DEFORMASI_BALOK

V. DEFORMASI DAN SUDUT PUTAR BALOKV. DEFORMASI DAN SUDUT PUTAR BALOK

SEDERHANASEDERHANA

Tujuan Instruksional Khusus :

Pada akhir perkuliahan mahasiswa akan dapat menghitung deformasi dan sudut putar struktur balok statis tertentu dengan 100 % benar.

dx

Y

X

d

d

dy

A

B

V. DEFORMASI BALOK

Syarat stabilitas struktur

1. Kapasitas beban < kapasitas bahan ( σ ≤ σ , τ ≤τ )

2. Lendutan /deformasi maximum < lendutan ijin

3. Metode untuk menentukan lendutan balok dan sudut putar balok antara

lain Momen Area Method

Persamaan Differensial dari kurva lendutan

Gambar 1. Kurva lendutan

Ditinjau 2 titik yang berdekatan

D = sudut antara garis singgung, r = jari-jari kelengkungan

ds = r d

1r

=|dφds

| nilai kelengkungan

ds2 = dx2 + dy2

23

ds = dx √1+( dydx )

2

ds = dx √1+( y ' )2

dydx

= y ' = tgφ

y ' ' =d ( y ' )

dx= d ( tg φ )

Pada penerapan praktis lendutan balok yang diperbolehkan/diijinkan relatif kecil

sehingga kurva lendutan balok hampir datar, sehingga dy/dx relatif kecil, y”

sangat kecil, sehingga

ds ≃ dx y ' = tgφ ≃φ y ' ' =d ( y ' )dx

≃ dφdx

jadi :

1r

=|dφds

| ≃ |dφdx

| =|y ' '|

Δ ds = y dφ ds = r dφΔ dsds

= yr

= ε

Hukum Hookeσ = E ε ε = σ

E

Tegangan lenturσ =

M x

Iy

sehingga

1r

= εy

= σy E

=M x

E I

1r

=M x

E I=−dφ

dx=− yx

' '

24

ds

d

ds

A BY

dy

r r

M

Gambar 2. Kurva lengkungan balok

A. Moment Area Method

Metode ini dikembangkan oleh Christian Mohr ( 1815 – 1918), metode luas

momen ini dikenal sebagai Teorema Mohr.

1. Lendutan Balok Kantilever

25

A B

XA X XB

XB - x = z

dx

ds

XB - x = z

y

B

Mx

Mx/ EI

Diagram M (momen lentur)

Diagram M / EI

Gambar 3. Diagram momen

dϕ x =M x

EI xdx

ϕ x =∫x A

xB

dϕ =∫xA

xB M x

EI xdx

Teorema Mohr Pertama

ds dx

dy = (xB − x ) dφ = zM x

EI xdx

y =∫x A

xB M x

EI x( xB − x ) dx

Teorema Mohr Kedua

26

EI

Ymax = YL

F

R = F

L

max = L

Ax

yx

F L

F( L-x)

2/3 L

Dua Teorema Mohr di atas dapat dipakai untuk menghitung lendutan dan sudut

putar balok kantilever.

1. Lendutan dan sudut putar balok kantileverContoh

a. Beban terpusat bekerja pada ujung balok

Bidang Momen Lentur

Gambar 4. Balok kantilever dengan beban terpusat pada

EI = kekakuan balok

EI = konstan sepanjang sumbu balok

ϕmax . = ϕL = ( (F L ) L2 ) 1

EI= F L2

2 EI

Y max . = Y L =∫0

L M x

EI2 L3

dx

Y L =12 F L L

EI2 L3

=F L3

3 EI (satuan panjang)

atau

27

EI

Ymax = YL

q

L

max = L

A

x

yx

½ q l2

3/4 L

ϕ x = {F ( L−x ) x + F x x2 } 1

EI= F x

2 EI(2 L − x )

Y x = {F (L−x ) x x2

+ F x x2

23

x } 1EI

= F x2

2 EI (L − x3 )

b. Beban merata

Bidang Momen lentur

Gambar 5. Balok kantilever dengan beban merata

ϕmax = {( 12 q L2) L

3 } 1EI

= q L3

6 EI(dalam radial )

ymax = q L3

6 EI34

L = q L4

8 EI (satuan panjang)

28

z z z z z

A B1 2 3 4 5

1 2 43 5

A y1 y2 y3 y4y5

1 2 34

5

B

P

z z z z z

MM5

M4M3

M2M1

P

2A(2)

z2 Z’2

A . L

2. Lendutan Balok di atas dua tumpuana. Perputaran dari balok pada suatu tumpuan

Gambar 6. Balok tumpuan sederhana dengan beban terpusat

z kecil sekali, lendutan pada tengah-tengah z, jika kita menentukan pada

tumpuan-tumpuan dan pada titik 1, 2, 3…. 5, maka garis lendutan balok akan

diketahui. Misal deformasi diijinkan terjadi hanya pada satu sendi pada suatu

saat, misal pada sendi 2.

