DM1 - p7 Функции и кардиналност

1

ФУНКЦИИ

Дискретна математика 1

www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu

Дефиниција: Нека А и В се множества. Ако на секој елемент

од А му доделиме точно еден елемент од В, ќе речеме дека

сме дефинирале функција од А во В. Пишуваме f(a)=b, ако b

е единствениот елемент од В кој му е доделен на а со

функцијата f.

Во термини на релации:

Дефиниција 2: Функција е множество од подредени парови од

AxB, каде за секое a од A, постои единствено b од B така што

f(a)=b.

o Понекогаш наместо функција велиме пресликување или

мапирање.

Вовед за Функции 2

2


• Различни начини на дефинирање, задавање или

специфицирање на функции

• Директно назначување на секое доделување на

елементи: слика, (5 студенти и насоката на ФИНКИ)

• Описно: f(x)=x+1

• Компјутерски програм

за означување на функција

Задавање на функции 3


Ако f е функција од А во В, ќе речеме дека А е домен на f

а В е кодомен на f.

Ако f(a)=b тогаш велиме дека B е слика на а, а а е

предслика на b.

Ранг на f множеството од сите слики на елементите од А

Пример: Домен: {Ана, Марко, Иван, Кате, Стефан},

Кодомен:{КН, МТ, ЕТ, КЕ, АСИ}

Ранг: {КН, МТ, ЕТ, АСИ}

Домен и кодомен 4

3


• Да се најде домен и кодомен ако

• f е функцијата која било кој бит стринг со повеќе од две цифри го пресликува во последните две цифри.

• Домен: {(x1, x2,…xn)|xi{0,1}, i=1,,,,n, n2}

• Кодомен=Ранг е множеството {00,01,10,11}

• f: ZZ, каде секој број се пресликува во неговиот квадрат.

• Домен Z, Кодомен Z, Рангот е множеството {1,4,9,16,…}

• Во програмските јазици доменот на функција се специфицира посебно

• Java: Int floor(float real){…}

• Pascal: function floor(x: real): integer

Примери 5


Дефиниција

– Нека f1 и f2 се фукции од А во R. f1 + f2 и f1f2 се

исто така функции од А во R дефинирани со:

–(f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x)

–(f1f2)(x) = f1(x)f2(x)

• Пример: f1(x) = x2, f2(x)=x - x2

– (f1+f2)(x) = x2+(x - x2)= x

– (f1f2)(x) = x2(x - x2)= x3 – x4

Збир и производ на функции 6

4


Дефиниција: Нека f : ST е дадена функција и нека A S и BT.

Слика на A со функцијата f е подмножеството од Т кое се состои од сите слики на елементите од А.

f(A)={ y |xA, y=f(x)} – или накусо {f(x)|xA}.

Праслика или инверзна слика на B со функцијата f е подмножество од S, кое се сеостои од сите елементи од S чија слија е во множеството B.

f-1(B) = {xS | f(x)B}

Слика и праслика (инверзна

слика) на множество 7


Примери

• 1. S={a, b, c, d, e} и T={1, 2, 3, 4}, f:ST, f(a)=2, f(b)=1, f(c)=4, f(d)=1, f(e)=1.

f({b, c, d})={1, 4}, f-1({1,3})={b,d,e}

2. f: R R, f(x)=x+1,

f({-1,0,2})={0,1,3}, f-1((0,1))=(-1, 0)

3. g: ZZ, f(x) = |x|

f({-5, -2, 0, 2, 3})={0,2,3,5}

f-1({-2, -1})=, f-1({0, 2, 3})={-3, -2, 0, 2, 3}

8

5


Дефиниција: За функција f, на која доменот и кодоменот

и се подмножества од множеството на реални броеви, ќе

речеме дека е растечка функција ако за сите x и y од

доменот на f такви што x<y важи дека f(x)f(y), односно

xy(x<y f(x)f(y))



речеме дека е опаѓачка функција ако за сите x и y од

доменот на f такви што x<y важи дека f(x)f(y), односно

xy(x<y f(x)f(y))

Растечки и опаѓачки функции 9




речеме дека е строго растечка функција ако за сите x

и y од доменот на f такви што x<y важи дека f(x)<f(y),

односно xy(x<y f(x)<f(y))



речеме дека е строго опаѓачка функција ако за сите x

и y од доменот на f такви што x<y важи дека f(x)f(y),

односно xy(x<y f(x)>f(y))

