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Unidad I Conjuntos 1 - 3 Fracciones 4 – 6 Decimales 7 – 8 Porciento 9 – 10 Aplicaciones 11 – 14 Operaciones números con signo 15 – 16 Exponentes 17 – 18 Orden de operaciones 19 – 20 Notación científica 21 – 22 Unidad II Expresiones algebraicas 23 – 24 Operaciones con polinomios 25 – 27 Factorización de polinomios 28 – 32 Factorización completa 33 – 34 Expresiones algebraicas fraccionales 35 – 38 Unidad III Ecuaciones lineales y literales 39 – 40 Desigualdades lineales 41 – 42 Ecuaciones con valor absoluto 43 – 44 Ecuaciones cuadráticas por factorización 45 – 46 Ecuaciones fraccionales 47 – 48 Traducción de frases y problemas verbales de números 49 – 51 Problemas verbales adicionales 52 - 55 Unidad IV Operaciones con radicales 56 – 60 Propiedad de la raíz cuadrada y fórmula cuadrática 61 – 62 Ecuaciones irracionales 63 – 64 Unidad V Localización de puntos en el plano 65 – 67 Gráficas de ecuaciones lineales 68 - 77

1

Conjuntos

1. Exprese cada conjunto en forma de lista. a) { xxA = es un entero impar entre 6 y 14}

b) xxB {= es un entero par mayor que 8 y menor o igual que 16}

c) xxC {= es un entero positivo múltiplo de 3}

d) xxD {= es un entero entre 2.4 y 4.2}

e) xxE {= es un entero entre 8 y 9}

f) xxF {= es un entero mayor o igual que –2}

2. Exprese cada conjunto en forma descriptiva (constructiva).

a) }15,14,...,3,2,1{=Ab) ,...}12,8,4{=Bc) }20,...,6,4,2{=Cd) }3,4,5,6{..., −−−−=D

3. Llene los blancos con ∈ ó ∉.

a) Si }30 ,...,14,12,10{=A1) A_____262) A____153) A____84) A____}16,14,12{

b) Si xxB {= es un entero positivo mayor que 3 y menor que12}

1) B____122) B____53) B____17

4. Llene los blancos con ⊂ ó ⊄ .

a) }50,...,7,6,5______{,...}49,47,45{b) },,,,_____{},,,,{ gfedcedcbac) }42,...,24,22,20_____{}40,...,32,28,24{d) },...,15,10,5____{10e) }40,...,15,10,5____{}30,25{

2

5. Dado el conjunto {-8, 2, ,87

0, ,11 -5.46, 9 , −

− 3. , 15, 47

, 5 }. Indique

los elementos que son:

a) números naturales b) números enteros no negativos c) enteros d) números racionales e) números irracionales f) números reales

6. Si },19,17,15{},12,10,8,6{},20,...,14,13,12{ === CBA halle:

a) BA∪ b) c) CA∪ CB∪d) BA∩ e) f) CA∩ CB∩

Respuestas

1. a) b) }13,11,9,7{=A }16,14,12,10{=B c) ,...}12,9,6,3{=C d) e) }4,3{=D {=E }=∅ f) ,...}1,0,1,2{ −−=F 2. a) xxA {= es un número natural menor o igual que 15}

b) xxB {= es un entero positivo múltiplo de 4}

c) xxC {= es un entero par mayor o igual que 2 y menor o igual que 20}

d) xxD {= es un entero menor o igual que –3}

3. a) 1) ∈ 2) ∉ 3) ∉ 4) ∉ b) 1) ∉ 2) ∈ 3) ∉ 4. a) ⊄ b) ⊄ c) ⊂ d) ⊄ e) ⊂ 5. a) 2, 9 ,15 b) 0, 2, ,9 15 c) –8,0, 2, ,9 15

d) todos excepto 11,5

e) 11,5 f) todos

3

6. a) }20,19,18,17,16,15,14,13,12,10,8,6{ b) }20,...,14,13,12{ c) }19,17,15,12,10,8,6{ d) }12{ e) }19,17,15{ f) { }=∅

4

Fracciones

1. Exprese cada fracción mixta como impropia.

a) 953 b)

872 c)

524 d))

765

2. Exprese cada fracción impropia como mixta.

a) 5

18 b)

732

c) 958

d) 893

3. Reduzca las siguientes fracciones.

a) 14098

b) 10590

c) 270150

d) 5684

e) 144198

f) 22560

4. Halle una fracción equivalente.

a) 427

3= b)

7285= c)

55117= d) 3=

6 e)

20432 =

5. ¿Cuál es mayor?

a) 53

o 73

b) 83

o 94

c) 117

o 138

d) 352

o 733

6. Ordene las siguientes fracciones de menor a mayor.

a) 43,

165,

83,

21

b) 53,

65,

32,

107

c) 21,

1811,

95,

127

7. Halle los siguientes productos. Reduzca si es posible.

a) 97

53× b)

259

125× c)

3524

3215

× d) 692×

e) 1274× f)

83

544 × g)

533

322 × h)

522

433 ×

5

8. Halle los siguientes cocientes. Reduzca si es posible.

a) 83

54÷ b)

910

115÷ c)

2815

73÷ d)

1586 ÷

e) 1843÷ f)

214

85÷ g)

415

213 ÷ h)

1522

322 ÷

9. Sume o reste. Reduzca si es posible.

a) 187

185+ b)

245

2411

− c) 532

524 + d)

812

835 − e)

952

914 −

f) 94

65+ g)

43

109− h)

87

76+ i)

53

98− j)

65

285

3 +

k) 1254 − l)

326 − m)

985 + n)

812

325 − o)

431

614 −

10. Use la factorización prima para hallar el mínimo común denominador de las siguientes fracciones.

a) 152,

185,

85

b) 353,

285,

256

c) 501,

163,

103

11. Lleve a cabo las siguientes operaciones. Use el mínimo común

denominador que halló en el ejercicio anterior.

a) 152

185

85

−+ b) 353

285

256

−+ c) 501

163

103

−+

Respuestas

1. a) 932

b) 823

c) 522

d) 741

2. a) 533 b)

744 c)

946 d)

8511

3. a) 107

b) 76

c) 95

d) 23

e) 811

f) 154

6

4. a) 4218

b) 7245

c) 5535

d) 6

18 e)

2055

5. a) 53

b) 94

c) 117

d) 733

6. a) 43,

21,

83,

165

b) 65,

107,

32,

53

c) 1811,

127,

95,

21

7. a) 157

b) 203

c) 289

d) 34

e) 37

f) 59

g) 548

h) 9

8. a) 1532

b) 229

c) 54

d) 445

e) 241

f) 365

g) 32

h) 45

9. a) 32

b) 41

c) 7 d) 413 e)

951

914

=

f) 1823

g)203

h) 5697

i) 4513

j) 24

155

k) 1243

l) 3

16 m)

985 n)

2485

o) 1229

10. a) 360 b) 700 c) 400

11. a) 360277

b) 700233

c) 400187

7

Decimales

1. Exprese en palabras los siguientes decimales.

a) 0.128 b) 0.76 c) 2.5 d) 9.00034

2. Exprese cada decimal como fracción reducida.

a) 0.24 b) 0.175 c) 0.8 d) 3.025 e) 2.04

3. ¿Cuál es mayor?

a) 0.2 o 0.8 b) 0.35 o 0.305 c) 3.2 o 3.189

4. Exprese cada fracción como decimal. No redondee.

a. 107

b. 254

c. 489

d. 325

e. 432

5. Exprese cada fracción como decimal periódico y como decimal

redondeado a la centésima.

a) 185

b) 338

c) 3712

d) 2411

e) 4125

6. Sume o reste.

a) 3.5 + 2.049 b) 4.18 – 2.36 c) 7.2 – 4.098 d) 0.06 + 0.564 e) 12.07 – 5.481

7. Multiplique o divida.

a) b) 45.06.0 × 07.032.1 × c) 01.37.2 ×d) e) 2.048.0 ÷ 04.002388. ÷ f) 8.0100248. ÷g) 5.100135.6 ÷ h) 36.017208. ÷ i) 1000052.4 ×j) k) 10085.3 ÷ 1000789. × l) 10064. ÷

