1Universidade Estadual de CampinasFaculdade de EngaEl etrica & Computac aoDepartamento de Telem aticaNOTAS DE AULAS DE EA721PRINCIPIOS DE CONTROLE &SERVOMECANISMOSPaulo Augusto Valente FerreiraFevereiro de 2006www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 2Aula 1Introduc ao ao Controle Autom aticoTerminologia b asicaMalha abertamalha fechadaExemplos ilustrativosTerminologia b asica1. Certos termos utilizados para descrever vari aveis e congurac oes relacionadas asistemas de controle tornaram-se padr oes com o passar do tempo. Apresentamos aseguir alguns termos b asicos. Termos mais especcos surgir ao no transcorrer docurso.Sistema. O termo sistema designa um arranjo, conjunto ou colec ao de compo-nentes conectados ou relacionados de maneira a formar ou agir como uma uni-dade. Um sistema n ao e algo necessariamente fsico. O termo pode ser usado emrefer encia a sistemas econ omicos, biol ogicos ou mec anicos, entre outros;Controle. O termo controle e usualmente empregado no sentido de regulac ao,direcionamento ou comando. Um sistema de controle seria um arranjo de com-ponentes conectados ou relacionados de maneira a se auto-regular (direcionar, co-mandar), ou regular (direcionar, comandar) um outro sistema.2. As denic oes acima s ao sucientemente gerais para que, num sentido mais abs-trato, qualquer objeto fsico possa ser considerado um sistema de controle. Umasimples superfcie reetora controla raios de luz, reetindo-os de acordo com osseus angulos de incid encia. Qualquer coisa controla o ambiente a sua volta, pas-siva ou ativamente. Em Engenharia, sistema de controle adquire um sentido maisrestrito, designando sistemas utilizados para controlar (ativamente) vari aveis comotemperatura, press ao e vaz ao em processos qumicos, tens ao e freq u encia em sis-temas de gerac ao e distribuic ao de energia, posic ao e velocidade angulares de mo-tores, trajet oria de veculos, etc.Planta. O termo planta (ou processo, ou sistema controlado) e usado para de-signar o sistema que e objeto da ac ao do sistema de controle.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 33. Planta e uma traduc ao da palavra ingl esa plant, que tamb em poderia ser tra-duzida como f abrica ou instalac ao industrial, ambiente onde muitos sistemas decontrole tiveram origem. Geralmente utilizamos os termos planta e processo, semdistinc ao, para designar aquilo que queremos controlar, embora o termo controlede processos esteja mais frequentemente associado ao controle de sistemas queenvolvam vari aveis como temperatura, press ao e vaz ao, presentes em industriasqumicas, por exemplo. Neste curso adotamos o termo planta para designar o ob-jeto da ac ao de controle. A planta e representada como um bloco relacionando umavari avel de entrada a uma vari avel de sada (Figura 1.1).PSfrag replacementsEntrada SadaPlantaFigura 1.1: Planta.4. Denimos a seguir alguns termos relativos a quantidades presentes em sistemasde controle. Osvalores dessasquantidadesgeralmentes aofunc oesda vari avelindependente tempo.Vari avel de refer encia. A vari avel de refer encia (ou comandada) serve de re-fer encia (no sentido de comportamento desejado) para a vari avel controlada;Vari avel controlada. A vari avel controlada (ou regulada) e qualquer vari avelquesedesejacontrolar. Avari avel controlada egeralmenterepresentadapelavari avel de sada do sistema de controle;Vari avel de controle. A vari avel de controle (ou manipulada) e a quantidadedeterminada pela ac ao de um controlador. A vari avel de controle e geralmenteidenticada como a vari avel de entrada da planta;Controlador. Um controlador (ou compensador) e qualquer sistema conectado` a planta no sentido de fazer a vari avel controlada responder de acordo com o espe-cicado pela vari avel de refer encia.5. Exemplos. Nocontroledeposic aodoeixodeummotorDC(planta), asvari aveis de controle e controlada s ao, respectivamente, a tens ao aplicada nos ter-minais de entrada do motor e a posic ao angular resultante do eixo. O controla-www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 4dor poderia ser simplesmente um transdutor, que converteria a posic ao desejada(vari avel de refer encia) em radianos ou graus na tens ao necess aria para produz-la.Num tanque para aquecimento de agua (planta), as vari aveis de controle e con-trolada s ao, respectivamente, a quantidade de calor transferida ao tanque e a tem-peratura resultante da agua. Um controlador converteria a temperatura desejada(vari avel de refer encia) na quantidade de calor necess aria para atingi -la.6. Se as vari aveis de refer encia, de controle e de sada forem denotadas por r, u e y,respectivamente, ent ao e possvel representar um sistema de controle em malhaaberta como na Figura 1.2.PSfrag replacementsr u yPlanta ControladorFigura 1.2: Sistema em malha aberta.7. Os blocos (sistemas) Controlador e Planta s ao vistos agora como subsistemas deum sistema mais complexo. A principal caracterstica do sistema em malha abertada Figura 1.2 e inexist encia de realimentac ao: os valores assumidos pela vari avelde controle n ao dependem dos valores da vari avel de sada. A ac ao de controle efunc ao apenas do processamento da vari avel de refer encia pelo controlador. Porsimplicidade, os termos vari avel de refer encia, vari avel de entrada e vari avel desada ser ao abreviados para refer encia, entrada e sada do sistema, respectivamente.PSfrag replacementsr u y ePlanta ControladorSensorComparadorFigura 1.3: Sistema em malha fechada.8. Em contraste com o sistema de controle em malha aberta da Figura 1.2, a Figura1.3 ilustra um sistema de controle em malha fechada, realimentado, no sentidowww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 5de que a sada y e medida e comparada com a sada desejada, indicada atrav es darefer encia r, para processamento atrav es do controlador e a consequente denic aoda ac ao de controle u.9. Dois novos componentes s ao introduzidos na Figura 1.3. A sada do sistema e medida atrav es do componente representado no bloco Sensor. Em seguida,arefer encia e comparada com o valor medido, no bloco Comparador. A sada docomparador ser a denotada por e. Em geral, a sada do comparador e simplesmenteo erro entre a refer encia e o valor medido, isto e, e = r y.10. Exemplos. No controle de posic ao do motor DC mencionado anteriormente,o sistema de controle encontra-se em malha aberta, uma vez que a tens ao denidapelo controlador n ao depende da posic ao angular do eixo. O mesmo ocorre no con-trole de temperatura do tanque: a quantidade de calor denida pelo controlador n aodepende da temperatura da agua. Nas vers oes em malha fechada desses sistemas,as vari aveis de sada seriam medidas atrav es de sensores apropriados e compara-das com os valores desejados. Os erros resultantes seriam ent ao processados pelosrespectivos controladores para os ajustes necess arios (realimentac ao).11.`As vezes torna-se conveniente explicitar a parte do sistema de controle res-pons avel pela atuac ao na planta, como na Figura 1.4, atrav es do bloco Atuador.Em sistemas fsicos, o atuador e o componente que gera a pot encia necess aria paraproduzir a sada do sistema. A descric ao do atuador pode ser incorporada` a docontrolador ou ` a da planta. Neste curso, optamos por designar de controlador ape-nas a parte do sistema que e efetivamente projet avel, sendo o atuador geralmenteconsiderado como parte integrante da planta.PSfrag replacements+ryePlanta ControladorSensorAtuadorFigura 1.4: Sistema explicitando o atuador.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 612. Idealmente, se fosse possvel representar a planta, o controlador e o ambienteno qual o sistema de controle est a inserido com precis ao innita, n ao seria ne-cess ario utilizar sistemas de controle em malha fechada; sistemas em malha abertaseriam sucientes. A principal raz ao para a utilizac ao de um sistema de controleem malha fechada e a eventual presenca de dist urbios agindo sobre o sistema.Dist urbio. O termo dist urbio designa genericamente qualquer evento que tendaa afetar o funcionamento do sistema de controle de forma adversa. Pode ser geradointernamente ou externamente ao sistema de controle.13. Exemplos. Um sensor descalibrado ou sujeito a rudos gera medidas que n aoreetemosvaloresdasada, gerandoum dist urbio interno. Osvaloresmedi-dos incorretamente ser ao realimentados, afetando o funcionamento do sistema. Separte da descric ao da planta e omitida na etapa de modelagem do sistema, a parten ao-modelada pode agir como dist urbio interno. A velocidade do vento representaum dist urbio externo para os sistemas de controle de trajet oria de veculos. Aforca e a amplitude das ondas representam dist urbios externos para os sistemas deestabilizac ao de plataformas martimas.PSfrag replacements+r u y ewvPlanta ControladorSensorFigura 1.5: Sistema em malha fechada sujeito a dist urbios.14. A traduc ao de dist urbios em termos de vari aveis est a diretamente ligada` ascaractersticas da planta, do sensor e do ambiente no qual o sistema em malha fe-chada opera. A Figura 1.5 ilustra um sistema de controle em malha fechada noqual vari aveis de dist urbio agindo na planta e no sensor s ao explicitamente con-www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 7sideradas. O diagrama da Figura 1.5 involve dois grupos de tr es vari aveis comcaractersticas distintas. As vari aveis r, w e v s ao entradas externas (independen-tes), no sentido de que afetam, mas n ao s ao afetadas pelas vari aveis e,u e y. Asvari aveis e, u e y representam sadas controladas (dependentes).15. Do ponto de vista de implementac ao fsica, classicamos um sistema de con-trole em malha