Dồn Biến Không Xác Định

8/16/2019 Dồn Biến Không Xác Định

http://slidepdf.com/reader/full/don-bien-khong-xac-dinh 1/19

đàn toán học http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?act=Print&client=pr

9 1/1/2002

Bản in cho chủ đề Nhấn vào đây để xem chủ đề ở nguyên bản

Diễn đàn toán học > Ca c ba i viê t chuyên đê Toa n PTTH > Dồn biến không xác định...

Gửi bởi: bobbysteven_09 April 20, 2006 05:27 pm

Dồn biến không xác định

I, Dồn biến không xác định?Cái tên nghe có vẻ lạ nhỉ ? Để tìm hiểu phương pháp mới mẻ này chúng ta hãy cùng bàn đến hai bài toánquen thuộc sau:

Bài toán 1:

Cho là số nguyên dương và là các số thực thuộc đoạn với là hai số thực chotrước.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài toán 2:Cho là số nguyên dương và là các số thực không âm có tổng bằng .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:{Ở cả hai bài trên thì đều là các biểu thức đối xứng của }

Thông thường đối với các Bài toán 1 chúng ta thường sắp thứ tự các biến và dồn giá trị của biến về haibiên để so sánh trực tiếp chúng. Chẳng hạn so sánh với với mục đích là đưabài toán về trường hợp đơn giản với số lượng biến ít hơn. Còn với Bài toán 2 chắc chắn các bạn sẽ ngh ĩ ngay đến đánh giá hoặc hi hữu lắm thì chúng ta có đánh giá

. Có thể thấy những suy ngh ĩ như trên là vô cùng tự nhiên nhưng nóichung là khó thực hiện vì những bài có thể giải trực tiếp là tương đối đơn giản. Vì vậy chúng ta cần mộtbước phát triển hơn cho phương pháp này đó là dồn biến không xác định. Vậy dồn biến không xác địnhlà gì? Tôi có thể giới thiệu luôn tư tưởng chính của phương pháp này là "Dồn các biến tự do về một trongnhững điểm đặc biệt mà ta chưa thể xác định rõ sẽ dồn cụ thể về điểm đặc biệt nào". Có vẻ hơi khóhiểu phải không? Chúng ta sẽ cùng:

i, Quay lại với Bài toán 1:Thay vì chứng minh chúng ta sẽ chứng minh:

{ }

ii, Trở về với Bài toán 2:Thay vì đánh giá đã nói ở trên chúng ta sẽ chỉ ra được:

{ }

Đọc đến đây bạn đừng vội cười vì nó chỉ tiến bộ hơn phương pháp ban đầu một chút khi điều kiện dồn biếnđược nới lỏng mà trông lại có vẻ phức tạp với max, min lằng nhằng! Bạn hãy xem thử sức mạnh của tưtưởng này thông qua ví dụ quen thuộc sau đây nhưng trước hết chúng ta hãy đến với bổ đề cơ bản:

Bổ đề 1:Cho là các số thực thỏa mãn . Khi đó ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đúng:




9 1/1/2002

i,ii,Chứng minh:Giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai ta suy ra {Mâu thuẫn}.

Hệ quả 1:Cho là các số thực. Khi đó ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau đúng:i,

ii,Ví dụ 1:Cho là hai số thực dương, là số nguyên dương và là các số thực thuộc đoạnvới là hai số thực dương cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.Lời giải:Đặt

do nên theo Bổ đề 1 sẽ có ít nhất một trong hai bất đẳng thức đúng suy ra:{ }

Hoàn toàn tương tự ta nhận được kết quả sau:Tồn tại { } sao cho

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của với { }. Không quá khó khăn chúngta tìm được:

với chẵn khi trong tập { } có số bằng và số còn lại bằng .

với lẻ khi trong tập { } có số bằng và số còn lại

bằng hoặc ngược lại.Từ đây chúng ta đi đến kết luận cho bài toán.

Chắc hẳn các bạn đã từng xơi tái bài này bằng cách sử dụng phương pháp hàm lồi cũng rất nhanh gọnnhưng có lẽ chúng ta phải công nhận với nhau rằng cách giải bằng tư tưởng dồn biến không xác định trên

rất đẹp và phù hợp với trình độ của cả các bạn Trung học cơ sở. Bằng phép chứng minh tương tự, chúngta có thể giải được bài toán sau:

Ví dụ 2:Cho là hai số thực dương, là số nguyên dương và là các số thực thuộc đoạn .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

Cả hai ví dụ trên đều đã có trên báo Toán học và tuổi trẻ cùng với trường hợp tuy nhiêncách chứng minh theo tôi được biết rất thiếu tự nhiên và khó có khả năng giải tổng quát.




