Distribución de Bernoulli

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Bernoulli

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  • 7. DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA.

    Esta tambin es un caso especial de la distribucin Binomial, ya que en

    este caso se trata de que al llevar a efecto varias veces un experimento

    binomial, se desea determinar la probabilidad de que ocurran r xitos, solo

    que el ltimo de ellos debe ocurrir en el k-simo ensayo o repeticin del

    experimento que es el ltimo.

    Para encontrar una frmula que nos permita calcular probabilidades

    con esta distribucin, partiremos de un ejemplo.

    Ejemplo:

    Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la

    probabilidad de que aparezca guila es de 2/3, mientras que la probabilidad

    de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que aparezcan

    tres guilas, y la ltima que aparezca sea en el ltimo lanzamiento.

    Solucin:

    S trazamos un diagrama de rbol que nos represente los 8

    lanzamientos de la moneda, encontraremos que las ramas que nos interesan

    son aquellas en donde aparecen 3 guilas y la ltima de ellas aparece en el

    ltimo lanzamiento; ejemplos de una rama que nos interesa sera;

    SAASSSSA, SSASSSAA, ASSASSSA, etc., etc.

    Entonces la probabilidad se puede determinar de la siguiente forma:

  • (Probabilidad de que aparezcan Tres guilas, donde la ltima de ellas aparece en el ltimo lanzamiento de

    la moneda)=(# de ramas del rbol en donde la tercera guila que aparece est en el octavo

    lanzamiento)(probabilidad asociada a cada rama)

    Luego, definiendo algunos trminos a utilizar;

    Y = k = nmero de lanzamientos necesarios para que se obtenga una guila

    por r-sima vez = 8 lanzamientos

    r = nmero de veces que aparece un xito = 3 guilas

    p = probabilidad de xito = p(aparezca guila) = 2/3

    q = probabilidad de fracaso = p(aparezca sello) = 1/3

    Luego, el nmero de ramas que nos interesan del rbol se podra

    determinar de la siguiente forma:

    # de ramas =

    Cual es la razn de que se tomen k-1 ensayos y r-1 xitos al momento

    de calcular el nmero de ramas que nos interesan?

    Lo anterior se debe a que en el ltimo ensayo siempre va a haber un xito,

    por lo que como ste no se va a mover como lo hacen los xitos anteriores,

    entonces no se toma en cuenta para el clculo de las ramas que nos

    interesan.

    Y la probabilidad asociada a cada rama sera;

  • Probabilidad asociada a cada rama = p(S)*p(A)*p(A)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A)=

    = q*p*p*q*q*q*q*p = Por lo tanto, la frmula a utilizar sera:

    Donde:

    P(Y=k) = probabilidad de que ocurran r xitos en k ensayos y que el ltimo

    de ellos que es el r-simo, ocurra en el k-simo ensayo que es el ltimo.

    r = nmero de xitos

    k = nmero de ensayos para obtener r xitos

    p = p(xito) = p(aparezca guila)

    q = p(fracaso) = p(aparezca sello) = 1-p

    Binomial Negativo

    Ejemplos:

    1. S la probabilidad de que un cierto dispositivo de medicin muestre una

    desviacin excesiva es de 0.05, cul es la probabilidad de que; a) el sexto

    de estos dispositivos de medicin sometidos a prueba sea el tercero en

    mostrar una desviacin excesiva?, b) el sptimo de estos dispositivos de

    medicin sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviacin

    excesiva?.

    Solucin:

    a) k = 6 dispositivos de medicin r = 3 dispositivos que muestran desviacin excesiva p = p(dispositivo muestre una desviacin excesiva) = 0.05 q = p(dispositivo no muestre una desviacin excesiva) = 0.95

    p(Y = 6) = b) k = 7 dispositivos de medicin r = 4 dispositivos que no muestran una desviacin excesiva

