Diablo Fernandes

8/17/2019 Diablo Fernandes

1/73

Universidad Nacional del Callao

Calculo Vectorial: “Funciones Vectoriales de Variable Real”

Integrantes:

1. Flores Jiménez, Ricardo Alonso (14!11"1#$%. &i'entes )*+ez, Anton- Cesar (14!1"!$%!. ello /nri0ez Franco iero (14!1"$%4. 2alencia Cisneros, Ra3l ario (14!11"!%

51# 6 2


2/73

Índice

Funciones vectoriales de variable real

LÍMITE DE UN FUNCI!N VECT"RIL DE VRI#LE RELC"NTINUIDD DE UN FUNCI"N VECT"RIL DE VRI#LE REL

DERIVD DE UN FUNCI"N VECT"RIL DE VRI#LE REL

INTE$RCI!N INDEFINID

Vectores Unitarios: Tan%ente& Nor'al ( #inor'al

L"$ITUD DE RC"

Curvatura

Torsi)n

Centro de curvatura

CELERCI"N N"RML * TN$ENCIL

E+ERCICI", -R"-UE,T", E INTE$RLE,


3/73


FUNCI7N/& 2/C7RIA)/& 8/ 2ARIA9)/ R/A)

8/FINICIN

Una 'nci*n vectorial es na 'nci*n 0e trans'orma n n3mero real en n vector:

F : R → R3

, 8e'inida como F (t% ; ('ica de na 'nci*n vectorial es a0ella crva C 0e descri=enlos +ntos 'inales de los vectores 0e 'orman +arte de la 'nci*n +ara toda t 0e+ertenece al dominio de la 'nci*n.


4/73

Un +nto de la crva C tiene la re+resentaci*n cartesiana (metro - se o=tienen ecaciones cartesianas de C.7/RACI7N/& C7N FUNCI7N/& 2/C7RIA)/&

&+ongamos 0e las 'nciones F - B est>n de'inidas en el mismo intervalo I ⊂IR

F(t% ; ( ' 1(t% , ' (t% , ' !(t% ,@, ' n(t% % D B(t% ; ( g1(t% , g(t% , g!(t% ,@, gn(t% %

&iendo las im>genes de F - B vectores en IRn, reslta natral de'inir lassigientes o+eraciones:

1. Adicion de 'nciones

(F E B% (t% ; F(t% E B(t% ; ( ' 1(t% Eg1(t% , ' (t% Eg(t% , ' !(t% Eg!(t% ,@, ' n(t% Egn(t% %

. lti+licaci*n de n escalar +or na 'nci*n

( F%(t% ;(F(t%% ; (' 1(t% , ' (t% , ' !(t% ,@,' n(t% %

!. lti+licaci*n escalar o +rodcto interno de 'nciones:

(F⋅B%(t% ; F(t% . B(t% ; ' 1(t% g1(t% E ' (t% g(t% E ' !(t% g!(t% E ,@, E' n(t% gn(t%

4. lti+licaci*n vectorial (solo +ara n ; !%

( F < B % (t% ; F(t% < B(t% ; (' (t% g!(t% G ' !(t% g(t% , ' 1(t% g!(t% G' !(t% g1(t% , ' (t%g1(t% G ' 1(t% g(t%%

". lti+licaci*n de na 'nci*n real +or na 'nci*n vectorial

&ean φ : I ⊂ IR→ IR na 'nci*n real - F: I ⊂ IR ⇾IRn na 'nci*n

vectorial de varia=le real

( HF%(t% ;(H(t%' 1(t% , H(t%' (t% , H(t%' !(t% ,@,H (t%' n(t% %


5/73

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE

REAL

De.inici)n:

&ea F : I ⊆ R → Rn

na 'nci*n de'inida en el intervalo

a=ierto I de R - sea t 0 n +nto de I o

Un +nto de 'rontera de I. /ntonceslimt →t 0

F ; L si - solo si:

∀ ε>0,∃δ >0

0


6/73

1% lim

t →t 0

[ ⃗f ( t )+⃗g(t )] ;

limt →t 0

f (t ) +¿

limt →t 0

⃗g( t ) ; b +¿ ⃗c

% lim

t →t 0

[ ⃗f ( t )−⃗g (t )] ;

limt →t 0

f (t ) −¿

limt →t 0

⃗g( t ) ; ⃗b −¿ ⃗c

!%

t ⃗f ( t ) ∙⃗ g(¿)

limt→t

0

¿ ;limt →t 0

f (t ) ∙

limt →t 0

⃗g( t ) ; b ∙⃗ c

4% lim

t →t 0

f ( t ) ×⃗ g(t ) ;

limt →t 0

f (t ) ×

limt →t 0

⃗g( t ) ; ⃗b × ⃗c

C"NTINUIDD DE UN FUNCI!N VECT"RIL DE VRI#LEREL

De.inici)n:

)a 'nci*n f (t ) es contina en el +nto t 0 (+nto de acmlaci*n de

D⃗f % si:

∀ ε>0 , ∃δ >0 ⁄ ‖⃗f ( t )−⃗f (t 0)‖0 ⁄ t 0 es el 3nico +nto en D⃗f ∩< t 0−δ , t 0+δ >¿ - +ara cal0ier

ε>0 ,

‖⃗f (t )−⃗f (t 0)‖


7/73

• ∃ el vector ⃗F (0)

• ∃ ellimt →t 0

F (t )

• limt →t 0

⃗F (t ) ; F (0)

-R"-IEDDE, DE L C"NTINUIDD DE FUNCI"NE, VECT"RILE, DEVRI#LE REL:

&ean f ,⃗ g : I → Rn

'nciones vectoriales de varia=le real continas en el

+nto t 0 ∈ I,

/ntonces:

1f (t )

±

⃗g(t )

es contina ent 0

( λ f ) (t ) es contina en t 0 , ∀ λ∈ R

! (f ∙⃗ g ) (t ) es contina en t 0

4 f ( t )×⃗ g (t ) es contina en t 0

Una 'nci*n vectorial f : → Rn

es contina en n conKnto I ⊆

D⃗f si la 'nci*n f (t ) es

contina en cada no de los +ntos de I

-R"#LEM, RE,UELT",

Calclar si e


8/73

limt →0

(cos t −√ 1−t

t ) ; lim

t→0

(cos t −1

t −√ 1−t −1

t ) ;

1−t √ ¿

−1−cos t t −

−t t (¿¿)

¿

limt →0 ¿

;G5E limt → 01

√ 1−t =

1

2

@ (%

limt →0

t 2

1−cos2t =lim

t →0

t 2

sen2t

; 1

@ (!% Aora reem+lazamos (%, (!% en (1%

limt → 0 ( cost −√ 1−t t , t

2

1−cos2 ) ; (1

2 ,1¿

32 De'uestre 4ue

limt→ 2

f ( t )=(6,4) ,

donde

⃗f ( t )=(3t , t 2)

,oluci)n:

limt → 2

f ( t )=(6,4 ) ↔∀ ε>0,∃δ >0/0


9/73

L δ 2 ; ε de donde δ 2 ;ε

8

)ego ∃δ =min

{1,

ε

8

}

52 Calcular: limt → 0

(( 11+t )1

t , t

3− t t

,√ 1−t −√ 1+ t

t )

,oluci)n:

limt → 0

(( 11+t )1

t , t 3−t

t ,

√ 1−t −√ 1+ t t

) ; (

limt →0

( 11+ t )1

t , limt →0

t 3−t t

, limt →0

√ 1−t −√ 1+t t

¿

;(

limt → 0

[(1+ −t 1+ t )1+t −t ]

−t 1+t

.1

t , lim

t →0

t 2−1,lim

t →0

−2

√ 1−t +√ 1+ t %

; ( e

limt →0

−11+t , 0−1,

−2

1+1 % ; ( e

−1,−

1,−

1

%

62 7allar:

limt → 0

f (t )& donde

⃗f ( t )=sent

t i⃗+

cost −12 t

⃗+et 2

⃗!

,oluci)n:

limt → 0

⃗f ( t )=(limt →0

sent t

i⃗ , limt →0

cost −12t

⃗ , limt → 0

et 2⃗! ) ; (1,5,1%

82 7allar:

limn→"

(#n, bn) , donde #n ; ∑i=1

n

(n2+i2)−2 , bn ;

∑i=1

nn

n2

+i2


10/73

limn→"

(#n , bn ) ; (bn

limn→"

#n , limn→ "

¿¿

@ (1%

limn→"∑i=1

n

(n2+i2)−1

2

; limn→"∑i=1

n1

√ n2+i2 ;

in¿¿¿2¿

1+¿√ ¿1

¿

∑i=1

n

¿

limn→"

¿

;

limn→"

1

n∑i=1

n1

√1+( in )2 ;

$%

√ 1+ %2=ln ¿ %+√ 1+ %2∨¿/1

0

∫0

1

¿ ;

1+√ 2(¿)ln ¿

limn→"∑i=

1

nn

n2

+ i2

;

limn→"∑i=1

n1

1+(in )

2∙

1

n

; ∫0

1$%

1+ %2 ;#&ctg% /1

0 ; arctg1 6

arctg5 ;' 4

/n (1%

∴

#n ,bn(¿)

limn→ "

¿ ; (ln (1 E √ 2 %, 4%

92 naliar la continuidad de la .unci)n vectorial:

f ;

{( t

m−t n

t n−t m

,csct −ctgt

sent )(s i t) 0

(−1,

1

2

)(sit =0

}


11/73


12/73

=2 Calcularlimt→ 0

⃗g ( t )& cuando la .unci)n es dada /or ⃗g(t ) ; >

4t −3t

7t −6t ,

tg*t

t ,

ln (sen2 t )

ln (sent ) ?

