ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG - bai-giang.webnode.vn · - Cực trị địa phương ... cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần ... Cực trị a) Định nghĩa 1ÃX

GV: ThS. PHẠM THỊ YẾN ANH

Email: [email protected]

CHƢƠNG 2.

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

CALCULUS FOR COMPUTING

NỘI DUNG

- Định nghĩa, tính chất, và ý nghĩa

- Hàm lấy vi phân được

- Quy tắc dây chuyền (Chain Rule)

- Đạo hàm bậc cao

- Cực trị địa phương

- Tính lõm

- Ứng dụng của đạo hàm trong tính toán xấp xỉ

và tối ưu

2


ĐẠO HÀM

3

CALCULUS FOR COMPUTING 4

CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM


1’. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢 ′ =𝑢′

1−𝑢2

2’. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑢 ′ =−𝑢′

1−𝑢2

3’. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢 ′ =𝑢′

1+𝑢2

4’. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑢 ′ =−𝑢′

1+𝑢2









MỘT SỐ ĐẠO HÀM CẤP CAO THƢỜNG GẶP

13





XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN

17






0 0 0f x x f x f ' x x

CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG CỦA HÀM F(X)

Ví dụ: Tính gần đúng của 9,01


0 331 0 515

6 180 6 2 180sin sin sin . .

0 0 0f x x f x f ' x x




QUI TẮC L’HOSPITAL






Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

31

1 0x

ln x/ lim ,

x

0

inx2

1x

ln s/ lim

ln cos x


Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

32

2 5

01 7

1

x x

x

e e/ lim DS :

ln x

3

1

1 2 1 42

92x

x/ lim DS :

x x

3 23 13 1

3

x/ lim x x x DS :


0

24 2

inx

x x

x

e e x/ lim DS :

x s

2

0

15 0

3 xx

ln x/ lim DS :

cos x e

4

26

4

x

tan x/ lim

cot x


22 37

4 2x

x/ lim

x

21 2 18

x

x/ lim

x

20

1 19 S

2

x

x ln x/ lim D :

x


0

10 2inx

x

tan x x/ lim DS

x s

0

0

0

1 1 111

1 2

1 112 0

113

1 2 2

xx

x

x

/ lim DSx e

/ lim DSx sin x

ln x/ lim DS

ln sin x


30

1

2

0

114

3

115 1

1

1 116

2 2

x

x

x

sin x xcos x/ lim DS

x

x/ lim DS

x ln x

cos x/ lim DS

x sin x


KHAI TRIỂN TAYLOR

37


CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR VỚI

PHẦN DƢ LAGRANGE

20 00 0 0

( )0

0

( )1! 2!

! n

nn

f x f xf x f x x x x x

f xx x

nR

f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0:

( 1)1

0 ,( 1)!

nn

n

f cx x

nR

(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)

c nằm giữa x và x0

38 CII. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG


CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR VỚI

PHẦN DƢ PEANO

20 00 0 0

( )0

0 0

( )1! 2

( )

!

!

nn n

f x f xf x f x x x x x

f xox

nxx x

f có đạo hàm cấp n tại x0:

Phần dư Peano.

Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x0 = 0 được

gọi là khai triển Maclaurin. 39 CII. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG


Ý NGHĨA CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR

f(x): biểu thức phức tạp

cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần

bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán.

Hàm đơn giản nhất là đa thức.



(khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1)

đến (x – 1)3)

•Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.

•Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.

Ví dụ 1 . Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân

cận x = 1 cho 1

( )f xx



(1) 1f 1

( )f xx

2

1( )f x

x (1) 1f

3

2( )f x

x (1) 2f

4

6( )f x

x (1) 6f

2 3 3(1) (1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1! 2! 3!

f f ff x f x x x o x

(4)

5

24( )f x

x

2 3 31 2 61 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1! 2! 3!x x x o x

32 31 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x

Phần dư Peano 42


(4)

5

24( )f x

x

Nếu dùng phần dư Lagrange:

323( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx

)44

3

( ( )( 1)

4!

fR x

c

44

5 5

1 24 ( 1)( 1)

4!

xx

c c



2( ) 2 tan (1 tan )f x x x

2 2 2( ) 2(1 tan ) 6tan (1 tan )f x x x x

2

3 3

(0) (0)( ) (0) ( 0) ( 0)

1! 2!

(0)( 0) ( 0)

3!

f ff x f x x

fx o x

Ví dụ 2.

Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x

2( ) 1 tanf x x

33tan ( )

3

xx x o x

44


Ví dụ 3: Khai triển Maclaurin đến cấp 3 của hàm

số:

45

inxb / f x s

xa / f x e

c / f x cos x


CHƢƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ

1) 211 ... 0( )

1n nx x x x

x.

