Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematykietacar.put.poznan.pl/maciej.grzesiak/prezentacja-macierze.pdf · Macierze. Działania na macierzach. Wyznacznik macierzy. Układy Cramera Deﬁnicja

Macierze. Działania na macierzach.Wyznacznik macierzy.

Układy Cramera

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Macierze i wyznaczniki


Układy Cramera

Treść wykładu

Macierze. Działania na macierzach.

Wyznacznik macierzy.

Własności wyznacznika.

Układy Cramera.



Układy Cramera

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).

Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j),1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jedenelement aij ciała K,to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = [aij ] typum × n.Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 · · · amn

.Rzędy poziome tej tablicy nazywamy wierszami, a rzędy pionowe— kolumnami.



Układy Cramera

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j),1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jedenelement aij ciała K,to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = [aij ] typum × n.

Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =





Układy Cramera

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j),1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jedenelement aij ciała K,to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = [aij ] typum × n.Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =


.

Rzędy poziome tej tablicy nazywamy wierszami, a rzędy pionowe— kolumnami.



Układy Cramera

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j),1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jedenelement aij ciała K,to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = [aij ] typum × n.Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =





Układy Cramera

Rodzaje macierzy

Gdy m = n macierz nazywamy kwadratową.

O elementach aii macierzy kwadratowej A mówimy, że tworząprzekątną główną.

A =

2 4 0 96 4 5 11 1 3 59 8 7 6

.



Układy Cramera

Rodzaje macierzy

Gdy m = n macierz nazywamy kwadratową.O elementach aii macierzy kwadratowej A mówimy, że tworząprzekątną główną.

A =

2 4 0 96 4 5 11 1 3 59 8 7 6

.



Układy Cramera

Rodzaje macierzy

Gdy m = n macierz nazywamy kwadratową.O elementach aii macierzy kwadratowej A mówimy, że tworząprzekątną główną.

A =

2 4 0 96 4 5 11 1 3 59 8 7 6

.



Układy Cramera

Rodzaje macierzy

Macierz, w której aij = 0 dla i < j (odpowiednio: aij = 0 dla i > j)nazywamy dolnotrójkątną (odpowiednio: górnotrójkątną).

A =

2 0 0 06 4 0 00 1 3 09 8 7 6

.Jeśli aij = 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy diagonalną.



Układy Cramera

Rodzaje macierzy


A =

2 0 0 06 4 0 00 1 3 09 8 7 6

.

Jeśli aij = 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy diagonalną.



Układy Cramera

Rodzaje macierzy


A =

2 0 0 06 4 0 00 1 3 09 8 7 6

.Jeśli aij = 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy diagonalną.



Układy Cramera

Macierz transponowana

Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamymacierz, którą nazywamy macierzą transponowaną macierzy A ioznaczamy AT .

Jeśli A = [aij ] jest typu m × n, to AT = [aji ] jest typu n ×m.



Układy Cramera


Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamymacierz, którą nazywamy macierzą transponowaną macierzy A ioznaczamy AT .Jeśli A = [aij ] jest typu m × n, to AT = [aji ] jest typu n ×m.



Układy Cramera


A =

1 0 3 22 3 0 40 5 −1 5

,

AT =

1 2 00 3 53 0 −12 4 5

.



Układy Cramera


A =

1 0 3 22 3 0 40 5 −1 5

, AT =

1 2 00 3 53 0 −12 4 5

.



Układy Cramera

Dodawanie macierzy

Sumę A+ B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzyA = [aij ] i B = [bij ] otrzymujemy po dodaniu odpowiadającychsobie wyrazów:

A+ B = [aij + bij ].

Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (Ooznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A+O = O+ A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względemdodawania.



Układy Cramera

Dodawanie macierzy




A+O = O+ A = A,




Układy Cramera

Dodawanie macierzy




A+O = O+ A = A,




Układy Cramera

Dodawanie macierzy




A+O = O+ A = A,




Układy Cramera

Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz[caij ].

Oczywiście1·A = A,

c(dA) = (cd)A,

(c + d)A = cA+ dA,

c(A+ B) = cA+ cB.



