema cellulare dotato di celle esagonali trisettorizzate. Il

territorio da servire caratterizzato da un fattore di attenuazione = 3.Il sistema deve garantire una probabilit di blocco pib 1%, una densitcellulare di traco Ao/c = 30Erl ed un rapporto segnale-interferenza abordo cella SIRdB 16dB.

(a) Determinare il numero di canali totali necessari.

Risposte

(a) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR, ovvero SIR =(3K)

2

Ni, da cui K = 6.169 K = 7. Il numero di canali per cella

Cc = E(Ao/c, pib) = 42. Il numero di canali totali necessari Ctot =Cc K = 294.5. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 120 canali e celle esagonalitrisettorizzate. Il territorio da servire caratterizzato da un coeciente

di attenuazione = 3.7 e da una densit superciale di traco oerto

31

Ao/km2 = 24Erl/Km2. Il sistema deve garantire una probabilit di blocco

pib 1% ed un rapporto segnale-interferenza a bordo cella SIR 15dB.

(a) Determinare la distanza intercellulare.

Risposte


2

Ni, da cui K = 3.136 K = 4. Il numero di canali persettore Cs =

CtotKS = 10, quindi il traco oerto ad ogni set-tore Ao/s = E(Cs, pib) = 4.4612Erl, da cui il traco oerto adogni cella Ao/c = S Ao/s = 13.3836Erl. La supercie cellu-lare deve essere tale da soddisfare il vincolo di densit superciale

di traco, ovvero Sc Ao/km2 = Ao/c, da cui la supercie cellulare Sc =

Ao/cAo/km2

= 0.558Km2. Il raggio cellulare si ricava dalla superciecellulare Sc =

3

3R2

2 R = 0.463Km, da cui la distanza cellularerisulta essere d = 2

3R2 = 0.802Km.

6. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 504 canali. Il sistema operain un'area con coeciente di attenuazione = 3.6 e densit superciale ditraco Ao/km2 = 30Erl/Km

2. Il sistema deve garantire una probabilit

di blocco pib 2% ed un rapporto segnale-interferenza a bordo cella SIR 20dB.

(a) Determinare l'area cellulare necessaria, qualora si adottino antenne

omnidirezionali.

(b) Determinare l'area cellulare necessaria, qualora si adottino antenne

trisettorizzate.

Risposte


SIR = (3K)2

6 si ricava K = 7.3. Il primo valore di K ammissibile

K = 12. Il numero di canali per cella Cc =CtotK = 42, dunqueogni cella pu ricevere un traco Ao/c = E(Cc, pib) = 32.83Erl. Lasupercie cellulare deve essere tale da soddisfare il vincolo di densit

superciale di traco, ovvero Sc Ao/km2 = Ao/c, da cui la superciecellulare Sc =

Ao/cAo/km2

= 1.094Km2.(b) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR, infatti da

SIR = (3K)2

2 si ricava K = 7.3. Il primo valore di K ammissibile

K = 7. Il numero di canali per settore Cs =Ctot3K = 24, dunqueogni settore pu ricevere un traco Ao/s = E(Cs, pib) = 16.63Erl,pertanto ogni cella pu ricevere un traco Ao/c = 3Ao/s = 49.89Erl.

32

La supercie cellulare deve essere tale da soddisfare il vincolo di den-

sit superciale di traco, ovvero Sc Ao/km2 = Ao/c, da cui lasupercie cellulare Sc =

Ao/cAo/km2

= 1.663Km2.

7. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ftot = 36 frequenze e celle esagonalidi raggioR = 0.5Km. Ogni frequenza supporta Cf = 8 canali. Il territorioda servire caratterizzato da un fattore di attenuazione = 4. Ogniutente genera un traco ao = 15mErl. Il sistema deve garantire unaprobabilit di blocco pib 5% ed un rapporto segnale-interferenza a bordocella SIR 17dB.(a) Determinare la densit cellulare di traco oerto, qualora si adottino

celle omnidirezionali.

(b) Determinare la densit superciale di traco oerto, qualora si adot-

tino celle omnidirezionali.

(c) Determinare la densit superciale di utenti, qualora si adottino celle

omnidirezionali.