8

Respuestas

1. a) Ciento veintiocho milésimas b) Setentiseis centésimas c) Dos y cinco décimas d) Nueve y treinticuatro cien milésimas

2. a) 256

b) 407

c) 54

d) 40

121 e)

2551

3. a) 0.8 b) 0.35 c) 3.2

4. a) 0.7 b) 0.16 c) 0.1875 d) .15625 e) 2.75

5. a) __72. ; .28 b)

__24. ; .24 c)

____324. ; .32 d)

_3458. ; .46 e)

________60975. ; .61

6. a) 5.549 b) 1.82 c) 3.102 d) .624 e) 6.589

7. a) .27 b) .0924 c) 8.127 d) 2.4 e) .0597

f) .012531 g) 4.0009 h) .0478 i) 4,052 j) .0385 k) 7.89 l) .0064

9

Porciento

1. Exprese cada porciento como decimal y como fracción.

a) 8% b) 32% c) .5% d) 6 %21

e) 12.4%

2. Exprese cada decimal como porciento.

a) .47 b) .635 c) .009 d) .1275

3. Exprese cada fracción como porciento. No redondee.

a) 41

b) 53

c) 109

d) 87

e) 1611

f) 12512

g)3500

28 h)

23

4. Exprese cada fracción como porciento y luego redondee al 1) entero de

porciento y 2) décima de porciento.

a) 117

b) 2213

c) 278

d) 4531

5. Halle

a) el 30% de 800 b) el 10% de 328 c) el 15% de 62

d) el 25% de 240 e) el 12.4% de 600 f) el %416 de 400

6. ¿Qué porciento…

a) es 21 de 28? b) de 45 es 15? c) es 144 de 320?

d) de 248 es 31?

10

Respuestas

1. a) 25208. = b)

25832. = c)

2001005. = d)

20013065. =

e) 25031124. =

2. a) 47% b) 63.5% c) .9% d) 12.75% 3. a) 25% b) 60% c) 90% d) 87.5% e) 68.75% f) 9.6% g) .8% h) 150%

4. a) ; 1) 64% 2) 63.6% %63.63__

b) 1) 59% 2) 59.1% %;09.59__

c) 1) 30% 2) 29.6% %;629.29____

d) 1) 69% 2) 68.9% %;8.68_

5. a) 240 b) 32.8 c) 9.3 d) 60 e) 74.4 f) 25

6. a) 75% b) c) 45% d) 12.5% %3.33_

11

Aplicaciones de fracciones, decimales y porciento

1. En una sección de un curso de estadística hay matriculados 50 estudiantes.

a) Si el 20% de ellos sacaron A en el primer examen parcial, ¿cuántos estudiantes sacaron A en el primer examen?

b) Si 22 estudiantes sacaron C en el primer examen, ¿qué porciento de los estudiantes matriculados sacaron C?

c) Si 254

partes del total de estudiantes matriculados sacaron B en el

primer examen, ¿cuántos estudiantes sacaron B? d) ¿Cúantos estudiantes sacaron D o F en el primer examen? e) ¿Qué parte o fracción del total de los estudiantes matriculados

sacaron D o F?

2. Alberto ganó $1,800 durante el verano. Si ahorró 95

partes de lo que

ganó: a) ¿qué parte o fracción gastó? b) ¿cuánto dinero ahorró?

3. El precio del periódico dominical aumentó de $1.50 a $2.00. ¿Cuál fue el

porciento de aumento en el precio? Redondee al entero de porciento.

4. Sandrá compró una cartera con un 35% de descuento. Si el precio original de la cartera era de $120:

a) ¿de qué cantidad fue el descuento? b) ¿cuánto pagó por la cartera?

5. Carlos, Juan y Julio dieron un viaje en carro desde Florida hasta California.

Si Carlos guió 31

parte del recorrido y Julio guió 52

partes del recorrido,

¿qué parte del recorrido guió Juan?

6. Aida, Tere y Gilda son dueñas de un negocio. Si Aida es dueña de 52

partes del negocio y Tere es dueña de 83

partes, ¿de qué parte es dueña

Gilda? 7. Las ventas anuales de una compañía han disminuído de $500,000 en el

año 2007 a $400,000 en el 2008. ¿Cuál fue el porciento de disminución en las ventas?

12

8. El año pasado cierto gimnasio tenía 260 clientes. Si este año el número de clientes aumentó un 15%, ¿cuántos clientes tiene el gimnasio este año?

9. Entre Estela, Irene y Marta tienen un total de 360 acciones de cierta

compañía.

a) Si Estela tiene94

partes del total de las acciones, ¿cuántas acciones

tiene? b) Si Irene tiene 20% menos acciones que Estela, ¿cuántas acciones

tiene? c) ¿Cuántas acciones tiene Marta?

10. Una compañía tiene un total de 150 empleados.

a) Si 32

partes del total de empleados están casados, ¿cuántos

empleados están casados?

b) Si 43

partes del total de empleados casados tienen hijos, ¿cuántos

empleados son casados y tienen hijos? c) ¿Qué parte (fracción) del total de empleados de la compañía son

casados y tienen hijos?

11. La mitad de un grupo de estudiantes viven en el área metropolitana. Si 1/5 parte de los que viven en el área metropolitana también tienen carro, ¿qué parte o fracción del total de estudiantes en el grupo viven en el área metropolitana y tienen carro?

12. Antonio tiene un sueldo de $3,200 mensuales. Si Ricardo gana un 15%

más, ¿cuál es el sueldo mensual de Ricardo?

13. Un vendedor recibe una comisión de $.10 por cada dólar de venta. Si el vendedor tuvo ventas de $4500 el mes pasado, ¿cuánto recibió de comisión?

14. Un técnico de computadoras cobra $30 por visita más $6.50 por cada

hora de servicio. ¿Cuánto cobra en total por un servicio de 5 horas?

15. El año pasado, Hilda le pidió prestados $480 a una amiga . Si ya le ha

devuelto 85

partes de lo que le prestaron, ¿cuánto dinero le debe?

(Asuma que no le cobran intereses).

13

16. Dieciocho de los 32 estudiantes de un curso, tienen una computadora en su casa, ¿qué porciento del total de estudiantes tienen computadora en su casa?

17. El año pasado fueron admitidos un total de 540 estudiantes a la Facultad

de Administración de Empresas.

a) Si 92

partes de los admitidos piensan estudiar Finanzas, ¿cuántos

estudiantes piensan estudiar Finanzas? b) Si el 30% de los admitidos piensan estudiar Contabilidad, ¿cuántos

estudiantes piensan estudiar Contabilidad? c) Si 27 estudiantes piensan estudiar estadística, ¿qué porciento del

total admitidos piensan estudiar estadística? d) Si 90 estudiantes piensan estudiar gerencia, ¿qué parte o fracción

del total admitidos piensan estudiar gerencia?

18. El Sr. Ramos pagó un total de $10,562.50 por acciones de cierta compañía. Si cada acción le costó $84.50, ¿cuántas acciones compró?

19. Un televisor plasma con un precio original de $1200 se vende a un precio

en especial de $780. ¿Cuál es el porciento de descuento?

20. María fue a las tiendas y gastó 52

partes del dinero que llevaba. Si 43

partes de lo que gastó lo gastó en ropa, ¿qué parte del dinero que llevaba lo gastó en ropa?

Respuestas

1. a) 10 estudiantes b) 44% c) 8 estudiantes d) 10 estudiantes

e) 51

2. a) Gastó 94

partes. b) $1,000

3. Aumentó un 33%

4. a) $42 b) $78

5. Guió 154

partes.

6. 409

partes.

