Diferansiyel Denklemler İstanbul Üniversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik

7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik

1/40

.. Fen Fakltesi Matematik BlmDiferansiyel Denklemler I (rgni.)

Ekim 2 14

devler 1-3alma Sorular1-2Arasnav Hazrlk Sorular

Hazrlayan:Yrd.Do.Dr.Serkan LTER

http://aves.istanbul.edu.tr/ilters/dokumanlar


2/40

S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters

1/39Diferansiyel Denklemler I

dev Sorular1 03.10.2014

A.Aada zellikleri verilen eri ailelerinin diferansiyel denklemlerini oluturunuz!

1. Herhangi bir ( , )A x y noktasndaki teet dorular: xO eksenini , 02( )x

noktasnda

kesiyor.2. Herhangi bir noktasndaki teetinin koordinat eksenlerinden ayrdparalarn

uzunluklararpm: deme noktasnn apsisinin karesine eit.

3. Merkezleri 2y x= dorusu zerinde bulunan ve yaraplar2 ye eit olan emberler

ailesi.

4. Herhangi bir noktasnda izilen teetlerin uzunluklar: sabit bir a saysna eit

5. Herhangi bir noktasndaki teet-altuzunluu: bu noktann koordinatlarnn aritmetik

ortalamasna eit.

6. Odaklarorjin ve ke noktalar xO zerinde olan paraboller ailesi.

7. 2 2y x= parabolne teet olan dorular ailesi.

8. sincy cx= 9. tan( )y x x c= + 10.2 2

( ) 1x a by- + =

B.Aadaki dif. denk.ler iin izoklin erilerini belirleyip ek olarak istenilenleri elde ediniz!

1. 2 24y x y= + , 1, 4k= deerlerine karlk gelen izoklin erilerini izip, zerinde

ynleri belirtiniz.

2. y y= , izoklin yntemini kullanarak ( 2, 1,0,1,2k= - - alp ynleri belirleyerek);

denklemin zmlerini belirlemeye alnz!

C.Aada verilen fonksiyonlarn, yanlarnda yazlaralklarda (her bir fonks. ve aralk iin)diferansiyel denklemlerin zm olup olmadklarnaratrnz!

1..

.

2

4y x= + , ( , )- , .1y y x= + - .

2. 2 2 0x y+ = , .( 1,1)- , yy x=- .

3. 2 2 0x y- = , .( 1,1)- , yy x= .


3/40


2/39

4.2

tan 02

n yx

- = , 0,

2( )

p, ,

2( )

pp , 2cos .y y x ny= .

5. 2 1x y= denkleminin .( 1,1)- de zm var m?


4/40




A.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn(nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! yanlarnda koul var ise, istenen koulu salayan zmn, koul yok ise,tm zmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerli olduudeikenlerin tanm aralklarnda vererek bulunuz.

1. 2(1 ) ( 1) 0x dy y dxe-+ - - =

2. 3( 1) 2y y x= + +

3.

2 2 2

2y x y+ =

4. 2 cos 2 1x y y- = ,9

( )4

y p

+ =

5. 3 0y xy xy- + = , (0) 1/ 2y =

6. 2cos 0( )y

x y dx xdyx

- + =

7. .tan . 0x dy y ny dx- =

8. 2 33 16 2y y x xy + =

9.2 1

2 1

y xy

y x

- +=- -

10. 2 33 16 2y y x xy + =

+ iken ( )y x snrl

11. . .2 1 0y dx xydy- + =

12. 1sin( )

x xy

x y

-=

-, ( / 2) 0y p =

13. . . .( )y xy dx xdy+ =

14. ' .y xy y n- =

15.x y

yy

+=-

16. 2 6 42

.3

yy y x y- = -

B. Aada verilen ( , ) ( , ) 0p x y dx q x y dy+ = denklemleri iin, ilk aama olarak p u= ,q v= dnm yaparak, son halde denklemi deikenlerine ayrlabilir ekle getiriniz!

1. p x a= + , q y bx= + 3. p x y= + , q x y= -

2. 2 1p y x= - + , 2 1q x y= - + 4. 1p x ay= + - , 1q y bx= + +

C.Aada istenilenleri elde ediniz! (denklem zm ncesinde; oluturduunuz denklemdeeer var ise, mutlak deerleri gz ardedebilirsiniz!)

1. (0,1)A noktasndan geen ve herhangi bir noktasndaki teet-altuzunluu: bu

noktann koordinatlarnn aritmetik ortalamasna eit olan eriyi bulunuz.

2. (1,1)A noktasndan geen ve herhangi bir noktasndaki teetinin yO ekseninden

ayrdparann uzunluu: deme noktasnn apsisinin karesine eit olan eriyi bulunuz.


5/40


4/39

3. ( ,1)A e noktasndan geen ve herhangi bir noktasndaki teetinin xO ekseninden

ayrdparann uzunluu: deme noktasnn ordinatnn iki katna eit olan eriyi bulunuz

4. Orjinden geen bir erinin, herhangi bir ( , )A x y noktasndan koordinat eksenlerine

paralel dorular izilerek iki paradan oluan bir dikdrtgensel blge meydana

getirilmektedir. yle bir eri ailesi bulunuz ki, her bir eri iin dikdrtgensel blgenin bir

parasnn alan, dier parasnn alannn katolsun.

Blm sonu beklenen kazanmlar: Farkldenklem trlerini (sorularda tr ve zm hakknda herhangi bir ynlendirme

yaplmakszn); ksa srede tespit etme (denklemleri snflandrabilme)! Geometrik zellikleri kullanabilme! zm kavramlarn(Genel zm-Tekil zm) alglayabilme, zmn geerli

olacaaralklartespit edebilme! Balang koullar veyahut farklekillerde verilen koullar yardmyla

denklemin istenilen zel zmlerinin tespit edilebilmesi! Denklem zmleri iin; aranan fonksiyon ve bamsz deikene gre (herhangi bir

yntemi ezberlemeden) dnmler yapabilme, uygun dnmleri aratrabilme!


