Embed Size (px)
Citation preview
Màster en formació del professorat d'ESO i BatxilleratOrganització escolar: contextos educatius i participacióCurs 2011/2012 - Especialitat de Matemàtiques
Matemàtiques del segle XXI per a secundària
Història de les Matemàtiques
La geometria de Niccolò Fontana Tartaglia
Dossier per al professor
Índex
1 Fitxa tècnica.........................................................................................................................3
2 Context històric....................................................................................................................4
3 Biografia de Niccolò Fontana Tartaglia.................................................................................5
4 El llibre: Nova Scientia..........................................................................................................6
5 El text...................................................................................................................................7
6 Qüestionari.........................................................................................................................10
7 Exercici pràctic....................................................................................................................15
8 Avaluació de l’activitat.......................................................................................................17
9 Bibliografia.........................................................................................................................18
2
Dossier per al professor
1 FITXA TÈCNICA
Tema: “Nova Scientia” de Tartaglia, llibre III
Justificació: Trigonometria 4t d’ESO
Objectius didàctics:
Semblança de triangles, introducció a la trigonometria, entendre que la geometria és la base de la trigonometria
Continguts històrics:
El Renaixement
Continguts matemàtics:
Regles de 3, Teorema Pitàgores, instrument matemàtic per mesurar (porta angles, quadrant de Tartaglia), trigonometria
Competències bàsiques:
Matemàtiques, aprendre a aprendre, històrics, lingüístics, tecnològics
Temporització:
3 sessions
Portar a l'aula: Desprès de fer la semblança de triangles i al inici d’explicar la trigonometria.
Com treballar: Fem grups de 2-3 alumnes
Material a portar:
- 1 dossier per grup- Cartró rígid- Fil i plomades- Tisores i cola- Cinta mètrica- Càmera fotografia (opcional)
3
Dossier per al professor
2 CONTEXT HISTÒRIC
El Renaixement és el moviment cultural que apareix a Itàlia el segle XIV i s'expandeix per Europa fins al segle XVII. Històricament, coincideix amb l'inici de l'Edat Moderna, que esdevé gràcies a profunds canvis socio-econòmics, filosòfics i científics:
La caiguda de Constantinoble (1453), que situa l'Imperi Turc en el mapa polític d'Europa i produeix una onada migratòria de savis grecs cap a Itàlia.
El descobriment d’Amèrica (1492), que afavoreix l'expansió comercial i financera.
L'adveniment del capitalisme i la burgesia, una nova classe social urbana, que liderarà l'economia, la política i la cultura.
El triomf de l'humanisme que situà l'home en el centre de l'Univers i s'encarregà d'obrir les estructures mentals medievals.
La moda pels clàssics, gràcies a la qual es recuperen i tradueixen al llatí molts textos de filòsofs grecs.
La invenció de la impremta, eina imprescindible per a l a difusió de la cultura, la brúixola, la pólvora, el telescopi...
Tots aquests canvis van impulsar extraordinàriament la investigació científica, essent les matemàtiques, especialment, un camp on es van produir avenços molt importants. Matemàtics italians com Luca Pacioli, Niccolo Fontana Tartaglia o Girolamo Cardano van introduir la notació matemàtica moderna, van donar un fort impuls a la trigonometria i l'àlgebra (donant solució a les equacions de tercer i quart grau) i van fomentar la investigació en camps com els nombres imaginaris i els nombres reals.
4
L'home de Vitruvi, de Leonardo da Vinci, icona del Renaixement
Dossier per al professor
3 BIOGRAFIA DE NICCOLÒ FONTANA TARTAGLIA
Niccolo Fontana va néixer a Brescia, República de Venècia (actualment, Itàlia) l'any 1499. Fill d'una família pobra, va viure els enfrontaments territorials entre Venècia i els Estats Pontificis i, de ben petit, en una incursió de l'exèrcit francès (aliat del Papa) a Brescia va perdre el pare i gairebé la seva vida. Arran de les ferides li va aparèixer un defecte a la parla, pel qual va passar a ser anomenat Tartaglia (el tartamut). Les matemàtiques van ser la seva passió i es va dedicar a estudiar-les de forma autodidàctica i, més tard, a ser-ne professor.