9 1/1/2002

Như vậy là đối với các bài toán Bất đẳng thức có biên rõ ràng như Bài toán 1 thì chúng ta đã có một lời giảihợp lý còn với Bài toán 2 thì sao? Dù các biến không nằm trong một giới hạn rõ ràng nhưng chúng ta có thểtạm hiểu được rằng với hai biến thì chúng luôn nằm trong và có những cặp điểm đặc biệtcần chú ý là và . Để giải quyết triệt để Bài toán 2 chúng ta sẽ cụ thể hóa tư tưởng

dồn biến không xác định bằng định lý sau:

II, Định lý dồn biến không xác định U.M.V (Undefined Mixing Variable)

Định lý U.M.V:Cho là các số thực không âm có tổng là một hằng số dương cho trước. là một hàm liên tục, đối xứng của thỏa mãn điều kiện:

{ } với mọi thỏa mãn điều kiện đã

cho.Khi đó giá trị nhỏ nhất của là giá trị nhỏ nhất của trong đó

là giá trị của khi trong { } có số bằng và số còn lại

bằng nhau.Chứng minh:

Bổ đề 2: Cho một bộ số thực không âm thực hiện phép biến đổi như sau:Chọn và

Gán và

Nhưng vẫn giữ nguyên vị trí của chúng trong . Khi đó sau vô hạn lần thực hiện ta được

Chứng minh:Ta chứng minh bằng quy nạp.Với thì bổ đề hiển nhiên đúng.Giả sử bổ đề đúng với ta chứng minh nó đúng với . Thật vậy:Giả sử ở lần thứ nào đó thực hiện phép biến đổi ta sẽ nhận được bộ .Gọi:

{ }{ }

Dễ thấy:{ } là dãy không giảm bị chặn trên bởi nên

{ } là dãy không tăng bị chặn dưới bởi nên

Nếu ở bước thứ nào đó thực hiện phép biến đổi mà hoặc thì được gọi là có thamgia và phép biến đổi ở bước thứ .Gọi là tất cả những lần tham gia phép biến đổi dưới vai trò số nhỏ nhất còn

là tất cả những lần tham gia phép biến đổi dưới vai trò số lớn nhất.*) Nếu đặt { } suy ra từ bước trở đi thì sẽ không tham gia vào phép biến đổinữa. Như thế ta chỉ áp dụng phép biến đổi này cho bộ .

Theo mệnh đề quy nạp thì ta nhận được bộ .

Do không tham gia vào phép biến đổi nào nữa nên từ đây

ta có đfcm.**) Nếu . Không giảm tổng quát giả sử suy ra .Th1: NếuDo




9 1/1/2002

Nên theo định ngh ĩ a giới hạn thì với mọi đủ nhỏ thì: sao cho với mọi thìsao cho với mọi thì

Chọn { } suy ra với mọi thì

mà nên

Th2: Nếu . Hoàn toàn tương tự ta suy ra:

Vì vậy:

Do đó trong mọi trường hợp ta đều có:

Hoàn toàn tương tự ta nhận được kết quả sau:

với mọi nên ta có đfcm.

{Bật mí tí chút: Các bạn hãy quan tâm đến bổ đề trên vì nó chính là xương sống của phương pháp Dồnbiến mạnh S.M.V sẽ sớm xuất hiện trong một cuốn sách Bất đẳng thức sắp ra lò mà tác giả không biết là ai

}Chứng minh định lý:Thực hiện thuật toán với { } cho trường hợp tập { } đã có số

như sau:Để cho gọn ta quy ước:

trong đó:

{ }{ } thỏa mãnTiến hành so sánh:

với và .

*) Nếu thì . Khi đó áp dụng thuật toán cho {

}. Nếu trong một bước nào đó lại có thì chuyển sang thuật toán. Nếu không có thì phép biến đổi sẽ được thực hiện vô hạn lần nên .

**) Nếu ta chuyển trực tiếp sang thuật toán .Rõ ràng thuật toán đã là thuật toán hằng và đó là kết quả cố định.Vì vậy định lý đã được chứng minh hoàn chỉ nh.

Trong Định lý U.M.V ta có thể thay thế điều kiện tổng các biến bằng các điều kiện khác như tích, tổng bìnhphương, tổng lập phương...và có cách dồn biến tương ứng thì định lý vẫn đúng và cách chứng minh khôngcó gì khác.

Hệ quả:Cho là các số thực không âm có tổng là một hằng số dương cho trước. là một hàm liên tục, đối xứng của thỏa mãn điều kiện:

với mọi thỏa mãn điều kiện đã

cho và thì .




