CẤU TRÚC MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ - hcmut.edu.vnhthoang/ndht/Chuong4_NDHT_K2008.pdf · CẤU TRÚC MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Chương 4: CẤU TRÚC MÔ HÌNH THAM SỐ 4.1. Giới

Chương 4: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ

© Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

1

Chương 4

CẤU TRÚC MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ

Chương 4: CẤU TRÚC MÔ HÌNH THAM SỐ 4.1. Giới thiệu bài toán nhận dạng mô hình có tham số 4.2. Mô hình hệ tuyến tính bất biến 4.3. Mô hình hệ phi tuyến 4.1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN NHẬN DẠNG MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Mô hình ARX Cho hệ thống có tín hiệu vào là u(t), tín hiệu ra là y(t).

Hình 4.1: Hệ thống Giả sử ta thu thập được N mẫu dữ liệu: { })(),(,),1(),1( NyNuyuZ N K= (4.1) Ta cần nhận dạng mô hình toán của hệ thống. Giả sử quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc có thể mô tả bởi phương trình sai phân: )()()1()()1()( 11 kemkubkubnkyakyaky mn +−++−=−++−+ KK (4.2) ⇒ )()()1()()1()( 11 kemkubkubnkyakyaky mn +−++−+−−−−−= KK (4.3) Ký hiệu: [ ]Tmn bbaa KK 11=θ (4.4) [ ]Tmkukunkykyk )()1()()1()( −−−−−−= KKϕ (4.5)

Hệ thống u(t) y(t)

e(t)

u(k) y(k)



2Với ký hiệu như trên (4.3) có thể viết lại dưới dạng: )()()( kekky T += θϕ (4.6) Biểu thức (4.6) cho thấy ta có thể tính được giá trị tín hiệu ra y(k) khi biết tham số của hệ thống, tín hiệu vào, tín hiệu ra trong quá khứ và nhiễu tác động vào hệ thống. Tuy nhiên nhiễu e(k) không thể biết trước nên ta chỉ có thể dự báo tín hiệu ra của hệ thống khi biết tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ. Để nhấn mạnh giá trị dự báo phụ thuộc vào tham số θ , ta viết bộ dự báo dưới dạng: θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.7) Các thuật ngữ: - Biểu thức (4.2) gọi là cấu trúc mô hình. - Vector θ gọi là vector tham số của hệ thống. - Vector ϕ(k) gọi là vector hồi qui (do ϕ(k) gồm tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ); các thành phần của vector ϕ(k) gọi là các phần tử hồi qui. - Mô hình (4.2) gọi là mô hình ARX (Auto-Regressive eXternal input). - Bộ dự báo có dạng (4.7) được gọi là bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính (Linear Regression) Ước lượng tham số: Phương pháp bình phương tối thiểu Cần xác định tham số θ sao cho giá trị dự báo ),(ˆ θky càng gần giá trị đo y(k), ),1( Nk = càng tốt. Cách dễ thấy nhất là chọn θ sao cho bình phương sai số giá trị dự báo là tối thiểu.

( ) ( ) min)()(1),(ˆ)(1),(1

2

1

2 →−=−= ∑∑==

N

k

TN

k

NN kky

Nkyky

NZV θϕθθ (4.8)

Ký hiệu giá trị θ làm tối thiểu biểu thức Error! Reference source not found. là Nθ̂ : ),(minargˆ N

NN ZV θθθ

= (4.9)

(“arg min” = minimizing argument: đối số làm tối thiểu VN) Do VN có dạng toàn phương nên chúng ta có thể tìm cực tiểu bằng cách cho đạo hàm bậc 1 theo tham số bằng 0.

{ } 0),( =NN ZV

dd θθ



3

⇒ ( ) ( ) 0)()()(2)()(111

2 =−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ − ∑∑

==

N

k

TN

k

T kkykN

kkyNd

d θϕϕθϕθ

⇒ ∑∑==

=N

t

TN

tkkkyk

11)()()()( θϕϕϕ

⇒ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ∑∑

=

−

=

N

k

N

k

TN kykkk

1

1

1)()()()(ˆ ϕϕϕθ (4.10)

4.2 CẤU TRÚC MÔ HÌNH HỆ TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN 4.2.1 Mô hình tuyến tính tổng quát Hệ tuyến tính với nhiễu cộng Hệ tuyến tính với nhiễu cộng v(k) có thể mô tả bởi phương trình: )()()()( kvkuqGky += (4.11) trong đó G(q) là hàm truyền của hệ thống

∑+∞

=

−=0

)(l

ll qgqG (4.12)

