Dengeleme Hesab I Dengeleme Hesab II

Yrd. Do. Dr. Kurtulu Sedar GRM

Ders Ak.

Giri ve Ama Hata Teorisi, Hata Trleri

l ve Hata Hata Trleri Doruluk ltleri Kovaryans ve Korelasyon Hata Yaylma Kural

llerin Dengelenmesi Dolaysz ller Dengelemesi Dolayl ller Dengelemesi

Giri ve Ama

Dengeleme hesabnn amac; gereinden fazla sayda yaplm llerden hi birini seip ayklamakszn bilinmeyenlerin Kesin Deer ya da Dengeli Deer diye adlandrlan en uygun deerini belirlemek, llerin kesin deerlerinin ya da duyarlklarnn ve gvenilirliklerini saptamaktr.

Bu amaca ulaabilmek iin uygulanan ilke EN KK KARELER YNTEMdir.

ller ayn alet, ayn lmeci ve ayn koullar altnda yaplsa bile, geometrik ya da fiziksel byklklerin llmesi sonucunda elde edilen deerler hata ile ykldr. Sz konusu hatalar;

1.lme iini yapanlarn duyu organlarnn yetersizliinden, 2. l aletlerinin yeterince gelimi olmamalarndan, 3. Fiziksel evre koullarndan kaynaklanabilir. Bu nedenle uygulamada gerekli sayda l ile yetinilmez,

gereinden fazla l yaplr. ller arasndaki ilikileri grebilmek ve llerle bilinmeyenler arasndaki fonksiyonel ilikileri kurabilmek iin dengeleme hesab yaplr.

Jeodezi ve Fotogrametri Mhendisleri iyi bilir ki; lme ilemi ayn kii, ayn alet ve ayn koullar altnda tekrarlansa bile sonular birbirinden az ya da ok farkl olur.

Teorik anlamda hatasz l olmayaca iin gereinden fazla lm yaplarak llerdeki hatalarn olumsuz etkilerinden kurtulmaya allr.

llen bykln gerek deeri belirlenemez. Gerek deeri kesin olarak belirleyebilmek iin sonsuz lm yapmak gerekir. Bunun yerine DENGELEME HESABI ile lye ait iyi bir kestirim deeri (Kesin Deer) elde edilebilir.

Dengeleme Hesabnn yaplabilmesi iin tek koul fazla l saysnn olmasdr.

u bilinmeyenli bir problem iin (n) adet l verilmise; f=n-u : Fazla l says olmak zere

f>0 ise dengeleme yaplr f=0 ise cebrik zm yaplr f

Dengeleme Hesab ile tm llerden yararlanarak bilinmeyenlerin gerek deer olma olasl en yksek olan dengeli deer elde edilir.

Hata Kuram

Her l hata ile ykldr

Dengeleme Hesabnn amac Kesin Deer diye adlandrlan temel deerin bulunmasdr.

Bir lnn beklenen deerden farkna hata ya da l hatas ad verilir. Beklenen deer genellikle bilinmediinden onun yerine kestirim deeri kullanlr.

Temel Tanmlar Gerek Deer; Teorik anlamda hatasz l

yaplamayaca iin llerin gerek deeri bilinemez. genin i alar toplam gerek deerdir

Kesin Deer; Gerek deer olma olasl en yksek olan ve gereinden fazla sayda llerden dengeleme hesab ile bulunan deerlerdir. Hata=l-Olmas gereken deer

=

Dzeltme ise hatann ters iaretlisidir. = =

l-Gerek Deer=Gerek Hata =

l-Kesin Deer=Kesin Hata

=

= Gerek Dzeltme

= Dzeltme

Hata Trleri

Oluumlar bakmndan hatalar balca 3 gruba ayrlr Kaba Hatalar; lmecinin dalgnl ya da yorgunluu

nedeni ile ortaya kan hatalardr. A lmndeki Grad hatas, elik erit metre ile lmde tam say unutulmas vs Bu hatalar ortadan kaldrmak iin byklkler ok sayda tekrarlanr. l dizisinde dierlerinden nemli bir ekilde sapan deerlerden kukulanlr.

Dzenli (Sistematik) Hatalar; lleri dzenli, ounlukla kurall bir biimde etkileyen hatalardr. rnek olarak Nivelmanda mira lek hatas, elik erit metrede sfr noktas hatas vsBu hatalarn en nemli zellii deimeyen artlar altnda eit byklkler olarak ortaya kmalardr. l aletleri ayarlanarak etkileri azaltlabilir.

Hata Trleri

Dzensiz (Rasgele, Tesadfi) Hatalar; l hatalarnn en nemli snfn ve dengeleme hesabnn konusunu oluturan hata trdr. Bir lnn rasgele hatasnn bykl ve iareti nceden kestirilemez. Bu hatalar, lme aletlerinin kusursuz olmamas, gzlemcinin alglama gcnn snrl olmas, scaklk, basn, rzgar gibi d etkenlerin deiken olmasnn doal sonucu olarak ortaya kar.

