cours_afc

Introduction Nuages des lignes Nuage des colonnes Reprsentation superpose Aides l'interprtation

L'analyse des correspondances

simples

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Cadre gnral

Plusieurs types de tableau :

Analyse en Composantes Principales variables quantitatives Analyse Factorielle des Correspondances deux variablesqualitatives

Analyse des Correspondances Multiples variablesqualitatives

Statistique exploratoire multivarie

analyse descriptive rsum de l'information visualisation de donnes

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Un peu d'histoire

Quelques principes thoriques esquisss par Fisher en 1940 Analyse des correspondances activement dveloppe partirde 1961 ... Rennes !

JP. Benzcri : mathmaticien et linguiste Thse de Brigitte Escoer : L'analyse des correspondances

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Donnes

Deux variables qualitatives I et J modalits

Tableau de contingence :

Rle symtrique des deux variables

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Exemples

catgories socio-professionnelles candidats : nombred'individus de la CSP i qui votent pour le candidat j

parfums descripteurs : nombre de fois o le descripteur j estutilis pour caractriser le parfum i

solutions (acide, amer, etc.) rponse (acide, amer, etc.) :nombre de personnes qui rpondent j pour le stimulus i

comptage en cologie : abondance de l'espce i dans le milieu j text-mining : nombre d'occurrences du mot j dans le texte i exemples o le test d'indpendance du 2 peut tre appliqu

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Objectifs

Typologie des lignes Typologie des colonnes Relation entre ces deux typologies Etude de la liaison (la correspondance) entre les deuxvariables

Visualisation des proximits entre modalits et des associations

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Notations

Figure: Tableau de donnes en AFC

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Notations

Figure: Prol ligne et prol colonne

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Indpendance entre deux variables qualitativesIndpendance : fij = fi .f.j

05

1015

2025

300

510

1520

2530

05

1015

2025

30

Cad

re

Em

ploy

Ouv

rier

Etu

dian

t

18-35

36-55

56 et +0

1020

3040

05

1015

2025

010

2030

40

Noi

sette

Ble

u

Ver

t

Noi

r

Mar

ron

Couleur des yeux CSP

Figure: Illustration de l'indpendance (ge couleur des yeux) et de laliaison (ge salaire) entre deux variables partir des prols

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Nuage des lignes

ligne icol k

RI

ligne 1col 1

Etude des lignes Etude des colonnes

1

i

I

1

1

i

I

RJ

j J 1 j J

fijfi. Les I lignes sont dans l'espace RJ

Poids de la ligne i : fi . Centre de gravit :I

i=1 fi . (

fijfi.

)= (f.j)j=1,...,J

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Distance du 2

Distance entre les lignes i et l :

d2(i , l) =J

j=1

1

f.j

(fij

fi .

flj

fl .

)2

Mtrique :(

1f.j

)j=1,...,J

Distance entre la ligne i et le centre de gravit G :

d2(i ,G ) =J

j=1

1

f.j

(fij

fi . f.j

)2

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Inertie totale

Inertie totale =I

i=1

fi . d2(i ,G )

=I

i=1

fi .

Jj=1

1

f.j

(fij

fi . f.j

)2=

Ii=1

Jj=1

(fij fi .f.j)2

fi .f.j

=2

n= 2

2 mesure l'intensit de la liaison

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Ajustement du nuage

ligne icol k

RI

ligne 1col 1


1

i

I

1

1

i

I

RJ

j J 1 j J

fijfi.

On cherche les directions o ons'loigne le plus de l'indpendance

(analogie avec l'ACP et la moyenne)

min

max

i

G Hi u1

Maximiser l'inertie des points projetsIi=1 fi .GH

2i

u1 est l'axe d'inertie maximum

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Ajustement du nuage

ACP

(fij

fi .,1

f.j, fi .

)

Ass

ocia

ted

wei

ght o

f the

row

s

Weight for the columns

iiii

uuuu1111

uuuu2222

GGGG FFFFiiii1111

FFFFiiii2222

l

u1, ..., us , ..., uJ1 suite d'axes orthogonaux d'inertie maximum14 / 38


Exemple

12 parfums dcrits par 15 mots :

floral fruity strong soft light ...

Angel 2 11 18 3 1 ...

Aromatics Elixir 2 3 29 2 0 ...

Chanel 5 5 0 19 3 1 ...

Cinma 14 14 3 12 9 ...

Coco Mademoiselle 10 10 6 10 7 ...

