22Birinci Mertebeden Birinci Mertebeden

Adi Diferansiyel Adi Diferansiyel DenklemlerDenklemler

1

Kaynaklar: Samim Dündar, İleri Matematik Ders Notları.Mehmet Sezer ve Ayşegül Daşçıoğlu (2014), Diferansiyel Denklemler 1, Dora Yayın.Steven Holzner (2008), Differential Equations for Dummies, Wiley Publishing.Richard Bronson (2003), Differential Equations, McGraw Hill.

2

0),,( dxdyyxF 0),,(

dydxxyF

Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem aşağıdaki formalarda yazılabilir:

veya

Bu bölümde bu tip denklemlerin yalnız birinci dereceden olanlarının, kapalı formadaki ve açık formadaki veya genel çözümlerini elde etme yöntemleri verilecektir.

0),,( cyxg ),( cxy

),( cyx

Bu tipteki diferansiyel denklemler ),( yxfdxdy

veya ),( yxhdydx

Türev formlarında ya da 0),(),( dyyxNdxyxM diferansiyel

formunda elde edilebilir.

3

2.1. Değişkenlerine Ayrılabilen 2.1. Değişkenlerine Ayrılabilen DiferansiyelDiferansiyel DenklemlerDenklemler

0),(),( dyyxNdxyxM şeklindeki bir diferansiyel denklem

0)()()()(2211

dyyxdxyx gfgf şeklinde veya türev formunda

)()( ygxfdxdy

olarak yazılabiliyorsa böyle bir denkleme değişkenlerine ayrılabilen denklem denir.

Çözüm yöntemi: Bu tip denklemler uygun çarpanlarla çarpılarak

0)()( dyyBdxxA Formunda bir diferansiyel denkleme dönüştürülür. Artık denklemin her iki tarafının integrali alınabilir ve böylece genel çözüm

)()()( cddyyBdxxA cyGxF )()(

Her integral için ayrı sabit almaya gerek yoktur. Çünkü c keyfi bir sabittir ve farklı keyfi sabitlerin birleşimi tek bir keyfi sabit ile ifade edilebilir.

4

;0)1(tan 2 dyxydxxSoru 1: 2)1( y başlangıç değer problemini çözünüz.

Cevap 1:

2sin)1( 22 yx

Soru 2: 0)cos( xyy

Cevap 2:

xcey sin

2.2. Homojen Diferansiyel2.2. Homojen Diferansiyel DenklemlerDenklemler

Bu bölümde incelenen diferansiyel denklemler değişkenlerine ayrılabilir hale indirgenerek çözülürler.

Homojen Fonksiyon: Bir f(x,y) fonksiyonunda, x yerine λx ve y yerine λy konulduğunda oluyorsa, fonksiyona p. Dereceden homojendir denir.

Rpyxfyxf p ),(),(

5

Not 1: f fonksiyonu y/x ‘in (veya x/y ‘nin ) bir fonksiyonu ise

),()/( 0 yxfxyf koşulu sağlandığından fonksiyon

sıfırıncı dereceden homojendir.

Not 2: Bir çok durumda fonksiyonun homojenliği her bir terimin toplam derecesinden fark edilebilir. Homojen fonksiyonlarda her terimin toplam derecesi aynı olmalıdır.

Homojen Diferansiyel Denklem: 0),(),( dyyxNdxyxM

diferansiyel denkleminde eğer M(x,y) ve N(x,y) fonksiyonlarının her ikisi de aynı dereceden homojen iseler veya denklem türev formunda ))/(()/(),( yxgveyaxygyxfy şeklinde

ifade edilebiliyorsa, diğer bir deyişle f(x,y) sıfırıncı dereceden homojen bir fonksiyonsa , diferansiyel denkleme homojendir denir.

6

Teorem: 0),(),( dyyxNdxyxM diferansiyel denklemi

homojen ise vyx uxy veya

değişken değişimi ile

değişkenlerine ayrılabilir bir diferansiyel denkleme dönüşür.

0 NdyMdx diferansiyel denklemi homojen olduğuna göre İspat:

tanım gereği formunda yazılabilir.)/(/ xygdxdy

uxy dxduxu

dxdy

ifadelerini )/( xygdxdy

yerine

yazarsak )(ugdxduxu 0))(( xdudxugu

ifadesi değişkenlerine ayrılabilir şekilde çözülebilir.