Nhiễu v(k) thường được mô tả bằng phổ tần số. Để thuận lợi hơn có thể xem v(k) là nhiễu trắng e(k) qua bộ lọc tuyến tính H(q): )()()( keqHkv = (4.13) Mô tả nhiễu v(k) bằng biểu thức (4.13) tương đương với mô tả v(k) là nhiễu có phổ là:

2

)()( ωλω jv eH=Φ (4.14)

trong đó λ là phương sai của nhiễu trắng e(k). Giả sử H(q) được chuẩn hóa về dạng:

∑+∞

=

−+=1

1)(l

llqhqH (4.15)

Thay (4.13) vào (4.11) ta được: )()()()()( keqHkuqGky += (4.16) Tham số hóa mô hình tuyến tính Nếu ta chưa biết hàm truyền G và H, chúng ta đưa thêm vector tham số θ vào mô tả (4.16): )(),()(),()( keqHkuqGky θθ += (4.17) Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính



4 Cho hệ thống mô tả bởi biểu thức (4.17) và dữ liệu vào–ra đến thời điểm

Tk )1( − , ta cần dự báo giá trị tín hiệu ra ở thời điểm kT. Chia hai vế biểu thức (4.17) cho ),( θqH , ta được: )()(),(),()(),( 11 kekuqGqHkyqH += −− θθθ ⇒ )()(),(),()()],(1[)( 11 kekuqGqHkyqHky ++−= −− θθθ (4.18) Do (4.15) ta thấy rằng:

∑+∞

=

−− =−

=−1

1

),(1

),(1),(),(1

l

ll qh

qHqHqHqH

θθθθ (4.19)

nên )()],(1[ 1 kyqH θ−− chỉ chứa các giá trị trong quá khứ của tín hiệu ra. Vế phải của (4.18) đã biết đến thời điểm Tk )1( − , ngoại trừ nhiễu e(k). Do đó có thể dự báo tín hiệu ra ở thời điểm kT bằng biểu thức: )(),(),()()],(1[),(ˆ 11 kuqGqHkyqHky θθθθ −− +−= (4.20) 4.2.2 Các cấu trúc mô hình tuyến tính thường gặp Thông thường G và H trong biểu thức (4.17) là hàm truyền dạng phân thức có tử số và mẫu số là hàm của toán tử trể q−1.

nfnf

nbnknb

nknk

qfqfqbqbqb

qFqBqG

−−

+−−−−−

++++++

==K

K1

1

1121

1)()(),( θ (4.21)

ndnd

ncnc

qdqdqcqc

qDqCqH

−−

−−

++++++==

K

K1

1

11

11

)()(),( θ (4.22)

Thay (4.21) và (4.22) vào (4.17) ta được:

)()()()(

)()()( ke

qDqCku

qFqBky += (4.23)

Mô hình tuyến tính có dạng (4.23) gọi là mô hình BJ (Box-Jenkins Model). Các trường hợp đặc biệt • C(q) = D(q) = 1: mô hình OE (Output Error Model)

)()()()()( keku

qFqBky += (4.24)



5 • D(q) = F(q) = A(q): mô hình ARMAX (Auto-Regressive Moving Average eXternal Input Model) )()()()()()( keqCkuqBkyqA += (4.25) • D(q) = F(q) = A(q), C(q) = 1: mô hình ARX (Auto-Regressive eXternal Input Model) )()()()()( kekuqBkyqA += (4.26) • D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0: mô hình ARMA (Auto-Regressive Moving Average Model) )()()()( keqCkyqA = (4.27) • D(q) = F(q) = A(q), B(q) = 0, C(q) = 1: mô hình AR (Auto-Regressive Model) )()()( kekyqA = (4.28) • D(q) = F(q) = A(q) = 1, C(q) = 1: mô hình FIR (Finite Impulse Response Model) )()()()( kekuqBky += (4.29) Bộ dự báo cho mô hình tuyến tính thường gặp Bộ dự báo có dạng: θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.30) được gọi là bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính (vì bộ dự báo tuyến tính theo tham số θ). Bộ dự báo của mô hình ARX, AR, FIR có dạng hồi qui tuyến tính. Mô hình ARX: [ ]Tnbn bbaa KK 11=θ (4.31) [ ]Tnbnkkunkkunakykyk )1()()()1()( +−−−−−−−= KKϕ (4.32) Mô hình AR: [ ]Tnaaa K1=θ (4.33)