(d) Determinare la densit cellulare di traco oerto, qualora si adottino

celle trisettorizzate.

(e) Determinare la densit superciale di traco oerto, qualora si adot-

tino celle trisettorizzate.

(f) Determinare la densit superciale di utenti, qualora si adottino celle

trisettorizzate.

Risposte


SIR = (3K)2

6 si ricava K = 5.78 K = 7. Il numero di canali percella Cc =

FtotCfK = 41, dunque ogni cella pu ricevere un traco

Ao/c = E(Cc, pib) = 35.5843Erl.(b) La densit superciale di traco oerto Ao/km2 =

Ao/cSc

= 57.745Erl/Km2,

dove Ss =3

3R2

2 = 0.65Km2 la supercie cellulare.

(c) La densit superciale di utenti Ukm2 =Ao/km2

ao= 3849.667utenti/Km2.

(d) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR, infatti da

SIR = (3K)2

2 si ricava K = 3.337 K = 4. Il numero di canaliper settore Cs =

FtotCfKS = 24, dunque ogni settore pu ricevere untraco Ao/s = E(Cs, pib) = 19Erl, e quindi ogni cella pu ricevereun traco Ao/c = S Ao/s = 57Erl.(e) La densit superciale di traco oerto Ao/km2 =

Ao/cSc

= 87.692Erl/Km2,

dove Sc =3

3R2

2 = 0.65Km2 la supercie cellulare.

(f) La densit superciale di utenti Ukm2 =Ao/km2

ao= 5846.133utenti/Km2.

33

8. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 32 canali e celle esagonaliomnidirezionali con raggio R = 250m, con dimensione di cluster K = 4.Il territorio da servire caratterizzato da un coeciente di attenuazione

= 3.6 e da un traco per utente ao = 12mErl. Il sistema deve garantireuna probabilit di blocco pib 3%.

(a) Determinare il SIR a bordo cella.

(b) Determinare la densit cellulare di utenti.

(c) Determinare la densit superciale di utenti.

Risposte

(a) Il SIR a bordo cella SIR = (3K)2

Ni= 14.6, ovvero SIR = 11.643dB.(b) Ad ogni cella viene oerto un traco Ao/c = E(Cc, pib) = 3.987Erl,dove Cc =

CtotK = 8 sono i canali per cella. Pertanto la densit

cellulare di utenti Uc =Ao/cao

= 332.25utenti/cella.

(c) La densit superciale di utenti UKm2 =UcSc= 2050.926utenti/Km2,dove la supercie cellulare Sc =

3

3R2

2= 0.162Km2.9. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 16 canali. In condizioninormali, la probabilit di blocco pib1 1%. Il sistema deve garantire lastessa probabilit di blocco, a fronte di un incremento del traco oerto

pari a 4Ao = 35%.

(a) Determinare il traco smaltito a seguito dell'incremento.

(b) Determinare il numero di canali necessari a garantire la probabilit

di blocco iniziale.

Risposte

(a) Il traco oerto prima dell'incremento Ao1 = E(Ctot, pib1) = 8.875Erl,da cui il traco oerto a seguito dell'incremento Ao2 = (1 +4Ao) Ao1

= 12Erl. La probabilit di blocco a seguito dell'incrementorisulta essere pib2 = E(Ctot, Ao2) = 6.041%, da cui il traco smaltitoa seguito dell'incremento As2 = (1 pib2) Ao2 = 11.275Erl.(b) Il numero di canali necessari a smaltire il traco oerto a seguito

dell'incremento, garantendo la probabilit di blocco iniziale, Ctot =E(Ao2 , pib1) = 20.

10. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 675 canali e celle esago-nali trisettorizzate. Il territorio da servire caratterizzato da un coe-

ciente di attenuazione = 3.8, una densit superciale di utenti Ukm2 =1500utenti/Km2, un traco per utente ao = 12mErl. Il sistema devegarantire una probabilit di blocco piB = 0.5% ed un rapporto segnale-interferenza a bordo cella SIR = 262.157.

34

(a) Dimostrare che il cluster da utilizzare ha dimensione 9.

(b) Determinare la densit cellulare di traco smaltito.

(c) Determinare la densit cellulare di utenti.

(d) Determinare la dimensione della cella.