7

Soru 1: Cevap 1:

Soru 2: Cevap 2:

xyexydxdyxy /22 cInxee

xy xyxy //

0)( 22 dxyxyxdy cxxy

xy

2

21

2.3. Homojen Hale İndirgenebilen 2.3. Homojen Hale İndirgenebilen DiferansiyelDiferansiyel DenklemlerDenklemler

212121222

111 ,,,,,,)( ccbbaacybxacybxaf

dxdy

sabit formundadır.

sabit formundadır. Denkleminin homojen olabilmesi için 021 cc

olmalıdır. Eğer bu sabitlerden biri sıfırdan farklı ise çözüm şu üç durumda incelenebilir:

8

1.Durum: 2

1

2

1

2

1cc

bb

aa ise denklem şeklini alır ki

bu denklemin çözümü ‘dir. cxgy )(

2.Durum:2

1

2

1

2

1cc

bb

aa

ise denklem aslında )( byaxFdxdy

)(gdxdy

formundadır ki bu da byaxz dönüşümüyle değişkenlerine

ayrılabilir hale gelir.

3.Durum:2

1

2

1bb

aa

ise denklem ,hux kvy dönüşümüyle

daima homojen hale indirgenebilir. Dönüşüm uygulandığında denklemin homojen olabilmesi için

,0111 ckbha 0222 ckbha olmalıdır. Böylece denklem

)(22

11vbuavbuaf

dudv

9

Soru 1:12412

yxyx

dxdy

Cevap 1:

cxyxyx 2525)5/12(324

Soru 2: 0)373()737( dyyxdxyx

Cevap 2:

752 )11()11(

cy

yx

yx

10

2.4. Tam Diferansiyel2.4. Tam Diferansiyel DenklemlerDenklemler

Toplam Diferansiyel: u=u(x,y) iki değişkenli bir fonksiyon olmak üzere bir D bölgesinde sürekli ve türevli olsun.

dyyudx

xudu

ifadesine u fonksiyonunun toplam diferansiyeli denir.

11

Çözüm Yöntemi: Amaç M ve N belliyken, her ikisini birden sağlayan u fonksiyonunu bulmaktır.

),( yxMxu )(),(),( yfxyxMyxu (1)

Burada f(y) integrasyon sabitidir ve çözüm için bulunmalıdır. O halde yukarıdaki eşitliğin y ‘e göre türevi alınıp N ile eşitleyelim.

)](),([ yfxyxM

yN

yu

f(y) ‘nin bulunmasının ardından (1) ‘de yerine konularak çözüm bulunur.

12

Soru 1:

Cevap 1:

0)cos2()12sin2( 122 dyyxyxdxxxyxy

cInyxxxyyx 222 cos

Soru 2: 0)()( 22 dxyxydyxyx

Cevap 2:

cyxyx

2

22

13

2.5. Tam Hale İndirgenebilen Diferansiyel2.5. Tam Hale İndirgenebilen Diferansiyel DenklemlerDenklemler0),(),( dyyxNdxyxM diferansiyel denklemi tam değilse, fakat

0),(),(),(),( dyyxNyxTdxyxMyxT diferansiyel denklemi tam ise

fonksiyonuna verilen diferansiyel denklemin integrasyon çarpanı ),( yxT

Çözüm Yöntemi:

dxxfexTxfN

xN

yM

)()()(

dyygeyTygM

xN

yM

)()()(

veya

0),(),( dyyxNTdxyxMT tam diferansiyel denklemdir.

14

Soru 1:

Cevap 1:

Soru 2:

Cevap 2:

2)1(,0)( 2 yxdydxxyy denklemini çözünüz.

0)1( 2 dxxyxdy

12

,2

22 x

yxcx

yx

cxxx

y

1

15

2.6. Birinci Mertebeden Doğrusal 2.6. Birinci Mertebeden Doğrusal DiferansiyelDiferansiyel DenklemlerDenklemler

)()( xgyxfdxdy

şeklinde olan denkleme birinci mertebeden doğrusal

diferansiyel denklem denir.

0)( xg ise denklem değişkenlerine ayrılır ve çözülür.