6

[ ]Tnakykyk )()1()( −−−−= Kϕ (4.34) Mô hình FIR: [ ]Tnbbb K1=θ (4.35) [ ]Tnbnkkunkkuk )1()()( +−−−= Kϕ (4.36) Bộ dự báo hồi qui tuyến tính (4.30) có vector hồi qui không phụ thuộc vào tham số. Nếu vector hồi qui phụ thuộc tham số ta viết (4.30) lại dưới dạng: θθϕθ ),(),(ˆ kky T= (4.37) (4.37) gọi là bộ dự báo hồi qui tuyến tính giả (Pseudo Linear Regression) Bộ dự báo của mô hình ARMAX, OE, BJ có dạng hồi qui tuyến tính giả. Mô hình ARMAX:

Áp dụng công thức (4.20) với )()()(

qAqBqG = ,

)()()(

qAqCqH = ta được:

)()()()(

)()(1),(ˆ ku

qCqBky

qCqAky +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=θ

⇒ [ ] )()()()()(),(ˆ)( kuqBkyqAqCkyqC +−=θ ⇒ [ ] [ ] ),(ˆ)(1)()()()()(),(ˆ θkyqCkuqBkyqAqCky −++−=θ ⇒ [ ] [ ][ ]),(ˆ)(1)()()()()(1),(ˆ θkykyqCkuqBkyqAky −−++−=θ (4.38) Đặt: Sai số dự báo: ),(ˆ)(),( θθ kykyk −=ε (4.39) Vector tham số: [ ]Tncnbna ccbbaa KKK 111=θ (4.40) Vector hồi qui: [ KK )()()1(),( nkkunakykyk −−−−−=θϕ ]Tnckknbnkku ),(),1()1( θθ −−+−− εε K (4.41) (4.38) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37). Mô hình OE:


qFqBqG = , 1)( =qH , ta được:

)()()(),(ˆ ku

qFqBty =θ



7

⇒ )()(),(ˆ)( kuqBkyqF =θ ⇒ [ ] ),(ˆ)(1)()(),(ˆ θθ kyqFkuqBky −+= (4.42) Đặt: Biến phụ:

)()()(),(ˆ),( ku

qFqBkykw == θθ (4.43)

Vector tham số: [ ]Tnfnb ffbb KK 11=θ (4.44) Vector hồi qui: [ ]),(),1()1()(),( θθθϕ nfkwkwnbnkkunkkuk −−+−−−= KK (4.45) (4.42) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37). Mô hình BJ:


qFqBqG = ,

)()()(

qDqCqH = ta được:

)()()()()()(

)()(1),(ˆ ku

qFqCqBqDky

qCqDky +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=θ

Đặt: )()()(),( ku

qFqBkw =θ

[ ] ),(1)()()(),( θθ kwqFkuqBkw −−=

⇒ )()()()(

)()(1),(ˆ kw

qCqDky

qCqDky +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=θ

⇒ [ ]),()()()()(),(ˆ θθ kwky

qCqDkyky −−=

Đặt: ),()(),( θθ kwkykv −=

⇒ ),()()()(),(ˆ θθ kv

qCqDkyky −=

⇒ ),()()()(),(ˆ)( θθ kvqDkyqCkyqC −= ⇒ [ ] ),()()()(),(ˆ)(1),(ˆ θθθ kvqDkyqCkyqCky −+−= ⇒ [ ] [ ] ),(),(1)()()(),(ˆ)(1),(ˆ θθθθ kvkvqDkyqCkyqCky −−−+−= ⇒ [ ] [ ] ),()(),(1)()()(),(ˆ)(1),(ˆ θθθθ kwkykvqDkyqCkyqCky +−−−+−=



8 ⇒ [ ][ ] [ ] ),(),(1)(),(ˆ)()(1),(ˆ θθθθ kwkvqDkykyqCky +−−−−= Đặt: ),(ˆ)(),( θθ kykyk −=ε (4.46) ⇒

[ ][ ] [ ] [ ] ),(1)()()(),(1)(),(1)(),(ˆ θθθθ kwqFkuqBkvqDkqCky −−+−−−= ε (4.47) Vector tham số: [ ]Tnfndncnb ffddccbb KKKK 1111=θ (4.48) Vector hồi qui: [ ),1()(),( +−−−= nbnkkunktuk Kθϕ ),(),1( θθ nckk −− εε K ),(),1( θθ ndkvkv −−−− K ]Tnfkwkw ),(),1( θθ −−−− K (4.49) (4.47) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính giả (4.37). 4.2.3 Mô hình chuổi hàm cơ sở trực giao Mô hình FIR:

∑=

−=n

l

llqbqG

1),( θ (4.50)