Duyarlk ltleri

llerden herhangi birinin ne kadar gvenilebilir olduu konusunda bilgi verebilmek iin tanmlanm ltlerdir. Ayn bir bykln birden ok llmesi sonucunda elde edilen l dizilerinden yararlanlarak tanmlanr. aretlerinin pozitif olma olasl negatif olma olaslklarna eit olmalarndan dolay iaretleri olarak alnr.

Doruluk gerek deere olan yaklamdr. Duyarlk ise birden ok sayda yaplan lmelerin kendi aralarndaki

tutarlln bir gstergesidir. Bu ltler, llerin ne denli gvenilir olduklar konusunda bilgi

vermek iin tanmlanmtr. Doruluk ltleri bir aralk tanmlad iin iareti ile yazlr. Duyarlk olarak ifade edilen saysal deerin kkl lnn

kalitesini, bykl ise kalitesizliini gsterir.

1- Mutlak Hata

Gerek deeri bilinen bir bykln n kez llmesi durumunda;

= (i=1,2,3,.,n)

Gerek hata=l-Gerek Deer

Mutlak Hata ise t ile simgelenir

t = =1

2- Ortalama Hata (Karesel Ortalama Hata KOH, Standart Sapma, RMS)

Ortalama hata yerine daha ok standart sapma deyimi kullanlr. Dengeleme hesabnda ise ortalama hataya karesel ortalama hata denilir.

Bu lt en ok kullanlan lt olup Gauss tarafndan tanmlanmtr. l dizisindeki gerek hatalarn karelerinin ortalamasnn karekk olarak hesaplanr.

=

Formle bakldnda hatalar kareleri orannda ortalama hataya tesir ettikleri iin byk hatalarn sonuca etkisi yksektir. Bu nedenle ortalama hata kaba hatal llerden ar etkilenir.

Ortalama Hata (Karesel Ortalama Hata KOH, Standart Sapma, RMS)

Ayn bir bykln llmesi sonucunda elde edilen bir l dizisinin gerek hatalarn ya da llerin kesin deerden farklar olan dzeltmelerin kareleri toplam l saysna blnr ve hesaplanan bu deerin karekk alnarak bulunur.

Yaygn olarak kullanlan bir duyarlk ltdr. Hatalar kareleri orannda ortalama hataya tesir ettikleri iin byk hatalarn sonuca etkisi byktr. Bu nedenle ortalama hata kaba llerden ar olarak etkilenir.

Eer ortalama hata gerek deerlerden (gerek deerler her zaman bilinemez) elde ediliyorsa;

Eer ortalama hata dzeltme deerlerinden elde ediliyorsa

eklinde formlze edilir. Bu forml duyarlklar (arlklar) eit korelsyonsuz ller iin geerlidir.

Burada n l saysdr. Gerek deer bilindii zaman, bilinmeyen olmadndan dolay paydaya n yazlr. Gerek deer bilinmedii zaman paydaya n-1 yazlr. Buradaki 1 rakam bilinmeyen saysn ifade eder.

3-Olas Hata

Mutlak deer olarak byklk srasna dizilmi gerek hata kmesinin medyan olas hata deeridir. Bir dizinin medyan eleman says tek ise dizinin

ortasndaki deer, eleman says ift ise ortadaki deerin aritmetik ortalamasdr.

Bal Hata; Bir lde yaplan hatann lye orandr.

=

rnek;

Bir uzunluun gerek deeri 1385.765 m olarak verilmitir. Bu bykle ait 10 adet l de aada verildiine gre;

llere ait gerek hatalar

Karesel ortalama hatay

Mutlak hatay

Olas hatay

Bal hatay bulunuz.

.765 .767 .766 .765 .768

.766 .763 .760 .769 .763

rnek 2

Uzunluu 100.000 m olan bir ayar baz iki ayr lme ekibince mm birimine kadar okuma yaplarak elik eritle 20er kez llmtr. Her iki lme ekibinin elde ettii sonular verildiine gre l dizisi iin bir lnn ortalama hatasn, ortalama hatasn ve olas hatasn hesaplaynz.

100.002 100.000

99.998 99.999

99.995 100.005

100.003 100.007

100.000 99.994

100.003 99.995

100.001 99.997

99.998 100.002

99.998 100.004

100.004 99.998

100.002 99.994

100.001 100.000

99.998 100.002

99.996 100.006

99.999 99.999

99.995 99.994

100.002 100.006

100.002 99.997

100.001 99.997

100.004 100.002

Hata Kuram

Bir l ok sayda tekrarlandnda ortaya kan hatalar incelenirse bunlarn belirli kurallara uyduu grlr;

(+) iaretli hata says yaklak olarak (-) iaretli hata saysna eittir.

Kk hata yapma olasl byk hata yapma olaslndan byktr.

Hatalarn sfr civarnda ylmalar en fazladr.

Gaussa gre bir () hatasnn gerekleme olasl;

=1

0 22

202 < < +

0 = 0;

e= 2.718281

= ; Gerek hata

Gaussun En Kk Kareler Yntemi ile Dengeleme lkesi

Dengelemenin amac, fazla llerden yararlanarak bilinmeyenlerin en uygun, olasl en fazla olan deerlerini elde etmek, llerin ve bilinmeyenlerin duyarlklar hakknda bilgi edinmektir.

