Embed Size (px)
Citation preview
Trường THPT Marie Curie
1
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1.
DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN, TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
Khi đó:
x a là điểm cực tiểu của hàm số, hoặc hàm số đạt cực tiểu tại x a .
x b là điểm cực đại của hàm số, hoặc hàm số đạt cực đại tại x a .
;M a b là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
;N c d là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
y b là giá trị cực tiểu của hàm số hoặc cực tiểu của hàm số.
y d là giá trị cực đại của hàm số hoặc cực đại của hàm số.
Chú ý
Hàm số y f x đạt cực trị tại 0x thì 0' 0f x hoặc 0'f x không xác định. (Nghĩa là
hàm số y f x chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo
hàm không xác định.)
2 2
B A B AAB x x y y .
Đường thẳng đi qua hai điểm ;A A
A x y và ;B B
B x y có phương trình A A
B A B A
x x y y
x x y y
,
với A B
x x và A B
y y .
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
A. 0x . B. 1x . C. 2x . D. 2x .
CƠ BẢN
– x
y’
y
+ a c
–
+
b
0
d
–
– x
y’
y
–2
1
2
+ –
0 +
+
0
0
0 –
3
–1
1
3
– –
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CƠ BẢN
2
Hướng dẫn giải
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Tổng các giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 2 . B. 5 . C. 11 . D. 3 .
Hướng dẫn giải
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho bằng
A. 2 3 . B. 10 . C. 5 . D. 2 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
– x
y’
y
–2
1
2
+ –
0 +
+
0
0
0 –
3
–1
1
3
– –
Điểm cực đại
của hàm số
Điểm cực tiểu
của hàm số
Điểm cực đại
của hàm số
Giá trị cực đại
của hàm số
Giá trị cực tiểu
của hàm số
Giá trị cực đại
của hàm số
– x
y’
y
–2
1
4
+ –
0 +
+
0
1
0 –
+ + 6
3 2
Chọn B
Giá trị cực tiểu của hàm số
– x
y’
y
–2
1
4
+ –
0 +
+
0
1
0 –
+ + 6
3 2
Giá trị cực tiểu của hàm số + 3 + 2 = 5
– x
y’
y
2
1 + –
0
+
1
0
0 –
+ 5
3 –
Chọn D
0;1A
– x
y’
y
2
1 + –
0
+
1
0
0 –
+ 5
3 –
2; 5B
2 2 2 2
2 0 5 1 2 5B A B A
AB x x y y
Trường THPT Marie Curie
3
Ví dụ 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình
A. 8 11y x . B. 8 11y x . C. 8 11y x . D. 8 11y x .
Hướng dẫn giải
C. LUYỆN TẬP
Câu 1. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Hàm số đã cho có bao nhiêu cực trị?
A. 2 . B. 1 .
C. 3 . D. 0 .
Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Hàm số đã cho có bao nhiêu cực trị?
A. 2 . B. 1 .
C. 3 . D. 4 .
Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4x . B. 7x .
C. 2x . D. 6x .
Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
A. 0 . B. 3 .
C. 5
3 . D. 3 .
Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 3 . B. 2 .
C. 2 . D. 0 .
– x
y’
y
6
1 + –
0
+
–2
–4
0 –
+ 7
3 –
– x
y’
y
–3
1
3
–
+
0 –
+
0
0
0 +
– – 5
3
0 0
– x
y’
y
–2
1
2
+ 0 +
+
0 –
+ 3
0 –
– x y’
y
+ 1
2
–
–
–
+
2
– x
y’
y
+ 0 3
–
+
1
0
4
–
2
8
– x
y’
y
+ 1
+
+
+∞
–4
2
–
3
–5
Chọn D
1; 3A
2; 5B
31: 8 11
2 1 5 3A A
B A B A
x x y y yxAB y x
x x y y
– x
y’
y
+ 1
+
+
+∞
–4
2
–
3
–5
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CƠ BẢN
4
Câu 6. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Tổng các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số
đã cho bằng
A. 9. B. 1.
C. 1 . D. 6.
Câu 7. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Tổng các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số đã
cho bằng
A. 5. B. 1.
C. 4. D. 3.
Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình
bên. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
đã cho bằng
A. 5 . B. 2 10 .
C. 13 . D. 5 .
Câu 9. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có bảng
biến thiên như hình bên. Đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình
A. 3y x . B. 3y x .
C. 3y x . D. 3y x .
DẠNG 2.
DỰA VÀO BẢNG XÉT DẤU ĐẠO HÀM, TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo như sau
Từ bảng xét dấu 'y ta phát họa:
Khi đó:
Hàm số đã cho có 2 cực trị, trong đó:
2x là điểm cực tiểu của hàm số.
5x là điểm cực đại của hàm số.
– x
y’
y
4
1 + –
0
+
1
–3
0 –
+ 5
3 –
– x
y’
y
+ 0
+
+
–
1 –
5
–1
0 0
+
– x
y’
y
–1
1
5
+ –
0 –
+
0
2
1
–
+ 3
–1 –
– x
y’
y
–4
1
0
– +
0 +
+
0
–2
–
3 – –
+ + –1
– x
y’
2
0
+
0
–4
–
+
–
5
0 –
– x
y’
2
0
+
0
–4
–
+
–
5
0 –
Trường THPT Marie Curie
5
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ. Cho hàm số y f x xác định trên \ 5 và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình
vẽ bên dưới.
Hàm số đã cho có bao nhiêu cực trị?
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải
C. LUYỆN TẬP
Câu 1. Cho hàm số y f x xác định trên \ 1 và có
bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ bên. Hàm số đã cho
có bao nhiêu cực trị?
A. 0. B. 1.
C. 3. D. 2.
Câu 2. Cho hàm số y f x xác định trên và có bảng
xét dấu của đạo hàm như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đạt
cực tiểu tại
A. 0.x B. 2.x
C. 0.y D. 2.y
Câu 3. Cho hàm số ( )y f x liên tục trên và có bảng xét
dấu 'y như hình bên. Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. 2.x B. 4.x
C. 1.x D. 1x và 4x .
Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo
hàm như hình bên. Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực
đại?
A. 2. B. 1.
C. 3. D. 0.
– x
y’
2
0
+
0
0
–
+
–
– x y’
+ 1
+
–
2
–
– x
y’
2
0
+
0
–1
+
– +
4
0 –
– x
y’
1
0
+
0
–2
–
+
–
3
0 +
– x y’
+ 1
+
–
3
–
5
+ 0
Chọn C
\ 5D
– x y’
+ 1
+
–
3
–
5
+ 0 – x
y’ + 1
+
–
3
–
5
+ 0
Cực đại của hàm số Cực tiểu của hàm số
Không là cực trị
của hàm số
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CƠ BẢN
6
DẠNG 3.
DỰA VÀO BIỂU THỨC CỦA ĐẠO HÀM, TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP
Phương trình ' 0f x có bao nhiêu nghiệm bội lẻ thì hàm số y f x có bấy nhiêu điểm
cực trị.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ. Cho hàm số f x có đạo hàm 4 3
3 1 2f x x x x , x . Số điểm cực trị
của hàm số đã cho là
A. 3 . B. 2 . C. 8 . D. 1 .
Hướng dẫn giải
C. LUYỆN TẬP
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm
3
1 2f x x x x , x . Số điểm cực trị của hàm số
đã cho là
A. 3 . B. 2 .
C. 5 . D. 1 .
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm
2 35 1 2f x x x x , x . Số điểm cực trị của hàm
số đã cho là
A. 3 . B. 2 .
C. 8 . D. 1 .
Chọn B
Nghiệm bội 1
Cho đạo hàm = 0
4 3
3 1 2 0f x x x x
4
3
3 0
1 0
2 0
x
x
x
3
1
2
x
x
x
Nghiệm bội 4
Nghiệm bội 3
Có 2 nghiệm bội lẻ
Trường THPT Marie Curie
7
DẠNG 4.
DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ, TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số y f x liên tục trên khoảng ;a b và có đồ thị như sau
Khi đó:
Hàm số đạt cực đại tại 3 x và 3x .
Hàm số đạt cực tiểu tại 1x .
3;2A và 3;0B là các điểm cực đại của đồ thị hàm số.
1; 2C là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
2y và 0y là các giá trị cực đại của hàm số.
2 y là giá trị cực tiểu của hàm số.
Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối
Cho hàm số y f x có đồ thị C . Khi đó:
1. Đồ thị hàm số y f x vẽ như sau:
Bên trên trục Ox : Giữ nguyên đồ thị C .