9 1/1/2002

III, Một số ứng dụng của phương pháp dồn biến không xác định Để sử dụng phương pháp dồn biến không xác định rõ ràng ta phải thực hiện theo trình tự hai bước.Bước 1: Xác lập điều kiện dồn biến.Bước 2: Giải quyết bài toán với điều kiện đã xác lập bên trên.Hẳn nhiên Bước 2 chính là nội dung của Định lý U.M.V và đã được giải quyết một cách hoàn toàn triệt để.Do đó, phần quan trọng nhất của chúng ta cần phải làm đó là thực hiện được Bước 1. Một điều kì lạ là bướcnày thường được xử lý rất gọn nhẹ bằng cách sử dụng Bổ đề 1-Một bổ đề gần như hiển nhiên dựa trênquan hệ thứ tự của các số trên trục số thực. Chúng ta hãy tìm hiểu rõ hơn qua các ví dụ đặc trưng sau:

Ví dụ 3(Phát triển từ một bài IMO):Cho là số nguyên dương và là các số thực không âm có tổng bằng . Tìm số thực dươngtốt nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng:

Lời giải:Đặt:

Từ ta có ngay ít nhất một trong hai bất đẳng thức đúng suy ra:{ }

Theo Định lý U.M.V ta có:

Vì vậy để bất đẳng thức ở đề bài thỏa mãn thì

Do đó giá trị tốt nhất của thỏa mãn đề bài là

Ví dụ 3 Thực sự là một bài toán rất khó đã từng có mặt ở dạng này hay dạng khác trong các đề thi vô địch.Chắc chắn các bạn đã từng cảm nhận được biểu thức đạt giá trị tốt nhất ngoài trường hợp biến bằngnhau thì còn một trường hợp một biến bằng nhưng vẫn vô cùng tức tối vì không có cách nào ép nó vềđược . Giờ đây đã cho bạn một hướng đi khá sáng sủa.

Ví dụ 4(tổng quát từ RO-TST):Cho là số nguyên dương và là các số thực không âm có tích bằng . Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức:

Trong đó k là một số thực dương cho trước.Lời giải:Ta sẽ chứng minh

{ }Thật vậy, điều này tương đương với:




9 1/1/2002

Có:

Từ suy ra ít nhất một trong hai bất đẳng thức đúng. Nên d ĩ nhiên:{ }

Theo Định lý U.M.V ta có ngay

Ví dụ 5(bobbysteven_09):

Cho là các số nguyên dương và là các số thực không âm có tổng bằng . Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức:

.

Trong đó là số thực không nhỏ hơn 2.Lời giải:Đặt:

Ta sẽ chứng minh:{ }

Thật vậy:

Để ít nhất một trong hai bất đẳng thức chắc chắn đúng thì:




9 1/1/2002

{Cộng hai vế với }

Điều này hiển nhiên do: {Bất đẳng thức AM-GM}

với

Vậy ta có: { }

Vì thế theo Định lý U.M.V ta có

Với ta có bài toán quen thuộc:Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Bạn thấy có điều gì kì lạ không? Hình như U.M.V này chẳng thèm quan tâm đến số biến hay bất kìthì cũng thế.

Ví dụ 6(tổng quát từ bdt Turkervici):Cho là số nguyên dương và là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

Lời giảiBất đẳng thức đã cho tương đương với:

Đặt và

Ta có:

Vì nên nên theo Bổ đề 1 thì có ít nhất một

trong hai bất đẳng thức đúng.

Vậy { }

Theo Bất đẳng thức Cauchy-Shwarz thì




9 1/1/2002

nên .Mặt khác nên theo Hệ quả của định lý U.M.V ta có điều phải chứng minh. Đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi hoặc và các hoán vị.

Ví dụ 6: là bài toán tổng quát của Bất đẳng thức Turkervici . Trên thực tế với trường hợp riêng nàybài toán đã rất khó và với trường hợp tổng quát nó đã thể hiện được gần như toàn bộ vẻ đẹp của phương

pháp này...Bạn thấy không? Nó cũng "dễ thương" đấy chứ?

Một số bài tập ứng dụng:

Bài 1:(bobbysteven_09)Cho là số nguyên dương và là các số thực thuộc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 2(bobbysteven_09):Cho là các số thực không âm có tổng bằng . là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức:

Bài 3(bobbysteven_09):Cho là số nguyên dương và là các số thực không âm có tích bằng . Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức:

Bài 4(bobbysteven_09):Cho là các số nguyên dương và là các số thực không âm có tổng bằng . Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức:

.

Trong đó là số thực bất kì.

Bài 5(hungkhtn):Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 6(bobbysteven_09):Cho là các số nguyên dương và là các số thực không âm có tổng bằng . Tìm số thực tốtnhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi bộ thỏa mãn đề bài:

Bài 7(IMO Shortlist-VietNam):Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Bài 8(Crux magazine):Cho . Chứng minh rằng:

Bài 9(bobbysteven_09):Tìm thực tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi .




9 1/1/2002

Bài 10(hungkhtn):Cho là số nguyên dương và là các số thực không âm có tổng bằng . Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức:

Bài 11(777666):Cho là số nguyên dương và là các số thực không âm có tổng bằng . Tìm giá trị tốt nhất của

số thực sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng.

Trên đây là Phương pháp dồn biến không xác định và định lý U.M.V. Hi vọng phương pháp mới này củatôi sẽ nhận được sự đóng góp ý kiến của tất cả các bạn trong diễn đàn.

