6.6.

Dr. Balogh PéterDr. Balogh Péter

Gazdaságelemzési és Statisztika TanszékGazdaságelemzési és Statisztika Tanszék

DE-AMTC-GVKDE-AMTC-GVK

StatisztikaStatisztika

22

Egyszerűsítési módokEgyszerűsítési módok

Átlagszámítás tetszőleges alap segítségével

n

AxAX

n

1ii

n

1ii

n

1iii

f

AxfAX

33

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

Számtani átlag osztályközös gyakorisági sorból: az

átlagolandó értékek az osztályközepek

n

1ii

n

1ii

f

fuX i*

f

dfAX

1ii

n

1iii

n

iAu

d ii

44

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

2. Kronologikus átlag:

Állapot idősor átlagolására, ahol az adatok

egyenlő időközökben állnak rendelkezésre

1-n2

xxx

2x

X

n1n2

1

k

55

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

3. Harmonikus átlag:

Egyszerű harmonikus átlag

Fordított intenzitási viszonyszámok átlagolására

használható. Az átlagolandó értékek reciprok értéke

átlagának a reciproka.

nx1

x1

x1

1X

n21

h

n

1i i

h

x1

nX

66

100 munkadarab előállításának műszakóra 100 munkadarab előállításának műszakóra

szükséglete 4 géptípustípusnálszükséglete 4 géptípustípusnál

TípusTípus TeljesítményTeljesítmény

I. I. 4545

II.II. 5555

III.III. 4040

IV.IV. 4343

Me.: műszakóra/100 munkadarab

77

4431

401

551

451

1111

11

1

211

nxxx

nx

x

n

n

i i

...

munkadarabműx 100/45,45022,0

1

4088,01

88

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

3. Harmonikus átlag:

Súlyozott harmonikus átlag

Ha viszonyszámokat átlagolunk és súlyként a

viszonyszámok számlálója van megadva.

n21

nn

22

11

h

fffx1

fx1

fx1

f

1X

n

1i ii

n

1ii

h

x1

f

fX

99

Egy termék előállított mennyisége és egy főre jutó átlaga Egy termék előállított mennyisége és egy főre jutó átlaga

területi egységenként 2008-ban Észak-Magyarországonterületi egységenként 2008-ban Észak-Magyarországon

x

fTerületi egységTerületi egység

ElőállítottElőállítottmennyisémennyisé

ggezer tezer t

Egy főre Egy főre jutó átlag jutó átlag

t/főt/fő

Borsod-Abaúj-Borsod-Abaúj-ZemplénZemplén

114,04114,04 39,3839,38 2,8962,896

HevesHeves 90,6490,64 33,5733,57 2,7002,700

NógrádNógrád 14,1014,10 19,2919,29 0,7310,731

Észak-Észak-MagyarországMagyarország

218,78218,78 -- 6,3276,327

1010

főt

xf

fx n

i i

i

n

ii

/58,34327,6

78,218

29,1910,14

57,3364,90

38,3904,114

10,1464,9004,114

1

1

1111

Harmonikus átlagHarmonikus átlag

Csak akkor alkalmazható, ha az átlagolandó értékek reciprokainak van tárgyi értelme.

A gyakorlatban a súlyozott formája fordul elő gyakrabban: átlagszámítás értékösszegsor adataiból, összetett viszonyszám számítása.

1212

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

4. Mértani átlag: a fejlődés átlagos ütemét mutatja.

A változás kifejezhető az abszolút (összegszerű) és a

relatív (szorzatszerű) mértékben.

Nagyságát a két szélső érték dönti el.

Egyirányú tendenciával rendelkező értéksor esetében

használható.

Ha a változás nem egyirányú, akkor a statisztikai sort

szakaszokra kel bontani.

A statisztikai sor időbeni vagy intenzitásbeni terjedelmére

ad jellemző értéket.

1313

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

4. Mértani átlag:

Egyszerű mértani átlag

nil

n

1i

nnl2l1lg VV**V*VX

1-n

1

n1-nnbg

x

xVX

1414

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

4. Mértani átlag:

Súlyozott mértani átlag (gyakorisági sorokból

számítjuk)

i

n

f nf2f

2

1f

1lllg V**V*VX

n

ii

i

ffig xX 1

1515

Egy termék árának alakulása Egy termék árának alakulása

az 2001-2008-as években Magyarországonaz 2001-2008-as években Magyarországon

ÉvÉv A termék ára A termék ára Ft/dbFt/db

A változásA változás

mértéke mértéke 1990=11990=1

00 %00 %

ütemeüteme%%

20012001 60796079 100,00100,00 --

20022002 74557455 122,64122,64 122,64122,64

20032003 89368936 147,00147,00 119,87119,87

20042004 93299329 153,46153,46 104,40104,40

20052005 93969396 154,56154,56 100,72100,72

20062006 1092510925 179,72179,72 116,27116,27

20072007 2072220722 340,88340,88 189,68189,68

20082008 2427124271 399,26399,26 117,13117,13

1616

7ln21 1713,1*...*1987,1*2264,1*...**n

ll VVVx

%86,1212186,1 x

%86,1212186,19926,371 nbnVx

1717

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

5. Négyzetes átlag:

Kiugró értékekre érzékeny, az átlagolandó értékek

helyébe helyettesítve azok négyzetösszege változatlan

marad

n

xX

2i

q

i

2ii

qf

xfX

1818

Az átlagszámításAz átlagszámítás

A jelenség természete, a vizsgálat célja határozza meg a számítandó átlag típusát.

Az adatok értéknagysága lényegesen befolyásolja az átlagok nagyságát.

Az átlagok számítása során nagy körültekintéssel kell eljárni.

1919

SZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEKSZÁMÍTOTT KÖZÉPÉRTÉKEK

qgh XXXX

Az átlagok közötti nagyságrend kötött, így azok nagyságrendbeli sorrendje: