Ders Notu 1

FİZ4001 KATIHAL FİZİĞİ-I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

Katıhal Fiziği - I Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE 1

Tanıtım


Derslik - A259

Ders saatleri

Salı 13.15

Perşembe 10.30

Kitap(lar) Elementary Solid State Physics, M.Ali OMAR

Katıhal Fiziğine Giriş, C. KITTEL

Katıhal Fiziği, J.R. HOOK& H.E. HALL

Solid state physics, ASHCROFT & MERMİN

Giriş

• Katıhal Fiziği katı malzemelerin özelliklerini açıklar. Amorf, cam ve sıvılara da genişletilmiştir.

• Modern fiziğin en geniş dalı

• Yoğun madde fiziği: atomlar birbirine çok yakın olduğunda nasıl davranırlar?

• Yeni malzemeler üretme ve geliştirme

• Katıhal fiziği teknolojisi – Sağlık: MR makineleri, …

– Bilgisayar: manyetik kaydedici ortamlar (disk), silikon vadisi, …

– Elektronik: şarj edilebilir piller, LCD, LED, …

– Yaşam: tren, otomobil, …


Giriş

• Katıhal fiziği teknolojisi – Sağlık: görüntüleme, MR makineleri, …


– Bilgisayar: manyetik kaydedici ortamlar (disk), silikon vadisi, …

Giriş

• Katıhal fiziği teknolojisi – Elektronik: şarj edilebilir piller, LCD, LED, …

– Yaşam: tren, otomobil, …


Katının farklı elektriksel direnci

• Aynı yoğunlukta atomlardan oluşmasına rağmen hepsinin direnci nasıl farklı olabilir?

• Üçü de karbon!


Metal Yalıtkan Süperiletken

Elek

trik

sel d

iren

ç

Grafit Elmas Fulleren

İçerik


Hafta Konu Ödev

2-3 Kristal Yapılar & Atomlar Arası Kuvvetler Problem Seti-1

4-5 Kristallerde X-Işını, Nötron ve Elektron Kırınımı Problem Seti-2

6-8 Örgü Titreşimleri: Termal, Akustik ve Optiksel Özellikler

Problem Seti-3

9 Arasınav

10-11 Katılarda Hatalar ve Simetri Problem Seti-4

12-13 Metaller I: Serbest Elektron Modeli

Problem Seti-5


1. Kristal Yapılar & Atomlar Arası Kuvvetler

2. Kristallerde X-Işını, Nötron ve Elektron Kırınımı

3. Örgü Titreşimleri: Termal, Akustik ve Optiksel Özellikler

4. Katılarda Hatalar ve Simetri

5. Metaller I: Serbest Elektron Modeli

Giriş Giriş Giriş Giriş Giriş

Kristal X-ışınlarının oluşumu ve soğurulması

Elastik dalgalar Hata çeşitleri İletkenlik elektronları

Temel tanımlar Bragg yasası Sürekli ortamın durum yoğunluğu

Boşluklar Serbest elektron gazı

Bravais örgüleri ve kristal sistemleri

Atomdan saçılma Isı sığası: Einstein & Debye modelleri

Nokta hataları Elektriksel iletkenlik

Simetri elemanları Kristalden saçılma Fonon Düzlem hataları Elektriksel direnç

Miller indisleri Ters örgü ve x-ışını kırınımı

Örgü dalgaları Hacim hataları İletkenlik elektronlarının ısı sığası

Bazı kristal yapılar Sıvılardan saçılma Bir örgünün durum yoğunluğu

Dislokasyonlar Fermi yüzeyleri

Amorf katılar ve sıvılar

Deneysel yöntemler Isı sığası: kesin teori Simetri Metallerde termal iletkenlik

Atomlar arası kuvvetler

Nötron kırınımı Termal iletkenlik Manyetik alanda hareket: Hall olayı

Bağlanma çeşitleri Elektron kırınımı X-ışını, nötron ve elektronların fononlardan saçılması

AC iletkenlik ve optiksel özellikler

Serbest elektron modelinin eksiklikleri

BÖLÜM 1. KRİSTAL YAPILAR & ATOMLAR ARASI KUVVETLER


Giriş

Madde

Gaz Sıvı & Sıvı Kristaller

Katı


Gazlar, farklı basınç, hacim ve sıcaklıkta bağ yapmamış atom moleküllerden oluşur. Bu moleküller belli bir düzen değildirler ve bulundukları kapta serbestçe hareket ederler.

Sıvılar, gazlara benzer olarak, belirli bir atomik düzene sahip değildir ve bulundukları kabın şeklini alırlar. Düşük bir termal enerji ile zayıf bağlar kopabilir.

Sıvı kristaller mobil moleküllere sahiptir, fakat her bir molekül dipole sahiptir. Elektrik alan uygulandığında dipoller döner ve moleküller bir düzene sahip olurlar.

Katı Malzemeler

Kristal

Tek kristal

Polikristaller Amorf

Kristal olmayan


Katılar, denge konumu etrafında termal hareket yapan atom ve moleküllerden oluşur. Atomlar düzenli bir şekilde sıralanmıştır. Belirli sıcaklık, basınç ve hacimde atomlar arasında kuvvetli bağlara sahiptir. Bağları koparabilmek için daha fazla enerji gerekir.

Malzemedeki düzenli bölgenin ne kadar düzenli olduğuna göre sınıflandırma yapılmıştır. Düzenli bölge atomların/moleküllerin geometrik sıralanış/periyodikliğinin olduğu uzaysal hacimdir.

Giriş


Giriş

Yoğun Madde Sistemleri

Sert (Hard) Madde

Kristal Katılar (metal, yalıtkan,

yarıiletken)

Tek kristal Polikristal

Kristal Olmayan Katılar

Quasi-kristal Amorf katılar

(cam)

Polimer katılar Modüle edilmiş

kristaller

Yumuşak (Soft) Madde

Polimer çözeltiler

Sıvı kristal

Bio-madde (protein,

membran, nükleik asit)


Bir katı, atomların konumları kesin olarak periyodikse kristal olarak adlandırılabilir. Mükemmel bir kristal, bu periyodikliği x ve y doğrultusunda - dan + a kadar sağlar. A, B, C atomları eşdeğerdir.

Kristal

İki atomu birleştiren herhangi bir vektör (ör. R) öteleme simetrisidir. R bir atoma uygulandığında eşdeğer bir atoma gidilir. Başka bir deyişle, kristal öteleme simetrisinde invaryant kalır.

Kuvars (SiO2)

Tuz (NaCl)


Doğada mükemmel kristal yoktur! Kristal yüzeyi bir çeşit hatadır (imperfection), çünkü kristalin periyodikliği bozulur. Yüzeydeki atomların çevresi, daha içeridekilerden farklıdır. Sonuç olarak farklı davranırlar. Bir başka örnek, T>0K sıcaklıklarda atomların denge konumları etrafında yaptıkları termal titreşimdir. Bu titreşimler nedeniyle kristal bozulur. Son örnek olarak, kristallerin safsızlıklar denilen yabancı atom içermeleri söylenebilir. Bu safsızlıklar (~1012 cm-3) mükemmel kristal yapıyı bozar.

Bu zorluklar ışığında mükemmel kristal neye denir? yüzey atomlarının tüm atomlara oranının çok küçük olduğu kristalin yeterince saf olduğu (safsızlıkların ihmal edilebildiği) örgü titreşimlerinin zayıf olduğu yeterince düşük sıcaklıklarda

Bu koşullardaki bir kristale “mükemmel kristal” diyebiliriz.

Kristal


Atomları, geometrik birer nokta olarak düşünelim. Bu durumda oluşan geometrik desene kristal örgü ya da sadece örgü denir. Tüm atomik konumlar, örgü konumları ile yer değiştirmiştir.

Temel Tanımlar

Örgü

Bravais Bravais olmayan

Tüm örgü noktaları eşdeğerdir. Bazı örgü noktaları eşdeğer değildir.