14

7. 20% 8. 299 clientes. 9. a) 160 acciones b) 128 acciones c) 72 acciones 10. a) 100 empleados b) 75 empleados c) ½ 11. 1/10 12. $3,680 13. $450 14. $62.50 15. $180 16. 56.25% 17. a) 120 estudiantes b) 162 estudiantes c) 5% d) 1/6 18. 125 acciones 19. 35% 20. 3/10

15

Operaciones con números con signo

1. Halle el valor de:

a) 65 −+− b) 24 −+− c) 41

21 −+

− d) 53+−

e) 28 +− f) 152

53+− g)

87

32 −+ h) 38.2. +−

i) j) 24 −− )2(4 −−− k) )3(4 −− l) 95 −− m) n) )9(5 −−− )9(5 −− o) 77 −− p) )7(7 −−−

q) 31

61−

− r)

101

53−

− s) 6.83. −− t) )3.(79. −−−

2. Halle el valor de:

a) )4)(3(− b) )4)(3( −−

c) )2)(5( − d) )6)(3)(2( −− e) )3)(1)(5( −−− f) )6(24 −÷ g) )9()36( −÷− h) 7)42( ÷− i) 346 −+− k) 12)3(7 −−−

16

Respuestas

1. a) –11 b) –6 c) 43

− d) 2 e) –6

f) 157

− g) 245

− h) .18 i) –6 j) –2

k) 7 l) –14 m) 4 n) 14 o) –14

p) 0 q) 21

− r) 107

− s) –1.43 t) -.49

2. a) –12 b) 12 c) –10 d) 36 e) –15 f) –4 g) 4 h) –6 i) –5 j) –2

17

Exponentes

1. Halle el valor de:

a) b) c) d) e) 25 32 43 25− 2)5(−f) g) h) i) j) 25− 2)5( −− 05 3)3(− 33−

k) l) 3)3( −− 254− m) 3

2

23−

−

n) 3)21(− o) 2)

31( −

2. Simplifique haciendo uso de las leyes de exponentes. Exprese el resultado

con exponentes positivos.

a) b) c) d) e) 35 66 × 34 66 −× 52 66 −× 01 66 ×−2

6

66

f) 1

5

66− g) 3

2

66−

h) 2

4

66−

−

i) 0

3

66−

j) 32 )6(

k) l) 322 )6(6 −5

43

666 −×

m) 0

3

666 −×

3. Simplifique haciendo uso de las leyes de exponentes. Exprese el resultado

con exponentes positivos.

a) b) c) ))(( 32 yxxy ))(( 1542 −−− yxyx 2

53

xyyx

d) yx

yx1

22

−

−

e) 62

35

yxyx

−

−

f) 354 )( yx

g) h) 212 )( −yxxy 43 )(

yx

i) 34

2

)( −−

yx

j) k) l) 26 )3( uv 337 )2( −−− qp 25

4

)32( −

−ba

m) 241

32

)2()3(−−−

−baab

n) o) )4)(5( 3264 qpqp −− − 12

02

2515

−

−

nmnm

18

Respuestas

1. a) 25 b) 8 c) 81 d) 1/25 e) 25 f) –25 g) 1/25 h) 1 i) –27 j) 1/27 k) –1/27 l) 100 m) 8/9 n) –8/27 o) 16

2. a) b) 6 c) 86 361

d) 61

e) 46

f) g) 66 561

h) 261

i) 361

j) 66

k) 461

l) 661

m) 261

3. a) b) 34 yx 53

1yx

c) d) 32 yx 3

3

yx

e) 33

1yx

f) g) 1512 yxyx5

h) 12

4

yx

i) j) 126 yx 1229 vu

k) 21

9

8pq

− l) 10849ba

m) 2

108b

a− n) 3

220qp

− o) 453mn

19

Orden de operaciones

Halle el valor de: 1) 3253 •− 2) 32)53( − 3) 203424 −•÷ 4) 20)34(24 −•÷ 5) 23252060 −•÷− 6) 23)25()2060( −•÷− 7) )85(310 −−

8) 32 )21()

431( −−−

9) 223420 •−÷

10) 4)32(

5312243 •−

•÷+

11)

109

53

)41(

52

21

÷

−

12) 3)

211(

43

41

21

−

−÷

20

Respuestas

1) –37 2) –16 3) –2 4) –8 5) 43 6) –5 7) 19

8) 163

9) –7 10) –11

11) 53

12) 10

21

Notación Científica

1. Exprese en notación científica: a) b) c) d) 000,345 00489. 600,245,1 0000728.

e) 2.856

2. Halle el valor de: a) b) c) d) 41059.1 × 310245.3 −× 51087.1 −× 610486.7 ×

3. Halle el valor. Exprese el resultado sin exponentes. a) )105)(106( 23 ×× b) )109)(106.3( 41 −− ××

c) 2

5

106108.4

−

−

××

d) 2

4

1081032−×

×

4. Multiplique o divida convirtiendo primero a notación científica. Exprese el

resultado sin exponentes.

a) 003.

000,24

b) )0007)(.000,140(

c) 000,4

000348.

d) )00012)(.0005(.

e) 00005.

)000,3)(00015(.

22

Respuestas

1. a) b) c) d) 51045.3 × 31089.4 −× 6102456.1 × 51028.7 −× e) 210562.8 × 2. a) 15,900 b) .003245 c) .0000187 d) 7,486,000 3. a) 3,000,000 b) .000324 c) .0008 d) 4,000,000 4. a) 8,000,000 b) 98 c) .000000087 d) .00000006 e) 9,000

23

Evaluación y simplificación de expresiones algebraicas

1. Evalúe las siguientes expresiones algebraicas para los valores dados.

a) ; 432 +− xx 5,21,4 ==−= xxx

b) ; 3223 −+− yyy 4,3 =−= yy c) ; 42232 pqqpqp +−− 3,4 =−= qp

d) ; 6423425 wwvwvwv −−+ 1,2 −=−= wv

2. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas. a) 27435 223 +−−+− xxxxxb) )27(435 223 +−−+− xxxxxc) )25(3)32(4 +−+ aad) )35()14(2 2 ++−− yyyyy

e) )3(41)3(

21 dcdc +−−

f) 32222 5)2()(3 pqqppqpqpqppq −+−+−g) ]6)54(23[8 +−−− xxxh) }7]8)4(25[4{36 +−−+−− yyy i) 10}2]5)1(46[25{32 −+−+−−− vvvv j) }16])9(54[3{28 322 −+−−−+−− bbbbbbbb

24

Respuestas

1. a) 32, 4

11, 14 b) –45, 53 c) –84 d) –53

2. a) b) 2345 23 +−− xxx 21145 23 −+− xxx c) d) 67 +− a yyy 53 23 −+−

e) dc45

45

− f) 3223 252 pqqpqp −−

g) h) 6391613 −x −y i) j) 798 −v 2841210 23 +−+ bbb

25

Operaciones con polinomios

1. Sume o reste los siguientes polinomios.

a) )235()42( 22 +−−+− xxxxb) )42()625( 343 −−+−− aaaac) )524()23( 334 −−−+− yyyyyd) )34()62( 6523352334 bbabababaa +−−−+

e) )231()1

21( 2 +−+− ppp

2. Multiplique los siguientes polinomios.

a) k) )5(4 32 xyyx − )863)(1( 22 −−− xxxb) l) )47(2 23 −+−− xxxx )94)((5( 23 −+−− yyyyc) m) )25(3 32 babaab −− )52)(13( 22 +−−+ aaaad) n) )3)(8( −+ xx )32)(3( 2222 srsrsrsr −−−+e) o) )2)(9( −− yy )5)(3)(2( −+− xxx f) p) )43)(52( +− zz )2)(4)(12( +−+ yyy g) )65)(34( ++ aah) )53)(7( baba +−−i) ))(1( 22 mmm −+j) )3)(( 23 +− nnn

3. Halle los siguientes productos especiales. Trate de obtener el resultado mentalmente.

a) g) )7)(7( +− xx 2)8( −yb) h) )8)(8( −+ xx 2)35( +mc) i) )52)(52( +− yy 2)47( n−d) j) )34)(34( −+ yy 2)65( qp −e) k) )32)(32( cbcb +− 22 )3( ss +f) l) )13)(13( 22 +− aa 232 )34( ts −

4. Lleve a cabo las siguientes operaciones y simplifique.

a) )1)(14()23)(32( +−+−+ xxxx b) )52)(23()15)(4( −+−−− yyyy c) 2)72()45)(45( −++− aaa

26

d) 2)72()45(45 −++− aaae) )16)(16()34( 2 −+−− bbbf) 2)35()52)(37( −−++ dddg) )52)(3(3)13)(13(2 +−−+− pppp

5. Divida.

a) x

xxx5

152550 34 +−

b) yx

yxyxyx2

42235

612918 −+

c) 53

101412 2

−−−

aaa

d) 74

281920 2

+−+

bbb

e) 42

846 2

−−−

ccc

f) 32

69132 23

+−++

dddd

g) 42

964 3

−−−

mmm

h) 3273

−−

nn

i) 2

202 24

−−+

ppp

Respuestas

1. a) 273 2 +−− xx b) 10242 34 −−+ aaa c) 5453 34 ++− yyy d) 652334 3532 bbabaa −−−

e) 1652 −− pp

27

2. a) e) 4320 yx− 18112 +− yy b) f) xxxx 81422 234 +−+− 2076 2 −− zz c) g) 4223 3615 abbaba −− 183920 2 ++ aa d) h) 2452 −+ xx 22 35263 baba −+− i) m) mmmm −+− 234 51652 34 −++ aaa j) n) nnn 32 35 −+ 432234 38102 srssrsrr ++−− k) o) 861163 234 ++−− xxxx 30114 23 +−− xxx l) p) 4514219 234 +−+− yyyy 81832 23 −−− yyy 3. a) 49 g) 2 −x 64162 +− yy b) 64 h) 2 −x 93025 2 ++ mm c) I) 254 2 −y 2165649 nn +− d) j) 916 2 −y 22 366025 qpqp +− e) k) 22 94 cb − 234 69 sss ++ f) l) 19 4 −a 6324 92416 ttss +− 4. a) d) 7810 2 −+ xx 33434 2 +− aa b) e) 14102 +−− yy 102420 2 +−− bb c) f) 332829 2 +− aa 67111 2 ++− dd g) 43312 2 ++ pp 5.

a) f) 3510 23 +− xx32

3352

++−+

ddd

b) 33 2233 yxyx −+ g)

4211542 2

−+++

mmm

c) 24 + h) a 932 ++ nn d) 45 − b

e) 42

843−

++c

c i) 2

41262 23

−++++

pppp

28

Factorización de polinomios

1. Factorice removiendo el factor común máximo.

a) 2468 208124 xxxx −+−b) yyy 35 23 −−−c) 43425 15510 pqqpqp +−d) 54223334 18612 cbacbacba −+e) 2−− zf) zz 52 −

2. Remueva todo factor común y simplifique.

a) )12)(2()3)(2( +−++− xxxx b) )12)(2()3)(2( +−−+− xxxx c) )23(5)23(4 +−+ xxxd) 32 )3()3( +++ yye) 32 )3()3( +−+ yyf) 32 )4()4(2 −−− zzzg) 23 )4()4(2 −−− zzzh) )12(10)12(5 +−+ aaai) )12(5)12(10 2 +++ aaaaj) )5(5)5(20 22 −−− bbbbk) )34(18)34(6)34(12 235 −−−+− bbbbbbl) 324 )15(8)15(4 +−+ ccccm) 2433 )2()1(2)2()1( +++++ yxyx

3. Factorice por agrupación.

a) 22 8101215 yxyxyx −+−b) 2054 23 +++ yyyc) 223 44 qqppqp +++d) 3344 34 −−+ bbbe) 84105 23 −−+ aaaf) 223 4433 ssttst +−−g) 3234 231015 vuvvuu +−−

h) zyxyxyzyx 2322 6293 −−+ i) 22 −−+ baab

29

4. Factorice los siguientes trinomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.

a) l) 1492 +− xx ppp 127 23 +−b) q202 − 1452 −− xx m) qq 83 −c) n) 28112 ++ yy 1252 2 −− qqd) o) 3652 −− yy 823 2 −+ tte) p) 1832 −+ zz 2076 2 −− ttf) q) 22 3214 vuvu −− 22 294 dcdc ++g) r) 22 65 vuvu −+ 22 384 dcdc +−h) s) 4819 24 ++ aa 15268 2 +− nni) t) 307 24 −+ aa 12712 2 −− nnj) u) 3042 2 −+ aa 226 2 −+ ddk) v) 2463 2 −− pp 61412 2 −+ mm w) mmm 10118 23 −−

5. Factorice los siguientes binomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.

a) i) 753 2 − 1002 −x yb) j) 1442 −x zz 93 −c) k) 364 −y 22 3250 yx −d) l) 259 6 −y 23 4916 aba −e) m) 24 vu − 22 2712 nm −f) n) 3616 vu − 62236 tts −g) 22 814 yx −h) 42 49 qp −

6. Factorice los siguientes trinomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.

a) g) 49142 ++ xx 22 82418 qpqp ++b) h) 81182 +− xx 234 9124 mmm ++c) i) 144 2 ++ yy 4224 2 ttss +−d) j) 16249 2 +− yy 9204 2 ++ uue) k) 93025 2 ++ zz 16269 2 +− vvf) l) 22 816 baba +− 44 36 +− ww

30

643 −x

7. Factorice los siguientes binomios. Cuando sea posible, remueva el factor común primero.

a) b) 1253 +yc) 18 3 −zd) 3327 ba +e) 33 55 qp −f) 34 1282 mnm −g) 66 243 ba +

31

Respuestas ejercicios factorización

1. a) d) )523(4 2462 −+− xxxx )32(6 4232 bcacacba −+ b) e) )35( 2 ++− yyy )2( +− z c) f) )32(5 2342 qqpppq +− )5( −zz 2. a) )43)(2( +− xx b) )2)(2( +−− xx c) )54)(23( −+ xx d) )4()3( 2 ++ yy e) )2()3( 2 −−+ yy 2)3)(2( ++−= yy f) )4()4( 2 +− zz g) )182()4( 22 −−− zzz h) )2)(12(5 −+ aa i) 2)12(5 +aa j) )203)(5(5 −− bbb k) )32)(34(6 32 −+− bbbb l) )13()15(4 3 ++ ccc m) )42()2()1( 23 ++++ yxyx 3. a) )23)(45( yxyx +− b) )5)(4( 2 ++ yy c) )4)(( 2 qpqp ++ d) )34)(1( 3 −+ bb e) )45)(2( 2 −+ aa f) )43)(( 2 stst −− g) )5)(23( 23 vuvu −− h) )23)(3( 2yxyzxy −+ i) )1)(2( −+ ab