Układy Cramera


Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz[caij ]. Oczywiście

1·A = A,

c(dA) = (cd)A,

(c + d)A = cA+ dA,

c(A+ B) = cA+ cB.



Układy Cramera



1·A = A,

c(dA) = (cd)A,

(c + d)A = cA+ dA,

c(A+ B) = cA+ cB.



Układy Cramera



1·A = A,

c(dA) = (cd)A,

(c + d)A = cA+ dA,

c(A+ B) = cA+ cB.



Układy Cramera



1·A = A,

c(dA) = (cd)A,

(c + d)A = cA+ dA,

c(A+ B) = cA+ cB.



Układy Cramera

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.

Iloczynem ABnazywamy macierz C(m × p) taką, że

cik =n∑j=1

aijbjk .

Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tylekolumn, ile macierz B ma wierszy.



Układy Cramera

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami. Iloczynem ABnazywamy macierz C(m × p) taką, że

cik =n∑j=1

aijbjk .




Układy Cramera

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami. Iloczynem ABnazywamy macierz C(m × p) taką, że

cik =n∑j=1

aijbjk .




Układy Cramera

Macierz jednostkowa

Macierz

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

.nazywamy macierzą jednostkową.



Układy Cramera

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).

2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamyAI = A.3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A+ B) · C = AC+ BC, A(B+ C) = AB+ AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)T = BTAT .

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.



Układy Cramera


1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamyAI = A.

3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A+ B) · C = AC+ BC, A(B+ C) = AB+ AC.


(AB)T = BTAT .




Układy Cramera


1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamyAI = A.3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A+ B) · C = AC+ BC, A(B+ C) = AB+ AC.


(AB)T = BTAT .




Układy Cramera



(A+ B) · C = AC+ BC, A(B+ C) = AB+ AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).

5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)T = BTAT .




Układy Cramera



(A+ B) · C = AC+ BC, A(B+ C) = AB+ AC.


(AB)T = BTAT .




Układy Cramera



(A+ B) · C = AC+ BC, A(B+ C) = AB+ AC.


(AB)T = BTAT .




Układy Cramera

Jeżeli A jest macierzą kwadratową, to można określić potęgę

A0 = I, An = An−1 · A, n ∈ N.

Następnie dla dowolnego wielomianu

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

można obliczać jego wartość na macierzy A jako

f (A) = anAn + an−1An−1 + · · ·+ a1A+ a0I.

Np. dla f (x) = 2x2 − 3x + 4 i A =

[1 2−3 0

]mamy

f (A) = 2A2 − 3A+ 4I =

= 2

[−5 2−3 −6

]− 3

[1 2−3 0

]+ 4

[1 00 1

]=

[−9 −23 −8

]



Układy Cramera


A0 = I, An = An−1 · A, n ∈ N.


f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0


f (A) = anAn + an−1An−1 + · · ·+ a1A+ a0I.

Np. dla f (x) = 2x2 − 3x + 4 i A =

[1 2−3 0

]mamy

f (A) = 2A2 − 3A+ 4I =

= 2

[−5 2−3 −6

]− 3

[1 2−3 0

]+ 4

[1 00 1

]=

[−9 −23 −8

]



Układy Cramera


A0 = I, An = An−1 · A, n ∈ N.


f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0


f (A) = anAn + an−1An−1 + · · ·+ a1A+ a0I.

Np. dla f (x) = 2x2 − 3x + 4 i A =

[1 2−3 0

]mamy

f (A) = 2A2 − 3A+ 4I =

= 2

[−5 2−3 −6

]− 3

[1 2−3 0

]+ 4

[1 00 1

]=

[−9 −23 −8

]



Układy Cramera


A0 = I, An = An−1 · A, n ∈ N.


f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0


f (A) = anAn + an−1An−1 + · · ·+ a1A+ a0I.