Δϕ A(2) L = Δϕ2 z2

'

Δϕ A(2) = Δϕ2

z2'

L→ Δϕ2 =

M 2

EI xΔz

29

z z z z z

1 2 3 4 5

M1/EIM2/EI

M3/EI M4/EIM5/EI

P1 P2 P3 P4 P5

z2 Z’2

Δϕ A(2) =

M 2

EI xΔz

z2'

L

Analog untuk sendi yang lain, sehingga A adalah jumlah semua kontribusi dari

A

φ A =∑M i

EI xΔz

z i

L 1

Kita lihat analogi persamaan 1 dengan sesuatu yang sama Mohr’s Analogy.

Perhatikan balok yang sama dengan pembebanan khusus P = M

EI x


Jika z sangat kecil, kita dapat memusatkan beban pada tengah-tengah z dan

mengambil Pi =

M i

EIΔz

Jika dapat menghitung bagian dari reaksi ΔA(2)

yang disebabkan oleh

P2 =M2

EIΔ z , kita peroleh ΔA

(2) L = P2 z2' Δ A

(2) L =M 2

EIΔz

z2'

L .

30

Analog P1, P2,…..P5 didapat Δ A(1)

, Δ A(3)

,ΔA(5)

. Reaksi A sama dengan semua

kontribusi Δ A

A =∑ M i

EIΔA

zi'

L 2

Kita bandingkan persamaan 1 dan 2 A = A

Jika kita bebani sebuah balok sederhana dengan beban lentur P = M

EI , reaksi

A untuk beban ini sama dengan A (putaran balok pada tumpuan A dalam

radial), reaksi B akan sama dengan B

Teorema Mohr Ketiga

b. Lendutan Balok

A1 2 3 4

B5

A B

z z z z z

z z z z zz

1

2

2

1

A z

MM

MM

M

31

Misal kita menghitung lendutan di nodal 3

y3 = ϕA 2 .5 Δz − Δ ϕ z Δz − Δϕ2 Δz 3

Kita ambil balok yang sama dengan beban khusus P = M

EI x , jika z kecil, kita

dapat memusatkan beban ditengah-tengah z dan diambil P = M

EIΔz

,

Misal kita hitung M 3

M3 = ϕ A 2 .5 ΔZ −M 1

EI2 Δz −

M2

EIΔz 4

dengan mengingat Δϕi =

M i

EIΔz , maka kita bandingkan persamaan 3 dan 4

sehingga y3 = M 3

Jika kita bebani sebuah balok sederhana dengan beban khusus P = M

EI ,

momen M akibat beban ini pada tiap-tiap titik dari balok adalah sama dengan

lendutan y dari titik tersebut.

Teorema Mohr Keempat.

32

281 LqM

EILq

EIMP

8

2

A

L

q

l85

l

AR

l83

p

lpluas 32M

Contoh

a. Beban merata

Gambar 9. Balok tumpuan sederhana dengan beban merata

RA = Q = 23

p l

=23

q L2

8 EIL2

= q L3

24 EI

ϕ A= RA = q L3

24 EIrad

Untuk x = L

2→ M = RA

L2

− Q 38

l

B

Q

33

LPM41

EILP

EIMP

4

MM

P

L/2 L/2

M = q L3

24 EIL2

− q L3

24 EI38

L2

M = q L4

48 EI (1− 38 )

M = 5384

q L4

EIsatuan panjang

b. Beban terpusat


Q

34

Q = Luas segitiga

= 12 p l

= 12

P L4 EI

L2

= 18

P L2

EI12

RA= ϕ = P L2

16 EI

Untuk x = L → M = R A

L2

− Q 13

L2

M = 116

P L2

EIL2

− 18

P L2

EIL6

35

M = P L3

48 EI

EI

y

P

R = P

x

L

y

M

x

Contoh Persamaan integrasi

a. Beban terpusat

Gambar 11. Balok kantilever dengan beban terpusat

M = - PL

RA = P

EI . d2 ydx2 = M x ⇔ −PL + P . x

EI dydx

=−P L x + 12

P x2 + C1persamaan sudut putar

EI y =−12 P L x2 + 1

6 P x3 + C1 x + C2 persamaan garis elastis

Kondisi batas

1. x = 0 y = 0 : pada tumpuan lendutan = 0

2. x = 0 dy/dx = 0 : pada tumpuan sudut putar = 0

1.EI dy

dx=−P L 0 + 1

2P 02 + C1 = 0

2. EI y =−12 P L 02 + 1

6 P 03 + C1 x + C2 = 0

sehingga.

EI d2 ydx2 =−P L + P x

EI dydx

=−P L x + 12

P x2

36

EI

qx

L

A B

EI y =−12 P L x2 + 1

6 P x3

untuk x = L

EI dydx

=−P L L + 12

P L2 ⇔ − 12

P L2 rad

EI y =−12 P L L2 + 1

6 P L3 ⇔ − 13 P L3

y =− P L3

3 EI

b. Beban merata

Gambar 12. Balok kantilever dengan beban merata

M x =− 12 q x2

1. EI y ' ' =− 12 q x2

2. EI y ' =− 16 q x3 + C1

3. EI y =− 124 q x4 + C1 x + C2

Kondisi batas

a. di tumpuan x = L y’ = 0 y = 0

EI y ' =− 16 q x3 + C1 = 0 ⇔ C1 = 1

6 q L3

EI y =− 124 q L4 + 1

6 q L3 L + C2 ⇔ C2 =− 18 q L4

jadi

EI y ' =− 16 q x3 + 1

6 q L3persamaan sudut putar

37

x

L/2 L/2

P

A

a

a

b

b

B C

I III

II

x

P L/2

P L/2 + 1/8 q L2

EI y =− 124 q x4 + 1

6 q x3 L − 18 q L4

persamaan lendutan

lendutan maximum di B x = 0

EI y =− 124 q 04 + 1

6 q 03 L −18 q L4

y = − q L4

8 EIsudut putar di B x = 0

EI y ' =− 16 q x3 + 1

6 q L3 y ' = q L3

6 EI

c. Beban merata dan beban terpusat

Bidang Momen

Gambar 13. Balok kantilever dengan beban merata dan terpusat

38

Lihat kanan potongan a – a

Mx = - P .x

x = 0 → M c = 0

x = L2

→ M B =−P L2

Lihat kanan potongan b – b

M x =−P ( L2

+ x) − 12 q x2

x = 0 → M B =−P L2

x = L2

→ M A =−P L − 18

q L2

Lendutan dan sudut putar di titik B

ϕ B = Luas I + Luas IIEI

= {(P L2

L2 ) + [(P L

2+ 1

8 q L2) L2

13 ]} 1

EI

= [ 14

P L2 + 112

P L2 + 148

q L3] 1EI

= [ 13

P L2 + 148

q L3 ] 1EI

rad

Y B= {( 14 P L2 L

4 ) + [( P L2

12 +q L3

48 ) 34

L2 ]} 1

EI

= ( 116

P L3 + 132

P L3 + q L4

128 ) 1EI

= ( 332

P L3 + q L4

128 ) 1EI ( satuan panjang)

39

75 75

P

h

b

Lendutan dan Sudut Putar di titik C

ϕC = Luas I + Luas II + luas IIIEI

= {(P L2

L2 ) + [(P L

2+ 1

8 q L2) L2

13

+ P L2

L2

12 ]} 1

EI

= [ 14

P L2 + 112

P L2 + 148

q L3 + 18

P L2] 1EI

= [1124

P L2 + 148

q L3 ] 1EI

rad

Y C= {( 14 P L2 ( L

4 +L2 )) + [( P L2

12 +q L3

48 ) ( 34

L2 +

L2 ) +

18 P L2 L

223 ]} 1

EI

= ( 316

P L3 + 796

P L3 + 7 q L4

384+ P L3

48 ) 1EI

= ( 2996

P L3 + 7 q L4

384 ) 1EI

(satuan panjang )

B. Aplikasi Alat Peraga

Perhitungan lendutan balok diatas tumpuan sederhana akibat beban terpusat

40

Gambar 14. Balok diatas tumpuan sederhana dengan beban terpusatRumus lendutan yang digunakan adalah

Y C = P . L3

48 E I

dengan :Yc = Lendutan maksimum balok yang terjadi (cm)P = beban terpusat (kg)L = panjang bentang (cm)E = Modulus elastisitas ( E = 2,1 x 106 kg cm-2)I = Momen inersia penampang (cm4)

Tabel 1. Data hasil perhitungan secara teoritis dan hasil pengukuran dengan alat peraga

No Demensi (mm) P (kg) Teoritis (mm) Hasil Uji (mm)h = 2,4 2,27 0,412 0,500

1 b = 16 4,54 0,825 0,9006,81 1,237 1,500

h = 22,8 2,27 0,938 1,0002 b = 8,2 4,54 1,877 1,900

6,81 2,815 2,900

41

Documents

DEFORMASI_BALOK