DISTRIBUSI STUDENT t

SEJARAH

W.S. Gosset menuliskan distribusi peluang t pada saat bekerja diperusahaan bir di Irlandia

(1908). Perusahaan tersebut melarang semua karyawan untuk menerbitkan hasil penelitiannya.

Untuk menghindari larangan tersebut W.S. Gosset menerbitkan karyanya secara rahasia dengan

nama student. Oleh sebab itulah distribusi t disebut sebagai distribusi peluang student t.

DASAR

Distribusi Student atau distribusi t, ialah Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain

daripada distribusi normal dengan fungsi densitasnya adalah :

Untuk harga-harga n yang besar, biasanya n ≥ 30, distribusi t mendekati distribusi normal baku.

Distribusi probabilitas t-Student diturunkan dari distribusi probabilitas normal baku, dalam

bentuk yang berkaitan dengan distribusi probabilitas khi-kuadrat, yakni :

dengan z1, z2, z3, . . . sebagai distribusi probabilitas normal baku dan

c2n= z2

1 + z22 + z2

3 + . . . + z2n

dari distribusi probabilitas khi-kuadrat.

KURVA DISTRIBUSI t

TABEL DISTRIBUSI t

Distribusi t bentuk kurva simetris

Puncak sebuah rata-ratanya ditengah berimpit dengan t=0, makin jauh dari puncaknya, kurva

makin landai mendekati sumbu datarnya

Kasus normal dengan jumlah sampel n < 30 dan simpangan baku  populasi (s )  tidak diketahui

sehingga nilainya digantikan dengan simpangan baku  sampel ( S )

Misalkan t adalah variabel random berdistribusi student, maka distrbusi peluangnya adalah

, –∞ < t < ∞

Dimana

     K        : bilangan tetap yang tergantung pana n

     n-1     : derajat kebebasan, dengan n jumlah sampel

     n ≥ 30: distribusi t mendekati distribusi normal

Luas di bawah kurva t antara ordinat t1 dan t2 merupakan peluang peubah acak t yang mendapat

nilai antara t = t1 dan t = t2. Jadi dapat dituliskan sebagai berikut

P ( t1 < t < t2 )

Nilai t1 dan t2 dapat ditentukan dari tabel t sedangkan luas di bawah kurva tergantung a yang

diambil. Misalkan a = 0,05, maka t0,05 maksudnya luas di sebelah kanan t0,05  adalah 0,05 dan di

sebelah kiri t0,05 adalah 0,95. Selain itu, karena sifat kesimetrisan maka distribusi t mempunyai

sifat     

-ta = t1-a.

Untuk sampel n ukuran n ≥ 3, taksiran σ 2 dapat diperoleh dengan menghitung nilai S2. Bila n

≥ 30, maka S2 memberikan taksiran σ 2 yang baik dan tidak berubah dan distribusi statistik ¿

masih secara hampiran, berdistribusi sama dengan peubah normal baku z.

Bila ukuran sampel ( n < 30 ), nilai S2 berubah cukup besar dari sampel ke sampel dan

distribusi peubah acak ¿ tidak lagi distribusi normal baku.

Dalam hal ini didapatkan distribusi statistik yang disebut T

Distribusi sampel T di dapat dari anggapan bahwa sampel acak berasal dari populasi

normal.

T=¿¿

Dengan ,

Z= X−μσ /√n

Berdistribusi normal baku,dan

V=(n−1 ) S2

σ2

Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat

kebebasan v. Bila z dan v bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

T= Z√V /v

Diberikan oleh,

Ini di kenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v.

Contoh Soal

T= X−μS/√n

h (t )=Γ [ ( v+1 ) /2 ]Γ (v /2 ) √πv (1+ t 2

v )− ( v+1 )/ 2

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Definisi

Digunakan untuk memodelkan kasus selang waktu antara dua kejadian dari suatu peristiwa

(waktu antara kedatangan).

Dengan kata lain, distribusi ini digunakan untuk memodelkan waktu tunggu sampai sebuah

peristiwa terjadi, dan juga untuk memodelkan waktu antar terjadi peristiwa.

Ciri – Ciri

1. Kurva dari distribusi eksponensial mempunyai ekor di sebelah kanan dan nilai x dimulai

dari 0 sampai tak hingga.

2. Mempunyai nilai variansi

3. Mempu

4. nyaMi enmilaiil imki esatanndart devisi yang sama dengan rata – rata

5. Pencarian pada distribusi eksponensial menggunakan variabel random

6. Peluang yang terjadi pada suatu percobaan mempengaruhi selisih waktu yang terjadi pada

percobaan tersebut.

7. Mempunyai nilai λ • 0.

8. Mempunyai χ ≥ 0

CONTOH KASUS

❑ Waktu antara truk tiba di dermaga bongkar

❑ Waktu antara transaksi pada mesin ATM

❑ Waktu antara panggilan telepon ke operator utama

RUMUS

Dalam menghitung probabilitas distribusi eksponensial dengan rata – rata “kurang dari”,

rumus yang digunakan adalah :

Keterngan :

X = interval rata-rata

λ = parameter rata-rata

Xo = rata-rata sampel yang ditanyakan

e = eksponensial = 2,71828

Nb : Untuk lebih dari atau sama dengan, gunakan tanda ≥

KURVA

Gambar daerah luas kurva distribusi

eksponensial :

Keterangan : daerah arsiran probabilitas tergantung tanda ≥ atau ≤. jika P (X ≤ Xo) maka daerah

arsiran probabilitasnya berada di sebelah kiri.

CONTOH SOAL

Toko CD “ BEAT THE HITS” tengah mengadakan diskon besar-besaran sehingga kedatangan

pengunjung yang berdistribusi eksponensial meningkat dari biasanya menjadi 8,4 per 35 menit.

Berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 8 menit atau lebih?

Diketahui:

Xo = 8 menit

Λ = 8,4 / 35 menit = 0.24 per menit

Ditanyakan: P(X ≥ 8 menit)?

Jawab :

P ( x≥ x0 )=1−e−γ x0 π r2

P ( x≥ 8 )=1−e−(0,24 )(8)

P ( x≥ 8 )=1−2,71828−1,92=0,85

P ( x≥ 8 )=0,85