Digitalni sistemi - Катедра за ...au.mas.bg.ac.rs/cms_upload/fakultet/fajlovi/66_lekcija1.pdf · SADR AJ vii 6 Sinhrona sekvencijalna logiqka kola 117 6.1 Koncept i osnovne

Digitalni sistemi

Zoran M. Buqevac

Digitalni sistemi

Beograd, 2007.

Sadr�aj

1 Sistemi brojeva 1

1.1 Definicije razliqitih sistema brojeva . . . . . . . . . . . 21.2 Pretvaraǌa brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Binarno decimalno i oktalno decimalno pretvaraǌe 71.2.2 Decimalno binarno i decimalno oktalno pretvaraǌe 71.2.3 Binarno oktalno (heksadecimalno) i oktalno

(heksadecimalno) binarno pretvaraǌa . . . . . . . . 101.3 Aritmetika u sistemu brojeva osnove r . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Sabiraǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Oduzimaǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Mno�eǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Deǉeǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Komplementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Oduzimaǌe pomo�u r-komplementa . . . . . . . . . . 131.4.2 Oduzimaǌe pomo�u (r–1)-komplementa . . . . . . . . 14

1.5 Binarni kodovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1 Direktni binarni kod . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.2 BCD kodovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3 Kod za otkrivaǌe grexke . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.4 Grejov (Refleksivni) kod . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.5 Alfanumeriqki kodovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Bulova algebra i binarna logika 212.1 Definicija Bulove algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Dvo-vrednosna Bulova algebra . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Osnovne teoreme i osobine Bulove algebre . . . . . 23

2.2 Binarna logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Tehniqko izvo�eǌe osnovnih logiqkih

funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Logiqke funkcije 333.1 Definicija logiqkih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1 Komplement-negacija logiqkih funkcija . . . . . . . 353.1.2 Kanoniqki oblici logiqke funkcije . . . . . . . . . 35

v

vi SADR�AJ

3.1.3 Standardni i nestandardni oblici logiqke funkcije 37

3.1.4 Pretvaraǌe standardnog oblika logiqke funkcijeu kanoniqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.5 Logiqki dijagrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.6 Logiqke funkcije jedne i dve nezavisne logiqkepromenǉive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.7 Integrisana digitalna logiqka kola . . . . . . . . . 43

3.2 Minimizovaǌe logiqkih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Metoda algebarskih transformacija . . . . . . . . . 45

3.2.2 Grafiqka metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3 Razliqiti oblici dvonivoskih realizacija . . . . . 51

3.2.4 Sluqaj nepotpunih logiqkih funkcija . . . . . . . . 56

3.2.5 Tabelarna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.6 Minimizovaǌe sistema logiqkih funkcija tabela-rnom metodom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Kombinaciona logiqka kola 63

4.1 Definicija kombinacionih logiqkih kola . . . . . . . . . . 64

4.2 Postupak projektovaǌa kombinacionihlogiqkih kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Aritmetiqka logiqka kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1 Sabiraqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.2 Oduzimaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.3 Tehniqka izvo�eǌa aritmetiqkih logiqkih kola . . 73

4.4 Pretvaraqi kodova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 Postupak analize kombinacionih logiqkih kola . . . . . . 77

4.6 NI vixenivoska realizacija kombinacionih logiqkih kola 80

4.7 NILI vixenivoska realizacija kombinacionih logiqkihkola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.8 ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA realizacija kom-binacionih logiqkih kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Kombinaciona logiqka kola sa integrisanim kolima 91

5.1 Projektovaǌe sa integrisanim kolimanaspram klasiqnog postupka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Binarni paralelni sabiraqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3 Decimalni sabiraq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4 Upore�ivaq vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5 Dekoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.6 Demultiplekser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.7 Koder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.8 Multiplekser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.9 Memorija samo za oqitavaǌe (ROM) . . . . . . . . . . . . . 109

5.10 Programabilna logiqka matrica . . . . . . . . . . . . . . . 112

SADR�AJ vii

6 Sinhrona sekvencijalna logiqka kola 1176.1 Koncept i osnovne karakteristike sinhronih sekvencijal-

nih logiqkih kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2 Flip flopovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2.1 SR flip flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2.2 JK flip flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.3 T flip flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2.4 D flip flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3 Pobudne tabele flip flopova . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.4 Promena staǌa kod flip flopova . . . . . . . . . . . . . . . 1286.5 Analiza sinhronih sekvencijalnih

logiqkih kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6 Sinteza sinhronih sekvencijalnih

logiqkih kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.7 Sinteza sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola kada nisu

iskorix�ena sva staǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.8 Sinteza sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola pomo�u

jednaqina staǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7 Asinhrona sekvencijalna logiqka kola 1557.1 Osnovne karakteristike asinhronih sekvencijalnih logiqkih

kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2 Analiza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola . . . . . 158

7.2.1 Analiza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolasamo sa povratnim granama . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.2.2 Pojava poreme�enog rada . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2.3 Analiza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola

sa nepulsnim flip flopovima . . . . . . . . . . . . . 1637.3 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola . . . . . 167

7.3.1 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolasamo sa povratnim granama . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.3.2 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolasa SR flip flopovima . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.3.3 Redukcija primitivne tabele toka . . . . . . . . . . 1757.3.4 Binarno definisaǌe staǌa . . . . . . . . . . . . . . 179

7.4 Poreme�aji izlaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8 Registri, Brojaqi i Memorije 1878.1 Registri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.1.1 Primena registara za realizaciju sinhronih sek-vencijalnih logiqkih kola . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.1.2 Pomeraqki registri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.1.3 Dvosmerni pomeraqki registar sa paralelnim

puǌeǌem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.1.4 Serijsko sabiraǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

8.2 Brojaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.2.1 Sinhroni brojaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

viii Sadr�aj

8.2.2 Asinhroni brojaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.3 Memorije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9 Algoritamska sekvencijalna logiqka kola (ASLK) 2079.1 Definicija Bulove algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.1.1 Dvo-vrednosna Bulova algebra . . . . . . . . . . . . 2099.1.2 Osnovne teoreme i osobine Bulove algebre . . . . . 209

9.2 Binarna logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.3 Tehniqko izvo�eǌe osnovnih logiqkih

funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10 A/D i D/A pretvaraqi 21910.1 D/A pretvaraqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

10.1.1 Binarna lestvica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22010.1.2 Logiqki dijagram, objaxǌeǌe rada . . . . . . . . . . 220

10.2 A/D pretvaraqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22210.2.1 Istovremeno pretvaraǌe . . . . . . . . . . . . . . . . 22210.2.2 Brojaqki postupak pretvaraǌa . . . . . . . . . . . . 22410.2.3 Uzastopno aproksimativno pretvaraǌe . . . . . . . 225

Poglavǉe 1

Sistemi brojeva

U ovom poglavǉu se daju definicije razliqitih sistema brojeva priqemu je akcenat stavǉen na binarne brojeve jer je ǌihova primena i za-stupǉenost prirodna kod digitalnih sistema. Prikazani su postupcipretvaraǌa brojeva iz jednog sistema brojeva u drugi, aritmetiqke op-eracije u binarnom sistemu brojeva kao i definicije razliqitih kom-plemenata i izvo�eǌa aritmetiqke operacije oduzimaǌa pomo�u kom-plemenata. Dati su razliqiti binarni kodovi za kodiraǌe diskretnihelemenata informacija.