...... . . . . .

Peut-on avoir une image synthtique de ces 12 parfums de luxe ?

Quels parfums sont sensoriellement proches ?

Pour quelles raisons certains parfums s'opposent ?

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Reprsentation graphique

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-0.5

0.0

0.5

1.0

Dim 1 (60.46%)

Dim

2 (

21.1

2%)

Angel

Aromatics Elixir

Chanel 5

Cinma

Coco MademoiselleJ_adore

J_adore_et

L_instant

Lolita Lempika

Pleasures

Pure Poison

Shalimar

Figure: Reprsentation des lignes en AFC

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Reprsentation des colonnes comme aide l'interprtation

du nuage des lignes

Reprsentation des colonnes (des mots) au barycentre des lignes(des parfums)

Exacts barycentres

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-0.5

0.0

0.5

Dim 1 (60.46%)

Dim

2 (

21.1

2%)

Angel

Aromatics Elixir

Chanel 5

Cinma

Coco Mademoiselle

J_adore

J_adore_et

L_instant

Lolita Lempika

Pleasures

Pure Poison

Shalimarfloral

fruity strongsoft

light

sugary

freshdiscreet

spicy

soap

vanilla

acid

oldwooded

agressive

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Nuage des colonnes

ligne icol k

RI

ligne 1col 1


1

i

I

1

1

i

I

RJ

j J 1 j J

fijfi.

fijf.j

Les J colonnes sont dans l'espaceRI

Poids de la colonne j : f.j Centre de gravit :J

j=1 f.j (

fijf.j

)= (fi .)i=1,...,I

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Nuage des colonnesDistance entre les colonnes j et k :

d2(j , k) =I

i=1

1

fi .

(fij

f.j fik

f.k

)2Distance entre la colonne j et le centre de gravit G :

d2(j ,G ) =I

i=1

1

fi .

(fij

f.j fi .

)2

Inertie totale =J

j=1

f.j d2(j ,G )

=2

n= 2

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Ajustement du nuage

ACP

(fij

f.j,1

fi ., f.j

)fijf.j

f.j

1

f1.

1

fi.

1

fI.

j J1

GGGG

vvvv2222

vvvv1111GGGGjjjj1111

GGGGjjjj2222j

k

v1, ..., vs , ..., vI1 suite d'axes orthogonaux d'inertie maximum20 / 38


Reprsentation graphique

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Dim 1 (60.46%)

Dim

2 (

21.1

2%)

floral

fruitystrongsoft

light

sugary

freshdiscreet

spicy

soap

vanilla

acid

oldwooded

agressive

Figure: Reprsentation des colonnes

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Reprsentation des lignes comme aide l'interprtation du

nuage des colonnes Reprsentation des lignes (des parfums) au barycentre descolonnes (des mots)

Exacts barycentres

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Dim 1 (60.46%)

Dim

2 (

21.1

2%)

floral

fruity

strongsoft

light

sugary

freshdiscreet

spicy

soap

vanilla

acid

old

wooded

agressiveAngel

Aromatics Elixir

Chanel 5

Cinma


J_adore_et

L_instant

Lolita Lempika

Pleasures

Pure Poison Shalimar

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Deux nuages

ligne icol k

RI

ligne 1col 1


1

i

I

1

1

i

I

RJ

j J 1 j J

fijfi.

fijf.j

prsentation de l'AFC : deux ACP pondres sur les prols ligneset les prols colonnes

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Lien entre les deux reprsentations : formules de transition

Fs(i) =1s

Jj=1

fij

fi .Gs(j) =

1s

Jj=1

(fij

fi . f.j

)Gs(j)

La ligne i est au barycentre des colonnes pondres (aucoecient 1/

s prs)

Gs(k) =1s

Ii=1

fij

f.jFs(i) =

1s

Ii=1

(fij

f.j fi .

)Fs(i)

La colonne k est au barycentre des lignes pondres (aucoecient 1/

s prs)

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Reprsentation superpose

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Dim 1 (60.46%)

Dim

2 (

21.1

2%)

Angel

Aromatics Elixir

Chanel 5

Cinma

Coco Mademoiselle

J_adore

J_adore_et

L_instant

Lolita Lempika

Pleasures

Pure Poison

Shalimar

floral

fruity

strongsoft

light

sugary

freshdiscreet

spicy

soap

vanilla

acid

oldwooded

agressive

Figure: Reprsentation superpose en analyse des correspondances

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Le barycentre reprsente l'indpendance La distance entre niveaux d'une mme variable peut treinterprte

La reprsentation est pseudo-barycentrique (dilatation) :formule de transition

Il n'est pas possible d'interprter la distance entre lesmodalits de deux variables mais ...