2) 2

1 ... 0( )1! 2! !

nx nx x xe x

n.

3) 2 3 4

ln(1 ) ... 0( )1 2 3 4

nx x x xx x .

4) 2 4 6

cos 1 ... 0( )2! 4! 6!

nx x xx x .

5) 3 5 7

sin ... 0( )1! 3! 5! 7!

nx x x xx x .



2( 1)6) (1 ) 1 ...

2!( 1)...( 1)

... 0( ).!

m

n n

m mx mx x

m m m nx x

n

VD 2. Khai triển Maclaurin của 1

( )1

f xx

đến 3x .

Giải. Ta có:

1

2( ) ( 1)f x x .

Áp dụng công thức 6) với 1, 3

2m n ta được:



2 3 3

1 3 1 3 5. . .1 2 2 2 2 2( ) 1 0( )

2 2! 3!f x x x x x

2 3 31 3 51 0( )

2 8 16x x x x .

Cách khác

Ta có:

1

2( ) ( 1) (0) 1f x x f ,

3

21 1( ) ( 1) (0)

2 2f x x f ,




5

23 3( ) ( 1) (0)

4 4f x x f ,

7

215 15( ) ( 1) (0)

8 8f x x f .

Vậy 2 3 3

3 151 4 8( ) 1 0( )2 2! 3!

f x x x x x

2 3 31 3 51 0( )

2 8 16x x x x .



CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ

NHỎ NHẤT

50


3.2. Cực trị của hàm số

3.2.1. Hàm số đơn điệu

a) Định nghĩa

Cho hàm số ( )f x liên tục trong trong ( ; )a b .

Khi đó:

• ( )f x được gọi là tăng ngặt trong ( ; )a b nếu

1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x, 1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x .

• ( )f x được gọi là giảm ngặt trong ( ; )a b nếu

1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x, 1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x .



• ( )f x được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong ( ; )a b

nếu 1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x hay 1 2

1 2

( ) ( )0

f x f x

x x,

1 2, ( ; )x x a b và 1 2x x .

• ( )f x được gọi là đơn điệu trong ( ; )a b nếu

( )f x tăng ngặt hay giảm ngặt trong ( ; )a b .

• ( )f x đơn điệu trong ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì

( )f x đơn điệu trong ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự).



b) Định lý 1

Cho hàm số ( )f x khả vi trong trong ( ; )a b . Khi đó:

• Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b thì ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b .

• Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b thì ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b .

• Nếu ( ) 0, ( ; )f x x a b hay ( ) 0, ( ; )f x x a b thì

( )f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong ( ; )a b .

c) Định lý 2

• Nếu ( )f x tăng ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x trong ( ; )a b

và không tồn tại ( ; ) ( ; )a b sao cho ( ) 0f x .

• Nếu ( )f x giảm ngặt trong ( ; )a b thì ( ) 0f x trong

( ; )a b và không tồn tại ( ; ) ( ; )a b sao cho ( ) 0f x . 53

CII. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG


VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của 2ln( 1)y x .

Giải. Ta có D và 2

2

1

xy

x.

2

20 0

1

xy x

x.

Vậy hàm số giảm trên ( ; 0) và tăng trên (0; ).




VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của 2

2

1( )

( 1)

xf x

x.

Giải. Ta có \ {1}D và 2

4

2 2( )

( 1)

xf x

x.

( ) 0 1 1f x x .

Vậy hàm số giảm trên hai khoảng ( ; 1), (1; )

và tăng trên khoảng ( 1; 1).



VD 3. Tìm các khoảng đơn điệu của 2

1

2y

x x.

Giải. Ta có ( ; 0) (2; )D và

2 3

10 0

( 2 )

xy x

x x.

Vậy hàm số tăng trên ( ; 0) và giảm trên (2; ).



3.2.2. Cực trị

a) Định nghĩa

• Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0x và 0( ) ( )f x f x ,

0( ; )\ { }x a b x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x .

• Nếu ( )f x liên tục trong ( ; )a b chứa 0x và 0( ) ( )f x f x ,

0( ; )\ { }x a b x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x . b) Định lý

Cho ( )f x có đạo hàm đến cấp 2n trong ( ; )a b chứa 0x

thỏa (2 1)0 0( ) ... ( ) 0nf x f x và (2 )

0( ) 0nf x .

• Nếu (2 )0( ) 0nf x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0x .

• Nếu (2 )

0( ) 0nf x thì ( )f x đạt cực đại tại 0x .