1

2 Poglavǉe 2. Sistemi brojeva

1.1 Definicije razliqitih sistema brojeva

Xta je to sistem brojeva?Xta znaqi brojati u nekom sistemu brojeva?Da bi se odgovorilo na postavǉena pitaǌa polazi se od skupa nekih

elemenata, na primer, skupa kuglica. Za oznaqavaǌe razliqitih koliqi-na kuglica posmatranog skupa neophodno je koristiti neke simbole. Pritome su mogu�a dva priistupa. Jedan pristup je da se za svaku koliqinukuglica posmatranog skupa odredi poseban simbol. Ovakav pristup jenepovoǉan jer je u sluqaju jako velikog skupa kuglica texko prona�irazliqite simbole za svaku drugu koliqinu kuglica. Drugi pristupje da se uvede konaqno mnogo tz. osnovnih simbola i da se bilo kojakoliqina kuglica predstavi nekim od osnovnih simbola ili nekom kom-binacijom nekih osnovnih simbola pri qemu se osnovni simboli kom-binuju prema unapred utvr�enim pravilima. Na ovaj naqin se izbegavaproblem nedostatka simbola. Oqigledno da je ovaj drugi pristup po-voǉniji i zbog toga se on i usvaja za navedenu svrhu. Treba primetitida u ovom poglavǉu jox uvek nije upotrebǉen pojam broj izuzev u pi-taǌima koja su postavǉena na poqetku.

Definicija 1.1 Sistem brojeva je kod za oznaqavaǌe, predstavǉaǌe raz-liqitih koliqina elemenata nekog skupa.

Drukqije reqeno, pod sistemom brojeva1 podrazumeva se skup sim-bola, takozvanih brojeva, koji se koriste da predstave razliqite koli-qine elemenata nekog skupa. Pri tome sistem brojeva ima konaqno mnogoosnovnih simbola.

Definicija 1.2 Osnovni simboli jednog sistema brojeva se nazivaju ǌe-gove cifre kojih ukupno ima konaqno mnogo i xto predstavǉa tz. osnovuili bazu tog sistema brojeva.

Pomo�u cifara nekog sistema brojeva, bilo koja koliqina eleme-nata posmatranog skupa mo�e se predstaviti pojedinaqnim ciframa ilinekom kombinacijom nekih cifara. Kombinacija cifara se vrxi premaunapred utvr�enom pravilu.

Oqigledno da mo�e postojati vixe razliqitih sistema brojeva u za-visnosti od toga koliko taj sistem brojeva ima cifara.

Pod brojaǌem u nekom sistemu brojeva podrazumeva se uzastopnonizaǌe brojeva tog sistema brojeva poqev od najmaǌeg broja pa navixepri qemu svaki naredni broj oznaqava prvu slede�u ve�u koliqinu ele-menata u odnosu na koliqinu elemenata koja je oznaqena sa prethodnimbrojem.

Ovde �e biti pomenuta qetiri sistema brojeva: decimalni sistembrojeva, binarni sistem brojeva, oktalni sistem brojeva i heksadeci-malni sistem brojeva.

1Mo�e da se koristi brojqani sistem ali je pogrexno da se koristi brojnisistem.

2.1. Definicije razliqitih sistema brojeva 3

Kada se ka�e broj obiqno se misli na broj iz decimalnog sistemabrojeva. To je zbog toga xto je ovaj sistem brojeva u skoro iskǉuqivojprimeni u praksi. Bez obzira xto je decimalni sistem brojeva do-bro poznat, ovde �e biti izlo�ene ǌegove osnovne postavke. U tabeli1.1 su uporedno date cifre decimalnog sistema brojeva, ǌihova imenai odogovaraju�e koliqine elemenata nekog skupa npr. kuglica koje tecifre predstavǉaju.

Cifra Ime cifre Koliqina kuglica0 nula1 jedan •2 dva ••3 tri • • •4 qetiri • • ••5 pet • • • • •6 xest • • • • ••7 sedam • • • • • • •8 osam • • • • • • ••9 devet • • • • • • • • •

Tabela 1.1: Cifre decimalnog sistema brojeva, ǌihova imena i odgo-varaju�e koliqine kuglica

Logiqno pitaǌe se name�e: kako oznaqiti koliqinu kuglica ve�u odkoliqine oznaqene sa 9, npr. koliqinu kuglica ••••••••••. Oqiglednoda je ova koliqina ve�a za jednu kuglicu od one koja je oznaqena sa9. Ova koliqina kuglica se oznaqava tako xto se drugoj cifri, daklecifri 1, pridru�i prva cifra, dakle cifra 0, tako da se dobije 10.Ovakvom kombinacijom ove dve cifre dobijen je broj koji ima svoje imekoje je dobro poznato a to je deset. Koliqina kuglica koja je ve�a zajednu kuglicu od prethodno navedene koliqine kuglica oznaqava se takoxto se uzme druga cifra, tj. cifra 1, pa joj se pridru�i opet drugacifra, tj. cifra 1, tako da se dobije 11. Dobro nam je poznato da jena ovaj naqin dobijen broj koji ima svoje ime a to je jedanaest. I takoredom, dobijaju se 12 (dvanaest), 13 (trinaest), da bi na kraju bileiscrpǉene sve mogu�nosti kombinovaǌa dve cifre brojem 99 (devedesetdevet). Slede�a ve�a koliqina kuglica se oznaqava tako xto se uzmedruga cifra, tj. cifra 1, pa se ǌoj pridru�i dva puta prva cifra,tj. cifra 0, tako da se dobije 100, a to je broj qije je ime sto. Itako redom. Ovo xto je sada opisano nije nixta drugo do brojaǌe udecimalnom sistemu brojeva.

Pod brojaǌem u decimalnom sistemu brojeva se podrazumeva uza-stopno nizaǌe (re�aǌe) decimalnih brojeva poqev od najmaǌeg, a to jecifra odnosno broj 0, ka ve�im brojevima, pri qemu svaki naredni brojoznaqava prvu slede�u ve�u koliqinu elemenata u odnosu na koliqinuelemenata koja je oznaqena sa prethodnim brojem.


Oqigledno je da decimalni sistem brojeva ima deset cifara tako daje ǌegova osnova tj. baza 10.

Umesto ve� prikazanih simbola koji su usvojeni za cifre decimalnogsistema brojeva moglo se potpuno ravnopravno usvojiti da to budu ineki drukqiji simboli, npr. A, B, C, . . . pri qemu bi A oznaqavalo koli-qinu od nijedne kuglice, B slede�u koliqinu • itd. Va�e�e cifre deci-malnog sistema brojeva se koriste sa lako�om zato xto smo naviknutina ǌih i qim vidimo ili izgovorimo neku cifru mi odmah znamo ǌenoznaqeǌe jer je to znaqeǌe memorisano u ǉudskom mozgu i na taj naqin miimamo ose�aj za znaqeǌe svake cifre pa i xire tj. ve�ih brojeva. Akobi smo za trenutak zamislili da se umesto va�e�ih cifara decimalnogsistema brojeva uvode drukqiji simboli npr. A, B, C, D, E, F, G, H,I, J i izgovorimo ili napixemo cifru G ili pak broj GH mi nebismoimali ose�aj za znaqeǌe te cifre i tog broja iz prostog razloga xtou naxem mozgu zbog ne korix�eǌa nije memorisano da je G nexto xtoodgovara dobro poznatoj cifri 6 niti da je GH nexto xto odgovaradobro poznatom broju 67.

