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INSTITUTO TECNOLGICO DE PACHUCA

EVALUACIN DE DISEO FACTORIAL CON DOS FACTORES Y DISEO FACTORIAL CON TRES FACTORESPRESENTAN:

HERNNDEZ NAVA ABRAHAM

MEZA LUZ DAVID

NOVIEMBRE,2009

INSTITUTO TECNOLGICO DE PACHUCA

EVALUACIN DE DISEO FACTORIAL CON DOS FACTORES Y DISEO FACTORIAL CON TRES FACTORESPRESENTAN:

ESCALANTE CHVEZ MARA GUADALUPE

HERNNDEZ NAVA ABRAHAM

MEZA LUZ DAVID

VALENCIA HERNNDEZ EMMANUELVZQUEZ MONROY IRMA IRENEING. Me. URIBE RIOS GLORIA

EVALUADORPACHUCA DE SOTO, HIDALGO, NOVIEMBRE,2009AGRADECIMIENTOS

A por su dedicacin, entrega y empeo en la labor de recopilar informacin terica, que es la base para el entendimiento del desarrollo de diseo factorial y que adems respecta al Captulo I.

A David por su afn de investigador al desarrollar terica y prcticamente el diseo con dos factores incluidos en el Captulo II.

A Abraham por su importante y valiosa aportacin en el diseo de tres factores apoyndose para un mejor entendimiento en un ejemplo de la vida real observado en el Captulo III.

A por la ardua labor de recapitular la informacin en conjunto y desarrollarla a manera de entregarla como un buen trabajo de investigacin.

INTRODUCCIONLos experimentos factoriales se usan en casi todos los campos de investigacin. Son de gran valor en el trabajo exploratorio (Niveles ptimos o combinacin ptima de los factores). Un diseo factoriales aquel en el que el conjunto de tratamientos esta conformado por todas las posibles combinaciones de los distintos niveles de los factores involucrados.En estadstica, un experimento factorial completo es un experimento cuyo diseo consta de dos o ms factores, cada uno de los cuales con distintos valores o "niveles", y cuyas unidades experimentales cubren todas las posibles combinaciones de esos niveles en todo los factores. Este tipo de experimentos permiten el estudio del efecto de cada factor sobre la variable respuesta, as como el efecto de las interacciones entre factores sobre la dicha variable.

Por ejemplo, con dos factores y dos niveles en cada factor, un experimento factorial tendra en total cuatro combinaciones de tratamiento, y se le denominara diseo factorial de 22.

CAPTULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMACAPTULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 CONCEPTOS BSICOS EN DISEO FACTORIAL

El objetivo de un diseo factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas o caractersticas de calidad, es decir, lo que se busca es estudiar la relacin entre los factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor como es esta relacin y generar conocimiento que permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeo del proceso. Por ejemplo uno de los objetivos particulares ms importantes que en general tiene un diseo factorial es encontrar nuevas condiciones de operacin del proceso que eliminen o disminuyen cierto problema de calidad en la variable de salida.

Los factores pueden ser de tipo cualitativo (mquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operacin previa, etc.), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presin, etc.). Para poder estudiar la manera en que influye cada factor sobre la variable de respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de pruebas para cada uno de ellos (tres mquinas, dos operadores, tres velocidades, dos temperaturas). Con el diseo factorial completo se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles seleccionados.

DEFINICIONES:

Diseo factorial: Diseo experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interaccin de varios factores sobre una o varias respuestas.

Factor cualitativo: Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal que no pueden ser fracciones. Ejemplos: mquinas, lotes, marcas, etc.

Factor cuantitativo: Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, como por ejemplo temperatura, velocidad, presin, etc.

Arreglo factorial: Conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse al considerar todas las posibilidades de combinacin de los niveles de los factores.

Efecto de un factor: Es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel en el factor.

Efecto principal: Es igual a la respuesta promedio observada en el nivel alto de un factor menos la respuesta promedio en el nivel bajo.

Efecto de interaccin: Dos factores interactan significativamente sobre la variable de respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que est el otro.

