Dinamika Tla Kvasnicka Predrag

5/23/2018 Dinamika Tla Kvasnicka Predrag

1/17

1

1 Titranje sustava s jednim stupnjem slobode, SDOF-a

1. 1 Harmonijsko gibanje

Harmonijsko (sinusoidalno ili kosinusiodalno), gibanje je najjednostavniji oblik titranja (iliosciliranja). Matematiki se moe prikazati funkcijom, sl. 1.1-1.

)sin()( = tAtz .

sin t

z

t

veliine koje opisuju harmonijsko gibanje ( x = t )

A

/

2A

= 2/

t

z = sin(t-)

Slika 1.1-1 Veliine koje opisuju harmonijsko gibanje.

Pri valnim pojavama elementi vala izvode titranja. Stoga emo u poetku razmotriti razneoblike titranja i njihova svojstva.

Ako s )(t oznaimo otklon od ravnotee, jednostavnim harmonijskim titranjem, ovaj put sfunkcijom kosinus:

)cos()( += tAt , (1.1-1)gdje su:A amplituda titranja, kruna frekvencija, a fazni kut titranja. Jasno je da

A odreuje maksimalni otklon; je kutna brzina rotacije vektora ija je projekcija nakoordinatnu os )(t , a je povezan s vremenskim pomakom titranja u odnosu naelementarnu kosinusnu ovisnost poloaja objekta o vremenu (na pr. izbor vrijednosti

))0( =t . Treba uoiti da smo jednako tako mogli krenuti od funkcije sinus. Ovaj se oblikpojavljuje periodiki (t.j. isti poloaji se ponavljaju nakon vremena T). Period T sejednostavno vidi iz zahtjeva:

)()( tTt =+ to povlai: [ ] )cos()(cos +=++ tATtA ili 2=T t.j.

ffT 1

222 ===

, gdje jefobina frekvencija titranja. (1.1-2)

Na temelju Newtonovog zakona (vidi u nastavku) i dvostrukim deriviranjem izraza (1.1-1) povremenu, dobivamo:

02 =+ && (1.1-3)

Ovo je generalni oblik diferencijalne jednadbe jednostavnog harmonijskog titranja. Unastavku poglavlja vidjet emo primjere razliitih vrsta takvog titranja.

Generalno emo vidjeti na primjerima koji slijede da vrijedi:

2 =))(( pomaktromost

silaPovratna ilimk . (1.1-4)


2/17

2

Osciliranje predstavlja vrstu gibanja ili promjenu fizikog procesa koji se odlikuje odreenimstupnjem ponavljanja. Ovisno od karakteru djelovanja na oscilatorni sistem razlikujemo:

slobodno titranje,prigueno titranje iprisilno titranje.

Titranja kod kojih se veliina koja oscilira mijenja po zakonu sinusa ili kosinusa u funkcijivremena nazivaju se harmonina titranja (oscilacije).

1.2 SDOF i slobodno titranje bez priguenja

Harmonijske oscilacije

Najjednostavniji harmonijski oscilator je prikazan na slici 1.2-1. Oscilator je sustav koji sesastoji od mase, m, to visi na elastinoj opruzi i koja se, zbog djelovanja sile tee, prognulaza veliinu 0a . Masa se moe gibati samo u jednom smjeru i ne moe rotirati, pa taj sustav

zovemo sustav s jednim stupnjem slobode, engl.: single-degree-of-freedom-system, ilikrae: SDOF. U stanju ravnotee sila, silu teine mg uravnoteuje elastina sila (Hookeov

zakon):0ak tj. 0akmg = . (1.2-1)

Ako povuemo masu iz ravnotenog poloaja u smjerux(primjerice, rukom), na nju e poetidjelovati (dodatna) sila u opruzi, koja je proporcionalna otklonu od ravnotenog stanja, za

pomakx. Uzimajui u obzir uvjet ravnotee dobivamo)( 0axkmgF += => kxF = . (1.2-2)

SilaF ima osobine:proporcionalna je pomaku kuglice iz poloaja ravnotee iuvijek je usmjerena prema poloaju ravnotee.