Calclando los l?mites de cada 'nci*n com+onente:

1

limt →0

4t −1t −¿

3t −1t

limt → 0

7t −1t −

6t −1t

limt → 0

4

t

−3

t

7t −6 t =limt →0

4t −3t

t 7t −6 t

t

=¿

;ln 4−ln 3ln 7− ln 6 ;

ln 4

3

ln 7

6

limt → 0

tg*t t ;

limt → 0

e t −e−t

(e t −e−t ) t ;limt → 0

1

et −e−t

(e

t −1t −

e−t −1

t ) ;

1

2 (lneGln

e−1¿ ;

1

2 (lne E lne% ; 1

! limt → 0

ln (sen 2t )ln (sent ) ;

2cos2 t sen2 t cost sent

=¿ limt → 0

sent . cos2 t sen2 t.cost

=limt →0

sent . cos2t sent.cost .cost

= limt → 0

cos2 t

cost 2

limt → 0

¿

; 1

Aora reem+lazamos en cada 'nci*n com+onente

limt → 0

⃗g ( t ) ; lim

t →0

(4

t −3t

7t −6t

, limt →0

tg*t

t , lim

t →0

ln (sen2t )

ln (sent ) ) ; (

ln 4

3

ln 7

6

,1,1%


13/73

@2 Calcular el l0'ite si eAistelimt →0

f (t ) donde la .unci)n es dada /or

f (t ) ; >sen( tg2 t )

tg (sent ) ,

e#t −ebt

sen#t −senbt ,

bt −#t

ct −$ t ?

Calclando los l?mites de cada 'nci*n com+onente:

1 limt → 0

sen (tg 2t )tg(sent ) ;

limt → 0

2 sec22 t.cost

cost . sec2(sent ) ;

limt → 0

e#t −ebt

sen#t −senbt ; lim

t → 0

e#t −1t −

ebt −1t

# ∙ sen#t #t −b ∙ senbt bt

; ln e

#−ln eb

#−b;

#lne−blne

#−b

;#−b#−b ;1

!

limt → 0

b−1t −¿

#t −1t

limt → 0

c−1t −

$t −1t

limt → 0

b

t

−#t

ct −$ t =¿

;lnb−ln#lnc−ln$ ;

ln b#

ln c

$

Aora reem+lazamos en cada 'nci*n com+onente

limt→ 0

f ( t ) ;

b t −#t

ct −$ t

limt → 0

sen (tg 2t )tg(sent )

, limt → 0

e#t −ebt

sen#t −senbt , lim

t → 0¿

¿

; (,1,

ln b#

ln c$

%

1B2 Calcular si eAisten limt → 2

(e⫾

t ⫾

t , sent ,√ 1+t )

Comolimt→ 2

(⫾t ⫾) ; {2 # t -21 # t


14/73

∴ ∄ limt→2

(e⫾ t ⫾

t , sent ,√ 1+t )

112 Calcular si eAiste:

limn→"

(#n, bn) , donde #n ; cos ( #2 ) , cos( #22 ) , cos( #

23 ) ,⋯ ,cos( #2n ) , bn ; (1 G

tg2 #

2 , 1 G tg

2 #

22 , 1 G tg

2 #

23 , ⋯ ,1 G tg

2 #

2n %

&olci*n:

limn→"

(#n, bn) ; (bn

limn→"

#n, limt →"

¿¿

@ (1%

limn →"

#n ; limn →"cos( #2 ) ,cos( #22 ) ,cos(

#

23 ) ,⋯ , cos( #2n )

@ (%

Como sena ; senacosa → cosa ; sen2#2 sen#

∴ cos( #2 ) , cos( #22 ) , cos( #

23 ) ,⋯, cos( #2n ) ;

sen#

2 sen #2

,sen

#2

2 sen #

22

,

sen #

22

2 sen #

23

,⋯ ,

sen #

2n−1

2 sen #

2n

= sen#

2nsen

#

2n

@ (!%

limn →"

#n ;limn →"

sen#

2nsen

#

2n

; sen a.limn →"

1

2nsen

#

2n

;sen#

#

limn→"

bn ;

1−tg2#2

, 1−tg2 #

22,

limn→"

¿ 1 G tg

2 #

23 , ⋯ ,1 G tg

2 #

2n¿

@ (4%


15/73

Como cos< ;cos

2 %−sen2 %

sen2 %+cos2 % ;

1−tg2 %1+ tg2 % ; (1G

tg2 % ¿cos2 %

Cos< ; (1G tg

2 % ¿cos2 %

→

1G tg

2 %

;

cos2 %

cos2

%

limn →"

bn ; limn→"

cos#

cos2 #

2

,cos

#2

cos2 #

22

,

cos #

22

cos2 #

e3

,,

cos #

2n−1

cos2 #

2n

; cos alimn →"

1

cos #

2 .cos

#

22 .cos

#

e3 cos

2 #

2n

; cos alimn→"

1

cos #

2n

∙ 1

cos #2

.cos #

22

. cos #

e3cos

#

2n

; cos a.#

sen# ;#

tg #

Aora reem+lazamos en cada 'nci*n com+onente en (1%

limn→"

(#n, bn) ; (bn

limn→"

#n , limt →"

¿¿ ; (sen#

# ,

#tg #

¿

132 La .unci)n de.inida /or ⃗F ( t ) ; {( sen3 t

sen 4 t , cos3 t

cos 4 t ) ,t ) 0(34 ,1), t =0

Es continua

en t ; B

limt → 0

sen3 t

sen 4 t

es $el# fo&m# 0

0

A+licando el teorema de )Mos+ital

limt → 0sen3 t sen 4 t

=limt → 0

3cos3 t 4cos4 t

=3

4

limt → 0

cos 4 t cos 3t

=1

or tanto, F es contina en t ; 5 desde 0e: limt → 0 F (t )=(34 , 1)= F (

0)


16/73

152 ,ean f (t ) ; >sent

t , cost ,

1

t +' ? (⃗g(t ) ; >

1+cos t sent

, 1

cost , sent −t ?

.unciones vectoriales en el es/acio

R3

7allar:limt→ '

[ f ( t ) %⃗ g(t )]

,oluci)n:

limt → '

[ f ( t )⃗ % g(t )] ;

limt → '

f ( t ) ¿ %( limt → '

⃗g(t )) ; (

limt → '

¿(

sent t

, cost , 1

t +' ¿ % < (

limt → '

(1+cost sent , 1cost , sent −t )

; (5,G1,1

2 ' ¿ % (5,G1, ' %

; |i⃗ ⃗ ⃗!

0 −1 1

2 '

0 −1 ' | ; ( 1−2 ' 22 ' ,0,0¿

162 La tra(ectoria de una /art0cula en el es/acio R3

esta dada /or la

.unci)n vectorial ⃗c (t ) ; >cos3t& sent&2 t ' ?2 Calcule

limt →

' 2

¿ ⃗c >t?&

limt → '

⃗c>t?&

lim

t→−'

2

⃗c>t?

,oluci)n:

lim

t → '

2

¿ (cost, sent,

2 t ' % ; (

lim

t → '

2

¿ cost,

lim

t → '

2

¿ sent,

lim

t → '

2

2 t

' % ; (G

1,1,1%

limt → '

¿(cost, sent,

2 t ' % ; (

limt → '

¿ cost,

limt → '

¿ sent,

limt→ '

2 t

' % ;

(1,5,%


17/73

lim

t →−'

2

¿(cost, sent,

2 t ' % ; (

lim

t →−'

2

¿ cost,

lim

t→−'

2

¿ sent,

limt →−

' 2

2 t

' % ; (G

1,G1,G1%

182 Calcular el l0'ite si eAiste:

limn→"

(#n, bn) & donde:

#n ;

n

(¿¿2+1)(n2+3)(n2+5)⋯(n2+2n+1)

(n2−1)(n2−2)(n2−3)⋯(n2−n)

¿

(

n#+1n#

tan ' 2 (¿)

bn=[3−2(

n#+1n# )]

¿

,oluci)n:

limn→"

(#n, bn) ; ( lim

n →"

#n , limn→ "

bn %

limn →"

#n ;

n

(n2−1)(n2−2)(n2−3)⋯(n2−n)

(¿¿ 2+1)(n2+3)(n2+5)⋯(n2+2n+1)limn→ "

¿

; limn→"

[(1− 1n2 )−n2

]−1n

2 [(1− 2n2 )−n2

2 ]−2n

2

⋯[(1− nn2 )−n2

n ]−n

n2

[(1+ 1n2 )n

2

] 1

n2 [(1+ 3n2 )

n2

3 ] 3

n2

⋯[(1+ 2n+1n2 ) n

2

2n+1 ]2 n+1

n2

; limn→"

e

−1

n2 (1+2+3+⋯+n)

e1

n2(1+3+5+⋯+( 2n+1)) ;

limn→"

e

−n (n+1)

2 n2

e

n(n+1)

n2

;e−12

e ; e

−32

limn→"

bn ;

n#+1n#

[3−2( n#+1n# )]tan

'

2(¿)

limn → "

¿

; limn→" [(1+−2n# )

−n# ]

−2n#

tan '

2( n#+1

n# )


18/73

; e−2lim

n →"

1

n#tan

'

2 (n#+1

n# ) ; e4

'

8e donde limn→"1

n# tan

' 2 ( n#+1n# ) ; lim %→ 0 % tan

' 2

(1+ % ) ;−2'

∴ limn→"

(#n, bn) ; ( lim

n→"#n , lim

n→ "bn % ; ( e

−3/2, e

4 /' %

192 Calcularlimn →"

(#n, bn) & donde #n ;n√ e+ n√ e2+⋯+ n√ en

n bn ;

1

n+1+

1

n+2+⋯+

1

2 n

,oluci)n:

limn→"

(#n, bn) ; ( lim

n →"

#n , limn→ "

bn % D donde:

limn→"

#n ; limn →"

n√ e+n√ e2+⋯+ n√ en

n ;limn →"

e1 /n+e2/n+⋯+en/n

n

; limn→"∑i=1n

e

in

∙1

n ; ∫0

1

e %

$% ; e G 1

→ limn →"

#n ; e 6 1

limn →"

bn ; limn →"

( 1n+1 + 1

n+2+⋯+

1

2 n ) ;limn→" (

1

1+1

n

+ 1

1+2

n

+⋯+ 1

1+nn )∙

1

n

;limn→"∑i=1

n

11+

in

∙ 1n ; ∫0

1 $%1+ % ;

ln 2

→ limn →"

bn ; ln 2

∴ limn→ "

(#n , bn) ; ( lim

n →"

#n , limn→ "

bn % ; (e 6 1, ln 2 %

1O. naliar la continuidad de la si%uiente .unci)n:


19/73

f ; {(t −#&ct#nt

t 3

, e

/t +e− 0t

sen/t −sen 0t ) ,t ) 0(13 ,

0+/ / + 0 ) ,t =0

&olci*n:

G )a 'nci*n es contina en t ; 5 s?∃ lim

t →0f (t )

; '(5%

G )egolimt → 0

f (t ) ; ( lim

n →0

t −#&ct#nt

t 3

, limn→0

e/t +e− 0t

sen/t −sen 0t %

Usando el teorema de )Mos+ital:

; ( limn→ 01

3 (1+t 2) , lim

n → 0

/ e/t − 0e− 0t

/cos /t 1 0cos 0t % ; (1

3 ,

0+/ / 1 0 % ;

f (0 )

∴ ∃ limt →0

f (t ) ; f ( 0 ) D lego la 'nci*n f (t ) es contina en t ; 5

1=2 Dada la .unci)n f (t ) ; {(⫾ t ⫾ , cos

2

t −1t

2 , e−t −2

),t ∈¿ (1,0,1 ) , t =0 2

7allar los /untos de discontinuidad2

,oluci)n:

)os +ntos cr?ticos son 5 - 1. Analizando en el +nto t ; 5:

iG f (0) ; (1,5,1%

iiGt → 0

+¿f (t )

lim¿¿ ;

t →0+¿e−t −2

t →0+¿ cos

2 t −1

t 2 , lim

¿¿

t → 0+¿⫾t ⫾ , lim

¿¿

lim¿¿

¿

; (5,G1,5%

t → 0+¿⫾t ⫾

lim¿ ¿ ; 5, +or0e 5≤

t≤

1→

⫾t ⫾

; 5


20/73

t → 0

+¿ cos2t −1

t 2

lim¿¿

;t → 0

+¿−sen2t

t 2

lim¿¿

; G1

t → 0

+¿

e−t −2

lim¿¿ ; 5

P comot →0

+¿f ( t ))(1,0,1)lim¿

¿

∴ f (t ) es discontina en t ; 5.

Aora en t ; 1

f (1)∄ , +es la 'nci*n no est> de'inida se concl-e 0e f (t ) no es

contina en t ; 1

1@2 7allarlimt→0

f (t )& si eAiste

f (t ) ;

(√ 1−t 2,1−cos2( t −1

4)

(t −1

4)

2 ,

√ t 1−e2√ t )

,oluci)n:

∃ limt →0

f (t )

t → 0+¿

f (t )↔ lim

¿¿ ;

t → 0−¿

f (t )lim¿¿

1t → 0

+¿f (t )

lim¿¿ ;

t →0+¿(√ 1− t 2 ,

1−cos2(t −1

4)

(t −1

4)

2 ,

√ t 1−e2√ t )

lim¿¿


21/73

;

t → 0+¿ √ t

1−e2√ t

t → 0+¿

1−cos2(t −1

4)

(t −1

4 )

2 , lim

¿¿

t →0+¿√ 1−t 2 , lim

¿¿

lim¿¿

¿

Gt → 0

+¿√ 1−t 2lim¿¿ ; 1

Gt → 0

+¿1−cos

2

(t − 14 )

(t −1

4)

2

lim¿¿

; 1

Gt → 0+¿ √ t

1−e2√ t

lim¿

¿ ;

t →0+¿

2

2√ t −e2√ t

√ t lim¿¿

;t → 0

+¿− 1

2 e2√ t

lim

¿

¿ ;

−12

t → 0

−¿f (t )

lim¿¿ ;

t → 0−¿(√ 1−t 2 , 1−cos2(t −

1

4)

(t −1

4)

2 ,

√ t 1−e2√ t )

lim¿¿

;

t →0+¿ √ t 1−e2√ t

t →0+¿1−cos2(t −

1

4)

(t −1

4)2

, lim¿

¿

t →0+¿√ 1−t 2 , lim

¿¿

lim¿¿

¿


22/73

Gt → 0

−¿√ 1−t 2lim¿¿ ; 1

Gt →0−¿

1−cos2( t −1

4

)

(t −1

4)2

lim¿

¿

; 1

Gt → 0−¿ √ t

1−e2√ t

lim¿¿

; ∄

t → 0−¿

f (t )→∄ lim

¿¿

∴ ∄ limt →0

f (t )

3B2Deter'inar si la .unci)n f : R → R3

& dada /or:

⃗f ( t )={(t , t 2 , sen t

t ) , s i t) 0(0,0,0 ) ,sit =0

es discontinua en t ; B

,oluci)n:

1 f ( 0 ) ; (5,5,5%

limt→ 0 f ( t ) ; limt →0 (t , t

2

, sen t

t ) ; (limt →0 t , limt → 0 t

2

limt →0

sent t ) ; (5,5,1%

Como vemos 0elimt → 0

f ( t ) ) f (0 )

)a 'nci*n f ( t ) es discontina silimt → 0

f ( t ) ) f ( 0 )

∴ f ( t ) es discontina en t ; 5

-R"#LEM, -R"-UE,T",


23/73

1.allar:limt →

' 2 (

cos t 3

√ (1 1 sen2t )2,( ' 2 1 t ) tan t , 1 1 sent ( ' 2 1 t )

2 )

.Calclar si e


24/73

⃗f =

{

(t 2−e , 1−cos t t ) ,sit


25/73

C"NTINUIDD DE UN FUNCI"N VECT"RIL DE VRI#LEREL

8e acerdo a la de'iniciones dadas en ()II/&%@ na 'nci*n vectorial

F(t% @@@@@ser> contina en n t5 0e +ertenezca al 8om' si cm+le 0e :

ara n Q5, e 0e la 'nci*n es contina enese 5 -a 0e e contina.

EHe'/lo:

allar la continidad de:

F(% : ( sen , )n t" , G1 % en 5 ; 5

8e la de'inicion anterior@solo analizamos a &en @ en 5 - nos daremoscenta 0e no cm+le, +or lo 0e en el +nto 5; 5 no es contina @


26/73

/ntonces diremos 0e la F(% no es contina.

DERIVD DE UN FUNCI"N VECT"RIL DE VRI#LE REL

&i tenemos na 'nci*n F: I Rn 0e va a estar dada de la sigiente manera:

F(% : ( F1(% , F(% , @ , Fn(% %

8e'iniremos a la derivada de la 'nci*n como:

FT(% : lim* →0

F (*+2 )− F (2 )* Qsi es 0e este )imite e


27/73

8onde )t : ( F(t%, 'M(t% %

EHe'/lo:

F: R R

F(% : (cos, sent %

&i nos damos centa es la 'orma+olar de na circn'erencia de r ;

P s imagen seria


28/73

&i tenemos na

'nci*nvectorial, 0ees

di'erencia=le, - ‖ F (2 )‖ ;, es decir, es constante, FT(% s vector

velocidad ser> +er+endiclar a s vector direcci*n.

&i tenemos na 'nci*n F(% 0e es di'erencia=le, entonces s?:

FT(% GGQ es contina Q se dir> 0e la F(% es na crva de clase C1

/s decir, si nestra 'nci*n 'ese (derivada de orden +% F+(% esta ser> nacrva de clase C+ .

Aora si tenemos B: IR di'erencia=le en cierto intervalo -

F: I Rn di'erencia=le so=re n intervalo 0econtenga a B

QQQQ &e dir> 0e FoB o tam=ién llamada 'nci*n com+esta. &er>di'erencia=le en cierto intervalo.

-R"#LEM,

1?.)a 'nci*n de'inida +or

F(t% ; {( sen3 t

sen 4 t , cos3 t

cos4 t ) ,t ) 0( 34 ,1), t =0

V/s contina en t ; 5W


29/73

limt → 0

sen3 t sen 4 t

es $el# fo&m# 0

0

A+licando el teorema de )Mos+ital:

limt → 0

sen3 t sen 4 t

=limt → 0

3cos3 t 4 cos4 t

=34

limt → 0

cos 4 t cos 3t

=1

or tanto, F es contina en t ; 5 desde 0e,

limt → 0

F (t )=( 34 , 1)= F (0)

3?.allar la continidad en FX(t5% ; 5 en F(t%; (senYt, cost, tG!t%

FX(t% ; (Ycost,Gsent, 4tG!% reem+lazamos en t5; 5

; (Y, 5 , G! % +or lo 0e si es contina en ese +nto.

5?. 8ada la 'nci*n F(t% ; (sent

t , t, )n

3 t

t % allar la continidad en el

+nto 5;5

ara resolverlo es sencillo tan solo nos 'iKamos en esta (sent

t % analizamos

en el +nto dado

P nos daremos centa 0e no cm+le +or lo 0e si no cm+le tan solo en esta+arte se dir> 0 no es contina, -a 0e de=e ser contina en todos los +ntosdel intervalo dado.

6?2 allar 'X(t%, cando:

a% 'X(t% ; (t

!

, (tE1%

, sent % - =% 'X(t% ; ( cost , sent , t % es m- sencillo solo derivamos inde+endientemente cada zona

a% ' T(t% ; (2

3 t

−13 ,2 ( t +1 ) ,cost ¿

=% ' X(t% ; (Gsent , cost , 1 %


30/73

8?2allar el vector tangente - la recta tangente a la crva F(t% ; (4cost, !sent% , t

∈(0,2 ' ) en los +ntos (5,!% - ( √ 2 ,3√ 22 %

8erivamos: F X(t% ; (G4sent, !cost% , '( ' 2 % ; (5,!% - '( ' 4 % ; ( √ 2, 3√ 22 %

)ego en el +nto (5,!% se tieneD

2t ; ' X(' 2 % ;(G4,5% )t ; (o,!% E t(G4,5%

9? ./n el +nto ( √ 2, 3√ 22 %:

2t ; F X(' 4 % ; (G √ 2,

3√ 22 % )t ; (

√ 2, 3√ 22 % E t(G

√ 2, 3√ 22 %

O%. &i tenemos F(t% ; (1Gt ,2t

1+t 2 , !t % allar FX("%

FX(t% ; (Gt ,2( t +1)(−t +1)

(t 2+1)2 , ! % en el +nto FX("%

; (G15 ,−12169 , ! %

=?2 8ada la 'nci*n '(t% ; (t , t ,1

3 t!% , t ∈ ( o , E " %

allar$$t (

‖f (t )‖ ;f ( t ) . f 4 (t )

⟦ f (t )⟧

$$t (

‖f (t )‖ ;f ( t ) . f 4 (t )

⟦ f (t )⟧ ;

t +2 t 3+1

3t

5

√t 2+ t 4+ 19 t 6 , tQ5

;

t 4+6t 2+3

√ t 4+9 t 2+9


31/73

@?2&i F(t% ; ()n3 t

2−t , "t , cos"t % allar la continidad en el +nto 5;(%

Analizamos la 'nci*n - nos damos centa 0e es m- sencilla, -a 0e nos'iKamos en

)n3 t

2−t reem+lazmos en ese +no - no e


32/73

allar la 'nci*n vectorial 0e descri=e la tra-ectoria de la +elota.

enemos d ; !5 √ 3 +ies, P5 ; ; " +ies, g ; ! + seg.