Bobbysteven_09

Gửi bởi: 777666 April 27, 2006 08:43 am

Bài vết của rất thú vị! Nó dựa trên nguyên lý trội haiđầu mút đưa từ một bài toán khó ,quy về bài toán đơn giản mà đã nói lên tất cả.Cái hay thực sự của

là nó có thể áp dụng cho nhiều biến.

Gửi bởi: bobbysteven_09 April 27, 2006 09:01 am

Rõ ràng cái hay nhất của U.M.V là không gặp khó khăn mấy đến số biến. Vì chứng minh quy nạp của địnhlý U.M.V đã giải quyết rồi. Còn xác lập điều kiện dồn biến chỉ quan tâm đến dạng của biểu thức. Điều này thì

hay bất kì thì cũng thế.

Gửi bởi: gianglinh April 29, 2006 05:17 pm

QUOTE

{Bật mí tí chút: Các bạn hãy quan tâm đến bổ đề trên vì nó chính là xương sống củaphương pháp Dồn biến mạnh S.M.V sẽ sớm xuất hiện trong một cuốn sách Bất đẳngthức sắp ra lò mà tác giả không biết là ai }

cậu có thể nói cho tớ biết tên quyển sách ấy không chứ tớ ở tỉ nh lẻ chỉ sợ mấy hiệu sách ở tỉ nh không nhập

về,thế thì phải lên Hà Nội mua thôi.

Gửi bởi: bobbysteven_09 April 29, 2006 05:25 pm

Chờ 2 tháng nữa nhé! Nó sẽ sớm ra mặt bạn đọc. Tên cuốn sách tạm dịch là "Bí ẩn và vẻ đẹp của bất đẳngthức đại số".

Gửi bởi: gianglinh April 30, 2006 05:13 pm




19 1/1/2002

đọc chuyên đề này mới thấy những gì mình biết chả thấm vào đâu những bài nhìn rất hóc lạiđược giải quyết rất gọn!Bái Phục!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!mà cho em hỏi UNDEFINED MIXING VARIABLE là ai vậy.

Gửi bởi: MrMATH April 30, 2006 05:16 pm

Nó ngh ĩ a là dồn biến ko xác định mà bạn

Gửi bởi: MrMATH May 03, 2006 08:02 am

Nè, bài 3 sao dám ghi tên chú hả An . Theo thiển ý của anh thì nên ghi là "phát triển từ một bài IMO", thếphải đạo hơn nhỉ

Gửi bởi: ZICO May 03, 2006 05:22 pm

Trong các kì thi có thể áp dụng được nó không nhỉ ???????Và cho em hỏi 1 câu là khi gặp BDT nào thì lại dùng phương pháp dồn biến ạ??

Gửi bởi: bobbysteven_09 May 03, 2006 05:36 pm

QUOTE (MrMATH @ May 3 2006, 08:02 AM)

Nè, bài 3 sao dám ghi tên chú hả An . Theo thiển ý của anh thì nên ghi là "phát triển từmột bài IMO", thế phải đạo hơn nhỉ

Em có biết bài IMO nào như thế đâu. Viết bừa vào thôi. Lười đọc sách mà. Hì...


QUOTE (ZICO @ May 3 2006, 05:22 PM)

Trong các kì thi có thể áp dụng được nó không nhỉ ???????Và cho em hỏi 1 câu là khi gặp BDT nào thì lại dùng phương pháp dồn biến ạ??

Nếu bạn muốn áp dụng cho bài toán biến thì phải chứng minh lại định lý . Cái này thì hơi ngại rồi. Tuynhiên đi thi nếu có chắc chỉ vài biến nên điều này cũng không cần thiết lắm.Còn bài nào thì dùng dồn biến? Thì..............mình cảm giác bài nào dùng được thì dùng. Hơi khó trả lời. Tùycảm nhận từng người...Hì

Gửi bởi: HUYVAN May 10, 2006 11:26 am

Chuyện ngoài lề một tí: Cho em hỏi trên thị trường có sách nào nói một cách nghiêm chỉ nh về Dồn biếnkhông ạ, và Dồn biến được dạy ở chương trình nào?

Gửi bởi: vmo2007 May 10, 2006 12:00 pm




19 1/1/2002

Anh có thê trình bày cụ thê chỗ dồn biến tới 0 và vô cưc khong. Em thư áp dụng vai bài bdt phân thức thìxuất hiện dạng vô định, chăng biết làm thế nào


QUOTE (HUYVAN @ May 10 2006, 11:26 AM)

Chuyện ngoài lề một tí: Cho em hỏi trên thị trường có sách nào nói một cách nghiêmchỉ nh về Dồn biến không ạ, và Dồn biến được dạy ở chương trình nào?