... c'est un barycentre pondr de toutes les modalits

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Pourcentage d'inertie

Pourcentage d'inertie (pourcentage de variance) de l'axe s :ss s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Eigenvalues

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

s toujours plus petit que 1 ; la valeur 1 est obtenue pour desassociations exclusives

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Aides l'interprtation

Contribution :

inertie projete d'un point sur l'axe s

inertie de l'axe s=

fi .Fs(i)2

s

attention, les points extrmes ne sont pas ceux quicontribuent le plus la construction des axes

Qualit de la reprsentation :

inertie projete d'un point sur l'axe s

inertie totale du point=

fi .Fs(i)2

fi .d2(G , i)= cos2()

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Information supplmentaireProjection de lignes et colonnes supplmentaires

ne participent pas la construction des axes

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1.

0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

CA factor map

Dim 1 (60.46%)

Dim

2 (

21.1

2%)

Angel

Aromatics Elixir

Chanel 5

Cinma


J_adore_et

L_instant

Lolita Lempika

Pleasures

Pure Poison

Shalimar

floral

fruitystrongsoft

light

sugary

freshdiscreet

spicy

soap

vanilla

acid

oldwooded

agressive

woman male

toilets

alcohol

heavy

drugs

hot

peppery

rose

lemon

oriental

young

candy

heady

musky

vegetableeau.de.cologne

forest

powerful

ambershower.gel

intense

natureshampoo

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Equivalence distributionnelle

Equivalence distributionnelle : considrer deux points-lignes i et

l confondus dans RJ comme un seul point aect de la somme desmasses de i et de l ne modie pas les distances entre tous les

couples de points dans RJ et dans RI . Idem pour deuxpoints-colonne j et k de RI .

Application : regroupement des mots sucr et saveur sucre :

Grce l'quivalence distributionnelle, si ces mots sont employs

dans les mmes circonstances, ils ont des coordonnes proches et

faire l'analyse avec les deux termes ou avec un terme unique qui

regroupe ces deux notions est strictement quivalent

notion trs utile en analyse textuelle (regroupement dessinguliers et pluriels, des conjugaisons des verbes, etc.)

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AFC avec FactoMineR

library(FactoMineR)

parfum = read.table("parfum.txt",header=T,sep="\t",row.names=1)

res.ca = CA(parfum,col.sup=16:39)

plot(res.ca,invisible="row")

plot(res.ca,invisible=c("col","col.sup"))

res.ca$eig

barplot(res.ca$eig[,1],main="Valeurs propres",names.arg=1:nrow(res.ca$eig))

res.ca$row$coord

res.ca$row$cos2

res.ca$row$contrib

res.ca$col$coord

res.ca$col$cos2

res.ca$col$contrib

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Exemple

Rsultats en athltisme lors de 5 olympiades : 24 preuves 58 pays

usa ken rus gbr eth cub mar ger jam pol ...

10000m 0 4 0 0 8 0 2 0 0 0 ...

100m 5 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ...

110mH 9 0 0 0 0 3 0 1 0 0 ...

1500m 0 5 0 0 0 0 3 0 0 0 ...

200m 8 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ...

20km 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 ...

3000mSteeple 0 12 0 0 0 0 1 0 0 0 ...

400m 11 1 0 1 0 0 0 0 1 0 ...

400mH 7 0 0 1 0 0 0 0 2 0 ...

4x100m 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 ...

4x400m 5 0 1 2 0 1 0 0 2 0 ...

5000m 0 5 0 0 4 0 3 1 0 0 ...

50km 0 0 4 0 0 0 0 1 0 3 ...

800m 1 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ...

Decathlon 5 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ...

Disque 0 0 0 0 0 1 0 3 0 1 ...

Hauteur 3 0 3 2 0 2 0 0 0 1 ...

Javelot 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 ...

Longueur 7 0 0 0 0 2 0 0 1 0 ...

Marathon 1 3 0 0 3 0 1 1 0 0 ...

Marteau 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ...

Perche 4 0 3 0 0 0 0 1 0 0 ...

Poids 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ...

Triple saut 3 0 2 3 0 2 0 0 0 0 ...

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Dcomposition de l'inertie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Valeurs propres0.

00.

20.

40.

60.