fechada como manual ou autom atico.Controle manual. Tipo de controle em malha fechada no qual a realimentac ao eimplementadaatrav esdeumoperadorhumano, querealizaumaoumaisdasfunc oes de comparador, controlador ou sensor.Controle autom atico. Tipo de controle em malha fechada no qual as func oesde comparador, controlador e sensor s ao executadas sem a intervenc ao humana,atrav es de sistemas eletr onicos, hidr aulicos ou pneum aticos, por exemplo.16. Uma caracterstica inerente ao desenvolvimento da area de sistemas de con-trole eaprogressivasubstituic aodesistemasdecontrolemanuaisporsistemasautom aticos, particularmente em atividades que demandem assist encia constante,ac oes repetitivas ou que possam ser potencialmente perigosas para a integridadefsica dos operadores. Sistemas de controle autom aticos s ao geralmente capazes deexecutar suas func oes com maior precis ao e rapidez do que seria possvel atrav esde controle manual.17. Do ponto devista da func ao a serexecutada, classicamos um sistema decontrole em malha fechada como sendo do tipo servomecanismo ou regulac ao.Servomecanismo. O termo servomecanismo surgiu no contexto do desenvolvi-mento de certos mecanismos de controle de posic ao. O termo problema do servo-mecanismo serve atualmente para designar o problema de fazer a sada do sistemaseguir (acompanhar, rastrear) uma refer encia especicada.Regulac ao. O termo regulac ao e empregado para designar a func ao de controleque visa manter a sada do sistema razoavelmente pr oxima ` a uma refer encia espe-cicada. O termo problema da regulac ao designa o problema de regular a sadado sistema.18. Exemplo. No controle em malha fechada do motor DC, o problema de levar oeixo do motor da sua posic ao inicial at e a posic ao desejada (isto e, fazer a posic aowww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 8do eixo comecar a seguir uma func ao tipo degrau, de amplitude igual a posic aodesejada) constitui um problema de servomecanismo. Manter a posic ao do eixosucentemente pr oxima ` a posic ao desejada, a despeito de possveis dist urbios quepossam afetar o sistema, constitui um problema de regulac ao.19. O objetivo num problema de regulac ao e manter uma certa condic ao nomi-nal de operac ao, caracterizada pelos valores nominais das vari aveis presentes nosistema. Quando a sada se desvia do seu valor nominal por inu encia de algumdist urbio, as demais vari aveis devem tamb em sofrer desvios no sentido de restau-rar a condic ao anterior ao dist urbio. Podemos representar o problema da regulac aoatrav es do diagrama da Figura 1.5, substituindo cada vari avel pelo respectivo des-vio em relac ao ao seu valor nominal. A refer encia seria o valor constante zero,uma vez que o objetivo agora seria levar o desvio da sada para zero, restaurando-se desta forma a condic ao nominal de operac ao do sistema.Malha aberta malha fechada20. Sistemas de controle em malha aberta s ao de implementac ao e manutenc aomais simples e s ao mais baratos - possuem menos componentes - do que os corres-pondentes sistemas de controle em malha fechada. Sistemas de controle em malhaaberta podem ser a unica alternativa quando a medic ao da sada e t ecnica ou econo-micamente invi avel. Eletrodom esticos como m aquinas de lavar convencionais s aoexemplos tpicos. Por ser ainda economicamente invi avel medir grau de limpezada roupa para comparac ao com o grau de limpeza desejado, funcionam a base deciclos (refer encias pr e-programadas) controlados por timers.21. Se adequadamente projetados, sistemas de controle em malha fechada tornama sada do sistema relativamente insensvel a dist urbios externos ou internos. Emprincpio s ao mais caros - possuemmais componentes - mas por terema capacidadede compensar dist urbios internos, podem ser implementados com componentes demenorqualidadeecusto, semprejuzosignicativoemtermosdedesempenhoglobal. Por outro lado, a realimentac ao pode produzir instabilidade. A quest aoda estabilidade da malha de controle deve ser cuidadosamente tratada ao se imple-mentar sistemas realimentados.Exemplos ilustrativos22. Sistemas de controle foram originalmente introduzidos para solucionar proble-www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 9mas de regulac ao de sistemas mec anicos. A partir da compreens ao e do domnio doprincpio b asico da realimentac ao, passaram a ser utilizados em diferentes camposda tecnologia e da ci encia.Eletromec anica23. Atualmenteumaparcelaexpressivadasaplicac oesdesistemasdecontroleenvolvem sistemas eletromec anicos, como motores e rob os. Um exemplo nesta area eocontroledeumaunidadedeleituradediscosmagn eticos, ilustradonaFigura 1.6. Um disco magn etico e um dispositivo para armazenamento de dados econsiste de uma superfcie circular coberta por material magn etico. Os dados s aoarmazenados numa s erie de crculos conc entricos, chamados de trilhas. Existemmilhares de trilhas num disco magn etico.PSfrag replacementstrilhadiscobracomotorFigura 1.6: Unidade de leitura de disco magn etico.24. O objetivo no sistema ilustrado na Figura 1.6 e posicionar a cabeca da unidadedeleituradeforma alerosdadosarmazenadosnumatrilhaqualquerdodisco.A cabeca de leitura, construda com material do tipo lme no, e montada numdispositivo deslizante conectado na extremidade de um braco mec anico e paira auma dist ancia de 100 nm da superfcie do disco. A velocidade de rotac ao do disco,constante, encontra-se entre 1800 e 7800 rpm.25. Um sistema de controle em malha fechada para o posicionamento da cabecade leitura de um disco magn etico e ilustrado na Figura 1.7. Cada trilha do discopossui um ndice que pr e-registra a sua posic ao. A cabeca de leitura l e a posic ao(ndice) da trilha corrente, a qual e comparada com a posic ao (ndice) desejada.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 10O sinal de erro de posic ao e transmitido ao amplicador, o qual por sua vez gerauma entrada de controle para um motor DC de im a permanente, respons avel peloposicionamento do braco da leitora.PSfrag replacements+Amplicador Motor e BracoPosic ao Posic aoDesejada LeituraSensorFigura 1.7: Sistema de controle da posic ao de leitura.26. As especicac oes de desempenho para o sistema de controle em malha fechadas ao bastante rgidas: o erro entre a posic ao desejada e a posic ao nal da cabeca deleitura deve ser da ordem de 1m;a cabeca deve mover-se entre duas trilhasquaisquer do disco num intervalo de 50 ms.Biomedicina27. O uso de conceitos e t ecnicas de controle autom atico na area de biomedicinapode ser ilustrado atrav es da discuss ao de umsistema autom atico para administrac aode insulina, um horm onio produzido no p ancreas.28. A maioria dos alimentos que ingerimos e transformada em glicose, uma formade ac ucar que e transformada pelo corpo humano em energia. A insulina ajuda aglicose de origem alimentar a penetrar nas c elulas, de forma a que estas produzamenergia. Na aus encia de insulina, a glicose se acumula no corpo ao inv es de ser ab-sorvida pelas c elulas. O diabetes se manifesta quando o corpo n ao produz insulinasuciente ou e incapaz de utilizar ecientemente a insulina que produz.29. A Figura 1.8 ilustra os pers de produc ao de glicose e insulina de uma pessoasaud avel, os quais servem de refer encia para um sistema autom atico para adminis-trac ao de insulina a ser implantado num paciente diab etico. O sistema de controlerepresentado na Figura 1.9 e do tipo malha aberta porque a tecnologia atual aindan ao permite miniaturarizar um sensor para nveis de glicose. Um sistema compostopor um reservat orio de insulina, motor, bomba e v alvula administra uma taxa dewww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 11insulina como pr e-programado num gerador de sinal.PSfrag replacementsInsulinaGlicoseConcentrac aoCaf e Almoco JantartempoFigura 1.8: Pers normais de glicose e insulina.PSfrag replacementsGerador de Sinal(Programado)Motor, Bombae V avulav(t)(tens ao)u(t)Taxa deInsullinaFigura 1.9: Controle em malha aberta de glicose.30. Avancos na area de miniaturarizac ao de sensores dever ao viabilizar sistemasem malha fechada implantados para controle do nvel de glicose no sangue, press aosang unea e taxa de batimento cardaco, entre outros.Economia31. Tentativas no sentido de modelar alguns processos no campo das ci encias so-ciais como sistemas de controle t em sido realizadas com relativo sucesso. Emboraa Sociedade, como um sistema, possua in umeros componentes e muitas malhasde controle, certas relac oes de causa-e-efeito b asicas em Economia, por exemplo,podem ser representadas de forma simplicada.32. O Produto Interno Bruto (PIB) anualizado de um pas e a soma dos va-lores de todos os produtos e servicos produzidos no pas no perodo de um ano.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 12Um dos objetivos da ac ao governamental e promover e controlar o crescimento doPIB, nos moldes de um sistema de controle como o ilustrado na Figura 1.10. Aprincipal vari avel de controle do governo, oriunda da coleta de impostos, s ao seusinvestimentos na atividade econ omica, a qual tamb em recebe entradas na forma deinvestimentos privados e gastos dos consumidores.PSfrag replacementsPIB PIBDesejadoGovernoInvestimentos PrivadosAtividadeEcon omicaImpostosConsumidoresMedida+++++Figura 1.10: PIB como um sistema realimentado.33. Embora bastante simplicado, o diagrama de blocos ajuda a entender os meca-nismos b asicos do comportamento do PIB numa economia nacional (capitalista).Dentreasmalhasdecontrolen ao-evidenciadas, encontra-searespons avelpelocontrole de decit, isto e, da diferenca entre o que e investido e o que e arrecadadopelo governo.