VD 5. Tìm cực trị của hàm số 6 3( ) 2 3f x x x .

Giải. Ta có: D .

5 2( ) 6 6 0 1 0f x x x x x .

4 3( ) 30 12 , ( ) 120 12f x x x f x x .

• Tại 1x , ta có:

( 1) 0, ( 1) 18 0f f .

Vậy hàm số đạt cực đại tại 1x .



…………………………………………………

• Tại 0x , ta có:

(0) (0) 0, (0) 12 0f f f .

Vậy hàm số không đạt cực trị tại 0x .



3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

a) Định nghĩa

Cho hàm số ( )y f x có MXĐ D và X D .

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của ( )f x trên X nếu:

0 0: ( )x X f x M và ( ) , f x M x X .

Ký hiệu là: max ( )x X

M f x .

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên X nếu:

0 0: ( )x X f x m và ( ) , f x m x X .

Ký hiệu là: min ( )x X

m f x .



Chú ý

• Hàm số có thể không đạt max hoặc min trên X D .

• Nếu max ( )x X

M f x và min ( )x X

m f x thì:

( ) ,m f x M x X .



b) Phƣơng pháp tìm max – min

Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b .

Để tìm [ ; ]

max ( )x a bf x và

[ ; ]min ( )x a bf x , ta thực hiện các bước sau:

• Bƣớc 1. Giải phương trình ( ) 0f x . Giả sử có n

nghiệm 1,..., [ ; ]

nx x a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ).

• Bƣớc 2. Tính 1

( ), ( ),..., ( ), ( )n

f a f x f x f b .

• Bƣớc 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã

tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm.



VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 23( ) 3

2f x x x x trên đoạn [0; 2].

Giải. Ta có: hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [0; 2].

3 1( ) 4 3 1 0 1

2f x x x x x .

Do 1

[0; 2]2

x nên ta loại.

Mặt khác: 3

(0) 3, (1) , (2) 112

f f f .

Vậy [0;2]

max ( ) 11xf x tại 2x ,

[0;2]

3min ( )

2xf x tại 1x .




Chú ý

• Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ

của hàm số trước khi làm bước 1.

• Có thể đổi biến số ( )t t x và viết ( ) ( ( ))y f x g t x .

Gọi T là miền giá trị của hàm ( )t x (ta thường gọi là

điều kiện của t đối với x ) thì:

max ( ) max ( )x X t Tf x g t , min ( ) min ( )

x X t Tf x g t .




VD 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2( ) 5 6f x x x .

Giải. Ta có điều kiện: 2 5 6 0 1 6 [ 1; 6]x x x D .

Hàm số 2( ) 5 6f x x x liên tục trên D .

2

2 5 5( ) 0

22 5 6

xf x x D

x x.

Mặt khác: 5 7

( 1) 6 0,2 2

f f f .



Vậy 7

max ( )2x D

f x tại 5

2x ,

min ( ) 0x Df x tại 1 6x x .



Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

Cho hàm ( )y f x liên tục trên ( ; )a b ( ,a b có thể là ).

Để tìm ( ; )

max ( )x a b

f x và ( ; )

min ( )x a bf x , ta thực hiện các bước:

• Bƣớc 1. Giải phương trình ( ) 0f x . Giả sử có n

nghiệm 1,..., [ ; ]

nx x a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b ).

• Bƣớc 2. Tính 1

( ),..., ( )n

f x f x và hai giới hạn

1 2lim ( ), lim ( )x a x b

L f x L f x .




• Bƣớc 3. Kết luận:

1) Nếu 1 1 2

max{ ( ),..., ( )} max{ , }n

f x f x L L thì

1( ; )max max{ ( ),..., ( )}

nx a bf f x f x ;

2) Nếu 1 1 2

min{ ( ),..., ( )} min{ , }n

f x f x L L thì

1( ; )min min{ ( ),..., ( )}

nx a bf f x f x ;

3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt

max (hoặc min).




VD 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3

2( )

1

xf x

x trên khoảng (1; ).

Giải. Ta có: 4 2

2 2

3( ) 0 3 (1; )

( 1)

x xf x x

x.

3 3

32

f .

Giới hạn: 1

lim ( ) lim ( )xx

f x f x .



Do 3 3

2 nên ( )f x không đạt max và

3 3min ( ) 3

2xf x x .

Chú ý

Ta có thể lập bảng biến thiên của ( )f x thay cho bước 3.


Documents

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG - bai-giang.webnode.vn · - Cực trị địa phương ... cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần ... Cực trị a) Định nghĩa 1ÃX