Строго растечки и строго

опаѓачки функции 10

6


Дефиниција 1. За функција f:ST, ќе речеме дека е инјекција или еден-еден функција ако и само ако различни елементи од S имаат различни слики во Т, односно важи следново тврдење:

• Ако за секои x,y од S, ако xy тогаш f(x)f(y) или

(xS)(yS)(xyf(x)f(y))

Користејќи го својството на контрапозиција на импликација,

инјекција можеме да дефинираме и на следниот начин:

Дефиниција 2. За функција f:ST, ќе речеме дека е инјекција или еден-еден функција ако и само важи следново тврдење:

• Ако за секои x,y од S, ако f(x)=f(y) тогаш x=y, или

(x,yS) (f(x)=f(y) x=y)

Инјекции или 1-1 функции 11


Пример. 1-1

1. А={a, b, c, d} и B={1, 2, 3, 4, 5}, f(a)=2, f(b)=1, f(c)=4, f(d)=5 е инјекција бидејќи

xy, f(x)f(y)

2. f: RR, f(x)=x+1 е инјекција.

Нека f(x)=f(y). Тогаш x+1=y+1. Според тоа x=y.

3. Строго растечките и строго опаѓачките функции се инјекции.

4. f: RR , f(x)=x2.

Не е инјекција бидејќи 1-1, но f(1)=1=f(-1).

Примери за инјекции 12

7


Дефиниција: За функција f:ST ќе речеме дека е сурјекција или на функција ако и само ако за секој елемент y T постои елемент x S таков што f(x) = y, односно

(yТ)(xS)( f(x) = y )

Примери: 1. А={a, b, c, d} и B={1, 2, 3}, f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1, f(d)=3.

2. f:R R, f(x)=x+1 е сурјекција,

Нека yR. Тогаш ако земеме x=y-1, добиваме

f(x)=f(y-1)=(y-1)+1=y.

3. Функцијата f:R R, f(x)=x2 не е сурјекција бидејќи

на пример, -1 не е слика на ниеден реален број.

Сурјекции или “на“ функции 13


Функцијата (пресликувањето) f:ST не е инјекција акко постојат барем два различни елементи во S кои имаат исти слики, односно

xy(xyf(x)=f(y))

Функцијата (пресликувањето) f:ST не е сурјекција акко постои барем еден елемент T кој не е слика на ниту еден елемент од S, односнои

(yT)(xS) (yf(x))

Кога едно пресликување не е инјекција однодно сурјекција

14

8


Дефиниција: За функција f :ST ќе речеме дека е биекција или еден-еден коресподенција ако и само ако таа е и инјекција и сурјекција

Примери.

1. А={a, b, c, d} и B={1, 2, 3, 4}, f(a)=2, f(b)=1, f(c)=3, f(d)=4. е биекција

2. f:R R, f(x)=x+1, е биекција.

3. Идентичната функција :SS, (x)=x, е биекција

4. Пресликувањето, f:R R+ f(x)=x2 не е биекција бидејќи не е инјекција, додека f:N N f(x)=x2 не е биекција бидејќи не е сурјекција

Биекција 15


1. Пресликувањето f : N2N, дефинирано со f(n)=2n, nN

е биекција. (2N е множеството на парни природни броеви)

2. Функцијата g:NZ дефинирана со

е биекција од Z во N.

Примери за биекции 16

паренеnакоn

непаренеnакоn

nf

2

2

1

)(

9


Примери 17


Примери 18

• Докажи дека f:R R, f(x)=2x-1 е инјекција

f(x)=f(y) 2x-1=2y-1 x=y

• Докажи дека f:R R, f(x)=2x2 не е инјекција

f(1)=2=f(-1)

• Докажи дека f:R R+, f(x)=x2 е сурјекција

Нека y е од R+. Тогаш x= e од R и f(x)=y

• Докажи дека f:R R, f(x)=2x2 не е сурјекција

Ништо не се пресликува во -1

• Докажи дека f:R R, f(x)=2x-1 е биекција

Инјекција докажавме.

Нека y е од R. Тогаш x= (y+1)/2 е од R и f(x)=y

y

10


Дефиниција: Нека f е биекција од А во В. Дефинираме функција f-1:BA, така што на елементот b од В го доделуваме елементот a од А ако f(a)=b. Оваа функција ја нарекуваме инверзна функција на функцијата f.

