Upload
trinhthien
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Determinantes Ejercicio nº 1.- Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:
Ejercicio nº 2.- a) Calcula el valor del determinante:
b) Resuelve la ecuación:
Ejercicio nº 3.- Calcula el valor de los siguientes determinantes.
Ejercicio nº 4.- Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:
t
t
t
42
01
111b)
041
211
312a)
113
132
121
0
31
21
31
x
x
x
x
x
x
110
111
011b)
233
102
324a)
tt
t
t
1
02
22b)
124
320
212a)
2
Ejercicio nº 5.- Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):
Ejercicio nº 6.-
Ejercicio nº 7.-
Ejercicio nº 8.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Ejercicio nº 9.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Ejercicio nº 10.-
0
110
11
1b)
111
201
012a)
a
aa
:tesdeterminan siguientes los de valor el calcula 3 Si ,dc
ba
dc
ba
ddc
bba
db
ca
22
22
22
22;;
:esdeterminat siguientes los de valor el halla 4 que Sabiendo ,yx
ba
yx
ba
ba
yx
byax
ba 33c)b)a)
0b)
22
1122a)
32
2
aa
aa
yxyx
ba
yx
ba
yxba
yx
ba
yx3
33
33b)
22
22a)
:calcula ,4 y2 que tales 2,2 matrices dos son y Si BABA
12 2 AAABAAA t ;;;;;
3
Ejercicio nº 11.- Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
Ejercicio nº 12.- Estudia el rango de la matriz:
Ejercicio nº 13.- Calcula el rango de la matriz:
Ejercicio nº 14.- Halla el rango de la siguiente matriz:
Ejercicio nº 15.- Obtén el rango de esta matriz:
711121
1321
5132
M
355
430
111
132
A
1123
3101
4312
A
3010
2321
0211
M
3010
1121
3212
M
4
Ejercicio nº 16.- Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Ejercicio nº 17.- Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
Ejercicio nº 18.- Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
Ejercicio nº 19.-
Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :
Ejercicio nº 20.- Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
014
030
0101
a
aA
231
040
2401
t
tM
23381
231
1321
t
tM
020
200
1111
A
aa
a
a
M
522
121
031
5
Ejercicio nº 21.- a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
no es inversible.
b) Calcula A1 para a 2.
Ejercicio nº 22.-
Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:
Ejercicio nº 23.- Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
Para los casos en los que a 2 y a 0. Ejercicio nº 24.-
Halla X tal que AX B, siendo:
Ejercicio nº 25.-
a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:
222
11
11
a
a
a
A
14
44
12
y
111
102
011
BA
aa
a
A
11
111
111
213
105
126
y
111
320
112
BA
21
12
21
A
0. para Calcula b) 1 A
6
Soluciones Determinantes Ejercicio nº 1.- Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado b), calcula , además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:
Solución:
b) Calculamos el valor del determinante:
Veamos para qué valores de t se anula el determinante:
Ejercicio nº 2.- a) Calcula el valor del determinante:
b) Resuelve la ecuación:
t
t
t
42
01
111b)
041
211
312a)
1
041
211
312a)
47322441214
42
01
111
2222
tttttttttttt
t
t
t
16
6
3
4
6
8
6
17
6
484970473 2
t
t
ttt
.1 cuando y 3
4 cuando cero vale tedeterminan El tt
113
132
121
0
31
21
31
x
x
x
7
Solución:
b) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:
Ejercicio nº 3.- Calcula el valor de los siguientes determinantes.
Solución:
Ejercicio nº 4.- Calcula cuánto vale el primer determinante y halla los valores de t que anulan el segundo determinante:
7
113
132
121a)
1101 1
1
100
21
31
31
21
31
22
aa
a
a
23
2
1
FILAS
xxxx
xx
x
x
x
x
1;1:soluciones dosHay 21 xx
x
x
x
110
111
011b)
233
102
324a)
20
233
102
324a)
211121111
110
111
011b)233
xxxxxxx
x
x
x
131212211 2322 xxxxxxxxx
tt
t
t
1
02
22b)
124
320
212a)
8
Solución:
Ejercicio nº 5.- Calcula el valor del determinante propuesto en a) y resuelve la ecuación propuesta en b):
Solución:
b) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
(1) Desarrollamos por la 2ª columna
Ejercicio nº 6.-
12
124
320
212a)
022424
1
02
22b)
233 tttttttt
tt
t
t
2202
0
22 ttt
t
2;2;0:soluciones tresHay 321 ttt
0
110
11
1b)
111
201
012a)
a
aa
1
111
201
012a)
101
1
1
110
01
10
110
11
1
21
3
12
1
COLUMNAS
a
aa
a
aaa
aa
a
a
aa
1;1:soluciones dosHay 21 aa
:tesdeterminan siguientes los de valor el calcula 3 Si ,dc
ba
dc
ba
ddc
bba
db
ca
22
22
22
22;;
9
Solución:
(1) El segundo determinante es 0, pues tiene dos columnas proporcionales.