VENTAJAS DE LOS DISEOS FACTORIALES:

1. Son diseos que se pueden aumentar para formar diseos compuestos en caso de que se requiera una exploracin ms completa. 2. Se pueden corres fracciones de diseos factoriales, las cuales son de gran utilidad en las primeras etapas de una investigacin que involucra a muchos factores, cuando interesa descartar de manera econmica los que no son importantes, antes de hacer un estudio ms detallado con los factores que s son importantes3. Pueden utilizarse en combinacin con diseos de bloques en situaciones en las que no puede correrse todo el diseo factorial completo bajo las mismas condiciones o circunstancias.4. La interpretacin y clculo de los efectos en los experimentos factoriales se puede hacer con aritmtica elemental, en particular cuando cada factor se prueba en dos niveles. 1.1.1 DISEO FACTORIAL GENERAL

Considere f factores A, B, C,, K con niveles a, b, c,, k respectivamente, donde la letra K denota al f-simo o ltimo factor del conjunto a estudiar, no necesariamente al dcimoprimero que es lugar de esta letra en el alfabeto. Con estos niveles y factores se puede construir el diseo factorial general a x b x x k, que consiste de a x b x x k tratamientos o puntos de prueba. Con este diseo se pueden estudiar f efectos principales, f(f-1)/2 interacciones dobles, f(f-1)(f-2)/(3 x 2) interacciones triples, y as sucesivamente hasta la nica interaccin de los f factores (ABCK). el clculo del nmero de interacciones de cierta cantidad m de factores se hace mediante la operacin combinaciones de f en m que cuenta el nmero de maneras diferentes de seleccionar m factores de los f, donde f! = f x (f-1) x x 2 x 1. En resumen con el factorial general descrito se pueden estudiar los siguientes 2f 1 efectos.1.1.2 PASOS PARA EL ANLISIS FACTORIAL

Primer paso: Objetivos del anlisis factorial

El punto de comienzo en el anlisis factorial es el problema objeto de investigacin. El propsito general de las tcnicas analticas de factores es encontrar una manera de resumir la informacin contenida en una serie de variables originales en una serie mas pequea de dimensiones compuestas o factores nuevos con una mnima perdida de datos.

Las tcnicas del anlisis factorial pueden satisfacer cualquiera de estos 2 objetivos:

1. La identificacin de estructura mediante el resumen de datos

2. La reduccin de datos

1. La identificacin de estructura mediante resumen de datos

El anlisis factorial puede identificar la estructura de las relaciones entre las variables mediante la investigacin de las correlaciones entre las variables. Por ejemplo supongamos que tenemos 100 encuestados basados en 10 caractersticas. Si el objetivo de la investigacin fuera el resumen de las caractersticas, se aplicara el anlisis factorial a una matriz de correlacin de las variables. A este tipo de anlisis factorial se le conoce como anlisis factorial R. ste analiza una serie de variables para identificar las dimensiones que son latentes (que no son fciles de observar). Tambin se puede aplicar el anlisis factorial a la matriz de correlacin de los encuestados individuales basada en sus caractersticas. A ste tipo se le denomina anlisis factorial Q, siendo un mtodo para combinar grandes grupos de personas en grupos claramente diferentes dentro de una poblacin mayor. Pero generalmente para analizar este tipo de cuestiones se utiliza el tipo de anlisis cluster.

2. Reduccin de datos

El anlisis factorial tambin puede: identificar las variables suplentes de una serie de variables ms grande para su utilizacin en anlisis de multivariantes posteriores o crear una serie de valores completamente nueva, mucho ms pequea en nmero, para reemplazar parcial o completamente la serie original de variables para su inclusin en tcnicas posteriores. En ambos casos el propsito es retener la naturaleza y el carcter de las variables originales, pero reducir su nmero.

El resumen de datos hace que la identificacin de los factores sean fines de por s; las estimaciones de los factores y las contribuciones de cada variable a los factores constituyen todo lo que se necesita para el anlisis.

Segundo paso: El diseo de un anlisis factorial

El diseo de un anlisis factorial implica tres decisiones bsicas:

1. Clculo de datos de entrada

2. El diseo de estudio en termino de numero de variables, las propiedades de medicin y los tipos permisibles

3. El tamao de muestra

1. Las correlaciones entre las variables

La primera decisin en el diseo se concentra en la aproximacin que se usa para calcular la matriz de correlacin tanto para el anlisis de tipo R como para el del tipo Q. el investigador puede ocupar la matriz de datos de entrada a partir del clculo de las correlaciones entre las variables, empleando el anlisis del tipo R. el investigador tambin pude elegir la matriz de correlacin de las correlaciones entre los encuestados individuales. En este tipo de anlisis, el resultado ser una matriz factorial que identifica sujetos similares.

2. La seleccin de variables y cuestiones de medicin

Ahora es necesario abordar 2 preguntas: Cmo se miden las variables? Y Cuntas variables deberan ser? Se supone que las variables a incluir en el anlisis tienen escala mtrica. En algunos casos, se pueden utilizar variables ficticias (codificadas 0-1), aunque se consideran como no mtricas.