32

4. a) l) )2)(7( −− xx )3)(4( −− ppp b) m) )2)(7( +− xx )2)(10( +− qqq c) n) )7)(4( ++ yy )4)(32( −+ qq d) o) )4)(9( +− yy )2)(43( +− tt e) p) )3)(6( −+ zz )52)(43( −+ tt f) q) )2)(16( vuvu +− )2)(4( dcdc ++ g) r) ))(6( vuvu −+ )32)(2( dcdc −− h) s) )3)(16( 22 ++ aa )52)(34( −− nn i) t) )3)(10( 22 −+ aa )43)(34( −+ nn j) u) )3)(5(2 −+ aa )2)(116( +− dd k) v) )2)(4(3 +− pp )32)(13(2 +− mm w) )2)(58( −+ mmm 5. a) i) )10)(10( +− xx )5)(5(3 +− yy b) j) )12)(12( +− xx )3)(3( +− zzz c) k) )6)(6( 22 +− yy )45)(45(2 yxyx +− d) l) )53)(53( 33 +− yy )74)(74( babaa +− e) m) ))(( 22 vuvu +− )32)(32(3 nmnm +− f) n) ))(( 188188 vuvu +− )6)(6( 222 tstst +− g) )92)(92( yxyx +− h) )23)(23( 22 qpqp +− 6. a) g) 2)7( +x 2)23(2 qp + b) h) 2)9( −x 22 )32( +mm c) i) 2)12( +y 222 )( ts − d) j) 2)43( −y )92)(12( ++ uu e) k) 2)35( +z )2)(89( −− vv f) l) 2)4( ba − 23 )2( −w 7. a) f) 2)(4( xx − )164 ++ x )164)(4(2 22 nmnmnmm ++− b) g) )255)(5( 2 +−+ yyy )42)(2(3 422422 bbaaba +−+ c) )124)(12( 2 ++− zzz d) )39)(3( 22 bababa +−+ e) ))((5 22 qpqpqp ++−

33

Factorización completa

Factorice completamente los siguientes polinomios: 1. 2748 2 −x2. yyy 4129 23 ++3. 2436 −−+ abab4. ddd 201412 23 −+5. 22 )54()54( +−+ xxx6. 542 3 −f7. 365 24 −− mm8. 2232 )1(20)1(4 +−+ nn9. ppp 272712 23 −+10. 6015205 22 −−+ qpqp11. 22 1008016 srsr +−12. 16 −u13. 234 41912 vvv +−14. 445 2 +− zz15. 22 )2)(1(6)2()1(3 −++−+ yxyx16. 422412 bbaa −+17. 22 )12()12(3 +−+ xxx

34

Respuestas

1. )34)(34(3 +− xx2. 2)23( +yy3. )23)(12( −+ ba4. )2)(56(2 +− ddd5. )1)(5)(54( +−+ xxx6. )93)(3(2 2 ++− fff7. )4)(3)(3( 2 ++− mmm8. 22 )1)(2)(2(4 ++− nnn9. )3)(34(3 +− ppp10. )4)(3(5 2 +− qp11. 2)52(4 sr −12. )1)(1)(1)(1( 22 +−+++− uuuuuu13. )14)(43(2 −− vvv14. no es factorizable 15. )32)(2)(1(3 −+−+ yxyx16. )3)(2)(2( 22 bababa ++−17. )1)(13)(12( −++ xxx

35

Operaciones con expresiones algebraicas fraccionales

1. Halle la(s) restricción(es) de las siguientes fracciones algebraicas.

a) 415

+−

xx

b) x

x3

1+

c) 12

4−xx

d) 15

2 −−

yy

e) 242

342 −−

+yy

y

2. Reduzca (simplifique) las siguientes fracciones algebraicas.

a) 23

1xx

x++

b) 252472

2

2

++−−

xxxx

c) 23

23

2107

yyyyy

−+−

d) 1216412146

2

2

+−−−

yyyy

e) 2

22 2aab

baba−

+−

f) 152

252

2

−−−zzz

3. Multiplique o divida.

a) 273

622

23

2

2

++−

•−

−+mmmm

mmmm

b) 22

22

22

22

3223

43252

srsrsrsr

srsrsrsr

++−+

•+−++

c) 22

2

33

996

ttt

ttt

−•

+−

36

d) 276

3187 2

2

2

3

−−+

÷−− uu

uuuu

u

e) )132(65232 2

2

2

++÷+−−− vv

vvvv

f) ww

www 2

3

2 16

3912 −÷

−−

4. Halle el mínimo común denominador de las siguientes fracciones.

a) 24,

35,

27

xx

xx

b) 1

3,1

22 −+ yy

y

c) 45

2,4 22 +++ zzzz

z

d) aa

aaa

a++

++−

22

52,12

13

e) 2

3,3

4+− bb

5. Sume y/o reste. Simplifique el resultado cuando sea posible.

a) 23

1022347

++

++−

xx

xx

b) xx

xxx

x282

23

22

2

−+

−−

c) 221

43

xx

xx −

−+

d) 3

42

5−

++ yy

e) 16

324

42 −

−− yy

f) zz

zzz

24

42 2 −−

+−

g) 9

731

22 −−

+−−

zz

zzz

h) 23

45

+−

−−+

aa

aa

37

Respuestas

1. a) 4−≠x b) 0≠x

c) 21

≠x

d) 1±≠y e) 6,4 ≠−≠ yy 2.

a) 2

1x

b) 24

+−

xx

c) y

y 5−

d) )1(2

23−+

yy

e) a

baa

ba )( −−=

−−

f) 3

)5(35

++−

=++

−zz

zz

3.

a) 13

)32(+−

mmm

b) srsr

−+ 2

c) 22 3)3(

33

tt

tt −−

=−

−

d) 2

2

+uu

e) )1)(3(

1+− vv

f) )1(2)14(

)1(214

22 ++−

=+

+−

www

www

38

x4. a) 12 2

b) 12 −y c) )4)(1( ++ zzz d) 2)1( +aa e) )2)(3( +− bb 5.

a) 3

b) x

x 43 +

c) 2

2

42

xxx ++

d) )3)(2(

79−+

−yy

y

e) 4

4+y

f) z

z2

4+

g) )3(

12++

zzz

h) )4)(2(

)17(2)4)(2(

214−+

−=

−+−

aaa

aaa

39

Ecuaciones lineales y ecuaciones literales

1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.

a) k) 105 −=+x )12(6)3(2 +−=+ nn b) l) 38 =−y 822)5(4 −=−− rrr

c) m) 124 −=a 1323

41

+=− ss

d) n) 246 =− b31

43

21

83

−=+ tt

e) 432

−=p o) 14

33

12−=

−+

+ xxx

f) 751

=− q p) 381

21

453

−=+

−− yyy

g) 963 −=+v q) )4(31

672

215

−=−

−+ zzz

h) r) 1428 =− w32

92

354

−=+

−− www

i) s) 14610 −=− zz 85)]3(24[3 −=+−− vvv j) t) 349 +=− mm aaaa +−=+−−+ 6}1)]53([27{

2. Despeje por la variable indicada.

a) 0=++ CByAx ; yb) ;0425 =−− yx y

c) N

vrCD −= ; N

d) N

vrCD −= ;C

e) ; tPA Pr+= t

f) 12

12

xxyym

−−

= ; 2y

g) )(21

21 bbhA += ; 2b

h) edcB −+

=2

;c

i) σμ−

=xz ;μ

j) )(4

wvxY += ; w

40

Respuestas

1. a) b) 11=y c) 15−=x 3−=a d) 4−=b e) 6−=p

f) g) h) 35−=q 5−=v 3−=w i) 65

=z j) 56

=m

k) 41

−=n l) no sol. m) 548

−=s n) 920

=t o) 7=x

p) q) 10−=y1118

−=z r) 2

11=w s)

717

=v t) 2

17−=a

2. a) BCx

BAy −−=

b) 225

−= xy

c) D

vrCN −=

d) vrDNC +=

e) Pr

PAt −=

f) 1122 )( yxxmy +−=

g) 12 2 bhAb −=

hhbA 12 −

=

h) deBc −+= 22 i) σμ zx −=

j) x

xvYvxYw −

=−=44

41

Solución de desigualdades lineales

Resuelva las siguientes desigualdades lineales. Exprese la solución en notación de intervalo. 1) 204 ≥x 2) 122 <− y 3) 1143 −≤−z 4) 108 >− w 5) 13155 +<− aa 6) 3793 +≤+ bb 7) )5(4)4(3 −≥− cc

