Difusión Enfoque Fenomenológico 2da ley de Fick Ma. Eugenia Noguez Amaya

Objetivos

• Las transformaciones de fase como procesos no estables que dependen del tiempo

• Modelos cinéticos de difusión

• 2da Ley de Fick (PDE)

• Funciones de 2 variables como solución de la 2da Ley de Fick

• Graficas 3D

• Curvas de nivel

• Secciones

• Series de Taylor

• Función Error

Difusión en estado no estacionario • A pesar que la 1era ley de Fick sirve para modelar sistemas en

estado estable, tiene la complicación de tener que medir el

flux 𝐽 lo cual es muy complicado

• Por otra parte las transformaciones de fase no ocurren en estado estable, ya que bajo las condiciones adecuadas comienza la transformación hasta que todo el material se transforma por completo, las transformaciones de fase dependen del tiempo y se requiere tener información sobre la cinética

Fusión de una esfera de metal

Modelo Estadístico estado no estable (Enfoque atomístico) • De acuerdo al modelo estadístico posición de un átomo dentro de un

material se puede obtener a partir de sumar los saltos individuales 𝑟𝑖

𝑅 = 𝑟 𝑖

𝑛

𝑖=0

• Se pude realizar un modelo siguiendo la trayectoria de cada átomo en el material

• Seria importante saber la distancia hasta donde puede llegar un átomo por difusión para poder delimitar la zona a modelar

• Además se podría saber hasta donde han ocurrido transformaciones de fase

𝑅 = 6𝐷𝑡

Dificultades con el modelo estadístico • El modelo estadístico da información cinética átomo por

átomo (enfoque atomístico), con lo cual se vuelve muy difícil modelar un sistema

• La distancia de desplazamiento 𝑅 no se puede asociar directamente con la transformación.

• Se requiere modelar todos los átomos y calcular la concentración para saber si la transformación ya se llevo a cabo o no.

2da Ley de Fick

• La 2da Ley de Fick es una PDE que permite modelar sistemas con estado no estacionario

• Se puede escribir en términos del Flux o de la concentración utilizando la 1era ley de Fick

• Al resolver la 2da Ley de Fick se obtiene una función de 2 variables independientes

• 𝐶 𝑥, 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝐶 𝑥, 𝑡 = −

𝜕

𝜕𝑥𝐽 𝑥, 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝐶 𝑥, 𝑡 =

𝜕

𝜕𝑥𝐷𝜕

𝜕𝑥𝐶 𝑥, 𝑡 = 𝐷

𝜕2

𝜕𝑥2𝐶 𝑥, 𝑡

2da Ley de Fick

• Para el caso mas general donde tanto el flux 𝐽 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 como la concentración 𝐶 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 dependen de la posición (𝑥, 𝑦, 𝑧) como del tiempo 𝑡 se utiliza la notación vectorial para representar la segunda ley de Fick

• Sustituyendo la 1era Ley de Fick

𝜕

𝜕𝑡𝐶 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = −𝛻 ∙ 𝐽 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡

𝜕

𝜕𝑡𝐶 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝛻 ∙ 𝐷 𝛻𝐶 𝑥, , 𝑦, 𝑧, 𝑡

Conclusiones importantes de la 2da ley de Fick • La 2da ley de Fick si da información cinética de las transformaciones

de fase ya que relaciona a 𝐶 𝑥, 𝑡 con el tiempo 𝑡 y además con la posición 𝑥

• La 2da ley de Fick es solo una PDE a diferencia de la 1era ley de Fick que eran 3 ecuaciones

• La 2 ley de Fick tiene 3 derivadas parciales; dos del tipo 𝜕

𝜕𝑥 y una del

tipo 𝜕

𝜕𝑡.

• Obtener una solución se requiere de 1 condición inicial para la derivada

𝜕

𝜕𝑡 y 2 condiciones de frontera una para cada derivada

𝜕

𝜕𝑥

• Por la forma en que se deduce la 2da ley de Fick toda la información atomística de la difusión queda contenida en 𝐷 y se supone que el material es un medio continuo (Sin defectos cristalinos ni bordes de grano)

• Resolver analíticamente la 2da Ley de Fick que es una PDE requiere conocimientos avanzados de matemáticas no se realizaran en este curso, sin embargo si se hará uso de las soluciones.