Da bi sa sigurnox�u moglo za neki broj da se zna da je to broj izdecimalnog sistema brojeva usvojen je slede�i naqin pisaǌa decimalnihbrojeva: decimalni broj se stavi u malu zagradu a u doǌem desnom ugluvan zagrade na mestu doǌeg indeksa se napixe osnova 10 decimalnogsistema brojeva. Ovaj naqin pisaǌa decimalnog broja se ilustruje uslede�em primeru.

Primer 1.1 (100)10

. Oqigledno da je prikazani broj decimalni broj sto.

(anan−1 · · · a2a1a0, a−1a−2 · · · a−m)10

predstavǉa uopxteni zapis deci-malnog broja pri qemu su a

−m, · · · , a−1, a0, a1, a2, · · · , an−1, an neke cifre

decimalnog sistema brojeva. Dobro je poznato da je koliqina izra�enaprikazanim deciamlnim brojem odre�ena sa slede�im izrazom

an10n +an−110n−1 + · · ·+a210

2 +a1101 +a010

0 +a−110

−1 · · ·+a−m10−m. (1.1)

Oqigledno da svaka cifra decimalnog broja ima pored svoje cifarskevrednosti i takozvanu mesnu vrednost xto nije nixta drugo do nekistepen osnove decimalnog sistema brojeva tj. broja 10 u zavisnosti odtoga koju poziciju posmatrana cifra zauzima u posmatranom decimalnombroju.

Kod binarnog sistema brojeva sve je sliqno kao kod decimalnog sis-tema brojeva s tom razlikom xto binarni sistem brojeva ima maǌi brojcifara.

Definicija 1.3 Sistem brojeva koji ima samo dve cifre 0 i 1 pa prematome qija je osnova ili baza jednaka dva je binarni sistem brojeva.

U tabeli 1.2 su uporedno prikazane cifre binarnog sistema brojeva,ǌihova imena i odgovaraju�e koliqine kuglica koje te cifre predstav-ǉaju. Zbog toga xto ih ima samo dve te cifre se nazivaju binarne cifreili bitovi.

2.1. Definicije razliqitih sistema brojeva 5

Cifra Ime cifre Koliqina kuglica0 nula1 jedan •

Tabela 1.2: Cifre binarnog sistema brojeva, ǌihova imena i odgo-varaju�e koliqine kuglica

Kao xto se vidi iz tabele 1.2 za cifre binarnog sistema brojevasu usvojeni simboli koji su isti kao simboli za prve dve cifre dec-imalnog sistema brojeva. Bilo je mogu�e usvojiti i neke druge, bilokoje, simbole, kao na primer slova A i B tako da bi A oznaqavalo prazanskup kuglica a B skup koji se sastoji od jedne kuglice. Dakle usvojenje princip da ako neki sistem brojeva ima maǌi broj cifara nego xtoje sluqaj kod decimalnog sistema brojeva onda se za cifre tog sistemabrojeva pozajmǉuju prve cifre iz decimalnog sistema brojeva odnosnokada sistem brojeva ima ve�i broj cifara nego xto je sluqaj kod deci-malnog sistema brojeva onda se pozajmǉuju sve cifre decimalnog sis-tema brojeva i nadopuǌuju do potrebnog broja prvim velikim slovimaabecede.

Sliqno kao kod decimalnog sistema brojeva, postavǉa se pitaǌe kako�e se u binarnom sistemu brojeva predstaviti ve�e koliqine kuglicaod one koja je predstavǉena cifrom 1. Npr. kako �e se predstavitikoliqina od dve kuglice. To se radi tako xto se uzme druga cifra izovog sistema brojeva a to je 1 i ǌoj se pridru�i prva cifra tako da sedobije 10. Dobijen je broj u binarnom sistemu brojeva koji predstavǉakoliqinu od dva elementa (dve kuglice) nekog skupa. Da bi se napravilarazlika izme�u ovog broja i broja deset iz decimalnog sistema brojeva,poxto su oni formalno identiqni, ovaj broj u binarnom sistemu bro-jeva se izgovara jedan nula. Koliqina od tri kuglice, a to je koliqinakoja ima jednu kuglicu vixe u odnosu na prethodno razmatranu, se ubinarnom sistemu brojeva predstavǉa tako xto se uzme druga cifra izbinarnog sistema brojeva a to je cifra 1 i ǌoj se pridru�i druga cifraiz binarnog sistema brojeva, dakle cifra 1, tako da se konaqno dobijebroj u binarnom sistemu brojeva 11 xto se izgovara jedan jedan a nejedanaest kao u decimalnom sistemu brojeva. Na ovaj naqin su iscr-pǉene sve mogu�nosti kombinovaǌa cifara binarnog sistema brojeva udvocifrene binarne brojeve. Koliqina kuglica ve�a za jednu kuglicuu odnosu na prethodno razmatranu koliqinu, u binarnom sistemu bro-jeva, se predstavǉa tako xto se drugoj cifri ovog sistema brojeva tj.jedinici pridru�i dva puta prva cifra ovog sistema brojeva tj. nulatako da se konaqno dobije binarni broj 100, xto se qita jedan nula nula,a ne sto kao u decimalnom sistemu brojeva.

Da bi se sa sigurnox�u znalo za neki broj da je binarni broj usvo-jeno je pisaǌe binarnih brojeva na slede�i naqin: binarni broj se staviu malu zagradu a u doǌem desnom uglu van zagrade na mestu doǌeg in-deksa se napixe osnova 2 binarnog sistema brojeva. Ovaj naqin pisaǌabinarnog broja se ilustruje u slede�em primeru.


Primer 1.2 (100)2. Oqigledno da je prikazani broj binarni broj jedan nula

nula.

Oktalni sistem brojeva ima tako�e maǌi broj cifara od decimalnogsistema brojeva.

Definicija 1.4 Sistem brojeva koji ima osam cifara pa prema tome qijaje osnova ili baza jednaka osam je oktalni sistem brojeva.

Prema ve� izlo�enom principu za cifre oktalnog sistema brojevausvaja se prvih osam cifara decimalnog sistema brojeva.

Heksadecimalni sistem brojeva ima ve�i broj cifara od decimalnogsistema brojeva.

Definicija 1.5 Sistem brojeva koji ima xesnaest cifara pa prema tomeqija je osnova ili baza jednaka xesnaest je heksadecimalni sistem bro-jeva.

Prema ve� izlo�enom principu za cifre heksadecimalnog sistemabrojeva usvajaju se sve cifre decimalnog sistema brojeva dopuǌene pr-vim velikim slovima abecede A, B, C, D, E i F.

Predstavǉaǌe razliqitih koliqina elemenata nekog skupa brojevimaoktalnog ili heksadecimalnog sistema brojeva je potpuno analogno pos-tupku koji je opisan za decimalne i binarne brojeve.

Tabela 1.3 prikazuje uporedno prvih xesnaest brojeva decimalnog,binarnog, oktalnog i heksadecimalnog sistema brojeva tj. u ǌoj se brojiu ova qetiri sistema brojeva do broja koji odgovara decimalnom broju15.