0)(0)( dxxfydyyxf

dxdy

dxxfceyIncdxxfIny )()(

Eğer 0)( xg ise:

16

2.6.1. Sabitlerin Değişimi Yöntemi2.6.1. Sabitlerin Değişimi Yöntemi0)( yxf

dxdy ikinci yansız kısmının genel çözümü bulunur. Bu:

dxxfcey )( fonksiyonudur. Bu ifadenin ikinci taraflı denkleminin çözümü olabilmesi için c ‘nin c=c(x) olması gerekir.

dxxfexcy )()( çözümse diferansiyel denklemi sağlar.

dxxfdxxf exfxcdxxdce

dxdy )()( )()()(

Bu ifadeleri verilen denklemde yerine yazarsak:

kdxxgexcxgedxxdc dxxfdxxf )()()()( )()(

c(x) ‘i yerine yazdığımızda genel çözüm hazırdır.

kdxxgeey dxxfdxxf )()()(

17

2.6.2. İntegral Çarpanı ile Çözüm2.6.2. İntegral Çarpanı ile Çözüm

)()( xgyxfdxdy

denklemini diferansiyel formunda yazarsak:

0))()(( dydxxgyxf Tam olmayan bir denklemdir ve bir integrasyon

çarpanını bulup tam hale getirerek çözebiliriz.

dxxfexTxfN

xN

yM

)()()(

0)(

xNxf

yM

İntegral çarpanını ikinci eşitlik ile çarparak

0)()( )()( dyedxxgyxfe dxxfdxxf Tam diferansiyel denklemi elde edilir.

18

cdxxgeey dxxfdxxf )()()(

Çözümü:

veya kısaca:

dxxfexTcdxxgxT

xTy )()(;)()(

)(1

olarak bulunur.

Sonuç: )()( xgyxfdxdy doğrusal diferansiyel denkleminin,

yukarıda verilen yöntemlerle bulunan genel çözümü:

cdxxgeey dxxfdxxf )()()(

Bir doğrusal denklem verildiğinde f(x) ve g(x) ifadelerini bulup yerine koyarak gene çözümü elde etmek en kolay yoldur.

19

Soru 1:

Cevap 1:

Soru 2:

Cevap 2:

0)(22

yexydydx

Inxyxdx

dy 11

))(( cInxInxy

)( 22

cyex y veya cyxe y 22

20

2.7.Doğrusal Olmayan Diferansiyel2.7.Doğrusal Olmayan Diferansiyel DenklemlerDenklemler

2.7.1. Bernoulli Diferansiyel Denklemi2.7.1. Bernoulli Diferansiyel Denklemi

)1,0()()( nnyxgyxfdxdy n şeklindeki diferansiyel denkleme

Bernoulli diferansiyel denklemi denir. n=0 olması halinde doğrusal diferansiyel denkleme, n=1 olması halinde ise değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denkleme dönüşür.

)()()()( xgyhxfdxdyyh diferansiyel denklemi de yine Bernoulli

diferansiyel denklemidir.

21

Çözüm Yöntemi: )10,()()( nvenRnyxgyxfdxdy n

nnn yyxgyxfdxdyy /)()(/

)()( 1 xgyxfdxdyy nn

uy n 1 dönüşümü yapılırsadxdu

dxdyyn n )1(

dxdundx

dyy n

11

)()(11 xguxfdxdun

olur.

)()1()()1( xgnuxfndxdu

doğrusal hale geldi.

cdxxgneeyu dxxfndxxfnn )()1()()1()()1(1 çözümüne ulaşılır.

22

Soru 1:

Cevap 1:

Soru 2:

Cevap 2:

2/121

xyyxx

dxdy

])1(31[)1( 4/324/122/1 cxxy

4sincos yxydxdyx

)tantan3)((cos 333 cxxxy

veya

)cossincossin3( 3323 xcxxxy

)cossincossin3

1(3 332 xcxxx

y

23

2.7.2. Riccati Diferansiyel Denklemi2.7.2. Riccati Diferansiyel Denklemi

R(x), P(x) ve Q(x) sürekli fonksiyonlar olmak üzere:

0)()()( 2 xQyxPyxRdxdy

formundaki denklemlere Riccati

diferansiyel denklemi denir. Q(x)=0 ise denklem Bernoulli ve

R(x)=0 ise denklem doğrusal olur. Riccati denkleminin genel

şekilde çözümünün olmadığı kanıtlanmıştır. Ancak denklemin

herhangi bir özel çözümü y1(x) belli ise, denklemi Bernoulli veya

doğrusal denkleme dönüştürerek genel çözüm bulunabilir.

24

Çözüm Yöntemi:

y1(x), Riccati denkleminin bir özel çözümü olsun. Riccati denklemi:

a) )()(1 xvxyy dönüşümü ile Bernoulli denklemine

b))(1)(1 xv

xyy dönüşümü ile doğrusal denkleme dönüşür.