Sila koja vraa tijelo u ravnoteni poloaj zove sepovratna sila. Jednadbu ije e rjeenje

biti periodika funkcija titranja materijalne toke moemo nai na dva naina:(1)Prema drugom Njutnovom aksiomu, sila F se moe prikazati kao produkt mase i

akceleracije:

kxxm =..

, a prema (1.2-3)

(2)D'Alembertovom principu, moemo uspostaviti dinamiku ravnoteu izmeu sile uopruzi i sile inercije, koja djeluje na masu suprotno od sile u opruzi:

0..

=+ kxxm . (1.2-4)I (1) i (2) se mogu svesti na:

0..

=+ xm

kx , (1.2-5)

sin t

x

t

jednostavni oscilator

Vektorska prezentacijaharmonijskog gibanja

A

x

a0je statiki progib

a0

Slika 1.2-1 Jednostavni oscilator (SDOF) i veliine koje opisuju harmonijsko gibanje.


3/17

3

Ako uvrstimo da jem

kn= - kruna frekvencija svojstvenih titranja ili slobodnih titranja

(za razliku od prisilnih titranja) dobivamo diferencijalnu jednadbu:

022

2

=+ xdt

xdn , (1.2-6)

u kojoj je nepoznanica pomak (x) u vremenu t. Kako je ve reeno, ovu jednadbuzadovoljavanju periodike funkcijesinili cos, pa moemo napisati da je, primjerice:

)sin( += tAx funkcija, rjeenje za harmonijsko titranje.za koju vrijedi da je:

- A amplituda titranja, veliina koja se odreuje iz poetnih uvjeta,- )( +t faza titranja, u kojoj je konstanta- poetni fazni kut titranja ( se odreuje iz poetnih uvjeta),

-

2=T , period titranja, a

- kruna frekvencija tj. broj oscilacija za 2 sekundi [rad/s] (iskazuje se uradijanima u sekundi).

-T

f1

= . frekvencija, broj titraja u sekundi u [Hz]. Veza izmeufi : f2= .

Brzina titranja se dobije deriviranjem puta xpo vremenu t(zbog jednostavnosti, pretpostavitemo da je 0= ):

)2/sin()cos( +=== tAtAdt

dxv , a (1.2-7)

ubrzanje (akceleracija) je

)sin()sin( 222

2 +=== tAtA

dtxda . (1.2-8)

Kako se vidi, pomak i akceleracija se nalaze u suprotnim fazama. Meusobni odnosi: pomaka,brzine i ubrzanja, mogu se prikazati i vektorski, sl. 1.2-2.

z

vektorski prikaz harmonijske promjene: pomaka, brzine i akceleracije (x = t)

0 2 4 6 8 101 3 5 7 9

22

A

t= 2

t

z''= 2Asin(t+)

2A

A

A

z'= sin(t+/2)

z =sin t

Slika 1.2-2 Vektorski prikaz harmonijske promjene: pomaka, brzine i ubrzanja.

Za zadanu 0 , iz poetnih uvjeta odreujemoAi . Poetni uvjeti su:


4/17

4

0)0( xtx == i 0vdt

dxv == ,

iz ega se odrede nepoznate vrijednosti amplitude oscilacija,A, i poetni fazni kut titranja, :

20

202

0

vxA += i (1.2-9)

0

0

x

vtg

= . (1.2-10)

Treba naglasiti da se stvarno gibanje ne dogaa po sinusoidi, ve po jednoj vertikalnoj

duini. Gibanje je nejednoliko, maksimalno pri prolazu kroz ravnoteni poloaj, a najsporije

do v=0 na najvioj i najnioj toki. Sinusoida je samo pomoni prikaz gibanja u vremenu,

primjerice, kad bi titranje mase ostavljalo trag na pozadini koja se mie konstantnom

brzinom.

