CTDL2_CH03_BTree

Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí MinhĐại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh

CẤU TRÚC DỮ LI ỆU 2 CẤU TRÚC DỮ LI ỆU 2

Chương 03: B-Cây

Đề cương môn học: CTDL2CTDL2

• Chương 1: Sắp xếp ngoại• Chương 2: Bảng băm (Hash Table)• Chương 3: B – Cây (B-Tree)• Chương 4: Cây Đỏ Đen (Red-Black Tree)

22CTDL2 – HIENLTHHIENLTH, HCMUP

Nội dung

• Đặt vấn đề• B-Tree• Các phép biến đổi• Ứng dụng của B-Tree


• Ứng dụng của B-Tree

Đặt vấn đề

• Cần lưu trữ số phần tử dữ liệu rất lớn

• Lưu trữ trên bộ nhớ ngoài


• Tìm kiếm nhanh

Giải quyết

• Thao tác tìm kiếm trên cây tỉ lệ thuận với chiều cao của cây. Nếu cây có N nút thì.

– Chiều cao của cây nhị phân tìm kiếm cân bằng log2N = chi phí tìm kiếm.≤


– Cây 2-3-4 (mỗi nút có nhiều nhất 4 khoá) -> chiều cao log4N.

– Chưa phù hợp khi lưu trữ và truy xuất trên đĩa

≤

Giải quyết

• Dùng 1 loại cây khác nhằm mục đích – Phân trang dữ liệu

• Tăng số nhánh của cây -> Giảm chiều cao của cây

• Gom nhóm dữ liệu thành những block-> giảm


• Gom nhóm dữ liệu thành những block-> giảm số lần truy xuất trên đĩa

⇒Dùng B-Cây (1 loại cây nhiều nhánh) thích hợp với việc lưu trữ và truy xuất trên bộ nhớ ngoại - đĩa cứng

B-Tree

• Định nghĩa:B-Tree bậc n có các t/c:

– Mỗi nút có tối đa 2*n khóa– Mỗi nút (không là gốc) có ít nhất n nút


– Mỗi nút hoặc là lá hoặc có m+1 nút con– Các khóa được sắp tăng dần từ trái sang phải– Các nút lá nằm cùng một mức

Ưu điểm B-Tree

• B-cây là dạng cây cân bằng, phù hợp với việc lưu trữ trên đĩa

• B-cây tiêu tốn số phép truy xuất đĩa tối thiểu cho các thao tác


thiểu cho các thao tác

• Có thể quản lý số phần tử rất lớn

Chiều cao B-Tree

• N: Số khoá (key),

• m: Bậc của cây, m > 2 �cấp (m-1)/2

1≥N


2

1log

+≤ Nh

m

Khai báo CTDL

struct NodeType{

int numtree;//số cây conint Key[Order];//mảng lưu các khóa của node


int Key[Order];//mảng lưu các khóa của nodeNodeType* Branch[Order+1];//con trỏ trỏ đến

node con

};typedef NodeType* NODEPTR;NODEPTR * Root;//con trỏ trỏ tới nút gốc

Các phép toán trên cây

• Tìm 1 phần tử có khóa bằng X trong cây

• Thêm 1 khoá vào vào B –Tree

• Xóa 1 khoá trong 1 nút


• Xóa 1 khoá trong 1 nút

Tìm ki ếm phần tử có khóa X trên cây

• Việc tìm kiếm được thực hiện tuần tự giống như trong cây nhị phân tìm kiếm:– Bắt đầu từ gốc.– Duyệt cây theo kiểu top-down.– Tại mỗi node so sánh khóa cần tìm với các


– Tại mỗi node so sánh khóa cần tìm với các giá trị khóa của node đó để tìm nhánh con cần duyệt tiếp theo.

• Có thể áp dụng phương pháp tìm kiếm nhị phân để tìm một khóa trong nội bộ một node.

Thêm 1 nút vào B-Tree

• Tính chất cây B (B-tree): một khối có ít nhất một nữa số khóa

• Thêm 1 nút có khóa X vào B-Tree– Thêm X vào 1 nút lá– Sau khi thêm, nếu nút lá đầy:


– Sau khi thêm, nếu nút lá đầy: • Tách nút lá ra làm đôi• Chuyển phần tử giữa lên nút cha và lan

truyền ngược về gốc.• Nếu gốc bị tách, cây được đặt ở mức sâu

hơn

Thêm 1 nút vào cây B-Tree

• Nếu số khóa lớn hơn 2n thì tách trang:– Đưa phần tử giữa lên trang cha– Tạo thêm trang mới– Chuyển dời một nửa phần tử sang trang mới– Tiếp tục lan truyền ở trang cha (nếu trang cha


– Tiếp tục lan truyền ở trang cha (nếu trang cha sau khi thêm > 2n phần tử thì thực hiện tách trang như trên).