Adems, el investigador debe intentar minimizar el nmero de variables que se incluyen; no obstante, debe mantener un numero razonable de variables por factor. Si se est diseando un estudio para valorar una estructura propuesta, el investigador deber incluir varias variables (cinco o ms) que deban representar cada factor propuesto.

3. Tamao muestral

Generalmente el investigador no usara el anlisis factorial para una muestra inferior a 50 observaciones, y preferiblemente el tamao muestral debera ser 100 o ms grande. Como regla general, el mnimo es tener por lo menos un nmero de observaciones cinco veces mayor que el nmero de variables a ser analizadas.

Tercer paso: Supuestos en el anlisis factorial

Los supuestos bsicos subyacentes del anlisis factorial son ms de tipo conceptual que estadstico. Desde un punto de vista estadstico, se pueden obviar supuestos de normalidad, homocedasticidad y linealidad siendo consientes de que su incumplimiento produce una disminucin en las correlaciones observadas. En realidad, solo es necesaria la normalidad cuando se aplica una prueba estadstica a la significacin de los factores; sin embargo, raramente se utilizan estas pruebas. De hecho es deseable que haya cierto grado de multicolinealidad, dado que el objetivo es identificar series de variables interrelacionadas.

Adicionalmente a las bases estadsticas para las correlaciones de la matriz de datos, el investigador tiene que asegurarse tambin de que la matriz tiene suficientes correlaciones para justificar la aplicacin de dicho anlisis. Si la inspeccin visual revela que no hay nmero sustancial de correlaciones mayores a 0.30, entonces el anlisis es inapropiado.

Otra manera de determinar la conveniencia del anlisis es examinar la matriz de correlacin entera. El contraste de esfericidad de Bartlett, una prueba estadstica para la presencia de correlaciones entre variables, es una de estas herramientas. Proporciona la probabilidad estadstica de que la matriz de correlacin de las variables sea una matriz identidad.

Otra medida para cuantificar el grado de intercorrelaciones entre las variables y la conveniencia del anlisis es la medida de suficiencia de muestreo (MSA). Este ndice se extiende de 0 a 1, llegando a 1 cuando cada variable es perfectamente predicha sin error por las otras variables.

Los supuestos conceptuales que subyacen en el anlisis factorial se relacionan con la serie de variables seleccionadas y la muestra elegida. Un supuesto bsico del anlisis factorial es que existe una estructura subyacente en la serie de variables seleccionadas. Es responsabilidad del investigador asegurarse de que las pautas observadas sean validas y conceptualmente apropiadas para utilizar el anlisis factorial.Cuarto paso: La estimacin de los factores y la valoracin del ajuste general

Una vez que se especifican las variables y se separa la matriz de correlacin, ya se est preparado para aplicar el anlisis factorial que identifique la estructura subyacente de las relaciones. Para realizar esta operacin, es necesario tomar decisiones con respecto a: el mtodo de extraccin de los factores; y el nmero de factores seleccionados para representar la estructura subyacente de los datos. La seleccin del mtodo depende del objetivo del investigador. Se utiliza el anlisis de componentes principales cuando el objetivo es resumir la mayora de la informacin original (varianza) en una cantidad mnima de factores con propsitos de prediccin. Por el contrario, se utiliza el anlisis factorial comn para identificar los factores subyacentes o las dimensiones que reflejan qu es lo que las variables comparten en comn.

El anlisis factorial comn frente a anlisis de componentes

El investigador puede usar dos modelos bsicos para obtener soluciones factoriales. Estos se conocen como anlisis factorial comn y anlisis de componentes principales. Con el fin de seleccionar el modelo apropiado, en primer lugar el investigador tiene que comprender las diferencias entre los tipos de varianzas. Para los propsitos del anlisis factorial, existen tres tipos de varianza total:

1. Comn

2. Especifica (nica)

3. Error

Se define la varianza comn como aquella que se comparte con todas las otras variables en el anlisis. La varianza especfica es aquella asociada solamente con una variable especfica. La varianza de error es aquella que se debe a la poca fiabilidad en el proceso de recoleccin de datos, error de medicin o componente aleatorio en el fenmeno medido.

El anlisis de componentes principales considera la varianza total y estima los factores que contienen proporciones bajas de la varianza nica, y en algunos casos, de la de error.

En el anlisis factorial comn se incorporan las varianzas compartidas en la diagonal.

