ctgtE)JEPAJ1bHOE ArEHTCTBO )KEJIE3HOJ(OP0)KI-l0fO TPAHCllOPTA

ctgtenepaJlbHOe rocynapcrne1-moe 61omKeTHOe 06pa30BaTeJ1bHOe yc1pe)KIJe1rne

BbTCWero o6pa30BC1 lfH51

laquol1prltyTCKHi1 rocynapcrne1rHb1i1 y1-urnepcHTeT nyTei1 coo6weHmrn

Cn611pc1lt11i1 KOJIJ1eiJ)K TpaHcrropTa H cTpOHTeJ11cTBa

Cl30PH11K llPAKTvrLIECKHX PAEOT no EHO 1 MATEMA TVIKE

n1u1 cneu11aJ1bHOCTH 080201 CTpovITCJlbCTBO H 3KcrrnymaUH5l 3IJaH1111 H coopy)KeHHH

6asoaafl 11002omoa1w

cpeonezo nporjJeccuo11m1b11020 06pmoam1 ufl

fllpK)TCK 2017r

PACCMOTPEHO YTBEP)K)JEHO

HpeKTopa no YMP

KOMJ1CCHe]i eCTecrner-I IIOHaycn-LIJX )lHCIJH llJI HJ-] -----__ rc npor-1b1ltlm

(MaTCMaTHJlta t]lH3HIlta) )Jma 190617r

Ope)1Ce)1aTem UMK HoBHKOBa TD

190617rJ~arn noanuci

CocrnBtnenb T1laquo1-1ena HK npenoJranaTeJib MaTeMarnKH CKTuC

3

пп Наименование практической работы Количество

часов Страница

1 Вычисление площадей плоских фигур и поверхности тел

2 5-6

2 Вычисление объемов тел 2 6-8 3 Вычисление объемов земляных работ 2 8-9 4 Вычисление производной функции Применение

геометрического и физического смысла при решении задач

2 10-12

5 Применение производной в технике и исследовании функций

2 12-13

6 Приближенные вычисления с использованием производной Построение и исследование графиков функций Асимптоты графика

2 14-15

7 Вычисление неопределенного интеграла Метод подстановки и по частям 2 15-17

8 Вычисление определенного интеграла 2 17

9 Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла 2 17-18

10 Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла 2 18-20

11 Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными первого порядка 2 20-21

12 Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами 2 21-22

13 Решение задач по теме множества и операции над ними 2 23-24

14 Решение задач по теме laquoГрафы их виды и операции над нимиraquo 2 24-27

15 Решение задач по теме Теория вероятностей и Элементы комбинаторики 2 27-30

4

Предисловие

Учебно-методическое пособие содержит задания для практических работ предназначенные для более глубокого изучения дисциплины систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений углубления и расширения теоретических и практических знаний формирования умений использовать специальную справочную литературу а также содержит методические указания по выполнению предложенных заданий и список литературы необходимой для изучения дисциплины

Использование данного методического пособия в учебном процессе позволит каждому студенту освоить теоретический материал даст возможность применить полученные знания на практике

Универсальная шкала оценивания

Процент результативности (правильных ответов)

Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений

балл (отметка) вербальный аналог 90 ndash 100 5 отлично 80 ndash 89 4 хорошо 70 ndash 79 3 удовлетворительно

менее 70 2 неудовлетворительно

5

Тема Призма и пирамида Практическая работа 1 Призма ndash многогранник состоящий из двух равных многоугольников лежащих в

параллельных плоскостях и параллельных отрезков соединяющих соответственные вершины этих многоугольников

Многоугольники называются основаниями призмы параллельные отрезки ndash боковыми ребрами

Название призмы происходит от названия многоугольника лежащего в основании призмы треугольная четырехугольная и тд

Призма называется прямая если ее боковые ребра перпендикулярны основанию в противном случае призма называется наклонная

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sбок = Росн middot h если призма прямая то h = H

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H

Задача найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной призмы сторона основания которой равна 5м высота7м

Решение ABCDAA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма ndash это прямая призма в основании которой лежит квадрат

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = Sкв= AB2 = 52 = 25м2

Sбок = Росн middot h h = H = 7м

Росн = Ркв = 4AB = 4middot 5 = 20м

Следовательно Sбок = 20 middot 7 = 140м2

Следовательно Sполн = 140 + 2 middot 25 = 190м2

V = Sосн bull H

Следовательно V = 25 middot 7 = 175м3

Пирамида ndash это многогранник состоящий из плоского многоугольника точки лежащей вне плоскости этого многоугольника и отрезков соединяющих эту точку с вершинами многоугольника

Этот многоугольник называется основанием пирамиды отрезки ndash боковыми ребрами

Боковые грани пирамиды ndash треугольники Пирамида называется прямой если ее высота падает в центр основания

6

Пирамида называется правильной если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

Sбок = 12Росн middot h где h ndash высота боковой грани ndash апофема

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 12 см а диагональ боковой грани 20 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

2 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 24м а диагональ боковой грани 26м Найти площадь полной поверхности и объем призмы

3 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 40 см а диагональ боковой грани 50 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

4 В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 20см а высота самой пирамиды 16см Найти площадь полной поверхности и объем пирамиды

5 Измерения прямоугольного бруска 3см 4см 5см Если увеличить каждое ребро на х см то поверхность увеличится на 54см2 Как увеличится объем

6Чугунная труба имеет квадратное сечение ее внешняя ширина25см толщена стенок 3см Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 73 гсм3)

Тема Цилиндр и конус Практическая работа 2

Цилиндр ndash это тело полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон Эта сторона называется осью вращения а сторона ей противоположная ndash образующей тк при вращении она образует поверхность цилиндра У прямого цилиндра высота и образующая совпадают

Основание цилиндра ndash круг

Осевое сечение цилиндра ndash прямоугольник

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

7

Sосн = π R2 ndash площадь круга

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H где Н = а

Задача найти площадь полной поверхности и объем цилиндра радиус основания которого 9см а диагональ осевого сечения 30см

Решение

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = π R2

R = 9см по условию следовательно Sосн = 81πсм2

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR следовательно l = 18πсм

Пусть осевое сечение цилиндра есть прямоугольник ABCD с диагональю BDтогда образующая а = AB Чтобы найти AB рассмотрим треугольник ABD Он прямоугольный тк является половиной прямоугольника AB = Dкр = 2R = 2 middot 9 = 18см

Тогда по теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 следовательно AB = radic1198611198611198611198612 minus 1198601198601198611198612 =

radic302 minus 182 = radic900 minus 324 = radic576 = 24см- а

Следовательно Sбок = 18π middot 24 = 432πсм2

Следовательно Sполн = 432π + 2 middot 81π = 432π +192π = 624πсм2

V = Sосн middot H Н = а

V = 81π middot 24 = 1944πсм3

Конус ndash это тело полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Этот катет называется осью вращения а гипотенуза ndash образующей тк образует при вращении поверхность конуса

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник

В основании конуса лежит круг

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

PACCMOTPEHO YTBEP)K)JEHO

HpeKTopa no YMP

KOMJ1CCHe]i eCTecrner-I IIOHaycn-LIJX )lHCIJH llJI HJ-] -----__ rc npor-1b1ltlm

(MaTCMaTHJlta t]lH3HIlta) )Jma 190617r

Ope)1Ce)1aTem UMK HoBHKOBa TD

190617rJ~arn noanuci

CocrnBtnenb T1laquo1-1ena HK npenoJranaTeJib MaTeMarnKH CKTuC

3

пп Наименование практической работы Количество

часов Страница

1 Вычисление площадей плоских фигур и поверхности тел

2 5-6

2 Вычисление объемов тел 2 6-8 3 Вычисление объемов земляных работ 2 8-9 4 Вычисление производной функции Применение

геометрического и физического смысла при решении задач

2 10-12

5 Применение производной в технике и исследовании функций

2 12-13

6 Приближенные вычисления с использованием производной Построение и исследование графиков функций Асимптоты графика