6/40




A.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn (nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! yanlarnda ( , )x ym m= integrasyon arpan var ise nce tam dif. hale

getirilerek yanlarnda koul var ise, istenen koulu salayan zmn, koul yok ise, tmzmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerli olduu deikenlerintanm aralklarnda vererek bulunuz.

1. .2 tan 0( )x dy xy xy dx+ - =

2. . .3 0( )x y dx x dy- - =

3. cos( ) 3sin cosy x y x x + =

4. sin cos cos sin . 0.x y dx x y dy+ = ,

( ) / 4y p p=

5.1

0.1

.( ) ( )xy xyy dx x dxy x

e e- + - =

6. . .2 0( )x y dx y dy- + = , ( )x ym m= -

7.2 1

sin 2 siny y x- =

8. 2 ..2 tan tan 0( ) ( )x y dx x x y dy+ + - =

9. 2 2. 0.1

( ) ( )xy nx dx x y dyy

- + + =

10. 2 c s( )ot coy x y x + =

11. 3 23y y x x- = +

12. . .2 2 0( )x xyx y dx dy++ + =

13. .2 0.2( ) ( )y x

y dx x dyx y

+ + + = , ( )xym m=

14. 2sin2

sin2

yy y

x + = -

15. ( ) ..2 2 sin sin 0x y x x dx y x dy+ + + =

16. (cos cos cot ) (sin si 0. .n )x y y dy x y dx- - =

17. sin 0. .( )x y dy y dx- + =

18.2

2.

y yyy nx y

x = + + -

B. Aadaki denklemleri, belirlediiniz uygun hipotezler altnda, bir diferansiyel denklemproblemine dntrerek zmlerini bulunuz.

1. ( )4

1

..

1 22

. .tyy x dtt

= + 3. ( ) ( )0 0

.. ..

. . .( ) 2 .t tx

x t y dt x y dt- = +

2.( )

..

. ..

t

e

y

yx

dtt n t

= - 4. 20

..

. .2x

y x x dt= +


7/40


6/39

C. 1. Bir ( ) ( )xy p y q + = lineer diferansiyel denklemin 1.y ve 2.y ( .1 2.y y ) gibi iki

zel zm bilindii taktirde (hi integral ilemi yapmadan) genel zmn

bulunabileceini gsteriniz.

2. C1 den yararlanarak 1. 1y = 2

.2 1xy e-= + zel zmleri verilen lineer diferansiyel

denklemi ve bu denklemin genel zmn bulunuz.

D. 1. . ..

1 10( )

k

xdx dy

y yxy+ - = denkleminin tam diferansiyel denklemolabilmesi iin

uygun k saysnbelirleyiniz. Bu k saysiin tam diferansiyel denklemin genelzmn bulunuz.

2. a ve bnn hangi deerleri iin y ax bya b= + denklemi my z= dnmyardmyla bir homojen diferansiyel denklem haline getirilebilir?

3. a ve bnn hangi deerleri iin x ya bm = ; . .4 2 3 32 3 0( ) ( )xx y dy x y y dx+ + - = denkleminin (tam diferansiyel hale getiren) bir integrasyon arpanolur?


8/40



alma Sorular1 18.10.2014

A.Aada istenilenleri elde ediniz!

1. ( ).1, 1A - noktasndan geen ve herhangi bir noktasnda teetinin ordinat ekseninde

ayrdparann uzunluu, deme noktasnn apsisine eit olan eriyi bulunuz.(Not: oluturduunuz denklemdeki mutlak deeri gz ardedebilirsiniz).

2. ny ax by = + eri ailesinin diferansiyel denklemini oluturunuz.

B.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn(nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! yanlarnda koul var ise, istenen koulu salayan zmn, koul yok ise,tm zmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerli olduudeikenlerin tanm aralklarnda vererek bulunuz.

1. . 2yy ye = +

2. . .( 3 ) (2 3 ) 0x y dx y x dy- + - =

3..

yy

xy=

-

4. 2(1 ) tan 0y y x + - =

5. .( 2 7) 2 4 0x y y x y+ + + - + =

6. 2( ) 1x y y+ =

7.32 xy x e -= , i) (0) 0y = ,

ii) ( ) 0y+ =

8. .4 1y x y= - +

9. 1cos( )

x xy

x y

-=

- , (1) 1y =

10.. .

( ) (3 3 1) 0x y dx x y dy+ + + - = 11. ( )x y y x y+ = -

12.1

..( )

( )1 ..

xt

t

t yy dt

t y

-= +

+

(nce bir dif.denk. problemine dntrnz!)

13. 2 2 3 1x y y xy + = -


9/40


8/39

Not:zmler-Yol gstermeler kontrol amaldr, yazm hatas- eksiklikler vs.. olabilir..kendi zmlerinizle mutlaka karlatrnz..

zmler

(son gncelleme : 17.10.2014)

A1.

nbilgi:

( )y y x= erisinin ( , )x y noktasndaki

Teet Denklemi

( ( , )X Y teet zerindeki keyfi nokta)

: ( )Y y y X x- = -

Teetinin ordinat ekseninde ayrdparann uzunluudenklemde 0X= yazlarak (yani

Y y y x= - ),x-ekseninde ayrdparann uzunluu 0Y= yazlarak (yani X xy

= -),

bulunabilir. Ek olarak, Teet-altuzunluu:.

y

y

; Teet uzunluu:

.

.

22 yy

y

+ eklinde

bulunacaktr (ekil zerinde gzlemleyiniz!)

Y y y x= - , bu da deme noktasnn apsisine eit olacak yani Y x=

. .Y y y x= -

Y x=

. .y y x x- = , 0x >

1y

y= - (homojen denklem)

.

y cx x n x= - [ ]Genel zm bulunacaktr (nceleyiniz!)

( ).1, 1A - noktasndan getiine gre:

(1) 1

yani 1 iin 1...

y

x y

-

-

= = =

genel zmden: .1 1c n- = - 1c -=

O halde istenilen zm: ( ).

1y x n x= - +


10/40


9/39

A2. Amacmz verilen eri ailesini genel zm kabul eden dif. denk. i belirlemek

olduundan; eri ailesinde iki keyfi sabit olmas sebebiyle, ikinci mertebe adi dif. denk.

elde etmeye alacaz!

ny ax by = + (i)

-e gre trevx

.

y a byy

= + (ii)

-e gre trevx

. ..