La seleccin de un modelo u otro se basa en 2 criterios:

1. Los objetivos del anlisis factorial

2. El grado de conocimiento anterior acerca de las varianzas

El anlisis de componentes principales es apropiado cuando el inters principal se centra en la prediccin o el mnimo numero de factores necesarios para justificar la porcin mxima de la varianza representada en la serie de variables original, y cundo el conocimiento previo sugiere que la varianza especifica y de error representan una porcin relativamente pequea de la varianza total. Por el contrario cuando el objetivo es identificar las dimensiones latentes o las construcciones representadas en las variables originales y el investigador tiene poco conocimiento acerca de la varianza especifica y de error, lo mas apropiado es usar el modelo factorial comn.

Criterios para el clculo del nmero de factores a ser extrados

En general se utilizan los siguientes criterios para la extraccin del nmero de factores:

Criterio de raz latente. Es la tcnica ms utilizada por su sencillez. La racionalidad que se usa es que cualquier factor individual debera justificar la varianza de por lo menos una nica variable. Cada variable contribuye con un valor de 1 para el autovalor total. Por tanto, slo se consideran los factores que tienen races latentes; explican al menos una variable, se considera que todos los factores con races latentes menores que 1 no son significativas y por tanto, se desestiman a la hora de incorporarlos a la interpretacin.

Criterio a priori. El criterio a priori es un criterio simple y a la vez razonable bajo ciertas circunstancias. Con su aplicacin, el investigador ya sabe cuntos factores hay que extraer antes de iniciar el anlisis factorial. El investigador simplemente instruye al computador para parar el anlisis cuando se haya extrado el nmero de factores deseado.

Criterio de porcentaje de la varianza. El criterio de porcentaje de varianza es una aproximacin que se basa en obtener un porcentaje acumulado especificado de la varianza total extrada. El propsito es asegurar una significacin prctica de los factores derivados, asegurando que explican por lo menos una cantidad especificada de la varianza. En las ciencias naturales, el procedimiento de factores normalmente no debera ser detenido hasta que los factores extrados cuenten con por lo menos un 95% de la varianza o hasta que el factor justifique solamente una pequea porcin (menos del 5%). Por contraste, en las ciencias sociales, donde la informacin muchas veces es menos precisa, es normal considerar una solucin que represente un 60% de la varianza total como satisfactoria.

Criterio de contraste de cada. El contraste de cada se utiliza para identificar el nmero ptimo de factores que pueden ser extrados antes de que la cantidad de la varianza nica empiece a dominar en la varianza comn. Se estima el contraste de cada con el trazo de races latentes en funcin del nmero de factores en su orden de extraccin, y se utiliza la forma de la curva consiguiente para evaluar el punto de corte.

Heterogeneidad de la muestra. La existencia de varianza compartida entre las variables es el ncleo tanto de los modelos de factores comunes como de los de componentes. Un supuesto subyacente es que la varianza compartida se extiende a lo largo de toda la muestra. Si la muestra es heterognea al menos con respecto a un subconjunto de variables, los primeros factores representaran aquellas variables que son ms homogneas a lo largo de toda la muestra. Las variables con mayor capacidad de discriminar entre subconjuntos muestrales cargaran sobre los ltimos factores.

Quinto paso: Interpretacin de los factores

Para interpretar los factores y seleccionar la solucin factorial definitiva se deben seguir tres pasos.

En primer lugar, se calcula la matriz inicial de factores no rotados para que nos d una indicacin preliminar acerca del nmero de factores a extraer. La matriz de factores contiene las cargas factoriales para cada variable sobre cada factor. Al calcular la matriz de factores no rotada, el investigador simplemente est interesado en la mejor combinacin lineal de variables, es decir, en encontrar aquella combinacin particular de las variables originales que cuenta con el mayor porcentaje de varianza de los datos. En consecuencia, el primer factor puede contemplarse como el mejor resumen de las relaciones lineales que los datos manifiestan.

El segundo factor se define como la segunda mejor combinacin lineal de las variables, sujeta a la restriccin de que sea ortogonal al primer factor. Para ser ortogonal al primer factor el segundo factor debe derivarse de la varianza restante tras la extraccin del primer factor. As, el segundo factor puede definirse como la combinacin lineal de las variables que da cuenta del mayor porcentaje de la varianza residual una vez se ha eliminado de los datos el efecto del primer factor. Los factores subsiguientes se definen de forma anloga hasta haber agotado la varianza de los datos.