Energija harmonijskog titranja

Masa u sustavu u kojem djeluje kvazielastina sila, pri pomicanju iz poloaja ravnotee naudaljenostx dobiva potencijalnu energiju:

2

2kxEp= za masu m, a to je potencijalna energija za polje sile kxF = .

Kvazielastina sila je tzv. konzervativna sila, pa je ukupna energija harmonijskog titranjakonstantna. Maksimalna potencijalna energija odgovara najveem otklonu mase odravnotenog poloaja (u tom je poloaju kinetika energija jednaka nuli):

2)(

2

max

kAEp = , (

2mk= ). (1.2-11)

U momentu prolaska kroz ravnoteni poloaj sistem ima maksimalnu brzinu, to znai imaksimalnu kinetiku energiju (u tom je poloaju potencijalna energija jednaka nuli):

22)(

222max

max

mAmvEk == , pa je (1.2-12)

.22

222

constmAkA

EEE kp =+=+=

(1.2-13)

ukupna energija harmonijskog titranja, koja je konstantna.

Koliina gibanja harmonijskog oscilatora

Harmonijski oscilator je sustav u kojem masa harmonijski titra oko poloaja ravnotee:)cos( += tAx , a veliina )sin( +== tmAmvp je koliina gibanja harmonijskog

oscilatora. Kvadriranjem i zbrajanjem posljednje dvije jednadbe dobije se:

1222

2

2

2

=+Am

p

A

x, (1.2-14)

to je jednadba elipse po veliinama pomakax, i koliine gibanja,p.Ukupna energija harmonijskog oscilatora je proporcionalna povrini elipse, pri emu jekoeficijent proporcionalnosti vlastita frekvencija oscilatora:

=== pdxfmAfSfE 2 . (1.2-15)


5/17

5

Matematiko njihalo

Matematiko njihalo sastoji se od tokaste mase m objeene na nerastezljivu vrlo laganu nitduine l, sl. 1.2-4. Ono titra harmonijski samo za male amplitude, tj. dok je sin , tj. zakutove do 15. (Za vee je amplitude period njihala funkcija amplitude.) Kod njihala, za

razliku od sile u opruzi, k.

x (koja je to vea to je vei otklon od x =0), pokretna sila jekomponenta teine u smjeru gibanja, a ta je mgmgF == sin . Toj sili moemosuprotstaviti tangencijalnu silu koju odreuje obodna akceleracija jednaka

2

2

dt

dl

dt

dlat

== . (1.2-16)

Budui da je gibanje kruno, oko objesita njihala moe se postaviti i uvjet jednakostimomenata (krak momenta je l), pa je jednadba gibanja njihala:

02

22 =+

mgl

dt

dml => (1.2-17)

02

2

=+

l

g

dt

d, (1.2-18)

i predstavlja jednadbu harmonijskog titranja. Rjeenje gornje jednadbe je:

)sin(0 += t , uzl

g= , a

g

lT 2= je periodnjihala za male amplitude.

Slika 1.2-4. Matematiko i torzijsko njihalo.

Torzijsko njihalo

Kao i kod matematikog njihala, kod torzijskog imamo rotaciju oko osi (sl. 1.2-4.), pa traimouvjet ravnotee momenata:

=== kIdt

dLM && , (1.2-19)

gdje jeMmoment sile,Lje kutna koliina gibanja,Ije moment inercije,je kut zaokreta pritorziji, a k je konstanta proporcionalnosti izmeu momenta sile i kuta zaokreta, tj. torzijska

konstanta opruge u [kNm/rad]. U skladu s ranijim primjerima, za rotacijski stupanj slobodedobivamo:

I

kjegdje ==+ 202

0 0&& . (1.2-20)


6/17

6

1.3 SDOF slobodno titranje s priguenjem

Priguene su one oscilacije kod kojih dolazi do gubitaka energije i prestanka titranja elastineopruge nakon odreenog vremena. Kod realnih opruga to je posljedica trenja u sustavu.