A,B,C eşdeğer A’,B’,C’ eşdeğer A,A’ eşdeğer değil

Kristal Örgü


Örgü AA’ ötelemesinde invaryant kalmaz. A ve A’ konumundaki atomlar aynı olsada (ör. İki H atomu) farklı olsada (ör. H ve Cl atomu) doğrudur. Bravais olmayan örgü, bazen bazı olan örgü diye söylenir. Burada baz, Bravais örgüde her bir noktaya atom grubunun oturmasırı. Mesela; A ve A’ atomları bir baz oluşturur. Bravais olmayan örgü, birbirine göre sabitlenmiş iki Bravais örgüsünün birleşmesinden oluşur. =A,B,C + A’,B’,C’

Temel Tanımlar

A,B,C eşdeğer A’,B’,C’ eşdeğer A,A’ eşdeğer değil

Kristal Örgü


Herhangi bir örgü noktasının konum vektörü: (1.1) n1, n2: örgü noktasına göre değişen tamsayılar D (n1, n2)= (0,2) B (n1, n2)= (1,0) F (n1, n2)= (0,-1)

Temel Tanımlar Baz Vektörleri

a ve b vektörleri, tüm örgü noktaları konumlarının (1.1) ile gösterilebildiği, örgünün baz vektörleri kümesini oluştururlar. Bu denklemde verilen tüm vektörler kümesine “örgü vektörleri” denir. (1.1) ile verilen tüm öteleme işlemlerinde örgü invaryant kalır. Başka bir deyişle, Rn örgü vektörüyle tanımlanan tüm yerdeğiştirmeler altında örgü öteleme simetrisine sahiptir. a ve b örgünün baz vektörleri a ve b’ örgünün diğer baz vektörleri Baz vektörlerinin seçimi tek değildir.

bnanRn

21


Temel Tanımlar

Uzay örgüsü

Baz (iki farklı iyon)

Kristal yapı

Kristal = Örgü + Baz

Örgü = noktalar takımı (matematiksel)

Baz = atom/atom grubu/molekül (kimyasal)


Temel Tanımlar Kristal = Örgü + Baz

Örgü = noktalar takımı (matematiksel)

Baz = atom/atom grubu/molekül (kimyasal)

İki boyutta bir örgünün örgü noktaları.


a ve b baz vektörleriyle tanımlanan paralelkenar alanına birim hücre denir. Bu şekilde örgünün tümü birim hücre ile taranmış olur. Aynı örgü için birim hücrenin seçimi tek değildir.

Temel Tanımlar Birim Hücre

Tüm birim hücreler eşit alana sahiptir. a, b: S=|axb| a, b’: S’=|axb’|=|ax(a+b)|=|axb| S=S’

Birim hücrede kaç örgü noktası vardır? axb ile verilen birim hücrenin köşelerde 4 noktası vardır, fakat bu noktaların her biri 4 komşu hücreyle paylaşılır. Her birim hücre 1 örgü noktasına sahiptir.


Az önce tanımlanan birim hücreye ilkel hücre denir. Genelde örgünün simetrisinin daha açık olarak görüldüğü daha büyük birim hücreler seçilir. Baz vektörleri olarak a1 ve a2 yi seçersek, birim hücre S1 paralelkenarı olur.

Temel Tanımlar İlkel & İlkel Olmayan Hücre

Alan (İlkel olmayan hücre) = Tamsayı X Alan (ilkel hücre) Şekilde tamsayı=2

İlkel olmayan hücrelerle Bravais olmayan örgüler arasında bir bağlantı yoktur.

Baz vektörleri olarak a ve b yi seçersek, birim hücre S2 dikdörgeni olur. S2 birim hücresinde toplam 2 örgü noktası vardır. S2 hücresine “ilkel olmayan hücre” denir. ilkel olmayan S2 hücresinin seçilmesinin nedeni dikdörtgen simetrisini daha açık göstermesidir.


Şu ana kadar anlatılanlar 3-boyuta aktarılabilir. Üç boyutta örgü vektörü:

n1, n2, n3: tamsayılar (0,1, 2,…) a,b,c: baz vektörleri

Temel Tanımlar 3-boyut

3-d bir örgünün ilkel hücresi.

cnbnanRn

321


14 farklı Bravais örgünün olması öteleme simetrisi şartından kaynaklanır. Örneğin; birim hücresi 2-boyutta beşgen olan bir örgü olamaz. Çünkü, öteleme simetri şartını sağlamaz. Örgüyü beşgenlerle kaplayamazsınız. Bravais örgüleri: 2-boyutta 5 farklı, 3-boyutta 14 farklı Bravais olmayan örgüler: 3-boyutta 230 farklı

14 Bravais Örgüsü & 7 Kristal Sistemi

Bu 14 örgü, 7 kristal sisteme ayrılmıştır. Her bir kristal sistemi, birim hücrenin şekline ve simetrisine göredir. Bu sistemlerde, her hücre kenarları a, b, c ve aralarındaki açıları , , olan bir dikdörgenler prizmasıdır.