Bỏ phần đồ thị C bên dưới trục Ox và lấy phần bỏ này đối xứng qua trục Ox .
2. Đồ thị hàm số y f x vẽ như sau:
Bên phải trục Oy : Giữ nguyên đồ thị C .
Bỏ phần đồ thị C bên phải trục Oy và lấy phần C giữ nguyên ở trên đối xứng qua trục
Oy .
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ;a b và có đồ thị như hình vẽ bên
dưới.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.
O
x
y
2
1
–7
4
–2
–3 –4
3
b
y
–
3
x
a
O
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CƠ BẢN
8
Hướng dẫn giải
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên 2;2 và có đồ thị như hình vẽ bên
dưới.
Hàm số ( )y f x đạt cực đại tại
A. 2x . B. 1x . C. 1x . D. 2x .
Hướng dẫn giải
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên 2;2 và có đồ thị như hình vẽ bên
dưới.
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho bằng
A. 3 . B. 2 5 . C. 3 2 . D. 10 .
Hướng dẫn giải
Cực đại
b
y
–
3
x
a
O
Cực đại
Cực tiểu Cực tiểu
Chọn A Có 4 cực trị
O x
y
1 2
4
–1
–2
–4
–2
2
Cực đại
Cực tiểu
Chọn B
O x
y
1 2
4
–1
–2
–4
–2
2
O x
y
1 2
4
–1
–2
–4
–2
2
Chọn B
Cực đại
Cực tiểu O x
y
1 2
4
–1
–2
–4
–2
2
1; 2A
1; 2B
2 2 2 2
1 1 2 2 2 5B A B A
AB x x y y
Trường THPT Marie Curie
9
Ví dụ 4. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có phương trình
A. 5 7y x . B. 5 7y x . C. 1 7
3 3y x . D.
1 7
3 3y x .
Hướng dẫn giải
Ví dụ 5. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Số điểm cực trị của hàm số 3 2y a x bx c x d là
A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 6. Cho hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Số điểm cực đại của hàm số 4 2y ax bx c là
A. 3. B. 5. C. 6. D. 7.
x
O
y
2 –1
–1
–2 –3
Chọn C
Cực tiểu Cực tiểu
1; 2A
2; 3B
21 1 7:
2 1 3 2 3 3A A
B A B A
x x y y yxAB y x
x x y y
x
O
y
2 –1
–1
–2 –3
O x
y
x
O
y
Chọn D
O x
y
O x
y
Bên phải Oy giữ nguyên
O x
y
Bỏ phần bên trái Oy
O x
y
Lấy đối xứng qua Oy
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CƠ BẢN
10
Hướng dẫn giải
C. LUYỆN TẬP
Câu 1. Cho hàm số y f x liên tục trên ;a b và có đồ
thị như hình vẽ bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 6. B. 4.
C. 3. D. 2.
Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục trên ;a b và có đồ
thị như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 4. B. 1.
C. 2. D. 3.
Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên ;a b và có đồ
thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1. B. 0.
C. 2. D. 3.
Câu 4. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
A. 1x . B. 1x .
C. 0x . D. 2x .
Câu 5. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hàm
số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
A. 2x . B. 3x .
C. 2x . D. 0x .
Câu 6. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên.
Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã
cho bằng
A. 3 . B. 10 .
C. 2 . D. 2 .
x O
y
2
–1
1
1
x
O
y
2 –1
–1
–2 –3
O x
y
b a
x O
y
a b
x O
y
a
b
x
O
y
2 –1
–1
–2 –3
Chọn A x
O
y
x
O
y
Bên trên Ox giữ nguyên
x
O
y
Bỏ phần bên dưới Ox
x
O
y
Lấy phần bỏ này đối xứng qua Ox
Trường THPT Marie Curie
11
Câu 7. Cho hàm số ( )y f x có đồ thị là đường cong trong
hình vẽ bên. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số đã cho có phương trình
A. 1
12
y x . B. 1
12
y x .