Najjednostavniji model priguenja je sila,Fv, koja je proporcionalna brzini pomaka, ac je koeficijent priguenja.

Takvo je priguenje najblie sluaju kada neko tijelo prolazi kroz fluid, pa ga jozovemo i viskoznim priguenjem. Sila priguenja je, dakle:

dt

dxcFv= (1.3-1)

Jednadba gibanja za priguene oscilacije, dakle glasi:

02

2

=++ kxdt

dxc

dt

xdm , dijeljenjem s m=> (1.3-2)

02 202

2

=++ xdt

dx

dt

xd , gdje je (1.3-3)

m

c

2= i nazivamo gafaktorom priguenja,a

m

k=0 vlastita frekvencija nepriguenog oscilatora.

Rjeenje prethodne jednadbe definira se u obliku:

)sin()exp()( += ttAtx , tj. )sin()( += tAetx t , gdje je 220 = kruna

frekvencija priguenih oscilacija. Ovaj izraz moemo napisati i na sljedei nain:

)1()4(4

14

220

222

2Dckm

mmc

mk === . (1.3-4)

Uvjet da izraz pod korijenom ima realna rjeenja je da je c2> 4km. Razlikujemo tri sluaja, sl.1.3-1:

1) c2 > 4km, izraz pod korijenom nema realna rjeenja, gibanje je neperiodiko ipriguuje se s vremenom,

2) c2= 4km, izraz pod korijenom je jednak nuli (=0), gibanje je neperiodiko, s time dapomak prolazi kroz ravnoteno stanje i priguuje se s vremenom; kaemo da je to

sluaj kritinog priguenja, pa coznaavamo kao cc, gdje je kmcc 2= . Na temeljutoga definiramo i indeks priguenja,D:

cc

cD= . (1.3-5)

3) c2< 4km, izraz pod korijenom je vei od nule, gibanje je periodiko i priguuje se s

vremenom. 20 1 Dd = .Iz praktikih razloga (jer se u pokusima moe mjeriti) je odnos izmeu amplituda dvasukcesivna vala (valova koji idu jedan za drugim):

=

22

1

1

2exp

D

D

x

x , koji jo nazivamo i logaritamski dekrement=> (1.3-6)

22

1

1

2

ln D

D

x

x

=

, iz ega se moe odrediti indeks priguenja,D. (1.3-7)


7/17

7

Slika 1.3-1 Tri sluaja odnosa vrijednosti c2i 4km.

Brzina priguenih oscilacija je:

)cos()sin()( +++== teAteAdt

dxtv tt (1.3-8)

Ubrzanje priguenih oscilacija je:

)sin()cos(2)sin()( 222

2

+++== teAteAteAdt

xdta ttt . (1.3-9)

Amplituda tAe opada eksponencijalno s vremenom; to je faktor priguenja vei, to iamplituda bre opada.


8/17

8

1.4 SDOF - prisilno titranje i rezonancija

1.4.1 Prisilno titranje sa silom konstantne amplitude, neprigueno

Prisilno titranje nastaje kada na sustav djeluje vanjska periodina sila s frekvencijom prisilnog

optereenja, : tQ sin0 .Kada se priblii vlastitoj frekvenciji sustava n , dolazi do tzv. rezonancije, tj. titranja s

beskonanim amplitudama (ako nema priguenja).

tQkxdt

xdm sin02

2

=+ (1.4-1)

Rjeenje ove jednadbe ukljuuje: rjeenje za slobodne vibracije i rjeenje koje zadovoljavadesnu stranu jednadbe (partikularno rjeenje). Da se dobije fizikalni osjeaj, partikularnorjeenje odredit e se pomou koncepta rotirajuih vektora. Kako je pobudna silaharmonijskog oblika, razumno je predvidjeti da e i sila opruge i inercijalna sila bitiharmonijskog oblika, pa e i gibanje SDOF-a zadovoljiti izraz u obliku harmonijske funkcije:

)sin()( tAtx = . Gibanje i sile su prikazani na sl. 1.4-1. Sila u opruzi djeluje suprotno od

pomaka, a sila inercije suprotno od akceleracije: )sin()( 2..