Temel Tanımlar 2-boyutta Bravais örgüler

Kare örgü

Altıgen örgü

Eğik örgü Dikdörtgen örgü Merkezlenmiş dikdörtgen örgü



Kübik Tetragonal Ortorombik Hegzagonal Monoklinik Triklinik

Trigonal

P= basit (primitif) I= cisim merkezli F= yüzey merkezli C= baz merkezli

Kristal Sistemi Bravais örgüsü

Basit örgünün dışındaki tüm örgülerin birim hücresi ilkel olmayan hücredir.


14 Bravais Örgüsü & 7 Kristal Sistemi Sistem Bravais örgü Birim hücre Simetri elemanı

Triklinik Basit a≠b≠c α≠β≠γ≠90°

Yok

Monoklinik Basit Baz merkezli

a≠b≠c α=β=90°≠γ

1 tane 2-katlı dönme ekseni

Ortorombik Basit Baz merkezli Cisim merkezli Yüzey merkezli

a≠b≠c α=β=γ=90°

3 tane ortogonal 2-katlı dönme ekseni

Tetragonal Basit Cisim merkezli

a=b≠c α=β=γ=90°


Kübik Basit Cisim merkezli Yüzey merkezli

a=b=c α=β=γ=90°


Trigonal Basit a=b=c α=β=γ≠90°


Hegzagonal Basit a=b≠c α=β=90°,γ=120°




Baz merkezli tetragonal örgü neden yok? Yeni bir birim hücrenin seçimiyle bu örgü basit tetragonal örgüye indirgenebilir.

2-boyut birim hücre (ör. NaCl)




Orijinin seçimi keyfidir. Birim hücre alanı/hacmi aynı olmalıdır.



Na veya Cl dan başlamak fark etmez.



Bir atomdan da başlamayabilirsiniz.



Birim hücre değil! Boş alanlar var.



2-boyutta birim hücre 3-boyutta birim hücre değil!

2-boyut birim hücre


Hangisi/leri birim hücre olabilir?









Basit Kübik Yapı (SC) Cisim Merkezli Kübik Yapı (BCC)

Yüzey Merkezli Kübik Yapı (FCC)


Birim Hücre

İlkel 1 örgü noktası En küçük alan/hacim

İlkel olmayan & Klasik 1 den çok örgü noktası İlkel hücre alan/hacminin katları

Cisim Merkezli Kübik (BCC)

Klasik ≠ İlkel hücre

Basit Kübik (SC) Klasik = İlkel hücre


İlkel baz vektörleri:

İlkel hücre

Örgü sabiti

Klasik hücre

FCC Yapının İlkel ve Klasik Hücreleri


İlkel baz vektörleri:

İlkel hücre

Klasik hücre

BCC Yapının İlkel ve Klasik Hücreleri

1

2

3

1ˆ ˆ ˆ( )

2

1ˆ ˆ ˆ( )

2

1ˆ ˆ ˆ( )

2

a x y z

a x y z

a x y z


İlkel & Klasik Hücreler

a

b c

SC: klasik = ilkel hücre Örgü noktalarının kesirsel koordinatları 000, 100, 010, 001, 110,101, 011, 111

BCC: klasik ilkel hücre Klasik hücrede örgü noktalarının kesirsel koordinatları 000,100, 010, 001, 110,101, 011, 111, ½ ½ ½

a

b c

a

bc

FCC: klasik ilkel hücre Klasik hücrede örgü noktalarının kesirsel koordinatları 000,100, 010, 001, 110,101, 011,111, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½ ,½1 ½ , 1 ½ ½ , ½ ½ 1


İlkel & Klasik Hücreler

Hegzagonal Yapı: klasik = ilkel hücre Örgü noktalarının kesirsel koordinatları 100, 010, 110, 101,011, 111,000, 001

İlkel hücre noktaları

a

b

c


Wigner-Seitz Hücresi

FCC BCC


Kübik Birim Hücrede Örgü Konumları


Kristal Doğrultuları

• Bir örgü noktası orijin (O) olarak seçilir. Her örgü noktası özdeş olduğundan orijin seçimi keyfidir.

