DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Pokok Bahasan ke-6

1

Variabel Random :2

adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S.

Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari nilainya.

Contoh :3

S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}

dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”.

Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

Variabel random diskrit:4

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Diskrit.

Variabel random kontinu:5

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.

Distribusi Probabilitas :6

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)

Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) :

7

Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x)

-

- 1)(

1

n

x

xf

0)( xf

Distribusi Probabilitas Diskrit X (2) : 8

Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

xuntuktfxXPxFxt

)()()(

Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) :

9

Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X.

Dinyatakan dengan E(X), yaitu: )(.)( ii xfxXE

Contoh:10

Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,

Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.

Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.

Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28

Hitung nilai rata-rata X.

Jawab (1):11

Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :

X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah

= 0, 1, 2 Sehingga dapat dihitung :

28

10

2

8

2

5

0

3

)0()0(

XPf28

15

2

8

1

5

1

3

)1()1(

XPf 28

3

2

8

0

5

2

3

)2()2(

XPf

Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah

x 0 1 2

f(x) 10/28 15/28 3/28

Rumus distribusi probabilitas adalah 2,1,0,

2

8

2

5.

3

)()(

xuntukxx

xfxXP

Jawab (2):12

Distribusi kumulatif F(x) adalah :F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 +

3/28 = 1Sehingga :

1 , untuk x < 0F(x) = 10/28 , untuk 0 x < 1

25/28 , untuk 1 x < 21 , untuk x 2

Jawab (3):13

Dengan menggunakan F(x), maka f(2) = F(2) – F(1)

= 1 – 25/28= 3/28

Nilai Ekspektasi X adalahE(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2) = (0). (10/28) + (1). (15/28) +

(2). (3/28) = 21/28

Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):

14

Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

Rxsemuauntukxf ,0)(

1)(

dxxf

b

a

dxxfbxaP )()(


15

Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

xuntuktdtfxXPxFx

,)()()(

)()()( aFbFbxaP


16

Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X.

Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

dxxfxXE )(.)(

Contoh:17

Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 x 4◦ Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f

sama dengan 1.◦ Hitunglah P(1,5 < x < 3)◦ Hitunglah P( x < 2,5)◦ Hitunglah P(x 3,0)◦ Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x

< 2,5)◦ Hitung nilai E(X)

Distribusi Binomial (Distribusi Probabilitas Diskrit)

18

Percobaan Bernoulli :Sifat-sifat sebagai berikut :

Percobaan itu terdiri dari n pengulangan Tiap pengulangan memberikan hasil yang

dapat diidentifikasi sukses atau gagal Probabilitas sukses dinyatakan dengan p,

tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p

Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

Distribusi Binomial19

Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai :

b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n

xnxqpx

n)p,n;x(b

Rata-rata dan Variansi Distribusi Binomial :

20

Rata-rata =

Variansi =

np

npq2

Contoh21

Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas :

Paling sedikit 10 orang yang selamatDari 3 sampai 8 orang yang selamatTepat 5 orang yang selamatHitung rata-rata dan variansinya

Distribusi Poisson(Distribusi Probabilitas Diskrit)

22

Percobaan Poisson : Jika suatu percobaan menghasilkan

variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson.

Distribusi Poisson23

Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson.

Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi , adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

,......2,1,0,!

);(

xx

exp

x

Rata-rata dan Variansi Distribusi Poisson

24

Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson adalah .

Catatan : Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk

pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengannp

Contoh25

Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas : Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan

itu terjadi 7 kecelakaan Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan

terjadi minimal 4 kecelakaan Pada suatu minggu tertentu di simpang

jalan itu terjadi 4 kecelakaan

Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Binomial

26

Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan = np

Contoh27

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

Distribusi Normal(Distribusi Probabilitas Kontinu)

28

Kurva Normal dan Variabel Random Normal Distribusi probabilitas kontinu yang

terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal.

Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.

x

Sifat kurva normal, yaitu :29

Kurva mencapai maksimum pada Kurva setangkup terhadap garis

tegak yang melalui Kurva mempunyai titik belok pada Sumbu x merupakan asimtot dari

kurva normal Seluruh luas di bawah kurva, di

atas sumbu x adalah 1

x

x

x

Distribusi Normal30

Variabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

)2()x( 22e

2

1),;x(n

x

31

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan : )xXx(P 21

2

1

222

1

x

x

)2()x(x

x21 dxe

2

1dx),;x(n)xXx(P

1dxe2

1)X(P )2()x( 22

X1x

X2

Distribusi Normal Standar (1)

32

x

Z

2

1

2

1

22

1

2 z

z

z

z

z2

1z

z

z2

1

21 dz)1,0;z(ndze2

1dze

2

1)zZz(P

ternyata substitusi

menyebabkan distribusi normal

menjadi , yang disebut distribusi normal standar.

x

Z

),;z(n

)1,0;z(n

• apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi maka :

Distribusi Normal Standar (2):

33

Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai

ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.