2 14-15

7 Вычисление неопределенного интеграла Метод подстановки и по частям 2 15-17

8 Вычисление определенного интеграла 2 17

9 Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла 2 17-18

10 Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла 2 18-20

11 Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными первого порядка 2 20-21

12 Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами 2 21-22

13 Решение задач по теме множества и операции над ними 2 23-24

14 Решение задач по теме laquoГрафы их виды и операции над нимиraquo 2 24-27

15 Решение задач по теме Теория вероятностей и Элементы комбинаторики 2 27-30

4

Предисловие

Учебно-методическое пособие содержит задания для практических работ предназначенные для более глубокого изучения дисциплины систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений углубления и расширения теоретических и практических знаний формирования умений использовать специальную справочную литературу а также содержит методические указания по выполнению предложенных заданий и список литературы необходимой для изучения дисциплины

Использование данного методического пособия в учебном процессе позволит каждому студенту освоить теоретический материал даст возможность применить полученные знания на практике

Универсальная шкала оценивания

Процент результативности (правильных ответов)

Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений

балл (отметка) вербальный аналог 90 ndash 100 5 отлично 80 ndash 89 4 хорошо 70 ndash 79 3 удовлетворительно

менее 70 2 неудовлетворительно

5

Тема Призма и пирамида Практическая работа 1 Призма ndash многогранник состоящий из двух равных многоугольников лежащих в

параллельных плоскостях и параллельных отрезков соединяющих соответственные вершины этих многоугольников

Многоугольники называются основаниями призмы параллельные отрезки ndash боковыми ребрами

Название призмы происходит от названия многоугольника лежащего в основании призмы треугольная четырехугольная и тд

Призма называется прямая если ее боковые ребра перпендикулярны основанию в противном случае призма называется наклонная

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sбок = Росн middot h если призма прямая то h = H

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H

Задача найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной призмы сторона основания которой равна 5м высота7м

Решение ABCDAA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма ndash это прямая призма в основании которой лежит квадрат

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = Sкв= AB2 = 52 = 25м2

Sбок = Росн middot h h = H = 7м

Росн = Ркв = 4AB = 4middot 5 = 20м

Следовательно Sбок = 20 middot 7 = 140м2

Следовательно Sполн = 140 + 2 middot 25 = 190м2

V = Sосн bull H

Следовательно V = 25 middot 7 = 175м3

Пирамида ndash это многогранник состоящий из плоского многоугольника точки лежащей вне плоскости этого многоугольника и отрезков соединяющих эту точку с вершинами многоугольника

Этот многоугольник называется основанием пирамиды отрезки ndash боковыми ребрами

Боковые грани пирамиды ndash треугольники Пирамида называется прямой если ее высота падает в центр основания

6

Пирамида называется правильной если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

Sбок = 12Росн middot h где h ndash высота боковой грани ndash апофема

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 12 см а диагональ боковой грани 20 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

2 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 24м а диагональ боковой грани 26м Найти площадь полной поверхности и объем призмы

3 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 40 см а диагональ боковой грани 50 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

4 В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 20см а высота самой пирамиды 16см Найти площадь полной поверхности и объем пирамиды

5 Измерения прямоугольного бруска 3см 4см 5см Если увеличить каждое ребро на х см то поверхность увеличится на 54см2 Как увеличится объем

6Чугунная труба имеет квадратное сечение ее внешняя ширина25см толщена стенок 3см Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 73 гсм3)

Тема Цилиндр и конус Практическая работа 2

Цилиндр ndash это тело полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон Эта сторона называется осью вращения а сторона ей противоположная ndash образующей тк при вращении она образует поверхность цилиндра У прямого цилиндра высота и образующая совпадают

Основание цилиндра ndash круг

Осевое сечение цилиндра ndash прямоугольник

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

7

Sосн = π R2 ndash площадь круга

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H где Н = а

Задача найти площадь полной поверхности и объем цилиндра радиус основания которого 9см а диагональ осевого сечения 30см

Решение

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = π R2

R = 9см по условию следовательно Sосн = 81πсм2

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR следовательно l = 18πсм

Пусть осевое сечение цилиндра есть прямоугольник ABCD с диагональю BDтогда образующая а = AB Чтобы найти AB рассмотрим треугольник ABD Он прямоугольный тк является половиной прямоугольника AB = Dкр = 2R = 2 middot 9 = 18см

Тогда по теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 следовательно AB = radic1198611198611198611198612 minus 1198601198601198611198612 =

radic302 minus 182 = radic900 minus 324 = radic576 = 24см- а

Следовательно Sбок = 18π middot 24 = 432πсм2

Следовательно Sполн = 432π + 2 middot 81π = 432π +192π = 624πсм2

V = Sосн middot H Н = а

V = 81π middot 24 = 1944πсм3

Конус ndash это тело полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Этот катет называется осью вращения а гипотенуза ndash образующей тк образует при вращении поверхность конуса

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник

В основании конуса лежит круг

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

3

пп Наименование практической работы Количество

часов Страница

1 Вычисление площадей плоских фигур и поверхности тел

2 5-6

2 Вычисление объемов тел 2 6-8 3 Вычисление объемов земляных работ 2 8-9 4 Вычисление производной функции Применение

геометрического и физического смысла при решении задач

2 10-12

5 Применение производной в технике и исследовании функций

2 12-13

6 Приближенные вычисления с использованием производной Построение и исследование графиков функций Асимптоты графика

2 14-15

7 Вычисление неопределенного интеграла Метод подстановки и по частям 2 15-17

8 Вычисление определенного интеграла 2 17

9 Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла 2 17-18

10 Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла 2 18-20

11 Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными первого порядка 2 20-21

12 Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами 2 21-22

13 Решение задач по теме множества и операции над ними 2 23-24

14 Решение задач по теме laquoГрафы их виды и операции над нимиraquo 2 24-27

15 Решение задач по теме Теория вероятностей и Элементы комбинаторики 2 27-30

4

Предисловие

Учебно-методическое пособие содержит задания для практических работ предназначенные для более глубокого изучения дисциплины систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений углубления и расширения теоретических и практических знаний формирования умений использовать специальную справочную литературу а также содержит методические указания по выполнению предложенных заданий и список литературы необходимой для изучения дисциплины

Использование данного методического пособия в учебном процессе позволит каждому студенту освоить теоретический материал даст возможность применить полученные знания на практике

Универсальная шкала оценивания

Процент результативности (правильных ответов)

Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений

балл (отметка) вербальный аналог 90 ndash 100 5 отлично 80 ndash 89 4 хорошо 70 ndash 79 3 удовлетворительно

менее 70 2 неудовлетворительно

5

Тема Призма и пирамида Практическая работа 1 Призма ndash многогранник состоящий из двух равных многоугольников лежащих в

параллельных плоскостях и параллельных отрезков соединяющих соответственные вершины этих многоугольников

Многоугольники называются основаниями призмы параллельные отрезки ndash боковыми ребрами

Название призмы происходит от названия многоугольника лежащего в основании призмы треугольная четырехугольная и тд

Призма называется прямая если ее боковые ребра перпендикулярны основанию в противном случае призма называется наклонная

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sбок = Росн middot h если призма прямая то h = H

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H

Задача найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной призмы сторона основания которой равна 5м высота7м

Решение ABCDAA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма ndash это прямая призма в основании которой лежит квадрат

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = Sкв= AB2 = 52 = 25м2

Sбок = Росн middot h h = H = 7м

Росн = Ркв = 4AB = 4middot 5 = 20м

Следовательно Sбок = 20 middot 7 = 140м2

Следовательно Sполн = 140 + 2 middot 25 = 190м2

V = Sосн bull H

Следовательно V = 25 middot 7 = 175м3

Пирамида ndash это многогранник состоящий из плоского многоугольника точки лежащей вне плоскости этого многоугольника и отрезков соединяющих эту точку с вершинами многоугольника