C. 2 2y x . D. 2 2y x .
Câu 8. Cho hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị như hình vẽ
bên. Số điểm cực trị của hàm số 4 2y ax bx c là
A. 2. B. 5.
C. 4. D. 3.
Câu 9. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình
vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số 3 2y a x bx c x d là
A. 0. B. 1.
C. 3. D. 2.
Câu 10. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d , , ,a b c d có
đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực tiểu của hàm số 3 2y ax bx cx d là
A. 2. B. 4.
C. 5. D. 3.
DẠNG 5.
DỰA VÀO ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ, TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 2;3 và 'y f x có đồ thị như hình vẽ sau
Hàm số y f x có bao nhiêu cực trị?
Đồ thị hàm số 'y f x cắt trục Ox tại 2 điểm Phương trình ' 0f x có 2 nghiệm đơn
Do đó hàm số y f x có 2 cực trị.
x O
y
O x
y
O x
y
O
–2
y
x –1
2
2
x O
y
1 2
3 –1 –2
–2
–1
1
2
'y f x
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CƠ BẢN
12
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ;a b và 'y f x có đồ thị như hình
vẽ bên dưới.
Trên khoảng ;a b , hàm số y f x có bao nhiêu cực trị?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 2. Cho hàm số y f x và hàm số ' 'y f x có đồ thị như hình bên dưới.
Khi đó hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Hướng dẫn giải
O x
y
a b
'y f x
Chọn B
O x
y
a b
'y f x
Cắt Nghiệm đơn
Cắt Nghiệm đơn
Tiếp xúc Nghiệm kép
Có 2 nghiệm đơn
x O
y
3 1 2
'y f x
Chọn D
Nghiệm đơn 1x
x O
y
3 1 2
'y f x
Nghiệm đơn 2x
Nghiệm đơn 3x
0f x
0f x
0f x
0f x Cực tiểu
– x
'f x
f x
1
1
3
–
+
0 –
+
0
2
0 +
Cực tiểu
Trường THPT Marie Curie
13
C. LUYỆN TẬP
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
;a b và 'y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Trên khoảng
;a b , hàm số y f x có bao nhiêu cực trị?
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 0.
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
;a b và 'y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Trên khoảng
;a b , hàm số y f x có bao nhiêu cực trị?
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 4.
Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
;a b và 'y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Trên khoảng
;a b , hàm số y f x có bao nhiêu cực tiểu?
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 0.
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
;a b và 'y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Trên khoảng
;a b , hàm số y f x có bao nhiêu cực đại?
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 0.
DẠNG 6.
XÉT ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP
A. PHƯƠNG PHÁP
Cho hàm số y f x . Xét cực trị của hàm số ( )g x f u x .
Cách giải
Tính đạo hàm: ( ). ( )g x u x f u x
Cho đạo hàm bằng 0:
( ) 00 ( ). ( ) 0
( ) 0
u xg x u x f u x
f u x
(*)
(*) có bao nhiêu nghiệm bội lẻ thì hàm số ( )g x f u x có bấy nhiêu điểm cực trị.
O x
y
a b
'y f x
O x
y
a b
'y f x
O x
y
a b
'y f x
O x
y
a b
'y f x
CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ PHẦN CƠ BẢN
14
Câu 10. Cho hàm số ( )y f x có đúng ba điểm cực trị là
2; 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên . Khi đó hàm số 2( 2 )y f x x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 4.
C. 3. D. 6.
Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của
hàm số y f x như hình vẽ bên. Khi đó hàm số
2y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 . B. 4 .
C. 3 . D. 5 .
Câu 12. Cho hàm số bậc bốn y f x . Hàm số 'y f x có
đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
2 2 2y f x x là
A. 1. B. 2.
C. 4. D. 3.
Câu 13. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có
bảng xét dấu f x như hình bên. Hàm số 2 2y f x x có
bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 1 . B. 2 .
C. 3 . D. 4 .
Câu 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm
22' 1 4f x x x x . Khi đó hàm số 2y f x có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 4. B. 3.
C. 5. D. 2.
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm
2 21 2f x x x x , với mọi x . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số
2 8y f x x m
có 5 điểm cực trị?
A. 15 . B. 17 .
C. 16 . D. 18 .
Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên ;a b và có đồ
thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số 2
y f x
x O
y
5 2
x O
y
3 –1 1
2
– x
y’
1
0
+
0
–2
–
+ –
3
0 +
y
O x a b
Trường THPT Marie Curie
15
trên ;a b là
A. 4 . B. 6 .
C. 2 . D. 5 .