)xXx(P 21

Contoh:34

Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat ◦ kurang dari 53 kg◦ di antara 53 kg dan 57 kg

Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan deviasi standar 7.9, hitunglah◦ Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan

nilai 10% terendah mendapat E. ◦ Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa

dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .

Soal 135

Sebuah pengiriman 7 set televisi berisi 2 set cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian secara acak 3 set dari semua set televisi yang ada. Bila x adalah jumlah set televisi yang cacat yang dibeli oleh hotel tersebut,◦ Carilah distribusi probabilitas X◦ Carilah distribusi kumulatif F(x)◦ Dengan menggunakan F(x), hitunglah P(X

= 1) dan P(0 < x 2)◦ Hitung nilai E(X)

Soal 236

Jumlah jam total, yang diukur dalam satuan 100 jam, bahwa suatu fungsi keluarga menggunakan pengisap debu pada periode satu tahun merupakan suatu variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi probabilitas :f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1 x < 2, dan f(x) = 0, untuk x lainnya◦ Tunjukkan bahwa P(0 < x < 2) = 1◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah

keluarga menggunakan pengisap debu mereka kurang dari 120 jam

◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka antara 50 sampai 100 jam.

◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga menggunakan pengisap debu mereka lebih dari 150 jam.

◦ Hitung nilai harapan X.

Soal 337

Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma melati dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai bentuk dan ukuran sama. Semua sampel dimasukkan dalam kotak dan kemudian diambil 4 sabun. Didefinisikan variabel random X adalah banyaknya sabun mandi beraroma melati yang terambil, tentukan: Nilai dari variabel random X Distribusi probabilitas variabel random X Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2) Hitung rata-rata dan variansinya

Soal 438

Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat pos berbetuk varaibel random kontinu X yang mempunyai fungsi padat probabilitas

untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0 untuk nilai x lainnya.

Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat probabilitas.

Hitung P( ½ < x < ¼) Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung

P( ½ < x < ¼)

5

)2(2)(

xxf

Soal 539

Probabilitas menghasilkan produk cacat dari PT Idaman, sebuah perusahaan yang menghasilkan lemari es, adalah 0,2. Dalam rangka untuk mengendalikan kualitas lemari es, maka bagian pengendali kualitas bermaksud melakukan penelitian tentang probilitas kerusakan lemari es. Sebagai langkah awal diambillah sampel sebanyak 8 lemari es. Dari 8 lemari es tersebut berapakah probabilitas diperoleh :◦ Dua lemari es rusak◦ Tiga lemari es baik◦ Paling banyak 7 lemari es baik◦ Antara 3 sampai 5 lemari es rusak◦ Paling sedikit 2 lemari es baik◦ Paling banyak 2 lemari es rusak

Soal 640

Disket yang diproduksi oleh PT Akbar ternyata sangat berkualitas. Hal ini terbukti dari 100 buah disket ternyata hanya ada 2 disket yang tidak berfungsi. Apabila diambil 150 buah disket, maka probabilitas:◦ Tiga diantaranya tidak berfungsi◦ Maksimum 5 tidak berfungsi◦ Antara 3 sampai 6 tidak berfungsi◦ Minimum 145 berfungsi

Soal 741

Rata-rata banyaknya makanan kaleng yang ada di gudang telah kadaluarsa adalah 5. Diambil sampel random sebanyak 10 buah makanan kaleng di gudang, hitung probabilitas:◦ Lima diantaranya kadaluarsa◦ Maksimum 4 telah kadaluarsa◦ Antara 5 sampai 8 telah kadaluarsa◦ Minimum 186 masih bisa dimakan

Soal 842

Tes IQ 600 calon mahasiswa mempunyai mean 115 dan deviasi standarnya 12. Mahasiswa dikatakan lulus tes, bila mempunyai IQ paling rendah 95, berapakah mahasiswa yang dinyatakan tidak lulus ?

Gaji pegawai suatu perusahaan rata-rata Rp.525,- per jam dengan deviasi standar Rp.60,-. ◦ Berapa persen karyawan yang bergaji Rp.575,-

dan Rp.600,- per jam ?◦ Di atas berapa rupiahkah 5% gaji per jam

tertinggi ?

Documents

DISTRIBUSI PROBABILITAS