Risposte


2

Ni K = 9.(b) Ogni settore cellulare possiede Cs =

CtotKS = 25 canali, quindi il traf-co oerto ad ogni cella Ao/c = 3 E(Cs, pib) = 45Erl, da cui iltraco smaltito da ogni cella As/c = (1 pib) Ao/c = 44.775Erl.(c) Il numero di utenti per cella Uc =

Ao/cao

= 3750utenti/cella.

(d) La supercie cellulare Sc =Uc

Ukm2= 2.5Km2.

11. Sia dato un sistema cellulare con celle esagonali trisettorizzate. Il territorio

da servire caratterizzato da un coeciente di attenuazione = 3.8, unadensit cellulare di utenti Uc = 414utenti/cella, un traco per utenteao = 30mErl. Il sistema deve garantire una probabilit di blocco pib 1%ed un rapporto segnale-interferenza a bordo cella SIR = 16dB.

(a) Determinare il numero di canali totali necessari.

Risposte

(a) Il numero di canali totali Ctot = S K Cs. Il numero di settori S = 3. La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR,

ovvero SIR = (3K)2

Ni K = 3.33 K = 4. Il numero di canaliper settore Cs = E(Ao/s, pib) = 10, dove il traco oerto ad ognisettore Ao/s = ao UcS = 4.14Erl. Pertanto, il numero di canalitotali Ctot = S K Cs = 120.12. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 441 canali e celle esagonali.Il territorio da servire caratterizzato da un coeciente di attenuazione

= 4. Il sistema deve garantire una probabilit di blocco pib 1% ed unrapporto segnale-interferenza a bordo cella SIR 20dB.

(a) Determinare la densit cellulare di traco oerto, qualora si adottino


(b) Determinare la densit cellulare di traco oerto, qualora si adottino


(c) Determinare la densit cellulare di traco oerto, qualora si adottino

celle esasettorizzate.

35

Risposte

(a) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR con numero

di interferenti Ni = 6, ovvero SIR =(3K)

2

Ni K = 8.165 K = 9,da cui il numero di canali per cella Cc =

CtotKS = 49, con numerodi settori S = 1. Ad ogni cella viene oerto un traco Ao/c =E(Cc, pib) = 37.0042Erl.(b) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR con numero


2

Ni K = 4.71 K = 7,da cui il numero di canali per settore Cs =

CtotKS = 21, con numerodi settori S = 3. Ad ogni settore viene oerto un traco Ao/s =E(Cs, pib) = 12.8378Erl, quindi ad ogni cella viene oerto un tracoAo/c = S Ao/s = 38.5134Erl.(c) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR con numero di

interferenti Ni = 1, ovvero SIR =(3K)

2

Ni K = 3.33 K = 4, dacui il numero di canali per settore Cs =

CtotKS = 18.375 Cs = 18,con numero di settori S = 6. Ad ogni settore viene oerto un tracoAo/s = E(Cs, pib) = 10.4369Erl, quindi ad ogni cella viene oerto untraco Ao/c = S Ao/s = 62.6214Erl.13. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 72 canali e celle esagonali diraggio R = 400m. Il territorio da servire caratterizzato da un coecientedi attenuazione = 4 e da un traco per utente ao = 15mErl. Il sistemadeve garantire una probabilit di blocco pib 5%, un rapporto segnale-interferenza a bordo cella SIR = 13dB.

(a) Determinare la densit cellulare di utenti, qualora si adottino celle

omnidirezionali.

(b) Determinare la densit superciale di utenti, qualora si adottino celle

omnidirezionali.

(c) Determinare la densit superciale di traco, qualora si adottino


(d) Determinare la densit cellulare di utenti, qualora si adottino celle

trisettorizzate.

(e) Determinare la densit superciale di utenti, qualora si adottino celle

trisettorizzate.