+= tAtx .

A().sin ( t)

2A()

Vektori gibanjaVektori sila

A()

m2A()

kA()

AQ0

.sin (t)

Q0

priguenje, c =0k

Slika 1.4-1 SDOF - prisilno titranje bez priguenja, vektori i gibanja i vektori sila.

Vektor pobudne sile, amplitude Q0, djeluje u fazi i smjeru vektora pomaka. Ako postavimouvjet ravnotee, dobit emo:

020 =+ kAAmQ , pa se za amplitudu gibanja dobije: (1.4-2)

2

0

20

1

=

=

n

k

Q

mk

QA

. (1.4-3)

Izraz za cjelovito rjeenje diferencijalne jednadbe glasi:

tCtCtk

Q

x nn

n

cossinsin

1

212

0

++

= . (1.4-4)


9/17

9

U realnom sustavu, druga dva lana e s vremenom brzo utihnuti. Razlog tomu je tzv.geometrijsko ili radijalno priguenje. Sustav se umiruje jer se energija valova, koji segeneriraju od vlastitih titranja, zraenjem (radijacijom) prenosi (odvodi) prema periferiji. (Ogeometrijskom priguenju bit e vie govora u poglavlju o dinamiki optereenim temeljima.)SDOF ostaje titrati u tzv. stacionarnom reimu:

tkQ

x

n

sin

12

0

= . (1.4-5)

Analizom gornje jednadbe, vidi se da kad je < n , amplituda gibanja,A, je pozitivna, a za

> n ,Aje negativna. Ipak, uzimanjem u obzir da je )sin()sin( = tAtA , amplituda

gibanja se moe uvijek smatrati pozitivnom ako, izmeu sile i pomaka, uvedemo fazni kut ,

i to = , za > n . Ako amplitudu,A, podijelimo sa kvocijentom amplitude statike sile,Q0i konstante opruge, k, dobijemo dinamiki magnifikacijski faktorili dinamiki faktor:

20

1

1

==

nk

Q

AA

. (1.4-6)

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

f / fn

0.1

1

10

Amplitudemagnifica

tionfactorM

koefijent priguenja:D = c/cc= 0

f / fn=1,0 rezonancijainercijalna sila i sila u opruzi suu ravnotei, pobudna silapoveava amplitudu pomaka

A----> beskonanost

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

f / fn

f < fn... pomak je u fazi s

pobudnom silom Q0.sint.

Q0.sint suprotna sili u opruzi

f > fn... pomak kasni za =

za pobudnom silom, Q0.sint.

Q0.sint je suprotna sili inercije

Slika 1.4-2 SDOF - prisilno titranje bez priguenja, promjena amplitude i fazni kut, .

Dinamiki faktor, M, za neprigueni SDOF je prikazan na sl. 1.4-2, zajedno s faznim kutom

izmeu sile i pomaka.Mpostaje beskonaan,M = , za = n jer nema priguenja.


10/17

10

Vano je primijetiti da je, za < n , pobudna sila u fazi s pomakom, a suprotna je sili u

opruzi. Za > n pobudna sila je za = ispred pomaka, a suprotno od sile inercije. Kad je

= n , inercijalna sila i sila u opruzi su u ravnotei (k= m2

n ), pa pobudna sila poveava

amplitudu gibanja u beskonanost.