Sắp có rồi em ạ! Đợi hai tháng nữa "nó" sẽ xuất hiện...Còn nếu không em có thể tìm thấy bài viết của thàynamdung trong quyển Bồi dưỡng chuyên đề hè 2005{cái này chắc phải hỏi thày cô của em-nếu em họcchuyên}. Nhìn chung đây là vấn đề mới được phát triển chưa lâu nên nó chỉ có ở chương trình "tự nghiêncứu"...


QUOTE (vmo2007 @ May 10 2006, 12:00 PM)Anh có thê trình bày cụ thê chỗ dồn biến tới 0 và vô cưc khong. Em thư áp dụng vai bàibdt phân thức thì xuất hiện dạng vô định, chăng biết làm thế nào

Anh không hiểu ý em lắm. Gửi cho anh vài bài của anh để anh xem xét...


QUOTE (bobbysteven_09 @ May 10 2006, 04:49 PM)

QUOTE (HUYVAN @ May 10 2006, 11:26 AM)Chuyện ngoài lề một tí: Cho em hỏi trên thị trường có sách nào nói một cáchnghiêm chỉ nh về Dồn biến không ạ, và Dồn biến được dạy ở chương trình nào?

Sắp có rồi em ạ! Đợi hai tháng nữa "nó" sẽ xuất hiện...Còn nếu không em có thể tìm thấybài viết của thày namdung trong quyển Bồi dưỡng chuyên đề hè 2005{cái này chắc phảihỏi thày cô của em-nếu em học chuyên}. Nhìn chung đây là vấn đề mới được phát triểnchưa lâu nên nó chỉ có ở chương trình "tự nghiên cứu"...

Cảm ơn anh bobbysteven_09 nhiều!

Gửi bởi: vmo2007 May 12, 2006 08:30 am

bài ví dụ 4 là dồn về 0 và vô cực đó


À...Đơn giản thôi mà bạn!




19 1/1/2002

Gửi bởi: Nesbit May 12, 2006 06:44 pm

Mình thấy đây là một bài viết khá hay. Mặc dù kiến thức không mới (mình chỉ thấy cách chứng minh Bổ đề 2là mới).Nội dung phần 1 chính là "hàm lồi thì đạt GTLN tại biên", cái này rất quen thuộc.Định lý UMV rất hay và mạnh.Nhưng mình ngh ĩ chứng minh của nó hơi phức tạp. Mình có một chứng minh khác ngắn gọn và dễ hiểu

hơn.Cuối cùng là mình cũng có một định lý để giải những bài "dạng UMV".

Gửi bởi: MrMATH May 12, 2006 06:48 pm

Nesbit giới thiệu nhanh nhé. Nick của An em đã add chưa ([email protected]) . Có gì thì addvào, nói chuyện cho tiện và nhanh nhé, rồi thì post lên đây cho

Gửi bởi: vmo2007 May 13, 2006 05:19 pmThế trung bình nhân vô cực với a ra gì . Theo ý cua anh thì ra một số thưc còn theo em học thỉ ra vô cực

Gửi bởi: vmo2007 May 13, 2006 05:36 pm

em không hỏi bước đầu mà hỏi ở bước sau khi đã xuất hiện vô cực. Em ngh ĩ rằng vô cực thì không thể ápdụng các phép toán với 1 số thực a khác 0.Vì thế kết quả cuối cùng không thể là Th t số bằng 0 và n-t sốbằng 1


QUOTE (vmo2007 @ May 13 2006, 05:19 PM)

Thế trung bình nhân vô cực với a ra gì . Theo ý cua anh thì ra một số thưc còn theo emhọc thỉ ra vô cực

Trung bình nhân của vô cực với đương nhiên là vô cực rồi. Kết quả cuối cùng thì số bằng và sốbằng sao cho .


QUOTE (Nesbit @ May 12 2006, 06:44 PM)

Mình thấy đây là một bài viết khá hay. Mặc dù kiến thức không mới (mình chỉ thấy cáchchứng minh Bổ đề 2 là mới).Nội dung phần 1 chính là "hàm lồi thì đạt GTLN tại biên", cái này rất quen thuộc.Định lý UMV rất hay và mạnh.Nhưng mình ngh ĩ chứng minh của nó hơi phức tạp. Mình có một chứng minh khác ngắngọn và dễ hiểu hơn.Cuối cùng là mình cũng có một định lý để giải những bài "dạng UMV".




19 1/1/2002

Mình rất muốn biết cách khác của bạn để chứng minh định lý U.M.V. Theo mình rất khó để có một chứngminh khác chặt chẽ, ngắn gọn và sơ cấp hơn.

Ah! Rảnh thì post luôn định lý mà bạn nói tới nữa.

Gửi bởi: 777666 May 22, 2006 10:04 pm

Tui cũng rất tò mò xem cái cách cm ngắn gọn UMV và định lí của như thế nào?Rất khó tin về cáchcm ngắn gọn đó.Nhanh lên bạn nhé!