(f) Determinare la densit superciale di traco, qualora si adottino


Risposte

(a) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR con numero


2

Ni K = 3.647 K = 4,

36

da cui il numero di canali per cella Cc =CtotKS = 18, con numerodi settori S = 1. Ad ogni cella viene oerto un traco Ao/c =E(Cc, pib) = 13.3852Erl, da cui il numero di utenti per cella risultaessere Uc =

Ao/cao


(b) La densit superciale di utenti Ukm2 =UcSc

= 2145.065utenti/Km2,

dove la supercie cellulare Sc =3

3R2

2= 0.416Km2.(c) La densit superciale di traco Ao/km2 = aoUkm2 = 32.176Erl/Km2.(d) La dimensione del cluster si ricava dal vincolo sul SIR con numero


2

Ni K = 2.106 K = 3,da cui il numero di canali per settore Cs =

CtotKS = 8, con numerodi settori S = 3. Ad ogni settore viene oerto un traco Ao/s =E(Cs, pib) = 4.543Erl, quindi ad ogni cella viene oerto un tracoAo/c = S Ao/s = 13.629Erl, da cui il numero di utenti per cellarisulta essere Uc =

Ao/cao


(e) La densit superciale di utenti Ukm2 =UcSc

= 2184.135utenti/Km2,

dove la supercie cellulare Sc =3

3R2

2= 0.416Km2.(f) La densit superciale di traco Ao/km2 = aoUkm2 = 32.76Erl/Km2.14. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ctot = 36 canali e celle esagonaliomnidirezionali con dimensione di cluster K1 = 4. La densit cellulare ditraco smaltito As/c = 5.8Erl, il rapporto segnale-interferenza a bordocella SIR = 13.37dB e la probabilit di blocco risulta eccessiva. Ilsistema deve garantire una probabilit di blocco pib 1% con un clusterdi dimensione K2 = 3.

(a) Determinare il coeciente di attenuazione del territorio servito.

(b) Determinare il numero di canali necessari.

(c) Determinare il SIR.

Risposte

(a) Il coeciente di attenuazione del territorio servito si ricava dalla

denizione del SIR con numero di interferenti Ni = 6 e cluster di

dimensione K = 4, ovvero SIR = (3K)2

Ni = 3.92.(b) L'attuale probabilit di blocco si ricava per interpolazione lineare

sull'intervallo di probabilit (5%, 10%), da cui pib1 = 9.429%. Ladensit cellulare di traco oerto dunque Ao/c = 6.4Erl. Il numerodi canali per cella Cc = E(Ao/c, pib) = 13. Pertanto, il numero dicanali necessari Ctot = K2 Cc = 39.(c) Il SIR risulta essere SIR = (3K2)

2

Ni= 12.364, da cui SIRdB =

10.922dB.

37

15. Sia dato un sistema cellulare dotato di F = 3 frequenze, ognuna sup-portante Cf = 8 canali, e celle esagonali omnidirezionali con cluster didimensione K = 3. Il territorio da servire caratterizzato da un coef-ciente di attenuazione = 4 e da una densit superciale di tracoAo/km2 = 7.13Erl/Km

2. Il sistema deve garantire una probabilit di

blocco pib 5%.

(a) Determinare il SIR a bordo cella.

(b) Determinare il raggio cellulare.

Viene fornita una ulteriore frequenza, la quale viene utilizzata per creare

una sottocella all'interno di ogni cella del sistema precedente. Il sistema

risultante deve garantire un rapporto segnale-interferenza a bordo cella

SIR = 7dB. Si assuma inoltre che ogni chiamata generata all'interno dellasottocella sia servita con probabilit pisc dalla sua specica frequenza.

(a) Determinare il raggio della sottocella.

(b) Determinare la probabilit che minimizza la probabilit di blocco.

Risposte

(a) Il SIR a bordo cella SIR = (3K)2

Ni= 13.5, da cui SIRdB =

11.303dB.

(b) I canali totali sono Ctot = F Cf = 24. Ogni cella dispone diCc =

CtotK = 8 canali. Ad ogni cella viene oerto un traco Ao/c =E(Cc, pib) = 4.543Erl. La supercie cellulare deve essere tale dagarantire la densit superciale di traco, ovvero Ao/c = Sc Ao/km2 ,da cui la supercie cellulare risulta essere Sc =

Ao/cAo/km2

= 0.637Km2.Il raggio cellulare risulta dunque essere R = 0.495Km.

