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数列の極限 ���������� �� 矢崎
目 次
�� 数列 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 数列の極限 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 不定形 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 有界な単調数列の収束性 � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 定理 �を用いる問題� � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 定理 �を用いる問題 � � � � � � � � � � � � � � � �
� 区間縮小法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 区間縮小法の問題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
�� 問題 ���のヒント(誘導問題) � � � � � � � � � � � �
� � 相加相乗平均 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� 円周率の計算 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
注�問題 ���� これだけは!(初級)問題 ��� 脳みそに汗が;(中級)問題 ���� むむ、御主只者でないの。(上級)
�� 数列
数の並び
��� ��� � � � � ��� � � �
を数列と呼び、
����� ���� ��� � � � � ��� � � ��� �������������� �������などと表す。��を初項、��を第�項、あるいは一般項と呼ぶ。
� は自然数 �������
������� 全体の集合
第 � 項と一般項は意味が違うが、さしあたり混同してよい。
問題 �� ��� 次の数列の一般項を書け。��� �� �� �� �� �� �� � �� � � � ��� �� �� � � � ��� ��� ��� � � �
��� �� �� �� ��� ��� ��� ���� � � � ��� �� ���� ���� ���� ���� � � �
��� ���� ���� ���� ����� ����� � � � ��� ��� ���� ����� ������ ������� � � �
�� ���� ��� � ��� ������ � � � ��� ������� ��������� ����� � � �
��� ���� ����� ������ ������ � � �
問題 �� ��� 次の問に答えよ。
��� �日目には �円もらう。�日目には �円もらう。�日目には �日目の�倍の �円もらう。このように、毎日、前日の �倍の金額を � 日間もらい続けたとき、� 日間でもらった合計金額はいくらになるか。
��� 実は、上の合計金額は毎日 � 万円を � 日間もらうより遥かに高い。しかし、数日間は明らかに毎日 � 万円もらった方が良い。何日目に合計金額が逆転するか。
�
�� 数列の極限
数列 ���� において、添え字番号 �が大きくなるにしたがって、�� が限りなくある数 �に近づくとき、数列 ����は極限値 �に収束するとい 「限りなく近づく」こ
とと「単に近づく」こととは異なる!
う。これを、
������
�� � �� あるいは、�� � � �����
などと表す。収束しないとき、数列 ����は発散するという。
以下は基本である。
��� ������
�� � �� ������
�� � �のとき、
��� ������
��� � ��� � �� �
��� ������
������ � ��
��� ������
�
���
�
��ただし � �� �
��� �� � ��ならば � � �
��� �� � �� � ��� かつ � � �ならば、 ������
�� � � はさみうちの原理
���� ������
�
�� アルキメデスの原理
例� 実数 �に対して、数列 ����を���� � ��
�� �� � �
のように定める。このとき、 ������
��を求めよ。
答 ���� � ���の両辺の対数をとり、�� � � ! �� とおくと、���� � ���
である。したがって、����は公比 �の等比数列。∴ �� � ������� よって、� ! �� � ���� � ! �� より、�� � ��
���� � よって、次の �通りの場合が考 � �����
えられる。
� � � �のとき、���� � � よって、�� � ��� � ��
� � � �のとき、���� � �� よって、�� � ���
� � � ��のとき、����は発散する。∴ ��の極限も発散する。
� � � �のとき、����は(正の無限大に)発散する。∴ ��の極限も(正の無限大に)発散する。
問題 �� ��� 次の数列 ����は収束するか発散するか。収束するものについては、その極限値を求めよ。
��� �� � � ��
����� �� � � � ����� ��� �� �
�
� �
��� �� ��� � ��� �
�� ���� �� �
�� ��
� ��� �� ������
��
�� �� ���� � ��� �
�� � ���� �� �
��� � �
� � ���� �� �
� � � � � � �� �
���� � �
�
�� 不定形
����"�において、����� ����が無限大に発散する場合などは、必ずしも���~���は成り立たない。例えば、以下の �つの例はどれも ���
����� ���
������
�� ��だが、 ������
��� � ���の結果が異なる。 �"����で � �� �
��の場合� �� � ��� �� � �のとき、 ���
������ � ��� ���
� �� � �� �� �� � �のとき、 ������
��� � ��� � ��
� �� ��� �� �� �
�のとき、 ���
������ � ��� � �
∴ ���は一般にはわからない。これを不定形という。以下の形も不定形とよぶ:
� ���� �
� ��� �� ���
例� 不定形 � �の例を作ってみよう。���のとき、�� � � �� ��なる数列に対して、����の極限を考えると形式的には �"����より � �となる。しかし、次の �つの例はいずれも結果が異なる。
� �� ��
�� �� � �のとき、 ���
��������� � ���
���� � ��
� �� ��
�� �� � ��のとき、 ���
��������� � ���
���� ���
� �� ��
��� �� � �のとき、 ���
��������� � ���
���
�
�� �
問題 � ��� � � �のとき、�� � �� �� � �なる数列に対して、����
の極限を考えると、形式的には不定形�� となる。極限計算をすると、
������
����
� � ������
����
� �� ������
����
� ��� ������
����
��
となるような、数列 ����� ����の例をそれぞれ作れ。��は適当な定数�
�
� 有界な単調数列の収束性
次の定理は実数の連続性と呼ばれる。
定理 � ����が次の ���または ���を満たすならば、極限 ������
�� は存在
する。
��� 定数� があって、�� � �� � � � � � �� � � � � �� � 有界単調増加列
��� 定数� があって、�� �� � � � �� � � � � � 有界単調減少列
�の定義
数列 �� �
�� �
�
�
��
の極限は不定形 ��である。
�項定理より、
�� �
�� �
�
�
��
� � � ��
������ ��
�#
��
�
��
����� ����� ��
�#
��
�
�
� � � ����
�
��
� � � � ��
�#
��� �
�
��
�
�#
��� �
�
���� �
�
�
� � � � � �
�#
��� �
�
���� �
�
�� � ���� �� �
�
�� � � � � � ���
これより、
���� � � � � ��
�#
��� �
�� �
��
�
�#
��� �
�� �
���� �
�� �
�
� � � �� �
�#
��� �
�� �
���� �
�� �
�� � ���� �� �
�� �
�
��
��� ��#
��� �
�� �
���� �
�� �
�� � ���� �
�� �
�
よって、�� � �����
また、
�� �
�� �
�
�
��
� � ��
�#�
�
�#� � � �� �
�#
� � ��
��
�
��� � � �� �
����
� �
���より# � ���� � ��
したがって、����は単調増加で上に有界な列であるので、定理 ����より極限 ���
�����が存在する。その極限値を �と書く。 オイラー �$� %�����
� &����の頭文字
問題 � ��� 上の導出を納得せよ。
�
� 定理 �を用いる問題�
例� �� � �� ���� ���� � �
�� � �で定義された数列 ����に対して次の ������
を示せ。さらに極限 ������
��を求めよ。
��� �� � ���� �� � �� �� �� � � �� ��� �� � � �� � �� �� �� � � ��
図を見て ������を直観的に把握しよう。
' � �
�
� ���� �
�� �
� � �
答 ��� 全ての �について �� � である。�� � �� �� ��
�� ∴ �� � ���
� � のとき �� � ����が成り立つとすると、
���� � ���� ���� � �
�� � �� ����� � �
���� � ��
�� � ����
��� � ������� � ��� �
∴ ���� � ����� よって �� � ����はすべての自然数 �に対して成り立つ。 数学的帰納法
��� �� � � � �であり、また �� � より、���� � �� �
�� � �� �を得る。
������と定理 ����より ����は収束する。� � ������
�� とおけば、� �
��� �
�� �� ∴ � � �より � �
��
問題 �� ��� 上の例 ��� �� � �の �はどのようにして決めたと思うか。
問題 � ��� 以下の各数列 ����の収束性と極限値を求めよ。
��� �� � � ���� � ��� � � �� � �( � � �� �� �� � � ��
��� �� � �� �� � �� ���� ��� � ����
��� � �� �� �� � � ��
��� �� � � ���� ��� �� � �� �� �� � � ��
ヒント ��� 隣接 �項間漸化式、��� 前 �項の平均値である。また隣接 �項間漸化式でもある。��� �番目の例と類似。あるいは、���������全て一般項を求めてから計算してもよい。
�
�� 定理 �を用いる問題�
例� �� � �� ���� ��� � �で定義された数列 ����に対し次の ������を
示せ。さらに ������
��を求めよ。
��� �� � ���� �� � �� �� �� � � �� ��� �� ��
��� � �� �� �� � � ��
図を見て ������を直観的に把握しよう。
' � �
�
� ��� �
� � �
��
答 ��� �� � �� �� � �より �� � ��� � � のとき �� � ����が成り立つと仮定すると、
���� � ���� ��� � ��
����� � � �
����� � ��
����� � � �
∴ ���� � ����� よって �� � ����はすべての自然数 �に対して成り立つ。 数学的帰納法��� �� � � � ���� � � のとき �� � ��� が成り立つと仮定すれば、���� �
�� � � �
���� � � � ���� よって �� � ���はすべての自然数
に対して成り立つ。������と定理 ����より ����は収束する。� � ���
�����とおけば、�� �
�� �� ∴ � � � � ���より � �� �
��
��
問題 �� ��� 上の例 ��� �� ��
�の
�
�はどのようにして決めたと思うか。
問題 �� ��� 次の数列 ����の収束性と極限値を求めよ。
�� � � ���� ��� � � �� � �� �� �� � � ��
問題 ��� ��� 以下の各数列 ����の収束性と極限値を求めよ。
��� �� � �� ���� ��� � ����
��� � ( � � �� �� �� � � ��
��� � �� � �� ���� � ��
���� �
�
��� �� � �� �� �� � � ��
ヒント 図を描く。���は �で場合分け。
� 区間縮小法
次の定理も実数の連続性と呼ばれる。
定理 � ����� ����について、 ����も����も有界単調列だから、定理 �より極限が存在する。
��� �� � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � ��
��� ������
��� � ��� �
が成り立つならば、各極限は存在して一致する: ������
�� � ������
���
注� 上の定理を言い換えると、『閉区間を �� ��� ���とすれば、���� � �� で この意味で、定理 �を区間縮小法と呼ぶ。あり、区間の幅 ����は零に収束する。このとき、全ての区間に共通な集合
��
���
��
はただ一点からなる。』
例� �� � �� ���� ��
� � ���� � �� �� �� � � �� で定められる数列 ����は
���のとき収束することを示し、その極限値を求めよ。
答 全ての �について �� � である。次の �点を示せば定理 �より ��は収束する。
��� ���は単調増加、�����は単調減少 �� � �� �� �� � � ��
��� �� � �� � ��
��� ���� � �� � �����
以上の ���������は図を見ると直観的に納得するであろう。
' � �
�
� ��
� � �
� � �
��� � � �� � を示し、��� � ����� � を仮定して、����� � ��� � 数学的帰納法を示す。同様に、� � �� � を示し、����� � ���� � を仮定して、����� � ����� � を示す。
��� �� � より、���� � � � ��はよい。∴ ���� ��
� � �� �
� � ��� ���
��� 次のように絶対値を評価する。
���� � �� � ���� � ���� � ����� � �����
� ���� � ���� � ����
� � � � � �� � ���� � ���������
� �����
�
�� 区間縮小法の問題
問題 ��� ��� 以下の各数列 ����の収束性と極限値を求めよ。
��� �� � � ���� � � ��
� � ���� � �� �� �� � � ��
��� �� � �� ���� � � ��
���� � �� �� �� � � ��
以下の図を ヒント としよう。
' �� �
�
� � � ��
� � �
� � �
' � �
�
� � � ��
�
� � �
問題 ��� ��� �� � ���
�� � � �� �
�� � ! �� �� � �� � � �� �
�� � ! ��� ��
とおくと、����は単調減少列、����は単調増加列であることを示せ。また、 ���
������ � ��� � を示せ。
注� この問題を示せば、定理 �より ����� ����共通の極限値が存在することがわかる。その極限値 � � ������ � � � はオイラー数と呼ばれる。�の数論的性質は未知である。例えば無理数であるかどうかもわかっていない。 �� �も無理数かどう
かわかっていない。�
�� 問題 ���のヒント(誘導問題)
問題 ���において、 ������
��� � ��� � はよいであろう。����の単調減少性、����の単調増加性は次の問題の答えから導くことができる。
問題 ��� ��� 不等式
�
�� �� � !