Las soluciones factoriales no rotadas alcanzan el objetivo de reduccin de los datos, pero el investigador debe preguntarse si la solucin factorial no rotada facilita una informacin que ofrezca la interpretacin ms adecuada de las variables examinadas. La mayor de las veces no resulta as. La carga factorial es el medio para interpretar la funcin que cada variable desempea al definir cada factor. Las cargas factoriales son la correlacin entre cada variable y el factor. Las cargas indican el grado de correspondencia entre cada variable y el factor, haciendo una variable con mayor carga representativa del factor. La solucin factorial no rotada puede no dar un patrn significativo de cargas de las variables. Si se espera que los factores no rotados sean significativos, el usuario puede especificar que la rotacin no se lleve a cabo. Generalmente la rotacin es deseable porque simplifica la estructura de los factores, y habitualmente es difcil determinar si los factores no rotados sern significativos. Por tanto, el segundo paso hace un uso de un mtodo de rotacin para lograr soluciones factoriales ms simples y tericamente ms significativas. En muchos casos la rotacin de los factores mejora la interpretacin disminuyendo alguna de las ambigedades que a menudo acompaan a las soluciones factoriales inicialmente no rotadas.

En una tercera etapa, el investigador valora la necesidad de especificar de nuevo el modelo de factores debido a:

1. La eliminacin de variables en el anlisis

2. El deseo de emplear un mtodo de rotacin diferente para la interpretacin

3. La necesidad de extraer un numero diferente de factores

4. El deseo de cambiar de un mtodo de extraccin a otro

La especificacin nueva del modelo factorial viene acompaada de la vuelta a la etapa de extraccin, rotacin de factores y de nuevo a su interpretacin.

Rotacin de factores

Una herramienta importante al interpretar los factores es la rotacin de factores. El termino rotacin significa exactamente lo que indica. Concretamente, se giran en el origen los ejes de referencia de los factores hasta alcanzar una determinada posicin. Como se indico previamente, las soluciones factoriales no rotadas extraen factores segn su orden de importancia. El primer factor tiende a ser un factor general por el que casi toda variable se ve afectada significativamente dando cuenta del mayor porcentaje de varianza. El segundo y siguientes factores se basan en la varianza residual. Cada uno explica porcentajes de varianza cada vez menores. El efecto ltimo de rotar la matriz de factores es redistribuir la varianza de los primeros factores a los ltimos para lograr un patrn de factores ms simple y tericamente ms significativo.

1.1.3 EXTRACCIN DE MATRIZ FACTORIAL

ANOVA para el diseo factorial general a x b x x k

Fuente de VariacinSuma de CuadradosGrados de libertad

ErrorSCA

SCKSCAB

SC(K-1)KSCABC

SC(K-2)(K-1)K

SCABKSCEa-1

k-1

(a-1)(b-1)

(l-1)(k-1)

(a-1)(b-1)(c-1)

(m-1)(l-1)(k-1)

(a-1)(b-1)(k-1)

abck(n-1)

Total SCT(abckn)-1

La suma de cuadrados totales est dada por

Donde N = abc kn es el total de observaciones en el experimento; los subndices k y m representan al tercero y ltimo factor, respectivamente.

Las sumas de cuadrados de efectos son:

Finalmente, la suma de cuadrado del error se calcula por

Slo en el caso irreal de que todos los posibles efectos en el factorial general estn activos, es necesario realizar al menso dos rplicas del experimento. En las situaciones reales se replican al menso dos veces (y no siempre) slo los diseos factoriales consistentes de 16 o menos puntos de prueba.

CAPITULO II

DISEO FACTORIAL CON DOS FACTORES

CAPITULO II

DISEO FACTORIAL CON DOS FACTORES

2.1 PRESENTACIN DEL MODELOEl modelo de diseo de experimentos con dos factores tratamiento con interaccin se conoce como modelo completo de dos vas o modelo de anlisis de la varianza de dos vas.Para presentar las formulas generales para el anlisis de varianza de un experimento de dos factores que utiliza observaciones repetidas en un diseo por completo aleatorio, debe considerarse el caso de n repeticiones de las combinaciones del tratamiento, determinadas por niveles del factor A y b niveles del factor B. las observaciones pueden clasificarse usando un arreglo rectangular, donde los renglones representan los niveles del factor A; y las columnas, los factor B. Cada combinacin de tratamiento define una celda del arreglo. As, se tienen ab celdas, cada una de las cuales contiene n observaciones. Se denota con la k-sima observacin en el i-simo nivel del factor A y el j-simo nivel del factor B.

Modelo matemtico.