Dzeltmeler 1, 2, . . ile gsterilirse bu dzeltmelerin olaslklar;

(1)=(1)=1

0 21

2

202

(2)=(2)=1

0 22

2

202

. . .

()=()=1

0 2

2

202 olur

Dengeleme hesabnda bu dzeltme verilerinin llerin hepsine uygulanmas istenir. Bu olayn olasl P(D) ile gsterilirse, olaslk hesabnn arpm kuralna gre; A ve B olaslklar P(A) ve P(B) olan iki olay ise bu iki

olayn rneklemede birlikte olma olaslklar; P(A B) =P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B) ile hesaplanr

P(B|A); Koullu olaslk

P(B|A)= P(A B)()

, P(A|B)= P(A B)()

olur

()=(1)=1

02

2

1

2+22++

2

202

olarak bulunur.

Dengeleme hesabnn amac, olasl maksimum olan deeri elde etmek olduundan; P(D)=Max olmas gerekir.

P(D) maksimum olmas iin;

1

2+22++

2

202 =minimum olmas gerekir.

12 + 2

2 ++ 2=[VV]==Min

Yukardaki son eitlik duyarlklar eit llerin En Kk Kareler Yntemine gre dengeleme ilkesi denilir.

Duyarlklar farkl llerin dengelenmesi sonucunda duyarl mi olan bir lsne dzeltmesi getirme olasl;

()=()=1

2

2

22 i=1,2,.,n

P(D)=P(1) P(2) . P()

Arlk Tanm; =1

2

Burada P() deerleri yerine koyulursa;

()=(1)=1

2

21.2

11

2+222++

2

2

Burada P(D)=Max olabilmesi iin;

112 + 22

2 ++ 2=[PVV]= =

Arlklar farkl gzlemlerin En Kk Kareler Yntemi ile Dengelem lkesidir.

Hata Erisi

Gauss l hatalarna ilikin younluk fonksiyonunun an erisi eklinde olduunu kantlam ve buna Hata Erisi adn vermitir.

Sklk

(hata)

Olaslk Dalmlar Rasgele Deiken; Rastgele bir rneklemenin

sonucunu gerel saylarla gsteren bir fonksiyondur. (Trafikteki kaza says, ehirde yaayan insanlarn boylar, yoldan geen otomobil says vs) Bir X rassal deikeninin a deerini alma olasl

P(X=a) Xin I(a,b) aralnda olma olasl P(a

rnek

Dzgn bir zarla atta elde edilecek X rastgele deikeni durumu

P(X=1) , P(X=2)

P(1

Varyans ve Standart Sapma

X rastgele deikeninin ortalama deer civarndaki yaygnlnn ltdrler.

Bir rastgele deikenin ald deerler ortalama deer civarna ne kadar ylrsa dalmn varyans (2) ya da standart sapmas () o derece kk olur.

mit (Ortalama) Deer

Bir dalmn ortalama ya da mit deeri ile gsterilir.

= +

forml ile hesaplanr.

Dzgn bir zarla atta elde edilecek say X rasgele deikeni ile gsterilirse, bu rasgele deikenin olaslk fonksiyonu;

f(x)=1

6 x=1, 2, .., 6

mit Deer; = 1.1

6+ 2.

1

6+ 3.

1

6+ 4.

1

6+

5.1

6+6.

1

6=?

Bu zar ile 1000 at yaplrsa atlan saylarn toplamnn 1000*? Olmas beklenir.

Normal Dalm l hatalarna ilikin younluk fonksiyonu an

erisi biimindedir ve buna Normal Dalm ya da Gauss Dalm denir.

Olaslk fonksiyonu ()nun - ile + snrlar arasnda kalan alan tm alann %68idir.

Yani l hatalarnn %68i bu aralkta ylmtr.

()

- +

()

Yukardaki tablodaki bilgilerden, rasgele l hatalarnn 1/400nn baka bir deile 1000 hatadan yalnzca 3nn mutlak deerce, ortalama hatann 3 katndan byk olduu grlmektedir.

Bu nedenle jeodezik almalarda genellikle ortalama hatann 3 kat, hata snr olarak kabul edilir ve bundan daha byk hatalar kaba hata olarak yorumlanr.

Snrlar () 1-() - ile + 0.6827 1/3

-2 ile +2 0.9546 1/20

- ile + 0.9973 1/400

-4 ile +4 0.9999 1/10000

Normal Dalmn Younluk Fonksiyonu

Normal Dalmn Dalm Fonksiyonu

=

Burada X; Rastgele Deiken, ; mit

Deer ve ; standart sapmadr.

F(x)=(

)=()

P(1 < < 2) = 2 1

=(2

)-(

1

)

= 2 (1)

= 1 ()

1- 0.7088

rnek

Bir a lsnn ortalama deeri 42.6540 grad ve standart sapmas 8 grad saniyesi olarak verilmektedir.

llen bir ann 42.6564 graddan byk olmas

llen bir ann 42.6530 ile 42.6560 grad aralnda olma olaslklarn hesaplaynz

rnek

Bir a bykln gsteren X deikeni normal dalmldr. Beklenen deer =400 grad ve standart sapmas =2 mgraddr. l deerleri iin;

399.9980 graddan kk olmas

399.9980 ile 400.0030 grad aralnda olmas

400.0040 graddan byk olmas olaslklarn hesaplaynz

Kovaryans ve Korelasyon

Kovaryans iki rastgele deiken arasndaki ilikiyi gsteren bir parametredir.

