DEKOMPOSISI-LU.doc.docx

MAKALAH

METODE DEKOMPOSISI LUDiajukan sebagai memenuhi salah satu tugas mata kuliah analisis numeric

Kelompok 4 :

NamaNim

Bella Reuni1213015

Defri Muhfudli N1213006

Hardi1213005

Julhendri1213010

Ari Ramadhan1213013

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI INDONESIA

STTIIndonesia

TANJUNG PINANG

2014Solusi SPAL dengan Teknik Dekomposisi LUA. Prinsip Dekomposisi LU dan IdentitasMatriks [A] dari SPAL didekomposisi (difaktorisasis) menjadi matriks-matrik segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U)sedemikian rupa sehingga identitasnya adalah:[A] = [L][U] atau A = LUB. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode DoolittleNotasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb:L = Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L diatas berharga 1 (satu) !

Notasi matriks U dituliskan sbb:U = Perhatikan, bahwa semua elemen yang terletak di bawah diagonal dari matriks U di atas (= u1,1 un,n) berharga 0 (nol) !C. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode CroutNotasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb:L = Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L diatas tidak harus berharga 1 (satu), sedangkan, elemen-elemen di atas diagonal semuanya berharga 0 (nol) !

Notasi matriks U dituliskan sbb:

U= Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal (= u1,1 un,n)berharga 1 (satu), sedangkan yang terletak di bawahnyaberharga 0 (nol) !D. Notasi Matriks A dan LU dalam SPALNotasi Matriks LU sebagai dekomposan matriks A dapat dituliskan dalam SPAL sbb:

[A] [x] = [L][U][x] = [b]

Sehingga, dalam notasi Metode Doolittle dapat dituliskan: = Sedangkan, dalam notasi Metode Crout dapat dituliskan: =

E. Deskripsi Tahapan dan Strategi DekomposisiNotasi A = LU dalam Metode Doolittle seperti di atas dapat diuraikan dalam operasi perkalian matriks (sebagai contoh:matriks n x n) sbb:Baris 1 (i = 1): ; i= 1,...,nBaris 2 (i = 2):

Baris 3 (i = 3):

Baris n (i = n):

# Dari operasi-operasi perkalian matriks LU seperti di atas, dapat disimpulkan beberapa hal berikut:1. Mekanisme proses dekomposisi dilakukan dengan cara mengisi terlebih dahulu baris pertama matriks U. Selanjutnya, mengisi matriks L pada baris terendah terlebih dulu (mulai baris ke-2), dan kemudian diikuti pengisian matriks U pada baris yang sama, demikian seterusnya sampai baris terakhir (ke-n).

2. Harga-harga dari semua elemen matriks U pada baris 1 identik dengan elemen-elemen matriks A (matriks asal),

3. Harga-harga elemen pada kolom 1 untuk matriks L, dapat dihitung menggunakan persamaan berikut: li,1 = ai,1 / u1,1 ; i = 2,,n4. Jumlah maksimum operasi penjumlahan per elemen matriks A sesuai dengan jumlah/posisi baris,

5. Pada baris rendah, langkah/iterasi pengisian matriks U lebih banyak dibandingkan dengan matriks L, dan sebaliknya.F. Algoritma Dekomposisi dan Komputasi Praktis1. Algoritma solusi numerik dengan Metode Doolittle:Baris 1:u1,i = a1,i ; i =1,...,nBaris 2: Pengisian matriks L:

Pengisian matriks U:Baris 3: Pengisian matriks L:

Pengisian matriks U:

Baris n: Pengisian matriks L:

Pengisian matriks U:

G. Manfaat Dekomposisi LU untuk Solusi SPALSolusi SPAL [A] [x] = [b], melalui teknik dekomposisi matriks [A], sangat bermanfaat untuk menyelesaikan problem-problem ataupun model matematis yang membentuk SPAL dengan matriks [A] yang sama untuk berbagai vektor jawab, [b]. Dengan teknik dekomposisi LU ini, penyelesaian akan menjadi sangat efisien dan banyak menghemat waktu pada saat telah diperoleh dekomposisi matriks [A], karena hasil dekomposisi LU tersebut dapat dipakai untuk semua SPAL dengan matriks [A] yang identik. Bentuk umum SPAL yang menggunakan matriks [A] yang identik, seperti disebutkan di atas, dapat dituliskan sbb:

Perhatikan, bahwa bentuk di atas sesungguhnya merupakan perkalian 2 bentuk matriks, antara matriks bujur sangkar [A] yang berdimensi n x n dengan matrik segi 4 yang berdimensi n x m, dengan hasil matriks lain yang juga berdimensi n x m!Contoh soal

Tentukan x1, x2 , x3 dan x4 dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan metode dekomposisi LU

X1 2x3 + 7x4 = 11

2x1 x2 + 3x3 + 4x4 = 9

3x1 -3x2 + x3 + 5x4 = 8

2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 =10Jawab:

Sistem persamaan linier tersebut dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut, = , dengan A = X = dan B =

Jadi U = Ly = B UX =

DAFTAR PUSTAKAAtkinson, Kendal E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, Toronto, pp. 33-39, 1978.Atkinson, L.V., Harley, P.J., An Introduction to Numerical Methods with Pascal, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, pp. 49-59, 1983.Bismo, Setijo, Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik, Jurusan TGP-FTUI, 1999.