El modelo matemtico asociado al diseo de dos factores-tratamiento con interaccin y replicado es el siguiente:

Para cada

i = 1,2,...,a; j = 1,2,...,b; k = 1,2,...,n,

Con restricciones

Donde:

: Es la media general.

: Es el efecto (positivo o negativo) debido al i-simo nivel del factor A.

: Es el efecto (positivo o negativo) del j-simo nivel del factor B.

: Representa al efecto de interaccin en la combinacin ij.

: Es el error aleatorio que supone sigue una distribucin con media cero

y varianza constante y son independientes entre si.

2.1.2 ESTIMACIN DE PARAMETROSLos parmetros del modelo se obtienen por mnimos cuadrados, tcnica que se basa en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos.

Simblicamente la identidad de cuadrados se escribe as:

SST = SSA + SSB +SS(AB) + SSE

Donde SSA y SSB denominan la suma de cuadrados para los efectos principales A y B, respectivamente, SS(AB) recibe el nombre de suma de cuadrados de la interaccin para A y B, y SSE es la suma de errores al cuadrado. La participacin de los grados de libertad se efecta de acuerdo con la identidad

*Suma de todas las observaciones

*Media global

*Total en el nivel i del factor A

*Media en el nivel i del factor A

*Total en el nivel j del factor B

*Media en el nivel i del factor B

2.2.3 CTABLA ANOVA PARAMETROS

FuenteSuma de cuadradosSuma de cuadrados M.

Efecto Aa 1

Efecto Bb 1

Efecto AB

(a-1)(b-1)

Error

ab(n-1)

Totalabn-1

Manejo de pruebas de hiptesis

*Hiptesis para el efecto A

La hiptesis nula se rechaza al nivel e significancia cuando

*Hiptesis para el efecto B

La hiptesis se rechaza al nivel e significancia cuando

*Hiptesis para el efecto AB

La hiptesis se rechaza al nivel e significancia cuando

2.2.4 Ejemplo:

En la tabla adjunta se presentan los tiempos, en minutos, de conexin con una direccin de internet desde cuatro puntos geogrficos de una regin y en tres horas determinadas. El experimento se repeta cuatro veces y era diseado para estudiar la influencia del factor hora de conexin y el factor lugar de la conexin en la variable de inters tiempo de conexin.

Analizar estos datos y estudiar la influencia de los dos factores.

Lugar ALugar BLugar CLugar D

Hora 10'31

0'45

0'46

0'43

0'82

1'10

0'88

0'72

0'43

0'45

0'63

0'76

0'45

0'71

0'66

0'62

Hora 20'36

0'29

0'40

0'23

0'92

0'61

0'49

1'24

0'44

0'35

0'31

0'40

0'56

1'02

0'71

0'38

Hora 30'22

0'21

0'18

0'23

0'30

0'37

0'38

0'29

0'23

0'25

0'24

0'22

0'30

0'36

0'31

0'33

Solucin.

Estimacin de los parmetros.

Se obtienen las siguientes tablas de medias y estimaciones

L-AL-BL-CL-Di..i

H-1 1j.0'4130'8800'5680'6100'6180'139

H-2 2j.0'3200'8150'3750'6670'5440'065

H-3 3j.0'2100'3350'2350'3250'276-0'203

..j.0'3140'6770'3930'534

j-0'1650'198-0'0860'055... = 0'479

ij.L-AL-BL-CL-D

H-1-0'0400'0640'036-0'063

H-2-0'0590'073-0'0830'068

H-30'099-0'1390'045-0'006

De donde se deduce la siguiente tabla de residuos:

ResiduosLugar ALugar BLugar CLugar D

Hora 1-0'103

0'037

0'047

0'017

-0'060

0'220

0'000

-0'160

-0'138

-0'118

0'062

0'192

-0'160

0'100

0'050

0'010

Hora 20'040

-0'030

0'080

-0'090

0'105

-0'205

-0'325

0'425

0'065

-0'025

-0'065

0'025

-0'107

-0'353

0'043

-0'287

Hora 30'010

0'000

-0'030

0'020

-0'035

0'035

0'045

-0'045

-0'005

0'015

0'005

-0'015

-0'025

0'035

-0'015

0'005

Tabla ANOVA

Fuentes deSuma deGrados descmp - valor

variacincuadradoslibertad

Factor hora 1'033020'516523'2220'0000

Factor lugar 0'921230'307113'8060'0000

Interaccin0'250160'04171'8740'1123

Variab. Exp. Total2'204311

Residual0'8007360.0222R = 0'149

Global3'0050470'0639Y = 0'253

Se aceptar la hiptesis de no influencia de la interaccin entre lugar y hora.