2y yby

y y

- = (iii)

( )iii den

. ..

2

2

1 y

yb y y

= -

( )ii den

. . . .. ..

3

2

3

2

ya

y

y y y yby

y y y y yy

= + = - +

=

( )i den

... ..

3

2

2

2

1( () )

yx

yny x y

yy

y y yba

y

= + = -

+

2her iki taraf ile arplrsay y

2 3 2 2y y x yn y yyy y + = -

B1. (Deikenlerine Ayrlabilir denklem)

. 2yxy ye = + . .. .1

2.y dy dx

xe - =

- , 2x

B2. (Homojen denklem)

. . 0p dx q dy+ = yazmndan; ( , ) 3 , ( , ) 2 3p x y x y q x y y x= - = - fonksiyonlar1.mertebeden

homojendirler (gzlemleyiniz!).

. .( 3 ) (2 3 ) 0x y dx y x dy- + - = 1 33

2 32 3

( )

( )

x y xyyy xx

--= =-

-

22 ) ( )(1 n xy yy y yy -=-

( ). . .. 2y n x ce -- = - + [ ]Genel zm

I : 2x


11/40


10/39

.,y

u y u= = , ( )u u x=

1 3

2 3

uy

u

-=-

-e gre trevx

1 3

2 3

uy u xu

u

- = + =-

1 3

2 3

uxu u

u

-= --

. . .. .

1

2.

2 3 1

1 2I

udu dx

u=

-=

- ( 0,x 2

1

2u )

1I integralini hesaplayalm:

. .

2 3

2 2

. .

12 1

31 2 1 2

. .

II

udu du

u uI

==

= -- -

. .22

11 1 22

n u kI = - - +

3I iin 21 1/ 2 1/ 2

1 2 1 21 2 u uu= +

- +-gzleminden,

. . 231 1 2

2 2 1 2

un k

uI

+= +

- olduu kolayca grlr.

. . . .2 221 3 11 3 1 23 1 22 2 2 1 2I unI u n k k I

u += - = - - - + +-

. .. . . . . . . .21 3 1 2

1 22 2 2 1 2

un u n n x n c

u

+- - - +

- =

( )3

12 22 2

1 21 2

1 2

uu cx

u

-- + - = -

22

2

1

2

yu = = iin zm aratrmas:

idiy

ux

=

31 2 2

2 2

2

1 22

1. 1 2

yy x cx

yxx

-- + - = -

[ ]Genel zm

I : 0,x 1

2x


12/40


11/39

2

2

1

2

y

x=

1

2x= bulunur, bu eriler diferansiyel denklemi salar (gzlemleyiniz!)

dolaysyla denklemin bir zmdr. Genel zme dikkat edilirse,1

2x= zmnn

denklemin bir zel-zm iken,1

2x= - zmnn denklemin bir Tekil-zm

olduu grlr (gzlemleyiniz!).


. . 0p dx q dy+ = yazmndan; .( , ) , ( , )p x y y q x y x xy= - = - fonksiyonlar1.mertebeden

homojendirler (gzlemleyiniz!).. .

/

1 /

y y xy

x xy y x= =

- -

.,y

u y u= = , ( )u u x=

.1

uy

u=

-

-e gre trevx

.1

uy u xu

u = + =

-

.1

uxu u

u= -

-

.

. . .. .

.

1.

1 1

I

udu dx

xu u=

-=

( 0,x 0u )


. .

.

11 1

. .du duuu u

I = -

. . .

.

.

. .

3/ 2

1

.

.

1

2

u du du

un u k

u

-= -

= - - +

. . ..

. . . . . .

2

.n u n x n c

u - - = + .

.

. .

2

.n cxu

u- =

idiyux

=

..

. .

.

2

/

n cy

y x

- = [ ]Genel zm

I : 0,x 0y


13/40


12/390

yu

x= = 0y= iin zm aratrmas:

0y= diferansiyel denklemi salar ( 0x ) (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir

zmdr. Genel zme dikkat edilirse, bu zmn denklemin bir Tekil-zmolduu

grlr (gzlemleyiniz!).


2(1 ) tan 0y y x + - = . . .. .

12

..

2

1tan

1

II

dy x dxy

= =

= --

( 2 1y , (2 1) / 2 , 0, 1, ...x n n p - = )

1I ve 2I integrali hesaplanrsa: . . .1 11 12 1yn ky

I += +-

, . . .2 2cosn xI k= + bulunur

(inceleyip, ara ilemleri yapnz!).

. . .. . . . . .1 1 1

cos2 1 2

yn n x n c

y

+= +

-

21

cos1

yc x

y

+=

-

2 1y = 1y = iin zm aratrmasyapnz!

B5. (Homojen hale getirilebilen denklem)

I.yol :2.

2 4

7

x yy

x y

- + -=+ +

,

2 4 0x y- + - =

2 7 0x y+ + =

2 2- dorular kesiirler. Dikkat edilirse,

Kesiim Noktas: ( )3, 2- - dir.

Orjin: ( )3, 2- - ye tanrsa (telenirse), yani denklem iin 3x x= + , 2y y= +

dnm yaplrsa, denklem: Homojen hale gelecektir.

2

2

1 c

o.

os

1 c s

c xy

c x

- +=

+ [ ]Genel zm

I : 2 1y , (2 1) / 2 , 0, 1,...x n n p - =


14/40


13/39

3x x= + , 2y y= +

( )y y x=

dx dx= , dy dy=

2 ( / )

1 2( /

2

2 )

dy y x

dx y

x y

x y

- ++

- += =

+ (Homojendir,gzleyiniz!)

.,y

ux

y u= = , ( )u u t=

2

1 2

uy

u

- +=+

-ye gre trevx

2

1 2

uy u xu

u

- + = + =+

2

1 2

uxu u

u

- += -+

. . .. .

1

2

.

1 1 2 1

2 1I

udu dx

xu=

+= -

+ ( 0x )

1I integrali hesaplanrsa: .12

11 1

arctan (1 )2 2

u nI u k= + + + bulunur (inceleyip, ara ilemleri

yapnz!).