QUOTE (bobbysteven_09 @ Apr 20 2006, 05:27 PM)

{ }

Chỗ này là sao hả anh Bobbystven, thật sự em đọc wa`i ko hiểu đó là cái gì, phải chăng đó là "trung bìnhnhân vô cực" gì đó mà các anh đang thảo luận ko?

Gửi bởi: vmo2007 May 23, 2006 05:49 pm

anh giải thử bài này, nhưng phải dùng UMV và có mở rộngCho a,b,c dương tm a+b+c=3 .Cmr:

+ + >=3/2

Th2 số =nhau &=0 thì có dạng 0/0Còn bài VNtst vừa có dấu bằng tại mút vừa khi 3 biến bằng nhau thì giải quyết thế nào và MR ra sao

Gửi bởi: 777666 June 01, 2006 10:19 am

Tại sao chúng ta cứ phải gò bó bắt buộc làm gì?Định lý UMV là rất khỏenó công dụng cho 4 biến trở lên,những bài 3 biến vẫn sử dụng tốttuy nhiên cần hạn chế sử dụng nên tìm những lời giải đơn giản hơn như bài của

chẳng hạn.Phải chăng thịt gà phải dùng dao mổ trâu

Gửi bởi: tk14nkt June 04, 2006 04:55 pm

Đây là phương pháp AC, nó là 1 phần của UMV. Các bạn có thể xem để hiểu rõ hơn.Đặc biệt là 1 cách cm ngắn gọn cho UMV đấy.

http://reflections.awesomemath.org/2006_3/2006_3_arithmeticcompensation.pdf

Gửi bởi: tk14nkt June 04, 2006 05:47 pm

Bác Nestbit post cách cm ngắn gọn UMV lên đi, mình rất muốn xem nó như thế nào.




19 1/1/2002

Gửi bởi: Nesbit June 05, 2006 09:22 am

Hic, cũng không phải là ngắn gọn.Mình quy về việc chỉ xét trong trường hợp

Sau đó sử dụng một bổ đề về giới hạn dãy số. Mình đang tìm một chứng minh thật gọn cho bổ đề này.

Gửi bởi: bobbysteven_09 June 06, 2006 02:44 pm

QUOTE (tk14nkt @ Jun 4 2006, 04:55 PM)

Đây là phương pháp AC, nó là 1 phần của UMV. Các bạn có thể xem để hiểu rõ hơn.Đặc biệt là 1 cách cm ngắn gọn cho UMV đấy.

http://reflections.awesomemath.org/2006_3/2006_3_arithmeticcompensation.pdf

Lúc đầu mình đã làm theo kiểu này. Nhưng rõ ràng việc chứng minh hàm số có giá trị nhỏ nhất là không hềđơn giản với kiến thức phổ thông. Dù thế trông nó cũng "dễ gần" hơn chứng minh mình đã trình bày. .

Gửi bởi: hungkhtn June 07, 2006 11:00 am

Thực ra thì để CM mệnh đề tồn tại giá trị nhỏ nhất, lớn nhất là một mệnh đề quá khó. Nó cần phải sử dụngtính compact và liên tục,

Gửi bởi: bobbysteven_09 June 07, 2006 03:58 pm

Bổ đề tui sử dụng là do gợi ý của anh Hungkhtn. Nó rất đẹp và sơ cấp. Nó cũng là bổ đề được sử dụng đểchứng minh S.M.V-một định lý cực mạnh để chứng minh các bài toán 4 biến. Rất đáng quan tâm phảikhông?

Gửi bởi: toanhocmuonmau June 30, 2006 01:16 pm

anh Hùng có thể psst SMV lên được không, nge anh nhắc hoài mà em không biết nó ra làm sao nữa

Gửi bởi: toanhocmuonmau July 08, 2006 05:25 pm



ở đây là cái gì vậy, bạn có thể giải thích cho minh biết được không?




19 1/1/2002

Gửi bởi: ghét_hình_học July 09, 2006 08:05 pm

Trước hết phải công nhận dbkxd là một phương pháp quá hayNhưng theo tôi cách bobbysteven_09 dùng nó để giải quyết bài RO-TST không chính xác.- thứ nhất : không phải là một số thực, vậy ....- thứ hai : 0. không xác định(không thể nói khi có n-1 biến bằng , 1 biến bằng 0 thì tích bằng 1 được)Theo tôi bài này với k<1 thì dồn biến thông thường cùng với bổ đề 2 giải quyết đẹp (kết quả n biến bằng

nhau)Nhưng với k>1 thì (tôi đoán) sẽ có những trường hợp gtln ko tồn tại (không thể chấp nhận một biến bằng vôcùng)(Bạn có chắc là chứng minh UMV khi tích ko đổi là hoàn toàn tương tự???)

Gửi bởi: bobbysteven_09 July 12, 2006 09:45 am

QUOTE (toanhocmuonmau @ Jul 8 2006, 05:25 PM)



ở đây là cái gì vậy, bạn có thể giải thích cho minh biết được không?