Cây B (n = 1) – Chèn

• Chèn– Chèn 9– Node bị tràn,

phân tách nó– Đẩy node giữa (8)


– Đẩy node giữa (8)– Gốc bị tràn,

phân tách nó– Đẩy node giữa (6)– Node gốc mới hình thành– Chiều cao tăng 1

Ví dụ thao tác thêm (B-Tree: n = 1)

Thêm các nút: 1,2,3,4,5,6,7



• Cho B-tree rỗng. Lần lượt thêm giá trị các

khóa sau (theo thứ tự) vào B-tree: 1, 12, 8,

2, 25, 5, 14, 28, 17, 7, 52, 16, 48, 68, 3,


26, 29, 53, 55, 45.

• Cần xây dựng B-tree bậc 2.

Ví dụ thao tác thêm (B-Tree: n = 2)• Bốn phần tử đầu tiên

được đưa vào nút gốc• Nếu đưa phần tử thứ năm

vào nút gốc sẽ làm vi phạm điều kiện cây B-

1 2 8 12

1 2

8

12 25


phạm điều kiện cây B-tree.

• Do đó, khi thêm khóa 25, tách nút gốc thành 2 nút và đưa khóa ở giữa lên để tạo nút gốc mới.

1 2 12 25


Thêm các khóa 6, 14, 28 vào các nút lá:

1 2

8

12 146 25 28

Nút lá bên phải đã đầy (đã có 4 phần tử). Do đó, 8 17


(đã có 4 phần tử). Do đó, khi thêm khóa 17 vào nút lá bên phải sẽ làm nút lá bị “quá tải”. Lấy khóa ở giữa đưa lên nút cha (hiện tại là nút gốc) và phân chia nút hiện tại.

8 17

12 14 25 281 2 6


Thêm các khóa 7, 52, 16, 48 vào các nút lá

8 17

12 14 25 281 2 6 16 48 527

Thêm khóa 68 vào, cần tách nút lá ở bên phải, đưa 48 lên nút gốc


lên nút gốc

Thêm khóa 3 vào, cần tách nút lá ở bên trái, đưa khóa 3 lên nút gốc

3 8 17 48

52 6825 281 2 6 7 12 14 16


Thêm các khóa 26, 29, 53, 55vào các nút lá

3 8 17 48

52 53 55 6825 26 28 291 2 6 7 12 14 16

Thêm khóa 45vào, cần tách và đưa khóa 28


Thêm khóa 45vào, cần tách và đưa khóa 28lên nút gốc. Khi đó, nút gốc sẽ “quá tải” và cần tách tiếp.

25 26 28 29

17

3 8 28 48

1 2 6 7 12 14 16 52 53 55 6825 26 29 45

Xóa 1 phần tử trên B-Cây bậc n

• Khóa cần xóa trên trang lá � Xóa bình thường.

• Khóa cần hủy không trên trang lá:– Tìm phần tử thay thế: Trái nhất (hoặc phải nhất)

trên hai cây con cần tìm


trên hai cây con cần tìm– Thay thế cho nút cần xóa

• Sau khi xóa, trang bị thiếu (vi phạm đk B-Tree):– Hoặc chuyển dời phần tử từ trang thừa– Hoặc ghép với trang bên cạnh (trái/phải)

Ví dụ về xóa

• Giả sử đã xây dựng B-cây như sau:

9 20

37

28 3217

12

15 44

24

7 42 4822


• Xóa 48

9 20

37

28 3217

12

15 44

24

7 4222

Ví dụ về xóa

• Xóa 15:

9 20

37

28 3217

12

44

24

7 4222


• Xóa 44 (gộp trang)

9 20 3728 3217

12 24

7 4222

Ví dụ về xóa

• Xóa 7 (mượn trang phải)

• Xóa 24, ta đem khóa 22 lên thay thế. Khi đó 12 20 3728 32

17 24

9 4222


• Xóa 24, ta đem khóa 22 lên thay thế. Khi đó trang 20,22 chỉ còn 20 (phạm), ta phải đem khóa 22 trở lại trang 20,22. Mang 28 lên thêm

12 20 3732

17 28

9 4222

Ví dụ về xóa

• Xóa 20: Mượn trang phải 1 phần tử. Tức mang 32 lên cha, 28 xuống nút có 1 khóa là 22

17 32


9 22 3712 4228

Ví dụ xóa nút trong B-Tree (tt)

• Xóa 28:

9 22 3712

17

32 42


• Xóa 9

12 3717

22

32 42

Ví dụ xóa nút trong B-Tree (tt)

• Xóa 37

12 17

22

32 42


• Xóa 1712 22 32 42

B-tree: Cân bằng lại cây sau khi xóa

• Nếu một trong các nút anh em kế cận nút đang xét có số lượng khóa nhiều hơn số lượng tối thiểu– Đưa một khóa của nút anh em lên nút cha.– Đưa một khóa ở nút cha xuống nút đang xét.