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 13Revis ao 1Resposta TemporalFunc ao de transfer enciaGanho DCSistemas de primeira ordemSistemas de segunda ordemFunc ao de transfer encia1. Sistemas lineares invariantes no tempo podem ser genericamente representadospor uma equac ao diferencial linear ordin aria:y(n)+an1y(n1)+ +a1 y +a0y =bmu(m)+bm1u(m1)+ +b1 u +b0u (m n),na qual y e u s ao as vari aveis de sada e de entrada do sistema e a0, a1, . . . , an1,b0, b1. . . , bm s ao coecientes constantes. A saday ca completamente caracte-rizada a partir do conhecimento da entrada u, e das condic oes iniciais y(0), y(0),. . . , y(n1)(0). Aplicando a Transformada de Laplace (L) a ambos os lados daequac ao diferencial supondo condic oes iniciais nulas e dividindo Y (s) = L[y(t)]por U(s) = L[u(t)], obtemos a func ao de transfer encia do sistema:G(s) =Y (s)U(s)=bmsm+bm1sm1+ +b1s +b0sn+an1sn1+ +a1s +a0.2. Atrav es do conceito de func ao de transfer encia e possvel representar umsistemadin amico atrav es de uma func ao alg ebrica racional (raz ao de dois polin omios) nafreq u encia complexa s. Se a maior pot encia de s do denominador de G(s) for n,dizemos que a ordem do sistema e n. A forma fatorada de G(s) eG(s) =k(s z1)(s z2)(s zm)(s p1)(s p2)(s pn),na qualk e uma constante, z1, z2, . . . , zms ao as razes do numerador ep1, p2,. . . , pns ao as razes do denominador deG(s). Se a func ao de transfer encia forirredutvel, isto e, se zi ,= pj para todo i e todo j, dizemos que z1, z2, . . . , zm s aowww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 14os zeros e que p1, p2, . . . , pn s ao os p olos de G(s). Ao lidarmos com sistemas re-presentados pelas suas func oes de transfer encia devemos atentar para as seguintespropriedades b asicas:A func ao de transfer encia independe da entrada aplicada ao sistema. A sadado sistema depende da entrada poisy(t)= L1[G(s)U(s)]. A func ao detransfer encia depende apenas dos coecientes (que tamb em denem a or-dem) da equac ao diferencial;A func ao de transfer encia e a transformada de Laplace da sada do sistemaquando a entrada e a func ao impulso (t). De fato, se g e a sada do sistemadevida ` a entrada u(t) = (t) (U(s) = 1), isto e, se g e a reposta do sistemaao impulso, ent ao G(s) = L[g(t)].3. A resposta temporal de um sistema linear invariante no tempo nada mais edo que a sada do sistema y para uma dada entrada u. Podemos obter a respostatemporal de um sistema representado pela sua func ao de transfer encia atrav es doseguinte procedimento:Passo 1: Obtenha a Transformada de Laplace da entrada: U(s) = L[u(t)];Passo 2: Calcule Y (s) =G(s)U(s).Expresse Y (s) como soma de frac oes par-ciais:Y (s) = Y1(s) +Y2(s) + +Yn(s);Passo 3: Obtenha as anti-transformadas de Laplace das frac oes de Y (s). A somados termos resultantes e a reposta temporal do sistema:y(t) = L1[Y1(s)] +L1[Y2(s)] + +L1[Yn(s)], t 0.Os Passos 1 e 3 s ao normalmente executados com o auxlio de uma Tabela deTransformadas de Laplace. O Passo 2 envolve o c alculo dos resduos associados` as frac oes parciais deY (s), atrav es de regras dependentes da natureza dos p olosde G(s) (distintos, m ultiplos, complexos).Ganho DC4. Podemos calcular o valor nal da respostayde um sistema linear invarianteno tempo descrito pela func ao de transfer enciaG(s) a uma entrada particularuwww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 15atrav es do chamado Teorema do Valor Final:limty(t) = lims0sY (s),= lims0sG(s)U(s).Supomos implicitamente quey possui um valor nal, isto e, quey convergeparaalgumn umerorealquandottendeparaoinnito. Seu(t) =A, t 0(degrau unit ario de amplitude A), ent ao U(s) = A/s elimty(t) = lims0sG(s)As ,= lims0G(s)A.Se y possui um valor nal, o limite indicado existe e o valor nal de y e G(0)A.Entretanto, o limite pode existir, sem signicado fsico, mesmo que y n ao possuavalor nal. O valor G(0) e chamado de ganho DC ou ganho de regime do sistemapara uma entrada constante, em analogia ao termo utilizado para descrever sinaisel etricos constantes.Sistemas de primeira ordem5. Modelos de primeira ordem s ao utilizados para descrever um grande n umero deprocessos simples, como a velocidade de uma massa, a temperatura de um reator, onvel de um tanque ou a tens ao num circuito RC s erie. Sistemas de primeira ordemassumem a seguinte forma padr ao:G(s) =Y (s)U(s)=ks + 1, (1)na qual k e s ao o ganho e a constante de tempo do sistema, respectivamente.6. Resposta ao degrau unit ario. Se U(s) = 1/s, ent aoY (s) = G(s)U(s) =ks(s + 1)=k/s(s + 1/),=ks ks + (1/).A anti-transformada de Y (s) (resposta ao degrau) ey(t) = k ket/= k(1 et/), t 0. (2)www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 16O termok da resposta ao degrau unit ario (2) e devido ao p olo na origem deU(s), e e chamado de resposta forcada ou resposta emregime do sistema, porqueo termo permanece quando t tende ao innito. O termo ket/ e devido ao p olodeG(s), e e chamado por sua vez de resposta transit oria ou resposta naturaldo sistema, porque o termo desaparece quando t tende ao innito. A Figura R1.1ilustra a resposta tpica de um sistema de primeira ordem ` a entrada degrau unit ario.Para obter a resposta a um degrau de amplitude A, basta multiplicar a sada por A.Time (sec.)AmplitudeStep Response0 0.5 1 1.5 2 2.5 300.10.20.30.40.50.60.70.80.91From: U(1)To: Y(1)Figura R1.1: Resposta ao degrau unit ario (k = 1, = 0.5 s).7. A tabela abaixo indica como a exponencial et/decai em func ao de m ultiplosda constante de tempo . Observamos que ap os quatro constantes de tempo o valorda exponencial e inferior a 2% do valor inicial. Consequentemente, ap os t = 4 s(qualquer que seja ) o valor da resposta e superior a 98% do seu valor nal, k.t et/0 1 0.36792 0.13533 0.04984 0.01835 0.00678. O ganho DC do sistema de primeira ordem eG(0)=k. Se a amplitude dodegrau for A, ent ao o valor nal da sada ser a kA. O valor DC de um sistema podeser calculado mesmo que a entrada n ao seja constante. Na pr atica, se a entradawww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 17permanecer igual aA por um perodo superior a 4s, o valor da sada tender a ` aconstante G(0)A.9. Resposta ` a rampa unit aria. Se U(s) = 1/s2, ent aoY (s) =ks2(s + 1)=(k/)s2(s + 1/),= ks+ks2 +ks + (1/).A anti-transformada de Y (s) (resposta ` a rampa) ey(t) = kt +ket/k, t 0.O fator que multiplica a exponencial agora depende de. Quanto maior,mais prolongada ser a a resposta transit oria do sistema. A resposta em regime` arampa unit aria, isto e, a parte da resposta ` a rampa que permanece quando t tende aoinnito, e y(t)re = kt k(t ). Observamos que a resposta ` a rampa tende auma reta de inclinac ao k. A Figura R1.2 ilustra a resposta tpica de um sistema deprimeira ordem ` a entrada rampa unit aria. Do mesmo modo, para obter a resposta auma rampa de inclinac ao A (s1), basta multiplicar a sada por A.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910PSfrag replacementst (s)uyFigura R1.2: Resposta do sistema ` a rampa unit aria (k = 1, = 0.5 s).Sistemas de segunda ordemwww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 1810. Modelos de segunda ordem s ao tamb em representativos de um grande n umerode processos de interesse, como a posic ao de uma massa num sistema massa-mola-atrito, o deslocamento angular do eixo de um motor DC (modelo simplicado) oua carga no capacitor de um circuito RLC s erie. A forma padr ao de um sistema desegunda ordem eG(s) =Y (s)U(s)=2ns2+ 2ns +2n,na qual e o fator de amortecimento en e a freq u encia natural (em rad/s)do sistema. Um sistema de segunda ordem e completamente caracterizado pelosvalores de en. A freq u encia natural e tamb em chamada de freq u encia n ao-amortecida. Seria a freq u encia de oscilac ao do sistema caso = 0. O ganho DCdo sistema de segunda ordem na forma padr ao e G(0) = 1. O valor nal da sada e igual a qualquer valor de entrada constante.11. Resposta ao degrau unit ario. Se U(s) = 1/s, ent aoY (s) =2ns(s2+ 2ns +2n).A natureza das razes de s2+ 2ns +2n = 0,s1,2 = nn_21,varia de acordo com o valor de 0:> 1 : razes reais distintas; = 1 : razes reais m ultiplas;< 1 : razes complexas conjulgadas.Resposta sub-amortecida. Se < 1, dizemos qua a resposta e sub-amortecida erepresentamos as razes s1,2 na formas1,2 = njd,na qual d = n_1 2 e a freq u encia de oscilac ao forcada do sistema, depen-dente do fator de amortecimento . Para obter a reposta do sistema sub-amortecido,expressamos Y (s) em frac oes parciais:www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 19Y (s) =1s s + 2ns2+ 2ns +2n,=1s s +n(s +n)2+2dn(s +n)2+2d.Anti-transformando Y (s) com o auxlio de uma Tabela de Transformadas, ob-temos ent aoy(t) = 1 ent_cos dt +_1 2sen dt_,= 1 ent_1 2sen_dt + tg1_1 2_, t 0.Arespostaoscilacomfreq u enciaamortecidadetendea1(amplitudedodegrau unit ario) quando t tende ao innito. Se = 0 (d = n), obtemosy(t) = 1 cos nt, t 0.A resposta oscila sem amortecimento em torno de 1 na freq u encia natural n.Dizemos neste caso que a resposta e n ao-amortecida.Resposta criticamente amortecida. Se = 1, ent aos2+ 2ns +2n = (s +n)2e as razes s ao reais e m ultiplas. A resposta correspondente, n ao-oscilat oria, ey(t) = 1 ent(1 +nt), t 0,sendo chamada de criticamente amortecida.Resposta super-amortecida. Se > 1, ent aos2+ 2s +2n =_n +n_21__nn_21_e as razes s ao reais e distintas. A resposta correspondente, n ao-oscilat oria, ewww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 20y(t) = 1 +n2_21_es1ts1es2ts2_, t 0,na quals1,2= n n_21, sendo chamada de super-amortecida. Se[s1[ 1 ou [G(j)[ < 1, respectivamente.5. Exemplo. Considere o sistema de primeira ordemG(s) =5s + 2, r(t) = 7sen 3t (A = 7, = 3 rad/s).Na freq u encia = 3 rad/s,G(s)[s=j3 =5j3 + 2, [G(j3)[ = 1.39,