(c) La generica sottocella omnidirezionale, con dimensione del cluster

Ks = 1, con distanza di riuso Ds =23R

2 =

3 R, e raggiosottomultiplo del raggio della cella Rs = R. Si ricava il fattore diproporzionalit fra i raggi R ed Rs mediante il vincolo sul SIR, ovvero

SIR = 1Nis (DsRs ) = 1Nis (

3 )

con SIRdB = 7dB SIR = 5.012ed Nis = 6, da cui

= 0.7396 e quindi Rs = R = 0.366Km.(d) La minimizzazione della probabilit di blocco si ottiene con la equa

divisione del traco fra la cella e la sottocella3) per minimizzare il

blocco basta dividere equamente il traco tra cella piccola e cella

grande. Poich il traco proporzionale alla supercie di copertura

cellulare, la totalit del traco oerto a cella e sottocella pro-

porzionale alla supercie della cella (infatti la sottocella contenuta

in essa). Per dividere equamente il traco basta imporre

pisSsSc

= 12 ,

dove la supercie della cella Sc =3

3R2

2 e la supercie della sotto-

cella Ss =3

3(R)2

2 , dunquepisSsSc

= pis 2 = 12 , da cui pis = 0.914.

38

16. Sia dato un sistema cellulare dotato di Ftot = 84 frequenze con celle esag-onali omnidirezionali. Il territorio da servire caratterizzato da un fattore

di attenuazione = 3.9. Il sistema deve garantire una probabilit di bloccopib 1%. Il numero di canali supportati da ogni frequenza dipende dalrapporto segnale-interferenza a bordo cella: se SIR (10, 12.5)dB alloraCf = 2, se SIR (12.5, 15)dB allora Cf = 3, se SIR (15, 17.5)dBallora Cf = 4, se SIR (17.5,)dB allora Cf = 5.(a) Determinare la dimensione di cluster che massimizza la densit cel-

lulare di traco oerto.

Risposte

(a) Si procede per tentativi sulle dimensioni di cluster ammissibili. Per

K = 1 e K = 2 non si hanno informazioni sul numero di canaliper frequenza. Per K = 3, SIR = 10.826dB, quindi ogni cella haa disposizione Cc =

FtotCfK = 56 canali, da cui la densit cellularedi traco oerto vale Ao/c = E(Cc, pib) = 43.3149Erl. Per K = 4,SIR = 13.2625dB, quindi ogni cella ha a disposizione Cc = FtotCfK =63 canali, da cui la densit cellulare di traco oerto vale Ao/c =E(Cc, pib) = 49.6878Erl. Per K = 7, SIR = 18dB, quindi ognicella ha a disposizione Cc =

FtotCfK = 60 canali, da cui la densitcellulare di traco oerto vale Ao/c = E(Cc, pib) = 46.9497Erl. PerK = 9, SIR = 20.13dB, quindi ogni cella ha a disposizione Cc =FtotCfK = 46 canali, da cui la densit cellulare di traco oerto vale

Ao/c = E(Cc, pib) = 34.3223Erl. Pertanto, la dimensione del clusterche massimizza la densit cellulare di traco oerto K = 4.

17. Sia dato un sistema cellulare dotato di celle esagonali. Il territorio da

servire caratterizzato da un fattore di attenuazione = 3.4, da unadensit superciale di traco Ao/km2 = 40Erl/Km

2e da terminali con

soglia di ricezione rx = 92dB. Il sistema deve garantire una probabilitdi blocco pib 5%, una ecienza di multiplazione 80%.(a) Determinare i circuiti necessari alla cella.

(b) Determinare il raggio cellulare di una cella circolare equivalente.

(c) Determinare la potenza di riferimento ricevuta ad una distanza d =10m dall'antenna, qualora si ignorino fenomeni di fading.

(d) Determinare la potenza di riferimento ricevuta ad una distanza d =10m dall'antenna, qualora sia concesso un margine di fading =6dB.

Risposte

(a) Il numero di circuiti per cella necessari si ricava dal vincolo di e-

cienza e probabilit di blocco, ovvero =As/cCc

=Ao/c(1pib)

Cc 0.8da cui

Ao/cCc 0.8(1pib) soddisfatta per Cc = 34 e Ao/c = 28.6978Erl.

39

(b) La supercie cellulare deve essere tale per cui Sc Ao/km2 = Ao/c,ovvero Sc =

Ao/cAo/km2

= 0.7174Km2, dove Sc = piR2, da cui R =0.478Km.