[; (25cos#55%t ;Q X ; !5t

P; E25sen#55 Eg t

2

2 ; " E !5 √ 3t 6 1#t

/ntonces la 'nci*n vectorial seria F(t% ; (!5t , " E !5 √ 3t 6 1#t%

16?& Un +ro-ectil es dis+arado con ra+idez inicial de 1,"55 +iesseg. - n anglode elevaci*n de !55 encentre: )a velocidad en (%

Y = 25 sen!55t G1

2 g t => y ; O"5t 6 1#t

X ; 25cos!55t ; O"5 √ 3t , +or lo tanto: F(t% ; (O"5 √ 3t , O"5t G 1#t%

2(t% ; FX(t% ; ( O"5 √ 3 , O"5G!t %

18?2 Una +art?cla se meve a lo largo de la crva F(t% ; ( t !G4t%i E (tEt%K E ("Gt%

allar la velocidad +ara t;

2(t%; FX(t% ; ( !tG4%i E (Et%K E ("G1% aora reem+lazamos en t ;

/ntonces 2(t% ; Li E#K E4

-R"-UE,T",

8eterminar la continidad de cada na de las sigientes 'nciones

1. F(t% ; (

1

t +1 ,

t

4 ,

t 2

2 ¿ enel 5nto 6(

1

2 ,

1

4 ,

1

2 )


33/73

. F(t% ; {(t −1, t 2−1t −1 ) , t ) 1

(0,2 ) t =1

!. F(t%; ( |t −1|, [t −1 ] , t ¿ ( t ∈ [−2, 2 ]

4. F(t% ;

¿ (2−t ,4−2t ,2−t ) , t ∈ [ 0,1 ]−2 , 0¿

¿(−t ,−2 t , t ) , t ∈¿

¿

". allar la continidad en 5 ; '

si F (% ; ( sen

, !cos, 1G!

%

#. 8ada la 'nci*n F(t% ; ()n(tsen"!5% , arctan(t% , Gt % allar FX(sen!55%

O. allar los +ntos donde las 'nciones no son continas:

F(t% ; ( et , t , sent % 8' ; [ 0 , 4 ]

F(t% ; (t , t , ⟦2 t 3 ⟧ % 8' ; [ 0 , 8 ]

L. F(t% ; ( cos2

3 t , costsent , ln (3 t +9)¿

$. F(t% ; (3√ t 3−6 t , 1−√ t

t 2−3 t

,t#nt ¿

15. F(t% ; ln(tG1% , 1 tE , sec(Yt%

11. 8emostrar 0e si ‖ F ‖ es constante entonces F - FM son ortogonales

so=re 8om(FM%

1. /ncontrar la ecaci*n de la recta tangente en cada caso:

a% [; 4 cost , - ; !sent D t ∈ [ 0,2 ' ] en el +nto (4, 5 %

=% F(t% ; (tcost ,tsent,tY % en el +nto (5, 5 , 5 %

c% F(t% ; ( tcost, 4sent , t % en el +nto ( GY, 5 , ' 2¿

1!. &ean las crvas F(t% ; ( et

, e2t

, 1GeG1

% B(t% ; (1 6 t , cost , sent%


34/73

allar en el +nto de intersecci*n el >nglo de intersecci*ncorres+ondiente.

14. &i F(t% es na 'nci*n vectorial tal 0e \\F(t% \\ ; donde es constante.allar: F(t%.8' B(t%

15. allar la ecaci*n de la recta tangente de la crvaF (t% ; (sent, cost, sent G l% en el +nto de intersecci*n con la crva

g (t% ; (cost, , sent, cosGt%, t ∈ ]5 , ' ^.

1#. 8emostrar 0e la +endiente de la recta tangente en ; 1 a la cicloide< ; a(t _sent%D

- ; a(l Gcost% es ctg(2 1

2

%

1O. 9aKo 0e >nglo corta la crva < ; a(l G cos t%, - ; a sen t, z ; a t, a larecta 0e +asa +or el origen - 'orman >nglos igales con los tres eKescoordenados.

1L. Un +ro-ectil se lanza con n >nglo de elevaci*n de' 6 radianes -

con velocidad inicial de 455 +iesseg. 8eterminar na 'nci*n f ( t ) 0edescri=e la +osici*n del +ro-ectil en 'nci*n del tiem+o. allar as? mismoel tiem+o del recorrido.


&i⃗f : I → R

n

es na 'nci*n vectorial de varia=le real dado +or ⃗f ( t )=( f 1 (t ) , f 2 ( t ) ,, f n ( t )) , la integral inde'inida de f (t ) estar> dada +or:

∫⃗ f (t ) $t =(∫ f 1 (t ) $t +c1 (∫ f 2 ( t )$t +c2 ((∫ f n (t ) $t +cn)

&i ⃗f : I → R3

dado +or

f ( t )=f 1 (t ) ⃗i+ f 2 ( t ) ⃗ +f 3( t )⃗!

∫⃗f (t ) $t =(∫ f 1 ( t ) $t +c1 ) ⃗i+(∫ f 2 (t ) $t +c2) ⃗+(∫ f 3 ( t ) $t +c3)⃗!


35/73

-ro/iedades de la Inte%ral Inde.inida

&e tienen dos 'nciones vectoriales f (t ) - ⃗g(t ) D / ∈ R - ⃗c es n

vector constante.

1. ∫/ .⃗ f (t ) $t =/ .∫⃗ f ( t ) $t

. ∫⃗c .⃗ f ( t ) $t =⃗c .∫⃗ f ( t ) $t

!. ∫ (⃗ f (t ) ±⃗ g (t )) $t =∫⃗ f ( t ) $t ±∫⃗ g (t ) $t

4. ‖∫⃗ f (t ) $t ‖≤∫‖⃗f (t )‖$t

Inte%ral De.inida

Consideremos ⃗f : [ #, b ] →Rn

⃗f ( t )=( f 1(t ) , f 2(t ),, f n (t ))

∫#

b

⃗f (t ) $t =(∫#

b

f 1 ( t ) $t (∫#

b

f 2 ( t ) $t((∫#

b

f n (t ) $t )/l 1

e&

teorema 'ndamental del c>lclo +ede e


36/73

∫#

b

(/ .⃗ f ( t ) ± 0 .⃗ g (t )) $t =/ .∫#

b

⃗f (t ) $t ± 0.∫#

b

⃗g (t ) $t

. &i ⃗f : [# ,b ] →Rn

es na 'nci*n vectorial de varia=le real - ⃗c es n

vector constante

∫#

b

⃗c .⃗ f ( t ) $t =⃗c .∫#

b

⃗f ( t ) $t

!. &i ⃗f : [ # ,b ] → Rn

es na 'nci*n vectorial de varia=le real - ‖f (t )‖ es

integra=le en [ # , b ] , entonces:

‖∫#b

⃗f (t ) $t

‖≤∫

#

b

‖⃗f ( t )‖$t

Lon%itud de rco

&e denota la longitd de arco +oligonal +or L , tal 0e:

L =∑i=1

!

‖⃗f ( t i)−⃗f (t i−1)‖

)a crva C de'inida +or f de [ # ,b ] es recti'ica=le si { L / ∈ ´ 6 } tiene

cota s+erior, si C es recti'ica=le, la longitd es el s+remo L=. { L / ∈ ´ 6 }

&i se o=tiene na +artici*n 62 $e [# ,b ] agregando algnos +ntos de +artici*n

a 61 $e [ # ,b ] le llamaremos re'inamiento de 61 , si

62 es5n &efin#miento$e 61 entonces:


37/73

L 61 ≤ L 62

&i f tiene na derivada contina so=re [ # , b ] - la crva C descrita +or

f (t ) es recti'ica=le, entonces la longitd de arco de la crva C es:

L=∫#

b

‖⃗f ( t )‖$t

&i 8 :⃗ f (t )=( % (t )( 7 ( t ) ( 9 (t )) +ara # ≤ t ≤ b

L=∫#

b

‖⃗f ( t )‖$t =∫#

b

√ % ( t )2+ 7 (t )2+ 9 (t )2 $t

Vectores Unitarios: Tan%ente& Nor'al ( #inor'al

&ea C na crva de'inida +or:

⃗/ ( t )= % (t ) ⃗i+ 7 (t )⃗ + 9( t )⃗!