G(j3) = 56.3o.A resposta em regime do sistema ey(t) = A[G(j)[ sen (t +),= 7 1.39 sen (3t 56.3o),= 9.71 sen (3t 56.3o) (t ).Diagramas de Bode6. Suponhaqueosvaloresde [G(j)[ e

G(j)sejamconhecidosparatodafreq u encia no intervalo 0 3Fase:_0ose > 3P olo em s = 0:Magnitude: 20 log, 0 < < Fase: 90o, 0 < < P olo em s = 2:Magnitude:_0 dB se > 2Fase:_0ose > 2P olos complexoswww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 34Magnitude:Se > n =2, ent ao20 log_2_2+_1 22_2 20 log 22dB = 40 log2 dBAs assntotas de baixa e alta freq u encias se interceptam em =n =2. Para >>2, o ganho cai com 40 dB/dec.Fase:_0ose > n =28. Quando c, a magnitude e dadapor (+ para zero, para p olo)20 logc= (20 log 20 log c). (8)Uma d ecada (dec) acima da freq u encia de corte ( = 10c) a magnitude ter avariado 20 dB, duas d ecadas (= 102c) acima, 40 dB, etc. Dizemos ent aoque a inclinac ao da curva de magnitude do zero ou p olo real e de 20 db/dec.As assntotas de baixa (c)freq u encias se cruzam em=c. O erro m aximo introduzido pelo diagramaassint otico em relac ao ao diagrama real ocorre em = c e e dado por20 log_ c_2+ 1 = 20 log2 3 dB.As fases de zeros e p olos reais nas suas freq u encias de corte valem 45o.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 359. Uma an alise similar revela que a inclinac ao da assntota de alta freq u encia de umfator de segunda ordem (zeros ou p olos complexos conjulgados) e de 40 dB/dec.A Figura R3.1 apresenta os fatores assint oticos (linhas tracejadas), o diagrama as-sint otico(linhatraco-ponto)eodiagramademagnitudeexato(linhas olida)deG(s) = 10(s+3)/[s(s+2)(s2+s+2)]. Obtemos o diagrama assint otico somandoao fator constante as inclinac oes dos fatores assint oticos nas suas freq u encias decorte, o que e possvel devido ` a representac ao logaritmica da magnitude.102101100101102100806040200204060Figura R3.1: Diagramas de magnitude de G(j) - assint oticos e exato.10. A magnitude exata do fator de segunda ordem na intersec ao das assntotas debaixa (inclinac ao 0 dB/dec) e alta freq u encias, em = n, depende de . De fato,a magnitude de um fator de segunda ordem gen erico seria20 log_2n_2+_1 22n_2.No exemplo ilustrativo, 0.35. Os diagramas da Figura R3.2 s ao relativosao fator de segunda ordem com n =2 e igualmente espacado de 0.1 a 1.0. Amedida que o fator de amortecimento diminui, o pico da magnitude do fator desegunda ordem aumenta, assim com a rapidez com que a fase varia. Em = n afase e sempre igual a 90o(n ao depende de ).www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 361011001013530252015105051015Mag. (dB)101100101180160140120100806040200Fase (graus)PSfrag replacements = 0.1 = 0.1 = 1.0 = 1.0Figura R3.2: Magnitude e fase do fator de segunda ordem em func ao de .11. A freq u encia na qual [G(j)[ apresenta seu pico, chamada de freq u encia deresson ancia, r, e a magnitude correspondente, chamada de pico de resson ancia,Mr, s ao, respectivamente,r = n_1 22e Mr = [G(jr)[ =12_1 2, 0 2/2.N aoocorreresson anciase >2/20.71. Quandotendeazero, afreq u encia de resson ancia tende a n e Mr tende ao innito. Se um sistema G(j)tal que = 0 for excitado na freq u encia n, a magnitude [G(jn)[ torna-se innita.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 37Aula 2Representac ao de SistemasModelagemLinearizac aoFunc ao de transfer enciaDiagrama de blocosModelagem1.Os m etodos tradicionais de an alise e projeto de sistemas de controle partem darepresentac ao os componentes do sistema atrav es de modelos matem aticos. A mo-delagem quase sempre e baseada em leis fsicas aplic aveis ao sistema de interesse.2. Considere o problema de modelar a velocidade de um autom ovel, representadona Figura 2.1. O autom ovel, de massa total m, trafega a uma velocidade v = v(t)movido pela forca u = u(t) produzida pelo motor. Assuma que o autom ovel e umcorpo rgido e que no seu movimento retilneo n ao sofre forcas de reac ao. Nestecaso, a segunda lei de Newton determina quem v = u. (9)PSfrag replacementsvmuFigura 2.1: Modelo linear do autom ovel.3. Obtemosavelocidadedoautom ovelemqualquerinstantet 0(t =0 eoinstanteinicial derefer encia)resolvendoaequac aodiferencial lineardepri-meira ordem a coecientes constantes (9), uma vez especicada a condic ao inicialv(0) =v0. Em Controle dizemos que o modelo obtido e linear (equac ao diferen-www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 38cial linear) e invariante no tempo (coecientes n ao dependem do tempo).Entre-tanto, o modelo a ser adotado deve reetir todos os fatores julgados relevantes paradescrever como a velocidade do autom ovel se comporta em condic oes realistas.Alguns desses fatores s ao discutidos a seguir.Atrito de rolagem. A superfcie sob as rodas do autom ovel introduz uma forcade atrito de rolagem igual afN, na qual e uma constante que depende dascaractersticas de contato entre as rodas e superfcie de rolagem efN e a forcanormal atuando na superfcie;Resist encia do ar. O ar op oe resist encia ao movimento na forma de uma forcade reac ao igual a kv2, em que k e uma constante que depende das dimens oes e dageometria do autom ovel;Inclinac ao da pista. A superfcie de rolagem e normalmente uma sucess ao deaclivesedeclives, asquaist eminu enciasignicativanavelocidaderesultantedo autom ovel. A inclinac ao da superfcie, w=w(t), age como um dist urbioexterno;Massa vari avel. Para produzir a forca propulsora do seu movimento, o autom ovelconsome combustvel e portanto sua massa total varia no tempo (m=m(t)). Avariac ao de massa age como um dist urbio interno (se n ao for modelada).PSfrag replacementsmgwmg cos wmvumgsenwFigura 2.2: Modelo n ao-linear do autom ovel.4. Assumindo que a variac ao da massa do autom ovel devida ao consumo de com-bustvel tem pouca inu encia sobre o comportamento da velocidade,obtemos owww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 39seguinte modelo n ao-linear (invariante no tempo) para descrever a velocidade doautom ovel:m v = kv2mg cos w mg sen w +u. (10)5. O lado direito de (10) e a soma das forcas que atuam na direc ao do movimentodo autom ovel, como ilustra a Figura 2.2. Observe v, u e w dependem de t.Linearizac ao6. Os m etodos de an alise e projeto discutidos em cursos introdut orios de Controles aov alidosapenasparasistemaslinearesinvariantesnotempo(LITs). Tendochegado ao modelo mais simples que representa a planta a ser controlada, devemosproceder ` a linearizac ao do modelo, caso este seja n ao-linear.7. Parece um contra-senso obter um modelo n ao-linear para depois lineariz a-lo,mas existem boas raz oes para fazermos isso.a) A linearizac ao e feita em torno de uma condic ao nominal (ponto de equilbrio)do modelo. Uma condic ao nominal seria, por exemplo, um autom ovel tra-fegandocomvelocidadeconstantedev0=80km/hnumasuperfciedeinclinac ao constante de w0= 0o;b) Seosistemadecontroledevelocidadeforadequadamenteprojetado, ave-locidadedoautom ovelface asforcasexternasedist urbiosser a reguladapr oxima` avelocidadedesejada. Seainclinac aodasuperfcien aosofrergrandes variac oes e a velocidade for mantida pr oxima ` a nominal, o compor-tamento do modelo linearizado ser a aproximadamente igual ao do modelon ao-linear;c) Ap os a utilizac ao de m etodos cl assicos de an alise e projeto para sistemas LITs,o modelo n ao-linear completo pode servir para validar, via simulac ao comMatlab/Simulink, por exemplo, os resultados obtidos atrav es do modelo li-nearizado, antes da efetiva implementac ao de um sistema autom atico paracontrole de velocidade;d) Eventualmente a modelagem/linearizac ao pode levar a resultados insatisfat oriosdo ponto de vista de controle.Devemos ent ao rever a modelagem, incorpo-rando fatores deixados de fora numa primeira etapa, ou adotando m etodosmais adequados a modelos n ao-lineares.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 408. Alinearizac ao egeralmentebaseadanaexpans aodomodelon ao-linearemS erie de Taylor. Os dois primeiros termos (aproximac ao linear) de uma func ao fqualquer de v, w e u em torno do ponto (v0, w0, u0) seriaf(v, u, w) = f(v0, u0, w0) +fv(v0, u0, w0)(v v0)+fw(v0, u0, w0)(w w0) +fu(v0, u0, w0)(u u0).na qual fx representa a derivada parcial de f em relac ao a uma vari avel gen ericax. Representando o lado direito de (10) comof(v, w, u), computamos o valornominal u0correspondente a v0e w0resolvendo a equac ao 0 = f(v0, w0, u), poisna condic ao nominal, v = 0. Obtemos assim a entrada nominal de controleu0= k(v0)2+mg cos w0+mg sen w0,e consequentemente f(v0, w0, u0) = 0. Introduzindo as vari aveis de desvio (emrelac ao aos valores nominais) v = vv0, w = ww0e u = uu0, chegamosent ao ao seguinte modelo linearizado para a velocidade do autom ovel (observe que v =v):v = av +b1u +b2w, (11)na qual a = 2kv0/m, b1 = 1/m e b2 = g sen w0g cos w0.Func ao de transfer encia9. Modelos lineares invariantes no tempo podem ser representados no domnioda freq u ecia complexas atrav es do conceito de func ao de transfer encia. Umafunc ao de transfer encia e obtida quando se divide a transformada de Laplace (L)de uma vari avel de sada pela transformada de Laplace de uma vari avel de entrada.10. Num sistema de controle em malha fechada para regular a velocidade do au-tom ovel, a vari avel de sada e a velocidade do autom ovel, y = v, e as vari aveis deentrada (vari aveis independentes) s ao a forca produzida pelo motor, u, e o dist urbioexterno introduzido pela inclinac ao da superfcie, w.11. O modelo linearizado (11) relaciona a variac ao da sada ` as variac oes na entradacontrolada e na entrada de dist urbio relativamente aos seus valores nominais. To-mando a transformada de Laplace de (11) com condic ao inicial y(0) = 0 (variac aowww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 41inicial zero), obtemossY (s) = aY (s) +b1U(s) +b2W(s), (12)em que Y (s) = L[y(t)] e assim por diante. A equac ao (12) pode ser rearran-jada de forma a se explicitar a variac ao da sada y como uma soma de variac oesproduzidas pelas entradas u e w:Y (s) =b1s +aU(s) +b2s +aW(s),= Pyu(s)U(s) +Pyw(s)W(s),= Yu(s) + Yw(s),na qual Pyu(s) e Pyw(s) s ao as func oes de transfer encia das entradas u e w paraa saday, respectivamente. Pelo Princpio da Superposic ao, seyu eyws aoas sadas devidas as ac oes das entradasu (comw=0) ew (comu=0),respectivamente, ent ao a sada devida a ac ao conjunta das entradas u e w e y =yu +yw.12. Num sistema de controle em malha fechada para regulac ao de velocidade, avariac ao de velocidade medida, y, e comparada com a refer encia r= 0 (r(t) =0, t 0), pois deseja-se variac ao nula (velocidade nominal) em regime (isto e,quando t ). O erro resultante serve de entrada para um controlador represen-tado pela func ao de transfer encia C(s). A sada de C(s) e a variac ao da entrada,u, necess aria para compensar a variac ao da sada do sistema, y.13. A Figura 2.3 apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle emmalha fechada que poderia ser utilizado para resolver o problema da regulac ao develocidade do autom ovel. O esquema de controle deve ser entendido da seguinteforma: numa primeira etapa, o autom ovel e levado` a condic ao nominal desejada(y0, w0),quando ent ao o controle assume o valoru0. Em seguida o sistema daFigura 2.3 passa a funcionar para manter a velocidade em y0. Observemos que osvalores efetivos da sada, do controle e do dist urbio s ao y0+y, u0+u e w0+w,respectivamente.14. NumdiagramadeblocoscomoadaFigura2.3indicamosasvari aveisnodomnio do tempo, deixando implcito queu(t) = L1[C(s)E(s)]. Uma dasprincipais func oes do controlador C(s) no sistema de controle em malha fechadarepresentado na Figura 2.3 e a de rejeic ao de dist urbios: a variac ao de velocidadewww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 42(y) eventualmente produzida pela variac ao na inclinac ao da superfcie (w) deveteder a zero (em regime) pela ac ao da variac ao no controle (u).PSfrag replacements+++r = 0 uwyeb1s +ab2/b1PlantaC(s)Figura 2.3: Regulac ao de velocidade do autom ovel.15. Projetamos controladores para atender a especicac oes de desempenho comoa rejeic ao de dist urbios. Outras especicac oes poderiam restringir o comporta-mento transit orio da sada ap os a ocorr encia de dist urbios, como ao se especicarum intervalo de tempo m aximo para o retorno da sada ao seu valor nominal.16. Napr atica, projetarumcontroladorsignicadeterminaroscoecientesdafunc ao de transfer encia C(s) de forma a que todas as especicac oes de desempe-nho sejam atendidas. Mostraremos mais tarde que um dist urbio do tipo degrau navelocidade do autom ovel, produzido, por exemplo, quando a inclinac aow mudasubitamente de valor, um controlador do tipo PI (Proporcional + Integral), dadoporC(s) = kp +kis=skp +kis,seria adequado. Projetar o controlador, neste caso, signicaria determinar os ga-nhoskp(proporcional)eki(integral)necess ariospararejeitarodist urbioeaomesmo tempo atender outras eventuais especicac oes de desempenho.