Se rechaza esta hiptesis de no influencia del factor hora.

Se rechaza esta hiptesis de no influencia del factor lugar.CAPITULO III

DISEO FACTORIAL CON TRES FACTORES

CAPTULO III

DISEO FACTORIAL CON TRES FACTORES

3.1.2 ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL MODELO DE EFECTOS FIJOS

Cuando se tiene tres factores (A B y C) y el numero de niveles de prueba en cada uno de ellos son a, b y c, se puede construir el arreglo factorial a*b*c, que consiste de a*b*c tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia entre aplicaciones diversas se encuentra. El factorial 23, el factorial 33 y los factoriales mixtos con no ms de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el factorial 4*3*2 y el factorial 4*4*2 por mencionar dos de ellos.

El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permitir investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende el nmero de niveles utilizado en cada factor. Por ejemplo, si un factor se prueba en dos niveles todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto individual no se pueda descomponer; pero si tuviera tres niveles, su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrtica pura.

3.2.3 CUADRO DE ANALISIS DE VARIANZA

Tabla ANOVA Para el diseo factorial a*b*c

FVSCGLCMF0Valor-p

Efecto ASCAa-1CMACMA/CMEP(F> F0A)

Efecto BSCBb-1CMBCMB/CMEP(F> F0B)

Efecto CSCCc-1CMCCMC/CMEP(F> F0C)

Efecto ABSCAB(a-1)(b-1)CMABCMAB/CMEP(F> F0AB)

Efecto ACSCAC(a-1)(c-1)CMACCMAC/CMEP(F> F0AC)

Efecto BCSCBC(b-1)(c-1)CMBCCMBC/CMEP(F> F0BC)

Efecto ABCSCABC(a-1)(b-1)(c-1)CMABCCMABC/CMEP(F> F0ABC)

ErrorSCEabc(n-1)CME

TotalSCTabcn-1

donde:FV: Fuente de Variacin.

SC: Suma de Cuadrados.

GL: Grados de Libertad.

CM: Cuadrado Medio.

FO: f Fisher calculado.

Al efecto cuyo valor-p sea menor al valor especificado para , se declara estadsticamente significativo o se dice que est activo. El ANOVA de tres factores dado en la tabla anterior tiene cuatro renglones adicionales, por los nuevos cuatro efectos que pueden estudiarse. Las sumas de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores.

FORMULAS

Suma de Cuadrados

Las sumas de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores; habr que considerar un subndice adicional para el tercer factor, comenzando otra vez por la suma de cuadrados total, stas resultan ser:

donde:

N = abcn es el total de observaciones en el experimento; el subndice k representa ahora el tercer factor y l las repeticiones. Las sumas de cuadrados de efectos son:

Restando stas del total, la suma de cuadrados del error resulta ser:

Cuyos respectivos grados de libertad se dan en la tabla ANOVA anterior. Una vez hecho el ANOVA, se procede a interpretar los efectos activos, y luego (aunque no necesariamente despus) a diagnosticar la calidad del modelo.

Cuadrado Medio

Donde:

CM = Cuadrado Medio del efecto

SC = Suma de cuadrado del efecto

GL = Grados de libertad del efecto

Modelo estadstico

En un diseo factorial a*b*c se supone que el comportamiento de la respuesta Y puede describirse mediante el modelo de efectos dado por:

Yijkl = +ai + j + k + ()ij + ()ik + ()jk + ()ijk + ijkl;

I=1,2,,a; j=1,2,,b; k=1,2,,c; l=1,2,,n

Donde:

= media general

i = efecto del nivel i-simo del factor A

j = efecto del nivel j del factor B

k = efecto del nivel k en el factor C()ij, ()ik, ()jk = efectos de interacciones dobles (de dos factores) en los niveles ij, ik, jk, respectivamente.

()ijk : efecto de interaccin triple en la combinacin o punto ijkijkl : error aleatorio en la combinacin ijkll : repeticiones o replicas del experimento

Todos los efectos cumplen la restriccin de sumar cero, es decir, son desviaciones respecto a la medida general .

3.2.4 MANEJO DE HIPTESIS Y SUS CONDICIONESEl estudio factorial de tres factores (A,B,C) permite investigar los efectos A,B,C,AB,AC,BC y ABC donde el nivel de desglose o detalle con el que puede estudiarse depende del nmero de niveles utilizado en cada factor. Por ejemplo si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal es lineal, o sea que su efecto individual no se puede descomponer; pero si tuviera tres niveles, su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrtica pura.