Po analogiji sa decimalnim brojevima uopxteni zapis vixecifrenograzlomǉenog broja osnove r je:

(anan−1 · · · a2a1a0, a−1a−2 · · · a−m)r . (1.2)

gde su aj, ∀j = −m, · · · , n neke cifre sistema brojeva osnove r. Dati brojizra�ava koliqinu koja je odre�ena sa:

an ·rn+an−1 ·r

n−1+ · · ·+a2 ·r2+a1 ·r

1+a0 ·r0+a

−1 ·r−1+ · · ·+a

−m ·r−m. (1.3)

Oqigledno, svaka cifra prikazanog broja ima i mesnu vrednost koja jeodgovaraju�i stepen osnove r.

1.2 Pretvaraǌa brojeva

Mogu�e je pretvaraǌe brojeva iz jednog sistema brojeva u drugi sistembrojeva, tj. ako imamo broj iz jednog sistema brojeva mogu�e je izvrxitipretvaraǌe u odgovaraju�i broj iz drugog sistema brojeva, tako da obabroja predstavǉaju istu koliqinu elemenata nekog skupa. Tako npr. jemogu�e pretvoriti broj iz binarnog sistema brojeva tj. binarni brojili iz oktalnog sistema brojeva tj. oktalni broj u broj iz decimalnogsistema brojeva tj. odgovaraju�i decimalni broj i obrnuto.

2.2. Pretvaraǌa brojeva 7

Decimalni Binarni Oktalni Heksadecimalni0 0000 0 01 0001 1 12 0010 2 23 0011 3 34 0100 4 45 0101 5 56 0110 6 67 0111 7 78 1000 10 89 1001 11 910 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F

Tabela 1.3: Uporedni prikaz prvih petnaest brojeva u decimalnom, bi-narnom, oktalnom i heksadecimalnom sistemu brojeva

1.2.1 Binarno decimalno i oktalno decimalno pret-varaǌe

Binarno decimalno i oktalno decimalno pretvaraǌe se vrlo jednostavnoizvodi i ono je odre�eno izrazom 1.3. Radi ilustracije postupka dajuse slede�i primeri.

Primer 1.3 (1010, 011)2

= 1 · 23 + 1 · 21 + 1 · 2−2 + 1 · 2−3 = (10, 375)10

.

Primer 1.4 (630, 4)8

= 6 · 82 + 3 · 81 + 4 · 8−1 = (408, 5)10

.

1.2.2 Decimalno binarno i decimalno oktalno pret-varaǌe

Decimalno binarno i decimalno oktalno pretvaraǌe, tj. pretvaraǌeposmatranog decimalnog broja u odgovaraju�i binarni ili oktalni broj,je nexto komplikovanije nego xto je bio prethodno opisani postupak,binarno decimalnog pretvaraǌa. Ovo pretvaraǌe je mnogo lakxe i jed-nostavnije kada se izvodi posebno za celobrojni deo i razlomǉeni deoposmatranog decimalnog broja. Ovo pretvaraǌe celobrojnog dela pos-matranog decimalnog broja se zasniva na uzastopnom deǉeǌu, osnovombinarnog sistema brojeva tj. brojem 2, najpre samog celobrojnog deladecimalnog broja koji se pretvara, a potom celobrojnih koliqnika kojisu nastali u prethodnom deǉeǌu, sve dotle dok koliqnik ne postanenula. Tra�eni binarni ekvivalent celobrojnog dela posmatranog deci-malnog broja se formira od ostataka koji su nastali prilikom nave-denih deǉeǌa, stim xto se ostaci re�aju u obrnutom redosledu u odnosu


na ǌihovo nastajaǌe i to sleva na desno, da bi se dobio tra�eni bina-rni broj.

Pretvaraǌe razlomǉenog dela posmatranog decimalnog broja se zas-niva na uzastopnom mno�eǌu, osnovom binarnog sistema brojeva tj. bro-jem 2, prvo samog razlomǉenog dela decimalnog broja koji se pretvara,a potom razlomǉenih delova proizvoda koji su nastali u prethodnommno�eǌu, sve dotle dok razlomǉeni deo proizvoda ne postane nula ilidok se ne postigne odre�ena taqnost. Tra�eni binarni ekvivalent raz-lomǉenog dela posmatranog decimalnog broja se formira od celobroj-nih delova proizvoda koji su nastali prilikom navedenih mno�eǌa,stim xto se oni re�aju u redosledu ǌihovog nastajaǌa i to sleva nadesno iza nule i zareza, da bi se dobio tra�eni razlomǉeni binarnibroj. Na kraju se od celobrojnog binarnog ekvivalenta i razlomǉenogbinarnog ekvivalenta formira odgovaraju�i kompletan binarni ekvi-valent.

Ovaj postupak �e se, radi lakxeg razumevaǌa procedure, ilustrovatislede�im primerom.

Primer 1.5 Potrebno je pretvoriti decimalni broj (41, 6875)10

u odgo-varaju�i binarni broj. Prvo se celobrojni deo zadatog decimalnog brojapretvara u odgovaraju�i celobrojni binarni ekvivalent. Prema opisanojproceduri, prvo se 41 deli sa osnovom binarnog sistema brojeva, tj. bro-jem 2, pri qemu se dobija celobrojni deo koliqnika 20 i ostatak 1. Sadase celobrojni deo koliqnika iz upravo obavǉenog deǉeǌa deli sa 2 i dobijacelobrojni deo koliqnika 10 i ostatak 0. Taj postupak deǉeǌa se nas-tavǉa sve dotle dok celobrojni deo koliqnika ne postane nula. Tra�enibinarni broj se formira od ostataka koji su nastali prilikom navedenihdeǉeǌa i to ostaci se re�aju sleva na desno, poqev od ostatka koji jenastao pri posledǌem deǉeǌu, uzimaju�i ih u suprotnom smeru u odnosuna redosled ǌihovog nastajaǌa. Navedena deǉeǌa, celobrojni koliqnicii ostaci tih deǉeǌa su prikazani u Tabeli 1.4. Tra�eni binarni ekvi-valent decimalnog broja (41)

10je (101001)

2. Zatim se 0, 6875 mno�i sa

Deǉeǌa sa 2, celobrojni koliqnici, ostaci41 : 2 = 20 + 1, a0 = 120 : 2 = 10 + 0, a1 = 010 : 2 = 5 + 0, a2 = 05 : 2 = 2 + 1, a3 = 12 : 2 = 1 + 0, a4 = 01 : 2 = 0 + 1, a5 = 1

Tabela 1.4: Pretvaraǌe decimalnog broja (41)10

u binarni ekvivalent

osnovom binarnog sistema brojeva, tj. brojem 2, pri qemu se dobija celo-brojni deo proizvoda 1 i razlomǉeni deo proizvoda 0, 3750. Sada se raz-lomǉeni deo proizvoda iz upravo obavǉenog mno�eǌa mno�i sa 2 i dobijacelobrojni deo proizvoda 0 i razlomǉeni deo proizvoda 0, 7500. Taj pos-tupak mno�eǌa se nastavǉa sve dotle dok razlomǉeni deo proizvoda ne