Va ser un fanàtic de les equacions de tercer grau i va participar en duels amb d'altres matemàtics per resoldre'n. Va arribar a descobrir unes fórmules per a la resolució general d'equacions cúbiques, que guardava com un tresors fins que Girolamo Cardano va trair-lo, publicant-les (des de llavors es coneixen com a Fórmules de Cardano).
Tartaglia també va destacar per les seves aplicacions matemàtiques en els sistemes militars, fent dissenys de fortificacions, de tàctiques defensives i ofensives i estudiant les trajectòries dels projectils de canó. És remarcable que Tartaglia va definir la caiguda de cossos bastant abans que Galileu Galilei en fes la formulació definitiva. També és mèrit seu la fórmula del càlcul del volum dels tetraedres i la introducció del triangle on es representen els coeficients binomials (tot i que posteriorment s'ha anomenat Triangle de Pascal).
Tartaglia mor a Venècia l'any 1557.
5
Dossier per al professor
4 EL LLIBRE: NOVA SCIENTIA
Nova Scientia es va publicar a Venècia a l’any 1537. En ell Tartaglia introduïa una nova ciència: la balística, que tractava de determinar la forma que adopta la trajectòria d’una bala de canó. Tartaglia va ser el primer en sostenir que la trajectòria d'un projectil llançat per un canó es componia de tres trams: el primer, rectilini i inclinat; el segon, curvilini; el tercer, rectilini i vertical.
El llibre de Tartaglia no és un tractat del moviment en sentit medieval, o sigui, no discuteix la naturalesa del moviment. Quan diu que s’ocuparà d’estudiar el moviment d’un projectil disparat per un canó es refereix a qualsevol “màquina artificial o matèria que sigui apta per llançar un cos igualment greu violentament per l’aire” (Definició XIII).
Per solucionar aquets problemes es pot emprar la geometria ja que són màquines senzilles com la balança, la palanca, la politja,…
Malgrat les deficiències l’obra de Tartaglia va tenir un èxit considerable. El 1583, el text en italià havia arribat a les set edicions i havia estat traduït a totes les llengües importants.
Tartaglia, coneixedor de la problemàtica, va continuar amb el problema del moviment, més tard, en la seva obra Quesiti (1546).
La Nova Scientia consta de 3 llibres:
• El llibre primer conté 14 definicions, 5 suposicions, 4 sentències comunes i 6 proposicions amb corol·laris.
• El llibre segon conté 14 definicions, 4 suposicions i 9 proposicions amb corol·laris.
• El llibre tercer conté 5 definicions i 12 proposicions.
6
Dossier per al professor
5 EL TEXT Llegeix el següent test, que és la traducció de l’italià de la Proposició VIII del Llibre III de Nova Scientia. La traducció la van dur a terme J. R. Martínez-E i J. C. Guevara Bravo i es va editar a Espanya a l’any 1998.
7
5
10
15
20
25
30
Dossier per al professor
8
35
40
45
Dossier per al professor
9
50
55
60
65
70
Dossier per al professor
6 QÜESTIONARI
1. Explica alguns dels canvis que es produeixen a Europa que posen fi a l'Edat Mitjana.
La caiguda de Constantinoble, que posa en crisi el Cristianisme. La descoberta d'Amèrica, que produeix l'impuls comercial i de navegació marítima. La filosofia antropocentrista relega el teocentrisme. Importants descobertes tecnològiques (impremta, brúixola, telescopi)...
2. Quines són les principals innovacions matemàtiques que van proporcionar els matemàtics renaixentistes?
S'introdueix la notació matemàtica moderna i l'àlgebra a Europa, es dóna la resolució d'equacions de tercer i quart grau i es dóna a la trigonometria la distinció d'àrea de coneixement matemàtic.
3. Quina va ser la nova ciència que va introduir Tartaglia al seu llibre Nova Scientia? Com solucionava els problemes d’aquesta nova ciència?