• Bir nokta (T) seçilip, O noktasına olan örgü vektörü çizilir. Bu vektör:

• Örgü noktası ile doğrultusunu ayırt etmek için; doğrultuları [. . .] ile gösterilir. [n1n2n3]

• [n1n2n3] aynı orandaki en küçük tamsayıları gösterir.

cnbnanRn

321



[210]

X = 1 , Y = ½ , Z = 0 [1 ½ 0] [2 1 0]

X = ½ , Y = ½ , Z = 1 [½ ½ 1] [1 1 2]



X =-1 , Y = 1 , Z = -1/6 [-1 1 -1/6]

Vektörü orijine kaydırabiliriz.

166



a

c

b

[100]

a

c

b

[010]

a

c

b

[110]

a

c

b

[120]

a

c

b

[111]

a

c

b

[210]


Kristal Düzlemleri & Miller İndisleri

a

3

2

2

bc

[2,3,3] Düzlemin eksenleri kestiği noktalar: x=3a, y=2b, z=2c

Sayıların tersi: 2

1 ,

2

1 ,

3

1

2 ,

2 ,

3

c

c

b

b

a

a

Düzlemin Miller indisleri: (2,3,3) (233)

İndis doğrultusu: [233]

Miller indisleri, kristal örgüde düzlemlerin yönelimini belirtmek üzere tasarlanan sembolik vektör gösterimidir (hkl). Bir düzlemin Miller indislerini bulmak için;

Düzlemin eksenleri kestiği noktalar (x,y,z) bulunur. Kesişim noktalarının tersi (a/x, b/y, c/z) alınır. En küçük oranda payda eşitlenir.

Payda eşitleme: 6

3 ,

6

3 ,

6

2


Kristal Düzlemleri & Miller İndisleri Eksen X Y Z

Kesişim noktaları

1 ∞ ∞

Tersleri 1/1 1/ ∞ 1/ ∞

En küçük oran 1 0 0

Miller İndisi (100) (1,0,0)

(1,0,0)

(0,1,0)

Kesişim noktaları

1 1 ∞

Tersleri 1/1 1/1 1/ ∞


Miller İndisi (110)


Kristal Düzlemleri & Miller İndisleri Eksen X Y Z

Kesişim noktaları

1 1 1

Tersleri 1/1 1/1 1/1



Kesişim noktaları

½ 1 ∞

Tersleri 1/ (½) 1/1 1/ ∞



(1,0,0)

(0,1,0)

(0,0,1)

(1/2, 0, 0)

(0,1,0)



Kesişim:(∞,1/2,∞) Kesişim:(1,1,∞) Kesişim:(1,1,1) İndis:(020)

a

c

b

İndis:(110)

a

c

b

İndis:(111)

a

c

b

Kesişim: (1/3,1/2,∞) Kesişim :(1,∞,∞) Kesişim :(∞,1,∞) İndis:(100)

a

c

b

İndis:(320)

a

c

b

İndis:(010)

a

c

b






İndis & Doğrultu Ailesi

Birim hücre dönme simetrisine sahipse bu simetri nedeniyle paralel olmayan düzlemler eşdeğer hale gelir. Bu paralel olmayan düzlem ailesini ile gösterebiliriz. {hkl} indisleri, dönme simetrisi aracılığıyla (hkl) düzlemine eşdeğer tüm düzlemleri temsil eder.

Benzer düşünce doğrultular içinde geçerlidir.

)111(),111(),111(),111(),111(),111(),111(),111(111

)001(),100(),010(),001(),010(),100(100

]111[],111[],111[],111[],111[],111[],111[],111[111

]001[],100[],010[],001[],010[],100[100


Aynı Miller İndisli Düzlemler Arası Uzaklık

Aynı Miller indisli (hkl) iki düzlem ele alalım: biri P düzlemi diğeri orijinde P ye paralel.