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 43Aula 3Representac ao de SistemasControle de motores DCInstabilidade: p endulo invertidoRepresentac oes por vari aveis de estadoLimitac oes dos modelos matem aticosControle de motores DC1. Motores DC (do ingl es, direct-current, isto e, corrente direta) s ao um dos dis-positivos mais utilizados pela industria como fonte prim aria de movimento. S aoas v ezes chamados de servomotores DC quando empregados em aplicac oes decontrole. Exibem diversas caractersticas favor aveis como controlabilidade, porta-bilidade, baixos custos de aquisic ao e manutenc ao e adaptabilidade a v arios tiposde sistemas de controle.2. Motores DC de m edia a elevada pot encia s ao usados no controle de esteiras,servov alvulas, m aquinas-ferramentas e sistemas rob oticos, entre outras aplicac oes.Alguns motores DC possuem constantes de tempo extremamente pequenas, sendoideais para aplicac oes de (relativamente) baixa pot encia, como no controle de dis-cos e tas magn eticas, impressoras e plotters.PSfrag replacements+vaRaLaTJBiaFigura 3.1: Motor DC controlado pela armadura (campo constante).www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 443. Modelagem. Basicamente, um motor DC converte energia el etrica em energiamec anica. Em alguns motores DC, o campo magn etico e produzido por um im apermanente e, portanto, o uxo magn etico e constante. Neste caso, o torque de-senvolvido no eixo do motor pode ser controlado atrav es do chamado circuito dearmadura, como ilustra a Figura 3.1. As quantidades presentes no esquema daFigura 3.1 s ao as seguintes:Ra: resist encia da armadura;La: indut ancia da armadura;va: tens ao aplicada aos terminais da armadura;ia: corrente circulando na armadura;T : torque desenvolvido no eixo do motor;J : momento de in ercia equivalente;B : coeciente de atrito viscoso equivalente; : deslocamento angular do eixo do motor.AsconstantesJeBrepresentamomomentodein erciaeocoecientedeatritoviscosoequivalentedomotor, dacarga(umaantena, porexemplo)edasengrenagens utilizadas, referidas ao eixo do motor.4. O torque desenvolvido no eixo do motor e proporcional ` a corrente de campo:T= ktia.A constante de torque kt depende de caractersticas construtivas do motor. Arotac ao do eixo do motor induz uma forca contra-eletromotriz, a qual provocauma queda de tens ao no circuito de armadura, proporcional` a velocidade angulardo eixo:vf= kfddt,em que kf e a constante de forca contra-eletromotriz. A equac ao el etrica do motorDC assume ent ao a formaLadiadt+Raia = vavf, vf= kfddt. (13)Por sua vez, a equac ao mec anica do motor DC e dada porJd2dt2+Bddt= T= ktia. (14)Tomando as transformadas de Laplace de (13) e (14) com condic oes iniciaisnulas, obtemos, respectivamente,www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 45(Las +Ra)Ia(s) = Va(s) Vf(s), Vf(s) = kfs(s), (15)e(Js2+Bs)(s) = T(s) = ktIa(s). (16)5. No diagrama de blocos apresentado na Figura 3.2, correspondente ` as equac oes(15) e (16), o sistema eletromec anico e visto como composto por dois subsistemas:el etrico (circuito de armadura) e mec anico (motor, carga e engrenagens). Observa-mos tamb em a exist encia de uma realimentac ao interna (natural) no motor DC.Podemos simplicar o diagrama da Figura 3.2 e apresentar a relac ao entre a tens aode armadura e o deslocamento angular do eixo como na Figura 3.3.PSfrag replacementsvaiaTvf1Las +Rakt1Js2+BskfsS. El etrico S. Mec anico+Figura 3.2: Diagrama de blocos do motor DC.PSfrag replacementsvaktJLas3+ (LaB +RaJ)s2+ (RaB +kfkt)sFigura 3.3: Diagrama simplicado do motor DC.Afunc aodetransfer enciaentrevae edeterceiraordem. (Notamosquea func ao de transfer encia entrevae, a velocidade angular do motor, e de se-gunda ordem.) Em alguns motores DC, a indut ancia de armadura e muito pequena.Quando a indut ancia e desprezada (La0), obtemos um modelo reduzido desegunda ordem, na formaP(s) =(s)Va(s)=ks(s + 1),www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 46sendo k e , respectivamente, o ganho e a constante de tempo do motor, os quaiss ao completamente caracterizados pelos par ametros do modelo:k =ktRaB +ktkf, =RaJRaB +ktkf.6. Suponha que uma refer encia angular a ser seguida pelo eixo do motor e conver-tida de radianos em volts atrav es de um potenci ometro de ganho ks (V/rad), e queoutro potenci ometro com a mesma escala se encontra conectado ao eixo do motor,fornecendo uma tens ao proporcional ao deslocamento produzido. Neste caso, umsistema de controle com realimentac ao unit aria para a posic ao angular do eixo domotor DC poderia assumir a estrutura apresentada na Figura 3.4.PSfrag replacements+kar (rad) (rad)AmplicadorControlador Motor DCksks(s + 1)Figura 3.4: Sistema de controle em malha fechada.Podemos mostrar que a ac ao proporcional produzida pelo amplicador (con-trolador), combinada com a ac ao integral produzida pelo p olo do motor na origem, e suciente para que a sada passe a seguir qualquer refer encia constante.Instabilidade: p endulo invertido7. Uma das principais aplicac oes de sistemas de controle e na estabilizac ao desistemas naturalmente inst aveis em malha aberta. A Figura 3.5 ilustra um sistemacomposto por um p endulo invertido montado sobre um carro, o qual pode sermovimentado em linha reta atrav es de um motor DC. O objetivo do sistema decontrole seria manter o p endulo na posic ao vertical. O p endulo invertido modelaproblemas de controle importantes em Engenharia, como o controle de atitude(posic ao) de um veculo lancador de sat elites. Um problema com caractersticassimilares e o da levitac ao magn etica, presente em aplicac oes como o controle detrens de alta velocidade.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 47PSfrag replacementsuxylmgM0Figura 3.5: P endulo invertido.8. Modelagem. O sistema da Figura 3.5 e inst avel, no sentido de que o p endulotende a se afastar da posic ao vertical por menor que seja a forca aplicada ao carro.Omodelolinearizadodop enduloinvertidoemtornodaposic aodeequilbrioinst avel ( = 0, x = 0) e(M +m)d2xdt2+mld2dt2= u, (17)ml2d2dt2+mld2xdt2= mgl, (18)Os par ametros e vari aveis presentes no esquema da Figura 3.5 encontram-sedenidos a seguir. : angulo formado pelo p endulo com a vertical;l : comprimento do p endulo;m : massa do p endulo (concentrada na extremidade);M : massa do carro;u : forca aplicada ao carro;x : deslocamento linear do carro;g : acelerac ao da gravidade.Adotando a notac ao compacta para derivadas e eliminando a derivada segundawww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 48em relac ao a x na equac ao (17) ( x = g l, equac ao (18)), obtemosMl (M +m)g = u,cuja transformada de Laplace com condic oes iniciais nulas conduz` a func ao detransfer encia entre a forca u aplicada ao carro (vari avel de controle) e o angulo formado pelo p endulo com a vertical (vari avel de sada):P(s) =(s)U(s)=1Mls2(M +m)g.O sinal menos na func ao de transfer encia do p endulo reete o fato de que op endulo sempre se move na direc ao contr aria ` a da forca aplicada. Os p olos (reais)da func ao de transfer encia s aop1 = +_(M +m)gMle p2 = _(M +m)gMl,e a origem da instabilidade do p endulo e o p olo real positivo. De fato, a respostatemporal do p endulo a qualquer entrada limitada (umdegrau unit ario, por exemplo) e uma soma de termos que inclui as exponenciais ep1te ep2t. A instabilidade dop endulo se traduz no crescimento ilimitado da exponencial ep1t, p1> 0, quando otempo tende para innito.9. Um sistema de controle em malha fechada como o da Figura 3.6 pode estabi-lizar o p endulo invertido, na medida em que, sob hip oteses relativamente fracas,os p olos da func ao de transfer encia de malha fechada entre a refer enciar =0(posic ao angular desejada) e (posic ao angular do p endulo) podem ser arbitraria-mente escolhidos, e ent ao impostos por um controlador din amico C(s). P olos compartes reais negativas s ao uma escolha obrigat oria para a estabilidade do sistemaem malha fechada.PSfrag replacements+C(s)r = 01Mls2(M +m)gP endulo InvertidoFigura 3.6: Controle em malha fechada do p endulo invertido.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 49Representac oes por vari aveis de estado10. As representac oes de sistemas din amicos por func oes de transfer encia s ao dotipo entrada-sada, isto e, evidenciam a relac ao de transfer encia entre uma dadaentrada e uma dada sada. Vari aveis internas, como a corrente de armadura nomodelo do motor DC ou o deslocamento linear do carro no modelo do p enduloinvertido, n aos aoexplicitamenteindicadas. Podemosobterumarepresentac aoalternativa, na qual as vari aveis internas do sistema s ao explicitadas, atrav es doconceito de estado.11. Estado. O estado de um sistema din amico pode ser denido como um conjuntode n vari aveis, denotadas por x1, x2, . . . , xn e chamadas de vari aveis de estado,cujo conhecimento num dado instante de tempot=t0, aliado ao conhecimentoda entrada do sistema para todot t0, permite determinarx1,x2, . . . ,xn paraqualquer t t0.12. Exemplos. Considere inicialmente o modelo do motor DC controlado pelaarmadura. Para mostrar que, eia constituem o estado do sistema, denimosx1=,x2= e x3=ia (n=3). A entrada e a sada do sistema s ao u=vae y=, respectivamente. Escrevendo as derivadas de x1, x2 e x3 em relac ao aotempo em termos de x1, x2 e x3, obtemos x1= x2, x2= x1x3, x3= x2x3 +u,y = x1.em que =BJ , =ktJ , =kfLa, =RaLae =1La.Assumindo que as quantidades x1(t0), x2(t0) e x3(t0) s ao conhecidas, assimcomo a entrada u(t), t t0, podemos resolver o sistema de equac oes lineares deprimeira ordem acima e obter x1, x2 e x3 para qualquer t t0, isto e, o compor-tamento futuro do sistema. Um n umero menor de vari aveis (apenas x1 e x2, porexemplo) n ao apresentaria a mesma propriedade.As vari aveis de estado naturais no modelo do p endulo invertido s aox1=,www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 50x2 =, x3 = x e x4 = x. Com essas denic oes, obtemos x1= x2, x2= x1u, x3= x4, x4= x1 +u,y = x1,em que =(M +m)gMl, =1Ml, =mMe =1M.13. As equac oes diferenciais envolvendo os estados s ao chamadas de equac oes deestado. A equac ao alg ebrica envolvendo a sada e chamada de equac ao de sada.Um importante subproduto da representac ao de sistemas por vari aveis de estado ea possibilidade de empregarmos uma poderosa notac ao matricial para as equac oesde estado e de sada. Como exemplo, o modelo do p endulo invertido poderia serdescrito em termos matriciais da seguinte forma:__ x1 x2 x3 x4__ =__0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0____x1x2x3x4__+__00__u,y = _1 0 0 0 __x1x2x3x4__.Se a sada tivesse sido denida como sendo a acelerac ao angular, x2 = , ent aoa equac ao de sada assumiria a formay = x1u = _ 0 0 0 __x1x2x3x4__+ []u,e obteramos tamb em D = [] (escalar). Denindox =__x1x2x3x4__, x =__ x1 x2 x3 x4__, A =__0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0__, B =__00__,www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 51C = _ 0 0 0 e D = [],podemos representar o p endulo invertido (e qualquer outro sistema linear invarianteno tempo) na forma matricial compacta x = Ax +Bu,y = Cx +Du.Uma representac ao ainda mais geral e x = Ax +Bu +Bww,y = Cx +Du +Dvv.na qual as matrizes Bw e Dv (escalar) indicam como os dist urbios w e v afetam asvari aveis de estado e de sada do sistema. Exemplo: no modelo do p endulo inver-tido, uma forca de dist urbio w contr aria ao movimento do carro seria transmitidaaos estados atrav es deBw =__00__.Limitac