& vector tangente nitario en la direcci*n de / (t ) denotado +or 2 ( t )

⃗2 (t )=

/ (t )

‖⃗/ (t )‖

& vector normal al cal denotaremos +or ⃗: (t )

⃗: (t )= 2 (t )

‖⃗

2 (t )‖


38/73

7=servaciones

1% Como ⃗/ : [# ,b ] →R3

, s longitd de arco corres+onde al intervalo

[ # , t ]

L ( t )=∫#

t

‖⃗/ (5)‖$5

8erivandolo L ( t )=‖/ (5)‖↔/ ( t )= L ( t ) .⃗2 (t )

% &i / ( t ) es di'erencia=le en [ # , b ] D entonces L ( t ) 7 2 (t ) e


39/73

&e conoce 0e ⃗# ( t )=f ( t )=(0,0,−g ) , adem>s

⃗= ( t )=∫⃗ f ( t ) $t =∫ (0,0,−g )$t =( c1, c2 ,−¿+c3 ) Como⃗= (0)=(2,0,1 )↔⃗= (0 )=(c1 , c2, c3 )entoncesc1=2 (c2=0 (c3=1

or lo tanto ⃗= ( t )= (2,0,−¿+1 ) integrando

⃗f ( t )=∫⃗= ( t ) $t =∫ (2,0,−¿ )$t =(2 t +c1 , c2, t −g t 2

2+c3)

Como f ( 0 )=(0,0,0 )→ f ( 0 )=(c1 , c2 , c3 )=(0,0,0 ) entonces c1=c2=c3=0

∴⃗ f ( t )=(2 t , 0, t −g t 2

2 )

% 8ada la crva engendrada +or la 'nci*n vectorial de varia=le realf ( t )=(−1+sen2 t .cos3 t ,2+sen2t . sen3 t ,−3+cos2 t ) V/st> so=re la

es'era de radio 1 - centro (−1,2,−3 ) W

,oluci)n:

)as ecaciones +aramétricas de la 'nci*n vectorial f (t ) son:

%=−1+sen2 t .cos3 t , 7=2+sen2 t.sen3 t ,9=−3+cos2t

)a crva C: f (t ) esta so=re la s+er'icie es'érica de radio 1 - centro (G

1, , G!% si al eliminar el +ar>metro t de las ecaciones +aramétricas seo=tiene la ecaci*n de la es'era del radio 1 - centro (G1, , G!%.

%=−1+sen2 t . cos3 t → ( %+1)2=sen22 t . cos2 3 t

7=2+sen2 t.sen3 t → ( 7−2 )2=sen2 2 t.sen2 3 t

9=−3+cos2 t → ( 9+3 )2=cos2 2 t

( %+1 )2+( 7−2 )2+ ( 9+3 )2=sen22 t (cos23 t +sen23 t )+cos2 2 t

¿ sen2

2 t +cos2 2t

¿1

∴ ( %+1 )2+( 7−2 )2+( 9+3)2=1

!% allar la re+resentaci*n +aramétrica de la crva descrita +or n +nto de na circn'erencia de radio (a Q 5% 0e reda (sin deslizamiento%

so=re na recta.


40/73

,oluci)n:

&+ongamos 0e la crva es descrita +or el +nto 6 ( % ( 7 ) - adem>s

s+ongamos 0e el +nto P comienza a rodar a +artir del origen de

coordenadas - la recta so=re el cal reda la circn'erencia es el eKe X .

&ea ´>? =#&c. ´ ?6=#@

/n el A8B6 , tenemos ´ 6B=#sen@ 7 8́B=#cos@

ara >́: = ´>? = ´ :? =#@− ´ 6B=#@−#sen@ entonces %=#@−#sen@

7= ´ :6= ´ ?B= ´ ?8 − 8́B=#−#cos@ entonces 7=#−#cos@

)ego las ecaciones +aramétricas de la crva son: %=# (@−sen@ ) , 7=# (1−cos@ ) ,0≤ @ ≤2 '

/s decir: f ( @ )=#(@−sen@, 1−cos@)

4% Una +articlar +arte del +nto (2, 12 ,√ 2 ln 2) en el instante t =0 - sedes+laza so=re la crva de ecaci*n 8 :⃗ f ( % )=( e

%, e

− %,√ 2 % ) , de tal

manera 0e en cada instante t , la distancia recorrida so=re la crva es2t . allar na 'nci*n vectorial en términos de t 0e descri=a elmovimiento.

,oluci)n

/


41/73

2t =∫ln2

%

‖⃗f ( % )‖$% 8e donde ⃗f ( %0 )=(2, 12 , ln 2) entonces

(e %0 , e− %0 ,

√ 2 %

0

)=

(2,

1

2 ,

√ 2 ln 2

)→e %0=2 → %

0= ln 2

e

(¿¿ % , e− % ,√ 2)⃗f ( % )=(e % ,e− % ,√ 2 %0 )→⃗ f ( % )=¿

‖⃗f ( %)‖=√ e2 %+2+e−2 %=e %+e− %

2t =∫ln2

% (e %+e− % ) $%=(e %−e− % ) %ln 2

=(2 sen*%) %ln 2

2t =2 sen*%−2 sen* ( ln2 )→sen*%=t +sen*( ln2)

%=#&csen* ( t +sen*ln 2 )=#&csen*( t + 34 )

$on$e sen* ( ln 2 )=e ln 2−e−ln 2

2 =

2−122 =

3

4

⃗g ( t )=⃗f ( t )=⃗f (#&csen(t + 34 ))=(e#&csen*(t +34 ) , e

−#&csen*(t +34 ),√ 2 #&csen*(t + 34 ))

"% &i⃗f ( t )= $

1−cost ( cost,sent ) ,$>0, descri=e na +ar>=ola, allar el

>nglo 0e 'orma los vectores f (t 1 ) 7 f (t 2) , donde f (t 1) es el

vértice - f (t 2) el e


42/73

⃗f ( t )=( −$sent (1−cost )2 , −$

1−cost )

/valando la ecaci*n

⃗f ( 0 )=(" , ") ,⃗ f ( ' 2 )=(0,$ ) ,⃗ f ( ' )=(−$2 , 0),

" ,">¿⃗f (3 ' 2 )=(0, $ ) ,⃗ f ( 2 ' )=¿

)ado recta ; )R ; $ ( C1 , C2) , $on$e C1 (0, $ ) , C2 (0,−$ )

⃗f (t 2 )=( $cos t 21−cos t 2 ,$sent 2

1−cos t 2 )=(0,$ )→ t 2='

2 , comoel e&ticees = =(−$2 ,0)

/ntonces⃗f (t 1 )=( $cos t 11−cos t 1 ,

$sent 11−cos t 1 )=(

−$2

, 0)→t 1='

Como⃗f ( t )=( −$sent (1−cost )2 ,

−$1−cost )→⃗ f ( ' 2 )=(−$2 ,−$ )

P⃗f ( ' )=(0,−$2 ) , adem>s

cos@=

⃗f (' 2 ) .⃗ f ( ' )

‖⃗f ( ' 2 )‖‖⃗f (' )‖=

$2

5

$2√ 54

=2√ 5

5

cos@=2√ 5

5 → @=arccos( 2√ 55 )

#% No teniendo en centa la 'ricci*n - s+oniendo na 'erza gravitacional

constante, +ro+orci*nese na descri+ci*n del movimiento de na


43/73

+art?cla de masa m c-a velocidad inicial es 0 - c-a +osici*n

inicial es %0 .

,oluci)n

&ea mg la 'erza constante. enemos

#= =g

)ego

( t )=0+∫0

t

g=0+¿

% ( t )= %0+∫0

t

(0+g5 )$5

¿ %0+0 t +1

2 g t 2

ara 'acilitar el di=Ko de la tra-ectoria de la +art?cla seleccionaremosn sistema de coordenadas tal 0e

%0=(0,0,0) , g=(0,−g ,0 ) 7 0=(c1 ,c2 , 0 ) , el origen se coloca en el +nto

inicial, la 'erza est> en la direcci*n negativa del eKe P, - la direcci*n del

eKe [ se elige de modo 0e 0 es +aralelo al +lano [P. )as

ecaciones +aramétricas 0e descri=en el movimiento de la +art?clason

%=c1t

7=−1

2 g t 2+c2t

9=0


44/73

&i c1) 0, estas son ecaciones +aramétricas de na +ar>=ola en el

+lano [P.

)a altra m>=ola es vertical - s vértice es el +nto (c1c2g , c2

2

2 g , 0)

O% &ea 8 la élice cil?ndrica descrita +or f =(cos ,sen,1

2 I ) .

8eterm?nese la 4longitd ) del arco de 8 de (1,0,0) a (−1,0, ' 2 ) .

,oluci)n

Como f ( 0 )=(1,0,0 ) 7 f ( ' )=

(−1,0,

' 2

),

L=∫0

'

‖f ‖=∫0

'

√sen2+cos2+ 14 =∫0' √ 52 =√ 5

2 '

L% 8eterm?nese la longitd de la crva 8 descrita +or

f ( t )=(cost , sent ) , t ∈ [ 0,4 ' ] .

,oluci)n

)a crva 8 es la circn'erencia nitaria 8 (0,1) recorrida dos veces

=aKo la trans'ormaci*n f $e [0,4 ' ] . or lo tanto sando la 'ormla

L=∫0

4 '

√ sen2 t +cos2 t $t =∫0

4 '

$t =4 '


45/73

$% 8eterm?nense los com+onentes tangencial - normal (normal +rinci+al%

de f (t ) en el +nto f (t ) de la élice descrita +or

f =(cost, sent , 12 I ) .

,oluci)n

8e acerdo con este teoremaf = I 2 + I ‖2 (t )‖ :

&e +ede dedcir 0e f (t )es I (t ) . Como

f ( t )=(cost ,sent ,12 t ) ,enemos

f (t )=(−sent ,cost , 12 ) I (t )=‖f ( t )‖=1

2 √ 5

I ( t )=0

8e donde el com+onente tangencial de f (t ) es cero, - el com+onente

normal es:

‖f ( t )‖=‖(−cost ,−sent,0 )‖=1

15%8eméstrese 0e si na crva 8 se encentra en el +lano 6 en

R3

entonces el +lano oscilador en cal0ier +nto de 8 es 6 .

,oluci)n

&ea 6= {( 6 / 6 .n=c ) } - s+ongamos 0e 8 esta descrita +or la

'nci*n f .

Como 8 ⊂ 6 , +ara cada t ∈ D t , f ( t ) . n=c .

8i'erenciando na vez tenemos f ( t ) .6=0 -, de a0?, 2 ( t ) . n=0 .

8i'erenciando de nevo tenemos 2 ( t ) . n=0 -, +or tanto, : (t ) . n=0 .


46/73

/sto nos mestra 0e n es ortogonal a 2 ( t ) 7 : (t ) . Adem>s, f (t )

+ertenece a 6 - al +lano oscilador de 8 en f (t ) . or tanto,

estos +lanos de=en coincidir.