Этот многоугольник называется основанием пирамиды отрезки ndash боковыми ребрами

Боковые грани пирамиды ndash треугольники Пирамида называется прямой если ее высота падает в центр основания

6

Пирамида называется правильной если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

Sбок = 12Росн middot h где h ndash высота боковой грани ndash апофема

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 12 см а диагональ боковой грани 20 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

2 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 24м а диагональ боковой грани 26м Найти площадь полной поверхности и объем призмы

3 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 40 см а диагональ боковой грани 50 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

4 В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 20см а высота самой пирамиды 16см Найти площадь полной поверхности и объем пирамиды

5 Измерения прямоугольного бруска 3см 4см 5см Если увеличить каждое ребро на х см то поверхность увеличится на 54см2 Как увеличится объем

6Чугунная труба имеет квадратное сечение ее внешняя ширина25см толщена стенок 3см Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 73 гсм3)

Тема Цилиндр и конус Практическая работа 2

Цилиндр ndash это тело полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон Эта сторона называется осью вращения а сторона ей противоположная ndash образующей тк при вращении она образует поверхность цилиндра У прямого цилиндра высота и образующая совпадают

Основание цилиндра ndash круг

Осевое сечение цилиндра ndash прямоугольник

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

7

Sосн = π R2 ndash площадь круга

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H где Н = а

Задача найти площадь полной поверхности и объем цилиндра радиус основания которого 9см а диагональ осевого сечения 30см

Решение

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = π R2

R = 9см по условию следовательно Sосн = 81πсм2

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR следовательно l = 18πсм

Пусть осевое сечение цилиндра есть прямоугольник ABCD с диагональю BDтогда образующая а = AB Чтобы найти AB рассмотрим треугольник ABD Он прямоугольный тк является половиной прямоугольника AB = Dкр = 2R = 2 middot 9 = 18см

Тогда по теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 следовательно AB = radic1198611198611198611198612 minus 1198601198601198611198612 =

radic302 minus 182 = radic900 minus 324 = radic576 = 24см- а

Следовательно Sбок = 18π middot 24 = 432πсм2

Следовательно Sполн = 432π + 2 middot 81π = 432π +192π = 624πсм2

V = Sосн middot H Н = а

V = 81π middot 24 = 1944πсм3

Конус ndash это тело полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Этот катет называется осью вращения а гипотенуза ndash образующей тк образует при вращении поверхность конуса

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник

В основании конуса лежит круг

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

4

Предисловие

Учебно-методическое пособие содержит задания для практических работ предназначенные для более глубокого изучения дисциплины систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений углубления и расширения теоретических и практических знаний формирования умений использовать специальную справочную литературу а также содержит методические указания по выполнению предложенных заданий и список литературы необходимой для изучения дисциплины

Использование данного методического пособия в учебном процессе позволит каждому студенту освоить теоретический материал даст возможность применить полученные знания на практике

Универсальная шкала оценивания

Процент результативности (правильных ответов)

Качественная оценка индивидуальных образовательных достижений

балл (отметка) вербальный аналог 90 ndash 100 5 отлично 80 ndash 89 4 хорошо 70 ndash 79 3 удовлетворительно

менее 70 2 неудовлетворительно

5

Тема Призма и пирамида Практическая работа 1 Призма ndash многогранник состоящий из двух равных многоугольников лежащих в

параллельных плоскостях и параллельных отрезков соединяющих соответственные вершины этих многоугольников

Многоугольники называются основаниями призмы параллельные отрезки ndash боковыми ребрами

Название призмы происходит от названия многоугольника лежащего в основании призмы треугольная четырехугольная и тд

Призма называется прямая если ее боковые ребра перпендикулярны основанию в противном случае призма называется наклонная

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sбок = Росн middot h если призма прямая то h = H

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H

Задача найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной призмы сторона основания которой равна 5м высота7м

Решение ABCDAA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма ndash это прямая призма в основании которой лежит квадрат

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = Sкв= AB2 = 52 = 25м2

Sбок = Росн middot h h = H = 7м

Росн = Ркв = 4AB = 4middot 5 = 20м

Следовательно Sбок = 20 middot 7 = 140м2

Следовательно Sполн = 140 + 2 middot 25 = 190м2

V = Sосн bull H

Следовательно V = 25 middot 7 = 175м3

Пирамида ndash это многогранник состоящий из плоского многоугольника точки лежащей вне плоскости этого многоугольника и отрезков соединяющих эту точку с вершинами многоугольника

Этот многоугольник называется основанием пирамиды отрезки ndash боковыми ребрами

Боковые грани пирамиды ndash треугольники Пирамида называется прямой если ее высота падает в центр основания

6

Пирамида называется правильной если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

Sбок = 12Росн middot h где h ndash высота боковой грани ndash апофема

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 12 см а диагональ боковой грани 20 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

2 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 24м а диагональ боковой грани 26м Найти площадь полной поверхности и объем призмы

3 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 40 см а диагональ боковой грани 50 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

4 В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 20см а высота самой пирамиды 16см Найти площадь полной поверхности и объем пирамиды

5 Измерения прямоугольного бруска 3см 4см 5см Если увеличить каждое ребро на х см то поверхность увеличится на 54см2 Как увеличится объем

6Чугунная труба имеет квадратное сечение ее внешняя ширина25см толщена стенок 3см Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 73 гсм3)

Тема Цилиндр и конус Практическая работа 2

Цилиндр ndash это тело полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон Эта сторона называется осью вращения а сторона ей противоположная ndash образующей тк при вращении она образует поверхность цилиндра У прямого цилиндра высота и образующая совпадают

Основание цилиндра ndash круг

Осевое сечение цилиндра ndash прямоугольник

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

7

Sосн = π R2 ndash площадь круга

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H где Н = а

Задача найти площадь полной поверхности и объем цилиндра радиус основания которого 9см а диагональ осевого сечения 30см

Решение

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = π R2

R = 9см по условию следовательно Sосн = 81πсм2

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR следовательно l = 18πсм

Пусть осевое сечение цилиндра есть прямоугольник ABCD с диагональю BDтогда образующая а = AB Чтобы найти AB рассмотрим треугольник ABD Он прямоугольный тк является половиной прямоугольника AB = Dкр = 2R = 2 middot 9 = 18см

Тогда по теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 следовательно AB = radic1198611198611198611198612 minus 1198601198601198611198612 =

radic302 minus 182 = radic900 minus 324 = radic576 = 24см- а

Следовательно Sбок = 18π middot 24 = 432πсм2

Следовательно Sполн = 432π + 2 middot 81π = 432π +192π = 624πсм2

V = Sосн middot H Н = а

V = 81π middot 24 = 1944πсм3

Конус ndash это тело полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Этот катет называется осью вращения а гипотенуза ndash образующей тк образует при вращении поверхность конуса

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник

В основании конуса лежит круг

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

5

Тема Призма и пирамида Практическая работа 1 Призма ndash многогранник состоящий из двух равных многоугольников лежащих в

параллельных плоскостях и параллельных отрезков соединяющих соответственные вершины этих многоугольников

Многоугольники называются основаниями призмы параллельные отрезки ndash боковыми ребрами

Название призмы происходит от названия многоугольника лежащего в основании призмы треугольная четырехугольная и тд

Призма называется прямая если ее боковые ребра перпендикулярны основанию в противном случае призма называется наклонная

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sбок = Росн middot h если призма прямая то h = H

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H

Задача найти площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной призмы сторона основания которой равна 5м высота7м

Решение ABCDAA1B1C1D1 - правильная четырехугольная призма ndash это прямая призма в основании которой лежит квадрат

