Distribuciones Muestrales

LOGRO

Al finalizar la sesión de clase el estudiante será capaz de:•Aplicar los conceptos de distribuciones muestrales,•Determinar la distribución de las medias muestrales para una población normal,•Aplicar el teorema del límite central para determinar la distribución muestral de medias en una población no normal.

Estructura de la clase

- Definiciones básicas- Distribuciones muestrales- Distribución muestral de la

media, población normal- Teorema Central del Límite

Motivación

Si la estatura de una población de

estudiantes sigue una distribución normal

Al extraer 3 muestras diferentes de tamaño 5

obtendremos 3 estaturas promedios

diferentes ¿cuál será la

distribución de estas estaturas?

Introducción

En la vida real es imposible calcular parámetros por que las poblaciones son muy grandes.

En lugar de analizar toda la población se toma una muestra, luego se calcula un estadístico relacionado con el parámetro que interesa, y se hace una inferencia.

La distribución muestral de un estadístico es la herramienta que nos dice cuan cerca está el estadístico del parámetro.

Distribuciones muestrales

Estadísticos

Muestra

Muestreo

PARÁMETROS

Inferencia

POBLACIÓN

Estadísticos

Distribuciones muestrales

Se denomina distribución muestra a la distribución de probabilidad del “estadístico” calculada a partir de todas las posibles muestras de tamaño n elegidas de una población en estudio.

Entonces la media de todas las medias muestrales será:

La varianza de todas las medias muestrales será:

Distribuciones muestrales

Por lo tanto estudiaremos la distribución de los Estadísticos tales como:

La “Media muestral” :

La “Proporción muestral”:

x

x

Distribución de la población

2 , ~ xxNX

Distribución muestral de la media

2 , ~ xXNX

Distribución muestral de la media (población normal)

Distribución muestral de la media (población normal)

• Si los datos de la población siguen una distribución normal con media X y varianza X2, entonces:– Si la población es infinita ó finita y el muestreo es

con reemplazo:

– Si la población es finita y el muestreo es sin reemplazo:

2

N , XXXn

2

N ,1

XX

N nXn N

Ejemplo 1:

1. Si X ~ N( = 100, 2 = 225), si se toma una muestra de tamaño n = 15 de dicha población, entonces:

X X2

2. Si X ~ N( = 100, 2 = 144), si se toma una muestra de tamaño n = 35 sabiendo que de dicha población es de tamaño 500, entonces:

X X2

X

X

Distribución muestral de la media (población normal)

Por lo tanto la variable de transformación o deestandarización para será:

x

x

xZ

x

donde Z ~ N(0,1)

Motivación

Si el peso de las mochilas de una

población de estudiantes sigue una distribución uniforme

Al extraer 3 muestras diferentes de tamaño

50 obtendremos 3 pesos promedio

diferentes ¿cuál será la

distribución de estas pesos?

Teorema central del límite

La distribución muestral de la media se acerca a la normal, independientemente de la forma de la distribución de la población, si n 30Distribución de la población x

Distribución muestral de la media

2 , ~ xXNX

X 2X

Teorema central del límite

Si la población es finita y el muestreo es sin reemplazo:

2

N , XXXn

2

N ,1

XX

N nXn N

Si la población es infinita ó finita y el muestreo es con reemplazo:

Ejemplo 2:

1. Si X ~ exp( = 100), si se toma una muestra de tamaño n = 35 de dicha población, entonces:

X X2

2. Si X ~ U[0, 12 ], si se toma una muestra de tamaño n = 50 , sabiendo que el tamaño de dicha población es 5500, entonces:

X X2

X

X

Ejemplo 3: Rendimiento Académico

Las puntuaciones de una prueba de aptitud académica están distribuidas normalmente con una media de 88,50 puntos y una desviación estándar de 25 puntos.a) Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una puntuación mayor a 95 puntos?

