Kesikli Şans Değişkenleri İçin;

• Olasılık Dağılımları

• Beklenen Değer ve Varyans

• Olasılık Hesaplamaları

1

Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın

yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Şans Değişkenleri

Kesikli Şans Değişkenleri Sürekli Şans Değişkenleri

2

Kesikli Şans Değişkeni Örnekleri

Deney

Şans Değişkeni

Mümkün Değerler

100 Satış yapmak Satış sayısı 0, 1, 2, ..., 100

70 radyoyu muayene etmek Kusurlu sayısı 0, 1, 2, ..., 70

33 soruya cevap vermek Doğru sayısı 0, 1, 2, ..., 33

11:00 ile 13:00 arasında

gişedeki araba sayısı

Gelen araba

sayısı 0, 1, 2, ...,

3

Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları

X, şans değişkeni ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin

alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin

herhangi bir x değerini alma olasılığı

Pr{X=x}

şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da

olasılık kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin

hangi değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren

fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın

kesikli olasılık fonksiyonu olabilmesi için

1. P(x) 0 , tüm x değerleri için

2.

şartlarını sağlaması gerekir.

Tümx

xP 1)(

4

Örnek: Hilesiz bir zarın atıldığında x şans değişkeni üst

yüze gelen sayıyı ifade etmek üzere bu x şans değişkeninin

olasılık fonksiyonunu elde ediniz.

S = { x / 1,2,3,4,5,6 } P ( X = xi ) = 1 / 6

X 1 2 3 4 5 6

P ( X = xi ) 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6

dd

x

x

x

x

x

x

xXP

.0

661

561

461

361

261

161

)(

İki farklı şekilde ifade edilen x

şans değişkeninin dağılımına

bakıldığında P(Xi) ≥ 0 ve tüm x

değerleri için ∑P(X=x)= 1 şartları

sağlandığı görülmekte ve

P(X=x) ‘in bir olasılık fonksiyonu

olduğu sonucu ortaya

çıkmaktadır.

5

Beklenen Değer

Bir şans değişkeninin herhangi bir olasılık fonksiyonunda almış olduğu tüm değerlerin ortalaması o şans değişkeninin beklenen değeridir.

X şans değişkeninin beklenen değeri;

E (x)

ile gösterilir.

• Bir şans değişkenin beklenen değeri o şans değişkeninin ortalamasına eşittir.

• E (x) = µ

6

Beklenen Değer Kullanarak

Varyansın Elde Edilmesi

22 )]([)()( xExExVar

222 )]([)( xExE

E(x2) : x şans değişkeninin karesinin beklenen değeri

2)()( xExVar

7

Kesikli Şans Değişkenleri İçin

Beklenen Değer ve Varyans

Tümx

iixPxxE )()(

22 )]([)()( xExExVar

2

2 )()()(

xtüm

ii

xtüm

ii xPxxPxxVar

Tümx

iixPxxE )()( 22

8

Kesikli şans değişkeninin beklenen değer

ve varyansı ile ilgili bir örnek

1 1 2 2( ) ... n nE x x P x P x P

• Beklenen değer:

1

( )n

i i

i

E x x P

X= x f(x)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

5 1/6

1

( ) 1.1/6 2.1/6 ... 6.1/6 3.50E x

• Bir zar atılıyor. Anlaşmaya göre Ali

babasından her atışta kaç gelirse o

kadar TL para alacaktır. Atış başına Ali

nin beklediği parayı bulunuz.

Ali’nin atış başına ortalama kazancı 9

• Varyans: 2

2 2

( ) [ ( )]

( ) ( ) [ ( )]

V X E X E X

V X E X E X

Örnek: Bir kitaptaki bir sayfadaki yanlış sayısı ile ilgili X’in

olasılık fonksiyonu şöyledir:

• P(x=0)=0.81 hiç yanlış olmaması

• P(x=1)=0.17 bir yanlış olması

• P(x=2)=0.02 iki yanlış olması

Sayfa başına ortalama yanlış sayısını

bulunuz.

( ) . 0.(0.81) 1.(0.17) 2.(0.02) 0.21i iE x x P Sayfa başı ortalama 0.21 yanlış bulunur.

10

• Varyansını bulunuz.

2 2 2 2 2( ) . 0 (0.81) 1 .(0.17) 2 .(0.02) 0.25i iE X x P

2 2 2( ) ( ) [ ( )] 0.25 [0.21] 0.2059V X E X E X

( ) 0.2059 0.45x V X

Sayfa başına yanlış sayısının varyansı

11

Örnek: Bir otomobil bayisinin günlük araba satışlarının

dağılımının aşağıdaki gibi olduğunu ifade etmektedir.

Bu dağılışa göre bayinin;

a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz

P(X = 6) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) = 0,15

b) Satışların beklenen değerini hesaplayıp yorumlayınız.

E(X) = = (0)(0,02)+(1)(0,08)+(2)(0,15)+….+(8)(0,01) =3,72

Bayinin 100 günde 372 araba satışı yapması beklenir.

c) Satışların varyansını bulunuz.