Kovaryans (+), (-) iaretli herhangi bir deer veya sfr olabilir. x ve y normal dalml iki rastgele deiken ise ikisi aras

kovaryans ;

= ( ) biiminde tanmlanr.

(+) ise x ve y deikenler art korelasyonlu, (-) iaretli ise eksi korelasyonludur denir. = 0 ise korelasyonsuz yani birbirinden bamszdr.

Korelasyon ise kovaryansn standartlatrlm halidir.

x ve y rastgele deikenleri standartlatrlrsa bunlarn arpmlarnn beklenen deerine Korelasyon Katsays denilir. Korelasyon katsays ;

=

=

dir.

birimsiz bir byklktr ve -1 ile +1 aras deerler alr.

Kovaryans her deeri alabileceinden uygun bir korelasyon lt deildir. Bu nedenle korelasyon lt olarak korelasyon katsays kullanlr.

Korelasyon katsays sfra ne kadar yakn ise x ve y deikeni arasnda zayf, 1 e yaknsa kuvvetli bir ilikiden sz edilir.

llen byklklerin gerek byklkleri ,, ller ise , olsun; = - = - sapmalar ile varyans ve

kovaryans iin;

2 =

,

2 =

,

2 =

eitlikleri geerli

olur

llen byklklerin gerek deerleri bilinmiyorsa varyanslar ve kovaryanslar dzeltmeler yardm ile belirlenir;

2 =

1,

2 =

1 ,

2 =

1

Deneysel (apraz)Korelasyon Katsays

=

-11 olarak hesaplanr.

ise otokorelasyon katsaylardr.

rnek; Her ikisi de n elemanl x ve y kmesinin standart sapmalar = 1.11 , =2.22 ve

aralarndaki kovaryans = 1.25 olduuna gre korelasyon katsaysn hesaplaynz

rnek

Leica TS15 marka uzaklk lerin ayarlanmas ve bu aletle yaplan uzunluk lleri arasndaki korelasyonlarn belirlenmesi amalanmaktadr. lke nirengi ann Zonguldak/Merkez baz bu aletle 30u leden nce ve 30u leden sonra olmak zere 60 kez llmtr. Bu bazn invar telle llp indirgenmi uzunluunun 9605.343 m olduu bilindiine gre, bu aletle llen uzunluklarn ortalama hatalarn ve aralarndaki korelasyonlar hesaplaynz.

Kovaryans-Kofaktr ve Arlk Matrisleri

x1, x2,..,xn normal dalml rasgele deikenler (ller) bir x vektr altnda toplanrsa x vektrne; = 1 2 .

normal dalml n boyutlu rasgele deiken ad verilir. = 1 2 .

Deikenin beklenen deerler vektr ise; Buna gre xi-i farklar; = 1 1 2 2 . . . . .

olur.

arpmnn beklenen deeri ise nxn boyutlu bir matristir.

= Bu matrisin kegen elemanlarnn beklenen deerlerinin rasgele deikeninin varyanslar;

2 =

2 kegeni dndaki elemanlarn beklenen deerlerinin xi ve xk rasgele deikenleri arasndaki kovaryanslar,

() =

ve = olduu gze alnrsa

=

12 12 1

12 22 2

1 2 2

matrisi elde edilir.

matrisine x vektrnn varyans-kovaryans matrisi denilir. x1, x2,..,xn rasgele deikenleri arasnda korelasyon yoksa kovaryans matrisi kegen matrise dnr.

=

12 0 0

0 22 0

0 0 2

Bir lnn varyans kkse doruluu yksek, bykse doruluu dktr denir. Buna gre doruluk derecesi varyans bykl ile ters orantldr.

Bu yzden doruluk lt olarak varyanslar yannda onlarn tersleriyle orantl, arlk ad verilen baka byklkler de kullanlr.

Bu tanma gre arl byk olan bir lnn doruluu yksek, arl kk olann doruluu dktr.

Varyans 2 olan bir lnn arl iin;

=2

2 (0

2 :sabit, Birim arlkl varyans)

yazlabilir.

=1 0 00 2 00 0

matrisine bamsz ller iin

arlk matrisi denilir.

Bamsz llerin Cxx kovaryans matrisi ile bamsz llerin Pxx arlk matrisi arasnda;

=

12 0 0

0 22 0

0 0 2

, =1 0 00 2 00 0

= 02

1 ilikisi vardr.

kovaryans matrisi, birim arlkl varyans ile blnrse arlk katsaylar (Kofaktr) matrisi;

=1

02 =

11 12 112 22 21 2

, =1

elde

edilir.

= 1 = 0

21ilikisi ortaya kar.