Ejercicio nº 7.-
Solución: a) Sumamos la 2ª fila la 1ª.
Ejercicio nº 8.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
3dc
ba
db
ca
63202
2
2
2
2
22
22 1
dc
ba
dd
bb
dc
ba
ddc
bba
1234222
222
dc
ba
dc
ba
:esdeterminat siguientes los de valor el halla 4 que Sabiendo ,yx
ba
yx
ba
ba
yx
byax
ba 33c)b)a)
4 yx
ba
byax
ba
4b)
yx
ba
ba
yx
1243333c)
yx
ba
yx
ba
0b)
22
1122a)
32
2
aa
aa
yxyx
10
Solución:
Ejercicio nº 9.- Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
Solución:
Por tanto, la igualdad es verdadera.
Luego, es falsa. Ejercicio nº 10.-
Solución:
Sabemos que, si A y B son dos matrices 22, entonces:
Por tanto:
cierta. es igualdad Laiguales Son
2222
11
2222a)
xyyx
xyyx
igualdad. esta cierta es También0b) 44
32
2
aaaa
aa
ba
yx
ba
yxba
yx
ba
yx3
33
33b)
22
22a)
ba
yxyaxb
ay
bxba
yx
2
22
2
22
22a)
ba
yxayxbayxb
ba
yx9999
33
33b)
:calcula ,4 y2 que tales 2,2 matrices dos son y Si BABA
12 2 AAABAAA t ;;;;;
AAAkAkBABA t )3)2)1 2
42222 AAAAAA
21112
AAAAA
11
Ejercicio nº 11.- Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:
Solución:
Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Así, la 3ª fila es combinación lineal de las dos primeras.
Por tanto, ran (M) 2. Ejercicio nº 12.- Estudia el rango de la matriz:
824422 2 AAA
842 BAAB
2 AAt
, existe que y que cuenta en tener a vamos , hallar Para 111 AIAAA
Así:.02A que puesto
2
111 111
AAAAIAA
711121
1321
5132
M
0721
32:nulo no 2 orden de menor un Tomamos
0
7121
121
532
;0
11121
321
132
355
430
111
132
A
12
Solución:
Luego, ran (A) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Por tanto, ran (A) 3. Ejercicio nº 13.- Calcula el rango de la matriz:
Solución:
Por tanto, ran (A 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
Luego, ran (A) 3
Ejercicio nº 14.- Halla el rango de la siguiente matriz:
0511
32:nulo no 2 orden de menor un Tomamos
ntes.independie elinealment son filas primeras tres Las017
430
1
1
11
32
1123
3101
4312
A
0101
12:nulo no 2 orden de menor un Tomamos
ntes.independie elinealment son filas tres Las014
123
1
3
01
12
3010
2321
0211
M
13
Solución:
Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:
Las tres primeras filas son linealmente independientes.
Por tanto, ran (M) 3.
Ejercicio nº 15.- Obtén el rango de esta matriz:
Solución:
Observamos que la 1ª y la 3ª columna son iguales. Luego podemos prescindir de la 3ª columna para calcular el rango de M. Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
Por tanto, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes (y las dos primeras columnas). Veamos si la 4ª columna depende linealmente de las dos primeras:
3010
23
02
21
11
M
2 0423
02 Mran
01531
213
300
231
021
3010
1121
3212
M
0321
12
14
Ejercicio nº 16.- Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Solución: Podemos prescindir de la 3ª columna, pues no influye en el rango.
Luego, ran (A) 2.
Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
Si a 1 y a 3 ran(A) 3
Si a 1 o a 3 La 2ª fila depende linealmente de las otras dos ran(A) 2
Ejercicio nº 17.- Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
Solución:
3 014
310
121
312
Mran
014
030
0101
a
aA
01 14
01 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomemos
3
1
2
24
2
12164034
14
30
101
2
a
aaaa
a
a
231
040
2401
t
tM
15
Observamos que la 4ª columna es el doble de la 1ª. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.
Así, ran (M) 2.
Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
Si t 2 y t 6 ran(M) 3
Si t 2 o t 6 La 2ª columna depende linealmente de la 1ª y 3ª.