E(X2) = =(02)(0,02)+(12)(0,08)+… ….+ (82)(0,01) = 16,68

Var(X)= E(X2) - [E(X)] 2 = 16,68 - (3,72)2 = 2,84

)( ixxP

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(X) 0,02 0,08 0,15 0,19 0,24 0,17 0,10 0,04 0,01

)(2

ixPx

12

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN

OLASILIK DAĞILIMLARI

• Bernoulli Dağılımı

• Binom Dağılımı

• Poisson Dağılımı

13

Bernoulli Dağılımı

• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için

ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının

sağlanması gereklidir.

Bernoulli Deneyinin Varsayımları:

1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip

olmalıdır.

2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.

3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemektedir

(Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)

4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. 14

Örnekler:

• Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam olması,

• Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura gelmesi,

• Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi,

• Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan

biri tanesi başarı durumu, diğeri ise

başarısızlık olarak ifade edilir. Bernoulli şans

değişkeninin dağılımı ifade edilirken deneyin

sadece 1 kez tekrarlanması gereklidir.

15

Bernoulli dağılışında X şans değişkeni başarı

durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini

alır.

• S = { x / 0,1 }

Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;

= E ( x ) = p 2= Var ( x ) = p (1-p) = pq

dd

xppxXP

xx

.0

1,0)1()(

1

16

Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as

olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı

olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu

oluşturunuz.

x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)

S = { x / 0,1 }

P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52

dd

xxXP

xx

.0

1,052

48

52

4

)(

1

17

Binom Dağılımı • Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir

araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.

• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli

deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.

• Binom şans değişkeni X, n adet denemedeki başarı

sayısını ifade etmektedir.

• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı

gözlenebileceğinden

S = { x / 0,1,2,……,n }

olur. 18

Binom Olasılık Fonksiyonunun

Elde Edilmesi

Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden

bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu

olarak ifade edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa

tekrarlandığı durumda toplam x adet başarı olmasının

olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile

n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p) çarpımını

içermelidir.

0,11 xq.pP(x) xx

19

Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani

sıralama önemsiz ise faklı şekilde ortaya

çıktığı için ;

xnCx

n

dd

nxp..px

n

xXP

xnx

.0

,....,2,1,0)1()(

olarak elde edilir. 20

Örnekler:

• Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen

2’sinin hatalı olması ,

• Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura

gelmemesi, üst yüze yazı veya tura gelmesi,

• Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1

kez çift gelmesi,

21

Binom Dağılımının

Karakteristikleri

Aritmetik Ortalama

Varyans

2

E X np

( )

npqpnp )1(

22

Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu

bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,

a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,

b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız.

p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5

a)P ( X = 1 ) = ?

b)P ( X ≥ 4 ) = ?

P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )

23,0)94,0()06,0(1

5)1( 41

..XP

0514 )94,0()06,0(5

5)94,0()06,0(

4

5....

23

Örnek: Metal hilesiz bir para 10 kez fırlatılıyor

(n=10 p=q=1/2=0.5)

a)bir kez yazı gelmesi olasılığı

1 9 10 1010 10! 10.9!

1 . 0,5 . 0,5 (0.5) (0.5)1 1!9! 9!

p x

b) hiç yazı gelmemesi olasılığı

0 10 1010

0 . 0,5 . 0,5 0,50

p x

c) en az 2 kez yazı gelmesi olasılığı

10...22 xpxpxp

24

1 9 0 10

10 10 10 10

1 2

1 1

1 1 0

10 101 . 0,5 . 0,5 . 0,5 . 0,5

1 0

1 10.(0.5) (0.5) 1 (0.5) (10 1) 1 11(0.5)

p x

p x

p x p x

25

Poisson Dağılımı

• Kesikli Şans değişkenlerinin olasılık

dağılımlarından en önemlilerinden biri Poisson

Dağılımıdır.

• Günlük hayatta ve uygulamada çok sayıda

kullanım alanı bulunmaktadır.

• Ünlü Fransız matematikçisi Poisson tarafından

bulunmuştur.

• Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya

zaman içerisinde rasgele gözlenen olayların

olasılıklarının hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir

modeldir. 26

Poisson Sürecinin Varsayımları

1.Belirlenen periyotta meydana gelen ortalama

olay sayısı sabittir.

2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana

gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana

gelen olay sayısından bağımsızdır.(periyotların

kesişimi olmadığı varsayımı ile)

3.Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında

en fazla bir olay gerçekleşebilir.

4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu

doğru orantılıdır.

27

Örnekler

• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen

hırsızlık olayların sayısı,

• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen telefon

çağrılarının sayısı,

• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,

• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,

• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden

büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.

28

Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu

l : belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı

x : ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı

S = { x / 0,1, 2, 3, ….., }

durumlardadiger

xx

e

xXP

x

0

,...2,1,0!)(

ll

29

Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve Varyansı

Beklenen Değer

Varyans

l )(xE

l)(xVar

• Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit

olan tek dağılıştır. 30

Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,

a) 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,

b)Yarım saate 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını,

ÖDEV: 1 saatte en çok 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.

a) l 4 P ( x = 1 ) = ? 4

14

4!1

4)1(

ee

XP

24224124024

3131!2

24

!1

24

!0

241

e

eee

b) 5 dk’da 4 müşteri gelirse, 30 dk’da 24 müşteri gelir.

l 24 P ( x > 2 ) = ?

P( x > 2 ) = 1 – [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]

31