• Nếu tất cả các nút anh em kế cận nút đang xét đều


• Nếu tất cả các nút anh em kế cận nút đang xét đều có số lượng khóa vừa đủ số lượng tối thiểu.– Chọn một nút anh em kế cận và hợp nhất nút anh

em này với nút đang xét và với khóa tương ứng ở nút cha.

– Nếu nút cha trở nên thiếu khóa, lặp lại quá trình này.

Trường hợp:Nút anh em kế cận còn đủ khóa để bổ sung

1212 2929

77 99 1515 2222 696956563131 4343

Delete 22 Đưa khóa từ nút cha xuốngĐưa khóa từ nút anh em kế cận lên


77 99 1515 2222 696956563131 4343

1212

292977 99 1515

3131

696956564343

Trường hợp:

1212 2929 5656

Hợp nhất

Nút đang xét và nút anh em kế cận đề cònquá ít khóa


77 99 1515 2222 6969 72723131 4343

Delete 72

Còn quá ít khóa

1212 2929

77 99 1515 2222 696956563131 4343

VD 2 – Xoá 1 khoá trong B-Tree cấp 1

• Ví dụ ta có cây như sau:


• Xoá nút 26 thì ta làm sao:

VD 2 – Xoá 1 khoá trong B-Tree (tt)

• Dùng 28 để thay thế



• Xoá khóa 22 dùng 24 thay thế, thiết nút lá


Xoá 1 nút trong B - Tree


VD 2 – Xoá 1 khoá trong B-Tree (tt)• Xoá khoá 18, 8 thay thế




Cây B trên đĩa

• Các khối đĩa– 512 - 8k bytes ∴100s of keys�Dùng tìm kiếm nhị phân cho các khối

• Tổng quát


• Tổng quát– O( log n )– Làm hợp với phần cứng !

• Thủ tục xóa tương tự (Deletion)– Tuy nhiên, phải hội nhập các khối (block) để bảo đảm

tính chất B-tree (ít nhất bằng nửa số lượng khóa)

Ví dụ


Ví dụ


Cây B(Block) (B-trees)

• Tất cả các lá nằm trên cùng một mức• Tất cả các node ngoại trừ gốc và các lá có:

– Ít nhất m/2 con– Nhiều nhất m con

• Cây B+ (B+ trees)

Mỗi node ch ứa ít nhấtmột nửa số lượng khóa


• Cây B+ (B+ trees)– Tất cả các khóa trong các node là giả– Chỉ các khóa trong các lá nhận giá trị thực “real”– Liên kết các lá

• Có khả năng duyệt hết danh sách theo thứ tự giữakhông cần thông qua các node cao hơn.

Cây B+

• Cây B+– Tất cả các khóa trong các node là giả– Chỉ các khóa trong các lá nhận giá trị thực “real”– Các bản ghi dữ liệu được giữ trong các vùng

riêng


riêng

Cây B+ -Duyệt theo thứ tự giữa

• Cây B+ (B+ trees)– Liên kết các lá

• Có khả năng duyệt hết danh sách theo thứ tự giữa không cần thông qua các node cao hơn.


Cây (B+) –Sử dụng

• Sử dụng - Cơ sở dữ liệu lớn– Đọc một khối đĩa chậm hơn nhiều so với đọc bộ nhớ ( ~ms vs ~ns )

– Đặt từng khối của các khóa vào trong một khối đĩa

Physical disc blocks


Đọc thêm

• Tài liệu tham khảo– http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree– http://www.bluerwhite.org/btree/– http://www.nist.gov/dads/HTML/btr


– http://www.nist.gov/dads/HTML/btree.html

– http://www.nist.gov/dads/HTML/bstartree.html

Luyện tập

• Cho B-tree bậc 2 gồm các khóa sau (chèn vào theo thứ tự):3, 7, 9, 23, 45, 1, 5, 14, 25, 24, 13, 11, 8, 19, 4, 31, 35, 56


• Thêm khóa: 2, 6, 12, 0, 10, 11

• Xóa khóa: 4, 5, 7, 3, 14

Câu hỏi và thảo luận


Documents

CTDL2_CH03_BTree