-R"#LEM, -R"-UE,T",

1% /val3ense las sigientes integrales

a% ∫0

1

( I , I 1/2 ,exp )

=% ∫0

' /2

(sent , cost ,t#nt ) $t

c% ∫2

4

( t 1+t 2 ,√ 1+ t 2, 4 t

3)$t

% Resélvanse las sigientes ecaciones di'erenciales - di=3Kese la crva

descrita +or % en cada caso.

a% % ( t )=c, % (0 )=0

=% %

(t )=

#t +

b , %(0

)=(1,0,1

)c% % ( t )=E (−senEt , cosEt , 0 ). % (0 )=(1,0,0 )

!% &i no est>n actando ningnas 'erzas so=re na +art?cla de masam - s +osici*n - velocidad iniciales son %0 7 0 , res+ectivamente,

descr?=ase la tra-ectoria de la +art?cla.

4% rescindiendo de los e'ectos de la atmos'era - s+oniendo n selo

+er'ectamente nivelado, est?mese la velocidad inicial m?nima re0erida+ara acer 0e na +elota de gol' recorra "5 -ardas.

"% VC>l es la contestaci*n al +ro=lema 4 si el +nto de salida de la +elotaest> a " +ies +or encima del nivel de la +istaW

#% ede mostrarse 0e cada na de las solciones % de la ecaci*n

di'erencial


47/73

% =−E2 % , ` na constante, tiene na regla de corres+ondencia de la

'orma % ( t )=#cos (Et +@ ) , t ∈ ⟨−" ," ⟩ . 2eri'?0ese 0e toda 'nci*n 0e

tiene na regla de corres+ondencia de esa 'orma es na solci*n.8eterm?nese la solci*n 0e satis'ace:

a% % (0 )= %0 , % (0 )=0

=% % (0 )=0, % (0 )=0

c% % (0 )= %0 , % (0 )=0

O% VC>l es la 'orma general de la solci*n de la ecaci*n di'erencialvectorialW

m% =−!%,! >0, m>0

L% )a ecaci*n di'erencial del +ro=lema O es la ecaci*n de movimiento de

na +art?cla 6 de masa m so=re la 0e act3a na 'erza central

0e est> siem+re dirigida acia 5 - c-a magnitd es +ro+orcional a ladistancia de la +art?cla a 5.

a% 8escr?=ase el movimiento de la +art?cla si:

i. % (0 )=0, % =0

ii. % (0 )= %0, % (0 )=0

=% 8eméstrese 0e la sma de dos solciones de la ecaci*n demovimiento es na solci*n. 8escr?=ase el movimiento de la

+art?cla cando % (0 )= %0 - % ( 0 )=0 .

c% 8eterm?nense cales de=en ser la +osici*n - velocidad inicialesde la +art?cla +ara 0e se meva a lo largo de na circn'erencia

de radio & alrededor del origen.

$% 8eterm?nese la longitd del arco de la +ar>=ola descrita +or

f ( t )=(t 2,2 t ) ,t ∈ [ 0,1 ] .

15%8eterm?nese la longitd de la gr>'ica de 7=ln (1− %2) entre %=0 -

%=1

2 .

11%8eterm?nese la longitd de n arco de la cicloide descrita +or

f =# (1−sent ,1−cost ) , $on$e #>0.


48/73

1%/ncéntrese la longitd de la crva descrita +or

f ( t )=(t ,t , 2t 2 ) ,t ∈ [−3,3 ] .

1!%8eterm?nese la longitd del arco de la élice c*nica descrita +or

f (@ )=(@cos@ ,@sen@ ,@ ), @∈ [0,1 ] .

14%8eterm?nese la longitd de la crva descrita +or la trans'ormaci*n

f (φ )=#(φ−senφ,1−cosφ, 4 sen φ2 ) del intervalo [ 0,2 ' ] .

1"%Considere la crva 8 descrita +or

%=t

7=#cos* t #

9=#sen* t

#

8eméstrese 0e la distancia a lo largo de la crva 8 desde el +nto

(0,# ,0 ) asta n +nto 60 so=re 8 es +ro+orcional a la distancia

de 60 al +lano


49/73

1L%&ea g na 'nci*n real con na derivada contina so=re [ / , 0 ] -

sea 8 la gr>'ica +olar de &=g (@) . /ntonces 8 esta descrita +or

la 'nci*nf =g5

de[/ , 0 ]

donde5= (cos@,sen@ )

. 8eméstrese0e la longitd de 8 es

∫/

0

√ g2+( g )2

1$%Una ecaci*n +olar de la es+iral de Ar0?medes es &=#@ .

/ncéntrese la longitd de la es+iral desde @=0 asta @=2 ' .

5%Considérese la +ar>=ola c-a ecaci*n en coordenadas +olares es&=

$1−cos@

8eterm?nese la longitd de la +ar>=ola desde el +nto so=re el 'ocoasta el vértice.

1%&i el movimiento de na +art?cla esta descrita +orf ( t )=(cosEt ,cosEt ) , E>0

8i=3Kese la tra-ectoria - encéntrese la distancia recorrida +or la

+art?cla desde el instante t =0 asta el t =2 ' E con - sin

integraci*n.

%8eterm?nese 2 - : +ara cada na de las sigientes crvas:

a% )a +ar>=ola: %= t

2

, 7=2 t =% )a eli+se: f (@ )=(#cos@,bsen@ ) , @∈ [0,2 ' ] (# , b>0

c% )a rama de la i+ér=ola: %=#cos*t , 7=bsen*t

d% )a élice c*nica: f (@ )=(@cos@ ,@sen@ , #@)

e% )a recta: %= 60+t#


50/73

!%&ea 8 la crva descrita +or la trans'ormaci*n f de [ # , b ] . ede

sceder 0e en n +nto f (t 0 ) de 8 donde f (t 0 )=0 , e


51/73

8onde 5= (cos@,sen@ ) D es decir

% ( t )=& ( t )5 (t )=& (t )(cos@ (t ) ,sen@(t ))

8onde 5(t ) es n vector nitario radial a la tra-ectoria

&ea 5⊥ ( t )=(−sen@,cos@ )(5⊥ (t ) girado 90

G

en direcci*n contraria a la

de las manecillas del reloK. 8er?vense las sigientes '*rmlas +ara la

velocidad

= %

, ra+idez

l =‖ % ‖, - aceleraci*n

#= %

de la+art?cla:

=& 5+&@ 5⊥

l 2=& 2+& 2@ 2

#=(& −&@ 2 ) 5+(&@ +2& @ ) 5⊥

#%/l movimiento de na +art?cla se descri=e en coordenadas +olares +or:

a% & ( t )=10,@ (t )=' 2−2 't

=% & ( t )=10,@ (t )=2't

c% & ( t )=1,@ ( t )=' t 2

d% & ( t )=e−t

,@ ( t )=' 2

t


52/73

a% & ( t )=e−t

,@ ( t )=' 4

t

=%& ( t )= 4

1−cos '

2

(1−

t

2

)

,@ (t )= ' 2 (1− t 2 )

8escr?=ase en cada caso la tra-ectoria de la +art?cla - en t =0 -

t =1 determ?nense la velocidad, la ra+idez, la aceleraci*n - las

com+onentes radial, tangencial - normal de la aceleraci*n. (/l

com+onente radial es el com+onente en la direcci*n de 5= (cos@,sen@ )

%.

O%&i 8 es na crva en R3 descrita +or f deméstrese 0e

;= f < f

‖f < f ‖, : =; < 2 =

( f < f ) < f

‖( f < f ) < f ‖

L%&i na crva esta descrita +or f ( t )=(t ,t 2 ,t 3 ) , determ?nese

2 (t ), : (t ) ,; ( t ) - el +lano oscilador cando t =0 - t =1.

$%8eterm?nense 2 , : , ; - el +lano oscilador en f (0) +ara las crvas

en segida descritas:

a% f ( t )=( tcost , tsent , t )

=% f ( t )=( t −sent,1−cost,t )

!5%&i 8 es na crva en R3

- ; ( t ) e


53/73

L"N$ITUD DE RC"

8ada na crva s'icientemente save (di'erencia=le - de clase %, en

- dado s vector de +osici*n emetro t D

se de'ine el llamado +ar>metro de arco s como:

)a cal se +ede ecil de recordar.

)o cal +ermite re+arametrizar la crva de la sigiente manera:

87N8/

Curvatura

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vectortangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida uenos despla!amos a lo largo de la curva, se dice ue es más grande la


54/73

curvatura" #ara una curva parametri!ada cualuiera la curvatura esigual a$

%i la curva está parametri!ada por el parámetro de longitud de arco,la anterior ecuación se reduce simplemente a$

&demás de la curvatura se suele de'nir el llamado radio de curvatura,como el inverso de la curvatura"

TorsiónLa torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal$cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormalalrededor del vector tangente ( más retorcida aparece la curva" #or lotanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión esnula (a ue el vector binormal es constantemente perpendicular alplano ue la contiene" #ara el caso general la torsión viene dada por$

%i la curva está parametri!ada por el parámetro de longitud de arco,la anterior ecuación se reduce a$

Centro de curvatura)n un entorno de un punto de una curva puede ser apro*imado porun c+rculo, llamado c+rculo osculador por estar contenido en el planoosculador" )l radio del c+rculo osculador coincide con el radio decurvatura inverso de la curvatura-" )l centro de dic.o c+rculo puedebuscarse como$


55/73

/ más sencillamente en 0unción del parámetro de arco como$

Aceeración nor!a " tan#encia1amos a ver otra 0orma alternativa de calcular la curvatura ( latorsión a partir de la parametri!ación 2" #ara ello recurriremos a lainterpretación 0+sica de 2 como la 0unción posición de una part+culaue recorre una tra(ectoria" 3ecordamos ue entonces 2 4 t- 5 vt- esel vector velocidad ( en particular$

vt- 5 2 4 t- 5 662 4 t-66 7 8t-

9erivando esta e*presión obtenemos la aceleración, ue descompondremoscomo suma de las aceleraciones tangencial ( normal$

at- 5 v 4 t- 5 2 44t-

5 d dt 662 4 t-66 7 8t--

5 d662 4 t-66 dt 7 8t- : 662 4 t-66 7 d8 dt t-

5 d662 4 t-66 dt 7 8t- : 66vt-66 7 d8 dt t- 7 ;t-

5 d662 4 t-66 dt 7 8t- :


56/73

E$ERCICIO% &RO&UE%TO%1.∫

ln [cos ( %) ]$%cos

2( %)

%olución$

I =∫ln [ cos ( %) ]$%

cos2 ( % ) J#cemos5=ln [ cos ( % ) ]→$5=

[ cos ( % ) ]$%cos ( % )

→ $5=−sen ( %)$%

cos ( % ) =−t#g ( % ) ( =∫ $%

cos2( %)

=tg ( % )

&plicamos integración por partes$ I =5−∫ $5

I =tg ( % ) ln [ cos ( %)]+∫ t#g2 ( % ) $%=−tg ( % ) ln [cos ( % )]−∫ ⌈ sec2−1⌉ $%

I =tg ( % ) ln [ cos ( %)]−tg ( % )+ %+c

2.∫ % e %

$%

( %+1)2

%olución$

I =∫(87+ %−3 %2)e− % $%

&plicando integración por partes$ I =5−∫ $5


57/73

5= % e % →$5=( % e %+e % ) $%=e % ( %+1 ) $%(=∫ $%( %+1)2

= −1 %+1

I = % e

%

%+1

+∫ ( %+1)e %

$%

( %+1)

=− %e %

%+1

+∫ e % $%=− % e %

%+1

+e %+c

3.∫ ln (2+3

√ % )3√ %$%

%olución$

I =∫ln ( 2+ 3√ % )

3√ %$%


5=ln (2+ 3√ % )→ $5=(2+ 3√ % )$%

(2+ 3√ % ) =

( 12√ % + 1

2√ %+1 )$%(√ %+√ %+1)

= $%

33√ %2(2+ 3√ % )

=∫$%= %

I = %ln (2+ 3

√ % )−

∫

%$%

3 3√ %2(2+ 3√ %)= %ln ( 2+ 3

√ % )−1

3∫

3√ % $%

(2+ 3√ %)

*#cemos53= % →$%=352$5

4.∫ ln2 ( % )$%

%olución$


58/73

ln2 ( % )$% *#cemos 5= ln2 ( % )→$5=2 ln ( % )

$% %

(=∫ $%= %¿

I =∫ ¿


I = %ln2 ( % )−∫ 2 ln ( % ) $% %

= %ln2 ( % )−2∫ ln ( % ) $%

5= ln ( % ) →$5=$% %

=∫$%= %


I = %ln2 ( % )−2[ %ln ( % )+∫ %$% % ]= %ln2 ( % )−2 %ln( %)+2∫ $%

I = %ln2 ( % )−2 %ln ( % )+2 %+c

5.∫ ( %2−2 %+3 ) ln ( % ) $%

%olución$

I =∫ ( %2−2 %+3 ) ln ( % ) $% *#cemos5=ln ( % )→$5=$% %

=∫ ( %2−2 %+3 ) $%= %3

3 − %2+3 %


I =( %3

3 − %2+3 %)ln ( % )−∫( %

3

3 − %2+3 % )$% %

I =( %3

3 − %2+3 %)ln ( % )−∫( %

2

3 − %+3)$%

I =( %3

3 − %2+3 %)ln ( % )− %

3

9 +

%2

2 −3 %+c


59/73

6.∫ sen (2 % ) sen (3 % ) $%

%olución$

I =∫ sen (2 % ) sen (3 % )$%

?ediante la identidad$ sen (# ) sen (b )=1

2[cos (#−b )−cos (#+b) ]

I =1

2∫ [ cos ( % )−cos (5 %)] $%=1

2 [sen ( % )− sen (5 % )5 ]+c

7.∫cos( %3 )cos( %2 )$%

%olución$

I =∫ cos( %3 )cos( %2 )$%

?ediante la identidad$ cos (# )cos ( b )=1

2[cos ( #−b )+cos (#+b)]

I =12∫ [cos

(5 %6 )+

cos

( %6 )]

$%=12

[6 sen

(

5 %

6

)5 +6 sen

( %6 )]

+c

I =

3 sen( 5 %6 )5

+3 sen( %6 )+c

8.∫ cos (5 % ) cos ( % ) $%

%olución$


60/73

I =∫ cos (5 % )cos ( % ) $%


2[cos ( #−b )+cos (#+b)]

I =1

2∫ [ cos (6 % )+cos (4 % )]$%=1

2 [ sen(6 % )6 + sen (4 %)4 ]+c

9.∫ cos5 ( % )$%

%olución$

I =∫

cos5

( %

)$%me$i#nte i$enti$#$ :cos

2

(@)=

1

−sen

2

(@)

I =∫ [cos2 ( % ) ]2

cos ( % ) $%=∫ [1−sen2( % )]2

cos ( % ) $%

#*o=sen ( % ) →$5=cos ( % ) $%

I =∫ [1−52 ]2

$5=∫ [1−252+54 ] $5=5+2 53

3 +

55

5 +c

10.∫ sen4 ( % ) $%

%olución$

I =∫ sen4 ( % )$% me$i#ntei$enti$#$ : sen2(@)=12

[ 1−cos (2@)]

I =∫ [sen2( %)]2

$%=∫ [ 1−cos (2 %)2 ]2

$%=14∫ [1−2cos (2 % )+cos2(2 %)] $%

me$i#nte i$enti$#$:cos2(@)=

1

2[ 1+cos (2 @)]

I =1

4 %−

sen (2 % )4

+1

4∫ [ 1+cos (4 % )2 ]$%=14− sen (2 % )4 + 18 %+ sen (4 % )32 +c

I =3 %

8 −

sen (2 % )4

+sen ( 4 % )

32 +c


61/73

11.∫ cos4 (3 % ) $%

%olución$

I =∫ cos4

(3 % ) $%me$i#nte i$enti$#$ cos2

(@ )=

1

2 [ 1+cos (2 @)]

I =∫ [cos2 (3 % ) ]2

$%=∫ [ 1+cos (6 % )2 ]2

$%=1

4∫ [1+2cos (6 % )+cos2 (6 % ) ] $%

I =14

%+sen(6 % )

12 + 1

4∫ [ 1+cos (12 % )2 ]$%= 14 %+ sen (6 %)12 + 18 %+ sen(12 %)96 +c

I =3 %

8 +

sen(6 % )

12 +

sen (12 % )

96 +c

12.∫ (2 %−3 )( %2−3 %−1)4 ln ( %2−3 %−1 )$%

%olución$

I =∫ (2 %−3 )( %2−3 %−1)4 ln ( %2−3 %−1 )$%


5= ln ( %2−3 %−1 )→$5= (2 %−3 ) $% %

2−3 %−1=∫ (2 %−3)( %2−3 %−1)4 $%

t = %2−3 %−1→$t =(2 %−3) $%

=∫ t 4 $t = t 5

5 =

( %2−3 %−1)5

5

I =( %2−3 %−1)5

5

ln ( %2−3 %−1 )−1

5∫(2 %−3 )( %2−3 %−1)4 $%


62/73

I =( %2−3 %−1)5

5 ln ( %2−3 %−1 )−( %

2−3 %−1)6

30 +c

13.∫ 5 %+3 %2+4 %+4$%

%olución$

I =∫ 5 %+3 %

2+4 %+4$%comlet#n$o c5#$$os I =∫ (5 %+3)$%

( %−2)2−4+4

I =∫ (5 %+3)$%( %−2)2

=∫ (5 %+10−7)$%( %+2)2

=5∫ ( %+2)$%( %+2)2

−7∫ $%( %+2 )

2

I =5∫ $%( %+2)2

−7∫ ( %+2 )−2 $%=5 ln| %+2|+7 ( %+2 )−1+c

I =5 ln| %+2|+ 7 %+2

+c

14.∫ (3 %−5 ) $% %

2−8 %+42

%olución$

I =∫ (3 %−5) $% %2−8 %+42

comlet#n$o c5#$$os I =∫ (3 %−5 ) $%( %−4 )2−16+42

I =∫ (3 %−12+7 )$%( %−4)2+26

=∫ 3 ( %−4 )$%( %−4)2+26

+∫ 7 $%( %−4 )2+26

$5=2( %−4 )$%

I =∫ 3 $5 /25 + 7

√ 26#&ct#g ( %−4√ 26 )=

3

2 ln|5|+ 7

√ 26#&ct#g ( %−4√ 26 )+c

I =3

2ln|( %−4 )2+26|+ 7

√ 26#&ct#g( %−4√ 26 )+c

15.∫( %2+1) $%( %+2)2


63/73

%olución$

I =∫( %2+1 )$%( %+2)2

=∫( %2+4 %+4−4 %−3 )$%

( %+2)2 =∫ ( %+2)

2$%

( %+2)2 −∫

( 4 %+8−5 )$%

( %+2)2

I =∫$%−4∫ ( %+2) $%( %+2)2

+5∫ $%( %+2)2

= %−4∫ $% %+2

+5∫ ( %+2 )−2 $%

I = %−4 ln| %+2|−5 ( %+2 )−1+c= %−4 ln| %+2|− 5 %+2

+c

16.∫ %2

−3 %−

8

%2−2 %+1 $%

%olución$

I =∫ %2−3 %−8

%2−2 %+1$%=∫ %

2−2 %+1− %−9

( %−1)2 $%=∫ ( %−1)

2 $%

( %−1)2 −∫

( %−1+10) $%

( %−1)2

I =∫ $%−∫ $% %−1−10∫ $%

( %−1)2= %−ln| %−1|−10∫ ( %−1 )2 $%

I = %−ln| %−1|+10 ( %−1 )−1+c= %−ln| %−1|+ 10 %−1

+c

17.∫ %2

( %+3 )11

$%

I =∫ %2 ( %+3 )11$% *#cemos5= %+3 $ife&enci#n$o

$5=$%(%=5−3

%ustitu(endo$

I =∫ (5−3 )2 (511 )$5=∫ (52−6 5+9 )511 $5=∫(513−6 512+9 511)


64/73

I =5

14

14−

6 513

13 +

3 512

4 +c=

( %+3)14

14 −

6( %+3)13

13 +

3( %+3)12

4 +c

18.∫ $%(1+√ %+1)

1

2

%olución$

I =∫ $%

(1+√ %+1)1

2

*#cemos52= %+1 $ife&enci#n$o( 25$5=$%

%ustitu(endo$

I =∫ (2 5$5)