La balística, que tractava de determinar la forma que adopta la trajectòria d’una bala de canó. Tartaglia va ser el primer en sostenir que la trajectòria d'un projectil llançat per un canó es componia de tres trams: el primer, rectilini i inclinat; el segon, curvilini; el tercer, rectilini i vertical.Per solucionar els problemes Tartaglia va emprar la geometria.
Sota d’aquestes línies es mostra la representació del triangle segons la situació que l’autor descriu en la proposició.
Observa que s’ha dibuixat seguint el mateix patró de la figura de la pàgina 129 del llibre Nova Scientia.
Prova de situar-te i compara el dibuix del llibre amb la figura. Un cop ja t’hagis posat en situació, prova de respondre les següents preguntes.
10
Dossier per al professor
4. Proposa una situació en la que es podria aplicar aquest mètode de càlcul d’alçada i una altra en la que no. Raona la resposta.
Podríem aplicar-ho per a mesurar l’alçada d’una palmera del pati de l’escola, per exemple. D’altra banda, per a conèixer l’alçada d’un castell que està a l’altra banda del riu no ho podríem mesurar segons el que s’explica en el text (línia 15). L’experiment consisteix en anar fent passes cap endavant i enrere fins que la corda de l’instrument queda perpendicular al terra, concretament quan se superposa amb el segment HG de la figura anterior.
5. Al dibuix, posa-hi les lletres corresponents a cada punt. Indica clarament quines lletres es refereixen al mateix punt.
- El segment AB representa l’alçada a la que es troba el castell de la il·lustració.- El triangle CDE ens il·lustra, cada un dels seus vèrtexs, la posició dels peus i els
ulls de la persona que està fent l’experiment.- El segment BC és el que va des de la base de la muntanya fins al peu dret de la
persona.- El triangle KLG forma part de l’instrument de mesura.
11
Dossier per al professor
6. Pinta-hi les distàncies que es volen trobar i les que coneixem. En aquestes últimes, indica-hi, també, el valor.
La distància que es vol trobar és el segment AB pintat de color morat, o sigui, l’alçada a la que es troba el castell.
Coneixem, per altra banda, les distàncies CB i EC. La primera és la pintada de color verd clar, que equival a 353 passos (en l’exemple del text). El segment EC es mostra de color verd fosc i fa referència a la distància del terra als ulls de la persona (2 passos).
Tenim que: CB + EC = AB
12
Dossier per al professor
7. Identifica, en colors, els triangles semblants. Posa nom i valor als angles.
En l’anterior figura es mostren els angles iguals que valen α=α’=45⁰ i β=β’=90⁰ pintats en vermell i en blau, respectivament. Com a conseqüència obtenim els triangles semblants que s’han ressaltat de color groc i taronja. El primer, de groc, recordem que forma part de l’instrument de mesura. El triangle gran, de color taronja, és el que es dibuixa entre la mirada de la persona, l’alçada a la que està l’objecte que volem mesurar i la distància entre la persona i el peu d’aquest objecte (en el cas del text, el peu de la muntanya).
8. Amb les dades que tenim, calcula l’alçada AB amb el que coneixes de les raons trigonomètriques.
Aplicant, doncs, el que sabem de trigonometria i amb les dades del problema, podem deduir el següent:
Efectivament, la tangent de 45⁰ és 1 i coincideix amb el resultat de dividir els catets del triangle en qüestió (de color taronja).
13
Dossier per al professor
Ara procedim a calcular el valor de la hipotenusa. Podem fer-ho mitjançant el sinus o el cosinus tan de l’angle α com de l’angle γ.
Hem comprovat que el resultat coincideix amb el que Tartaglia ens proporciona en el seu text.
9. A la línia 61 del text, l’autor fa referència a una relació incommensurable. Explica a què es refereix.
Inconmensurable vol dir que no es pot mesurar. Quan diem que la relació entre A i B és inconmensurable no volem dir que no siguin comparables, sinó que no sabem exactament quan val.
En les matemàtiques Gregues ( 900 aC), els Pitagòrics ja van tenir aquest problema, al
no poder representar la relació entre la diagonal d’un quadrat de costat 1 i els seus
costats. Ara sabem que aquest valor és el nombre irracional √2 .