Np. dla f (x) = 2x2 − 3x + 4 i A =

[1 2−3 0

]mamy

f (A) = 2A2 − 3A+ 4I =

= 2

[−5 2−3 −6

]− 3

[1 2−3 0

]+ 4

[1 00 1

]=

[−9 −23 −8

]



Układy Cramera


A0 = I, An = An−1 · A, n ∈ N.


f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0


f (A) = anAn + an−1An−1 + · · ·+ a1A+ a0I.

Np. dla f (x) = 2x2 − 3x + 4 i A =

[1 2−3 0

]mamy

f (A) = 2A2 − 3A+ 4I =

= 2

[−5 2−3 −6

]− 3

[1 2−3 0

]+ 4

[1 00 1

]=

[−9 −23 −8

]



Układy Cramera

Twórcy rachunku macierzowego

Arthur Cayley (1821-1895) James J. Sylvester (1814-1897)



Układy Cramera

Definicja wyznacznika

1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiemnazywamy liczbę a.

PiszemydetA = a lub |A| = a.

2) Jeżeli A =

[a11 a12a21 a22

]jest macierzą stopnia 2, to jej

wyznacznikiem nazywamy liczbę

detA = a11a22 − a12a21.

Piszemy także ∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.



Układy Cramera


1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiemnazywamy liczbę a.Piszemy

detA = a lub |A| = a.

2) Jeżeli A =

[a11 a12a21 a22



detA = a11a22 − a12a21.


∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.



Układy Cramera




2) Jeżeli A =

[a11 a12a21 a22



detA = a11a22 − a12a21.


∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.



Układy Cramera




2) Jeżeli A =

[a11 a12a21 a22



detA = a11a22 − a12a21.


∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.Macierze i wyznaczniki


Układy Cramera


3) Jeżeli

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 · · · ann

jest macierzą stopnia n,

Mik oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przezskreślenie w macierzy A i-tego wiersza i k-tej kolumny,

Aik = (−1)i+kMik ,to określamy

detA =n∑k=1

a1kA1k

Tę równość nazywamy rozwinięciem Laplace’a.



Układy Cramera


3) Jeżeli

A =


jest macierzą stopnia n,Mik oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przezskreślenie w macierzy A i-tego wiersza i k-tej kolumny,


detA =n∑k=1

a1kA1k




Układy Cramera


3) Jeżeli

A =



Aik = (−1)i+kMik ,

to określamy

detA =n∑k=1

a1kA1k




Układy Cramera


3) Jeżeli

A =




detA =n∑k=1

a1kA1k




Układy Cramera


3) Jeżeli

A =




detA =n∑k=1

a1kA1k




Układy Cramera

Liczbę Mik nazywamy podwyznacznikiem lub minorem macierzyA, natomiast Aik — to dopełnienie algebraiczne elementu aikmacierzy A.

Piszemy także:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .



Układy Cramera

Liczbę Mik nazywamy podwyznacznikiem lub minorem macierzyA, natomiast Aik — to dopełnienie algebraiczne elementu aikmacierzy A.Piszemy także:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .



Układy Cramera

Twierdzenie Laplace’a

Twierdzenie

Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:

detA =n∑j=1

aijAij

(rozwinięcie Laplace’a według i-tego wiersza) oraz

detA =n∑i=1

aijAij

(rozwinięcie Laplace’a według j-tej kolumny).



Układy Cramera


Twierdzenie


detA =n∑j=1

aijAij

(rozwinięcie Laplace’a według i-tego wiersza)

oraz

detA =n∑i=1

aijAij




Układy Cramera


Twierdzenie


detA =n∑j=1

aijAij


detA =n∑i=1

aijAij




Układy Cramera


Twierdzenie


detA =n∑j=1

aijAij


detA =n∑i=1

aijAij




Układy Cramera

Pierre-Simon de Laplace(1749-1827)

Laplace jest m.in. autorem dziełaExposition du systeme du monde(1799). Według częstopowtarzanej anegdoty, zapytanyprzez Napoleona, dlaczego w takwielkim dziele o Wszechświecieani razu nie wspomniał o jegoStwórcy, Laplace miałodpowiedzieć: NajjaśniejszyPanie, nie potrzebowałem tejhipotezy.