Dengeleme Hesab

Hatalarn Yaylma Kanunu

Tanm Hata ykl bir lden faydalanlarak hesaplanabilen dier bir byklk

te hata ykl olacaktr. Hesaplanan byklklerdeki hatalarn l hatalarnn fonksiyonlar biiminde belirlenmesine Hata Yaylmas denilir.

Dorultu, uzunluk, faz, kod, zaman vb. elemanlar direk gzlenir ve elde edilmek istenen dier byklkler (genelde koordinatlar) bu llerin matematiksel fonksiyonlar yardmyla hesaplanr.

ller az ya da ok hatal olduu iin onlardan elde edilen byklkler de hatal olur. Fonksiyonlardan elde edilen byklklerin l hatalarndan nasl etkilendiklerini gsteren bantya Hata Yaylma Kural denir.

llen byklklerin ortalama hatalarnn bilindikleri durumlarda llerin herhangi bir fonksiyonunun ortalama hatasnn hesaplanmas dengeleme hesabnn ok sk rastlanan konularndandr. Hata yaylma kural sadece ilk llere uygulanr.

Deneysel varyanslar (karesel ortalama hatalar) 2 ve

2 , deneysel kovaryanslar m12 olan l1 ve l2 llerinin herhangi iki fonksiyonu;

= ,

= , biiminde yazlabilir. Bu fonksiyonlarn llere gre diferansiyelleri;

=

+

=

+

olur. Ksmi trevlerde l1 ve l2nin llen deerleri yerine

konularak;

a1=

, a2=

, b1=

, b2=

katsaylar hesaplanrsa, x ve y fonksiyonlarnn

diferansiyelleri ;

= +

= + olur. Gerek hatalarn () llere gre ok kk olduklar gz nne alnarak diferansiyel artmlar yerine gerek hatalar yazlrsa;

= +

= + elde edilir. Bu eitliklere Gerek Hatalarn Yaylma Kural denilir.

lk llerin n sayda yinelendikleri varsaylrsa bunlar 1 ve 2 vektrlerinde

toplanabilir. Bu durumda 1 ve 2nin fonksiyonlar olan x ve y byklkleri ve

vektrlerini oluturur.

Btn bu saylan byklklerin gerek hatalar 1 , 2 , , vektrlerinde

toplanrsa;

= 11 + 22

= 11 + 22 bantlar elde edilir. Bu eitliklerin her iki tarafnn karesi

alnrsa;

= 1

211 + 2121

2+222

2

= 1

211 + 2121

2+b222

2

= 111

1 + 12 + 21 11 + 222

2 olur. Bu eitliklerin her iki

taraf l says olan nye blnerek deneysel varyansn tanmndan;

2 = 1

212 + 21212 + 2

222

2 = 1

212 + 21212 + 2

222

= 1112 + 12 + 21 12 + 222

2 bantlar elde edilir. Bu son

bantlara Genel Hata Yaylma Kural denilir.

lk llerin (l1, l2) korelasyonsuz olduklar durumlarda 12 = 0 olduundan karesel ortalama hata bantlar;

2 = 1

212 + 2

222

2 = 1

212 + 2

222

= 1112 + 222

2 biimini alr. lk llerin herhangi bir fonksiyonu;

= (1, 2 ,) olarak tanmlanrsa bu fonksiyonun ortalama hatas;

=

1

21

2 +

2

22

2 ++

2

2 biiminde

yazlabilen Hata Yaylma Kural bantsndan hesaplanr.

Uyarlar;

Hata yaylma kural yalnzca yeterince l varsa uygulanr. Fazla l varsa Hata Yaylma Kural uygulanmaz. Fonksiyonun kesin deeri ve ortalama hatas

dengeleme hesab yaplarak bulunur.

Matris Gsterimi ile HYK

rnek Bir ABC geninin iki kenar (c, b) ve aralarndaki

as ortalama hatalar ile verilmitir. ller arasnda korelasyon bulunmadna gre a kenar ve karesel

ortalama hatasn hesaplaynz.

b=60.00 m 2 cm, c=70.00 m 3 cm,

=65.0000 g 25cc

a c

b

A C

B

Dengeleme Hesabnn Konusu ve Ana lkeleri

Dolaysz (Direk) ller Dengelemesi

Dengeleme Hesab Trleri

Fonksiyonel Model

Stokastik Model

llerin duyarlklar (ortalamalar ve arlklar) ve aralarndaki korelasyonlar konusunda, dengelemeden nce (ncl, a-priori) elde bulunan bilgilere stokastik model denilir.

Fonksiyonel ve stokastik modeller dengeleme hesabnn temelini olutururlar. Sz konusu modeller dengelemeden nce kurulurlar. ller ile bilinmeyenler arasndaki geometrik ve fiziksel ilikileri tam olarak yanstmayan fonksiyonel modeller ile llerin duyarlklarn ve aralarndaki korelasyonlar gereki bir biimde kapsamayan stokastik modeller Model Hatalar na neden olurlar.

Model hatalar Dengeleme Hesabnda en byk sistematik hata kaynadr.