• Có hai ưu điểm: - có dạng hồi qui tuyến tính (trường hợp đặc biệt của mô hình ARX) - có dạng mô hình sai số ngõ ra (trường hợp đặc biệt của mô hình OE) Do đó tham số của mô hình FIR: - có thể ước lượng dễ dàng (đặc điểm của mô hình ARX) - bền vững so với nhiễu (đặc điểm của mô hình OE). • Có một khuyết điểm: có thể cần nhiều tham số. Nếu hệ thống thực có cực nằm gần vòng tròn đơn vị thì đáp ứng xung suy giảm rất chậm, do đó cần chọn n đủ lớn mới có thể xấp xỉ được hệ thống. ⇒ Cần cấu trúc mô hình vừa giữ được dạng hồi qui tuyến tính và bền vững với nhiễu, vừa có thể mô tả được hệ thống có đáp ứng xung suy giảm chậm. Tổng quát, mô hình đó phải có dạng chuổi hàm:

∑=

=n

lll qBqG

1),(),( αθθ (4.51)



9

trong đó ),( αqBl là hàm cơ sở trực giao (orthonormal basic function), α là tham số của hàm cơ sở. Hàm cơ sở trực giao là hàm thỏa mãn tính chất:

⎩⎨⎧

=≠

== ∫+

−

−

)( ,0)( ,1

)()(21)(,)(

nmnm

deBeBeBeB jn

jm

jn

jm

π

π

ωωωω ωπ

(4.52)

Đơn giản nhất, có thể chọn:

α

α−

=−

qqqB

l

l ),( )11( ≤≤− α (4.53)

Hai hàm cơ sở trực giao được sử dụng nhiều nhất là: • Hàm Laguerre:

12 11),(−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

=l

l aqaq

aqaaqL )11( ≤≤− a (4.54)

Hàm Laguerre thích hợp để mô hình hóa hệ tuyến tính có đáp ứng xung suy giảm chậm và không dao động (hệ thống cần nhận dạng chỉ có cực thực). • Hàm Kautz:

1

2

2

2

2

12 )1(1)1(

)1()1()1(

),,(−

− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−+−

−−+−−

=l

l cqcbqqcbcq

cqcbqqc

cbqψ (4.55)

1

2

2

2

22

2 )1(1)1(

)1()1)(1(

),,(−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−+−

−−+−−

=l

l cqcbqqcbcq

cqcbqbc

cbqψ (4.56)

)11,11( ≤≤−≤≤− cb Hàm Kautz thích hợp để mô hình hóa hệ tuyến tính có đáp ứng xung suy giảm chậm và có dao động (hệ thống cần nhận dạng có cực phức). ♦Biểu thức bộ dự báo của mô hình chuỗi hàm cơ sở trực giao: Toång quaùt (ñuùng cho moïi moâ hình chuoãi haøm cô sôû tröïc giao)

∑=

==n

lll kuqBkuqGky

1)(),()(),(),(ˆ αθθθ (4.57)

Đặt: [ ]Tn kuqBkuqBkuqBk )(),()(),()(),()( 21 ααα K=ϕ (4.58) [ ]Tnθθθ K21=θ (4.59) Biểu thức bộ dự báo có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính: θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.60) Cuï theå: • Moâ hình Laguerre:



10

)(11)(),()(12

kuaq

aqaqakuaqLt

l

ll

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

==ϕ (4.61)

− Vôùi 1=l :

)(1)(2

1 kuaqak

−−

=ϕ

⇒ )(1)()1( 121

1 kuqakaq −− −=− ϕ

⇒ )1(1)1()( 211 −−+−= kuakak ϕϕ (4.62)

− Vôùi nl ≤<1 :

)(111)(22

kuaq

aqaqa

aqaqk

l

l

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=ϕ

⇒ )(1)( 1 kaq

aqk ll −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= ϕϕ

⇒ )()()()1( 111 kaqkaq ll −−− −=− ϕϕ

⇒ )()1()1()( 11 kakkak llll −− −−+−= ϕϕϕϕ (4.63) • Moâ hình Kautz: )(),()( kuaqk ll ψϕ = (4.64) − Vôùi 1=l :

)()1(

)1()1()( 2

2

1 kucqcbq

qck

−−+−−

=ϕ

⇒ )()()1()(])1(1[ 2121

21 kuqqckcqqcb −−−− −−=−−+ ϕ

⇒ [ ])2()1()1()2()1()1()( 2111 −−−−+−+−−= kukuckckcbk ϕϕϕ (4.65)

− Vôùi 2=l :

)()1(

)1)(1()( 2

22

2 kucqcbq

bck

−−+−−

=ϕ

⇒ )()1)(1()(])1(1[ 222

21 kubckcqqcb −−=−−+ −− ϕ

⇒ )2()1)(1()2()1()1()( 22222 −−−+−+−−= kubckckcbk ϕϕϕ (4.66)