. . . .

21 1 1

arctan (1 )2 2 2u n u n x c + + = - +

. . . .2arctan (1 ) 2u n u n x c + + = - +

II.yol : .(2 4) ( 2 7) 0u v

x y dx x y dy

= =

- + + + + = ,

+2= idi

+3

y yu

x x=

. . . .

22 2

arctan (1 ) 2 33 3

y yn n x c

x x

+ + + + = - + + + +

[ ]Genel zm

I : 3x -


15/40


14/39

2du dx dy= -

2dv dx dy= +

5 2d ddx u v= + , 5 2dd dy u v= - + (denklemde yerine yazalm)

.(2 ) ( 2 ) 0u du dv v du dv+ + - + =

.(2 ) ( 2 ) 0u v du u v dv- + + = (Homojendir,gzleyiniz!)

imdi u tv= dnm yapalm. du vdt tdv= + (denklemde yerine yazalm)

.(2 )( ) ( 2 ) 0vt v vdt tdv vt v dv- + + + = 2 2(2 1) 2 ( 1) 0v t dt v t dv- + + =

22

2 1 20

1

tv dt dv

vt

-+ =

+ (Dei.Ayrlabilir) ( 0v ) elde edilir

(geri kalan integral hesabI.yol ile ayn, tamamlamak okuyucuya braklmtr!)

B6. ( ( )y f ax by c= + + formatnda Deikenlerine-Ayrlabilir hale getirilebilen denklem)

Denklem, y u+ = dnm ile Deikenlerine Ayrlabilir hale getirilebilir:

x y u+ = , ( )u u x=

.

2

1y

u

=

-e gre trevx

2 ...

1

1

u

y u

=

+ = .2

2 1

udu dx

u=

+

. . ..

1

2

.

2 1I

udu dx

u=

=+

1I integrali hesaplanrsa: 11 arctanI u u k= - + bulunur (inceleyip, ara ilemleri yapnz!).

arctanu u x c- = +


32 xy x e e-= . .3. 2. .y xdy x dxe e- -=

idiu x y= +

arctan( )x y x y x c+ - + = +[ ]Genel zm

I : - < <


16/40


15/39

imdi denklemin verilen koulundan salayan zmn bulalm.

(0) 0

yani 0 iin 0...

y

x y

= = =

genel zmden:1

13

c- = - + 2

3c = -

Benzer ekilde, ( ) 0y+ = dan30

10

1

3

e

ce e

= =

-- = - + 1c =-


Dikkat: 1y u- + = dnm yapmaktansa, karekkl ifadeden tr kolaylk olsun diye

bu sefer 21x y u- + = dnm yapalm: ( bu dnm yaparken denklemin yalnzca

. .1 0x y- + durumunda tanmlolduuna da dikkat ediyoruz)

21y u- + = , ( )u u x=

4y u=

-e gre trevx

.4 .

1 2u

y uu=

- = 1 4 2u uu- =

. . ..

1.

2

1 4I

udu dx

u=

=-

(1

4u )

1I iin:2 1 1/ 2

1 4 2 1 4

u

u u= - +

- - gzleminden, . .1 1

11 4

2 8

un uI k= - - - + olduu kolayca

grlr.

. .1

1 42 8

un u x c- - - = + (B8-1)

3. 1

3y x ce e- -- = - + [ ]Genel zm

I : - < <

O halde i) iin,

istenilen zm:

3.3 2y xe e- -= +

O halde ii) iin,

istenilen zm:

3.3 3y xe e- -= +


17/40


16/39

bulunur 21y u- + = idi 1u x y= - + deerinin (B8-1) de yerine yazlmasyla

Genel zmelde edilir (I : . .1 0x y- + ,15

16y x + ).

11

4

u x y= - + = iin zm aratrmas:

11

4x y- + = den

15

16y x= + bulunur, bu eri diferansiyel denklemi salar

(gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr. Genel zme dikkat edilirse, bu

zmn denklemin bir tekil- zm olduu grlr (gzlemleyiniz!).

B9. (zel-formda Deikenlerine-Ayrlabilir hale getirilebilen denklem)

cos( )xy x y- = - (1 ) cos( )x y x y- = -

olduundan dikkat edilirse, y u- = , ( )u u x= dnm yapldnda x y u- =

ifadesinin x-e gre trevi 1 y u - = olacandan denklem cosxu u= deikenlerine

ayrlabilir hale gelir :

. ... ..

(1 ) cos( )uu

y x y==

- = -

cosu u= . . .. .

1.

1 1

cosI

du dxu x

=

=

( cos 0u )

. .1 11

tancos

I n u ku

= + + bulunur (inceleyip, ara ilemleri yapnz!).

. . . .1

tan .cos

.n u n x n cu

+ = + 1

tancos

u cxu

+ =

1 sin cosu cx u+ = bulunur.

idiu x y= -

1 sin( ) cos( )x y cx x y+ - = - [ ]Genel zm

I : 0x , (2 1) / 2 , 1, 3, 5...y x n n p - - =


18/40


17/39

(2 1) / 2u x y n p= - = - ( 0, 1, ...n = ) (2 1)

2

ny x

p-= - iin zm aratrmas:

Bu eri diferansiyel denklemi salar (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr.

Genel zme dikkat edilirse, 0, 2, 4...n = iin(2 1)

2

ny x

p-= - : denklemin zel-

zmleridir; 1, 3, 5...n = iin (2 1)2

ny x p-= - : denklemin tekil- zmleridir

(gzlemleyiniz!).


.3( ) 1

yy

x y

+=-+ -

. Denklem, y u+ = dnm ile Deikenlerine Ayrlabilir hale

getirilebilir:

x y u+ = , ( )u u x=

.3 1

uy

u=-

-

-e gre trevx

.3 1

1 .u

u

y u

-=-

+ = .3 1

2 1

udu dx

u

-=

-

. . ..

1.

3 1

2 1

I

udu dx

u

=

-=

- ( 1/ 2u )

1I integrali hesaplanrsa: . . . 113 1

2 12 4

u nI u k= + - + bulunur (inceleyip, ara ilemleri

yapnz!).