oes dos modelos matem aticos14. Qualquer modelo matem atico, independentemente da representac ao adotada, e uma aproximac ao do sistema din amico de interesse. Em princpio, a validadedos modelos lineares invariantes no tempo (LITs) utilizados neste curso e ques-tion avel, se considerarmos que todo sistema din amico e, em geral, n ao-linear evariante no tempo. A validade dos modelos LITs no contexto de sistemas de con-trole e em grande parte conseq u encia da realimentac ao, como argumentado abaixo.N ao-linearidade. O modelo n ao-linear,mais el ` a planta,pode ser linearizadonum ponto de operac ao desejado, como = 0, x = 0, no caso do p endulo inver-tido. O modelo linearizado e valido apenas no entorno desse ponto. Entretanto, seconvenientemente projetado, o sistema de controle em malha fechada faz com quea planta (e seus modelos n ao-linear e linear) n ao se afaste do ponto de operac ao,assegurando desta forma a validade do modelo linear;www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 52Variac aonotempo. Osvaloresdospar ametrosdeumsistemadin amicoge-ralmentesofremvariac oesaolongodotempodevidoaosefeitosdeenvelheci-mento e desgaste. Um sistema de controle em malha fechada e capaz de compen-sar variac oes param etricas se essas variac oes forem muito mais lentas do que adin amica do sistema de controle. A maioria dos sistemas din amicos industriais sa-tisfaz essa premissa e tudo se passa, na pr atica, como se o sistema fosse invarianteno tempo.14. Duasoutraspossveisfontesdeproblemasparaaoperac aodesistemasdecontrole s ao din amicas n ao-modeladas e incertezas param etricas.Din amica n ao-modelada. Ao desprezarmos a indut ancia de armadura no modelodo motor DC para passar de um modelo de terceira ordem para um de segundaordem, estamos tamb em desprezando a din amica do circuito de armadura. Admi-timos implicitamente que o modelo de segunda ordem e v alido porque o sinal deentrada do circuito de armadura (Figura 3.2) n ao consegue excitar o modo el etricodo sistema, cuja constante de tempo (freq u encia de corte) e muito menor (maior) doque a contante de tempo (freq u encia de corte) do modo mec anico. Desde que ossinais presentes no sistema de controle em malha fechada n ao excitem din amicasn ao-modeladas, podemos deixar essas din amicas fora do modelo;Incerteza param etrica. Mesmo admitindo que os par ametros do sistema n ao va-riam com o tempo,podemos ter um conhecimento apenas aproximado dos seusvalores. Em alguns casos, conhecemos os valores nominais e as toler ancias emrelac ao aos valores nominais dos par ametros. Quando dizemos que a resist enciade armadura de um motor e Ra com toler ancia de 10%, estamos querendo dizerque qualquer valor de resist encia entre 0.9Ra e 1.1Ra e possvel. Mais uma vez, arealimentac ao pode compensar nossa incerteza com relac ao aos par ametros, desdeque o sistema de controle em malha fechada seja projetado para ser robusto, isto e, para produzir o desempenho desejado independentemente dos valores reais dospar ametros.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 53Aula 4Estabilidade Entrada-SadaAtributos de um sistema de controleSistema um-grau-de-liberdadeEstabilidade entrada-sadaAtributos de um sistema de controle1. Entre os atributos que todo sistema de controle deve apresentar, destacamos asseguintes:Garantir estabilidade. O atributo primordial de um sistema de controle, sem oqual nenhum outro pode existir, e assegurar a estabilidade do sistema. Sistemas decontrole s ao usados para estabilizar plantas inst aveis ou para melhorar as condic oesde estabilidade de plantas est aveis, mas muito oscilat orias;Controlar erros de regime. Sistemas de controle s ao normalmente projetadospara que a sada do sistema passe a rastrear determinadas entradas de refer encia,isto e, para que erro entre o valor de uma dada refer encia e o valor medido da sadatenda a zero quando o tempo tender ao innito (regime);Reduzir sensibilidade a variac oes de par ametros. Sistemas de controle s ao pro-jetadosapartirdemodelosmatem aticosqueaproximamocomportamentodoscomponentesfsicosdosistema. Sistemasdecontroledevemserrelativamenteinsensveis ` as aproximac oes e ` as variac oes dos par ametros dos modelos adotados;Rejeitar a ac ao de dist urbios. Sistemas de controle devem rejeitar (fazer desa-parecer com o tempo) a ac ao de entradas externas indesej aveis que possam agirsobre os componentes do sistema.Idealmente, sistemas de controle n ao deveriamresponder a essas entradas externas;Controlar a resposta transit oria. A forma como um sistema de controle atingea condic ao de regime e muito importante. Controlar a resposta transit oria signi-ca moldar o comportamento de uma vari avel, geralmente a sada do sistema, emtermos de tempo de subida, sobre-elevac ao, tempo de acomodac ao, etc..www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 54Controlar a resposta em freq u encia. Sistemas de controle podemser vistos comoltros: devem deixar passar apenas as componentes de freq u encia do sinal de en-trada que desejamos reproduzir (rastrear). Sinais fora da faixa de passagem dosistema, como rudos aos quais o sistema de controle possa estar sujeito, devem sersucientemente atenuados.Sistema um-grau-de-liberdade2. Passamos a analisar mais detalhadamente as caractersticas de sistemas de con-trole emmalha fechada atrav es do diagrama de blocos da Figura 4.1, que representaum sistema de controle conhecido como um-grau-de-liberdade pelas raz oes ex-posta a seguir. O sistema ilustrado na Figura 4.1 possui tr es vari aveis de entrada r (refer encia), w (dist urbio na planta) e v (dist urbio no sensor) e tr es vari aveisde sada e (erro),u (controle) ey (sada medida). As vari aveis de entrada s aoindependentes: afetam, mas n ao s ao afetadas pelas vari aveis de sada.PSfrag replacementsr y u ewv+++++C(s) P(s)F(s)Figura 4.1: Sistema de controle em malha fechada.3. A func ao de transfer encia de malha fechada de qualquer entrada para qualquersada pode ser determinada a partir das func oes de transfer encia de malha abertaC(s) (controlador), P(s) (planta) eF(s) (sensor). Como cada entrada gera tr esfunc oes detransfer encia demalha fechada, existem nove func oesdeste tipo nodiagrama de blocos da Figura 4.1. Cada uma delas fornece um tipo de informac aowww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 55a respeito do funcionamento do sistema.4. Cada vari avel de sada e uma func ao simult anea das tr es vari aveis de entrada.Denotando uma func ao de malha fechada gen erica comoTzx(s), sendox a en-trada e z a sada, e aplicando o Princpio da Superposic ao ao diagrama da Figura4.1, obtemos as sadas como func oes das entradas no domnio da transformada deLaplace:E(s) = Ter(s)R(s) +Tew(s)W(s) +Tev(s)V (s), (19)U(s) = Tur(s)R(s) +Tuw(s)W(s) +Tuw(s)V (s), (20)Y (s) = Tyr(s)R(s) +Tyw(s)W(s) +Tyv(s)V (s). (21)5. An alise e projeto. Cada func ao de transfer encia de malha fechada e escrita emtermos das func oes de malha aberta C(s), P(s) e F(s). Se estas ultimas s ao co-nhecidas, assim como R(s), W(s) e V (s) (as transformadas de r, w e v), podemosobter E(s), U(s) e Y (s), e em seguida e, u e y atrav es de anti-transfomada de La-place. Podemos assim analisar o desempenho do sistema de controle em relac ao adeterminadas entradas quando um dado controlador C(s) e utilizado. Se podemosanalisar,podemos tamb em projetar um sistema de controle,denindo um con-troladorC(s) que atenda a certas especicac oes de desempenho associadas aosatributos discutidos anteriormente.6. Um dos objetivos do sistema de controle em malha fechada da Figura 4.1 e fazera sada da planta rastrear uma dada entrada de refer encia. A resposta da planta ` aentrada de refer encia pode ser analisada a partir da func ao de transfer encia Tyr(s).Do diagrama de blocos da Fig. 4.1 e das transformadas de Laplace dos sinais r, e, ue y, obtemos sucessivamenteE(s) = R(s) F(s)Y (s),= R(s) P(s)F(s)U(s),= R(s) C(s)P(s)F(s)E(s).A func ao de tranfer encia de malha fechada entre a entrada de refer encia e oerro de rastreio e ent ao dada porTer(s) =E(s)R(s)=11 +C(s)P(s)F(s).A func ao de transfer encia de malha fechada entre a entrada de refer encia e aentrada de controle pode ser obtida da seguinte forma:Tur(s) =U(s)R(s)=E(s)R(s)U(s)E(s)=C(s)1 +C(s)P(s)F(s).www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 56Finalmente, a func ao de transfer encia de malha fechada entre a entrada de re-fer encia e a sada da planta e dada porTyr(s) =Y (s)R(s)=U(s)R(s)Y (s)U(s)=C(s)P(s)1 +C(s)P(s)F(s).7. As demais func oes de malha fechada podem ser obtidas de maneira an aloga,manipulando o diagrama de blocos da Figura 4.1 de forma a eliminar vari aveis in-termedi arias entre a entrada e a sada desejadas. Os numeradores das func oes demalha fechada s ao vari aveis dependem de C(s), P(s) e F(s) de formas diferen-tes mas o denominador e sempre o mesmo: 1 + C(s)P(s)F(s). Neste sentido,dizemos que o sistema de controle da Figura 4.1 e do tipo um-grau-de-liberdade,pois uma vez denida a func ao de transfer encia do controlador C(s), todas as de-mais func oes cam automaticamente caracterizadas.Estabilidade entrada-sada8. O comportamento do sistema de controle em malha fechada da Figura 4.1 eenormemente inuenciado pela func ao 1 + C(s)P(s)F(s). Denimos a equac aocaracterstica do sistema em malha fechada como1 +C(s)P(s)F(s) = 0. (22)As razes da equac ao caracterstica determinam muito do comportamento din a-mico do sistema em malha fechada e ser ao melhor explicitadas atrav es das repre-sentac oes de C(s), P(s) e F(s) na forma polinomial:C(s) =NC(s)DC(s), P(s) =NP(s)DP(s), F(s) =NF(s)DF(s).Os graus do numerador (N) e do denominador (D) de uma func ao de trans-fer encia qualquer ser ao denotados porm en, respectivamente. Assumimos quem n, e que, sem perda de generalidade, o coeciente de grau n do denominador e unit ario. Na discuss ao a seguir tomamos uma func ao de malha fechada gen ericaT(s). Na notac ao polinomial,T(s) =NT(s)DT(s)=NT(s)DC(s)DP(s)DF(s) +NC(s)NP(s)NF(s), (23)na qual NT(s) e qualquer dos numeradores das func oes de malha fechada. Exem-plo: se T(s) =Try(s), ent ao NT(s) =NC(s)NP(s)DF(s) (verique).A ordemwww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 57de T(s) enT= nC +nP +nF.e a equac ao caracterstica (22) e equivalente a equac ao polinomialDT(s) = DC(s)DP(s)DF(s) +NC(s)NP(s)NF(s) = 0. (24)Se n ao houver cancelamentos entre as mTrazes de NT(s) = 0 e as nTrazesde DT(s) = 0, ent ao as primeiras s ao os zeros e as segundas os p olos da func aode transfer encia de malha fechada T(s).9. Dizemos que um sinal qualquer x e limitado se existe uma constante M> 0 talque [x(t)[ < M para todo t 0. O degrau de amplitude A e um exemplo de sinallimitado. Um sinal do tipo rampa de inclinac ao A s1 e ilimitado, pois qualquerque seja M> 0, sempre existir a um tempo t > 0 tal que [At[ M. Observamosque a soma de sinais limitados e tamb em um sinal limitado.10. Recordemos que um sistema din amico e est avel do ponto de vista entrada-sada, ou BIBO-est avel(doingl es, Bounded-Input-Bounded-Output), seares-posta do sistema a qualquer entrada limitada e tamb em limitada. Supondo que x(transformada X(s)) e qualquer entrada limitada, desejamos estabelecer as condic oessob as quais a sadaz(transformadaZ(s)) do sistema modelado porT(s) ser atamb em limitada. No presente contexto, x representa genericamenter, w ouv,enquanto que z representa genericamente e, u ou y.11. Passamos ent ao a analisar a anti-transformada deZ(s)=T(s)X(s), isto e,a resposta de T(s) ` a entrada X(s). Para obter a expans ao em frac oes parciais deZ(s) e necess ario determinar os p olos de T(s) e de X(s). Os p olos de T(s) s aoas razes deDT(s) =0; os p olos deX(s) =NX(s)/DX(s) s ao as razes deDX(s) = 0.12. Exemplo. Considere x(t) = sen t, t 0 (entrada senoidal, limitada). Ent aoX(s) =NX(s)DX(s)=1s2+ 1,e os p olos de X(s) s ao as razes de s2+ 1=0, iguais a x1=j e x2= j. Aexpans ao em frac oes parciais de X(s) eX(s) =s j+ s +j,na qual e s ao os resduos complexos conjulgados de x1 e x2.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 5813. Em termos gen ericos,Z(s) = T(s)X(s) =NT(s)NX(s)DT(s)DX(s)=NT(s)NX(s)nT