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1

∣∣∣∣∣ = . . .Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1


2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1


1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣

+ 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1


2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1


1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣

+

+ 3 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1


2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1


1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1

∣∣∣∣∣ = . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1


1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1


2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1


1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1


2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ +

5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1


1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1


2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣+

+ (−1) · (−1)5 ·∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .



Układy Cramera

Wyznacznik: ∣∣∣∣∣∣∣1 2 3−4 5 6−2 −1 −1


1 · (−1)2 ·∣∣∣∣∣ 5 6−1 −1

∣∣∣∣∣ + 2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ ++ 3 · (−1)4 ·

∣∣∣∣∣ −4 5−2 −1


2 · (−1)3 ·∣∣∣∣∣ −4 6−2 −1

∣∣∣∣∣ + 5 · (−1)4 ·∣∣∣∣∣ 1 3−2 −1

∣∣∣∣∣++ (−1) · (−1)5 ·

∣∣∣∣∣ 1 3−4 6

∣∣∣∣∣ = . . .Macierze i wyznaczniki


Układy Cramera

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) zdużą liczbą zer.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 −2 3 04 0 −5 62 −3 −1 00 0 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 32 −3 −10 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣ == 6 · (−2) · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣ 4 −22 −3

∣∣∣∣∣ = − 12(−12+ 4) = 96.Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięciewedług IV wiersza.



Układy Cramera

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) zdużą liczbą zer.∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4 −2 3 04 0 −5 62 −3 −1 00 0 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

6 · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 32 −3 −10 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣ == 6 · (−2) · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣ 4 −22 −3




Układy Cramera


4 −2 3 04 0 −5 62 −3 −1 00 0 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 32 −3 −10 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣ =

= 6 · (−2) · (−1)6 ·∣∣∣∣∣ 4 −22 −3




Układy Cramera


4 −2 3 04 0 −5 62 −3 −1 00 0 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 32 −3 −10 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣ == 6 · (−2) · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣ 4 −22 −3

∣∣∣∣∣ =

− 12(−12+ 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięciewedług IV wiersza.



Układy Cramera


4 −2 3 04 0 −5 62 −3 −1 00 0 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 32 −3 −10 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣ == 6 · (−2) · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣ 4 −22 −3

∣∣∣∣∣ = − 12(−12+ 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięciewedług IV wiersza.



Układy Cramera


4 −2 3 04 0 −5 62 −3 −1 00 0 −2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6 · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣∣∣4 −2 32 −3 −10 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣ == 6 · (−2) · (−1)6 ·

∣∣∣∣∣ 4 −22 −3




Układy Cramera

Własności wyznacznika

1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy AT ,

detA = detAT .

3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, todetA = 0.4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jejwyznacznika.5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A sąrówne, to detA = 0.



Układy Cramera


1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.

2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy AT ,

detA = detAT .




Układy Cramera



detA = detAT .




Układy Cramera



detA = detAT .

3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, todetA = 0.

4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jejwyznacznika.5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A sąrówne, to detA = 0.



Układy Cramera



detA = detAT .

3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, todetA = 0.4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jejwyznacznika.

5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A sąrówne, to detA = 0.



Układy Cramera



detA = detAT .




Układy Cramera


6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednejkolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.

7) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A sąproporcjonalne, to detA = 0.



Układy Cramera


6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednejkolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.7) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A sąproporcjonalne, to detA = 0.



Układy Cramera

8) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ai1 + a∗i1 ai2 + a

∗i2 · · · ain + a∗in

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .a∗i1 a

∗i2 · · · a∗in

. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 · · · ann.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



Układy Cramera


9) Jeżeli do elementów jednego wiersza (jednej kolumny)wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (innejkolumny) pomnożone przez dowolną liczbę, to wartośćwyznacznika nie ulegnie zmianie.



Układy Cramera

Układ równań liniowych

Równanie postaci:

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b

nazywamy równaniem liniowym o n niewiadomych x1, x2, . . . , xn.Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) nazywa się rozwiązaniem tegorównania, jeśli zachodzi

a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x1, x2, . . . , xnnazywa się układem równań liniowych.Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) nazywa się rozwiązaniem układu, jeślijest rozwiązaniem każdego równania tego układu.Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy sprzecznym.