Bạn xem k ĩ định lý dùm mình. Nó có ở trong đó!

Gửi bởi: bobbysteven_09 July 12, 2006 09:51 am

QUOTE (ghét_hình_học @ Jul 9 2006, 08:05 PM)Trước hết phải công nhận dbkxd là một phương pháp quá hayNhưng theo tôi cách bobbysteven_09 dùng nó để giải quyết bài RO-TST không chính xác.- thứ nhất : không phải là một số thực, vậy ....- thứ hai : 0. không xác định(không thể nói khi có n-1 biến bằng , 1 biến bằng 0 thì tích bằng 1 được)Theo tôi bài này với k<1 thì dồn biến thông thường cùng với bổ đề 2 giải quyết đẹp (kếtquả n biến bằng nhau)Nhưng với k>1 thì (tôi đoán) sẽ có những trường hợp gtln ko tồn tại (không thể chấp nhậnmột biến bằng vô cùng)(Bạn có chắc là chứng minh UMV khi tích ko đổi là hoàn toàn tương tự???)

Đâu phải lúc nào cũng không xác định. Ở trong bài viết mình đã viết và ở đây thỏa mãn điều kiện rồi. Nếu bạn cần một chứng minh chặt chẽ thì có thể dùng giới hạn. Cũng không khác nhau là

bao.


Mình không rõ về "vô cùng" lắm (là học sinh lớp 12) nhưng... mình vẫn tin là bạn sai. ^^Mặt khác, theo bạn thì có tồn tại 1 số thực nhân với 0 bằng a1*a2 không?(đề yêu cầu số thực). mà nếu có




19 1/1/2002

thêm các phần tử + ,-:inftly mình cữnng ko tin là có.Toán học mà ko (thôi thì "ko hoàn toàn" đi) chính xác thì còn gì gọi là toán (mình ngh ĩ vậy đó)Bạn post giúp lời giải dùng giới hạn (nếu bạn đã có ^^).Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào (nếu không có dấu bằng thì đừng nói đến chuyện max, min)(có ai khác biết rõ về "vô cùng" phân xử giúp với)

Gửi bởi: bobbysteven_09 July 14, 2006 04:34 pm

Bạn có thể thắc mắc về việc không có max min ở toán phổ thông. Vậy bạn có thể tìm hiểu thêm khái niệmsup và inf. Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất thì hai khái niệm này cũng không khác nhau là mấy.Còn việc bạn thắc mắc có số thực nào nhân với 0 bằng không. D ĩ nhiên là không. Nhưng bạn chú ýnày:

khiCòn về lời giải dùng giới hạn:Giả sử với đủ nhỏ.Ta chứng minh được:

Sau đó tìm được maxf qua . Cho rồi thì ok.


Phương pháp dùng không (thể) dùng đến định lý về dồn biến ko xdNhưng kết quả thì đúng là supf = ... (một chứng minh hay)nhưng dù sao thì bạn vẫn sai kết quả phải là khi k>1 thì f không tồn tại giá trị lớn nhất của f. OK?(giá trị lớn nhất là sup hay là max ????)

Gửi bởi: langtu13 July 21, 2006 04:55 am


Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của với { }. Không quákhó khăn chúng ta tìm được:

với chẵn khi trong tập { } có số bằng và số

còn lại bằng . với lẻ khi trong tập { } có số bằng và

số còn lại bằng hoặc ngược lại.Từ đây chúng ta đi đến kết luận cho bài toán.





19 1/1/2002

Mình chưa đọc hết những gì bác viết nhưng sao bác viết cái gì mà loạn lên vậy? Cái đầu tiên bác viết{ }, ý bác muốn nói nó thuộc trong đoạn, trong khoảng, hay là tập hợp có 2 phần tử p và q?

Còn cái chỗ thứ hai bác viết cái gì vậy ba hồi phương trình ba hồi bất phương trình. Xin cáo lỗi nếu mình nóihơi quá nhưng thực sự sau khi đọc những khúc trên mình thật sự không biết bác ý bác đang muốn nói cáigì.

Gửi bởi: Nesbit July 23, 2006 09:01 am

1. Thuộc {p,q} ngh ĩ a là thuộc tập hợp gồm hai phần tử p, q (d ĩ nhiên không phải đoạn, cũng không phảikhoảng. Nhìn kí hiệu là biết mà)2. Ở cả ba dấu đều là BĐT. Nhưng hai cái đầu thiếu " ".


QUOTE (langtu13 @ Jul 21 2006, 04:55 AM)


Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của với { }. Khôngquá khó khăn chúng ta tìm được:

với chẵn khi trong tập { } có số bằng và

số còn lại bằng . với lẻ khi trong tập { } có số bằng

và số còn lại bằng hoặc ngược lại.Từ đây chúng ta đi đến kết luận cho bài toán.