• Според тоа, ако f:AB е биекција, f-1:BA, дефинирана со f-1(b)=a акко f(a)=b е инверзна функција на f.

• f-1 не е исто со 1/f

Инверзна функција (инврзно

пресликување) 19


1. Пресликувањето f:RR , f(x)=x+1 ,видовме дека е биекција. Инверзното пресликување f-1:RR е дадено со

f-1(x)=x-1.

2. НекаА={a, b, c, d} и B={1, 2, 3, 4},

f:AB, е биекција.

Инверзното пресликување f-1:BA е дадено со

Примери 20

4312:

dcbaf

dcabf

4321:1

11


Композиција на фукции

Дефиниција:Нека g е фукциja од А во B и f е фукциja од В во С. Композиција на функциите f и g, fg e функциja од А во C дефиниранa со:

(fog)(x) = f(g(x))

• Пример: f, g: R R, f(x) = x2, g(x)=x - x2

(fog)(x) = (x - x2)2

(gof)(x) = x2 – x4

• f-1f(x) = ff-1(x) = (x)

21


Дефиниција: Нека f е фукциja од S во T.

График на f е множеството од подредени

парови: {(x,y)|xA, yB и f(x)=y}

График на функција 22

12


Целобројни функции 23

Дефиниција: Цел дел од x, или подот на х се

дефинира како најголемиот цел број помал од х.

Се бележи со х или [x]

Пример.

– 1/2 =0

– -2.4 =-3



Дефиниција: Горен цел дел од x, или таван

na х се дефинира како најмалиот цел број

поголем од х.

Се бележи со х

Пример.

– 1/2=1

– -2.4=-2

13




Својства на функциите таван

на x и под на x

o Докажи дека за секој реален број х, 2х = х + х+1/2

o Нека х=n+e

o Ако е<1/2, х+1/2=n+e+1/2<n+1, х+1/2 =n и

2x=2(n+e)=2n+2e<2n+1, па 2х =2n

Заедно 2n=n+n

o Ако е1/2, х+1/2=n+e+1/2 n+1, х+1/2 =n+1 и

2x=2(n+e)=2n+2e 2n+1, па 2х =2n+1

Заедно 2n+1=n+n+1

26

14


Својства на функциите таван

и под

o Провери дали х+y = х + y

o Нека х=y=1/2

• 1/2+1/2 = 1 =1

• 1/2 + 1/2=0+0=0

27


Карактеристична функција

o Нека S е подможество од универзалното множество

U. Карактеристичната функција fs на S е функција од

U во {0,1} така што fs(x)=1 ако x припаѓа на S и fs(x)=0

ако x не припаѓа на S.

o fAB= fA fB

o fAB= fA +fB - fA fB

o fA’ =1- fA

o fAB= fA +fB - 2fA fB

28

15


Делумна функција

o Често сакаме да дискутираме за функции кои не се дефинирани над целотo множество кое го земаме за универзално (пример над целото множество на реални броеви)

Дефиниција: Нека S и T се множества. Ако на секој елемент од некое подмножество А од S му доделиме точно еден елемент од T, ќе речеме дека сме дефинирале делумна функција од S во T.

o S е домен, T е кодомен

o f не е дефинирана за елементите кои не се во подмножеството А од S.

o Ако доменот е целото S, фукцијата е целосна.

29


Функции со повеќе

променливи

Ако доменот на некоја функција е множество од

облик S1S2…Sk, велиме дека е тоа функција

со повеќе променливи.

oПример

f: RxR R, f(x, y)=x+y-4

Функција f:(SS)S се нарекува бинарна

операција на S.

30

16


Дефиниција: За две множества A и B велиме дека имаат иста кардиналност или имаат ист кардинален број или се еквивалентни множества акко постои биекција f:AB. Пишуваме |A|=|B|.

Пример: А={x, y, z}, B={a, b, c} .

Дефиниција: Ако A и B се дадени множества и постои инјекција f:AB велиме дака кардиналниот број на A e помал или рамен на кардиналниот број на B, односно |A||B|

Кардиналност на множество 31


Нека Nm={1, 2, . . . , m} е множеството на првите m позитивни природни броеви. Ако постои биекција од Nm во непразно множество S велиме дека S е конечно множество и бројот на елементите е m, односно неговата кардиналност е m, и запишуваме |S|=m.