1.4.2 Prisilno titranje sa silom konstantne amplitude, prigueno

S pojavom vanjske periodine sile, jednadba gibanja prisilnog harmoninog oscilatora glasi:

tQkxdt

dxc

dt

xdm sin02

2

=++ , pa je (1.4-7)

+= tQdt

dxckx

dt

xdm sin02

2

(1.4-8)

tAtm

Q

xxx sinsin2 002

0 ==++ &&&

, (1.4-9)gdje je 0A amplituda akcleracije vanjskog oscilatora.

Rjeenje prethodne jednadbe se pretpostavlja u obliku:)sin()()( = tAtx , (1.4-10)

gdje je fazni pomak titranja vanjskog oscilatora. Na temelju dijagrama gibanja na slici 1.4-3, moe se odrediti raspored vektora sila: pobudna sila Qbit e za ispred vektora pomaka,

x.

A().sin ( t- )

2A()

Vektori gibanja Vektori sila

A()

A()

m2

A()

kA()

cA()

Q0

.sin (t)

Q0

k c

Slika 1.4-3 Vektorski prikaz prisilnih harmonijskih titraja s priguenjem.

S obzirom da je sila priguenja )(Ac za 2 pomaknuta u odnosu i na silu u opruzi, kA, i

na inercijalnu silu )(2 Am , vidi se da je nuno da sila Qima fazni pomak (kut ), jer seinae ne bi mogla uspostaviti ravnotea sila. Iz uvjeta ravnotee sila za vertikalni ihorizontalni smjer, dobijemo sustav jednadbi:

0cos02 = QAmkA (1.4-11)

0sin0 = QAc .


11/17

11

U ovim su jednadbama nepoznanice amplituda i fazni pomak. Rjeavanjem sustavajednadbi dobije se da je amplituda prisilnog osciliranja:

( )2222

0)(

cmk

QA

+

= , ili (1.4-12)

( ) 222220

0

4)(

+=

AA , (1.4-13)

a kut faznog pomaka je:

2

=mk

ctg , ili (1.4-14)

220

2

=tg . (1.4-15)

Uz uvoenja indeksa priguenja,cc

cD= , definiramo tzv. dinamiki faktor poveanja

amplitude, ili (u argonu) dinamiki faktor,M:

2

0

22

0

0

21

1

==

Dk

Q

AM , (1.4-16)

a fazni kut, tj. otklon izmeu pobudne sile i pomaka je

2

0

0

1

2

=

D

tg . (1.4-17)

Treba imati na umu da su to veliine za tzv.stacionarno stanje titranja. To stanje oznaavapobudu sa silom konstantne amplitude, Q0, tj amplitudom sile koja ne ovisi o krunojfrekvenciji . Na sl. 1.4-4 je prikazana ovisnost dinamikog faktora o kvocijentu frekvencija(pobudna/svojstvena).

Amplituda osciliranja je maksimalna pri rezonantnoj frekvenciji: 220 2 =r ,

odnosno 2max 21 Dff n = . Rezonantna frekvencija je, dakle, u sluaju priguenog oscilatora

neto je manja od svojstvene frekvencije (dok je rezonantna frekvencija nepriguenogoscilatora jednaka je vlastitoj frekvenciji).


12/17

12

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

f / fn

0.1

1

10

AmplitudemagnificationfactorM

koefijent priguenja, D = c/cc0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

Slika 1.4-4. Dinamiki faktor, M, za prisilne harmonijske titraje s priguenjem, zbog

djelovanja dinamike sile s konstantnom amplitudom.

1.4.3 Prisilno titranje sa silom koja ovisi o krunoj frekvenciji,

Neki put pobudna sila moe biti posljedica dviju nasuprotno rotirajuih masa sekscentricitetom, e. U tom sluaju optereenje ovisi o krunoj frekvenciji . sl. 1.2-7.