Mình chưa đọc hết những gì bác viết nhưng sao bác viết cái gì mà loạn lên vậy? Cái đầutiên bác viết { }, ý bác muốn nói nó thuộc trong đoạn, trong khoảng, hay là

tập hợp có 2 phần tử p và q? Còn cái chỗ thứ hai bác viết cái gì vậy ba hồi phương trìnhba hồi bất phương trình. Xin cáo lỗi nếu mình nói hơi quá nhưng thực sự sau khi đọcnhững khúc trên mình thật sự không biết bác ý bác đang muốn nói cái gì.

Sửa lại rồi. Bây giờ thì bạn chịu khó ngâm cứu cho k ĩ nhé.





19 1/1/2002

QUOTE (ghét_hình_học @ Jul 20 2006, 04:00 PM)

Phương pháp dùng không (thể) dùng đến định lý về dồn biến ko xdNhưng kết quả thì đúng là supf = ... (một chứng minh hay)nhưng dù sao thì bạn vẫn sai kết quả phải là khi k>1 thì f không tồn tại giá trị lớn nhấtcủa f. OK?(giá trị lớn nhất là sup hay là max ????)

Dùng thì qua Bổ đề 2 thì vẫn thế. Tuy hình thức không giống định lý U.M.V nhưng tư tưởng vẫn vậy. Dùsao mình vẫn thích để như cũ hơn trông vừa đẹp lại sâu sắc nếu như bạn hiểu rõ về giới hạn. Xét về độphức tạp thì số 0 và cũng không hơn kém nhau là mấy. Còn về thắc mắc của bạn. Giá trị lớn nhất đươngnhiên là max rồi. Còn sup là cận trên đúng. khi với mỗi tồn tại thuộc tập xác định của saocho và với mọi thuộc tập xác định của .Nói chính xác thì không tồn tại giá trị max thật.Có lẽ phải sửa sang một chút.

Gửi bởi: langtu13 July 25, 2006 10:35 am

QUOTE (bobbysteven_09 @ Jul 24 2006, 05:56 PM)

QUOTE (langtu13 @ Jul 21 2006, 04:55 AM)


Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của với { }.Không quá khó khăn chúng ta tìm được:

với chẵn khi trong tập { } có số bằng

và số còn lại bằng .

với lẻ khi trong tập { } có số

bằng và số còn lại bằng hoặc ngược lại.Từ đây chúng ta đi đến kết luận cho bài toán.


Mình chưa đọc hết những gì bác viết nhưng sao bác viết cái gì mà loạn lên vậy? Cáiđầu tiên bác viết { }, ý bác muốn nói nó thuộc trong đoạn, trongkhoảng, hay là tập hợp có 2 phần tử p và q? Còn cái chỗ thứ hai bác viết cái gì vậyba hồi phương trình ba hồi bất phương trình. Xin cáo lỗi nếu mình nói hơi quánhưng thực sự sau khi đọc những khúc trên mình thật sự không biết bác ý bác đangmuốn nói cái gì.

Sửa lại rồi. Bây giờ thì bạn chịu khó ngâm cứu cho k ĩ nhé.




Cảm ơn bác rất nhiều. Cho mình cáo lỗi nếu có làm phiền bác

Gửi bởi: ghét_hình_học August 05, 2006 12:46 am

Mình thì thấy để thì đẹp nhưng còn "sâu sắc" thì mình không biết .đấy là những điều mình biết về " "

. + + a = + a R

. + + (+ ) = +

. + + (- ) không xác định

. + *0 không xác định

. + 1^{ } không xác định

Gửi bởi: bobbysteven_09 August 10, 2006 03:43 pm

QUOTE (ghét_hình_học @ August 05, 2006 12:46 am)

Mình thì thấy để thì đẹp nhưng còn "sâu sắc" thì mình không biết .đấy là những điều mình biết về " "

. + + a = + a R

. + + (+ ) = +

. + + (- ) không xác định

. + *0 không xác định

. + 1^{ } không xác định

Hai cái đầu hiển nhiên đúng. Còn ba cái sau không xác định vì còn phụ thuộc vào giới hạn. Tính toán vớivà quan trọng nhất là phải hiểu về giới hạn.

Gửi bởi: lyxuansang91 September 06, 2006 11:58 am

hi hi các anh ơi nhiều Trường hợp dồn biến không nổi thì làm thế nào (em đã thử làm một bài toán dồn biếnnhưng nó lài trái dấu mới đau em chứĐây chính là bài toán ấy:CMR với x,y,z>2 và

Gửi bởi: zaizai September 07, 2006 11:10 am

bài này thì cần gì dồn biến chỉ là đổi biến về schur thôi bạn ạ, đơn giản thôi mà. Bài này vẫn có thể giảiAM-GM only thôiCòn việc bạn làm chưa được bài trên bằng dồn biến thì chắc là bạn nhầm ở đâu đó chăng

Copyright http://diendantoanhoc.net

Documents

Dồn Biến Không Xác Định