− Vôùi nl ≤−< 121 :

)()1(

1)1()( 322

2

12 kcqcbq

qcbcqk ll −− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−+−

= ϕϕ

⇒ )(])1([)(])1(1[ 3221

1221 kqqcbckcqqcb ll −

−−−

−− +−+−=−−+ ϕϕ



11

⇒ )2()1()1()(

)2()1()1()(

323232

121212

−+−−+−−+−−=

−−−

−−−

kkcbkckckcbk

lll

lll

ϕϕϕϕϕϕ

(4.67)

− Vôùi nl ≤< 22 :

)()1(

1)1()( 222

2

2 kcqcbq

qcbcqk ll −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−+−

= ϕϕ

⇒ )(])1([)(])1(1[ 2221

221 kqqcbckcqqcb ll −

−−−− +−+−=−−+ ϕϕ

⇒ )2()1()1()(

)2()1()1()(

222222

222

−+−−+−−+−−=

−−− kkcbkckckcbk

lll

lll

ϕϕϕϕϕϕ

(4.68)

4.2.4 Mô hình không gian trạng thái Hệ thống tuyến tính có thể mô tả bằng phương trình trạng thái:

⎩⎨⎧

++=++=+

)()()()()()()()1(

kvkukkykwkukk

DCxBAxx (4.69)

Cần ước lượng các ma trận A, B, C, D để mô tả được quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ thống. Vấn đề gây ra khó khăn ở đây là có vô số phương trình dạng (4.69) có thể mô tả được hệ thống tùy thuộc vào cách chọn biến trạng thái. Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu phương trình trạng thái (4.69) được rút ra từ mô hình vật lý thì các biến trạng thái hoàn toàn xác định. Giả sử trong thí nghiệm thu thập số liệu ta không chỉ đo được y(k), u(k) mà còn đo được cả các biến trạng thái x(k), k = 1,2,…, N. Do các biến trạng thái đã xác định nên phương trình (4.69) các ma trận A, B, C, D cũng xác định. Đặt:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += )(

)1()( kykk xY (4.70)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DCBA

Θ (4.71)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= )(

)()( kukk xΦ (4.72)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= )(

)()( kekwkE (4.73)

Phương trình (4.69) có thể viết lại dưới dạng hồi qui tuyến tính: )()()( kkk EY += ΘΦ (4.74) Trường hợp 2: Trong thí nghiệm thu thập số liệu ta chỉ đo được y(k) và u(k). Cần ước lượng các biến trạng thái x(k). Khi đã có x(k) trở về trường hợp 1 (xem phụ lục 4A – Ljung 1999).



12 4.3 CẤU TRÚC MÔ HÌNH HỆ PHI TUYẾN 4.3.1 Mô hình có đặc tính phi tuyến Đặc tính phi tuyến rất đa dạng, cần cấu trúc mô hình đủ linh hoạt để mô tả được đặc tính phi tuyến tổng quát ⇒ mô hình phi tuyến tổng quát phức tạp hơn và có nhiều tham số hơn mô hình tuyến tính cùng bậc (vô số tham số). Có thể sử dụng thông tin biết trước về đặc tính vật lý phi tuyến bên trong hệ thống cần nhận dạng để đưa ra cấu trúc mô hình thích hợp ⇒ xây dựng được mô hình đơn giản, ít tham số, dễ ước lượng. Phương pháp này gọi là mô hình hóa bán vật lý (semi-physical modeling).

♦ Mô hình Wiener và mô hình Hammerstein Hình 4.2: (a) Mô hình Hammerstein (b) Mô hình Wiener Trong nhiều trường hợp hệ thống có thể mô tả bằng mô hình tuyến tính ghép nối tiếp với khâu phi tuyến tĩnh ở đầu vào và/hoặc đầu ra. Mô hình có khâu phi tuyến tĩnh ở đầu vào gọi là mô hình Hammerstein, có khâu phi tuyến tĩnh ở đầu ra gọi là mô hình Wiener, có khâu phi tuyến tĩnh ở cả đầu vào và đầu ra gọi là mô hình Wiener–Hammerstein. Đặc tính phi tuyến tĩnh có thể do sự bão hòa của phần tử tác động (actuator), do tính phi tuyến của cảm biến đo lường hay do giới hạn vật lý của tín hiệu vào/ra. Bộ dự báo: • Mô hình Hammerstein: )),((),(),,(ˆ ηθηθ kufqGky = (4.75) • Mô hình Wiener: )),(),((),,(ˆ ηθηθ kuqGfky = (4.76) trong đó θ và η lần lượt là tham số của khâu tuyến tính và khâu phi tuyến tĩnh.