Bir Dengeleme Probleminde;

n: llerin says

u: Bilinmeyenlerin says

f: n-u; Fazla l says olmak zere ;

f>0 ise ller dengelenerek Kesin Deerler bulunur.

f=0 ise cebrik zm yaplr.

f

Bamsz ller Dengelemesi

Korelasyonlu ller Dengelemesi

Gauss, yaplan gzlemlerin zelliklerine gre aadaki dengeleme trlerini ortaya koymutur.

Dolaysz (Direkt) ller Dengelemesi

Dolayl (Endirekt) ller Dengelemesi

Koullu (artl) ller Dengelemesi

Dolaysz ller Dengelemesi

Fonksiyonel Model

Stokastik Model

Denetim lemleri

Duyarlk Hesaplar

Arlklar Farkl Olan Dolaysz (Direkt) llerin Dengelenmesi

Bir tek bykln belirlenmesi iin yaplan duyarlklar farkl, ilk bamsz ve dolaysz gzlemleri l1, l2, ,ln, bunlarn arlklarn p1, p2, ,pn, ile gsterelim. Sz konusu gzlemler ile bunlarn duyarlklar arasndaki ilikiler;

l+dzeltmesi=bilinmeyenin kesin deeri

+ =

= Kk saylarla almak iin bilinmeyen xe x0 yaklak deeri seilir;

x=x0+dx

vi=dx-(li-x0) ((li-x0): li ve x0 n saysal deerleri ile elde edilen bykle telenmi l gzyle baklarak;

(li-x0)= tanm yaplrsa;

=

1 = 1

2 = 2

.

.

= Dzeltme Denklemleri (Fonksiyonel

Model)

telenmi gzlemlerin arlklar da pi olur

ve bunlar stokastik modeli olutururlar.

p1, p2, .,pn (Stokastik Model)

Bu durumda Gaussun en kk kareler yntemine gre dengeleme ilkesi (Ama Fonksiyonu);

[pvv+=min. Biimindedir.

Dzeltme Denklemleri Arlk

= pi

1 = 1 p1

2 = 2

p2

. .

. .

. .

= pn

(Matematik Model)

Matematik model bantlarnda her iki tarafn karesi alnp, ilgili arlklarla arpldktan sonra toplamlar oluturulursa;

= 2 2 + elde edilir. Ama fonksiyonu *pvv+=min. in, eitliin sa tarafnn dxe gre trevi sfra eitlenerek;

= 2 2 = 0

= 0 Normal Denklem

=

Dengeleme Bilinmeyeninin Kesin

Deeri

= 0 + Kesin Deer

Denetim lemleri

[pv]=0

= 1. Kontrol

=

2

2. Kontrol

Duyarlk Hesaplar

0 =

1 Birim lnn Ortalama Hatas

= 0

Gzlemlerin Ortama Hatalar

= 0

[] Genel Aritmetik Ortalamann

Ortalama Hatas

rnek Nivelman lleri ile Bir Noktaya Ykseklik

Tama

ller l'i Geki Uzunluu (Si) Arlk Dzeltme Ortalama

Hata

157,0480 3,10

157,0520 2,00

157,0550 6,10

157,0490 5,30

157,0420 10,20

Dengeleme II

DOLAYLI LLER DENGELEMES

NVELMAN ALARININ DENGELENMES

TRGONOMETRK NVELMAN ALARININ DENGELENMES

GPS ALARININ DENGELENMES

GPS NVELMANI

SERBEST ALARIN DENGELENMES

MODEL HPOTEZNN TEST ve UYUUMSUZ LLER TEST

K BOYUTLU BENZERLK (HELMERT) DNM

Dolayl ller Dengelemesi

Belirlenmesi istenen, bir tek byklk ise Dolaysz ller Dengelemesi sz konusudur. rnek olarak bir uzunluk ya da bir a n kez llm ise Dolaysz ller dengelemesi uygulanr.

Birden ok sayda bilinmeyenin bir kerede belirlenmesi ya da bilinmeyenler yerine onlar hesaplamaya yarayan byklkler llm ise, Dolayl ller dengelemesi uygulanr.

Jeodezide genellikle bulunmas istenen byklkler dorudan llmez. stenen deer, llen dier elemanlar yardm ile hesaplanr.

Dengeleme Yaplabilmesi iin;

n: llerin says

u: Bilinmeyenlerin says

f: n-u; Fazla l says olmak zere ;

f>0 ise ller dengelenerek Kesin Deerler bulunur.

f=0 ise cebrik zm yaplr.

f

Dolayl ller dengelemesinde ilk aama, bilinmeyenlerin seimidir. Bilinmeyenlerin says, problemin geometrik anlamda zm ya da izimi iin gerekli l saysdr.

Hangi bykln bilinmeyen olarak seilmesi gerektii, ou kez nceden bilinir.

Nokta kestirmelerinde, kestirilecek noktalarn koordinatlar, nivelman alarnda noktalarn ykseklikleri ya da ykseklik farklar gibi.

Dolayl ller dengelemesinde tm ller kullanlarak bilinmeyenler, dengeli ller, bilinmeyenlerin fonksiyonlar ve bu byklklerin standart sapmas belirlenir.