25

Soru 1:

Cevap 1:

Soru 2:

Cevap 2:

03 2 yeyedxdy xx diferansiyel denkleminin özel çözümü

olduğuna göre genel çözümünü bulunuz.xey 1

)(1cxe

ey xx

veya

)(

11cx

ey x

2243 yx

yxdx

dy denkleminin özel çözümü

xy 21 ise

genel çözümünü bulunuz.

)(12

cInxxxy

26

2.7.3. Birinci Mertebe ve Yüksek Dereceden 2.7.3. Birinci Mertebe ve Yüksek Dereceden Diferansiyel DenklemlerDiferansiyel Denklemler

gösterebiliriz. Genel birinci mertebe ve n.dereceden denklem şu şekilde verilebilir:

Bu tür denklemlerin genel çözümü birinci mertebe ve birinci dereceden denklemlere indirgenerek yapılır.

27

2.7.3.1. Türevine Göre (y2.7.3.1. Türevine Göre (y’’ =p ‘ye göre) Çözülebilen =p ‘ye göre) Çözülebilen DenklemlerDenklemler

denklemi

n. dereceden bir polinom olduğundan

şeklinde çarpanlarına

ayrılabilir. Bu denklemin her bir çarpanını sıfıra eşitliyerek n tane birinci mertebeden diferansiyel denklem elde edilir.

......

28

2.7.3.2. y ‘e göre Çözülebilen Denklemler2.7.3.2. y ‘e göre Çözülebilen Denklemler

Burada y görünmediği için x ve p değişkenli birinci mertebe ve birinci dereceden bir denklemdir. Çözümü:

h(x,p,c)=0 şeklindedir.

29

2.7.3.3. x ‘e göre Çözülebilen Denklemler2.7.3.3. x ‘e göre Çözülebilen Denklemler

Bu denklem y ve p değişkenli birinci mertebe ve birinci dereceden bir denklemdir. Çözümü:

h(y,p,c)=0 şeklindedir.

30

2.7.3.4. Clairaut ‘s Diferansiyel Denklemi2.7.3.4. Clairaut ‘s Diferansiyel Denklemi

f verilen bir fonksiyon olmak üzere,

formundaki denkleme Clairaut’s diferansiyel

Denklemi denir. Clairaut’s denklemi, y ‘e göre çözülebilir denklemlerin özel bir halidir.

veya

31

32

Soru 1:

Cevap 1:

Soru 2:

Cevap 2:

y

dxdyx

dxdy 274

3

diferansiyel denkleminin genel ve tekil çözümlerini ve ayrıca

koşullu özel çözümünü bulunuz.4)0( y

3

274 cxcy genel çözüm

32 xy

diferansiyel denklemini çözünüz.

tekil çözüm özel çözüm43 xy

33

Soru 3:

Cevap 3:

Soru 4:

Cevap 4:

diferansiyel denkleminin genel ve tekil çözümlerini bulunuz.

genel çözüm

diferansiyel denkleminin genel ve tekil çözümlerini bulunuz.

tekil çözüm

genel çözüm

tekil çözüm

34

2.8.Birinci Mertebeden Diferansiyel2.8.Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin UygulamalarıDenklemlerin Uygulamaları

(Malthus modeli)

Doğadaki çoğu durumlar öyle karmaşıktır ki bunlar tam olarak matematikle ifade edilemeyebilirler. Uygun yöntem, gerçeğe yakın olan ve önemli özelliklerini içeren bir ideal duruma matematiği uygulamaktır. Bu matematiksel yaklaşımlar, mantık ve deneyle elde edilen sonuçlara yakınlığına göre pratik bir öneme sahiptirler.

Burada gözlem, deney ve muhakeme ile elde edilen kurallar verilecektir. Bunlar matematiksel sembolle ifade edilecek ve kuralları oluşturan diferansiyel denklem çözülerek çözümler yorumlanacaktır.

k orantı sabiti olmak üzere:

başlangıç değer problemi pek çok alanda karşımıza çıkar.

35

36

2.8.1. Lojistik Eğrisi2.8.1. Lojistik Eğrisi

İktisadi ve sosyal olayların bir çoğunda bağımlı değişkenlerin zamana göre değişimi belirli bir tarzda olur. Örneğin piyasaya yeni çıkan bir malın satış miktarı önce hızla artar. Belirli bir doyum değerine yaklaştıkça bu artış hızı yavaşlar ve daha sonra sabit bir değere yaklaşır.

37

38

2.8.2. Envanter Kontrolü2.8.2. Envanter Kontrolü

39

2.8.3. Satış Karı-Reklam Masrafı Modeli2.8.3. Satış Karı-Reklam Masrafı Modeli