Mô hình tuyến tính

f u(k) y(k) f(u(k))

Mô hình tuyến tính

f u(k) z(k) y(k)=f(z(k))

(a)

(b)



13

♦ Mô hình hồi qui tuyến tính Bằng cách chọn các phần tử hồi qui thích hợp, có thể dự báo tín hiệu ra của hệ phi tuyến bằng bộ dự báo dạng hồi qui tuyến tính. θϕθ )(),(ˆ kky T= (4.77) trong đó các phần tử hồi qui là hàm (phi tuyến) bất kỳ của tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ. )()( 1−= k

ii Zk ϕϕ (4.78) Thí dụ 4.1: Nhận dạng mô hình lò nhiệt: phần tử hồi qui nên chọn là )1( −ky ,

)1(2 −ku trong đó )(ky là nhiệt độ lò và )(ku là điện áp cấp cho điện trở đốt nóng. Nhận dạng hệ bồn chứa chất lỏng, phần tử hồi qui nên chọn là )1( −ky ,

)1( −ky và )(ku , trong đó )(ky là mực chất lỏng trong bồn chứa và )(tu là điện áp cấp cho máy bơm. Nhận dạng hệ thống sưởi ấm dùng năng lượng mặt trời: xem (Ljung, 1999) 4.3.2 Mô hình hộp đen phi tuyến Bộ dự báo tổng quát cho hệ phi tuyến có dạng: )),((),(ˆ θϕθ kgky = (4.79) Tùy thuộc vào cách chọn: • vector hồi qui )(kϕ từ tín hiệu vào và tín hiệu ra trong quá khứ; • hàm phi tuyến ),( θϕg mà ta có các dạng mô hình phi tuyến khác nhau. 4.3.2.1 Phần tử hồi qui cho mô hình phi tuyến

Mô hình Các phần tử hồi qui NFIR u(k – l) NAR y(k – l) NARX y(k – l) và u(k – l) NARMAX y(k – l), u(k – l) và ε(k – l,θ) NOE u(k – l) và w(k – l,θ) NBJ y(k – l), u(k – l), ε(k – l,θ) và v(k – l,θ)

4.3.2.2 Hàm phi tuyến Hàm phi tuyến ),( θϕg thường được chọn có dạng khai triển hàm: ∑= )(),( ϕθϕ ii gg α (4.80) Hàm gi gọi là hàm cơ sở (basic function). Hàm gi được chọn như sau:



14

• Tất cả các hàm gi được rút ra bằng cách tham số hóa hàm cơ sở gốc (mother basic function) κ(x). • Hàm κ(x) là hàm của đại lượng vô hướng x. • gi là phiên bản tỉ lệ và tịnh tiến của κ(x). Trường hợp vector hồi qui ϕ(k) chỉ có một chiều ( )1dim == ϕd thì : ))((),,()( iiiiig γϕβκγβϕκϕ −== (4.81) trong đó β i và γ i là tham số xác định tỉ lệ và vị trí của hàm )(ϕig . Trường hợp vector hồi qui ϕ(k) nhiều chiều (d > 1) có 3 cách xây dựng gi: ♦ Dạng lưới: )(),,()( i

Tiiiii gg γκγ +== ϕββϕϕ (4.82)

Cấu trúc lưới có đặc điểm là giá trị hàm cơ sở của tất cả các phần tử hồi qui nằm trên cùng một siêu phẳng sẽ có cùng một giá trị.

Hình 4.3: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc dãy ♦ Dạng xuyên tâm: )(),,()(

iiiiii gg βγϕγβϕϕ −== κ (4.83)

chuẩn . thường chọn là chuẩn toàn phương:

ϕβϕϕ β iT

i=2 (4.84)

Cấu trúc xuyên tâm có đặc điểm là giá trị hàm cơ sở của tất cả các phần tử hồi qui nằm trên cùng một siêu cầu sẽ có cùng một giá trị.



15

Hình 4.4: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc xuyên tâm ♦ Dạng tích tensor:

∏∏==

−==d

jijjij

d

jjii gg

11))(()()( γϕβκϕϕ (4.85)

Hình 4.5: Hàm cơ sở nhiều biến cấu trúc tích tensor Hai dạng hàm cơ sở gốc thường dùng: ♦ Hàm Gauss:

2/2

21)( xex −=π

κ (4.86)

Hàm cơ sở dạng Gauss là hàm cơ sở cục bộ vì sự thay đổi của hàm chỉ chủ yếu xảy ra trong một miền cục bộ. ♦ Hàm sigmoid:

xex −+=

11)(κ (4.87)