2.2. Pretvaraǌa brojeva 9

postane nula. Tra�eni binarni broj se formira od celobrojnih delova kojisu nastali prilikom navedenih mno�eǌa i to oni se re�aju sleva na desno,poqev od celobrojnog dela koji je nastao pri prvom mno�eǌu, uzimaju�i ihu redosledu ǌihovog nastajaǌa. Navedena mno�eǌa, celobrojni i razlom-ǉeni delovi tih proizvoda su prikazani u Tabeli 1.5. Tra�eni binarniekvivalent decimalnog broja (0, 6875)

10je (0, 1011)

2. Konaqno binarni broj

Mno�eǌa sa 2, celobrojni i razlomǉeni proizvodi0, 6875× 2 = 1 + 0, 3750, a

−1 = 10, 3750× 2 = 0 + 0, 7500, a

−2 = 00, 7500× 2 = 1 + 0, 5000, a

−3 = 10, 5000× 2 = 1 + 0, 0000, a

−4 = 1

Tabela 1.5: Pretvaraǌe decimalnog broja (0, 6875)10

u binarni ekviva-lent

koji odgovara decimalnom broju (41, 6875)10

je:

(41, 6875)10

= (a5a4a3a2a1a0, a−1a−2a−3a−4)2 = (101001, 1011)2. (1.4)

Primer 1.6 Potrebno je pretvoriti decimalni broj (153, 513)10

u odgo-varaju�i oktalni broj. Postupak je sliqan kao u primeru 1.5 s tom raz-likom xto se ovde deǉeǌe i mno�eǌe izvodi sa osnovom oktalnog sis-tema brojeva tj. sa brojem osam. Navedena deǉeǌa, celobrojni koliqnici iostaci kao i mno�eǌa, celobrojni i razlomǉeni proizvodi su prikazani utabeli 1.6. Konaqno, kompletan oktalni broj koji odgovara zadatom deci-

Deǉeǌe Mno�eǌeCeli deo Ostaci

153 0, 513× 8 = 4, 104 =⇒sa taqnox�u od19 1| 0, 104× 8 = 0, 832 od qetiri cifre2 3| 0, 832× 8 = 6, 656 (0, 4065)

8

0 2|↑ (231)8

0, 656× 8 = 5, 248

Tabela 1.6: Pretvaraǌe decimalnog broja (153, 513)10

u odgovaraju�ioktalni

malnom broju (153, 513)10

je:

(153, 513)10

= (231, 4065)8. (1.5)

Ovaj primer je ilustrativan utoliko xto prilikom pretvaraǌa razlom-ǉenog dela zadatog decimalnog broja nikada nemo�e da se dobije razlom-ǉeni deo proizvoda da je jednak nuli, ve� se mno�eǌe zaustavǉa kada sepostigne taqnost od unapred propisanog broja cifara razlomǉenog delatra�enog oktalnog broja.

Pretvaraǌe decimalnog broja u broj osnove r je potpuno analognoprikazanom postupku s tim xto se deǉeǌa i mno�eǌa izvode sa osnovomr sistema brojeva u koji se prevo�eǌe sprovodi.


1.2.3 Binarno oktalno (heksadecimalno) i oktalno(heksadecimalno) binarno pretvaraǌa

Poxto je 8 = 23, tj. osnova oktalnog sistema brojeva 8 je jednaka os-novi binarnog sistema brojeva stepenovanoj brojem tri i 16 = 24, tj. os-nova heksadecimalnog sistema brojeva 16 je jednaka osnovi binarnog sis-tema brojeva stepenovanoj brojem qetiri, svakoj cifri oktalnog odnosnoheksadecimalnog broja odgovaraju tri odnosno qetiri binarne cifre.Ova qiǌenica omogu�ava jednostavno binarno oktalno odnosno bina-rno heksadecimalno i obrnuto pretvaraǌe. Binarni broj se pretvara uodgovaraju�i oktalni odnosno heksadecimalni tako xto se levo i desnood binarnog zareza cifre grupixu u grupe od po tri odnosno qetiria potom se svakoj grupi pridru�uje, dodeǉuje odgovaraju�a cifra ok-talnog odnosno heksadecimalnog sistema brojeva. Obrnuti postupak sekoristi za suprotno pretvaraǌe tj. svakoj cifri oktalnog odnosno hek-sadecimalnog broja se pridru�uje, dodeǉuje trobitni odnosno qetvoro-bitni binarni ekvivalent. Izlo�eni postupak ilustruje primer bina-rno oktalnog i oktalno binarnog pretvaraǌa.

Primer 1.7 Potrebno je zadati binarni broj 10110001101011, 111100000110pretvoriti u odgovaraju�i oktalni broj i zadati oktalni broj 673, 124pretvoriti u odgovaraju�i binarni broj.

(

010︸︷︷︸

110︸︷︷︸

001︸︷︷︸

101︸︷︷︸

011︸︷︷︸

, 111︸︷︷︸

100︸︷︷︸

000︸︷︷︸

110︸︷︷︸

)

2

= (26153, 7406)8

2 6 1 5 3 7 4 0 6

(6 7 3 , 1 2 4)8

= (110111011, 001010100)2

︷︸︸︷

110︷︸︸︷

111︷︸︸︷

011︷︸︸︷

001︷︸︸︷

010︷︸︸︷

100

1.3 Aritmetika u sistemu brojeva osnove r

U sistemu brojeva osnove r qetiri aritmetiqke operacije sabiraǌe,oduzimaǌe, mno�eǌe i deǉeǌe se izvode na potpuno analogan naqin kaoxto se to qini u decimalnom sistemu brojeva. Ove raqunske operacijese pokazuju na primerima binarnih brojeva.

1.3.1 Sabiraǌe

Da bi bilo mogu�e izvoditi aritmetiqku operaciju sabiraǌa u binar-nom sistemu brojeva prvo se daju osnovni sluqajevi sabiraǌa u tomsistemu brojeva a to su: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 i1 + 1 + 1 = 11. Izvo�eǌe pomenute aritmetiqke operacije u binarnomsistemu brojeva se ilustruje slede�im primerom.

Primer 1.8 Pri izvo�eǌu aritmetiqke operacije sabiraǌa u binarnomsistemu brojeva, sliqno kao i u decimalnom sistemu brojeva, sabirci sepotpisuju jedan ispod drugog i sabiraǌe se vrxi po razredima idu�i s desna

2.3. Aritmetika u sistemu brojeva osnove r 11

u levo. Ako je zbir cifara pri sabiraǌu u nekom razredu jednocifreni bi-narni broj, tj. 0 ili 1, onda se taj zbir potpisuje taqno ispod cifararazreda u kome se sabiraǌe obavǉa. Ako je zbir cifara pri sabiraǌu u nekomrazredu dvocifreni binarni broj onda se desna cifra tog zbira potpisujetaqno ispod cifara razreda u kome se sabiraǌe izvodi a leva cifra koja jejedinica prenosi se u naredni razred, tj. tretira se kao jedan od sabirakau narednom vixem razredu.

Sabiraǌe101101 ← Sabirak

+ 100111 ← Sabirak1010100 ← Zbir

1.3.2 Oduzimaǌe

Da bi bilo mogu�e izvoditi aritmetiqku operaciju oduzimaǌa u binar-nom sistemu brojeva prvo se daju osnovni sluqajevi oduzimaǌa u tomsistemu brojeva, a to su: 0 − 0 = 0, 1 − 0 = 1, 1 − 1 = 0, 10 − 1 = 1.Izvo�eǌe pomenute aritmetiqke operacije u binarnom sistemu brojevase ilustruje slede�im primerom.