Graficas de funciones de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) • Las graficas de funciones de

dos variables del tipo 𝑓 𝑥, 𝑦 requieren 3 ejes coordenados 𝑥 , 𝑦, 𝑓

• Debido a que la lectura e interpretación de graficas con 3 ejes (3D) resulta muy complicado se utilizan 2 tipos de graficas (2D)

• Curvas de Nivel

• Secciones

-3

-2

-1

0

1

2

3

1

2

3

4

5

6

01

23

45

6

f(x,y

)

x

y

f(x,y)= sen(x)+cos(y)

Graficas de funciones de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) • Las curvas de nivel son las gráficas mas usadas ya que tienen

como ejes a las variables independientes

• 𝑦 vs 𝑥

-3

-2

-1

0

1

2

3

1

2

3

4

5

6

01

23

45

6

f(x,y

)

x

y

f(x,y)= sen(x)+cos(y)

Curvas de nivelf(x,y)=sen(x)+cos()

1.0

0.5

0.0

0.0

0.0 -0.5-0.5

-0.5-0.5

-0.5

0.0

0.0

0.0

0.0

0.5

1.0

-1.0

-1.0

-1.0

-1.0

-1.0

-1.5

-1.5

-1.5

-1.5

0.0

-1.0

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

-0.5

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

1.0

0.0

1.51.5

1.5 1.5

0.50.0

0.0

0.0

-0.5

-0.5

X Data

0 1 2 3 4 5 6

Y D

ata

0

1

2

3

4

5

6

-3

-2

-1

0

1

2

3

0

1

2

3

4

5

6

12

34

56

f(x,y

)

x

y

f(x,y)=sen(x)+cos(y)

Graficas de funciones de dos variables 𝑓(𝑥, 𝑦) • Hay dos secciones

• 𝑓 vs 𝑥

• 𝑓 vs 𝑦

f(x,y)=sen(x)+cos(y)

x

0 1 2 3 4 5 6 7

f(x,y

)

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=0

y=0.775

y=1.55

y=3.1

f(x,y)=sen(x)+cos(y)

y

0 1 2 3 4 5 6 7

f(x,y

)

-2

-1

0

1

2

3

x=0

x=1.55

x=2.325

x=3.875

-3

-2

-1

0

1

2

3

1

2

3

4

5

6

01

23

45

6

f(x,y

)

x

y

f(x,y)= sen(x)+cos(y)

Series de Taylor

• Una serie de Taylor es la representación de una función en forma de polinomio usando una serie infinita y las derivadas de la función

• Donde ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎

𝑓 𝑎 + ∆𝑥 = ∆𝑥𝑛

𝑛!

∞

𝑖=0

𝑑𝑛

𝑑𝑥𝑛𝑓 𝑎

• Aproximación para 𝑛=1

• 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 +𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 ∙ ∆𝑥

• Se desarrolla la serie alrededor de un punto 𝑥 y los demás valores son aproximados, mientras mas lejos del punto 𝑥 la aproximación requiere mas términos de la serie

Series de Taylor

• Ejemplo

• 𝑓 𝑥 = sen 𝑥

• Tomando 𝑎 = 0

sen 𝑥 = −1 𝑛

2𝑛 + 1 !𝑥2𝑛+1

∞

𝑛=0=𝑥

1!−𝑥3

3!+𝑥5

5!−𝑥7

7!+ ⋯

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-6.5 -1.5 3.5sen

(x)

x

sen (x)

sen (x)

n=0

n=1

n=2

n=3

Funcion error erf(𝑥)

• En las soluciones de la 2da ley de Fick aparece la función error que esta definida de la siguiente forma

erf 𝑥 =2

𝜋 𝑒−𝑡

2𝑑𝑡

𝑥

0

• Nótese que la integral no se puede resolver de forma analítica y que la variable independiente 𝑥 se encuentra en el limite superior de la integral