Dzeltme Denklemlerinin Kurulmas Dengelenmi ller ile bilinmeyenler arasnda

;

l+v=Ax (l+dzeltmesi=bilinmeyenlerin fonksiyonu)

Biiminde yazlan eitliklere dzeltme denklemi ad verilir. Bu denklemlerin says l saysna eittir.

= (Matris formunda fonksiyonel model)

v= Dzeltmeler vektr

A=Katsaylar Matrisi

x=Bilinmeyenler vektr

-l=Sabit Terimler vektr

Dzeltme Denklemlerinin Dorusallatrlmas

Dorusal olmayan denklem sistemlerinin direkt olarak zm mmkn deildir.

Bu amala yazlan ilk dzeltme denklemleri bilinmeyenlerin yaklak deerleri alnarak Taylor anm ile dorusallatrlr.

Dzeltme denklemlerinin tm dorusal olsa bile, hesaplama kolayl ve yuvarlatma hata etkisinin azaltlmas amac ile bilinmeyenler yerine genelde yaklak deerleri seilir.

Normal Denklemler

= eklindeki u bilinmeyenli n denklemden x bilinmeyenlerinin EKK koulu; = . Olacak ekilde belirlenmesi gerekir.

v yerine konulursa; = ( ) olur.

minimum olabilmesi iin bilinmeyenlere gre trevi sfr olmaldr.

Normal denklemlerin zm bize x bilinmeyenler vektrn verir.

= 0 : Normal Denklemler

= ()1 : zm, x bilinmeyenler vektr

Matris Formunda Dolayl ller Dengelemesi

rnek:

ekildeki ikizkenar genin eit kenarlar, alar ve ykseklii llmtr. kiz kenar ve alar cinsinden dzeltme denklemlerini yaznz

1 2 3

4 5

6

i Li

1 118.316 m

2 118.304 m

3 70.656 m

4 40.7516 gon

5 40.7532 gon

6 118.4934 gon

rnek

Matris formunda bir fonksiyonel model verilmitir. Bu modele ait stokastik model ise tabloda verildii gibidir. ncl karesel ortalama hata s0=0.90 mm olduuna gre duyarlklar farkl olan bu lleri dolayl ller yntemine gre dengeleyiniz

v1 -0.0854 0.5678 dx23 2.54

v2 = -0.4502 0.1691 * dy23 - -1.26 v3

0.9116 0.2451 3.27

s0 = 0.90 ms1 = 0.65 rij = 0.50 ms2 = 0.81 ms3 = 0.36

Nivelman Alarnn Dengelemesi

GNSS Alar Dengelemesi

MODEL HPOTEZNN TEST ve UYUUMSUZ LLER TEST

Jeodezik Kontrol Alar

Bir Referans sisteminin gerekletirilebilmesi iin o sistemde koordinat bilinen noktalara ihtiya vardr.

Referans sistemini gerekletirmek amacyla tesis edilen noktalara kontrol noktas, bu noktalarn meydana getirdii yapya da kontrol alar ad verilir.

Jeodezik kontrol alar grupta ele alnabilir:

Yatay kontrol alar Dey kontrol alar boyutlu kontrol alar

Kontrol noktalarnn konumunu dorudan doruya belirlemek mmkn deildir; dolayl gzlemler yapmak gerekir.

Yatay kontrol alar: Kenar, dorultu ve aklk as

gzlemleri

Dey kontrol alar: Nivelman

boyutlu kontrol alar: Kenar, dorultu, dey a veya GPS baz vektrleri

Dorultu alarnda dorultular, kenar alarnda uzunluklar, dorultu-kenar alarnda hem dorultular ve hem de uzunluklar, nivelman alarnda ykseklik farklar, trigonometrik nivelman alarnda dey alar ya da ykseklik farklar (dey alardan hesaplanr) llr.

GPS alarnda boyutlu koordinat farklar (kod, faz ve zaman llerinden) llr.

Bu ller ilgili jeodezik an belirli bir koordinat sisteminde yeri, yn ve lei konusunda hibir bilgi iermezler.

Bu ller yardmyla oluturulan jeodezik alara SERBEST alar denir.

Kontrol Alarnn Datumu

Kontrol alar zerinde gerekletirilen gzlemler an ancak i geometrisini belirler.

Bir jeodezik an tanml bir koordinat sistemindeki yeri, lei ve yn konusunda bilgi veren parametrelere DATUM parametreleri denir. Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ann bir

koordinat sisteminde tanml olabilmesi iin en az bir noktasnn ykseklik koordinat o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.

Bir dorultu ann bir koordinat sisteminde tanml olabilmesi iin en az iki noktasnn koordinatlar bilinmelidir.

Bir dorultu-kenar ann bir koordinat sisteminde tanml olabilmesi iin en az bir noktasnn koordinatlar bilinmelidir ve en az bir dorultusunun yn bilinmelidir.

Bir GPS ann bir koordinat sisteminde tanml olabilmesi iin en az bir noktasnn X, Y ve Z koordinatlar o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.

Defekt Kavram

An bir koordinat sisteminde konumlandrlabilmesi iin gerekli olan parametrelere d parametreler bunlarn saysna datum defekti ad verilir.