. .3 1

2 12 4

u n u x c+ - = +

1

2

u x y= + = 1

2

y x= - + iin zm aratrmas:

idiu x y= +

. .

3 1( ) 2 2 1

2 4x y n x y x c+ + + - = +

[ ]Genel zm

I :1

2y x - +


19/40


18/39

Bu eri diferansiyel denklemi salar (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr.

Genel zme dikkat edilirse, bu zmn denklemin bir tekil- zm olduu grlr

(gzlemleyiniz!).


. . 0p dx q dy+ = yazmndan; ( , ) , ( , )p x y y x q x y x y= - = + fonksiyonlar1.dereceden

homojendirler (gzlemleyiniz!).1 /

1 /

y y xy

y y x

- -= =+ +

.,y

u y u= = , ( )u u x=

1

1

u

y u

-= +

-e gre trevx

1

1

uy u xu

u

- = + =+

1

1

uxu u

u-= -+

. . .. .2

1 1

2 1

udu dx

u u

+- =+ -

( 0x , 2 2 1u u+ )

. . ... . . . . .21 1

2 12 2

n u u n x n c - + - = -

2

22 1

cu u+ - =

B12. (Belirli integral ieren denklemi: bir dif. denk. problemine dntrme)

Uygun koullar altnda, aadaki zellik geerlidir. Bu koullarbelirlemek ise okuyucuya

braklmtr (ntegral Hesabn Temel Teoreminin 1.ksmndan yararlanabilirsiniz!),

(dolaysyla belirlemeden aadaki zellii kullanma hakkna sahip deilsiniz!)

( , )y f x y= , ( )y a b= ..

( )( , )..x

a

tb f t y dt = +

idiy

ux

=

22

2( ) 1y y c

x x+ - = [ ]Genel zm

I : 0x , 2 22y xy x+


20/40


19/391

..( )

( )1 ..

xt

t

t ydt

t y

-= +

+ y

yx y

-=+

, (1) 1y =

B11 deki denklem iin, bir Balang-Deer problemidir.

Genel zm: 2 22

( ) 1y y c

x x x+ - = idi.

(1) 1

yani 1 iin 1...

y

x y

= = =

genel zmden: 22

1 2( ) 11 1 1

c+ - = 2c =

Not: zmn, zme balarken bahsedilen uygun koullarsaladgzlemlenmeli, aksi

halde zm olamayacaktr!

B13. (GenelletirilmiHomojen denklem)

2 2 3( , , , ) : ( 1) 0F x y dx dy x y dy xy dx= + + =

x tx , ky t y , 1kdy t dy- , dx dx yazmlar yapldnda,1

3

k= - iin

1 0( , , , ) ( , , , )k kF tx t y dx t dy t F x y dx dy- = eitlii salanr Denklem: Genelletirilmi

Homojendir.

/1/ 3

1 3., y xu u

y-

-== ,

( )u u x=

3

2 21 yy

y- -=

34/3

2

1 ux

u

- - - =

-e gre trevx

4 /3 1/31

3y x u x u- - = - +

3

4 / 3 1/ 32

1 1

3

ux u x u

u

- - - - + =

2

3

3 1

3 2

udu dx

xu= -

+ (Dei.Ayrlabilir) ( 0x , 32 3u - ) elde edilir

O halde istenilen zm: 2 22 2y xy x+ - =


21/40


20/39

. . .. .2

3

3 1

3 2

udu dx

u= -

+

. . ... . . . . .31 1

3 22 2

n u n x n c + = - + 32

3 2c

u+ =

1/3

.

.idi

yu

x-=

.3

3

3

2 2

cy

x= - [ ]Genel zm

I : 0x , 32 3y -


22/40



alma Sorular2 29.10.2014

A.Aada istenilenleri elde ediniz!

1. ( ) (. 0.)y yx x dy ky dxe e+ + + = denkleminin tam diferansiyel denklemolabilmesi iinuygun k saysnbelirleyiniz. Bu k saysiin tam diferansiyel denklemin genelzmn bulunuz.

2. a nn hangi deeri iin ( )2 2x y a

m = + : .2 2( ) 0xdy x y y dx- + + = denkleminin (tam

diferansiyel hale getiren) bir integrasyon arpan olur? belirleyiniz, bu arpan

kullanarak denklemin zmn bulunuz.

B.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn(nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! tm zmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerliolduu deikenlerin tanm aralklarnda vererek bulunuz.

1. . .2 21

( ) ( ) 0xy dx x y ny dyx

+ + - =

2. cot sin 2y y x x + =

3. ( sin ) cos 0.dy y x x dx+ - =

4. .2( cos sin ) si 0.nx y y dy y dx- - =

5. x y nyy

+ =

6. . .( 5 ) ( 5 ) 0y x dx x y dy- + - =

7.2

1tan 1

cos

yy

xy

- =

8.cos

yy

y=-

+

9. . . .1

( ) ( ) 0y x dx x y dyx

- + + + =

10.(

0.)

.) (

( ) ( )x n xy y n xy

xy dy xy dxx y x y

- + - =

+ +


23/40


22/39

Not:zmler-Yol gstermeler kontrol amaldr, yazm hatas- eksiklikler vs.. olabilir..kendi zmlerinizle mutlaka karlatrnz..

zmler

(son gncelleme : 29.10.2014)

nbilgi .1(BazDiferansiyeller)

Tablo

. .xdu u

u dx

d

= +

, ( , )u u y=

1 . .( )d y d d y x yxx = +

2 ( ). .2 2( ) 2 xx yd d dyx y =

3. .

2( )

xdy

x

y y dd

x

-=

4. .

2 2( )arctan

d y dd

x

y

y

y

x

-=

+


24/40


23/39

nbilgi .2(ntegrasyon arpan Aratrmas)

Tablo

. .