Primer 1.9 Pri izvo�eǌu aritmetiqke operacije oduzimaǌa, umaǌeniki umaǌilac se potpisuju jedan ispod drugog, sliqno kao kod decimalnog sis-tema brojeva. Oduzimaǌe se izvodi po razredima idu�i s desna u levo. Priizvo�eǌu oduzimaǌa u okviru jednog razreda mogu�e je da je cifra umaǌenikave�a ili jednaka cifri umaǌioca tako da se tada razlika potpisuje taqnoispod cifara tog razreda. Druga mogu�nost je da cifra umaǌenika budemaǌa od cifre umaǌioca i tada je neophodno da se iz prvog slede�eg vixegrazreda umaǌenika pozajmi jedinica tako da se praktiqno vrxi oduzimaǌecifre umaǌioca, a to je cifra 1, od binarnog broja 10. Pozajmǉena cifra1 iz narednog vixeg razreda se mora uzeti u obzir prilikom oduzimaǌa utom narednom razredu, tj. ta pozajmǉena cifra 1 �e imati ulogu jox jenogumaǌioca.

Oduzimaǌe101101 ← Umaǌenik

− 100111 ← Umaǌilac000110 ← Razlika

1.3.3 Mno�eǌe

Da bi bilo mogu�e izvoditi aritmetiqku operaciju mno�eǌa u bina-rnom sistemu brojeva prvo se daju osnovni sluqajevi mno�eǌa u tomsistemu brojeva, a to su: 0 × 0 = 0, 0 × 1 = 1, 1 × 0 = 1, 1 × 1 = 1.Izvo�eǌe pomenute aritmetiqke operacije u binarnom sistemu brojevase ilustruje slede�im primerom.

Primer 1.10 Pri izvo�eǌu aritmetiqke operacije mno�eǌa, svakom cif-rom mno�ioca, idu�i s desna u levo, mno�i se mno�enik i ti proizvodi


se potpisuju jedan ispod drugog. Pri tome, svaki naredni proizvod sepomera za jedno mesto ulevo u odosu na prethodni proizvod. Imaju�i u viduda su cifre mno�ioca 0 ili 1 to �e pomenuti proizvodi biti ili jednakimno�eniku ili �e biti vixecifreni binarni brojevi sa svim ciframanula kojih ima isto onoliko koliko ih ima mno�enik.

Mno�eǌe1011 ← Mno�enik

× 101 ← Mno�ilac1011

00001011110111 ← Proizvod

1.3.4 Deǉeǌe

Izvo�eǌe aritmetiqke operacije deǉeǌa u binarnom sistemu brojeva seilustruje slede�im primerom gde se pretpostavǉa da je deǉenik ve�iod delioca.

Primer 1.11 Pri izvo�eǌu aritmetiqke operacije deǉeǌa u binarnomsistemu brojeva, sliqno kao u decimalnom sistemu brojeva, ispituje sesadr�anost delioca u binarnom broju koji se dobija od deǉenika takoxto se uzima odre�en broj cifara deǉenika, idu�i s leva u desno. Kadse izna�e prvi takav broj, prva leva cifra koliqnika se dobija kao celo-brojni deo koliqnika tog broja i delioca. Sada se proizvod delioca iprve cifre koliqnika oduzima od onog dela deǉenika u kome je ispiti-vana sadr�anost delioca. Dobijenoj razlici se dodaje prva neiskorix-�ena cifra deǉenika, pa se druga cifra koliqnika dobija kao celobrojnideo koliqnika broja nastalog na upravo opisani naqin i delioca. Ovajpostupak se ponavǉa dok se ne iscrpi kompletan deǉenik.

Deǉeǌe

Deǉenik Delilac Koliqnik↓ ↓ ↓

1010 : 10 = 10110001000010

100000

1.4 Komplementi

Definicija 1.6 Ako je N je pozitivan broj osnove r qiji celobrojni deoima n cifara, onda je ǌegov r−komplement odre�en sa:

r − komplement =

{rn −N, N 6= 0

0, N = 0. (1.6)

2.4. Komplementi 13

Primer 1.12 10− komplement decimalnog broja (25, 639)10

je 102−25, 639 == 74, 361.

Formalizovan postupak za brzo dobijaǌe 10− komplementa decimalnogbroja je: idu�i s desna u levo prepisuju se sve cifre jednake nuli dokse ne nai�e na prvu cifru razliqitu od nule koja se oduzima od 10 asve naredne cifre se oduzimaju od 9.

Primer 1.13 2− komplement binarnog broja (101100)2

je 26 − 101100 == 1000000− 101100 = 010100.

Formalizovan postupak za brzo dobijaǌe 2− komplementa binarnogbroja je: idu�i s desna u levo prepisuju se sve cifre jednake nuli dokse ne nai�e na prvu cifru jednaku 1 koja se tako�e prepisuje a nadaǉeumesto svake nule pixe se jedinica i obrnuto.

Definicija 1.7 Ako je N pozitivan broj osnove r qiji celobrojni deo iman a razlomǉeni deo m cifara onda je ǌegov (r − 1)− komplement odre�ensa:

(r − 1)− komplement = rn − rm −N. (1.7)

Primer 1.14 9− komplement decimalnog broja (25, 639)10

je 102 − 10−3 −−25, 639 = 74, 360.

Formalizovan postupak za brzo dobijaǌe 9− komplementa decimalnogbroja je da se svaka ǌegova cifra oduzme od broja 9.

Primer 1.15 1− komplement binarnog broja (101100)2

je 26− 1− 101100 == 111111− 101100 = 010011.

Formalizovan postupak za brzo dobijaǌe 1− komplementa binarnogbroja je da se svaka ǌegova cifra koja je 0 zameni sa 1 i obrnuto svakaǌegova cifra koja je 1 zameni sa 0.

1.4.1 Oduzimaǌe pomo�u r-komplementa

Direktan postupak oduzimaǌa dvaju brojeva po sistemu pozajmǉivaǌacifre 1 iz vixeg razreda kada je u prethodnom razredu cifra umaǌenikamaǌa od cifre umaǌioca, nije pogodan za ostvarivaǌe u raqunaru.

Postupak oduzimaǌa dvaju pozitivnih brojeva M i N , (M −N), os-nove r pomo�u r− komplementa se sastoji u slede�em:

1. Sabere se umaǌenik M sa r− komplementom umaǌioca N.

2. Ispituje se postojaǌe cifre 1 za prenos posle sabiraǌa cifaranajvixeg razreda:

a) ako ona postoji, ona se odbacuje i ono xto ostane predstavǉatra�enu razliku.


b) ako ona ne postoji, tra�ena razlika je r− komplement dobijenesume sa znakom minus.