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = Sкв= AB2 = 52 = 25м2

Sбок = Росн middot h h = H = 7м

Росн = Ркв = 4AB = 4middot 5 = 20м

Следовательно Sбок = 20 middot 7 = 140м2

Следовательно Sполн = 140 + 2 middot 25 = 190м2

V = Sосн bull H

Следовательно V = 25 middot 7 = 175м3

Пирамида ndash это многогранник состоящий из плоского многоугольника точки лежащей вне плоскости этого многоугольника и отрезков соединяющих эту точку с вершинами многоугольника

Этот многоугольник называется основанием пирамиды отрезки ndash боковыми ребрами

Боковые грани пирамиды ndash треугольники Пирамида называется прямой если ее высота падает в центр основания

6

Пирамида называется правильной если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

Sбок = 12Росн middot h где h ndash высота боковой грани ndash апофема

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 12 см а диагональ боковой грани 20 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

2 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 24м а диагональ боковой грани 26м Найти площадь полной поверхности и объем призмы

3 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 40 см а диагональ боковой грани 50 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

4 В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 20см а высота самой пирамиды 16см Найти площадь полной поверхности и объем пирамиды

5 Измерения прямоугольного бруска 3см 4см 5см Если увеличить каждое ребро на х см то поверхность увеличится на 54см2 Как увеличится объем

6Чугунная труба имеет квадратное сечение ее внешняя ширина25см толщена стенок 3см Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 73 гсм3)

Тема Цилиндр и конус Практическая работа 2

Цилиндр ndash это тело полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон Эта сторона называется осью вращения а сторона ей противоположная ndash образующей тк при вращении она образует поверхность цилиндра У прямого цилиндра высота и образующая совпадают

Основание цилиндра ndash круг

Осевое сечение цилиндра ndash прямоугольник

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

7

Sосн = π R2 ndash площадь круга

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H где Н = а

Задача найти площадь полной поверхности и объем цилиндра радиус основания которого 9см а диагональ осевого сечения 30см

Решение

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = π R2

R = 9см по условию следовательно Sосн = 81πсм2

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR следовательно l = 18πсм

Пусть осевое сечение цилиндра есть прямоугольник ABCD с диагональю BDтогда образующая а = AB Чтобы найти AB рассмотрим треугольник ABD Он прямоугольный тк является половиной прямоугольника AB = Dкр = 2R = 2 middot 9 = 18см

Тогда по теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 следовательно AB = radic1198611198611198611198612 minus 1198601198601198611198612 =

radic302 minus 182 = radic900 minus 324 = radic576 = 24см- а

Следовательно Sбок = 18π middot 24 = 432πсм2

Следовательно Sполн = 432π + 2 middot 81π = 432π +192π = 624πсм2

V = Sосн middot H Н = а

V = 81π middot 24 = 1944πсм3

Конус ndash это тело полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Этот катет называется осью вращения а гипотенуза ndash образующей тк образует при вращении поверхность конуса

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник

В основании конуса лежит круг

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

6

Пирамида называется правильной если она прямая и в основании лежит правильный многоугольник

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

Sбок = 12Росн middot h где h ndash высота боковой грани ndash апофема

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 12 см а диагональ боковой грани 20 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

2 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 24м а диагональ боковой грани 26м Найти площадь полной поверхности и объем призмы

3 В правильной четырехугольной призме боковое ребро 40 см а диагональ боковой грани 50 см Найти площадь полной поверхности и объем призмы

4 В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 20см а высота самой пирамиды 16см Найти площадь полной поверхности и объем пирамиды

5 Измерения прямоугольного бруска 3см 4см 5см Если увеличить каждое ребро на х см то поверхность увеличится на 54см2 Как увеличится объем

6Чугунная труба имеет квадратное сечение ее внешняя ширина25см толщена стенок 3см Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 73 гсм3)

Тема Цилиндр и конус Практическая работа 2

Цилиндр ndash это тело полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон Эта сторона называется осью вращения а сторона ей противоположная ndash образующей тк при вращении она образует поверхность цилиндра У прямого цилиндра высота и образующая совпадают

Основание цилиндра ndash круг

Осевое сечение цилиндра ndash прямоугольник

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований

Sполн = Sбок + 2Sосн

7

Sосн = π R2 ndash площадь круга

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H где Н = а

Задача найти площадь полной поверхности и объем цилиндра радиус основания которого 9см а диагональ осевого сечения 30см

Решение

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = π R2

R = 9см по условию следовательно Sосн = 81πсм2

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR следовательно l = 18πсм

Пусть осевое сечение цилиндра есть прямоугольник ABCD с диагональю BDтогда образующая а = AB Чтобы найти AB рассмотрим треугольник ABD Он прямоугольный тк является половиной прямоугольника AB = Dкр = 2R = 2 middot 9 = 18см

Тогда по теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 следовательно AB = radic1198611198611198611198612 minus 1198601198601198611198612 =

radic302 minus 182 = radic900 minus 324 = radic576 = 24см- а

Следовательно Sбок = 18π middot 24 = 432πсм2

Следовательно Sполн = 432π + 2 middot 81π = 432π +192π = 624πсм2

V = Sосн middot H Н = а

V = 81π middot 24 = 1944πсм3

Конус ndash это тело полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Этот катет называется осью вращения а гипотенуза ndash образующей тк образует при вращении поверхность конуса

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник

В основании конуса лежит круг

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

7

Sосн = π R2 ndash площадь круга

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR

Формула для нахождения объема призмы

V = Sосн middot H где Н = а

Задача найти площадь полной поверхности и объем цилиндра радиус основания которого 9см а диагональ осевого сечения 30см

Решение

Sполн = Sбок + 2Sосн

Sосн = π R2

R = 9см по условию следовательно Sосн = 81πсм2

Sбок = lmiddot а где а ndash образующая

l = 2πR следовательно l = 18πсм

Пусть осевое сечение цилиндра есть прямоугольник ABCD с диагональю BDтогда образующая а = AB Чтобы найти AB рассмотрим треугольник ABD Он прямоугольный тк является половиной прямоугольника AB = Dкр = 2R = 2 middot 9 = 18см

Тогда по теореме Пифагора BD2 = AB2 + AD2 следовательно AB = radic1198611198611198611198612 minus 1198601198601198611198612 =

radic302 minus 182 = radic900 minus 324 = radic576 = 24см- а

Следовательно Sбок = 18π middot 24 = 432πсм2

Следовательно Sполн = 432π + 2 middot 81π = 432π +192π = 624πсм2

V = Sосн middot H Н = а

V = 81π middot 24 = 1944πсм3

Конус ndash это тело полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов Этот катет называется осью вращения а гипотенуза ndash образующей тк образует при вращении поверхность конуса

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник

В основании конуса лежит круг

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания

Sполн = Sбок + Sосн

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

8

Sбок = 12lосн middot а где а ndash образующая

Формула для нахождения объема призмы

V = 13Sосн middot H

Задачи

1 Образующая конуса 65 см высота 52см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

2 Образующая конуса 45 см высота 27см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

3 Образующая конуса 35 см высота 28см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

4 Образующая конуса 25 см высота 20см Найти площадь полной поверхности и объем конуса

5Куча щебня имеет коническую форму радиус основания которой 2м а образующая 25м Найдите объем кучи щебня

6Свинцовая труба (плотность свинца 114 гсм3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм Какова масса 25м этой трубы

Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo

Цель работы целью выполнения практической работы является овладение студентом основами проектирования технологии разработки грунта при отрывке котлована под сооружение кроме того студент должен познакомиться с методикой разработки основного документа проекта производства работ ndash элементов технологической карты на отрывку котлована под сооружение Общая часть Объёмы земляных масс подсчитывают многократно в процессе проектирования ndash по чертежам при выполнении строительных процессов ndash по натуральным замерам В состав земляных работ обычно входят вертикальная планировка площадок Вертикальную планировку выполняют для выравнивания естественного рельефа площадок отведённых под строительство различных зданий и сооружений а также для благоустройства территорий Земляные работы по вертикальной планировке включают выемку грунта на одних участках площадки перемещение отсыпку и уплотнение его на других участках (в зоне насыпи) Вертикальную планировку площадок на участке выемок осуществляют до устройства в них коммуникаций и фундаментов а на участке насыпей ndash после устройства этих сооружений Объёмы работ по вертикальной планировке площадок измеряются квадратными метрами поверхности разработка котлованов и траншей Подсчёт объёмов разрабатываемого грунта сводится к определению объёмов различных геометрических фигур определяющих форму того или иного земляного сооружения При этом допускается что объём грунта ограничен плоскостями и отдельные неровности не влияют на точность расчёта