Кардиналност на конечно множество е број на елементи во тоа множество.

o Пример : • Нека N5 = { 1, 2, 3, 4, 5 }, и T = { a, b, c, d, e }. Постои

биекција од N5 во T, односно |T|=5.

Конечни множества 32

17


Дефиниција: Нека B е дадено множество и SB (S е вистинско подмножество од B). Ако постои биекција f:BS велиме дека B e бесконечно множество.

oПример: Множеството N на природни броеви е бесконечно множество. Имено множеството од парни природни броеви 2N е вистинско подмножество од N. Пресликувањето f:N2N дефинирано со f(n)=2n е биекција од N во 2N.

Бесконечни множества 33


Преброиви множества

o Видовме дека постои биекција од N во 2N, a 2NN,

според тоа N, e бесконечно множество и |N|=|2N|.

Дефиниција: За множетво S што е конечно или

има иста кардиналност како множеството на

природни броеви, односно |S|=|N|, велиме дека

е преброиво множество.

Кардиналноста на N се означува со 0 и се

чита алеф нула.

Ако S не е преброиво велиме дека S е непреброиво.

34

18


Карактеристики и примери

o Преброиви бесконечни множества:

• Елементите може да се излистаат,

• Со процес на броење почнувајќи од еден елемент може да се стигне до секој елемент од множеството.

• Имаат иста кардиналност со N

• Пример: Z, Q, ZZ...

o Непреброиви множества:

• Елементите не може да се излистаат

• Пример: R, RR, …

35


Пример – преброиви бесконечни множества

o Теорема: Множеството Z е преброиво.

Доказ: Функцијата f:NZ дефинирана со

е биекција од Z во N.

Ќе покажеме дека f е инјекција и сурјекција.

паренеnакоn

непаренеnакоn

nf

2

2

1

)(

19


o 1. f е инјекција.

o Нека, m,nN и нека f(m)=f(n)=k. Тогаш k >0 или k0. Ако k>0, тогаш е од облик (s+1)/2 . Според тоа

o Ако k0, k е од облик –s/2, за некоe s>0. Затоа

o 2. f е сурјекција

Нека kZ. Ако k>0, тогаш f(2k-1)=k, ако пак k0, f(-2k)=k.

Според тоа f биекција.

Доказ дека f:NZ е биекција 37

nmnm

nfmf

2

1

2

1)()(

nmnm

nfmf 22

)()(


Пример – преброиви бесконечни множества

o Теорема: Множеството позитивни рационални броеви е преброиво.

38

20


Пример: Множеството подредени парови од цели броеви ZZ e преброиво множество

39


Непреброиви множества

o Теорема: Множеството реални броеви R е непреброиво

o Доказ со дијагонализација: (Cantor, 1891)

• Да претпоставиме дека R е преброиво. Тогаш и секое негово помножество е преброиво, односно множеството реални броеви од интервалот [0,1) е преброиво множество. Претпоставуваме дека постои низа {ri} = r1, r2, ... која ги содржи сите елементи r[0,1).

• Ја разгледуваме листата на елементите од {ri} претставени децимално

40

21



r1 = 0.d1,1 d1,2 d1,3 d1,4 d1,5 d1,6 d1,7 d1,8… r2 = 0.d2,1 d2,2 d2,3 d2,4 d2,5 d2,6 d2,7 d2,8… r3 = 0.d3,1 d3,2 d3,3 d3,4 d3,5 d3,6 d3,7 d3,8… r4 = 0.d4,1 d4,2 d4,3 d4,4 d4,5 d4,6 d4,7 d4,8… . . .

Сега, формираме реален број со земање на

сите цифри di,i кои се наоѓаат по дијагоналата

на оваа фигура и ги заменуваме со различни

цифри.

41



o r1 = 0.301948571… r2 = 0.103918481… r3 = 0.039194193… r4 = 0.918237461…

o OK, додадаваме 1 на секоја цифра (mod 10).

o Добиваме реален број 0.4103… кој не е во листата погоре (различен е од сите претходни реални броеви, се разликува од ri во i-тата позиција)

o Значи, R е непреброиво множество.

42

22


Преброивост наспроти непреброивост

o Треба да се знае:

o Дефинициите за преброивост и непреброивост

o Да се дефинира “иста кардиналност” во случај на бесконечни множества.

o Да се докаже (на најлесен начин) дека множествата се преброиви или непреброиви

43

Documents

DM1 - p7 Функции и кардиналност