i=1(s pi)nX

i=1(s xi), (25)em que p1, p2, . . . , pnTe x1, x2, . . . , xnXs ao os p olos de T(s) e de X(s), respec-tivamente. Assumindo por simplicidade que os p olos de Z(s) (uni ao dos p olos deT(s) e X(s)) s ao todos distintos, obtemos a expans ao em frac oes parciaisZ(s) =1s p1+2s p1+ +nTs pnT++nT+1s x1+nT+2s x2+ +nT+nXs xnX,na qual i, i = 1, 2, . . . , nT+ nXs ao os resduos associados aos p olos de Z(s)(si = pi ou si = xi):i =NT(s)NX(s)nT

i=1(s pi)nX

i=1(s xi)(s si), i = 1, 2, . . . , nT +nX.A sada Z(s) pode ser representada como a somaZ(s) = ZT(s) +ZX(s), (26)em queZT(s) eZX(s) cont em apenas termos relativos aos p olos deT(s) e deX(s), respectivamente. Em particular, observamos que ZX(s) tem uma expans aoemfrac oesparciaisigual ` adeX(s), excetopornovosresduoscalculadosemfunc ao de T(s) e X(s). Assim sendo, se x for uma entrada limitada, ent ao zX, aanti-transformada de ZX(s), ser a tamb em limitada. A anti-transformada de Z(s) ez(t) = zT(t) +zX(t), t 0,na qual zT representa a resposta natural (transit oria) e zX e a resposta forcada (oude regime) do sistema modelado porT(s). ComozXser a sempre limitada paraqualquer entrada limitadax, a resposta totalzser a limitada ou ilimitada devidoapenas ` a resposta natural zT. Especicamente,z(t) = zT(t) +zX(t),= 1ep1t+2ep2t+ +nTepnT t+zX(t), t 0.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 59Crit erio de estabilidade. O sistema T(s) e est avel no sentido entrada-sada se esomente se Repi < 0 para todo i = 1, 2, . . . , nT, em que Repi denota a partereal do i- esimo p olo de T(s).14.A an alise de estabilidade de T(s) pode ser associada a regi oes do plano com-plexo s onde se localizam seus p olos.a) Se Repi< 0 para todo i (todos os p olos no semi-plano esquerdo) as expo-nenciais s ao todas amortecidas, fazendo com quezTtenda a zero (z tendaazX) quandot tende ao innito (resposta limitada). Dizemos ent ao que osistema e est avel;b) Se Repi > 0 para algum i (pelo menos ump olo no semi-plano direito), a ex-ponencial correspondente tende ao innito (assim como zT) quando t tendeao innito (resposta ilimitada). Dizemos ent ao que o sistema e inst avel;c) Se Repi 0 para todo i (nenhum p olo no semi-plano direito, um ou maisp olos sobre o eixo imagin ario), a resposta pode ser limitada ou ilimitadadependendo da entrada (limitada). Dizemos neste caso que o sistema e mar-ginalmente est avel.15. Exemplo. Considere o sistemaT(s) =Z(s)X(s)=1s(s + 1).O sistema e marginalmente est avel de acordo com a classicac ao acima. Osp olos do sistema s aop1=0 ep2= 1. A respostaz e limitada se a entradalimitada forx(t)=sen t, t 0. Entretanto, se a entrada limitada forx(t)=1, t 0 (X(s) = 1/s), a resposta ser a ilimitada (verique):z(t) = t +et/, t 0.Se T(s) possuir umpar de p olos imagin arios de freq u encia natural n (todos osdemais p olos no semi-plano esquerdo) e for submetido ` a entrada limitada x(t) =sen nt, t 0, a resposta de T(s) ser a ilimitada devido ao efeito de resson ancia.16. Retomamos agora o sistema de controle da Figura 4.1, lembrando que as novefunc oes de malha fechada indicadas em (19)-(21) possuem o mesmo denominadore portanto os mesmos p olospi, i=1, 2, . . . , nT. Suponha quer, w ev sejamentradas limitadas e que Repi0. Entre-tanto, valores particulares de kP e kI t em importante efeito sobre o comportamentotransit orio da c amara da sala ap os a abertura do acesso.Controle da resposta transit oria6. Em sistemas de controle estamos particularmente interessados em analisar comoa sada da planta responde a determinados sinais de refer encia. A func ao de trans-fer encia de malha fechada relevante para este tipo de an alise ewww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 80T(s) =Y (s)R(s)=NT(s)DT(s)=NT(s)nT

i=1(s pi)emque nT e a ordeme pi, i = 1, 2, . . . , nT, s ao os p olos de T(s), respectivamente.Os zeros de T(s) s ao as razes de NT(s). Assumindo por simplicidade que os p oloss ao todos distintos, a sada da planta pode ser representada na forma de frac oesparciais comoY (s) = T(s)R(s) =1s p1+1s p2+. . . +1s pnT+YR(s),na qual YR(s) cont em as frac oes relativas aos p olos de uma dada entrada R(s). Aresposta temporal do sistema e obtida atrav es da anti-trasformada de Laplace deY (s):y(t) = 1ep1t+2ep2t+ +1epnT t+yR(t), t 0Se o sistema em malha fechada for est avel, isto e, se as partes reais de todos osp olos de T(s) forem negativas, ent ao as exponenciais epit, i = 1, 2, . . . , nTten-dem a zero quando t e a resposta tende` a resposta forcada ou resposta emregime, yR. A resposta natural ou resposta transit oria do sistema e dada pela soma1ep1t+2ep2t+ +nTepnT t, t 0.7. P olos dominantes. As exponenciais epit, i = 1, 2, . . . , nTs ao as v ezes chama-das de modos do sistema. Aamplitude de cada modo e dada pelo resduo associadoao respectivo p olo:j =NT(s)

i=j(s pj)R(s) [s=pi, j = 1, 2, . . . , nT,A contribuic ao de cada modo para a resposta transit oria do sistema e func ao dasua amplitude, a qual por sua vez depende das localizac oes dos zeros e p olos deT(s) e de R(s), e da constante de tempo do p olo associado. Um p olo real possuiconstante de tempoi=1/[pi[ (p1 0 e a0> 0 oua1< 0 e a0< 0. Se a raz e negativa, os coecientes possuem o mesmo sinal.3. Considere agora a equac ao de segundo grauD(s) = a2s2+a1s +a0 = 0, a2 ,= 0,e de maneira an aloga, vamos impor que as razes desta equac ao, dadas pors1 = a1 +2a2e s2 = a12a2,com = a214a2a0, sejam reais negativas ou sejam complexas conjulgadas comparte real negativa. Suponha que 0, isto e, que as razes sejam reais negativas.Ent ao a2> 0 implica que a1> 0 pois, caso contr ario, s1 n ao seria negativa. Nestecaso, para quea1 + =_a1 +_a214a2a0_ < 0,com a2> 0 e a1> 0, devemos ter a0> 0. Por outro lado, a2< 0 implica a1< 0e a0< 0 atrav es de raciocnio an alogo envolvendo a raz s2. Suponha agora que < 0, isto e, que as razes s ao complexas conjulgadas com parte real negativa, oque imp oe que a2 e a1 tenham o mesmo sinal. Se a2> 0 e a1> 0, ent ao a0> 0(para que < 0). Analogamente, se a2< 0 e a1< 0, ent ao a0< 0. A conclus aogeral e que se uma equac ao de segundo grau possui razes negativas ou com partereal negativa, ent ao seus coecientes possuem o mesmo sinal: a2> 0, a1> 0 ea0> 0 ou a2< 0, a1< 0 e a0< 0.4. Um polin omio de terceiro grau sempre pode ser decomposto no produto de umpolin omio de primeiro grau por um polin omio de segundo grau:D(s) = a3s3+a2s2+a1s +a0, a3 ,= 0,= (1s +0)(2s2+1s +0).www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 86Se as razes da equac ao de terceiro grau possuem partes reais negativas, ent ao oscoecientes1e0s aoambospositivosouambosnegativoseoscoecientes2, 1 e 0 s ao todos positivos ou todos negativos. Logo, se as razes da equac aode terceiro grau tiverem partes reais negativas, ent ao os coecientes a3, a2, a1 ea0 ser ao todos positivos ou todos negativos.5. Dado que um polin omio de graun qualquer sempre pode ser decomposto noproduto de polin omios de primeiro e de segundo graus, concluimos que se um po-lin omio de grau n possuir razes com partes negativas, ent ao seus coecientes de-ver ao ser todos positivos ou todos negativos. Uma maneira conveniente de resumiresta propriedade e denindo os seguintes conjuntos: H, conjunto dos polin omiosde grau n, cujas razes possuempartes reais negativas, e (, conjunto dos polin omiosde grau n, cujos coecientes possuem o mesmo sinal. Acabamos de mostrar queH (, isto e, que seD e um polin omio de graun (qualquer) eD H, ent aoD (, como ilustra o diagrama de Venn da Figura 8.1.PSfrag replacementsH(Figura 8.1: Diagrama de Venn.6. Observamos queD (n ao implicaD H, em geral. Exemplo: as razesdo polin omioD(s)=s3+ s2+ 2s + 8, cujos coecientes s ao todos positivos(D () s aop1= 2,p2=1/2 + j15/2 ep3=1/2 j15/2. As razescomplexas conjulgadas possuem parte real positiva, e portanto D , H. (O crit eriode Routh-Hurwitz permite mostrar que D ( implica D H para n 2.)Uma importante conseq u encia do estudo realizado e a de que se D , (, ent aoD , H (Figura 8.1). Portanto, um sistema din amico cuja equac ao caractersticaapresenta pelo menos um coeciente nulo ou negativo n ao pode ser est avel, po-dendo entretanto ser marginalmente est avel ou inst avel.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 87Crit erio de Routh-Hurwitz7. Umm etododiretoparavericarseumdadosistema eoun aoest avelseriacalcular as razes da equac ao caracterstica associada atrav es de softwares comooMATLAB. Entretanto, a estabilidade absoluta do sistema depende apenas dosinal das partes reais das razes, o que torna o c alculo de razes, no contexto deestabilidade absoluta, desnecess ario. Al em disso, muitas v ezes desejamos analisara estabilidade do sistema em func ao de um ou mais par ametros do seu modelomatem atico sem recorrer a softwares de computac ao simb olica.8. O Crit erio de Routh-Hurwitz e um crit erio alg ebrico simples para a an aliseda estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo. O crit erio de Routh-Hurwitz permite determinar quantas razes de um polin omio dado possuem partesreaispositivas, negativasounulas. Conclus oessobreaestabilidadedeumsis-tema de interesse podem ent ao ser obtidas aplicando-se o crit erio ` a equac ao cara-caterstica associada.9. Considere o polin omio caracterstico gen erico de grau nD(s) = ansn+an1sn1+ +a1s +a0, an ,= 0,no qual, por hip otese, a0 ,= 0. Se a0 = 0, uma das razes da equac ao caracterstica e zero e o procedimento geral a seguir se aplicaria ao polin omio restante. O pri-meiro passo para a aplicac ao do Crit erio de Routh-Hurwitz e construir o chamadoArray de Routh:snanan2an4an6

sn1an1an3an5an7

sn2b1b2b3b4

sn3c1c2c3c4

.........s2k1k2s1l1s0m1Apenas os aspectos operacionais da an alise de estabilidade absoluta pelo Cri-t erio de Routh-Hurwitz ser ao tratados. A teoria por tr as da construc ao do arrayde Routh foge ao escopo do presente curso. As duas primeiras linhas do arrayreferenciadas comosnesn1, respectivamente, s ao formadas pelos coecientesde D(s), a primeira pelos coecientes an, an2, . . . , a segunda pelos coecenteswww.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 88an1, an3, . . . .A linha sn2 e calculada a partir das linhas sne sn1de acordocom a seguinte regra:b1 =an1an2anan3an1, b2 =an1an4anan5an1, A linha sn3 e calculada a partir das linhas sn1e sn2pela mesma regra:c1 =b1an3an1b2b1, c2 =b1an5an1b3b1, Supondo que nenhum elemento da primeira coluna do array (formada por an,an1, b1, c1, . . . ) se anula, repete-se o procedimento at e que a linha s0tenha sidoobtida, o que conclui a construc ao do array de Routh.10. Crit erio de Routh-Hurwitz. O n umero de razes deD(s)=0 com partesreais positivas e igual ao de trocas de sinal na primeira coluna do array de Routh;as razes deD(s)=0 possuem partes reais negativas se e somente se todos oscoecientes de D(s) possuem o mesmo sinal e n ao h a troca de sinal na primeiracoluna do array.11. Exemplo. O array de Routh associado ao polin omio de sexto grauD(s)=s6+ 4s5+ 3s4+ 2s3+s2+ 4s + 4 e dado pors61 3 1 4s54 2 4 0s452=4 3 1 240 =4 1 1 444 =4 4 1 04s32 =52 2 4 052125=52 4 4 4520s23 =2 0 52 (125 )24 =2 4 52 02s17615=3 (125 ) 2 430s04 =7615 4 3 07615www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 89Como existem duas trocas de sinal na primeira coluna do array (da linha s2paraa linha s1e de s1para s0), duas razes de D(s) = 0 encontram-se no semi-planodireito. Um sistema cuja equac ao carcaterstica fosse D(s) = 0 seria inst avel.12. O crit erio de Routh-Hurwitz permite analisar apenas a estabilidade absolutade um sistema. As localizac oes das razes n ao s ao conhecidas, apenas seus sinais,e nada se pode dizer sobre o comportamento transit orio ou de regime do sistema.Uma operac ao que pode ser realizada no sentido da simplicac ao de c alculos para aobtenc ao do array de Routh e dividir uma linha por uma constante positiva. Exem-plo: dividindo a linha s5do array anterior por 2, obtemoss61 3 1 4s52 1 2 0s4520 4e o restante do array e id entico ao anterior. Ao dividirmos a linha, dividimos si-mult aneamente todos os elementos que multiplicam a linha de cima e o elementopelo qual as difer encas s ao divididas; o resultado tem de ser o mesmo. Tamb em e possvel mostrar que o ultimo elemento da primeira coluna de qualquer array deRouth e a0, o termo constante de D(s).13. A construc ao do array de Routh n ao pode prosseguir de acordo com a regrageral formulada se algum elemento da primeira coluna do array assumir valor nulo.Neste caso, nem todas as razes deD(s) =0 possuem partes reais negativas einformac oes adicionais podemser obtidas analisando-se os casos especiais a seguir.Casos especiais14. Caso Especial I. Se um elemento da primeira coluna se anula, mas na linhacorrespondente existe ao menos um elemento n ao-nulo, o procedimento deve ser oseguinte:a) Substitua o elemento nulo pelo n umero . Prossiga calculando os demais ele-mentos do array em func ao de ;b) Ap os concludo o array, os sinais dos elementos da primeira coluna s ao deter-minados fazendo-se0;c) Se houver trocas de sinal na primeira coluna qualquer que seja o sinal assumidopara , o n umero de trocas de sinal e igual ao n umero de razes com partesreais positivas;www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 90d) Se houver trocas de sinal na primeira coluna somente se > 0 ou < 0, n aoexistem razes compartes reaispositivas; o polin omiopossui razes ima-gin arias puras.15. Exemplo. Considere o polin omio de quinto grauD(s) = s5+ 2s4+ 2s3+ 4s2+ 11s + 10s51 2 11s42 4 10s3 6s212