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

9

Объём грунта измеряют кубическими метрами плотного тела Объём котлована вычисляют по формуле

Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1] где Н ndash глубина котлована м а b ndash длины сторон котлована у основания м а1 b1 ndash длины сторон котлована поверху (а1=а+2Нm b1=b+2Нm) m ndash коэффициент откоса

Рис1 Геометрическая схема определения объёма котлована

При отрывке ям под отдельно стоящие фундаменты иногда используют формулу Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)

где Fн и Fв ndash соответственно площади котлована по дну и поверху м2 При расчёте объёмов траншей и других линейно протяжённых сооружений их продольные профили делят на участки между точками перелома Для каждого такого участка объём траншеи вычисляют отдельно после чего их суммируют Так объём траншеи на участке между пунктами 1 и 2

V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2 или

V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2

Рис2 Геометрическая схема определения объёма траншеи

Рис3 Разрез котлована

С ndash сооружение О ndash обратная засыпка обратная засыпка грунта Для определения объёма обратной засыпки пазух котлована (траншеи) когда объём его (её) известен нужно из объёма котлована (траншеи) вычесть объём подземной части сооружения (объём фундамента)

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

10

Тема Решение задач с использованием производной Практическая работа 4

Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений

величин Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y =

f(x)на отрезке [ a b] 1Найти производную функции f(x)acute 2Найти стационарные и критические точки функции лежащие внутри отрезка [ a b] 3Вычислите значения функции y = f(x) в точках отобранных на втором шаге (п 2) и в

точках a и b выбрать среди значений наименьшее (это будет Унаим) и наибольшее (это будет Унаибольш)

Например найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x3 ndash 3x2 ndash 45x + 1 на отрезке [ - 4 6]

Решение воспользуемся алгоритмом 1) уacute = 3х2 ndash 6х ndash 45 2) 3х2 ndash 6х ndash 45 = 0

х2 ndash 2х ndash 15 = 0

х1 = - 3 х2 = 5 видим что обе точки принадлежат отрезку [ - 4 6] 3)Найдем значение функции в этих точках и концах отрезка у( - 3) = 82 у(5) = - 174 у(-4) = 69 у(6) = -161 Выберем среди найденных значений наибольшее и наименьшее Унаим = - 174 при х = 5 Унаибольш = 82 при х = - 3

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Бак имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием должен вмещать V литров воды При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшим

Решение Первый этап Составление математической модели 1) Оптимизируемая величина (ОВ) ndash площадь поверхности бака поскольку в задаче

требуется выяснить когда эта площадь будет наименьшей Обозначим ОВ буквой S 2) Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда

Объявим независимой переменной (НП) сторону квадрата служащего основанием бака обозначим ее буквой х Ясно что х gt 0 Других ограничений нет значит 0 lt х lt + infin Таковы реальные границы изменения независимой переменной х = (0 + infin)

3)Если h ndash высота бака то V = х2h откуда находим h = 1198811198811199091199092

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной х и четырех прямоугольников со

сторонами х и 1198811198811199091199092

Значит S = x2 + 4 1198811198811199091199092

x = x2 + 4119881119881119909119909

Итак S = x2 + 4119881119881119909119909

где х (0 + infin) Математическая модель задачи составлена

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

11

Второй этап Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S = x2 + 4119881119881

119909119909 где х isin (0 + infin) надо найти Унаим Для этого

нужна производная функции

Sacute = 2x ndash 41198811198811199091199092

= 2(1199091199093minus2119881119881)1199091199092

На промежутке (0 + infin) критических точек нет а стационарная точка только одна

Sacute=0 при х = radic21198811198813 Заметим что при х lt radic21198811198813 выполняется неравенство Sacute lt 0 а при х gt radic21198811198813 выполняется

неравенство Sacute gt 0 Значит х = radic21198811198813 ndash единственная стационарная точка причем точка минимума функции на заданном промежутке а потому в этой точке функция достигает своего наименьшего значения

Третий этап Ответ на вопрос задачи В задаче спрашивается какой должна быть сторона основания чтобы бак имел

наименьшую поверхность Мы выяснили что сторона квадрата служащего основанием такого бака равна radic21198811198813

Применение производной в физике и геометрии

Используя геометрический смысл производной можно исследовать функцию на

монотонность и экстремумы находить уравнение касательной проведенной к графику функции С этим вы уже познакомились ранее

Используя физический смысл производной можно находить скорость функции в некоторый момент времени

Например Материальная точка движется по прямой согласно закону

s(t) = 12t2 - 23 t3 где s(t) ndash путь в метрах и t ndash время в секундах Найдите скорость в момент

времени t = 2с

Решение v = s(t)acute = (12t2 - 23 t3)acute = 24t ndash 2t2

v( 2 ) = s( 2 )acute = 24 2 ndash 2 22 = 16 мс Задачи 1Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных чисел так чтобы сумма

этих чисел была наибольшей 2Из круглого бревна диаметром 40см требуется вырезать балку прямоугольного

сечения с основанием b и высотой h Прочность балки пропорциональна bh2 При каких значениях b и h прочность будет наибольшей

3Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

4Колесо вращается так что угол поворота пропорционален квадрату времени Первый оборот был сделан колесом за 8 с Найдите угловую скорость колеса через 48с после начала вращения

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

12

5Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м Нижний конец лестницы начинает скользить с постоянной скоростью 2 мс С какой скоростью опускается в момент времени t верхний конец лестницы с каким ускорением

6Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 8х2 ndash 9 на отрезке [-11] 7 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 ndash 3х2 ndash 9х на отрезке [34] Выполнить самостоятельно 1Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см Какой длины должны

быть катеты чтобы площадь треугольника была наибольшей 2Круглый металлический диск расширяется при нагревании так что его радиус

равномерно увеличивается на 001 смс С какой скоростью увеличивается площадь диска когда его радиус равен 2 см

3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х4 ndash 2х2 + 4 на отрезке [23]

Тема Дифференциальное и интегральное исчисление ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 5

Применение производной для построения графиков и решения прикладных задач Цель работы Проверить на практике знание понятия производной функции понимание геометрического смысла производной умение применять их для решения задач умение находить производные функций умение находить промежутки возрастания и убывания функции экстремумы промежутки выпуклости точки перегиба асимптоты функции применять полученные знания при построении графика функции и исследовании функции по общей схеме Ход работы

1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический

смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак

существования экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на

монотонность и экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной

Почему в точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

13

bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой

bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит правило нахождения точки перегиба

bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus91199091199092 + 15119909119909 minus 16

3)самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б)

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) = 1198861198861199091199093 +1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4Итоги занятия Вид работы Баллы роспись

1 теория

2 тип расчет

итог

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

14

Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16 3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

15

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889

Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 7 Основные методы интегрирования

Цель работы закрепить навыки нахождения неопределенных интегралов различными способами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Что является основной задачей интегрального исчисления bull Какая функция называется первообразной для данной функции на заданном

промежутке (пример) bull В чем состоит основное свойство первообразной bull Что называется неопределенным интегралом bull Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции bull Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла bull В чем заключаются правило интегрирования выражения содержащего постоянный

множитель bull В чем заключаются правило интегрирования алгебраической суммы функций bull Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции bull В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла bull Как из формул дифференцирования получают формулы интегрирования bull В чем состоит метод непосредственного интегрирования функций (пример) bull Как проверить правильно ли найден интеграл bull В чем состоит метод подстановки при нахождении неопределенного интеграла