18. Sia dato un sistema cellulare dotato di celle omnidirezionali con fattore di

riuso D = 4. Il fattore di attenuazione = 4.222. Ogni utente generaun traco con rate medio R = 0.9Mbps e pacchetti di dimensione mediaLp = 1000B. Il traco viene inviato ad un multiplatore di una stazioneradiobase. Il sistema deve garantire una probabilit di blocco pib < 1%.La capacit di ogni cella dipende dal CCI: la capacit massima e pari a

Cmax = 60Mbps con CCI [20,)dB, e decresce no ad annullarsi conCCI = 5dB. Il ritardo attuale di ogni multiplatore T = 1ms.

(a) Determinare il numero medio di utenti serviti da ogni cella.

40

6 Catene di Markov

1. Sia dato un sistema dotato di due linee telefoniche condivise da due geni-

tori e due gli. La chiamata di un genitore prioritaria rispetto a quella di

un glio: qualora le linee fossero entrambe occupate, la chiamata del geni-

tore interrompe quella di un glio. Ogni genitore, quando inattivo, genera

chiamate con frequenza G di durata media1G. Ogni glio, quando inat-

tivo, genera chiamate con frequenza F di durata media1F.

(a) Modellizzare il sistema come una catena di Markov.

(b) Determinare la probabilit che una chiamata generata da un glio

sia bloccata a causa di mancanza di linee disponibili.

(c) Determinare la probabilit che una chiamata generata da un glio

sia inizialmente accettata, ma successivamente interrotta.

(d) Determinare il traco smaltito in totale dalle due linee.

(e) Determinare il traco oerto, in chiamate/secondo, dai soli genitori.

2. Sia dato un sistema dotato di un servente primario P , un servente sec-ondario S ed un posto in coda. I pacchetti arrivano al sistema con tassodi arrivo . Il servente primario ha un tasso di servizio p, il serventesecondario ha un tasso di servizio s. I pacchetti in arrivo vengono servitidirettamente dal servente primario o, quando questo occupato, vengono

immagazzinati nella la di attesa e serviti successivamente dal servente

primario. Il servente secondario entra in azione solo ed esclusivamente

quando il sistema pieno: un eventuale pacchetto in arrivo, invece di

essere perduto, viene servito dal servente secondario, se non occupato.


(b) Determinare la probabilit di perdita.

(c) Determinare la probabilit di occupazione del servente secondario.

(d) Determinare il tempo medio di attraversamento del sistema.

3. Sia dato un sistema dotato di tre serventi condivisi da inniti utenti. Al

sistema arrivano richieste di tipo A, le quali necessitano di un solo servente,e richieste di tipo B, le quali necessitano di due serventi. Qualora non visiano risorse disponibili, le richieste di tipo B possono essere dowgradatea richieste di tipo A. Le richieste di tipo A arrivano al sistema con tassodi arrivo A e vengono servite con tasso di servizio . Le richieste di tipoB arrivano al sistema con tasso di arrivo B e vengono servite con tassodi servizio .


(b) Determinare la probabilit di downgrade di una richiesta di tipo B.

(c) Determinare la probabilit di perdita di una richiesta di tipo A.

41

(d) Determinare il numero medio di richieste di tipo B.

4. Sia dato un sistema dotato di un servente e due posti in coda. Al sistema

arrivano richieste normali, generate da inniti utenti, e richieste priori-

tarie, generate da un unico utente. Le richieste normali arrivano al sistema

con tasso di arrivo N e vengono servite con tasso di servizio N . Le richi-este prioritarie hanno un tempo con distribuzione esponenziale negativa

di parametro P tra la ne di una richiesta precedente e l'inizio della suc-cessiva, e vengono servite con tasso di servizio P . La richiesta prioritariainterrompe sempre una eventuale richiesta normale e viene direttamente

servita. Qualora il sistema fosse pieno, l'arrivo di una richiesta prioritaria

espelle dal sistema l'ultima richiesta normale accodata.


(b) Determinare il tasso medio di arrivo delle richieste prioritarie.

(c) Determinare la probabilit di blocco di una richiesta normale.