16Hàm cơ sở dạng sigmoid là hàm cơ sở toàn cục vì sự thay đổi của hàm xảy ra ở toàn bộ trục thực. Cách xây dựng hàm cơ sở như trình bày ở trên bao hàm hầu hết tất cả các cấu trúc mô hình hộp đen phi tuyến được sử dụng phổ biến hiện nay, chẳng hạn mô hình mạng thần kinh nhiều lớp (MLP) có cấu trúc dãy; mô hình mạng hàm cơ sở xuyên tâm (RBF), mô hình mạng wavelet có cấu trúc xuyên tâm; mô hình mờ (Fuzzy Model) có cấu trúc tích. Một câu hỏi đặt ra là mô hình hộp đen dưới dạng khai triển chuỗi hàm cơ sở có khả năng xấp xỉ quan hệ vào ra của hệ thống thật tốt như thế nào. Có nhiều tài liệu đề cập đến vấn đề này, kết luận chung là đối với hầu hết các cách chọn hàm cơ sở gốc )(xκ , mô hình khai triển chuỗi hàm cơ sở (4.80) có thể xấp xỉ hàm trơn bất kỳ với sai số nhỏ tùy ý với điều kiện số hàm cơ sở sử dụng đủ lớn. 4.3.3 Mô hình mạng thần kinh

Hình 4.6: Mô hình mạng thần kinh nhân tạo

Chọn các phần tử hồi qui ϕj(k) là tín hiệu vào hay tín hiệu ra trong quá khứ. Hàm tác động của lớp ẩn là hàm sigmoid hoặc hàm gauss, ký hiệu là )(xκ , hàm tác động của lớp ra là hàm tuyến tính xxf =)( , ta có: • Ngõ ra của lớp ẩn:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑

=0

1)( i

d

jjiji vkvg ϕκ (4.88)

Ký hiệu: [ ]Td kkkk )()()()( 21 ϕϕϕ K=ϕ [ ]Tidiii vvv K21=v

ϕ1(k)

ϕ2(k)

M

ϕd(k) M

g1

g2

gl

v22

v2d

v21

v11

vld

w1

),(ˆ θky w2

wl M



17Biểu thức (4.88) có thể viết lại: ( )0)( i

Tii vkg −= ϕvκ (4.89)

• Ngõ ra của mạng:

∑=

=l

iii kgwky

1)(),(ˆ θ (4.90)

4.3.4 Mô hình mờ Giả sử [ ]Td kkkk )()()()( 21 ϕϕϕϕ K= là vector hồi qui, trong đó các phần tử hồi qui )(kiϕ được xây dựng từ tín hiệu ra đến thời điểm (k−1)T và tín hiệu vào đến thời điểm kT. Ta xây dựng bộ dự báo mờ có sơ đồ khối như trình bày ở hình. Vì bộ dự báo mờ là một hệ mờ nên cũng có 3 thành phần cơ bản là khâu mờ hóa, hệ qui tắc mờ, và khâu giải mờ.

Hình 4.7: Mô hình mạng thần kinh mờ

Môø hoùa Vì heä qui taéc môø chæ coù theå suy luaän treân caùc giaù trò môø, trong khi caùc phaàn töû hoài qui )(kjϕ laø döõ lieäu quan saùt trong quaù khöù coù giaù trò roõ neân

caàn phaûi qua khaâu môø hoùa ñeå chuyeån thaønh caùc giaù trò môø. ( ))()(~ kfuzzk jj ϕϕ = (4.91)

trong ñoù fuzz(.) laø haøm môø hoùa. Ñeå ñôn giaûn trong vieäc tính toaùn, haøm môø hoùa ñöôïc duøng laø haøm chuyeån giaù trò roõ )(kjϕ thaønh taäp môø coù daïng vaïch ñôn

(singleton). Heä qui taéc môø Heä qui taéc môø bieåu dieãn tri thöùc vaø kinh nghieäm cuûa con ngöôøi döôùi daïng caùc phaùt bieåu ngoân ngöõ. Ñaëc tính ñoäng cuûa heä thoáng döôùi daïng caùc phaùt bieåu ngoân ngöõ ñöôïc moâ taû toaùn hoïc baèng K qui tắc môø:

Môø hoùa

Giaûi môø

Heä qui taéc môø

Phöông phaùp suy dieãn

)(~1 kϕ

)(~2 kϕ

)(~ kdϕ

),(~̂θky ),(ˆ θky

M

ϕ1(k)

ϕ2(k)

M

ϕd(k)