  • p = p(dispositivo no muestre una desviacin excesiva) = 0.95 q = p(dispositivo muestre una desviacin excesiva) = 0.05

    p(Y = 7) =

    2. Los registros de una compaa constructora de pozos, indican que la

    probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en

    el trmino de un ao es de 0.20. a) Cul es la probabilidad de que el sexto

    pozo construido por esta compaa en un ao dado sea el segundo en

    requerir reparaciones en un ao?. b) Cul es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta

    compaa en un ao dado sea el tercero en requerir reparaciones en un

    ao?. Solucin: a) k = 6 pozos r = 2 pozos que requieren reparaciones en un ao p = p(pozo requiera reparaciones en un ao) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un ao) = 0.80

    p(Y = 6) = b) k = 8 pozos r = 3 pozos que requieren reparaciones en un ao p = p(pozo requiera reparaciones en un ao) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un ao) = 0.80

    p(Y = 8) =

  • 7. DISTRIBUCIN GEOMTRICA. Esta distribucin es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que

    ocurra un xito por primera y nica vez en el ltimo ensayo que se realiza

    del experimento, para obtener la frmula de esta distribucin, haremos

    uso de un ejemplo.

    Ejemplo: Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la

    probabilidad de que aparezca guila es de 2/3, mientras que la

    probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de

    que en el ltimo lanzamiento aparezca una guila. Solucin: Si nosotros trazamos un diagrama de rbol que nos represente los 8

    lanzamientos de la moneda, observaremos que la nica rama de ese rbol

    que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por

    ltimo una guila; como se muestra a continuacin: S S S S S S S A S denotamos; x = el nmero de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra

    un xito por primera y nica vez = 8 lanzamientos p = probabilidad de que aparezca una guila = p( xito) = 2/3 q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada sera; P(aparezca una guila en el ltimo

    lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

    =q*q*q*q*q*q*q*p = Luego, la frmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con

    esta distribucin sera;

    Donde:

  • p(x) = probabilidad de que ocurra un xito en el ensayo x por primera y

    nica vez p = probabilidad de xito q = probabilidad de fracaso Resolviendo el problema de ejemplo; x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una

    guila p = 2/3 probabilidad de que aparezca una guila q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

    p(x=8) = Ejemplos: 1. S la probabilidad de que un cierto dispositivo de medicin muestre una

    desviacin excesiva es de 0.05, cul es la probabilidad de que; a) el sexto de

    estos dispositivos de medicin sometidos a prueba sea el primero en mostrar una

    desviacin excesiva?, b) el sptimo de estos dispositivos de medicin sometidos a

    prueba, sea el primero que no muestre una desviacin excesiva?.

    Solucin:

    a) x = 6 que el sexto dispositivo de medicin probado sea el primero

    que muestre una variacin excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medicin muestre

    una variacin excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medicin no muestre

    una variacin excesiva

    p(x = 6) = b) x = 5 que el quinto dispositivo de medicin probado, sea el

    primero que no muestre una desviacin excesiva p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medicin no

    muestre una variacin excesiva q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medicin muestre

    una variacin excesiva

    p(x = 5) =

  • 2. Los registros de una compaa constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el

    trmino de un ao es de 0.20. Cul es la probabilidad de que el quinto pozo

    construido por esta compaa en un ao dado sea el primero en requerir

    reparaciones en un ao?.

    Solucin: x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un

    ao p = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el trmino

    de un ao q = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el

    trmino de un ao

    p(x = 5) =

    1. DISTRIBUCIN BINOMIAL

    Las caractersticas de esta distribucin son:

    a) En los experimentos que tienen este tipo de distribucin, siempre se

    esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa,

    no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente xito (que es lo que se

    espera que ocurra) o fracaso (lo contrario del xito).

    b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son

    constantes, es decir no cambian.

    c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son

    independientes entre s.

    d) El nmero de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

  • A partir de un ejemplo. Desarrollaremos una frmula que nos permita

    cualquier problema que tenga este tipo de distribucin.

    Ejemplo:

    Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad

    de que aparezcan 2 guilas.

    Solucin:

    Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que

    hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribucin

    binomial, y podemos decir que efectivamente as es, ya que se trata de un

    experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al

    lanzar la moneda, guila o sello, cutas probabilidades de ocurrenc