Per salvar aquest problema d’incommensurabilitat, els Grecs feien servir les
proporcions com aproximacions:
√2≈75
10. Rellegeix les línies de la 59 a la 73 del text. Quin Teorema, dels que coneixes, pots deduir que aplica l’autor? Anuncia’l i relaciona’l amb les dades del problema.
El Teorema de Pitàgores: “la suma del quadrats dels catets és la hipotenusa al quadrat”
En el nostre cas, tenim el triangle EAF, aleshores:
EF² + AF² = EA²
On: EF= AF= 353 passos
14
1
1
Dossier per al professor
Aleshores: (353)²+ (353)²= EA²; EA=499.217 passos
7 EXERCICI PRÀCTICEl mesurador d’angles
El 1537 Niccolò Fontana (Tartaglia) va publicar un llibre, la Nova Scientia, sobre l'aplicació de la matemàtica a l'artilleria. En aquest llibre descrivia un quadrant de la seva invenció, fabricat en llautó, que anava enganxat a la boca dels canons i amb uns petits càlculs i una taula es podia saber a quina distància cauria la bala en funció de la lectura de l'aparell.
Amb una intenció més pacífica construirem nosaltres ara un quadrant semblant al del nostre amic Tartaglia.
Construcció del Quadrant de Tartaglia
1. Enganxeu una fotocòpia ampliada de mig transportador d’angles en un cartró rígid (darrer full d’aquest dossier).
2. Enganxeu una canyeta en una de les vores.3. Lligueu un filet amb una plomada a la vora.
4. Construiu el quadrant, i amb els coneixements que heu adquirit, calculeu l’alçada de la cistella de bàsquet o d’alguna palmera/arbre del pati.
15
Dossier per al professor
- Alçada terra- ulls (EC): 1.02 m- Distància persona-cistella (BC): 1.90m
Per tant: L’alçada de la cistella (AB) serà: 1.02+1.90= 2.92 m
(L’alçada mesurada amb una cinta mètrica ha donat 2.93 m).
16
A
F
BA
E
CA
45º
Dossier per al professor
8 AVALUACIÓ DE L’ACTIVITAT
Indica el temps que has dedicat a realitzar aquesta activitat: _________________
Respon a les següents preguntes valorant-les del 0 (totalment en contra) i el 10 (totalment a favor).
Considero adequat el temps que he dedicat a realitzar aquest dossier.
La realització d’aquest dossier m’ha semblat interesant.
La realització d’aquest dossier m’ha semblat molt difícil.
La part d’història ( context històric, biografia, el llibre Nova Scientia i el test) del dossier és la més interesant.
La part matemàtica (qüestionari preguntes 4-10) del dossier és la més interesant.
La part pràctica (exercici pràctic) del dossier és la més interesant.
Amb aquesta activitat he entès els conceptes que s’hi plantejaven.
El professor ha sabut explicar-nos correctament l'activitat i ens ha proporcionat l'ajuda necessària quan així ho hem requerit.
Crec que la història de la ciència és útil per comprendre nous conceptes.
Què és el que més t’ha agradat d’aquesta activitat?
Què és el que menys t’ha agradat d’aquesta activitat?
Altres observacions.
17
Dossier per al professor
9 BIBLIOGRAFIA
Power Point “Nicolo Fontana (Tartaglia) (1499/1500-1557) Matemàtic i enginyer del Renaixement”, de Mª Rosa Massa Esteve.
Article "Nova Scientia de Niccolò Tartaglia", publicat al web de la Biblioteca Histórica de la Universidad Politécnica de Madrid.
Article "Tartaglia, Nicolás Fontana", de Vicente Meavilla Seguí, publicat al web Real Sociedad Matemática Española.
Article "Del arte de la guerra a las ciencias de la guerra", publicat al blog durmientesdespiertos.blogspot.com
Dossier de Trigonometria de 4t d'ESO, Departament de Matemàtiques de l'IES el SUI, publicat a la XTEC.
18
Dossier per al professor
19