18

r1: Neáu ( )(1 kϕ laø 1,1~A ) vaø ( )(2 kϕ laø 2,1

~A ) vaø … vaø ( )(krϕ laø rA ,1~

) thì ( )(ky laø 1~B )

r2: Neáu ( )(1 kϕ laø 1,2~A ) vaø ( )(2 kϕ laø 2,2

~A ) vaø … vaø ( )(krϕ laø rA ,2~

) thì ( )(ky laø 2~B )

… rK: Neáu ( )(1 kϕ laø 1,

~kA ) vaø ( )(2 tϕ laø 2,

~kA ) vaø … vaø ( )(krϕ laø rkA ,

~ ) thì ( )(ky laø kB~ )

trong ñoù caùc giaù trò ngoân ngöõ trong caùc meänh ñeà ñieàu kieän vaø keát luaän cuûa heä qui taéc ñöôïc moâ taû bôûi caùc taäp môø. Haøm lieân thuoäc cuûa caùc taäp môø coù theå coù caùc daïng sau phaân boá Gauss, daïng sigmoid, daïng chuoâng, daïng tam giaùc, daïng hình thang,… Kyù hieäu ),),(( ,,~

, jijijA tji

γβϕμ laø haøm lieân thuoäc cuûa taäp môø jiA ,~ ,

trong ñoù ji ,β vaø ji ,γ laø caùc thoâng soá xaùc ñònh tæ leä vaø vò trí cuûa haøm lieân thuoäc. Chuù yù: Heä qui taéc môø moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa heä thoáng khoâng nhaát thieát phaûi laø qui taéc Mamdani, chuùng ta hoaøn toaøn coù theå söû duïng heä qui taéc Sugeno (moâ hình Takagi−Sugeno−Kang). Phöông phaùp suy dieãn ñöôïc choïn laø söï hôïp thaønh MAX−PROD, keát quaû suy dieãn cuûa heä qui taéc môø laø taäp môø ),(~̂

θky coù haøm lieân thuoäc cho bôûi coâng thöùc:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∏

=≤≤

d

jijijjABKiky kyy

iji11),(~̂ ),),(().(max)( γβϕμμμ θ (4.92)

Giaûi môø Ngoõ ra cuûa heä qui taéc môø laø taäp môø ),(~̂θky . Choïn phöông phaùp giaûi

môø trung bình coù troïng soá, ta ñöôïc giaù trò roõ ôû ngoõ ra cuûa boä döï baùo môø laø:

∑ ∏

∑ ∏

= =∈

= =∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=K

i

d

jijijjABYy

K

i

d

jijijjABYyi

ky

kyky

jii

jii

1 1

1 1

),),(().(max

),),(().(max.),(ˆ

,

,

γβϕμμ

γβϕμμαθ (4.93)

Neáu caùc taäp môø ôû meänh ñeà keát luaän cuûa heä qui taéc ñöôïc choïn laø vaïch ñôn taïi vò trí iα thì coâng thöùc treân trôû thaønh

∑∏

∑ ∏

= =

= == K

i

d

jijijjA

K

i

d

jijijjAi

k

kky

ij

ij

1 1

1 1

),),((

),),((.),(ˆ

γβϕμ

γβϕμαθ (4.94)

Neáu heä qui taéc môø laø heä qui taéc hoaøn chænh, nghóa laø goàm taát caû caùc qui taéc coù theå coù vaø caùc taäp môø ôû ngoõ vaøo ñöôïc phaân hoaïch môø thì:



19

1),),((1 1

=∑∏= =

k

i

d

jijijjA k

ijγβϕμ (4.95)

khi ñoù coâng thöùc (4.94) trôû thaønh:

∑ ∏= =

=K

i

d

jijijjAi kky

ij1 1

),),((.),(ˆ γβϕμαθ (4.96)

hay ∑=

=K

iiiii kgky

1),),((.),(ˆ γβϕθ α (4.97)

vôùi ∏=

=r

jijijjAiii kkg

ij1

),),((),),(( γβϕμγβϕ (4.98)

Toùm laïi duøng logic môø ta coù theå chuyeån caùc phaùt bieåu ngoân ngöõ moâ taû ñaëc tính ñoäng cuûa heä thoáng thaønh boä döï baùo (4.96). Boä döï baùo naøy ñöôïc söû duïng ñeå öôùc löôïng thoâng soá. Tài liệu tham khảo: [1] L. Ljung (1999), System Identification – Theory for the user. [2] R. Johansson (1994), System Modeling and Identification.

Documents

CẤU TRÚC MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ - hcmut.edu.vnhthoang/ndht/Chuong4_NDHT_K2008.pdf · CẤU TRÚC MÔ HÌNH CÓ THAM SỐ Chương 4: CẤU TRÚC MÔ HÌNH THAM SỐ 4.1. Giới