(пример) bull В чем состоит метод интегрирования по частям (пример)

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Задание Найти неопределенный интеграл

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

16

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n

1 3 4

2 4 5

3 6 7

3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Непосредственное интегрирование гл5 3539 42 67(образцы) 404471100 2 Интегрирование подстановкой гл5 146151156182(образцы) 150 152163186 4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Задание Найти неопределенный интеграл

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119899119899 minus 119899119899radic119909119909119899119899+1119898119898+1 + 119898119898 ∙ 119899119899 ∙ cos 119909119909)119889119889119909119909

bull int 119898119898+119899119899119898119898∙119909119909+119899119899

119889119889119909119909

bull int(119898119898 ∙ 119909119909119898119898minus1 minus 119899119899) ∙ (119909119909119898119898 minus 119899119899 ∙ 119909119909 + 5)119898119898∙119899119899119889119889119909119909

bull int119909119909119899119899 ∙ sin(119909119909119899119899+1 + 119898119898)119889119889119909119909

bull int (ln 119909119909)119899119899

119898119898∙119909119909 119889119889119909119909

Вариант m n 1 7 8 2 2 3 3 6 3 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

17

Тема Вычисление определенных интегралов Практическая работа 8

Определенный интеграл ndash это приращение первообразной на некотором отрезке [ a b] Конечно же самой первообразной не дано ее необходимо найти вычислив неопределенный интеграл

Воспользуемся формулой Ньютона ndash Лейбница

int 119891119891(119909119909)119889119889119909119909119887119887119886119886 = F(x)

119887119887|119886119886

= F(b) ndash F(a)

Например вычислить определенный интеграл int 2х11988911988911990911990921 = x

2|1 = 2 ndash 1 = 1

int (31199091199092 minus 2)11988911988911990911990921 = (x3 ndash x)

2|1 = (23 ndash 2) ndash ( 13 ndash 1) = 6

Задачи

1int 4х51198891198891199091199093minus1 2int 1199091199091198891198891199091199094

2

3int (119909119909 + 1)11988911988911990911990940 4int (1 minus 3119909119909)1198891198891199091199090

minus2

5int (2119909119909 minus 31199091199092)1198891198891199091199092minus1 6int (4119909119909 minus 119890119890119909119909)1198891198891199091199091

0

7int 119889119889119909119909119909119909

1198901198901 8int 119904119904119904119904119899119899119909119909119889119889119909119909120587120587

0

9int 11988811988811988811988811990411990411990911990911988911988911990911990912058712058760 10int 119905119905119905119905119909119909119889119889119909119909120587120587

0

Выполнить самостоятельно

11int radic11990911990941 119889119889119909119909 12int 2radic119909119909

91 dx

13int (1199091199092 + 2119909119909 minus 3)11988911988911990911990932 14int (31199091199092 minus 119909119909 minus 1)1198891198891199091199095

0

Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач

Цель работы формировать навыки применения определенного интеграла при решении задач прикладного характера Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое определенный интеграл от функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) по отрезку [119886119886 119887119887] bull В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла bull В чем состоит физический смысл определенного интеграла bull С помощью какой формулы вычисляют определенный интеграл bull Каковы основные свойства определенного интеграла

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

18

bull Какова схема решения задачи на вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла

bull Какова схема решения физических задач с помощью определенного интеграла bull а) вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

б) вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = radic119909119909119910119910 = 2 119909119909 = 9 б)119910119910 = 1199091199092 119910119910 = 2 minus 119909119909 у = 0 2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 minus2119905119905 minus 1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 5 секунд после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 6 см если для сжатия ее на 3 см нужно приложить силу 15 Н 3) Упражнения из учебника (в группах взаимопроверка по ответам в учебнике) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями 307308-криволинейная трапеция

320326 гл 5 (образцы) 317(сумма) 329(разность) криволинейных трапеций

2 вычисление пути пройденного телом при неравномерном движении

366370371(образцы) 368372374

3 вычисление работы затраченной на растяжение или сжатие пружины

381382 гл5 (образцы) 383 384

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Найти площадь фигуры ограниченной линиями а)119910119910 = 1199091199092 + 1 119910119910 = 0 119909119909 = minus1 119909119909 = 2 б)119910119910 = 1199091199092 minus 8119909119909 + 16119910119910 = 6 minus 119909119909

2 Скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением 119907119907(119905119905) = 31199051199052 + 119905119905 +1(м с) Вычислить путь пройденный точкой за 4 секунды после начала движения 3 Вычислить работу совершенную при растяжении пружины на 2 см если для сжатия ее на 4 см нужно приложить силу 40 Н 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 10 по теме laquoВычисление объёмов тел

вращенияraquo

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

19

Цель отработка практических навыков вычисления объёмов различных тел вращения

Указания

1 Каждую задачу сопровождайте чертежом (по необходимости)

2 Задачи можно решать в любом порядке

3 Чертежи выполняйте карандашом и по линейке

4 В ходе решения записывайте формулы которыми пользуйтесь

5 При решении ситуационных задач в условии указывайте геометрическое тело а не заданный предмет

6 Решение оформляйте аккуратно и грамотно

Задания

1 Найдите объём тела полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 6 см и гипотенузой 10 см вокруг большего катета

2 Моток медной проволоки длиной 150 м имеет массу 604 г Найдите диаметр проволоки в миллиметрах если плотность меди 8900 кгм3

2 Радиус круглого железного стержня 10 мм длина 3 м Найдите массу стержня в килограммах если плотность материала 7800 кгм3

3 Найдите массу круглой медной пластины радиус которой 75 мм а толщина 25 мм плотность меди 8800 кгм3

3 Цилиндрическая цистерна внутренний радиус которой 18 м имеет высоту 105 м Какое количество нефти вмещает цистерна если плотность нефти 850 кгм3 Выполните вычисления с точностью до 1 т

4 Цилиндрическая труба с толщиной стенок 5 мм имеет внутренний диаметр 75 мм Найдите массу трубы длиной 6 м если плотность чугуна из которого сделана труба равна 7200 кгм3

4 Высота цилиндрической консервной банки вместимость которой 4000 см3 равна диаметру дна Найдите высоту и радиус банки

5 Куча щебня имеет форму конуса образующая которого равна 5 м а радиус основания 4 м Сколько рейсов должен совершить 3 ndash тонный грузовик чтобы перевезти кучу щебня Плотность щебня 2200 кгм3

5 Куча песка имеет форму конуса образующая которого равна 71 м длина окружности основания кучи 314 м За сколько рейсов 5 ndash тонный самосвал перевезёт кучу песка если плотность песка 1000 кгм3

6 Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 м и 4 м образующая наклонена к плоскости основания под углом 45deg Найдите объём усечённого конуса

6 Сосуд имеет форму усечённого конуса Высота сосуда 54 см а длины окружностей оснований 132 см и 192 см Найдите вместимость сосуда в литрах

7 Требуется отлить металлический шар диаметром 5 см из шаров диаметром 1 см Сколько для этого потребуется шаров

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

20

7 Пять шаров радиусы которых равны 10 20 30 40 и 49 мм нужно переплавить в один шар Найдите радиус этого шара

Критерии оценки laquo5raquo - решены правильно все задачи

laquo4raquo - решены все задачи но в одной из них допущена ошибка

laquo3raquo - решены правильно три задачи

Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Цель работы формировать умение исследовать функции с помощью производной и строить графики функций Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull 1Что называют производной функции 119910119910 = 119891119891(119909119909) в данной точке1199091199090 bull Каков геометрический смысл производной bull В чем заключается физический смысл производной bull 4Что называют производной второго порядка и каков ее физический смысл bull Как найти производную сложной функции bull В чем заключается признак возрастания и убывания функции признак существования

экстремума bull 7Как с помощью первой производной исследовать функцию на монотонность и

экстремумы bull Как отыскивают экстремумы функции с помощью второй производной Почему в