Układy Cramera


Równanie postaci:

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b

nazywamy równaniem liniowym o n niewiadomych x1, x2, . . . , xn.

Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) nazywa się rozwiązaniem tegorównania, jeśli zachodzi

a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b.




Układy Cramera


Równanie postaci:

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b


a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b.




Układy Cramera


Równanie postaci:

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b


a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x1, x2, . . . , xnnazywa się układem równań liniowych.

Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) nazywa się rozwiązaniem układu, jeślijest rozwiązaniem każdego równania tego układu.Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy sprzecznym.



Układy Cramera


Równanie postaci:

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b


a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x1, x2, . . . , xnnazywa się układem równań liniowych.Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) nazywa się rozwiązaniem układu, jeślijest rozwiązaniem każdego równania tego układu.

Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy sprzecznym.



Układy Cramera


Równanie postaci:

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b


a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b.




Układy Cramera

Układ Cramera

Układ n równań o n niewiadomych

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

(1)

nazywa się układem Cramera, jeśli

detA = det[aij ] 6= 0.

Macierz A nazywamy macierzą układu, a detA wyznacznikiemukładu.Macierz A spełniającą warunek detA 6= 0 nazywamy nieosobliwą.



Układy Cramera

Układ Cramera



(1)






Układy Cramera

Układ Cramera



(1)






Układy Cramera

Układ Cramera



(1)



Macierz A nazywamy macierzą układu, a detA wyznacznikiemukładu.

Macierz A spełniającą warunek detA 6= 0 nazywamy nieosobliwą.



Układy Cramera

Układ Cramera



(1)






Układy Cramera

Twierdzenie (Cramera)

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jest one dane wzorem:

xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n) (2)

gdzie macierz Ak powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tejkolumny kolumną utworzoną z wyrazów b1, b2, . . . , bn.



Układy Cramera


Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.Jest one dane wzorem:

xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n) (2)




Układy Cramera


Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.Jest one dane wzorem:

xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n) (2)




Układy Cramera

Lemat

Niech A = [aij ] będzie macierzą kwadratową, Aij dopełnieniemalgebraicznym elementu aij .

Jeżeli i 6= k, ton∑j=1

aijAkj = 0.

Podobnie, jeśli j 6= k, ton∑i=1

aijAik = 0.



Układy Cramera

Lemat

Niech A = [aij ] będzie macierzą kwadratową, Aij dopełnieniemalgebraicznym elementu aij .Jeżeli i 6= k, to

n∑j=1

aijAkj = 0.


aijAik = 0.



Układy Cramera

Lemat

Niech A = [aij ] będzie macierzą kwadratową, Aij dopełnieniemalgebraicznym elementu aij .Jeżeli i 6= k, to

n∑j=1

aijAkj = 0.


aijAik = 0.



Układy Cramera

Dowód: suman∑j=1aijAkj = 0 jest rozwinięciem Laplace’a

wyznacznika, którego i-ty i k-ty wiersz jest taki sam.

Taki wyznacznik równy jest 0.Analogicznie, druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwiekolumny (j-tą i k-tą) równe.



Układy Cramera


wyznacznika, którego i-ty i k-ty wiersz jest taki sam.Taki wyznacznik równy jest 0.

Analogicznie, druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwiekolumny (j-tą i k-tą) równe.



Układy Cramera


wyznacznika, którego i-ty i k-ty wiersz jest taki sam.Taki wyznacznik równy jest 0.Analogicznie, druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwiekolumny (j-tą i k-tą) równe.



Układy Cramera

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x1, x2, . . . , xn,to

xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x1, x2, . . . , xn jest rozwiązaniem układu.Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A1k ,A2k , . . . ,Ankelementów k-tej kolumny:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 / · A1ka21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 / · A2k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn / · Ank



Układy Cramera



xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x1, x2, . . . , xn jest rozwiązaniem układu.

Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A1k ,A2k , . . . ,Ankelementów k-tej kolumny:




Układy Cramera



xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n).