0NdM x dy+ = Denk. iin m ntegrasyon arpan

Arat

rmas

Koullar integrasyon arpan Aklamalar

1( )

N

x

M

yx

N j

-

= .( )

( )x dx

x e j

m m = =

( )xj

(yalnzcax-e bal)

bir fonksiyon

2( )

NxMyy

M j

- =-

.( )

( )y dy

y e j

m m = =

( )yj

(yalnzcay-ye bal)

bir fonksiyon

3 ( )ww

N

x

Nx

M

y

Mw

y

j

-

=

-

.( )( )w dw

w e j

m m = =

( , )w w y= (hemx-ehemy-ye bal),

( )wj

(yalnzca w-ya bal)bir fonksiyon

Not.

1.durum: yalnzcax-e bal;

2.durum: yalnzcay-ye bal;

3.durum: hemx-ehemy-ye bal

:

integrasyon arpan

aratrmalarnda kullanlacaktr!


25/40


24/39

A1. . .( ) ( ) 0y yx x dy ky dxe e+ + + = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:

yM kye= +

yN xe= +

yM

ky

e

= +

, 1yN

e

= +

Denklemin Tam Dif.Denk. olabilmesi iinNM

xy

=

artsalanmaldr:

1y yke e+ = + 1k= bulunur.

imdi . .( ) ( ) 0y yx x dy y dxe e+ + + =

Tam Dif. Denk. in zmn bulalm:

. .xdu u

uy

dx

yd

= +

.. . ( )dMu x f y= +

.. .( ) ( )y y dx f ye= + +

( )yx xy f ye= + + (A1-i)

.. . ( )dNu y g x= +

.. .( ) ( )yx x dy g xe= + +

( )yx xy g xe= + + (A1-ii)

(A1-i) ve (A2-ii) den: ( ) 0g x = , ( ) 0f y = bulunur. yu x xye= + olur. Genel zm

u c= idi.

y xy ce + = [ ]Genel zm

I : x- < <


26/40


25/39

A2. a ybelirlemek iin iki yol izleyebiliriz:

I.yol: ( )2 2x y a

m = + yani 2 2( )ym m += formunda bir integrasyon arpanaratrmasile.

II.yol:Denklemin her iki tarafn ( )2 2x y a

m = + ile arppNM

y

=

eitliinden.

I.yoldanyapalm! (ntegrasyon arpanile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)

.

2 2( ) 0xdy x y y dx- + + = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:

2 2x y yM= - - -

N=

2 1 1

y

NMy

= - - =

Denklem: Tam Dif. DEL!

2 2w x y= +

2w

x

=

2w

y

=

Hemx-ehemy-ye balintegrasyon arpan, genel formda ( , )w w x y= iin aadaki ekilde

aratrlyor idi:

2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 2

(2 ) ( ). .

(2 ) 2( ) 2 ( )

M

y

M

N

y y

x x x y y y x

x

Ny

w y xw yx

y

-

- - - - - = = + + + + + +-

2 2 2 2

2 2 1 1

( )(2 2). ( )

y

wx y y x y

- -

= = - = -+ + + ( 1y - )

yukardaki eitlik sonucu, yalnzca w-yabalbir fonksiyon elde edildi.

O halde nbilgi2-Tablo:3den


27/40


26/39.

1

2 2

.

1 1( )

ww

dw n

d

Nx

My

My

wwNx

w

ewx

ey

ew

m- -

- - = = = = =

+

intergrasyon arpan:2 2

1y

m =+

.

..,,.

II.yol:Denklemin

( ) ( ).2 2 2 2 2 2( ) 0x x y dy x y y x y dxa a

+ - + + + =

( )( )2 2 2 2y yM y x a

= - - - + , ( )2 2x yN a

= +

( )( ) ( )( )12 2 2 2 2 22 1 2y x y y x y y

M

yx y

a aa

-= - - + + - - - +

( ) ( )12 2 2 2 22x y x x y

N

x

a aa

-= + + +

NM

y

=

den her iki taraf( )

12 2x y a-

+ e blelim

( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 1 2 2y x y y x y y x y xa a- - + + - - - = + +

( ) ( )2 22 1 2 1 0y y x y y ya a a a- + + + - + + + =

1 0y ya a+ + + = 1a = -

..,,.

imdi denklemin her iki tarafn2 2

1

ym =

+ (y x ) ile arpalm ve denklemin Tam Dif.

Denk. haline geldiini kontrol edip, zelim.

.2 2 2 2

(1 ) 0x y

dy dxx y x y

- + =+ +

Bu son denklem iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:


28/40


27/392 2

1y

yM

x= - -

+

2 2N

x

y=

+

2 2

2 2 2

...

( )

x y

x y

NM

y x

- + = =

+

Denklem: Tam Dif.

. .xdu u

uy

dx

yd

= +

.. . ( )dMu x f y= +

..

1

2

.

2 ( )

I

yx dx f yx y

=

= - - ++

arctan ( )x

x f yy

- += - (A2-i)

.. . ( )dNu y g x= +

.. .

2.

2 2 ( )

I

xdy g xx y

=

= ++

arctan ( )x

g xy

- += (A2-ii)

1I iin .. .. 121 2 2

1 1

( )a

1arct n

ydx dx k

xx yy

y

Ix

y= - = = +

+ +- ,

2I iin benzer ekilde 22 arctanIy

k= + bulunur, 1

arctan arctan2

kk

p+ = zelliinden

3

2 3

diyelim

2 arcta arctn2

( an( ) )

k

x xI k k

yy

p

=

= - + + +-=

yazlabilir.

(A2-i) ve (A2-ii) den: ( )g x x= - , ( ) 0f y = bulunur.

arctanx

xu=- - olur. Genel zm u c=- idi.

0y= , y x iin zm aratrmas:

arctanx

x cy

+ = [ ]Genel zm

I : 0y , y x


29/40


28/39

0y= denklemi salamaz dolaysyla zm deildir. y x denklemin zmleridir.Genel zme dikkat edilirse, bu zmler denklemin birer Tekil-zmolduu grlr(gzlemleyiniz!).

B1. (Tam Diferansiyel denklem)

. .

2 21

( ) ( ) 0xy dx x y ny dyx+ + - = iin. .

0M dx N dy+ = yaz

m

ndan:

2 1M xyx

= +

2x y yN n= -

2xyNM

y x

= =

Denklem: Tam Dif.

. .xdu u

uy

dx

yd

= +

.. . ( )dMu x f y= +

.. .