точке максимума вторая производная отрицательна а в точке минимума ndash положительна

bull В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений

bull Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке bull 10Как по знаку второй производной определяются выпуклость и вогнутость кривой bull 11Что называется точкой перегиба и каков признак ее существования В чем состоит

правило нахождения точки перегиба bull Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

1) а) 119910119910 = 1199091199093 minus 31199091199092 + 4 б) 119891119891(119909119909) = 1199091199092

2119909119909+3

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [0 6] значения функции 119891119891(119909119909) = 1199091199093 minus 91199091199092 + 15119909119909 minus 16

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

21

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Исследовать функцию на экстремум найти точки перегиба асимптоты и построить график

В1 а) у= - х3+6х2- 9х+3 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1х+5

В2 а) у= 2х3+3х2- 1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus4х+3

В3 а) у= - 2х3-3х2+1 б) 119891119891(119909119909) = х2minus1хminus4

2 Найти наибольшее и наименьшее на отрезке [119898119898119899119899] значения функции 119891119891(119909119909) =

1198861198861199091199093 + 1198871198871199091199092 + 119888119888119909119909 + 119889119889 Вариант 119886119886 119887119887 119888119888 119889119889 119898119898 119899119899

1 -1 9 48 5 -3 10

2 1 -18 105 -35 4 8

3 -1 -3 -45 6 -6 4

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Тема Обыкновенные дифференциальные уравнения

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 12 ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать навыки решения обыкновенных дифференциальных уравнений Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) 1 Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 Дать определение общего решения дифференциального уравнения 3 Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными 4 Дать определение линейного дифференциального уравнения первого порядка 5 Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка y = f(xy) с

разделяющими переменными

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 119910119910 = 3119909119909 + 1 119909119909119910119910 = 119910119910 minus 1

2 Найти общее решение дифференциального уравнения методом разделения переменных

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

22

cos 119909119909119910119910 = (1 + 119910119910) sin 119909119909

3 Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее указанным начальным условиям 1199091199092119910119910 + 1199101199102 = 0 1199101199100 = 1при 1199091199090 = minus4

4 Решить линейное уравнение первого порядка 119910119910 minus

119910119910119909119909

= 119909119909

5 Найти частное решение однородного дифференциального уравнения (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Проверить подстановкой что данная функция является общим решением (интегралом) данного дифференциального уравнения 1 119910119910 = 1199091199092 + 119909119909 + 119862119862 119889119889119910119910 = (2119909119909 + 1) 2 119910119910 = 1198621198621198901198902119909119909 119910119910 = 2119910119910

2 Найти общие решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных 1 119910119910119910119910 + 119909119909 = 0 2 119910119910 = sin 119909119909

3 Найти частные решения уравнений первого порядка удовлетворяющие указанным начальным условиям 1 119909119909119910119910 =

119910119910119897119897119899119899119909119909

1199101199100 = 1при 1199091199090 = 119890119890 2 1199091199092120597120597119910119910120597120597119909119909

= 1199101199101199101199100 = 5 при 1199091199090 = 0

4 Решить линейные уравнения первого порядка 1

119910119910 + 1199091199092119910119910 = 2119890119890minus11990911990933 2 119910119910 minus 119910119910 = 119890119890119909119909

5 Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений 1 (1199101199102 minus 31199091199092)119889119889119910119910 + 2119909119909119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = minus2 2

2(119909119909 + 1)119889119889119910119910 minus 119910119910119889119889119909119909 = 0

если при 119909119909 = 1119910119910 = 2

4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись

1 теория

2 упражнения

3 тип расчет

итог

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

23

Практическая работа 13 Операции над множествами

ЦЕЛЬ РАБОТЫ формировать умение выполнять операции над множествами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Что такое ldquoобъединение двух множествrdquo bull Что такое ldquoпересечение двух множествrdquo bull Что такое ldquoразность множеств А и Вrdquo bull Что такое ldquoдополнение множества А до множества Вrdquo Какое его обозначение bull Что такое ldquoуниверсальное множество для данной системы множествrdquo Приведите

примеры bull Что такое ldquoдополнение данного множестваrdquo Как оно обозначается Укажите

диаграммы Эйлера- Венна для объединения множеств А и В пересечения множеств А и В разности множеств В и А разности множеств А и В дополнения множества А до множества В дополнения множества А

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

Даны следующие пары множеств А = а б в г д е В = (а в д ж) Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств а) А = (А В) б) = (А В) А в) (А В) С = (А В) (СВ)

3) Упражнения (в группах взаимопроверка по эталону решения) 1 Найдите объединение пересечение разность множеств А и В если а) А=]minusinfin 7] В=[1 +infin[ б) А=[3 7]В = [0 9] в) А=]minusinfin 0]В = [3 +infin[ 2 Даны множества А ndash тупоугольных треугольников В ndash прямоугольных треугольников С ndash треугольников с углом в 500 Постройте для данных множеств диаграмму Эйлера-Венна выделив штриховкой область изображающую множество (А В) С 3 S ndash множество правильных многоугольников Т ndash множество прямоугольников Из каких фигур состоит пересечение и объединение множеств S и Т Какие из фигур изображенных на рис 9 принадлежат пересечению множеств S и Т а какие ndash их объединению

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

24

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) 1 Даны следующие пары множеств 1) А = а б в В = а б в г д 2) А = г д е В = а б в 3) А = е д г В = г д е Задание а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество б) связаны ли пары одним из соотношений = в) найдите пересечение А В г) найдите разность А В д) найдите А В е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна 2 Проверьте равенство множеств 1) а) А = ( ) А б) В А = (А В) в) А (В С) = (А С) (В С) 2) а) В = (А В) б) В А = (А В) в) (А В) С = (А С) (В С) 3) а) А = ( ) А б) В А = (А ) в) (А В) С = (А В) (А С) 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач

Цель работы формировать умение выполнять действия над графами Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)

bull Дайте определение графа bull Сформулируйте понятие смежных ребер bull Дайте определение правильного графа

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

25

bull Запишите формулу суммы степеней графа bull Дайте определение изолированной вершины графа bull Дайте определение маршрута графа bull Дайте определение цикла графа bull Сформулируйте понятие связности графа bull Дайте определение Эйлерова графа bull Дайте понятие дерева и перечислите его свойства

2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем)

17 13 1 Дан граф А) Запишите количество ребер и вершин графа В) Определить кратчайший путь из вершины 1 в вершину 8 для графа представленного на рисунке С) Запишите номера вершин имеющих одинаковую степень 1

4

2

5

3

6

2 Граф задан диаграммой А) Составьте маршруты длины 5 из вершиныV2 в вершину V5 Составьте простую цепь соединяющую эти вершины В) Постройте простой цикл содержащий вершину V4 С) Определите вид заданного графа

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

26

7

10

8

11

3 В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями Числа стоящие на пересечениях строк и столбцов означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями Если пересечение строки и столбца пусто то станции не являются соседними Укажите схему соответствующую таблице 13 A B C D E F

A 5 B 5 9 3 8 C 9 4 D 3 2 E 8 4 2 7 F 7

16 A B C D E F A 2 B 2 3 2 3 C 3 2 D 2 1 E 3 2 1 6 F 6

V

V

VV

V

VV

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

VV

V

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V1

V2

V3 V4 V5

V6

V7

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

27

14

А В С D А 4 5 В 4 3 6 С 3 D 5 6

17

A B C D E F A 4 B 4 6 3 6 C 6 4 D 3 2 E 6 4 2 5 F 5

15

А В С D Е А 1 4 1 В 1 3 С 4 2 D 3 E 1 2

18

А В С D Е А 3 1 В 4 1 С 3 4 2 D 1 E 1

4) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

1 2 8 14 2 3 9 15 3 4 10 16 4 5 11 17 5 6 12 18 5) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 Тип расчет итог

Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач

Цель работы формировать умение решать простейшие комбинаторные задачи Ход работы 1) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка) bull Сформулировать определение вероятности bull Сформулировать свойства вероятности