(1+5)1

2

=2∫ (5+1−1 ) $5

(1+5)1

2

=2∫ (5+1 ) $5

(1+5)1

2

−2∫ $5

(1+5)1

2

I =2∫(1+5)1

2 $5−2∫ (1+5)−1

2 $5=2(5+1)

3

2

3 /2 −

2(5+1 )1

2

1

2

+c

I =4 (5+1 )

1

2

[5+1

3 −1]+c=4√ %+1

3 (√ %+1+2)

19.∫ (2 %+5 ) $% %

2+2 %+5

%olución$

I =∫ (2 %+5 ) $%

%2

+2 %+5

si 5= %2+2 %+5 →$5=(2 %+2) $%

I =∫ (2 %+2 ) $% %

2+2 %+5+3∫ $%

( %+1)2−1+5=ln|5|+3∫ $%

( %+1 )2+4

I =ln| %2−2 %+5|+32

#&ct#g( %+12 )+c


65/73

20.∫ $%5 %

2−20 %+23

%olución$

I =∫ $%5 %2−20 %+23=15∫ $% %2−4 %+23/5 comlet#n$oc5#$$os

I =1

5∫ $%( %−2)2−4+23/5

=1

5∫ $%( %−2)2+3/5

= 1

5√ 3 /5#&ctg( %−2√ 3/5 )+c

I = 1

√ 3(25)/5#&ct#g(√53 ( %−2))+c= 1√ 15 #&ct#g (√53 ( %−2))+c

21.∫ cos (9 %−20 ) cos (5 %+20 )$%

%olución$

I =∫ cos (9 %−20 )cos (5 %+20 ) $%


2[cos ( #−b )+cos (#+b)]

I =1

2∫ [ cos (14 % )cos (4 %−40) ] $%= sen(14 %)

28 +

sen(4 %−40)8

+c

22.∫ $% % ( %7+1)2

%olución$

∫ $% %( %7+1)2

=∫ %7+1− %7

%( %7+1)2 $%=∫ $%

% ( %7+1)−∫ %

6

( %7+1)2 $%

¿∫ %7+1− %7

% ( %7+1) $%+∫ 1

7( %7+1)+c

¿∫ $% % +∫ %

6

%7+1

+ 17 ( %7+1)

+c


66/73

¿∫ $% % +∫ %

6

%7+1

+ 17 ( %7+1)

+c=ln%−17 ln| %7+1|+ 1

7 ( %7+1 )+c

¿1

7

ln

| %

7

%7

+1|+

1

7 ( %7

+1 )+c

23.∫ $%sen ( %)+cos ( % )+1

%olución$ t =tg %

2 ,sen%=

2 t

1+t 2

I =∫ $%sen ( % )+cos ( % )+1

*#cemos cos %= 1−t 2

1+t 2 , $%= 2 $t

1+ t 2

%ustitu(endo$

I =∫ 2 $t /(1+t 2)

2t

(1+t 2)+ (1+t 2)

(1+t )+1

=∫ 2 $t 2 t +1−t 2+1+t 2

=2∫ 2 $t 2 t +2

I =∫ $t t +1

=ln ( t +1 )+c=ln(tg( %2 )+1)+c

24.∫ %5$%

%3−1

%olución$

I =∫ %5$%

%3−1

=∫ %3 %

2$%

%3−1

*#cemos5= %3−1→ $5=3 %2 $%

I =∫ (5+1 )$5 /35

$55 =¿

1

3 5+

1

3ln (5 )+c=

1

3 ( %3−1 )+ 1

3ln ( %3−1 )+c

I =

1

3∫ $5+1

3∫ ¿


67/73

¿1

3 %

3+1

3 ln ( %3−1 )+c

25.∫ ln ( % ) $% %

3

%olución$

I =∫ ln( % ) $%

%3

(5=ln ( % ) → $5=$%

% ( =∫ %3$%= %

2

−2=−1

2 %2

&plicamos integración por partes$ I =5−∫ $5

I =ln ( % )

2 %2 + 1

2∫ %−3 $%=−ln ( %)

2 %2 − 1

4 %2+c=

2 ln ( % )+1

4 %2 +c

26. lim( % , 7 )→(3,−1)

%2+2 %7=3 →∀ ε>0∃ δ >0

|( %2

+2 %7)−

3

|


68/73

2 (t )= 2

√ 5 %(−sen2,cos2 , 12 )

: (t )=(−cos2 ,−sen2 , 0)

; (t )=2 (t ) %: (t )

[−i !

sen2% 2

√ 5sen2% 2

√ 51

√ 5−cos2 −sen2 0

]; (t )=

sen2

√ 5i+

sen2

√ 5 +

2

√ 5!

)ntonces$

| %2+2 %7−3|≤| %−3|+2| 7+1|+4| %+3|+6| 7+1|≤13δ

13 δ =ε δ = ε13

δ min{1, ε13 }27.*#ll#&losecto&es 2 (2 ) ' : (2 ) " ; (2 )

en c#$# 5nto≝(2 )l#c5&# δ $esc&it# o& f (2 )=(cos2 ,sen2 ,1

22 )

2 (2 )= f (2 )

|f (2 )|=

(−sen2 ,cos2 , 12 )(sen2 (2 ) ,cos2 ,(12 )

2

)=

2

√ 5 % (−sen2 , cos2 , 12 2 )

2 ,−sen2,0

−cos¿

: (2 )= 2 (2 )

|2 (2 )|=

2(−cos2 ,−sen2 , 0)

√ 5

[( 2 cos2 √ 5 )2

+( 2 sen2 √ 5 )2

]1

2

=¿

2 (t )= 2

√ 5 %(−sen2,cos2 , 12 )

: (t )=(−cos2 ,−sen2 , 0)


69/73

; (t )=2 (t ) %: (t )

[−

i ! sen2% 2

√ 5

sen2% 2

√ 5

1

√ 5−cos2 −sen2 0

]; (t )= sen2 √ 5

i+sen2

√ 5 +

2

√ 5!

K

sen2 2 % 2

√ 5−(−cos2

2 % 2

√ 5 )sen2

2 % 2+cos2 2 % 2

√ 5

2

√ 5!

; (2 )=1

5(sen2 i , cos2 , 2)

28. *#ll#&losecto&es t#ngente, 5nit#&io 7 no&m#l &inci#l $el#esil conic#

⃗/ ( t )=(# , cost ,bsent ) t ϵ [0,2' ] , # , b>0

%olución$

⃗/ ( t )=(#cost , bsent )→⃗/ ( t )=(#sent , bcost )→‖⃗/ (t )‖=√ #2 sen2t +b2 cos2 t

⃗2 (t )=

⃗/ ( t )

‖⃗/ ( t )‖( −#. sent

√ #2 sen2t +b2 cos2 t ,

b.cost

√ #2 sen2t +b2 cos2 t )⃗2 (t )=( −# b

2cost

(#2 sen2 t +b2cos2t )3

2

, −# b2 sent

(#2 sen2t +b2 cos2t )3

2 )‖⃗2 ( t )‖= #b

#2sen

2t +b2 cos2t


70/73

⃗: (t )= ⃗: (t )

‖⃗ : (t )‖=( −bcost √ #2 sen2 t +b2cos2t ,

−#sent

√ #2 sen2 t +b2cos2t )

⃗: (t )=

( −bcost

√ #2

sen2

t +b2

cos2

t

, −#sent

√ #2

sen2

t +b2

cos2

t )29. *#ll#&l# $ife&enci#osc5l#t&i9 $el# c5&#⃗ f (t )=( t , t 2 , t 3 )en t =1

%olución$

c#lc5l#l#c5&#t5! (1 )=‖ ⃗2 (1)‖⃗f (1)‖‖⃗f (1 )=(1,2t ,3 t 2 )→⃗ f (1 )= (1,2,3 )→‖⃗f (1)‖=√ 14

‖⃗f (1)‖=√ 1+4 t 2+9 t 4 $e$on$e l# t#mgente5nit#&i#

⃗2 (t )= f

( t )

‖⃗f ( t )‖=( 1√ 1+4 t 2+9 t 4 ,

2 t

√ 1+4 t 2+9 t 4,

3 t 2

√ 1+4 t 2+9 t 4 )

⃗2 (t )=

( −4 t +18 t 3

(1+4 t 2+9 t 4 )3

2

, 2−18 t 4

(1+4 t 2+9t 4 )3

2

, 12 t

3+6 t

(1+4 t 2+9t 4 )3

2 )⃗2 (t )=( −117√ 14 ,−

8

7√ 14, 9

7√ 14 )→‖⃗2 (t )‖=√ 197

⃗: (1 )= 2 (1 )

‖⃗2 (1 )‖=

1

√ 266(−11,−8,9)

como l#c5&#t5es ! (1 )=‖⃗2 (1 )⃗f (1 )‖= √

19

7√ 14

#$em#sel $io$el#c5&#t5es (1)= 1

! (1 )=

98

√ 266 7 el cent&o$el#

ci&c5n .osc5l#t&i9 es c=⃗f (1)+ (1 )⃗ : (1 )=(1,1,1)+ 98

√ 266.

1

√ 266(−11,−8,9)


71/73

c (−5819 , 3719 , 8219 ) l5egol# ec5#cion$el#ci&c5nfe&enci# osc5l#t&i9 es :

( %+

58

19

)

2

+

( 7+

37

19

)

2

+

( 9−

82

19

)

2

=686

19

√ %(¿+√ 7+√ 9)=330. lim

( % , 7, 9 )→(1,1,1)¿

%olución$

se $ebe*#ll#& δ >0 siem&e M5e e%ist#ε>0 ,t#l M5e se c5mle:

|√ %+√ 7+√ 9−3|


72/73

o&lo t#nto ,e%iste δ =min {1, ε3}√ − %

(¿+√

79)=031. lim

( % , 7, 9 )→(−1,1,1 )¿

Solución:

se $ebe*#ll#& δ >0 siem&e M5e e%ist#ε>0 ,t#l M5e se c5mle:

|√ − %−√ 79|


73/73

9I9)I7BRAFIA

An>lisis matem>tico volmen aaser )asalle sllivan

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