�� �
�
�
��
�
��� � �� �� � � �� �����
を用いて、�� � ���� � � および �� � ���� � を示せ。
これより、問題 ���は解決!だが、不等式 �����を示さねばならない。
問題 �� ��� 不等式�� �
�
�
��
� � �
�� �
�
�
����
�� � �� �� � � �� �����
を用いて、�����を示せ。
�� �
�� �
�
�
��
� �� �
�� �
�
�
����
とおくと、�����は、�� � � � ��
である。�� � �は、���で示した。また、�� �
�� �
�
�
���であるので、
�� � ��� ������
�� � �はよい。�� � � � �より、����が単調減少であることを示せば �����がいえる。
問題 �� ��� 不等式
�
�� ��
��� �
�
� �
���
�� � �� �� � � �� �����
を用いて、�� � ����を示せ。
不等式 �����を示すために、次の相加相乗平均を紹介しよう: 算術幾何平均
� �� ��� ��� � � � � �� � に対し、
�� � �� � � � �� ���
�
���� � � � ��
が成り立ち、かつ等号成立は �� � �� � � � � � ��の場合に限る。
問題 ��� ��� 相加相乗平均において、�� � �� �� � � � � � ���� ��� �
�
とおくことにより �����を示せ。また、���で示した�� �
�
�
��
の単調増
加性:�� �
�
�
��
�
�� �
�
�� �
����
を、相加相乗平均において、�� � �� �� � � � � � �� ��
�� �とおくことに ���の �� � ����の別
証明!より示せ。
�
��� 相加相乗平均
���の相加相乗平均を示そう。必要ならば順序を入れ替えて � �� ��� � � � � � ��としてよい。この相加平均を 算術平均
����)����* ������ �
�� � �� � � � � � ���
とおく。数学的帰納法により相加相乗平均を示す。まず、� � �のときは既知である。� � �とする。� � �まで '+とすると、��� � �� � �� � ��とおいて、
��� � �� � � � �� ������ �
���
������ � � � ���� �� ���
が成り立つ。
問題 � � ��� �� ���において、�左辺�を計算せよ。また、�右辺�に不等式
��� ������
�� ���
を用いて、��� �� � � � �� を示せ。
これより、相加相乗平均の不等式が示された。等号成立の場合と、不等式 �� ���を示せば終了である。
問題 ��� ��� 不等式 �� ���を、����左辺�� �右辺�� を示すことから導け。
あとは等号成立が �� � � � � � ��の場合に限ることだけを示せばよい。
問題 ��� ��� �� � ��のとき、不等式 �� ���において等号不成立であること示せ。
これより、�� � ��のとき相加相乗平均において等号不成立となる。 これで ���の相加相乗平均が完全に証明されたことを反芻せよ。問題 ��� ��� 次の問に答えよ。
��� �� � � �� � とし、
���� ��� � ��
�� ���� �
����� �� � �� �� �� � � ��
とすると、����� ����は同じ極限値に収束することを示せ。 この極限値を ��� ��
の算術幾何平均と呼ぶ(ガウス ,����)。
ヒント 相加相乗平均より、��� �� �� ��の大小関係を示し、これを用いて、����は単調減少、����は単調増加、 ���
������ � ��� �
を示し、定理 �を用いる。
��� � � � � � � �� ��
���� ��� �� �
����とし、
�� ����� � ����
�� �� �
������� �� � �� �� � � ��
とすると、����� ����は同じ極限値に収束する。
��
��� 円周率の計算
正 �角形は �を大きくしていくと円に近づいていく(図 �)。
図 �� 正 �角形(� �� ��� ��� � � ��)。図では各辺を延長した直線を描き、円は描いていない。
直径 �の円に内接する正 �角形の周の長さを ��� 外接する正 �角形の周の長さを ��とすると、表 �(左)を得る。また、内接正 �角形、外接正 �
角形の面積をそれぞれ��� ��とすると、表 �(右)を得る。
� �� ��
� ������������ �������������� ����� � ���� �������������� ������� ���� ������������� ������������ ������ ������� ������������ ������������
��� ������������ ����� ������� � ������������ �������������� ������ � ��� ������������
���� ������������ ���������������� ������������ ���������� ���� ������������ ������������
��� ������������ ����������������� ������������ ������������
� ������������ ������������
� �� ��
� ���� ������� �������������� ������������ �������������� ����� � ���� ������������� ������� ���� ������ ������� ������������ ������������
��� ������������ ����� ������� � ������������ �������������� ������������ ������������
���� ������ � ��� ���������������� ������������ ���������� ���� ������������ ������������
��� ������������ ����������������� ������������ ������������
� ������������ ������������
表 �� 正 �角形の周長(左)と面積(右)。アルキメデス ������������ ���������� は���! ���まで計算した。劉徽 ���� は正 ����角形を用いて� � ������を、
祖沖之 �������� も多角形を用いて � � ��������を導き、���
��� ������� � � �
を � の良い近似として用いた。この分数はヨーロッパでは ��世紀まで知られなかった。
��
�はよく知られていた
問題 ��� ��� 次の問に答えよ。
��� � � �� � � ��を示せ。
��� ��� �����
� � ������
�� ������ � �� �� � � � �� を示せ。
��� ��� ����
� ��
� � ��������� � �� �� � � � �� を示せ。
��� 単調性 ��� � ��� および ��� � ��を示せ。
��� 面積 ��� ��を、��� ��� �などを用いて表せ。
��� 表 �は ���������より得たものである。� � �� ��について、表 �の値が得られることを電卓等を用いて確認せよ。
��