İki düzlem arasındaki uzaklık: dhkl

P nin eksenleri kestiği noktalar: x, y, z x, y, z nin normalle yaptığı açılar: , ,

coscoscos zyxdhkl

1coscoscos 222

21

222

111

zyxdhkl

z

cnl

y

bnk

x

anh , ,

21

2

2

2

2

2

2

c

l

b

k

a

h

ndhkl


Düzlemler Arası Uzaklık

110da

b

a

c

b

110d


Düzlemler Arası Uzaklık

(110)

(120) (130)

a

b

a

b

a

b

a

b (100)


Kristal Sisteme Göre Düzlemler Arası Uzaklık

Kübik Sistem 2

222

2

1

a

lkh

dhkl

a

c

b

010d

001100010

010

2

222

2

010

0101

ddd

ad

ad

a

c

b

020d

002200020

020

2

222

2

020

2

0201

ddd

ad

ad

a

c

b

110d

011101110

110

2

222

2

110

2

0111

ddd

ad

ad

a

c

b

3

1111

111

2

222

2

111

ad

ad



Tetragonal Sistem 2

2

2

22

2

1

c

l

a

kh

dhkl

a

c

b

110d

2

0111

110

2

2

2

22

2

110

ad

cad

a

c

b 011d

101011

22

011

2

2

2

22

2

011

111

1101

dd

cad

cad

a

c

b

002d 2

2001

002

2

2

2

22

2

002

cd

cad

a

c

b

120d

210120

120

2

2

2

22

2

120

5

0211

dd

ad

cad



Ortorombik Sistem

2

2

2

2

2

2

2

1

c

l

b

k

a

h

dhkl

Hegzagonal Sistem

2

2

2

22

23

41

c

l

a

khkh

dhkl

Monoklinik Sistem

ac

hl

c

l

b

k

a

h

dhkl

cos2sin

sin

112

2

2

22

2

2

22

Trigonal Sistem

)cos2cos31(

)cos)(cos(2sin)(1322

22222

2

a

hlklhklkh

dhkl


Basit Kristal Yapılar: Örnekler

Sodyum klorür (NaCl) Yapısı Sezyum Klorür (CsCl) Yapısı Elmas Yapısı Çinko Sülfit (ZnS) Yapısı Sıkı Paketli Altıgen (HCP) Yapı


Sodyum Klorür (NaCl) Yapısı

= +

(100) (110)

[001]

[100]

[010]

[010]

[001]

[-110]

[001]


Sodyum Klorür (NaCl) Yapısı FCC (a=5.6402 Å)

Kristal a (Å)

LiH 4,08

MgO 4,20

MnO 4,43

NaCl 5,63

AgBr 5,77

PbS 5,92

KCl 6,29

KBr 6,59

0 0 0 ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½

½ ½ ½ 0 0 ½ 0 ½ 0 ½ 0 0


Sodyum Klorür (NaCl) Yapısı


Sezyum Klorür (CsCl) Yapısı

= +

(100) (200) [001]

[010] [010]

[001]

[001]

[100]

[010]



Kristal a (Å)

BeCu 2,70

AlNi 2,88

CuPd 2,99

AgMg 3,28

LiHg 3,29

NH4Cl 3,87

TiBr 3,97

CsCl 4,11

Cs 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

Cl ½ ½ ½

SC (a=4.123 Å)




Elmas Yapısı

FCC

Baz 000

¼ ¼ ¼


Çinko Sülfit Yapısı

Kristal a (Å)

CuF 4,26

SiC 4,35

CuCl 5,41

ZnS 5,41

GaAs 5,65

AlAs 5,66

AgI 6,47

FCC Baz

Zn 0 0 0 ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½

S ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼


Sıkı Paketli Altıgen (HCP) Yapı

HCP ABABAB…

FCC ABCABC…



Kristal c / a

He 1,633

Be 1,581

Mg 1,623

Ti 1,586

Zn 1,861

Cd 1,886

Co 1,622

Gd 1,592

İlkel hücrede a1=a2

a1^a2=120° İdeal HCP yapısında c=1,633a hücre bazındaki iki atom

0 0 0 ve ⅔ ⅓ ½



Documents

Ders Notu 1