Hiptesis nulaValor del estadstico de pruebaRegin de rechazo

H 0A: todas las = 0

H 0AB: todas las

H 0ABC: todas las

En resumen se tienen siete efectos de inters sin considerar el desglose y con ellos se pueden plantear las siete hiptesis nulas:

1. H0: Efecto A = 0

2. H0: Efecto B = 0

3. H0: Efecto C = 0

4. H0: Efecto AB = 05. H0: Efecto AC = 0

6. H0: Efecto BC = 0

7. H0: Efecto ABC = 0

3.2.5 EJEMPLO EXPLICADO Se desea investigar el efecto del tipo de suspensin (A), abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentacin Y(%) de una suspensin. Para ello se decide correr un experimento factorial 3*2*2 con seis rplicas, y las observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se muestran en la siguiente tabla:

A1A2A3

B1B1B1B1B1B1

C1607575677373626865718080767175757575

867070676868766565728080706873757577

C2555353525257444445606060525150565557

555555525454484845676765524854595055

a = 3

b = 2

c = 2

n = 61. H0: Efecto A es considerablemente influyente en los resultados.

2. H0: Efecto B es considerablemente influyente en los resultados.

3. H0: Efecto C es considerablemente influyente en los resultados.

4. H0: Efecto AB es considerablemente igual en conjunto.

5. H0: Efecto AC es considerablemente igual en conjunto.

6. H0: Efecto BC es considerablemente igual en conjunto.

7. H0: Efecto ABC es considerablemente igual en conjunto.

Suma de Cuadrados (SC)

Grados de Libertad

Cuadrado Medio

A1A2A3

B1B1B1B1B1B1

C1607575677373626865718080767175757575( = 2061

867070676868766565728080706873757577

( = 436( = 416( = 401( = 463( = 433( = 452

( = 852( = 864( = 885

C2555353525257444445606060525150565557( = 1939

555555525454484845676765524854595055

( = 326( = 321( = 274( = 379( = 307( = 332

( = 647( = 653( = 639

(TOTAL = 762(TOTAL = 737(TOTAL = 675(TOTAL = 842(TOTAL = 740(TOTAL = 784

(TOTAL = 1499(TOTAL = 1517(TOTAL = 1524

( B1 = 2177

( B2 = 2363

( B1 con C1 = 1270

( B2 con C1 = 1331

( B1 con C2 = 907

( B2 con C2 = 1032

Tabla ANOVA

FVSCGLCMFOFTABLASConclusin

A: Tipo13.8626.930.493.15ACEPTA

B: Abertura480.51480.534.254RECHAZA

C: Temperatura6086.7216086.72433.904RECHAZA

AB788.252394.1228.103.15RECHAZA

AC40.86220.431.463.15ACEPTA

BC56.89156.894.064RECHAZA

ABC31.03215.511.113.15ACEPTA

Error841.666014.03

Total8339.7871

Conclusiones

1. Ho se rechaza, la temperatura de ciclaje si influye.

2. Ho se rechaza, la abertura de la malla si influya.

3. Ho se acepta, el tipo de suspensin no influye.

4. Ho se rechaza la temperatura de ciclaje no es igual a la abertura de la malla en conjunto.

5. Ho se acepta, la temperatura de ciclaje es igual al tipo de suspensin en conjunto.

6. Ho se rechaza, la abertura de la malla no es igual al tipo de suspensin en conjunto.

7. Ho se acepta, los tres factores en conjunto se comportan en forma similar.

CONCLUSION

Un diseo factoriales aquel en el que el conjunto de tratamientos esta conformado por todas las posibles combinaciones de los distintos niveles de los factores involucrados

Los mayores beneficios de los diseos factoriales completos se obtienen cuando se deben estudiar pocas variables. El motivo es que el nmero de experimentos crece exponencialmente con el nmero de factores.

Los diseos factoriales completos son la estrategia experimental ptima para estudiar simultneamente el efecto de varios factores sobre la respuesta y sus interacciones. Por su potencia y sencillez, su campo de aplicacin es muy amplio:

- Identificar qu variables influyen en una reaccin, para luego poder optimizarlas hasta alcanzar el rendimiento deseado, o para disminuir el tiempo de reaccin.

-Decidir qu se debe ajustar en el nuevo proceso de fabricacin para que no se produzcan tantos productos fuera de especificaciones.

- Estudiar en qu condiciones el proceso es ms robusto a pequeas variaciones de temperatura, humedad, etc.

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