10s16s010Se 0+ou 0+, ocorremduastrocasdesinalnaprimeiracoluna;D(s)=0 possui duas razes no semi-plano direito. No exemplo acima, o limite 0 foi tomado logo ap os a obtenc ao do primeiro elemento da linha s2, igual a(4 12)/. Isto sempre pode ser feito e simplica os c alculos.16. Caso Especial II. Uma linha do array e inteiramente nula. Neste caso, os coe-cientes da linha imediatamente acima denem (em ordem decrescente de pot enciasde s) um polin omio auxiliar A(s), cujas razes s ao tamb em razes do polin omioD(s). O polin omio auxiliar e um polin omio par, isto e, A(s) possui apenas pot en-cias pares de s. A construc ao do array de Routh prossegue substituindo-se a linhanula pela derivada de A(s) em relac ao a s.17. Exemplo. Considere o polin omio do terceiro grauD(s) = s3+s2+ 2s + 2,e o array de Routh associados31 2s21 2s10A linha s1torna-se nula. O polin omio auxiliar e sua derivada em relac ao a ss ao A(s) = s2+2 e A

(s) = 2s +0, respectivamente. A linha s1 e substituda porpor A

(s) e a construc ao do array prossegue:www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 91s31 2s21 2s12s0218. As informac oes extradas do array de Routh no Caso Especial II s ao ligeira-mente diferentes:a) Se houver trocas de sinal na primeira coluna do array,o n umero de trocas eigual ao n umero de razes com partes reais positivas;b) Se n ao houver trocas de sinal, n ao existem razes com partes reais positivas; opolin omio possui razes imagin arias puras;No exemplo anterior, as razes imagin arias puras s ao as razes de A(s) = s2+2 = 0, ou seja, s1 = j2 e s2 = j2.Polin omios auxiliares19. Um polin omio auxiliar (par) qualquer pode ser representado na formaA(s) = amsm+am2sm2+ +a2s2+a0,sendo m um n umero par. Suponha que s1 e uma raz de A(s) = 0, possivelmenteuma raz complexa deA(s) =0. Ent aos2= s1( s e o complexo conjulgadodes) tamb em e uma raz da equac ao, pois razes complexas de polin omios comcoecientes reais aparecem em pares complexos conjulgados. Como A(s) possuiapenas pot encias pares, s3 = s1 e s4 = s2 s ao tamb em razes de A(s) = 0.PSfrag replacementsRe sIms0s1s2s3s4Figura R4.1: Simetria das razes de polin omios pares.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 92As razes de um polin omio par aparecer ao simetricamente em relac ao aos eixosreal e imagin ario do plano s, como ilustra a Figura R4.1.20. Exemplos. O polin omios2 1 e par e suas razes s aos1=1 es2= 1.Seopolin omiofors2+ 1, asrazesser aos1=jes2= j. Opolin omios4+4 = (s2+2s +2)(s22s +2) e par e suas razes s ao s1 = 1+j, s2 = 1j,s3 = 1 j e s4 = 1 +j. O array de Routh associado a este ultimo polin omioserias41 0 4s30 0A linhas3se anula e o polin omio auxiliar eA(s) =s4+ 4. A linhas3 esubstituda por A

(s) = 4s3+ 0:s41 0 4s34 0s20 4O primeiro elemento des2 e 0, mas a linha n ao e nula. Substitui-se 0 por(caso especial I) e a construc ao do array prossegue:s41 0 4s34 0s2 4s116/s04Ap os a conclus ao do array, existem duas trocas de sinal independentemente dosinal de . Logo, s4+ 4 = 0 possui 2 razes no semi-plano direito (s = 1 j).Aplicac ao em Controle21. Considere o sistema de controle da Figura R4.2. A planta e est avel em malhaaberta (razes no semi-plano esquerdo). Deseja-se saber para que valores de kP>0 e kI> 0 o sistema ser a est avel em malha fechada.A equac ao caracterstica do sistema em malha fechada e1 +_kP +kIs_1(s + 1)(s + 2)= 0,www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 93ou s3+ 3s2+ (2 +kP)s +kI = 0.PSfrag replacementsr y+kP +kIs1(s + 1)(s + 2)Figura R4.2: Sistema de controle em malha fechada (controlador PI).O array de Routh associado es31 2 +kPs23 kIs16 + 3kP kI3s0kIPara que o sistema seja est avel em malha fechada,kI> 0 e kP>13kI 2,o que fornece a regi ao indicada na Figura R4.3. Qualquer ponto (kI, kP) na regi aohachurada e tal que o sistema em malha fechada e estavel.PSfrag replacementskPkI26Figura R4.3: Regi ao de ganhos (kI, kP) que estabilizam o sistema de controle.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 94Aula 8Crit erio de NyquistPrincpio do ArgumentoAplicac ao em controleCrit erio de estabilidade de NyquistPrincpio do Argumento1. Umsistema linear invariante no tempo e est avel no sentido entrada-sada (BIBO-est avel) se as partes reais de todas as razes da sua equac ao caracterstica s ao ne-gativas. A an alise da estabilidade absoluta de um sistema visa descobrir basica-mente se o sistema e est avel ou n ao, e pode ser ecientemente realizada atrav es docrit erio alg ebrico de Routh-Hurwitz. A an alise de estabilidade relativa envolvedeterminar qu ao est avel e um dado sistema. O chamado crit erio de Nyquist per-mite uma an alise mais completa de quest oes ligadas a estabilidade (absoluta e/ourelativa) e ser a discutido a seguir.2. Ocrit eriodeNyquist podeservistocomoumaaplicac aoemControledeum resultado de an alise complexa conhecido como Princpio do Argumento ouTeorema de Cauchy. O Princpio do Argumento utiliza os seguintes conceitosb asicos:Func ao racional ems. Umafunc aoracionalems equalquerfunc aoescritacomo a raz ao de dois polin omios em s. A imagem de F(s) num ponto qualquer spertencente ao plano complexo Re sIms, referido como plano s, e vista comoum ponto no plano complexo Re F(s) ImF(s), o qual ser a referido como planoF(s);Func ao analtica em(s. Uma func ao e analtica numa regi ao (s do plano s se esomente se a derivada da func ao existe em todos os pontos de (s;Curva fechada no plano s. Um arco no plano s e denido como um conjuntode pontos descritos parametricamente por(s = s(t) = (t) +j(t), a t b,www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 95em que as partes real (t) e imagin aria (t) s ao func oes contnuas de t variandonointervaloreal[a, b]. Ospontosde (sdescrevemumarconumdeterminadosentido (hor ario ou anti-hor ario), de acordo com valores crescentes de t. Adota-sea convenc ao de que o arco e percorrido no sentido hor ario, positivo. Uma curvafechada e todo arco cujas extremidades coincidem, isto e, s(a) = s(b).Princpio do Argumento. Seja F(s) uma func ao racional em s e (s uma curvafechada no plano s. Seja ainda (F= F(s), s (s o mapeamento da curva (sno plano F(s). Assuma que1. F(s) e analtica dentro e sobre (s, exceto possivelmente num n umero nitode p olos, e2. F(s) n ao possui zeros ou p olos sobre (s.Ent aoN= Z P,sendoZo n umero de zeros deF(s) em (s,P e o n umero de p olos deF(s) em(s e N e o n umero de v ezes que a curva (Fenvolve a origem do plano F(s), nosentido hor ario se N>0, e anti-hor ario se N 0, > 0possui um p olo na origem e um p olo real em 1/ 0 tendendo a zero, para que apenas o p olo na origem seja excludo.Segundo, a curva deve envolver todo o semiplano direito, raz ao pela qual adota-seum semicrculo de raio r > 0 tendendo ao innito.9. O mapeamento de (s em (G = G(s), s (s e obtido por trechos, nos quaisos valores de s (s s ao explicitamente caracterizados.www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 990 0+Neste trecho, os valores de (s podem ser descritos comos =ej, 90o 90o,pois o m odulo de s ee a fase varia de 90oa 90oquando o semicrculo epercorrido de 0 a 0+. O mapeamento de s =ejno plano G(s) elim0G(s)[s= ej = lim0_k ej_ = lim0k

ej.A magnitude de G(s) e innita e quando a fase de s varia de 90oa 90onacurva (s, a fase de G(s) varia de 90oa 90ona curva (G. O mapeamentode s = ejno plano G(s) e representado na Figura 10.4 pelo semicrculode raio innito conectando as freq u encias de = 0 a = 0+;0++Neste trecho, s = j, 0+ +. O mapeamento eG(j) =kj(j + 1),=k_()2+ 1

90otan1.Quando 0+, a magnitude de G(s) tende a +e a fase de G(s) tende a90o(por valores menores do que 900).Quando +, a magnitudetende a 0 e a fase tende a 180o. Em=1/, a amplitude valek/2e a fase vale 135o. O mapeamento do trecho 0++ encontra-seilustrado na Figura 8.4.+Neste trecho, os valores da curva (s podem ser descritos comos = rej, r , 90o 90o,e o seu mapeamento no plano G(s) elimrG(s)[s=rej =limrkrej(rej+ 1)=limrk/r2ej(2).www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 100A magnitude de G(s) e zero, ao mesmo tempo em que a fase de G(s) saltade 180o(quando =90o) em =+ para 180o(quando = 90o)em = . O mapeamento do trecho + e a origem do planoG(s) (Figura 8.4).0Neste trecho,s= j, 0 . Como [G(j)[ = [G(j)[ e

G(j) =

G(j), isto e, G(j) e o complexo conjugado de G(j),o mapeamento do trecho 0 e o complexo conjulgado do obtidono trecho 0+ +. O Diagrama de Nyquist de G(s) e sim etrico emrelac ao ao eixo real, como ilustra a Figura 8.4.10. Como P= 0, pois G(s) n ao possui p olos no semiplano direito, e N= 0, pois(G n ao envolve o ponto 1 +j0, conclui-se que Z = 0. O sistema realimentado eest avel para quaisquer k e positivos.PSfrag replacementsRe G(s)ImG(s) = 0+ = 0 = + = 0(G1Figura 8.4: Diagrama de Nyquist de G(s) = k/s(s + 1).www.mecatronicadegaragem.blogspot.comEA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 101Aula 9Crit erio de NyquistMargem de ganho e margem de faseMargem de ganho e margem de fase1. Os conceitos de margem de ganho e margem de fase ser ao motivados atrav es daan alise do diagrama de Nyquist da func ao de malha aberta de segunda ordemG(s) =ks(1s + 1)(2s + 1), k > 0, 1> 0, 2> 0.Adota-se a mesma curva (s da Figura 8.3. O mapeamento (G e obtido por trechos.0 0+Neste trecho, s=ej,90o 90o. O mapeamento des atrav esde G(s) elim0G(s)[s=ej =kej(1ej+ 1)(2ej+ 1)= lim0k

ej.A magnitude de G(s) e innita, enquanto a fase de G(s) varia de 90oa 90oquando s vai de 0 a 0+(Figura 9.1).0++Neste trecho, s