DİFERANSİYEL

Değişkenlerine ayrılabilir denklemler:

A(y)dy+B(x)dx =0 şeklindedir

cdyyBdyyA )()( biçiminde çözümlenir.

Homojen diferansiyel denklemler:

F(tx,ty) =Tf(x,y) şeklindedir.

y=vx , dy =xdv+vdx veya vdx

dvx

dx

dy

biçiminde çözümlenir.

Homojen biçime dönüşebilen denklemler:

y =f

222

111

cybxa

cybxa olmak üzere

x = X+h dx=dX 0ckbha

0ckbha

222

111

h ve k bulunur.

y = Y+h dy=dY

işleme devam edilerek denklem homojen hale

dönüştürülür.

Tam diferansiyel denklemler:

M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 denkleminde eğer

My = Nx oluyorsa denklem tam diferansiyel

denklemdir.

Birinci basamaktan lineer denklemler:

A(x) dx

dy+b(x)y = c(x) lineer denklemin genel

halidir. Hertaraf a(x) ‘le bölünürse

)(

)(

)(

)(

xa

xc

xa

xb

dx

dy olur. P(x) =

)(

)(

xa

xb, Q(x) =

)(

)(

xa

xc

denirse denklem )()( xQyxpdx

dy

dxxp

ed )(

ve cdxxQy )(.. bağıntıları

yardımıyla denklem çözülür.

DENKLEMLER

İntegral çarpanı: İnt egral çarpanı:

Eğer bir diferansiyel denklem tam diferansiyel denk-

lem değilse = (x,y) gibi bir integral çarpanıyla

çarpılarak tam diferansiyel denklem yapılabilir.

İntegral çarpanıyla ilgili özel durumlar:

1- dxN

NxMyd

x

2- dxM

NxMyd

y)

3- 3- )(ufdxxMyN

NxMyd

u =x.y u =x.y

4- 4- )()( 2 ufduxyNxM

NxMyd

u = y/x

5-

5-Denklemin yx . biçiminde bir integral çarpanı

olabilir.

6-Eğer denklem y f(x,y) dx + x g(x,y) dy =0

biçiminde yazılabiliyorsa, yNxM

1

olur.

Bazı denklemler ydx-xdy,ydx+xdy vs. gibi

terimler içeriyorsa denklem 2222 ,.,, yxyxyx

ifadelerle bölünerek tam diferansiyel denklem

yapılabilir.

d2x

ydxxdy

x

y

d2y

xdyydx

y

x

dxy

ydxxdy

x

y

ln

d xy

xdyydxxy

ln

d22

arctanyx

ydxxdy

x

y

.

6- u =y/x

Bernolli diferansiyel denklemi:

nyxqyxpdx

dy)()( denklemin genel halidir.

0n olduğunda y(x) = 0 belirgin çözümdür.

Belirgin olmayan çözümü bulmak için her iki ny ’e böler p(x)katsayısına ‘u’ der ve x ‘e göre

türev alınarak denklem lineer denkleme

dönüştürülür.

Riccati diferansiyel denklemi:

)()()( 2 xryxqyxpdx

dy denklemin genel

halidir.

*p(x)= 0 için denklem lineer,

r(x)= 0 için denklem n=2 bernolli’ye dönüşür.

* )(1 xyy riccati denkleminin bir çözümü ise

denklem u

xyy1

)(1 dönüşümü ile lineere

çevrilir.

* )(1 xyy ve )(2 xyy denklemin iki özel

çözümü ise

dxxyxyxp

cexyy

xyy )()()(

2

1 21

)(

)(

ile çözülür.

*dx

du

uxpy

1

)(

1 değişken değiştirmesi yapılırsa

denklem II basamaktan lineer denkleme dönüşür.

* ....,, 321 aaa reel sabitler olmak üzere

032

2

1

' ayayay (özel riccati) denklemi

verilirse

032

2

1

dxayaya

dy olur.

1.basamaktan yüksek dereceli denklemler:

Yüksek dereceli denklemlerde py denilerek

denklem basmağı indirgenir.x’e veya y’ye göre

türev alınarak bir parametreli çözüm bulunur.

1- Clairaunt denklemi:

)(phxpy

h(p)’nin ikinci türevi sıfırdan farklıysa aykırı çözüm

vardır.

2- Lagrange denklemi:

)()( phpxgy

her iki tarafın x’e göre türevini alırsak;

)(

)(

)(

)(

pgp

phx

pgp

pg

dp

dx

olur.

3-Yüksek basamaktan lineer diferansiyel

denklemler:

0012 yxayxayxa denklemini bir özel

çözümü xfxY 1 ise ikinic bağımsız çözümü

xY

dxxa

xa

xfcdxxf

exfcxY

1

2

1

21

şeklindedir.

Sabit katsayılı lineer denklemler:

Yh(x);L(D)y =0 denkleminin bir genel çözümü,

Yp(x);L(D)y =b(x) denklemini bir özel çözümü ise;

*Ters işlem yöntemi:

L(D)y =b(x),L(D)Yp(x) =b(x)

)(1

)(1

)(.1

xbDL

xYp

xbDL

xYpDLDL

I

olur.

ÖZELLİKLER

* axax eaL

eDL )(

1

)(

1

* )sin()(

1sin

)(

122

baxaL

baxDL

* )cos()(

1)cos(

)(

122

baxaL

baxDL

* )()(

1)(

)(

1xW

aDLexWe

DL

axax

* )()(

1)()()(1

)(1

1 3

1

2

11 xpDL

DLDLDLDL

* 0)( aL için 0)( 2 aL ise

deeaxeelax xixi )Im(sin)(Recos olur.