(d) Determinare la probabilit che una richiesta normale venga espulsa

dal sistema dopo essere stata inizialmente accettata.

5. Sia dato un sistema a coda con un servente ed una coda innita. Le

richieste arrivano al sistema con tasso di arrivo , e vengono servite contasso di servizio . Le richieste in attesa abbandonano il sistema se nonevase per un tempo maggiore di .


(b) Determinare la probabilit di avere k richieste nel sistema.

(c) Determinare il traco smaltito dal sistema.

(d) Determinare la probabilit di abbandono del sistema.

6. Sia dato un sistema a coda con una linea di trasmissione primaria di

capacit Cp, una linea di trasmissione secondaria di capacit Cs e dueposti in coda. I pacchetti hanno lunghezza media esponenziale negativa

L e arrivano al sistema con tasso di arrivo . Inizialmente attiva la solalinea primaria. La linea secondaria si attiva quando arriva un pacchetto

che non trovi posto in coda, e rimane attiva no a che non vi siano pi

pacchetti in coda.


(b) Determinare la probabilit di perdita dei pacchetti.

(c) Determinare il ritardo medio di attraversamento del sistema.

(d) Determinare la percentuale di tempo in cui la linea secondaria at-

tiva.

(e) Risposte

42

7. Sia dato un sistema dotato di un servente e due posti in coda. Al sistema

arrivano equiprobabilmente richieste di tipo A e richieste di tipo B contasso di arrivo complessivo . Le richieste di tipo A vengono servite contasso di servizio A. Le richieste di tipo B vengono servite con tasso diservizio B . Le richieste di tipo B che trovino il servente occupato nonentrano nel sistema con probabilit p1 = 25%. Le richieste di tipo B chetrovino un posto in coda occupato non entrano nel sistema con probabilit

p2 = 50%.


(b) Determinare la probabilit di perdita di richieste di tipo A.

(c) Determinare la probabilit di perdita di richieste di tipo B.

8. Sia dato un sistema composto da due sottosistemi operanti in parallelo,

ognuno dotato di servente con tasso di servizio e un posto in coda.Al sistema arrivano pacchetti in uscita da un bilanciatore di traco. I

pacchetti arrivano al bilanciatore di traco con tasso di arrivo , e vengonosmistati in tempo nullo alternativamente verso i due sottosistemi, una

volta all'uno una volta all'altro.

(a) Modellizzare un sottosistema come una catena di Markov.

(b) Determinare la probabilit di perdita.

(c) Determinare il tempo medio di attraversamento del sistema.

9. Sia dato un centralino telefonico dotato di due linee condivise da tre utenti.

Ogni linea telefonica pu essere occupata sia da chiamate entranti che da

chiamate uscenti. Le chiamate entranti arrivano mediamente ogni E =60min, hanno una durata media dE = 3min, e vengono indirizzate adun utente libero. Ogni utente genera una chiamata in uscita di durata

media dU = 5min, ed il tempo che intercorre tra la ne di una chiamatae l'inizio della successiva distribuito esponenzialmente con durata media

U = 30min. Ovviamente, un utente che sta ricevendo una chiamata nonpotr generare a sua volta chiamate.


(b) Determinare la probabilit di blocco da parte di una chiamata in

uscita.

(c) Determinare la probabilit di blocco da parte di una chiamata in

ingresso.

10. Sia dato un sistema dotato di una linea primaria di capacit Cp = 500Kbpsed una linea secondaria di capacit Cs = 200Kbps. La linea secondaria attiva solo in caso di guasto della linea primaria. La linea primaria si

guasta mediamente dopo 10 ore di utilizzo consecutivo, e viene ripristinata

mediamente in 2 ore. La linea secondaria si guasta mediamente dopo 5

ore di utilizzo consecutivo, e viene ripristinata mediamente in 1 ora.

43


(b) Determinare la percentuale di tempo in cui il sistema non ha connet-

tivit.

(c) Determinare la capacit media fornita dal sistema.

11. Sia dato un sistema dotato di una linea trasmissiva di capacit C. Il sis-tema riceve pacchetti dati e token, secondo processi possoniani distinti

e indipendenti. Un pa

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Compendium [G.marciani] - Telecomunicazioni