• Para evaluar algún valor de la función error se puede ocupar su serie de Taylor alrededor de 0

erf 𝑥 =2

𝜋 −1 𝑛𝑥2𝑛+1

𝑛! 2𝑛 + 1

∞

𝑛=0

=2

𝜋

𝑥1

0! ∙ 1−𝑥3

1! ∙ 3+𝑥5

2! ∙ 5−𝑥7

3! ∙ 7+𝑥9

4! ∙ 9+ ⋯

Funcion error erf(𝑥)

• Dominio −∞ < 𝑥 < +∞ , Rango −1 < 𝑦 < 1

• La grafica de la función error es la siguiente

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00erf

(x)

x

erf(x)

Funcion error erf(𝑥)

• Propiedad función impar

• erf −𝑥 = −erf(𝑥)

• Limites importantes

• lim𝑥→+∞erf 𝑥 = 1

• lim𝑥→−∞erf 𝑥 = −1

• Derivada

•𝑑

𝑑𝑥erf 𝑥 =

2

𝜋𝑒−𝑥2

• Integral

• erf 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 erf 𝑥 +1

𝜋𝑒−𝑥2+ 𝑐

Resumen

• Cinética de las transformaciones de fase como proceso en estado no estacionario

• Modelo estadístico para estado no estacionario; interpretación atomística y limitaciones

• Series de Taylor; definición y usos

• 2da Ley de Fick; deducción, expresión en 1D, expresión en 3D, limitaciones, PDE y tipo de solución 𝐶 𝑥, 𝑡

• Graficas para funciones de 2 variables 𝑓 𝑥, 𝑦 ; esquema 3D, curvas de nivel (𝑦 vs 𝑥), secciones (𝑓 vs 𝑥) y (𝑓 vs 𝑦)

• Función error erf(𝑥); definición, serie de Taylor, grafica, propiedad de función impar, limites importantes, derivada e integral

Actividad 6

• La 2da Ley de Fick se puede resolver analíticamente utilizando la transformada de Laplace y aplicando la condición inicial. Como resultado se tiene una ecuación del tipo

• 𝐶 𝑥, 𝑡 = 𝐴 + 𝐵 erf𝑥

2 𝐷𝑡

• Donde 𝐴 y 𝐵 son constantes de integración que para conocer su valor se necesitan aplicar 2 condiciones de frontera

• Comprobar que se cumple la 2da Ley de Fick obteniendo los

términos 𝜕2

𝜕𝑥2𝐶 𝑥, 𝑡 y

𝜕

𝜕𝑡𝐶 𝑥, 𝑡

•𝜕

𝜕𝑡𝐶 𝑥, 𝑡 = 𝐷

𝜕2

𝜕𝑥2𝐶 𝑥, 𝑡

• Encontrar la expresión del flux

• 𝐽𝑥 = −𝐷𝜕𝐶

𝜕𝑥

Actividad 6

• En una hoja de Calculo obtener una tabla de valores para la función error de −2 a 2 en intervalos de 0.01

• 𝜃 = erf(𝛽)

• Graficar la función error de −2 a 2 en intervalos de 0.01 y su serie de Taylor tomando 𝑛 = 0,1, 2 𝑦 3

• erf 𝑥 =2

𝜋 𝑒−𝑡

2𝑑𝑡

𝑥

0=2

𝜋

−1 𝑛𝑥2𝑛+1

𝑛! 2𝑛+1∞𝑛=0

• erf 𝑥 =2

𝜋

𝑥1

0!∙1−𝑥3

1!∙3+𝑥5

2!∙5−𝑥7

3!∙7+𝑥9

4!∙9+⋯

• Opcional

• Utilizar la herramienta buscar objetivo de Excel para completar la siguiente tabla con exactitud de 6 cifras decimales

β θ = erf (β)

0.500001

-0.999990

0.755555

Objetivos Actividad 6 Excel

• Obtener una tabla de valores para evaluar la función error

• Entender el uso de las series de Taylor para evaluar funciones transcendentales

• Uso de la herramienta Buscar Objetivo