8

Figure: Diagramme des valeurs propres

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Reprsentation des preuves

-2 -1 0 1

-10

12

Dim 1 (13.85%)

Dim

2 (

10.5

3%)

10000m110mH1500m

200m

20km

3000mS

400m

400mH4x100m

4x400m

5000m

50km

800mDecathlon

Disque

Hauteur

Javelot

Longueur

Marathon

Marteau

Perche

Poids

Triple saut

-2 -1 0 1

-10

12

Dim 1 (13.85%)

Dim

2 (

10.5

3%)

400m

800m

Disque

Marteau

Perche

Triple

100m

Figure: Reprsentation des preuves d'athltisme

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Reprsentation des pays

-2 -1 0 1

-10

12

Dim 1 (13.85%)

Dim

2 (

10.5

3%)

alg

aus

bah

bar

bdi

blr

brabrn

canchn

cub

cze

den

dom

ecu

eri

esp

est

eth

eun

fin

fra

gbr

ger

gre

hun

ita

jam

jpn

kaz

ken

kor

ksa

lat

ltu

mar

mex

nam

ngr

nor

nzlpan

pol

por

qatrou

rsa

rus

slo

sud swe

tch

tri

tur

uga

ukr

usa

zam

-2 -1 0 1

-10

12

Dim 1 (13.85%)

Dim

2 (

10.5

3%)

alg

aus

bah

bar

bdi

blr

brabrn

canchn

cub

cze

den

dom

ecu

eri

esp

est

eth

eun

fin

fra

gbr

ger

gre

hun

ita

jam

jpn

kaz

ken

kor

ksa

lat

ltu

mar

mex

nam

ngr

nor

nzlpan

pol

por

qatrou

rsa

rus

slo

sud swe

tch

tri

tur

uga

ukr

usa

zam

Figure: Reprsentation des pays

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-2 -1 0 1

-10

12

Dim 1 (13.85%)

Dim

2 (

10.5

3%)

10000m

100m

110mH1500m

200m

20km

3000mS

400m400mH

4x100m4x400m

5000m

50km

800mDecathlon

Disque

Hauteur

Javelot

Longueur

Marathon

Marteau

Perche

Poids

Triple saut

alg

aus

bah

bar

bdi

blr

brabrn

canchn

cub

cze

den

dom

ecu

eri

esp

est

eth

eun

fin

fra

gbr

ger

gre

hun

ita

jam

jpn

kaz

ken

kor

ksa

lat

ltu

mar

mex

nam

ngr

nor

nzlpan

pol

por

qatrou

rsa

rus

slo

sud swe

tch

tri

tur

uga

ukr

usa

zam

-2 -1 0 1

-10

12

Dim 1 (13.85%)

Dim

2 (

10.5

3%)

10000m

100m

110mH1500m

200m

20km

3000mS

400m400mH

4x100m4x400m

5000m

50km

800mDecathlon

Disque

Hauteur

Javelot

Longueur

Marathon

Marteau

Perche

Poids

Triple saut

alg

aus

bah

bar

bdi

blr

brabrn

canchn

cub

cze

den

dom

ecu

eri

esp

est

eth

eun

fin

fra

gbr

ger

gre

hun

ita

jam

jpn

kaz

ken

kor

ksa

lat

ltu

mar

mex

nam

ngr

nor

nzlpan

pol

por

qatrou

rsa

rus

slo

sud swe

tch

tri

tur

uga

ukr

usa

zam

Figure: Reprsentation superpose

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Extensions

Prise en compte de plus de deux variables qualitatives : analysedes correspondances multiples

Analyse textuelle : les textes correspondent aux lignes, lesmots correspondent aux colonnes et le tableau contient le

nombre d'occurrences d'un mot dans un texte

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Un peu de lecture ...

B. Escoer & J. Pags (2008). Analyses factorielles simples etmultiples : objectifs, mthodes et interprtation. Dunod, 4e

dition.

G. Govaert (2003). Analyse des donnes. Lavoisier. M. Greenacre (1984). Theory and Applications of

Correspondence Analysis. Academic press.

F. Husson, S. L & J. Pags (2009). Analyse de donnes avecR. Presses Universitaires de Rennes.

L. Lebart, M. Piron & A. Morineau (2006). Statistiqueexploratoire multidimensionnelle : visualisation et infrence en

fouilles de donnes. Dunod, 4e dition.

G. Saporta (2006). Probabilits, analyse des donnes etstatistiques. Technip, 2e dition.

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