8) 41

85

43

21

−>+ mm

9) 3

212

14

52 −<

+−

+ nnn

10) 165

1812

945

+≤+

−− ppp

42

Respuestas

1) ; 5≥x ),5[ ∞2) ; 6−>y ),6( ∞−

3) 37

−≤z ; ]37,( −−∞

4) ; 2−<w )2,( −−∞5) ; 8<a )8,(−∞

6) 23

≥b ; ),23∞⎢⎣

⎡

7) ; 8≤c ]8,(−∞8) ; 8<m )8,(−∞9) ; 22−<n )22,( −−∞

10) 727

−≥p ; ),727

∞⎢⎣⎡−

43

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

1. Halle el conjunto solución para cada ecuación.

a) 12=x f) 4621

=−z

b) 3−=x g) 758 =− x

c) 103 =+y h) 65

42=

−a

d) 254 =−y i) 21

473=

+p

e) 043 =+z j) 427

46=+

−q

2. Resuelva cada desigualdad. Exprese la solución en notación de intervalo.

a) 8≤x i) 15>w

b) 43 <+x j) 4≥u

c) 14 −≤−x k) 835 ≥− u

d) 1062 <−y l) 156 >−v

e) 1374 ≤−+y m) 249 >++v

f) 258 <+− y n) 953

≥+v

g) 23

29≤

−z o) 22

534

≥++t

h) 015 <+w p) 027 >− t

44

Respuestas

1. a) {-12,12} b) ∅ c) {-13,7}

d) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

47,

43

e) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

34

f) {4.20}

g) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ 3,

51

h) {-13,17} i) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

35,3

j) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧− 3,

35

2. a) [-8, 8] i) ),15()15,( ∞∪−−∞ b) (-7, 1) j) ),4[]4,( ∞∪−−∞

c) k) ∅ ),3

13[]1,( ∞∪−−∞

d) (-2, 8) l) ),1()32,( ∞∪−∞

e) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

43,

411

m) ),( ∞−∞

f) ∅ n) ),12[]42,( ∞∪−−∞ g) [6, 12] o) ),( ∞−∞

h) ∅ p) ),27()

27,( ∞∪−∞

45

Solución de ecuaciones cuadráticas y polinomiales por factorización

1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización.

a) h) 052 =− xx 21412 2 =+ dd

b) i) 042 2 =+ xx 122

2

+= mm

c) j) yy =2 172)1)(32( +−=−+ nnn d) k) 0122 =−− yy 30)8(2)43)(54( ++=++ pppp e) l) zz 3102 −= )4)(3()3)(3(3 +−=−+ qqqq f) m) 10116 2 =− aa 9)12( 2 =−rg) n) bb 9148 2 −= 9167)54( 22 ++=+ sss

2. Resuelva las siguientes ecuaciones polinomiales por factorización.

a) 0623 =−+ xxx b) yy 182 3 = c) 23 816 zzz =+

d) 020 234 =−− aaa e) 234 8226 bbb =+

46

Respuestas

1. h

a) ) 5,0 == xx 6

−=d 7,23

=d

b) 0 i) ,2 =−= xx 6,4 =−= mm

c) j1,0 == yy ) 25,4 =−= nn

d) k4,3 =−= yy ) 21,2 =−= pp

e) l2,5 =−= zz ) 3,25

=−= qq

f) 25,

32

=−= aa m) 2,1 =−= rr

g) 87,2 =−= bb n)

34

−=s

. a)

) 3

)

e)

2 2,0,3 ==−= xxx

b ±== yy ,0 c 4,0 == zz d) 5,0,4 ==−= aaa

31,0,4 ==−= bbb

47

Ecuaciones fraccionales

1. Resuelva las siguientes ecuaciones fraccionales. Indique claramente la solución o soluciones.

a) 3123 =−

x h)

3232

63

+−

=+−

bb

bb

b) 221

43

=+xx

i) 56=−

mm

c) 31138=

−−

+yy

y j)

23

111

=+

+pp

d) 25

105

45

12 −

=−

++ yyy

k) 112

23=

−−

qq

e) 1

5452 −=−

zzz l)

12

21

11

2 −=+

− rr

f) 1616

44

4 2

2

−+

=−

−+ a

aaa

a m)

232

14

2 2 +−=

−−

− sssss

g) ccc 5

525

1022 −

=−

n) 6

452

93 2 −+

=−

++ wwwww

2. Despeje por la variable indicada.

a) ca

abx+

= ; c

b) ca

abx+

= ; a

c) rq

p 11−= ; q

d) pnm111

−= ; n

e) 11−=

tus ; t

48

Respuestas

1. a)

43

=x h) 43

=b

85

=xb) i) 6,1 =−= mm

j) 1,32

=−= pp 54

=yc)

d) k1−=y ) 23,1 == qq

e) 9

=z l) 4 3−=r

f) No hay solución m) 3=s g) No hay solución n) 9−=w

2. a) x

xbax

axabc )( −=

−=

xbcxa−

= b)

1+=

prrqc)

d) pm

mpn+

=

)1(11+

=+

=suusu

t e)

49

Traducción de frases y problemas verbales de números

1. Traduzca cada frase a una expresión algebraica:

a) Doce más que un número. b) Un número disminuído en ocho. c) El producto de tres y un número. d) Veinte dividido entre un número. e) Siete menos que el doble de un número. f) El doble de un número, restado de siete. g) El triple de un número, aumentado en seis. h) El triple de la suma de un número y seis. i) Diez veces la resta de un número y cuatro. j) El cociente de quince y la suma de un número y cinco. k) La suma del doble de un número y nueve. l) La diferencia de cuatro veces un número y dieciocho. m) Uno menos que la mitad de un número. n) La mitad de un número, disminuído en tres. o) Una cuarta parte de la diferencia de un número y tres. p) El cuadrado de un número, restado del opuesto del número. q) El producto de cinco y el cubo de un número. r) Seis veces la suma de un número y cuatro, dividido entre once. s) Treinta menos que el quince porciento de un número. t) Doce veces el cociente de siete y un número.

2. Haga uso de una ecuación lineal para resolver los siguientes ejercicios.

Indique lo que representa su variable y conteste lo que se pregunta.

a) La suma de doce y tres veces un número es 36. ¿Cuál es el número?

b) Cuatro veces un número, restado de diez es igual al número

disminuído en veinte. ¿Cuál es el número? c) Cinco veces la diferencia de un número y seis es nueve menos que

el doble del número. ¿Cuál es el número? d) Una cuarta parte de la suma de un número y seis es igual a la

mitad del número, menos ocho. ¿Cuál es el número?

e) Halle dos números tal que el segundo es diez menos que el primero y la suma de ambos es 62.

50

f) Halle dos números tal que el segundo es el triple del primero y la mitad del segundo es cinco menos que el primero.

g) La suma de tres números enteros consecutivos es 186. ¿Cuáles son

los números?

h) Halle dos números enteros impares consecutivos tal que el triple del primero, más el segundo es igual a 78.

i) Halle tres números enteros pares consecutivos tal que la suma del

primero y el doble del segundo es igual a cuatro veces el tercero.

j) Halle tres números enteros consecutivos tal que cuatro veces el tercero, menos el segundo es igual al primero aumentado en 25.

k) Halle tres números enteros impares consecutivos tal que la suma

del primero y el doble del tercero es veinte más que el segundo.

51

Respuestas

1. a) b) c) d) 12+x 8−x x3x

20 e) 72 −x

f) g) h) x27 − 63 +x )6(3 +x i) )4(10 −x j) 5

15+x

k) l) m) 92 +x 184 −x 121

−x n) 321

−x o) )3(41

−x

p) q) r) 2xx −− 35x11

)4(6 +x s) 3015. −x t) )7(12

x

2. a) El número es ocho.

b) El número seis. c) El número es siete. d) El número es 38. e) El primer número es 36 y el segundo 26. f) El primer número es –10 y el segundo es –30. g) Los números son 61, 62 y 63. h) Los números son 19 y 21. i) Los números son –12, -10 y –8. j) Los números son 9, 10 y 11. k) Los números son 7, 9 y 11.