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

28

bull Сформулировать теорему сложения вероятностей bull Сформулировать теорему вероятности произведения двух зависимых событий bull Записать формулу Байеса 2) Пример типового расчета (всей группой вместе с преподавателем) 17 13 19 25 1Решить задачу на использование классического определения вероятности 1 Из букв слова laquoвероятностьraquo наугад

выбирается одна буква Какова вероятность того что выбранная буква будет А-согласной В ndash гласной С ndash буква laquoоraquo

4 В урне 6 белых и 4 черных шаров Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону Этот шар оказался белым После этого из урны вынимают еще один шар Найти вероятность того что этот шар тоже будет белым

2 Из урны содержащей 10 белых шаров и 8 черных вынимают подряд все находящиеся в ней шары Найти вероятность того что вторым по порядку будет вынут белый шар

5

Бросаются две монеты Какова вероятность что обе монеты упадут laquoрешкойraquo кверху

3 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5 а во втором от 6 до 10 Из каждого ящика вынули по одному шару Найти вероятность следующих событий

А- сумма номеров вынутых шаров не меньше 7

В-сумма номеров вынутых шаров равна 11

С-сумма номеров вынутых шаров не больше 11

6 Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и положены в урну После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка Какова вероятность того что число на взятой карточке окажется кратным 5

2 Решить задачу на использование классического определения вероятности 7 Игральная кость бросается один раз

Найти вероятность следующих событий А- появление не менее 4 очков В- появление не более 4 очков

10 Брошены две игральные кости Какова вероятность того что абсолютная величина выпавших очков равна 2

8 Игральная кость бросается два раза Найти вероятность того что оба раза появиться одинаковое число очков

11

В лотерее 1000 билетов Из них два билета выпадает выигрыш 200 рублей на 4 билета -100 рублей на десять ndash по 20 рублей на тридцать ndash по 10 рублей на пятьдесят - по 5 рублей на двести ndash по 1 рублю остальные билеты без выигрыша Какова вероятность выигрыша по билету не менее 5 рублей

9 Бросаются одновременно две игральные кости Найти вероятности следующих

12 Произвольным образом выбирается двузначное число

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

29

событий

А- сумма выпавших очков равна 6

В- произведение выпавших очков равно 6

Какова вероятность того что это число окажется А-кратным 3 В- кратным 6 С- кратным 50

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей 13 В ящике находятся пуговицы различных

цветов белыхndash 50 красных ndash 20 зеленых ndash 20 синих - 10 Какова вероятность того что взятая наугад пуговица окажется синего или зеленого цвета

16 В магазин поступили телевизоры 60 которых поставило предприятие 25 -второе и 15 - третье Какова вероятность того что купленный телевизор изготовлен на первом и третьем предприятии

14 Вероятность того что стрелок произведя выстрел выбивает 10 очков равна 04 9 очков -03 и наконец 8 или меньше очков ndash 03 Найти вероятность того что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков

17

Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 085 а для второго -08 Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу Найти вероятность того что в мишень попадет хотя бы один спортсмен

15 При записи фамилий участников соревнований общее число которых 420 оказалось что начальной буквой фамилий у 10 из них была laquoАraquo у 6-laquoЕraquo у 9-laquoИraquo у 12-laquoОraquo у 5-laquoУraquo у 3-laquoЮraquo у всех остальных фамилия начиналась с согласной Определить вероятность что фамилия участника начинается с гласной

18

Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна Какова вероятность того что будет вынута пика или туз

3 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

19 Брошена игральная кость Найти

вероятность того что выпадет четное или кратное трем число очков

22 Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А В С Вероятность получения пакета из города А равна 06 а из города В-01 Найти вероятность того что очередной пакет будет получен из города С

20 Найти вероятность того что взятое наудачу двузначное число окажется кратным либо 2 либо 5 либо тому и другому одновременно

23

Из первого предприятия поступило 200 пробирок из которых 190 стандартных а со второго ndash 300 из которых 280 стандартных Найти вероятность того что взятая наугад пробирка будет стандартной

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

30

21 В ящике имеются 30 шаров белого цвета и 5 черного Из ящика наудачу берут один за другим 2 шара Найти вероятность того что оба шара окажутся черными

24 В мастерской два мастера работают независимо друг от друга Вероятность того что в течении часа первый мотор не потребует внимание мастера равна 09 для второго мотора эта вероятность того что в течении часа ни один из моторов не потребует внимания мастера

4 Решить задачу по теоремам сложения и умножения вероятностей

25 Студент пришел на зачет зная из 30 вопросов только 24 Какова вероятность сдать зачет если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос

28 Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 075 для второго -08 для третьего ndash 09 Определить вероятность того что все три стрелка попадут в цель

26 Вероятность того что в течение одного рабочего дня возникает неполадка в определенном медицинском приборе равна 005 Какова вероятность того что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня

29

В урне 5 белых и 10 черных шаров Из урны вынимается один шар отмечается его цвет и шар возвращается в урну После этого из урны берется еще один шар Найти вероятность того что оба вынутые шара будут белыми

27 Вероятность того что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен равна 08 второй -09 третий ndash 08 Найти вероятность того что он сдаст только первый экзамен

30 В урне 3 белых и 6 черных шаров Из урны вынимаются сразу два шара Найти вероятность того что эти шары будут разных цветов

3) Самостоятельное выполнение типового расчета (самопроверка по эталону решения) Вариант Задание

1 Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

1 2 8 14 20 26 2 3 9 15 21 27 3 4 10 16 22 28 4 5 11 17 23 29 5 6 12 18 24 30 4) Итоги занятия Вид работы Баллы Подпись 1 теория 2 упражнения 3 тип расчет итог

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература

31

Список использованной литературы

Основная литература

1 Лисичкин В Т Соловейчик И Л Математика в задачах с решениями Учебное пособие В Т Лисичкин И Л Соловейчик ndash СПб Издательство laquoЛаньraquo ndash 2014 ndash 464 с

Дополнительная литература

1 Алгебра и начала анализа 10 -11кл АГМордкович ЛО Денищева и др В двух частях Ч1 Учеб для общеобразоват учреждений ndash 13 ndashе изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 400с

2 Алгебра и начала анализа 10 -11кл В двух частях Ч2 Задачник для общеобразоват учреждений АГ Мордкович ЛО Денищева и др Под ред АГ Мордковича ndash 13 ndash е изд ndash М Мнемозина 2012 ndash 271с

• Предисловие
• Практическая работа 3 laquoПодсчёт объёмов земляных работ и трудоёмкости их выполненияraquo
• • Vк = н6 ∙ [(2а + а1) ∙ b + (2a1 + а) ∙ b1]
  • Vк = н3 (Fн + Fв + radicFн+Fв)
  • V1 ndash 2 = [Fср + m (h1 ndash h2)212] ∙ l1-2
  • V1 ndash 2 = [f12 + f22 ndash m ∙ (h1 ndash h2)26] ∙ l1-2
  • 119T) Повторение теоретических основ (в парах взаимопроверка)
  • • Практическая работа 6 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
    • Практическая работа 7 Основные методы интегрирования
    • • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • (119898∙119909-119899minus 119899-119898+1-119909-119899+1+119898∙119899∙cos-119909)119889119909
      • 119898+119899-119898∙119909+119899 119889119909
      • (119898∙119909-119898minus1minus119899)∙(119909-119898minus119899∙119909+5)-119898∙119899119889119909
      • 119909-119899∙sin-(119909-119899+1+119898)119889119909
      • (ln-119909)-119899-119898∙119909 119889119909
      • • Практическая работа 9 Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур Решение прикладных задач
        • Практическая работа 11 Построение графиков Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
        • Практическая работа 13 Операции над множествами
        • Практическая работа 14 Построение графа по условиям ситуационных задач
        • Практическая работа 15 Решение комбинаторных задач и вероятностных задач
        • Список использованной литературы
        • Основная литература