Układy Cramera



xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n).


a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 / · A1k

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 / · A2k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn / · Ank



Układy Cramera



xk =detAkdetA

(k = 1, 2, . . . , n).





Układy Cramera

a11x1 · A1k + a12x2 · A1k + · · · + a1nxn · A1k = b1A1k

a21x1 · A2k + a22x2 · A2k + · · · + a2nxn · A2k = b2A2k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 · Ank + an2x2 · Ank + · · · + annxn · Ank = bnAnk

a następnie dodamy wszystkie równania stronami:(n∑i=1

ai1Aik

)x1 + · · ·+

(n∑i=1

aikAik

)xk +

+ · · ·+(n∑i=1

ainAik

)xn =

n∑i=1

biAik

(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony wedługniewiadomych).



Układy Cramera

a11x1 · A1k + a12x2 · A1k + · · · + a1nxn · A1k = b1A1ka21x1 · A2k + a22x2 · A2k + · · · + a2nxn · A2k = b2A2k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1x1 · Ank + an2x2 · Ank + · · · + annxn · Ank = bnAnk


ai1Aik

)x1 + · · ·+

(n∑i=1

aikAik

)xk +

+ · · ·+(n∑i=1

ainAik

)xn =

n∑i=1

biAik




Układy Cramera


a następnie dodamy wszystkie równania stronami:

(n∑i=1

ai1Aik

)x1 + · · ·+

(n∑i=1

aikAik

)xk +

+ · · ·+(n∑i=1

ainAik

)xn =

n∑i=1

biAik




Układy Cramera



ai1Aik

)x1 + · · ·+

(n∑i=1

aikAik

)xk +

+ · · ·+(n∑i=1

ainAik

)xn =

n∑i=1

biAik




Układy Cramera


Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jedenskładnik jest niezerowy — ten zawierający xk .

Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi detA.Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika detAk . Zatem

detA · xk = detAk ,

skąd

xk =detAkdetA

, k = 1, 2, . . . , n.



Układy Cramera


Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jedenskładnik jest niezerowy — ten zawierający xk .Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi detA.

Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika detAk . Zatem


skąd

xk =detAkdetA

, k = 1, 2, . . . , n.



Układy Cramera


Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jedenskładnik jest niezerowy — ten zawierający xk .Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi detA.Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika detAk .

Zatem


skąd

xk =detAkdetA

, k = 1, 2, . . . , n.



Układy Cramera


Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jedenskładnik jest niezerowy — ten zawierający xk .Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi detA.Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika detAk . Zatem


skąd

xk =detAkdetA

, k = 1, 2, . . . , n.



Układy Cramera


Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jedenskładnik jest niezerowy — ten zawierający xk .Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi detA.Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika detAk . Zatem


skąd

xk =detAkdetA

, k = 1, 2, . . . , n.



Układy Cramera


Krok 2. Wiemy na razie, że jeżeli układ ma rozwiązanie, to jestono określone wzorami Cramera.

Sprawdzimy, że istotnie liczby xk określone tymi wzorami spełniająrównania układu.



Układy Cramera


Krok 2. Wiemy na razie, że jeżeli układ ma rozwiązanie, to jestono określone wzorami Cramera.Sprawdzimy, że istotnie liczby xk określone tymi wzorami spełniająrównania układu.



Układy Cramera


Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:

as1detA1detA

+ as2detA2detA

· · ·+ asndetAndetA

=

=1detA

[as1(b1A11 + · · ·+ bnAn1) + · · ·+

+asn(b1A1n + · · ·+ bnAnn)]=

=1detA

[b1(as1A11 + · · ·+ asnA1n) + · · ·+

+bn(as1An1 + · · ·+ asnAnn)]=

=1detA

bs · detA = bs .



Układy Cramera



as1detA1detA

+ as2detA2detA


=

=1detA

[as1(b1A11 + · · ·+ bnAn1) + · · ·+

+asn(b1A1n + · · ·+ bnAnn)]=

=1detA

[b1(as1A11 + · · ·+ asnA1n) + · · ·+


=1detA

bs · detA = bs .