52

Problemas verbales

Haga uso de una ecuación lineal para resolver los siguientes ejercicios. Indique lo que representa su variable y conteste lo que se pregunta. NO TANTEE.

1. Entre Carlos y Ana compraron un total de 500 acciones de cierta compañía. Si Ana compró 100 acciones menos que el doble de las que compró Carlos, ¿cuántas acciones compró cada uno?

2. Sara y Karla gastaron un total de $300 en ropa. Si Karla gastó $30 más

que la mitad de lo que gastó Sara, ¿cuánto gastó cada una?

3. Luis, Ángel y Pedro se postularon para presidente de su clase y en la votación se emitieron un total de 160 votos. Si Luis recibió 1/3 parte de los votos que recibió Pedro y Ángel recibió 20 votos más que Pedro, ¿cuántos votos recibió cada uno?

4. Maribel y Frances vendieron boletos para un baile de su escuela. Frances

vendió 10 boletos menos que 3/5 partes de los que vendió Maribel. Si Frances vendió un total de 50 boletos, ¿cuántos boletos vendió Maribel?

5. Entre Manuel, Jaime y Sonia tienen ahorrados un total de $2,000. Si

Manuel tiene ahorrados $100 más que la mitad de lo que tiene Jaime y Sonia tiene ahorrados el doble de lo que tiene Manuel, ¿cuánto dinero tiene ahorrado cada uno?

6. El precio de un pantalón tiene un 35% de descuento. Si usted pagó

$58.50 por el pantalón, luego del descuento, ¿cuál era el precio original del pantalón?

7. Las ventas anuales de cierta compañía han aumentado un 20% desde el

año pasado. Si en el año presente la compañía ha tenido ventas de $300,000, ¿cuáles fueron sus ventas el año pasado?

8. El 40% de los empleados de cierta compañía tienen un grado de maestría

en su area de especialidad. Si hay un total de 128 empleados con grado de maestría, ¿cuántos empleados tiene la compañía?

9. El precio de una libra de pan ha aumentado un 25% en los últimos 6

meses. Si en el presente la libra de pan se vende $1.75, ¿a qué precio se vendía hace seis meses?

10. Juan vendió su libro de estadística en un 60% de lo que había pagado

por él. Si lo vendió en $57, ¿cuánto pagó originalmente por el libro?

53

11. Mercedes fue al supermercado y gastó un total de $32.50 en una botella de vino y en un queso. Si el queso le costó el 30% de lo que le costó el vino, ¿cuánto pagó por cada artículo?

12. Enrique y Ricardo invertieron un total de $7,875 en sus cuentas de retiro.

Si Ricardo invertió un 25% más que Enrique, ¿qué cantidad invirtió cada uno en su cuenta de retiro?

13. Marta paga mensualmente $960 en la hipoteca de su residencia. Si esta

cantidad es el 30% de su salario mensual, ¿cuál es su salario mensual?

14. Antonio obtuvo notas de 88, 79 y 70 en los tres exámenes parciales de su curso de contabilidad. ¿Qué nota debe sacar en el examen final para terminar el curso con un promedio de 80?

15. Si en el ejercicio anterior el examen final tuviera un valor de dos notas,

¿qué nota debe sacar Antonio en el final para obtener un promedio de 80 en el curso?

16. Gustavo compró 3 discos compactos y gastó un promedio de $12 en cada

uno. Si pagó $11 y $16 por los primeros dos, ¿cuánto pagó por el tercero?

17. A una compañía le cuesta $30 fabricar cada unidad de su producto. Si además tiene unos costos fijos mensuales de $5,000 ¿cuántas unidades podrán fabricar con un presupuesto mensual de $20,000?

18. En un lote de estacionamientos cobran $1.25 por la primera hora y $0.75

por cada hora adicional. Si usted paga un total de $5.00, ¿cuántas horas estuvo estacionado?

19. Un técnico de computadoras cobra $25 por visita más $15 por hora de

servicio. Si cobró un total de $77.50 por una servicio, ¿cuántas horas trabajó?

20. Por cada dos refrescos carbonatados se vende uno de frutas. Si los

refrescos carbonatados se venden a $0.60 y los de fruta a $0.75, ¿cuántos refrescos se vendieron de cada clase si se obtienen $146.25 por la venta?

21. Carmen compró un total de 25 calendarios. Por unos pagó $5 y por el

resto pagó $6. Si gastó un total de $139 por los calendarios, ¿cuántos calendarios de cada precio compró?

54

22. Las taquillas de palco para un concierto se venden a $50 y las de entrada general a $20. Si se venden un total de 500 taquillas y se recaudan $14,500, ¿cuántas taquillas de palco y de entrada general se vendieron?

23. Alberto compró tres tipos de peces de colores para su pecera. Compró

unos rojos a $3.00, el doble de esa cantidad en amarillos a $2.50 y quince más que en los rojos en peces multicolores a $4.00. ¿Cuántos peces compró de cada color si gastó un total de $180 en los peces?

24. Se invierten $3,500 al 4% de interés simple anual. ¿Cuál es el monto de

la inversión al cabo de 4 años? ¿Cuánto se recibió en intereses?

25. Si se invierten $7,200 al 3 ¼% de interés simple anual, ¿cuál es el monto de la inversión al cabo de 18 meses?

26. Mariana hizo un préstamo al 7% de interés simple anual. Si al cabo de un

año tuvo que pagar $2,568, entre principal e interés, ¿cuánto pidió prestado?

27. Sandra hizo un préstamo al 8% de interés simple anual. Si al cabo de dos

años tuvo que pagar $500 en intereses, ¿cuánto pidió prestado?

28. Manolo invirtió $2,500 y al cabo de tres años recibió $ 375 en intereses. ¿a qué tasa de interés simple anual invirtió?

29. Si se invierten $4,250 al 6% de interés simple anual, ¿al cabo de cuánto

tiempo se tendrán acumulados $4,887.50, entre principal e interés?

30. Si se toman prestados $1,500 y al cabo de cuatro años se salda el préstamo con un pago de $1,890, ¿a qué tasa de interés simple anual se hizo el préstamo?

Respuestas

1. Carlos compró 200 acciones y Ana 300. 2. Sara gastó $180 y Karla $120. 3. Pedro recibió 60 votos, Luis 20 y Ángel 80 votos. 4. Maribel vendió 100 boletos. 5. Jaime tiene $680, Manuel tiene $440 y Sonia $880. 6. El precio original era de $90. 7. Las ventas fueron de $250,000. 8. La compañía tiene 320 empleados. 9. Se vendía a $1.40.

55

10. Pagó $95. 11. Pagó $25 por el vino y $7.50 por el queso. 12. Enrique invirtió $3,500 y Ricardo $4,375. 13. Su salario mensual es $3,200. 14. Debe sacar 83 en el examen final. 15. Debe sacar 81.5 en el examen final. 16. Pagó $9. 17. Pueden fabricar 500 unidades. 18. Estuvo 5 horas estacionado. 19. Trabajó 3.5 horas. 20. Se vendieron 150 refrescos carbonatados y 75 de frutas. 21. Compró 11 calendarios a $5 y 14 calendarios a $6. 22. Se vendieron 150 taquillas de palco y 350 de entrada general. 23. Compró 10 rojos, 20 amarillos y 25 multicolor. 24. El monto es de $4,060 y los intereses de $560. 25. El monto es de $7,551. 26. Pidió prestados $2,400. 27. Pidió prestados $3,125. 28. Al 5% de interés simple anual. 29. Al cabo de 2.5 años. 30. A una tasa del 6 ½% anual.