Jeodezik Alarn Tasarmn Etkileyen Faktrler

Kullanlacak lme yntemi ve jeodezik model

Doruluk ltleri o Global doruluk ltleri

o Lokal doruluk ltleri

Gvenirlik

Ekonomi

Yksek doruluk gereksinimleri nedeniyle jeodezik lmelerde noktalar daima bir a mant ierisinde ele alnr ve nokta konumlar a zerinde gerekletirilen llerin bir dengeleme hesabna tabi tutulmasyla elde edilir.

D parametrelerin belirlenmesine gre dengeleme trleri

Serbest a dengelemesi Tm iz minimum

Ksmi iz minimum

Minimuma dayal (zorlamasz) dengeleme

Dayal (zorlamal) dengeleme

Serbest A Dengelemesi Bu tr dengelemede hibir a noktasnn koordinat sabit kabul edilmez.

Btn nokta koordinatlarnn hatalar ierdii dnlr.

Bir a dengelemesinde adaki baz noktalara dayal olarak koordinatlar hesaplanan yeni noktalarn koordinatlar ve koordinatlarn doruluklar, koordinat deimez alnan noktalardan etkilenir.

nk bu ada yaplan llere ait hatalar sadece yeni noktalarn koordinatlarna datlr.

Sabit alnan noktalardan uzaklatka biriken hatalar yeni noktalarn konum hatalarn bytr. Bu balamda noktalarn konum doruluu datum seimine bal olarak deiir.

Bu durumdan etkilenmemek iin alar serbest a dengelemesi (tm iz minimum yntemine gre dengeleme) ile dengelenir. Bu yntemde bir ada yaplan tm llerden meydana gelen hatalar tm nokta koordinatlarna datlr.

Serbest A Dengelemesi

Serbest a dengelemesi yntemi zellikle deformasyon aratrma almalarnda kullanlr.

Deformasyon izleme amacyla oluturulan jeodezik alarda noktalarn koordinatlar ve koordinatlarn doruluklar deformasyon analizinde kullanlan giri deerlerdir.

Deformasyon analizi ve yorumu asndan bu deerlerin serbest a dengelemesiyle elde edilmi olunmas tercih edilmektedir.

Serbest a dengelemesinde tm noktalar bilinmeyen noktalar olarak ele alnr. Bu nedenle normal denklem katsaylar matrisinin determinant sfr olur. Yani bu matris singler bir matristir.

Tm z Minimum Yntemine Gre Dengeleme

Tm iz minimum yntemi, an tm noktalarn ieren kltlm koordinat bilinmeyenleri vektrnn normunun (bilinmeyenlerin kareleri toplam) ve arlk katsaylar matrisinin izinin (Kegen elemanlar toplam) en kk olmasn, baka bir deile an tm noktalarnn datum tanmna katkda bulunmasn salar.

Tm iz minimum yntemine gre dengelemenin dorusallatrlm fonksiyonel modeli, dzeltme denklemleriyle koordinat bilinmeyenleri arasndaki koul denklemlerinden oluur.

Tm z Minimum Koul Denklemleri

v= (Dzeltme Denklemleri)

= 0 (Koul Denklemleri)

= + (Serbestlik Derecesi) (n : l says, u: Bilinmeyen says, d: Defekt)

koordinat bilinmeyenleri vektr, an tm noktalarn ierir. Bu zmde an datumu G matrisi ile tanmlanr. Ve tm noktalar datum tanmna katlr. Koul denklemlerinin says datum parametrelerinin saysna eittir.

Nokta says p ve buna gre koordinat bilinmeyenlerinin says bir boyutlu alarda u=p, iki boyutlu alarda u=2p ve boyutlu alarda u=3 p ise G matrisinin boyutlar uxddir.

Ksmi z Minimum Yntemi

Tm iz minimum yntemi, an tm noktalarn ieren kltlm koordinat bilinmeyenleri vektrnn normunun (Bilinmeyenlerin bir blmnn kareleri toplam) ve arlk katsaylar matrisinin buna karlk alt matrisinin izinin (kegen elemanlar toplam) en kk olmasn salar.

Baka bir deile an noktalarndan yalnzca bir blmnn datum tanmna katkda bulunmasn salar.

Bu dengelemenin dorusallatrlm fonksiyonel modelinin Tm iz minimum ynteminden fark G matrisi yerine, datumu tanmlayan ve G matrisinden dntrlen bir B matrisinin gemesidir.

v= (Tm iz Min. Dzeltme Denklemleri)

= 0 (Tm iz Min. Koul Denklemleri)

v= (Ksmi iz Min. Dzeltme Denklemleri)

= 0 (Ksmi iz Min. Koul Denklemleri)

= = +

1

=

Kaynaklar

Dengeleme Hesab (Kitap), Prof. Dr. Sebahattin BEKTA (Samsun 2002)

Dengeleme Hesab (Kitap), Hseyin DEMREL (YT 2005)

Dengeleme Hesab Cilt I-II-III (Kitap), Ergn ZTRK (Trabzon 1991)

Dengeleme Hesab Ders Notlar, enol Hakan KUTOLU (BEUN, 2008)

Dengeleme Hesab Ders Notlar, Temel BAYRAK (Gmhane, 2011)