Njihove su faze podeene tako da simultano postiu vrne vrijednosti; stoga se horizontalnekomponenta sila ponitavaju, vertikalne zbrajaju. Svaka masa proizvede vektor sile iji jemodul tem sin21 . Prema tome je rezultantna dinamika sila zbroj djelovanja za svaku

masu:

temQ e = sin2 , gdje je 12 mme = , (1.4-18)

tj. ukupna ekscentrina masa.

Za razliku od dinamike pobude s konstantnom amplitudom, u ovom sluaju amplituda ovisio kvadratu krune frekvencije, . Rjeenje za ovaj sluaj dobije se uvrtavanjem, umjesto Q0,

2= emQ e u jed. (1.4-12):

( ) 22222

)(

cmk

emA e

+

= , odnosno (1.4-19)


13/17

13

m1

Q1=me 2sint

Q1=me 2sint

m1

ee

Slika 1.4-5 Dinamika sila kao posljedica rotacije dviju nasuprotnih rotirajuim masa.

Da se odredi amplituda pomaka, analogno s kQ /0 , dobijemo:2

0

22

=

=

m

eme

km

mm

k

em eee , (1.4-20)

M

m

em

AM

e

r

=

=

2

0

, (1.4-21)

gdje jeM, dinamiki faktor za pobudu s konstantnom silom.

Krivulje dinamikog faktora su sline onima zaMpri pobudi s konstantnom silom. Postojijedna bitna razlika stanje rezonancije nastupa za frekvencije vee odfn:

212

1

DDff nmr

= , (1.4-22)

a ordinata u dijagramu na sl. 1.4-6, pri toj frekvenciji, bit e

2

max

121

DDm

emA

e =

. (1.4-23)

Treba naglasiti da je mukupna vibrirajua masa, koja ukljuuje i masu me. Fizikalno znaenjekvocijenta me

.e/mmoe se interpretirati na slijedei nain: Kada ekscentrina masa rotira sfrekvencijom 0 , generira silu s amplitudom me

.e 20 . Dijeljenjem ove veliine s konstantom

opruge dobije se me.e/m, to je amplituda vibracija vibrirajue mase m, s rotirajuom masom

me. S druge strane, gledajui praktino, sl. 1.4-6, amplituda se pribliava vrijednostima me.e/m

tek kada frekvencija premai rezonantno stanje.

Proanalizirati: To je povezano s fizikalnom pojavom, da rotirajua masa, ako nije sprijeena, nastoji rotirati oko svog

teita. Za taj je sluaj amplituda vibracije jednaka e, jer je me= m. Meutim, mepredstavlja samo dio ukupne mase, to znaida e amplituda vibracija biti ograniena na (me/m)

.e.

Kako je amplituda vibriranja obrnuto proporcionalna s vibrirajuom masom, to je ujedno iosnova za tehniko rjeenje kojim se umanjuje amplituda vibracija, tj. ugrauje se dodatnamasa sustavu koji vibrira iznad svoje rezonantne frekvencije.


14/17

14

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

f / fn

0.1

1

10

rotating-

massamlitudemagnificationfactor,A/(mee/m)


0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

Slika 1.4-6 Dinamiki faktor, M, za prisilne harmonijske titraje s priguenjem, zbogdjelovanja dinamike sile, ovisne o krunoj frekvenciji, (s promjenjivomamplitudom).

1.4.4 Prisilni harmonijski titraji zbog titranja oslonca

U nekim sluajevima titranje SDOF-a nastaje zbog titranja oslonca. Problem rjeavamopomou vektora gibanja i sila, sl. 1.4-7:

A().sin ( t- 1)

2A()


A()

A()

m2A()

kA()

cA()

kA1

k c

m

A1().sin ( t)c11

A1

1

2

1o(k2+c22)

Slika 1.4-7 Vektorski prikaz titranja SDOF-a uslijed harmonijskog titranja oslonca.