56

Operaciones con radicales

1. Halle el valor de:

a) 36 b) 100 c) 41

d) 259

− e) 3 8−

f) 3271

g) 4161

− h) 16− i) 0 j) 81−−

k) 3 64−− l) 4916 m) 4 625 n) 4 625− o) 121±

2. Halle las siguientes raíces. Asuma que todas las variables representan

números no negativos.

a) 2d b) 4b c) 6c d) 12r e) 3 3m

f) 3 6n g) 4 4a h) 5 20y i) 6 18x j) 4 16z

3. Exprese en forma radical.

a) 21

5 b) 31

7 c) 41

9 d) 32

6 e) 53

8

f) 21

3x g) 51

)2( y h) 43

)4( z i) 32

6w j) 23

7x

4. Exprese en forma exponencial.

a) 3 b) 3 2 c) 5 4 d) 4 3x e) 7 2y

f) z5 g) 3 4t h) p6 i) 5 3 2x j) 5 yz

5. Halle el valor de:

a) 21

)16( b) 31

)27(− c) 51

)32( d) 32

8 e) 23

9

f) 32

)64( g) 43

)16( h) 23

)25( i) 35

)8(− j) 57

)1(−

6. Simplifique. Asuma que las variables asumen valores 0≥ .

a) 50 b) 45 c) 48 d) 5x e) 11y

f) 4108x g) 376y h) 2516 yx i) 1578 qp j) 36996 qp

57

7. Sume o reste.

a) 323 +8 b) xx 4−3 c) 44812 ++d) 72532 −4

e) 33 123752 yy +

f) 1254520 −+g) 615024 +−

h) aabababa 696424 223 +−3

yxyxyx 22 32472350 +−2 i)

8. Multiplique y simplifique cuando sea posible.

a) 73 ⋅ i) )24(2 −

b) 82 ⋅ j) )108(5 +

c) 105 ⋅ k) )1428(7 −

d) x⋅8 l) )2432(25 +

e) 3yy ⋅

f) 15234 ⋅

g) 435 qpqp ⋅

h) 37 5385 zz ⋅

9. Divida y simplifique cuando sea posible.

a) 2

32

b) 872

c) 4925

d) 3

5

624

xx

e) y

y328 9

58

10. Racionalice los denominadores para simplificar.

a) 2

3 f)

x5

b) 7

4 g)

yx

c) 85

h) 3q

p

d) 63

i) 5ba

e) 27

j) 9

6

nm

59

Respuestas operaciones con radicales

1. a) 6 b) 10 c) ½ d) –3/5 e) –2 f) 1/3 g) - ½ h) no def. i) 0 j) no def. k) 4 l) 4/7 m) 5 n) no def. o) 11± 2. a) d b) c) c d) 2b 3 6r e) m f) g) a h) i) j) 2n 4y 3x 4z 3. a) 5 b) 3 7 c) 4 9 d) 3 26 e) 5 38

f) x3 g) 5 2y h) 4 3)4( z i) 6 3 2w j) 7 3x

4. a) 21

3 b) 31

2 c) 51

4 d) 43

x e) 72

y

f) 21

)5( z g) 31

)4( t h) 21

6 p i) 32

5x j) 51

)(yz 5. a) 4 b) –3 c) 2 d) 4 e) 27 f) 16 g) 8 h) 125 i) –32 j) –1 6. a) 25 b) 53 c) 34 d) xx 2 e) yy 5

f) 36 2x g) yy 192 h) yyx 128 i) pqqp 22 73 j) pqp 64 184 7. a) 310 b) - x c) 236 + d) 214− e) yy 316

f) g) 0 62− h) aab 69− i) yx 28 8. a) 21 b) 4 c) 2 5 d) x22 e) 2y

f) 524 g) qqp 24 h) 1030 5z i) 224 − j) 25102 +

k) 214142 − l) 36010 + 9. a) 4 b) 3

c) 75

d) x2

e) 22

1 44 yy =

60

10. a) 2

23 f)

xx5

b) 7

74 g)

yxy

c) 410

h) 2qpq

d) 22

i) 3bab

e) 214

j) 5

3

nnm

61

Ecuaciones cuadráticas

1. Resuelva las siguientes ecuaciones haciendo uso de la propiedad de la raíz cuadrada. a) f) 812 =x 12)3( 2 =−c

b) g) 0642 =−y 45)13( 2 =−p c) h) 1242 =+z 48)52( 2 =+q

d) i) 60153 2 =−a41)1( 2 =+r

e) j) 18)2( 2 =+b169)4( 2 =−t

2. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas haciendo uso de la

fórmula cuadrática. Si no hay soluciones reales indíquelo.

a) 0132 =−+ xxb) 252 =+ xxc) 462 =− ttd) 152 2 −= yye) 2032 2 =− yyf) 323 2 −=+ zzg) 126 2 += tt

h) 1035 2 −=− aa

62

Respuestas

1. a) 9±=x f) 323±=c

b) g) 8±=y3

531±=p

c) 22±=z h) 2

345 ±−=q

d) i) 5±=a23,

21−−=r

e) 232 ±−=b j) 4

19,4

13=t

2. a) 2

133±−=x e) ,

25

−=y 4

b) 2

335 ±−=x f) No hay sols. reales

c) 133±=t g) 6

71±=t

d) 4

175 ±=y h) No hay sols. reales

63

Ecuaciones irracionales

Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales. Si no hay solución indíquelo. 1) 63 =+x 2) 482 =−x 3) 253 =+x 4) 314 −=−y 5) 82 += yy 6) 183 += zz 7) 151 +=+ zz 8) 15 +=− zz

64

Respuestas

1) 33=x2) 12=x

3) 31

−=x

4) No hay solución 5) 4=y6) 6=z7) 3,0 == zz8) 8=z

65

Localización de puntos en el plano cartesiano

1. Localice los siguientes puntos en el plano. (2, 3), (0, 4), (-1, 5), (-3, 0), (-4, -2), (3, -5)

2. Dé las coordenadas de los siguientes puntos.

66

3. Localice los siguientes puntos en el plano cartesiano.

A ( )43,

21

, B ( )45,

23− , C ( )

49,

54

− , D )25,

47( −−

Respuestas

1.

67

2. A(-4, 5), B(-5, 0), C(-2, -1), D(0, 3), E(2, - 4), F(3, 2) 3.

68

Gráficas de ecuaciones lineales 1. Si 3+= xy , llene la siguiente tabla de valores:

x -2 -1 0 1 2y

2. Si ,12 −= x llene la siguiente tabla de valores: y

x -2 -1 0 1 2y

3. Trace la gráfica del ejercicio 1.

69

4. Trace la gráfica del ejercicio 2.

5. Halle los interceptos en los ejes de las siguientes ecuaciones:

a) 2−= xyb) 5+= xyc) xy −= 3d) 62 −= xy

e) 421

−= xy

f) 243 =+ yxg) 425 =− yx

6. Trace las gráficas de las ecuaciones del ejercicio 5, haciendo uso de los

interceptos.

7. Trace las gráficas de las siguientes ecuaciones:

a) 5=yb) 4−=yc) 3−=xd) 6=x

70

8. Conteste a base de la siguiente gráfica:

a) ¿Cuál es el intercepto en el eje de y? b) ¿Cuál es el intercepto en el eje de x? c) Halle la abcisa para la cual la ordenada es 6. d) Halle la ordenada para la cual la abcisa es -3.

Respuestas

1. x -2 -1 0 1 2 y 1 2 3 4 5

2. X -2 -1 0 1 2 Y -5 -3 -1 1 3

71

3.

4.

5.

a) Int. en Y (0, -2); Int. en X (2, 0) b) Int. en Y (0, 5); Int. en X (-5, 0) c) Int. en Y (0, 3); Int. en X (3, 0) d) Int. en Y (0, -6); Int. en X (3, 0)

72

e) Int. en Y (0, -4); Int. en X (8, 0) f) Int. en Y (0, ½); Int. en X (2/3, 0) g) Int. en Y (0, -2); Int. en X (4/5, 0)

6. a)

b)

73

c)

d)

74

e)

f)

75

g)

7. a)

76

b)

c)

77

d)

.

d) y = -2

8 a) (0, 4) b) (-2, 0) c) x = 1