2 1( ) ( )y dx f y= + +

. . .

2 2

( )2

x y n x f y= + + (B1-i)

.. . ( )dNu y g x= +

.. .

2( ) ( )y ny dy g x= - +

.. .

1.

2 2

( )2I

x y

ny dy g x=

= + +

2 2

( )2

x yy ny y g x- + += (B1-ii)

( 1I iin ksmi integrasyon ile: 11 y ny yI k= - + bulunur (inceleyiniz!).)

(A1-i) ve (A1-ii) den: . . .( )g x n x= , ( )f y y y ny= - bulunur.

. . .2 2

2

x yn yu x y ny = + + - olur. Genel zm u c= idi.

. . .2 2

2

x yn x y y ny c + + - = [ ]Genel zm

I : 0x , 0y >


30/40


29/39

B2. (Lineer Diferansiyel denklem)

cot sin 2y y x x + = , ( ) ( )y yxp q + = c( t) op x = , si 2) n(q xx =

I.yol: y uv= dnm yaparak:

y vu= , ( )u u x= , ( )v v x=

cot sin 2y y x x + =

y u v uv = +

0

cot cot sin( ). . 2( )u uv x u u x u uv xv v v=

+ + = + + =

cot 0.u x u + =

cot. . (sin )( ) 1

sin

dx xp dx n xxux

e e e -- - == = =

(dikkat, integral sabiti 0 seiliyor)

sin2vu x= sin sin 2xv x= . .

1.

sin sin 2

I

x dv x

=

=


. . .

21 2sin cosxI xdx=

sinx t= dnm uygulanrsa .1

cosdx dt

= :

. .

32 3

1 .3s

32 n

2 2i

tt dt c x cI = = + = +

32

sin

3

v cx= + ( vnin tespitinde: cintegral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! )

genel zm: y uv= den . .31

inn

s

2si

3x

xy c

= +

II.yol:( .)p x dx

v e= eklinde integrasyon arpanbularak:

idiy uv=

22 sin3 sin

cy x

x= + [ ]Genel zm

I : , 0, 1,...x n n p =


31/40


30/39cot. . (si( ) n ) sindx xx dxp n xv e e xe == = = bulunur.

imdi denklemin her iki tarafn sinv x= ile arpalm:

( ) ( ) oldugusin grlr!.

sin cos sin i. s n 2.

x yvy

x y x y x x

= =

+ =

( )sin sin sin 2.y x x =

imdi son denklemin her iki tarafnn integralini alalm:

. .sin sin. 2sinx y x x dx= , 1I den

32

sin3

sin .x cy x= +

. .31 2 sinsin 3

y x cx

= +

B3. (ntegrasyon arpanile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)

( sin ) cos 0.dy y x x dx+ - = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:

cos sin cosy x x xM= -

1N=

cos 0x

M N

xy

= =


idiy uv=

22 sin3 sin

cy x

x= + [ ]Genel zm

I : , 0, 1,...x n n p =


32/40


31/39

Ancak denklem, integrasyon arpan ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?

inceleyelim!

cos 0cos

1

M

xyx

N

x

N

-

- = =

yalnzcax-e balbir fonksiyon elde edildi. O halde nbilgi2-Tablo:1den

. .cos sin( )

N

xx

M

d xy

N dx xe ex em

-

= = =

intergrasyon arpan: sin( ) xexm = .

imdi denklemin her iki tarafn sin( ) xem = ile arpalm ve denklemin Tam Dif. Denk.

haline geldiini kontrol edip, zelim.

.sin sin( sin )cos . 0x xe dy y x x e dx+ - =


sin( sin ) c .os xy x x eM= -

sinxN e=

sins .co xx e

NM

y

= =

Denklem: Tam Dif.

. .xdu u

uy

dx

yd

= +


33/40


32/39

.. . ( )dMu x f y= +

.. .

1.

sin( sin )cos ( ). x

I

y x x e dx f y

=

= - +

.

sin sin

( 1 sin ) ( )x x

ye x e f y+ - + += (B3-i)

.. . ( )dNu y g x= +

.. .

sin ( )xe dy g x= + sin ( )xye g x= + (B3-ii)

( 1I iin sinx t= dnn yaplarak;

1

.. . . .. . .. .

int

1 ( )

ksmi egrasyo

t

n

t ty t e dt y e dI t te dt = - = +

eklinde bulunur (inceleyiniz!).)

(B3-i) ve (B3-ii) den: . sin( ) ( 1 sin ) xg x x e= - + , ( ) 0f y = bulunur.

. .sin sin sin( 1 sin ) ( 1 sin )x x xye x e y x eu= + - + = - + olur. Genel zm u c= idi.

B4. (ntegrasyon arpanile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem).

2( cos sin ) si 0.nx y y dy y dx- - = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:

sinM y= -

2cos siny yN= -

cos cosyN

xyy

M = - =


Ancak denklem, integrasyon arpan ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?

inceleyelim!

. sin( 1 sin ) xy x e c- + = [ ]Genel zm

I : x- < <


34/40


33/39

cos cos 2cos2cot

sin sin

y y yy

y

NM

y x

M y

-

- - = = - = --

yalnzcay-ye balbir fonksiyon elde edildi. O halde nbilgi2-Tablo:2den

2cot 2 (si2

. n ). 1( )sin

d y

M

yy

M dy

N

xn yy e e em

-

- -- = = = =

intergrasyon arpan:2

1( )

sin yym = .

imdi denklemin her iki tarafn ( )ym ile arpalm ve denklemin Tam Dif. Denk. haline

geldiini kontrol edip, zelim:

.2

cos 1( 1)

i. 0

sins n

x ydy dx

yy- - = ( sin 0y )


1

sinM

y= -

2

cos1

sin

yN

x

y= -

2

cos

sin

M y

y

N

y x

= =

Denklem: Tam Dif.

. .xdu u

uy

dx

yd

= +


35/40


34/39

.. . ( )dMu x f y= +

.. .

1( )

sindx f y

y= - +

( )sin

xf y

y+= - (B4-i)

.. . ( )dNu y g x= +

.. .

