Distribución muestral de proporciones

Algunas secciones han sido tomadas de:Apuntes de Estadística Inferencial

Instituto Tecnológico de Chiuhuahua

Tarea.

Se eligen muestras ordenadas de tamaño 2, con reemplazo, de la población de valores 0, 2, 4 y 6. Encontrar:

μ , la media poblacional.σ , la desviación estándar poblacional.μ x, la media de la distribución muestral de medias.σ x, la desviación estándar de la distribución muestral de medias.

Además, graficar las frecuencias para la población y para la distribución muestral de medias.

Nota: Usar muestras ordenadas implica todas las combinaciones de valores, por ejemplo, (4,0) y (0,4).

Solución:La media poblacional es: 3

46420=

+++=μ

La desviación estándar de la poblacional es:

236.24

)36()34()32()30( 2222

=−+−+−+−

=σ

la distribución muestral de medias es:

La media de la distribución muestral de medias es:

0 1 1 2 2 3 3 4 4 3 5 2 6 1 48 316 16

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x

fxf

μ+ + + + + +

= = = =∑∑

La desviación estándar de la distribución muestral de medias es:

58.116

)36(1)35(2)34(3)33(4)32(3)31(2)30(1)( 22222222

=−+−+−+−+−+−+−

=−

=∑

∑f

xf xx

μσ

2 236 1 581 414213

. ..x n

σσ = = =

Notar que:

Distribución muestral de Proporciones

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de lamuestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de personas con teléfono, etc en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones.

Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde “x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra) en lugar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes.

El siguiente diagrama sirve para explicar el concepto de distribución muestral de proporciones.

La distribución muestral de proporciones está estrechamente relacionada con la distribución binomial; una distribución binomial es una distribución del total de éxitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los éxitos.Como consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral puedenevaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que:

np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5

Como vimos, una distribución binomial es por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que cae. Está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada caso tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.5.Si realizamos el experimento n veces y queremos saber la probabilidad de que salga águila o sol x veces, entonces usamos una distribución binomial.

Generación de la Distribución Muestral de Proporciones

Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo. Vamos a generar la distribución muestral de proporciones para el número de piezas defectuosas. Como se puede observar en este ejercicio la proporción de artículos defectuosos de esta población es

P = 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están defectuosas.

El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:

Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto es:

333.031

792)560()2802.0()3364.0()1126.0()88.0(

==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=pμ

Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la proporción de la población.

Pp =μ

La desviación estándar de la distribución muestral de proporciones del ejemplo se puede calcular directamente con los datos:

168.0792

56)33.00(280)33.02.0(336)33.04.0(112)33.06.0(8)33.08.0( 22222

=⋅−+⋅−+⋅−+⋅−+⋅−

=pσ

1( )p

P Pn

σ −=

Sin embargo, podemos usar la distribución binomial lo cual nos da la siguiente fórmula para la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones:

Notar que P es la proporción de la poblaciónpero n es el tamaño de la muestra

Cuando, como vimos antes, si contamos con una población finita y un muestreo sin reemplazo, para calcular la desviación estándar usamos la corrección (Como regla aproximada, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es al menos 20 veces el tamaño de la muestra, entonces se puede usar la fórmula).:

Para el ejemplo anterior tendríamos la siguiente distribución de probabilidades:

11

( )p

P P N nn N

σ − −=

−

La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución binomial a la normal . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra.

A la fórmula anterior se le puede agregar el factor de corrección (en el denominador):

si se cumplen con las condiciones mencionadas anteriormente de que sea una población finita y sin reemplazo.

11

( )p Pz

P P N nn N

−=

− −−

1( )p Pz

P Pn

−=

−

Ejemplo:Se ha determinado que 85.1% de los estudiantes de una universidad fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes. Calcular la probabilidad de que no más de 80% de alumnos de la muestra fume.

Solución:La media o valor esperado de la proporción muestral es de P=0.851, por lo que:

0 800 0 851 2 02551 0 851 1 0 851

200

. . .( ) . ( . )

p PzP P

n

− −= = = −

− −

Usando las tablas de valor z, para z = -2.02 encontramos que la probabilidad de que no más de 80% de los alumnos de la muestra fumenes de 0.0214 o sea 2.14%

0.0214

Actividad 1.

Suponer que de la gente que solicita ingresar a una compañía, 40% pueden aprobar un examen de artimética para obtener el trabajo. Si se tomara una muestra de 20 solicitantes, ¿Cuál sería la probabilidad de que 50% o más de ellos aprobaran?

Datos:

P = 0.40, n = 20, p = 0.50

0 50 0 40 0 91291 0 40 1 0 40

20

. . .( ) . ( . )

p PzP P

n

− −= = =

− −

Usando tablas de valor o calificación zz, o un programa para distribuciónnormal estándar (como Minitab, etc.), encontramos que el área bajo la curva hasta un valor de z = 0.9129 es de 0.81935, o sea que

(1- 0.81935) = 0.1806,

por lo que la probabilidad de que 50% o más aprobaran es de 18.06% .

El área desde - ∞ hasta z= 0.9129 es de 0.81935

Cómo calcular probabilidades normales usando MINITAB (versión en inglés):

• En el menú superior: Calc > Probability Distributions > Normal• Tenemos 3 opciones:

– Probability density – Esta nos da el valor de la función de densidad, f(x) para un valor específico de x. Esto no nos es muy útil en esta clase.

– Cumulative Probability – Esta nos da el área bajo la curva hasta un valor z específico. Usamos esto para encontrar probabilidades.

– Inverse Cumulative Probability – Esto nos da el valor z para una áreaespecífica bajo la curva. Esto lo usamos para encontrar valores críticos.

• Hacer Click en la opción que queremos.• Se introduce la media y la desviación estándar de la distribución

normal que estamos usando. • En el caso de la estándar normal (Z) introducimos N(0,1).• Hacemos Click en “input constant” e introducimos el valor de x (x-

value) para la opción 1, el valor z para la opción 2, o la probabilidadpara la opción 3.

Ejemplo: Cuál es la probabilidad de que tengamos un valor mayor a 60 sitenemos datos con una distribución normal con media 55 y deviaciónestándar de 4? Esto es, encontrar P(x > 60).

Como puede verse en la figura, el resultado que se obtiene es que P(X < 60) = 0.8964. Notar que nos da los valores de la probabilidad de que X sea menoral valor dado, por lo que para nuestro problema: P(X > 60) = 1 - 0.8964 = 0.1036

Si lo que queremos es el área para una calificación Z (normal estándar) entonces, como se explicó, podemos introducir una media igual a 0 y una desviación estándar de 1.0, e introducir el valor de Z para el cual queremos encontrar la probabilidad.

Poner media = 0

Poner σ = 1.0

Poner z = valor de interés