X

b) Si se selecciona una muestra de 35 alumnos ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo una puntuación promedio mayor a 95 puntos?

c) Si la prueba fue tomada a 900 alumnos y se selecciona una muestra de 20 estudiantes ¿Cuántos alumnos recibieron puntuación promedio entre 81 y 90 puntos?

Ejemplo 4: Planchas de VidrioEl tiempo de fabricación de una plancha de vidrio de un metro cuadrado es una variable aleatoria con distribución Uniforme en el intervalo de 19,5 a 22,5 minutos.a)Si se registran los tiempos de fabricación de 190 planchas de vidrio, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio sea a lo más 20,9 minutos?

b) Si se producen al día 10,000 planchas, se registra los tiempos de fabricación de 100 planchas de vidrio. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio se encuentre entre20 y 21 minutos inclusive?

Distribución de la Media Muestral para muestras pequeñas

Si se toma una m.a. de tamaño “n” (n<30) de unapoblación con distribución normal de media yvarianza 2 desconocida, entonces tendremos:

x-

sn

= t(n-1)

• Donde t(n-1) es una distribución t de student con (n-1) grados de libertad.

s:desviación estándar de la muestra

: proporción

Es decir:

= y 2 =

N ,

Distribución de la Proporción Muestral ( )

Suponga una población con parámetro “”(proporción poblacional),si de esta poblaciónse toma una muestra aleatoria de tamaño nentonces la distribución muestral de “ ”(la proporción muestral) sera:

p̂

n)1(

n)1(

= n)1(

p̂

p̂

: proporción

p̂

Por lo tanto la variable de estandarización o detransformación de será:

Z = -

p̂ = xn

Proporciónde éxitos en en muestra

donde Z ~ N(0,1)

n)1(

)1NnN(n

)1(

= - p̂

Si la población es finita de tamaño “N”, entoncespara la proporción muestral también debemos usar el factor de corrección:

Z

EJEMPLO: Una máquina produce artículos de modoque el 4% de estos artículos son defectuosos. Se toma unamuestra de 100 artículos. Cuál es la probabilidad de que laproporción muestral de artículos defectuosos sea de por lomenos 0,02?.

conocida2 odesconocid2

Zn

X

Zn

sX

Zn

X

•Si la Poblac.Tiene dist.Normal.

)( 1nt

nsX

30n

Distribución de en poblaciones infinitasRESUMEN

x

Z

NnN

n

X

1

Z

NnN

nsX

1

Z

NnN

n

X

1

•Si la Poblac.Tiene dist.Normal.

)( 1

1

nt

NnN

nsX

conocida2 odesconocid2

30n

30n

Distribución de en poblaciones finitasx

EJERCICIO:

•En cierta compañía, el promedio semanal de salario de todos los empleados es S/.800 y la varianza es de S/.900. Sea la media de las remuneraciones de 36 empleados. Calcule lo siguiente:

a) P( 1000) =

b) P(790 819) =

x

x

x

EJERCICIO: Se sabe que la duración de los focosPHILIPS tienen distribución normal con media 145 horasy desviación estándar 42,8 horas. Si se toma una muestraaleatoria de tamaño 20. Cuál es la probabilidad que la duración media de los focos sea de al menos 120 horas? EJERCICIO:•En una población el 20% de familias está suscrita en la revista “Novedades”.¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra aleatoria de tamaño 225 con una proporción muestral inferior al 16% de los suscritos en dicha revista?

EJERCICIO:Una fabrica produce repuestos en tres máquinas. La primera realiza 50% de la producción total conel 1% de defectuosos, la segunda el 30% con el 2%de defectuosos, y la 3ra el 20% con el 3% de defectuosos.Un comerciante desea comprar un lote grande de repuestos, para ello analiza una muestra aleatoria de 80 articulos aceptando el lote si a lo más hay 4 defectuosos.Que probabilidad existe de aceptar el lote?