Por tanto, ran (M) 2.
Ejercicio nº 18.- Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:
Solución:
Observamos que la 3ª columna es proporcional a la 1ª (es su triple); por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.
Luego, ran (M) 2.
Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:
Por tanto, la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t.
Así, ran (M) 2.
04 40
41 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
6
2
2
84
2
481640124
31
40
401
2
t
tttt
t
t
23381
231
1321
t
tM
01 21
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
. de valor cualquier para043824382
2381
21
121
ttttt
t
t
16
Ejercicio nº 19.-
Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de :
Solución:
Luego, ran (A) 2.
Buscamos los valores de que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:
Si 1 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
Si 2 La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:
Por tanto, ran (A) 3 para cualquier valor de .
020
200
1111
A
020
200
1111
A
02 20
11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
222122 2
11 2
02
200
111
2
1
2
31
2
811022 2
3 ran 2 y 1 Si A
3 ran01
010
201
111
A
3 ran08
020
202
111
A
17
Ejercicio nº 20.- Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:
Solución:
Luego, ran (M) 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a. Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:
Si a 1 Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:
Por tanto, ran (M) 2.
Si a 3 Sabemos que la 1ª columna depede linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:
Ejercicio nº 21.- a) Encuentra los valores de a para los que la matriz:
aa
a
a
M
522
121
031
03 12
03 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos
03403426823562
5
12
03
2
12222 aaaaaaaaa
a
a
1
3
2
24
2
12164
a
aa
últimas. dos las de elinealment depende columna 2 La0
15
12
03
2
1
1
a
3 ran tanto, Por .08
35
12
03
6
3
1
M
222
11
11
a
a
a
A
18
no es inversible.
b) Calcula A1 para a 2.
Solución:
Calculamos el determinante de A:
Ejercicio nº 22.-
Halla una matriz, X, tal que AX B 0, siendo:
Solución:
Despejamos X en la ecuación dada:
1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A
0253222222
222
11
11
22 aaaaaaa
a
a
a
A
3
2
1
6
15
6
24255
a
a
a
.3
2 para y 1 para inversible es no matriz la tanto, Por aa
:queda matriz La . 4 que tenemos , 2 Parab) AAa
342
142
102
311
440
222
220
121
112t
AAdjAAdjA
342
142
102
4
1
1 1 t
AAdjA
A
14
44
12
y
111
102
011
BA
: existe si ver para Calculamos 1AA
1 Existe02
111
102
011
AA
BAXBAAXABAXBAX 1110
19
Hallamos la matriz inversa de A:
Obtenemos la matriz X:
Ejercicio nº 23.- Calcula, si es posible, la inversa de la matriz:
Para los casos en los que a 2 y a 0. Solución:
Para a 2, queda:
Para a 0, queda:
202
111
111
211
011
211t
AAdjAAdj
202
111
111
2
1
202
111
111
2
11 1 t
AAdj A
A
02
11
21
04
22
42
2
1
14
44
12
202
111
111
2
11BAX
aa
a
A
11
111
111
231
111
113
A
:calculamos La . existe sí caso, este En .2 Entonces, 1 AA
282
251
011
220
851
211t
AAdj AAdj
141
12
5
2
1
02
1
2
1
11 t
AAdjA
A
20
Ejercicio nº 24.-
Halla X tal que AX B, siendo:
Solución:
Despejamos X de la ecuación dada:
Hallamos la matriz inversa de A:
Obtenemos la matriz X:
011
111
111
A
. 0 iguales, son filas primeras dos las Como A
. existe no caso, este en tanto, Por 1A
213
105
126
y
111
320
112
BA
: existe si ver para A Calculamos 1A
1 Existe05
111
320
112
AA
BAXBAAXABAX 111
412
613
505
465
110
235
t
AAdjAAdj
412
613
505
5
1
11 tAAdj
AA
101
201
113
505
1005
5515
5
1
213
105
126
412
613
505
5
1X
21
Ejercicio nº 25.-
a) Calcula para qué valores de existe la inversa de la matriz:
Solución:
Calculamos el determinante de A:
b) Para 0, la matriz es:
21
12
21
A
0. para Calcula b) 1 A
1a) La condición necesaria y suficiente para que exista es que 0 . A A
2222 1336342142
21
12
21
A
1 01 013 02
A
.1 para existe tanto, Por 1 A
210
423
120
241
122
030
201
102
210t
AAdjAAdjA
3A
210
423
120
3
1
11 tAAdj
AA