15/17

15

U vektorskom prikazu titranja, titranje baze je zadano u obliku tA sin1 , a odziv mase mje u

obliku )sin( 1 tA . Vidi se da pomak leaja uzrokuje djelovanje sile na masu m u tomistom smjeru, a pomak mje u suprotnom smjeru. Vektori sila slijede iz gibanja: komponentesile, koja nastaje uslijed titranja leajeva, zbrajaju se u rezultantu, to daje isti oblik dijagramakao i na sl. 1.4-3. Zbog toga u formule iz rjeenje za taj sluaj moemo, umjesto Q0

uvrstiti 2221 ckA + , pa dobivamo:

( ) 2222222

1)(

cmk

ckAA

+

+= , to se moe svesti na: (1.4-24)

2

0

22

0

2

1

21

21

+

==

D

D

A

AM

n, sl. 1.4-9. (1.4-25)

1.4.4 Prijenos dinamike sile od mase na oslonac (temelj)

Pri djelovanju dinamike sile tQQ sin0= , neki je put bitno odrediti prijenos dinamike siles titrajue mase na oslonac (temelj). Sila na oslonac,P0, je funkcija relativnog gibanja izmeumase mi oslonca, pa e prema tome biti jednaka zbroju sile u opruzi i amortizeru, dakle:

( ) ( ) 222220 ckAAcAkP +=+= .

Uvrtenjem u ovu jednadbu izraza za amplitudu pomaka, pri djelovanju dinamike sile sastalnom amplitudom

( )

+=

2222

0)(

cmk

QA , nakon sreivanja se dobije:

2

0

22

0

2

0

0

21

21

+

==

D

D

Q

PM

n, (1.4-26)

to je upravo jednak izrazu zaMpri gibanju oslonca (u prethodnom odjeljku), pa tako vrijedi iisti graf, sl. 1.4-9.


16/17

16

A().sin ( t- )

2A()


A()

A()

m2A()

kA()

cA()

Q0.sin (t)

Q0

k c

P0

12

P0=o(k2+c22)

Slika 1.4-8 Odnosi faza izmeu pobudne sile Qi sile na osloncu, P0.

1 10 100

f / fn

0.01

0.1

1

10

responseduetomotionofthesupport,

A/A1


0,05

0,20

0,10

0,501,00

Slika 1.4-9 Dinamiki faktor, M, za titraje oslonca i prijenos dinamike sile na temelj.

Pri prezentiranju raznih rjeenja, baziranih na SDOF-u, prikladno je izraavati odnose

pomou bezdimenzionalnih parametara )2/( kmc i km / , kojima se odvajaju utjecaji

priguenja i frekvencije. tovie, u projektiranju ili analizama, najmanje se rabi koeficijentpriguenja. U najveem broju sluajeva u igri su mase i krutosti opruga sustava, koje se


17/17

17

najjednostavnije mogu promijeniti ili prilagoditi. Kada se koriste krivulje kao na dijagramuna sl. 1.4-4., vrlo je nespretno ustanoviti utjecaje promjena m i k, jer su oni povezani prekoapscise sa familijom krivulja. Lysmer (1965) je odvojio utjecaje mase i frekvencije, te dobiokrivulje kao na sl. 1.4-10.

Slika 1.4-10. Odziv SDOF-a, s odvojenim utjecajima mase i frekvencije (Lysmer,1965).

Definirao je bezdimnezionalne faktore:

k

ca =_

0 ,faktor frekvencijei2

_

c

kmB = ,faktor mase.

Dinamiki faktor i fazni kut, za silu s konstantom amplitudom dobiju se iz izraza:

20

_2_

20

_

1

1

aaB

M

+

= (1.4-27)

_20

_

_

0

1 aB

atg

= (1.4-28)

Reference:

[1] Andrejev, V. (1973). Mehanika III dio, dinamika. Tehnika knjiga, Zagreb.[2] Richart, F.E., Jr, Hall, J.R. Jr. & Woods, R-D- (1970). Vibrations of soils and foundations, Prentice Hall,

Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.

Documents

Dinamika Tla Kvasnicka Predrag