2

cos1 ( )

sin( )x y

dy g xy

= - +

.. .

1

2

.

cos( )

sinI

yx dy g x

y=

- += +

( )sin

xg x

y- - += (B4-ii)

( 1I iin siny t= dnn yaplarak; sonuta 111

sinkI

y= - + bulunur (inceleyiniz!).)

(B4-i) ve (B4-ii) den: ( ) 0g x = , ( )f y y= - bulunur.

sin

u y= - - olur. Genel zm u c=- idi.

np= iin zm aratrmas:

Denklemi salar (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr. Genel zme dikkat

edilirse, Tekil-zmolduu grlr (gzlemleyiniz!).

B5. (x-e gre Lineer Diferansiyel denklem)

yx y ny+ =

1dxx ny

dy y - = ( ( ))p y

dxx

yq y

d + = ( )

1p y

y= - , ( )q y ny=

integrasyon arpanbulma metoduile zelim:

sin

xc

y+ = [ ]Genel zm

I : , 0, 1,...y n n p =


36/40


35/39

1( ) .. 1dydy nyyp ye e ev

y

--= = == bulunur.

imdi lineer denklemin her iki tarafn1

vy

= ile arpalm: (dx

xdy

= )

( )

2

1oldugu grlr!

1 1

xy

vx

nyx x

yy

= =

- =

( 0y )

1 ny

xy y

=

imdi son denklemin her iki tarafnn integralini alalm:

. .

. 1

1 1

I

ny dxy y

=

=

1I hesaplanrsa:2

11 1

2 2nI y c= + bulunur (inceleyip, ara ilemleri yapnz!).

21

2

1yx cn

y = +

B6.

I. yol :Homojen denklemdenzm bulunabilir!

II.yol :B1 deki yaplanlara benzer ekilde Tam Dif. denklemdenzm bulunabilir!III.yol : Gruplandrma: nbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak

.. .21

2x y n y c

= + [ ]Genel zm

I : 0y >


37/40


36/39

. .( 5 ) ( 5 ) 0y x dx x y dy- + - =

2 21 ( )(2

)

5 0( )

d x yd xy

ydx xdy xdx ydy= =

+

+

- + =

2 25

( ) ( ) 02

d xy d x y- + = 2 25

( ) 02

( )d xy x y- + =

B7. (zel formda Lineer Denklem haline getirilebilen)

Bu denklem, aadaki dnm ile lineer hale daha getirilebilir:

2

1tan

os1

c

1y

xy

y- =

tan z= , ( )z z x=

( )

2

1

cos

21 tan

y

y y z

=

+ =

1

1z z- = (lineer denklem) elde edilir.( ) ( )y yx xp q + =

( )1

p x = - , ( ) 1q x =

imdi lineer denklemi, z uv= dnm ile zelim :

z vu= , ( )u u x= , ( )v v x=

11z z

x- =

z u v uv = +

0

1 11. .( )v v vu uv u u u uv

x x=

+ - = - + =

.1

0u ux

- =

( ) ..

1dx

xxp dxx ne e eu x- = = = =

(dikkat, integral sabiti 0 seiliyor)

2 25 ( )

2y x y c- + = [ ]Genel zm

I : x- < <


38/40


37/39

1uv= 1

vx

= . .1

dxv =

. . cv n x= + ( vnin tespitinde: cintegral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! )

genel zm: z uv= den ( ). .z x n cx= +

(2 1) / 2y n p= - iin zm aratrmas: diferansiyel denklemi salamad iin zm

deildir.

B8. Gruplandrma: nbilgi1-Tablo: 1 den yararlanarak

cos

yy

x y=-

+ .

( )

cos5 0d xy

y dyydx xdy=

+ + =

. .. .( ) cosd xy y dy= -

B9.I. yol :B1 deki yaplanlara benzer ekilde Tam Dif. denklemdenzm bulunabilir!

II.yol :Gruplandrma: nbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak

. . .

1( ) ( ) 0y x dx x y dy

x- + + + =

2 2 . .1 ( ) ( )2

( .)

1 0( )

xd d x yy nx d

ydx xdy xdx ydy dxx

- == = -

+ + - + =+

tan idiz y=

( ). . .tany x n x c= + [ ]Genel zm

I : 0x , (2 1) / 2 , 0, 1,...y n n p - =

siny y c-= + [ ]Genel zm

I : arcco ( )sy x -


39/40


38/39

2 21

( ) ( ) ( ) 02

d xy d x y d nx- - + = . . .2 21

( ) 02

d xy x y n x - - + =

B10. Gruplandrma:

(0.

).

) (( ) ( )x n xy y n xy

xy dy xy dxx y x y

- + - =

+ +

[ ]

( )n xy

dy ydx xydx xydyx y

+ = ++

[ ] [ ]( ) ( )

( )

d xy d x y

n xydy ydx xy dx dy

x y= = +

+ = ++

( ) ( ) ))

((n xy

d xy x y d x yxy

= + +

imdi her iki tarafn integrali alnrsa,2

12. .

nu n udu k

u

= + (inceleyip, ara ilemleri

yapnz!) ve2

2. . 2

wwdw k = + bilgilerinden;

2 2( )

2 2 2

( )n xy x y c += + bulunur.

. . .2 21 ( )

2xy x y n x c- - + = [ ]Genel zm

I : 0x

2 2(( ) )n xy x y c = + + [ ]Genel zm

I : x - , 0xy >


40/40

39/39

..Fen Fakltesi Matematik BlmDiferansiyel Denklemler I /ArasnavHazrlkSorular

Yrd.Do.Dr.Serkan LTER / .. Matematik Sre:.. BAARILAR..

(00p) Aadaki ve sorularndan yalnzca bir tanesini seerekznz!

.

.

(00p) Aadaki ve sorularndan yalnzca bir tanesini seerekznz!

.

.

(00p) .

(00p) Aadaki klardan yalnzcaiki tanesini seerekyapnz!

k .

.

.

SORU 1. 1 1

1.

1 .

SORU 2. 2 2

2.

2 .

SORU 3.

SORU 4.

( )

( )

( )

Documents

Diferansiyel Denklemler İstanbul Üniversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik