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数列の極限 目次 いる いる ヒント( 題) これだけ !( みそに が;( むむ、 。(

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Page 1: 数列の極限数列の極限 矢崎 目次 数列 数列の極限 不定形 有界な単調数列の収束性 定理 を用いる問題 定理 を用いる問題 区間縮小法

数列の極限 ���������� �� 矢崎

目 次

�� 数列 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 数列の極限 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 不定形 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 有界な単調数列の収束性 � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 定理 �を用いる問題� � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 定理 �を用いる問題 � � � � � � � � � � � � � � � �

� 区間縮小法 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 区間縮小法の問題 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� 問題 ���のヒント(誘導問題) � � � � � � � � � � � �

� � 相加相乗平均 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� 円周率の計算 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

注�問題 ���� これだけは!(初級)問題 ��� 脳みそに汗が;(中級)問題 ���� むむ、御主只者でないの。(上級)

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�� 数列

数の並び

��� ��� � � � � ��� � � �

を数列と呼び、

����� ���� ��� � � � � ��� � � ��� �������������� �������などと表す。��を初項、��を第�項、あるいは一般項と呼ぶ。

� は自然数 �������

������� 全体の集合

第 � 項と一般項は意味が違うが、さしあたり混同してよい。

問題 �� ��� 次の数列の一般項を書け。��� �� �� �� �� �� �� � �� � � � ��� �� �� � � � ��� ��� ��� � � �

��� �� �� �� ��� ��� ��� ���� � � � ��� �� ���� ���� ���� ���� � � �

��� ���� ���� ���� ����� ����� � � � ��� ��� ���� ����� ������ ������� � � �

�� ���� ��� � ��� ������ � � � ��� ������� ��������� ����� � � �

��� ���� ����� ������ ������ � � �

問題 �� ��� 次の問に答えよ。

��� �日目には �円もらう。�日目には �円もらう。�日目には �日目の�倍の �円もらう。このように、毎日、前日の �倍の金額を � 日間もらい続けたとき、� 日間でもらった合計金額はいくらになるか。

��� 実は、上の合計金額は毎日 � 万円を � 日間もらうより遥かに高い。しかし、数日間は明らかに毎日 � 万円もらった方が良い。何日目に合計金額が逆転するか。

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�� 数列の極限

数列 ���� において、添え字番号 �が大きくなるにしたがって、�� が限りなくある数 �に近づくとき、数列 ����は極限値 �に収束するとい 「限りなく近づく」こ

とと「単に近づく」こととは異なる!

う。これを、

������

�� � �� あるいは、�� � � �����

などと表す。収束しないとき、数列 ����は発散するという。

以下は基本である。

��� ������

�� � �� ������

�� � �のとき、

��� ������

��� � ��� � �� �

��� ������

������ � ��

��� ������

���

��ただし � �� �

��� �� � ��ならば � � �

��� �� � �� � ��� かつ � � �ならば、 ������

�� � � はさみうちの原理

���� ������

�� アルキメデスの原理

例� 実数 �に対して、数列 ����を���� � ��

�� �� � �

のように定める。このとき、 ������

��を求めよ。

答 ���� � ���の両辺の対数をとり、�� � � ! �� とおくと、���� � ���

である。したがって、����は公比 �の等比数列。∴ �� � ������� よって、� ! �� � ���� � ! �� より、�� � ��

���� � よって、次の �通りの場合が考 � �����

えられる。

� � � �のとき、���� � � よって、�� � ��� � ��

� � � �のとき、���� � �� よって、�� � ���

� � � ��のとき、����は発散する。∴ ��の極限も発散する。

� � � �のとき、����は(正の無限大に)発散する。∴ ��の極限も(正の無限大に)発散する。

問題 �� ��� 次の数列 ����は収束するか発散するか。収束するものについては、その極限値を求めよ。

��� �� � � ��

����� �� � � � ����� ��� �� �

� �

��� �� ��� � ��� �

�� ���� �� �

�� ��

� ��� �� ������

��

�� �� ���� � ��� �

�� � ���� �� �

��� � �

� � ���� �� �

� � � � � � �� �

���� � �

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�� 不定形

����"�において、����� ����が無限大に発散する場合などは、必ずしも���~���は成り立たない。例えば、以下の �つの例はどれも ���

����� ���

������

�� ��だが、 ������

��� � ���の結果が異なる。 �"����で � �� �

��の場合� �� � ��� �� � �のとき、 ���

������ � ��� ���

� �� � �� �� �� � �のとき、 ������

��� � ��� � ��

� �� ��� �� �� �

�のとき、 ���

������ � ��� � �

∴ ���は一般にはわからない。これを不定形という。以下の形も不定形とよぶ:

� ���� �

� ��� �� ���

例� 不定形 � �の例を作ってみよう。���のとき、�� � � �� ��なる数列に対して、����の極限を考えると形式的には �"����より � �となる。しかし、次の �つの例はいずれも結果が異なる。

� �� ��

�� �� � �のとき、 ���

��������� � ���

���� � ��

� �� ��

�� �� � ��のとき、 ���

��������� � ���

���� ���

� �� ��

��� �� � �のとき、 ���

��������� � ���

���

�� �

問題 � ��� � � �のとき、�� � �� �� � �なる数列に対して、����

の極限を考えると、形式的には不定形�� となる。極限計算をすると、

������

����

� � ������

����

� �� ������

����

� ��� ������

����

��

となるような、数列 ����� ����の例をそれぞれ作れ。��は適当な定数�

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� 有界な単調数列の収束性

次の定理は実数の連続性と呼ばれる。

定理 � ����が次の ���または ���を満たすならば、極限 ������

�� は存在

する。

��� 定数� があって、�� � �� � � � � � �� � � � � �� � 有界単調増加列

��� 定数� があって、�� �� � � � �� � � � � � 有界単調減少列

�の定義

数列 �� �

�� �

��

の極限は不定形 ��である。

�項定理より、

�� �

�� �

��

� � � ��

������ ��

�#

��

��

����� ����� ��

�#

��

� � � ����

��

� � � � ��

�#

��� �

��

�#

��� �

���� �

� � � � � �

�#

��� �

���� �

�� � ���� �� �

�� � � � � � ���

これより、

���� � � � � ��

�#

��� �

�� �

��

�#

��� �

�� �

���� �

�� �

� � � �� �

�#

��� �

�� �

���� �

�� �

�� � ���� �� �

�� �

��

��� ��#

��� �

�� �

���� �

�� �

�� � ���� �

�� �

よって、�� � �����

また、

�� �

�� �

��

� � ��

�#�

�#� � � �� �

�#

� � ��

��

��� � � �� �

����

� �

���より# � ���� � ��

したがって、����は単調増加で上に有界な列であるので、定理 ����より極限 ���

�����が存在する。その極限値を �と書く。 オイラー �$� %�����

� &����の頭文字

問題 � ��� 上の導出を納得せよ。

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� 定理 �を用いる問題�

例� �� � �� ���� ���� � �

�� � �で定義された数列 ����に対して次の ������

を示せ。さらに極限 ������

��を求めよ。

��� �� � ���� �� � �� �� �� � � �� ��� �� � � �� � �� �� �� � � ��

図を見て ������を直観的に把握しよう。

' � �

� ���� �

�� �

� � �

答 ��� 全ての �について �� � である。�� � �� �� ��

�� ∴ �� � ���

� � のとき �� � ����が成り立つとすると、

���� � ���� ���� � �

�� � �� ����� � �

���� � ��

�� � ����

��� � ������� � ��� �

∴ ���� � ����� よって �� � ����はすべての自然数 �に対して成り立つ。 数学的帰納法

��� �� � � � �であり、また �� � より、���� � �� �

�� � �� �を得る。

������と定理 ����より ����は収束する。� � ������

�� とおけば、� �

��� �

�� �� ∴ � � �より � �

��

問題 �� ��� 上の例 ��� �� � �の �はどのようにして決めたと思うか。

問題 � ��� 以下の各数列 ����の収束性と極限値を求めよ。

��� �� � � ���� � ��� � � �� � �( � � �� �� �� � � ��

��� �� � �� �� � �� ���� ��� � ����

��� � �� �� �� � � ��

��� �� � � ���� ��� �� � �� �� �� � � ��

ヒント ��� 隣接 �項間漸化式、��� 前 �項の平均値である。また隣接 �項間漸化式でもある。��� �番目の例と類似。あるいは、���������全て一般項を求めてから計算してもよい。

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�� 定理 �を用いる問題�

例� �� � �� ���� ��� � �で定義された数列 ����に対し次の ������を

示せ。さらに ������

��を求めよ。

��� �� � ���� �� � �� �� �� � � �� ��� �� ��

��� � �� �� �� � � ��

図を見て ������を直観的に把握しよう。

' � �

� ��� �

� � �

��

答 ��� �� � �� �� � �より �� � ��� � � のとき �� � ����が成り立つと仮定すると、

���� � ���� ��� � ��

����� � � �

����� � ��

����� � � �

∴ ���� � ����� よって �� � ����はすべての自然数 �に対して成り立つ。 数学的帰納法��� �� � � � ���� � � のとき �� � ��� が成り立つと仮定すれば、���� �

�� � � �

���� � � � ���� よって �� � ���はすべての自然数

に対して成り立つ。������と定理 ����より ����は収束する。� � ���

�����とおけば、�� �

�� �� ∴ � � � � ���より � �� �

��

��

問題 �� ��� 上の例 ��� �� ��

�の

�はどのようにして決めたと思うか。

問題 �� ��� 次の数列 ����の収束性と極限値を求めよ。

�� � � ���� ��� � � �� � �� �� �� � � ��

問題 ��� ��� 以下の各数列 ����の収束性と極限値を求めよ。

��� �� � �� ���� ��� � ����

��� � ( � � �� �� �� � � ��

��� � �� � �� ���� � ��

���� �

��� �� � �� �� �� � � ��

ヒント 図を描く。���は �で場合分け。

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� 区間縮小法

次の定理も実数の連続性と呼ばれる。

定理 � ����� ����について、 ����も����も有界単調列だから、定理 �より極限が存在する。

��� �� � �� � � � � � �� � � � � � �� � � � � � �� � ��

��� ������

��� � ��� �

が成り立つならば、各極限は存在して一致する: ������

�� � ������

���

注� 上の定理を言い換えると、『閉区間を �� ��� ���とすれば、���� � �� で この意味で、定理 �を区間縮小法と呼ぶ。あり、区間の幅 ����は零に収束する。このとき、全ての区間に共通な集合

��

���

��

はただ一点からなる。』

例� �� � �� ���� ��

� � ���� � �� �� �� � � �� で定められる数列 ����は

���のとき収束することを示し、その極限値を求めよ。

答 全ての �について �� � である。次の �点を示せば定理 �より ��は収束する。

��� ���は単調増加、�����は単調減少 �� � �� �� �� � � ��

��� �� � �� � ��

��� ���� � �� � �����

以上の ���������は図を見ると直観的に納得するであろう。

' � �

� ��

� � �

� � �

��� � � �� � を示し、��� � ����� � を仮定して、����� � ��� � 数学的帰納法を示す。同様に、� � �� � を示し、����� � ���� � を仮定して、����� � ����� � を示す。

��� �� � より、���� � � � ��はよい。∴ ���� ��

� � �� �

� � ��� ���

��� 次のように絶対値を評価する。

���� � �� � ���� � ���� � ����� � �����

� ���� � ���� � ����

� � � � � �� � ���� � ���������

� �����

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�� 区間縮小法の問題

問題 ��� ��� 以下の各数列 ����の収束性と極限値を求めよ。

��� �� � � ���� � � ��

� � ���� � �� �� �� � � ��

��� �� � �� ���� � � ��

���� � �� �� �� � � ��

以下の図を ヒント としよう。

' �� �

� � � ��

� � �

� � �

' � �

� � � ��

� � �

問題 ��� ��� �� � ���

�� � � �� �

�� � ! �� �� � �� � � �� �

�� � ! ��� ��

とおくと、����は単調減少列、����は単調増加列であることを示せ。また、 ���

������ � ��� � を示せ。

注� この問題を示せば、定理 �より ����� ����共通の極限値が存在することがわかる。その極限値 � � ������ � � � はオイラー数と呼ばれる。�の数論的性質は未知である。例えば無理数であるかどうかもわかっていない。 �� �も無理数かどう

かわかっていない。�

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�� 問題 ���のヒント(誘導問題)

問題 ���において、 ������

��� � ��� � はよいであろう。����の単調減少性、����の単調増加性は次の問題の答えから導くことができる。

問題 ��� ��� 不等式

�� �� � !

�� �

��

��� � �� �� � � �� �����

を用いて、�� � ���� � � および �� � ���� � を示せ。

これより、問題 ���は解決!だが、不等式 �����を示さねばならない。

問題 �� ��� 不等式�� �

��

� � �

�� �

����

�� � �� �� � � �� �����

を用いて、�����を示せ。

�� �

�� �

��

� �� �

�� �

����

とおくと、�����は、�� � � � ��

である。�� � �は、���で示した。また、�� �

�� �

���であるので、

�� � ��� ������

�� � �はよい。�� � � � �より、����が単調減少であることを示せば �����がいえる。

問題 �� ��� 不等式

�� ��

��� �

� �

���

�� � �� �� � � �� �����

を用いて、�� � ����を示せ。

不等式 �����を示すために、次の相加相乗平均を紹介しよう: 算術幾何平均

� �� ��� ��� � � � � �� � に対し、

�� � �� � � � �� ���

���� � � � ��

が成り立ち、かつ等号成立は �� � �� � � � � � ��の場合に限る。

問題 ��� ��� 相加相乗平均において、�� � �� �� � � � � � ���� ��� �

とおくことにより �����を示せ。また、���で示した�� �

��

の単調増

加性:�� �

��

�� �

�� �

����

を、相加相乗平均において、�� � �� �� � � � � � �� ��

�� �とおくことに ���の �� � ����の別

証明!より示せ。

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��� 相加相乗平均

���の相加相乗平均を示そう。必要ならば順序を入れ替えて � �� ��� � � � � � ��としてよい。この相加平均を 算術平均

����)����* ������ �

�� � �� � � � � � ���

とおく。数学的帰納法により相加相乗平均を示す。まず、� � �のときは既知である。� � �とする。� � �まで '+とすると、��� � �� � �� � ��とおいて、

��� � �� � � � �� ������ �

���

������ � � � ���� �� ���

が成り立つ。

問題 � � ��� �� ���において、�左辺�を計算せよ。また、�右辺�に不等式

��� ������

�� ���

を用いて、��� �� � � � �� を示せ。

これより、相加相乗平均の不等式が示された。等号成立の場合と、不等式 �� ���を示せば終了である。

問題 ��� ��� 不等式 �� ���を、����左辺�� �右辺�� を示すことから導け。

あとは等号成立が �� � � � � � ��の場合に限ることだけを示せばよい。

問題 ��� ��� �� � ��のとき、不等式 �� ���において等号不成立であること示せ。

これより、�� � ��のとき相加相乗平均において等号不成立となる。 これで ���の相加相乗平均が完全に証明されたことを反芻せよ。問題 ��� ��� 次の問に答えよ。

��� �� � � �� � とし、

���� ��� � ��

�� ���� �

����� �� � �� �� �� � � ��

とすると、����� ����は同じ極限値に収束することを示せ。 この極限値を ��� ��

の算術幾何平均と呼ぶ(ガウス ,����)。

ヒント 相加相乗平均より、��� �� �� ��の大小関係を示し、これを用いて、����は単調減少、����は単調増加、 ���

������ � ��� �

を示し、定理 �を用いる。

��� � � � � � � �� ��

���� ��� �� �

����とし、

�� ����� � ����

�� �� �

������� �� � �� �� � � ��

とすると、����� ����は同じ極限値に収束する。

��

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��� 円周率の計算

正 �角形は �を大きくしていくと円に近づいていく(図 �)。

図 �� 正 �角形(� �� ��� ��� � � ��)。図では各辺を延長した直線を描き、円は描いていない。

直径 �の円に内接する正 �角形の周の長さを ��� 外接する正 �角形の周の長さを ��とすると、表 �(左)を得る。また、内接正 �角形、外接正 �

角形の面積をそれぞれ��� ��とすると、表 �(右)を得る。

� �� ��

� ������������ �������������� ����� � ���� �������������� ������� ���� ������������� ������������ ������ ������� ������������ ������������

��� ������������ ����� ������� � ������������ �������������� ������ � ��� ������������

���� ������������ ���������������� ������������ ���������� ���� ������������ ������������

��� ������������ ����������������� ������������ ������������

� ������������ ������������

� �� ��

� ���� ������� �������������� ������������ �������������� ����� � ���� ������������� ������� ���� ������ ������� ������������ ������������

��� ������������ ����� ������� � ������������ �������������� ������������ ������������

���� ������ � ��� ���������������� ������������ ���������� ���� ������������ ������������

��� ������������ ����������������� ������������ ������������

� ������������ ������������

表 �� 正 �角形の周長(左)と面積(右)。アルキメデス ������������ ���������� は���! ���まで計算した。劉徽 ���� は正 ����角形を用いて� � ������を、

祖沖之 �������� も多角形を用いて � � ��������を導き、���

��� ������� � � �

を � の良い近似として用いた。この分数はヨーロッパでは ��世紀まで知られなかった。

��

�はよく知られていた

問題 ��� ��� 次の問に答えよ。

��� � � �� � � ��を示せ。

��� ��� �����

� � ������

�� ������ � �� �� � � � �� を示せ。

��� ��� ����

� ��

� � ��������� � �� �� � � � �� を示せ。

��� 単調性 ��� � ��� および ��� � ��を示せ。

��� 面積 ��� ��を、��� ��� �などを用いて表せ。

��� 表 �は ���������より得たものである。� � �� ��について、表 �の値が得られることを電卓等を用いて確認せよ。

��