Primer 1.16 Primenom 2− komplementa odrediti razliku M −N celihpozitivnih binarnih brojeva M i N ako je:

a) M = 1010100, N = 1000100 :

10101002− komplement od N → +0111100

Cifra za prenos iz najvixeg razreda→ /1 0010000 ← odgovor

b) M = 1000100, N = 1010100 :

1000100+0101100 ← 2− komplement od N

Nema prenosa 1110000 ← odgovorOdgovor −10000 − (2− komplement od 1110000)

1.4.2 Oduzimaǌe pomo�u (r–1)-komplementa

Postupak oduzimaǌa dvaju pozitivnih brojeva M i N , (M −N), osnover pomo�u (r − 1)- komplementa se sastoji u slede�em:

1. Sabere se umaǌenik M sa (r − 1)- komplementom umaǌioca N.

2. Ispituje se postojaǌe cifre 1 za prenos posle sabiraǌa cifaranajvixeg razreda:

a) ako ona postoji, ona se sabira sa cifrom najni�eg razreda do-bijene sume i ono xto se dobije na kraju predstavǉa tra�enurazliku.

b) ako ona ne postoji, tra�ena razlika je (r − 1)- komplement do-bijene sume sa znakom minus.

Primer 1.17 Primenom 1− komplementa odrediti razliku M −N celihpozitivnih binarnih brojeva M i N ako je:

a) M = 1010100, N = 1000100 :

10101001− komplement od N → +0111011

Cifra za prenos iz najvixeg razreda→ 1 0010000↪→ +1

0010000 ← odgovor

b) M = 1000100, N = 1010100 :

1000100+0101100 ← 1− komplement od N

Nema prenosa 1101111 ← odgovorOdgovor −10000 − (1− komplement od 1101111)

2.5. Binarni kodovi 15

1.5 Binarni kodovi

Gotovo da nema nikoga ko nije quo ili nezna xta se podrazumeva podpojmom digitalni kompjuter ili kra�e kompjuter, pri qemu je navedenipojam nastao od engleskih reqi ”digit” xto znaqi cifra i ”computer”xto znaqi raqunar. Isti pojam na naxem jeziku je cifarski raqunarili kra�e samo raqunar, pri qemu se pod tim pojmom u danaxǌe vremeobiqno misli na personalni, tj liqni, raqunar koji pripada posled-ǌoj generaciji ovih raqunara. Pod raqunarom u prethodno navedenomsmislu podrazumeva se ure�aj koji automatski, prevashodno, izvrxavaaritmetiqke operacije tj. raquna. Otuda se u ǌegovom nazivu koristireq raqunar. Osnovna karakteristika ovog ure�aja je da se u ǌegovojunutraxǌosti iskǉuqivo prenose signali2 koji mogu da imaju samo dvevrednosti, dva nivoa. Fiziqka promenǉiva koja ima ulogu signala koddigitalnih raqunara je napon i taj napon u raqunaru mo�e da ima samodve vrednosti 0 V i 5 V. Poxto ih je samo dve one se matematiqki pret-stavǉaju binarnim ciframa tj. bitovima. Nizak nivo tj. 0 V se pred-stavǉa binarnom nulom a visok nivo tj. 5 V se predstavǉa binarnomjedinicom. Sledi da se kroz raqunar u svojstvu signala jedino prenosebitovi, tj. binarne cifre, pa se otuda u nazivu ovog ure�aja koristireq cifarski ili digitalni. Prethodno opisani naqin prenosa sig-nala je karakteristiqan i za bilo koji drugi ure�aj digitalnog tipa,tj. digitalni ure�aj je xiri pojam od digitalnog raqunara, tako daje digitalni raqunar ure�aj koji pripada grupaciji digitalnih ure-�aja. Izumiteǉi digitalnog raqunara su se odluqili za ovakav prenossignala kroz raqunar iz qisto praktiqnih razloga jer je mnogo jedno-stavnije raqunar napraviti od elemenata koji imaju samo dva stabilnastaǌa, koja imaju za posledicu samo dve vrednosti fiziqke promenǉive,nego od elemenata koji imaju vixe stabilnih staǌa. Kao xto je dobropoznato, raqunar operixe ne samo sa binarnim brojevima ve� i sa deci-malnim brojevima, slovima, specijalnim znacima i sl. Imaju�i u viduqiǌenicu da raqunar prenosi samo signale koji su u suxtini nule ijedinice, da bi raqunar primio, prenosio i obra�ivao informaciju odecimalnim brojevima, slovima i specijalnim znacima, neophodno je daoni budu iskazani, tj. kodirani, pomo�u binarnih cifara 0 i 1, tj.bitova. Postavǉa se pitaǌe, koliko ure�eni skup nula i jedinica morada sadr�i bitova pa da se pomo�u ǌega mo�e kodirati odre�eni brojrazliqitih elemenata. Tako, pomo�u ure�enog skupa nula i jedinica odn bitova, mogu�e je kodirati 2n razliqitih elemenata, zbog toga xtose skup od n bitova mo�e urediti na 2n razliqitih naqina. Ovde �ebiti izlo�eni kodovi pomo�u kojih se kodiraju decimalni brojevi, tosu takozvani BCD kodovi, xto je skra�enica od engleskog naziva za bi-narni kod decimalnih cifara. Imaju�i u vidu da decimalnih cifaraima ukupno deset, BCD kod mora da bude najmaǌe qetvorobitni, jer skupod tri bita mo�e da se uredi na 23 = 8 razliqitih naqina xto je ne-

2Pod signalom se podrazumeva fiziqka promenǉiva koja je nosilac odre�ene in-formacije


dovoǉno za kodiraǌe deset decimalnih cifara, tj. trobitni binarnikod je nedovoǉan za kodiraǌe decimalnih cifara. S druge strane, skupod qetiri bita mo�e da se uredi na 24 = 16 razliqitih naqina xtoznaqi da prilikom qetvorobitnog kodiraǌa decimalnih cifara ostajui neiskorix�eni skupovi. Ovo daje mogu�nost da postoji vixe razliqi-tih BCD kodova u zavisnosti od toga za kojih deset ure�enih skupova,izme�u xesnaest postoje�ih, se neko opredeli. Najpoznatiji od svihBCD kodova je 8421 BCD kod. Postoje kodovi koji slu�e za otkrivaǌegrexaka koje nastaju prilikom prenosa vixecifrene binarne informa-cije kroz kanal veze. Kod koji za dva uzastopna diskretna elementa in-formacija koja se kodiraju ima osobinu da se samo na jednoj poziciji ǌe-gove cifre razlikuju je Grejov ili Refleksivni kod. Kodovi koji slu�eistovremeno za kodiraǌe decimalnih cifara, slova engleskog alfabetai specijalnih znakova se nazivaju alfanumeriqki kodovi. Za sluqaj dase pri kodiraǌu slova nekim ovakvim kodom ne pravi razlika izme�uvelikih i malih slova ukupan broj elemenata (cifre decimalnog sis-tema brojeva+slova engleskog alfabeta+specijalni znaci) koje trebakodirati je 47 tako da alfanumeriqki kod mora da bude najmaǌe xesto-bitni, 25 < 47 < 26. U sluqaju pravǉeǌa razlike izme�u velikih imalih slova ukupan broj znakova koje treba kodirati se jox pove�avatako da u tom sluqaju alfanumeriqki kod mora da bude sedmobitni iliosmobitni. Ovde �e biti izlo�eni primeri xestobitnog, sedmobitnogi osmobitnog alfanumeriqkog koda a to su: Interni, ASCII i EBCDICalfanumeriqki kod.

1.5.1 Direktni binarni kod

Pod direktnim binarnim kodom decimalnih brojeva podrazumeva se ek-vivalentan binarni broj, koji se dobija na ranije opisani naqin, kadase zadati decimalni broj koji treba kodirati u direktnom binarnomkodu pretvori u odgovaraju�i binarni broj.

1.5.2 BCD kodovi

Najpoznatiji BCD kodovi su prikazani u tabeli 1.7.Iz tabele se vidi da je, zakǉuqno sa decimalnom cifrom 9, direktni

binarni kod jednak 8421 BCD kodu. Po tome je ovaj BCD kod i dobio ime8421 BCD kod, jer direktni binarni kod, kao xto se zna, ima karakter-istiku da ǌegove cifre imaju pored cifarske vrednosti i mesnu vred-nost. 8, 4, 2, 1 su mesne vrednosti, tj. takozvane te�ine, cifara ovogqetvorobitnog koda, idu�i s leva u desno. Zbog toga ovaj kod pripadatakozvanim te�inskim kodovima. Bez obzira xto BCD kodova ima jakopuno, kad se ka�e BCD kod onda se misli na 8421 BCD kod. Za decimalnebrojeve ve�e nego xto je cifra 9 direktni binarni kod se razlikuje od8421 BCD koda. Postupak je takav da se svaka cifra decimalnog brojazameni sa qetvorobitnim 8421 BCD kodom. Ovo je ilustrovano slede�imprimerom.


Decimalne 8421 +3 84-2-1 2421 5043210cifre BCD kod kod kod kod kod

0 0000 0011 0000 0000 01000011 0001 0100 0111 0001 01000102 0010 0101 0110 0010 01001003 0011 0110 0101 0011 01010004 0100 0111 0100 0100 01100005 0101 1000 1011 1011 10000016 0110 1001 1010 1100 10000107 0111 1010 1001 1101 10001008 1000 1011 1000 1110 10010009 1001 1100 1111 1111 1010000

Tabela 1.7: BCD kodovi

Primer 1.18 Decimalni broj 98 kodirati direktnim binarnim kodom i8421 BCD kodom. Rexeǌe je prikazano u tabeli 1.8.

Decimalni broj Direktni binarni kod 8421 BCD kod98 1100010 1001 1000

Tabela 1.8: Direktni binarni i 8421 BCD kod decimalnog broja 98

+3 BCD kod dobija se tako xto se svakoj decimalnoj cifri koja sekodira pre kodiraǌa doda broj 3, a onda se dobijeni rezultat pretvoriu odgovaraju�i binarni broj, tj. direktni binarni kod. Jedino ovajkod od svih BCD kodova prikazanih u tabeli 1.8 ne pripada te�inskimkodovima.

Za decimalne brojeve ve�e od 9 postupak izra�avaǌa u +3 kodu jetakav da se svaka cifra zameni sa qetvorobitnim +3 kodom. Ovo jeilustrovano slede�im primerom.

Primer 1.19 Decimalni broj 98 kodirati +3 kodom. Rexeǌe je prikazanou slede�oj tabeli:

Decimalni broj +3 kod98 1100 1011

Tabela 1.9: +3 kod decimalnog broja 98

Vixecifreni decimalni brojevi se kodiraju po sliqnom principu ipomo�u ostalih BCD kodova koji su dati u tabeli 1.7.


1.5.3 Kod za otkrivaǌe grexke

Pri prenosu binarno kodirane informacije kroz kanal veze mo�e do�ido grexke zbog dejstva poreme�aja. Korix�eǌem koda za otkrivaǌegrexke omogu�ava se lako otkrivaǌe i uoqavaǌe grexke ali uoqenagrexka ne mo�e da se otkloni. Ovaj kod ima jedan dodatni bit s ciǉemda se ukupan broj jedinica koje su sadr�ane u kodu uqini ili parnimili neparnim. Taj dodatni bit se stvara u predajniku i to na osnovuglavne binarne informacije koja se prenosi kroz kanal veze a u prijem-niku se vrxi provera ukupnog broja jedinica u kodu i upore�uje sa onimkoji je oqekivan.

Na ovaj naqin je mogu�e uoqavaǌe samo neparnog broja grexaka. Usluqaju uqestalih grexaka neophodno je intervenisati u smislu otkri-vaǌa uzroka nastajaǌa grexaka i otklaǌaǌa tog uzroka.

1.5.4 Grejov (Refleksivni) kod

Grejov kod ima osobinu da se za dva uzastopna decimalna broja koji sekodiraju razlikuje samo na jednom mestu u jednoj cifri. Kao primerdaje se jedan od vixe mogu�ih Grejovih qetvorobitnih kodova koji jeprikazan u tabeli 1.10.

Decimalni broj Grejov kod0 00001 00012 00113 00104 01105 01116 01017 01008 11009 110110 111111 111012 101013 101114 100115 1000

Tabela 1.10: Primer qetvorobitnog Grejovog koda

Proverom u tabeli 1.10 se lako utvr�uje da je prikazani Grejov kodza svaka dva uzastopna decimalna broja razliqit samo na jednoj pozicijia da su im cifre na svim ostalim pozicijama jednake. Mogu�i su idrukqiji Grejovi kodovi od prikazanog, dovoǉno je samo da je zastupǉenanavedena osobina i da je to jedan od mnoxtva Grejovih kodova.


1.5.5 Alfanumeriqki kodovi

Xestobitni Interni alfanumeriqki kod je dat u tabeli 1.11.

Znak Kod Znak Kod Znak Kod Znak KodA 010 001 M 100 100 Y 111 000 110 000B 010 010 N 100 101 Z 111 001 • 011 011C 010 011 O 100 110 0 000 000 ( 111 100D 010 100 P 100 111 1 000 001 + 010 000E 010 101 Q 101 000 2 000 010 $ 101 011F 010 110 R 101 001 3 000 011 * 101 100G 010 111 S 110 010 4 000 100 ) 011 100H 011 000 T 110 011 5 000 101 - 100 000I 011 001 U 110 100 6 000 110 / 110 001J 100 001 V 110 101 7 000 111 , 111 011K 100 010 W 110 110 8 001 000 = 001 011L 100 011 X 110 111 9 001 001

Tabela 1.11: Interni alfanumeriqki kod

ASCII alfanumeriqki kod je dat u tabeli 1.12. Ovaj kod je od izuzetneva�nosti, xto potvr�uje ǌegovo qesto pomiǌaǌe i korix�eǌe u praksi,u vezi sa primenama vezanim za personalne digitalne raqunare. ǋegovnaziv je skra�enica od originalnog punog naziva na engleskom jezikuAmerican Standard Code for Information Interchange xto znaqi ameriqkistandardni kod za razmenu informacija.


Tabela 1.12: ASCII alfanumeriqki kod

Osmobitni EBCDIC alfanumeriqki kod je prikazan u tabeli 1.13.Ovaj naziv je skra�enica od punog originalnog naziva na engleskomjeziku Extended BCD Interchange code xto znaqi proxireni BCD kod zarazmenu.



Tabela 1.13: EBCDIC alfanumeriqki kod

Documents

Digitalni sistemi - Катедра за ...au.mas.bg.ac.rs/cms_upload/fakultet/fajlovi/66_lekcija1.pdf · SADR AJ vii 6 Sinhrona sekvencijalna logiqka kola 117 6.1 Koncept i osnovne