Układy Cramera



as1detA1detA

+ as2detA2detA


=

=1detA

[as1(b1A11 + · · ·+ bnAn1) + · · ·+

+asn(b1A1n + · · ·+ bnAnn)]=

=1detA

[b1(as1A11 + · · ·+ asnA1n) + · · ·+


=1detA

bs · detA = bs .



Układy Cramera



as1detA1detA

+ as2detA2detA


=

=1detA

[as1(b1A11 + · · ·+ bnAn1) + · · ·+

+asn(b1A1n + · · ·+ bnAnn)]=

=1detA

[b1(as1A11 + · · ·+ asnA1n) + · · ·+


=1detA

bs · detA = bs .



Układy Cramera



as1detA1detA

+ as2detA2detA


=

=1detA

[as1(b1A11 + · · ·+ bnAn1) + · · ·+

+asn(b1A1n + · · ·+ bnAnn)]=

=1detA

[b1(as1A11 + · · ·+ asnA1n) + · · ·+


=1detA

bs · detA =

bs .



Układy Cramera



as1detA1detA

+ as2detA2detA


=

=1detA

[as1(b1A11 + · · ·+ bnAn1) + · · ·+

+asn(b1A1n + · · ·+ bnAnn)]=

=1detA

[b1(as1A11 + · · ·+ asnA1n) + · · ·+


=1detA

bs · detA = bs .



Układy Cramera

Przykład

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 52x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 13x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 14x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −5 .

Obliczamy kolejno wyznaczniki:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 42 1 2 33 2 1 24 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −20,



Układy Cramera

Przykład



detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 42 1 2 33 2 1 24 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −20,



Układy Cramera

Przykład



detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 42 1 2 33 2 1 24 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −20,



Układy Cramera

detA1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 2 3 41 1 2 31 2 1 2−5 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 40,

detA2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 5 3 42 1 2 33 1 1 24 −5 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −40,



Układy Cramera

detA1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 2 3 41 1 2 31 2 1 2−5 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 40,

detA2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 5 3 42 1 2 33 1 1 24 −5 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −40,



Układy Cramera

detA3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 5 42 1 1 33 2 1 24 3 −5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 60,

detA4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 52 1 2 13 2 1 14 3 2 −5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −60.



Układy Cramera

detA3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 5 42 1 1 33 2 1 24 3 −5 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 60,

detA4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 52 1 2 13 2 1 14 3 2 −5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −60.



Układy Cramera

Zatem

x1 =detA1detA

= −2,

x2 =detA2detA

= 2,

x3 =detA3detA

= −3,

x4 =detA4detA

= 3.



Układy Cramera

Zatem

x1 =detA1detA

= −2,

x2 =detA2detA

= 2,

x3 =detA3detA

= −3,

x4 =detA4detA

= 3.



Układy Cramera

Zatem

x1 =detA1detA

= −2,

x2 =detA2detA

= 2,

x3 =detA3detA

= −3,

x4 =detA4detA

= 3.



Układy Cramera

Zatem

x1 =detA1detA

= −2,

x2 =detA2detA

= 2,

x3 =detA3detA

= −3,

x4 =detA4detA

= 3.



Układy Cramera

Układ jednorodny

Układ (1) dla b1 = b2 = . . . = bn = 0 nazywamy układemjednorodnym.

Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,bo detAk = 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek

Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,gdy detA = 0.

Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.



Układy Cramera

Układ jednorodny

Układ (1) dla b1 = b2 = . . . = bn = 0 nazywamy układemjednorodnym.Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,

bo detAk = 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek





Układy Cramera

Układ jednorodny

Układ (1) dla b1 = b2 = . . . = bn = 0 nazywamy układemjednorodnym.Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,bo detAk = 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek





Układy Cramera

Układ jednorodny


Wniosek





Układy Cramera

Układ jednorodny


Wniosek




Documents

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematykietacar.put.poznan.pl/maciej.grzesiak/prezentacja-macierze.pdf · Macierze. Działania na macierzach. Wyznacznik macierzy. Układy Cramera Deﬁnicja