ealan

7/29/2019 ealan

1/173

1

EM241 ELEKTROMANYETK I.

Yrd. Do Dr. Hasan H. Balk


Yrd. Do. Dr. Hasan H. Balkhttp://balik.firat.edu.tr

[email protected]
http://balik.firat.edu.tr/mailto:[email protected]:[email protected]://balik.firat.edu.tr/

7/29/2019 ealan

2/173

2



7/29/2019 ealan

3/173

3



7/29/2019 ealan

4/173

4



Yararlanlacak Kaynaklar1. Electromagnetic Fields and Waves (Paul Lorrain etc., W.H. Freeman

Company, ISBN :0-716-71869-3)2. Electromagnetism (I. S. Grant etc., John Willey, ISBN : 0-471-92712-0)3. Electromagnetsim for Engineers (P. Hammond, Pergamon Press, ISBN : 0-08-

022104-1)4. Electromagnetic Fields (R. V. Buckley, Macmillian Press, ISBN : 0-333-30664-

3)

5. The Priciples of Electromagnetic Theory (Attay Kovetz, Cambridge UniversityPress, ISBN : 0-521-39997-1)

6. Alanlar Kurami I : Dural Elektrik Alanlar Ders Notlari (Kemal Erdogdu,

Karadeniz Teknik Universitesi)7. Elektromagnetik Problemler ve Sayisal Yontemler (Levent Sevgi, BirsenYayinevi, ISBN : 975-511-223-5)

8. Elektromagnetik Alan Teorisi (Prof. Dr. H. Ergun Bayrakci, Birsen Yayinevi,ISBN : 975-511-011-9

7/29/2019 ealan

5/173

5



7/29/2019 ealan

6/173

6



Haftalk Ders erikleri1. Vektrler ve vektrel ilemleri, kordinat sistemleri

2. Coulumb ve Gauss yasalar, kuvvet ve elektrik alan kavramlar

3. Poisson ve Laplace denklemleri, ykn korunumu kanunu, letkenlik

4. Saysal rnek ve uygulamalar

5. Elektriksel ok ulular, Multipol kavramnn almn kullanarak yk dalmnndndaki elektrik alannn hesab, Legendre polinomlar

6. Yk ve potansiyel terimi cinsinden bir yk dalmnn potansiyel enerji hesab,

Elektriksel yk dalmnn Elektrik alan cinsinden potansiyel enerjisi ve kapasite(kondansatr) hesab

7/29/2019 ealan

7/173

7



Haftalk Ders erikleri7. letkenler zerindeki elektriksel kuvvet, Grsel alma metodu ile Elektriksel

kuvvetlerin hesab


9. Bal ykler ve elektrik ak younluu, polarizasyon, yaltkann varlndaPoisson ve Laplace denklemleri, Elektriksel duyarllk ve geirgenlik kavramlar

10. Gerek yaytkanlar, ara yzeydeki sureklilik artlar ve depolanan enerji

11. Elektrostatik alanlar iin teklik teoremi ve grnt alma yntemi


7/29/2019 ealan

8/173

8



1. VEKTRLER Giri Vekrrel lemler ve nvaryans

Gradyant

Operatrnn nvaryans

Diveryans ve Diverjans Teoremi

Rotasyonel ve Skotes Teoremi

Laplas

Koordinat Sistemleri

Yaygn Kullanlan Koordinat Sistemleri (Kartezyen, Silindirik ve Kresel)

Koordinat Sistemine gre Gradyant, Diverjans, Rotasyonel ve Laplas Hesaplamalar

7/29/2019 ealan

9/173

9



1.1 GRBu blm; Elektromanyetik Kuram dersini yeni alan rencilere matamatiksel bir temel

oluturmak

Vektrel ilemleri ana hatlar ile incelemek

Koordinat sistemlerini ana hatlar ile incelemekamac ile hazrlanmtr.

TANIM: Matamatiksel olarakALAN uzaydaki btn noktalarda bir fizikselbykl tanmlayan fonksiyondur. Skaler Alan`da herbir nokta iin bubyklk bir say tarafndan ifade edilir ve bir noktadan dierine deiebilir(Scaklk, younluk ve elektriksel potansiyel gibi).Vektrel Alan`da fiziksel

byklk bir vektrdr ve hem say hemde yn ile ifade edilir (Rzgar veyerekimi kuvveti gibi).

NOT: Derste vektrler KOYU skalerler ise TALKyazlacaktr.

TORNAVDA KURALI: Pozitif z yn pozitif x ynn pozitif y ynnekapattmzda tornavidann ilerleme yndr.

1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

10/173

10



1.2 VEKTREL LEMLER

1. VEKTRLER

ekildeA vektrnnAx,Ayve Az gibi 3bileeni gzkmektedir.A ve B iki vektrolsunlar. Bu vektrler;

Vektrlerin cebirsel ilemleri;

Burada;

A vektrnn genliidir.

1. VEKTRLER

NOT:c birim vektrA ve B`yi ieren dzleme diktir. Bakabir deile C=A x B iin C`nin ynA`y B`ye kapattmzdatornavidann ilerleme yndr. AyrcaA x B = -B xA dr.

7/29/2019 ealan

11/173

11



1.2.1 NVARYANSTANIM : Deerleri koordinat sisteminden bamsz olan byklklere invaryant buzelliede invaryans denir.

Vektrler

Vektrlerin bileenleriVektorler aras asA + B veyaA - B A + B`nin bileenler Skaler veya vektrel arpma Yerekimi kuvveti

nvaryanttr

nvaryant deildir (Koordinat sistemine bal)nvaryanttrnvaryanttrnvaryant deildir (Koordinat sistemine bal)nvaryanttrnvaryanttr

1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

12/173

12



1.3 GRADYANTScaklk gibi bir skaler nokta fonksiyonu koordinat sisteminin fonksiyonu olan bir skalerdegerdir. fgibi srekli ve trevi alnabilir bir fonksiyon dnelim ve dl gibi ok kk birmesafede nasl deitiini bulmak isteyelim.

f fonkdiyonunun difransiyeli;

`dir ve iki vektrn skaler arpmdr. Bunlar;

ve dir.

kinci vektr f fonkdiyonunun gradyant olarak adlandrlr vebileenleri koordinat eksenleri boyunca f`in deiimini verir.

Nabla diye okunur ve bir fonksiyonun gradyantnn genlii

`dr. Sonu olarak;

Olur. Buradaiki vektr aras adr. 1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

13/173

13



Bileenleri koordinat eksenleri ynnde fonksiyonun deiim orandr Genlii mesafe ile birlikte deiimin maksimum orandr

Yn mesafe ile birlikte deiimin maksimum orandr

Yn fonksiyonun byyen deerlerine dorudur.

1. VEKTRLER

NOT: Bir skaler fonksiyonun gradyant verilen bir noktada bir vektrdr ve aadakiozellikleri tar. Bu zellikler

Gradyant bir vektrdr ve skaler fonksiyonlarn gradyant alnabilir. Ayrca Gradyantinvaryanttr.

7/29/2019 ealan

14/173

14



1.4 OPERATRNN NVARYANSI

1. VEKTRLER

Operatrnn kendisi invaryant mdr? Bunu bulmak extra dikkat gerektirir nk `nnbileenleri say deil oparatrdr.

S ve `S iki kartezyen koordinat sistemi setini dnelim. ekildede grlecei gibi batlik olsun diye iki set ayn orjini paylar.Sonu olarakAAx, Ay, Az, Ax, Ay ve Az eklinde bileenlere

sahiptir. Sonu olarak;

a katsaylar S`e gre S nn oryantasyonunun bir fonksiyonudur.EgerA f`in gradyant ise bileenleri;

Ve

7/29/2019 ealan

15/173

15



1. VEKTRLER

Herhangi trev alnabilir f iin biliyoruz ki;

ve benzer ekilde dierleri iinde yazlabilir. Sonu olarak herhangi vektr gibiinvaryanttr

7/29/2019 ealan

16/173

16



1.5 AKI

1. VEKTRLER

Genellikle bir vektrn yzeyden geen aksnn hesaplanmas gerekebilir. Tanm gerei Bvektrnn sonsuz kuklkteki dA yzeyinden akan daks

Burada dA yzeye dik olan vektrdr. Sonu olarakdaks yzeye dik olan vektrn dAile arpmnnbir bileenidir. Asonlu yzeyi iin;

NOT:Tanm gerei dA vektrnn yn yzeydenda dorudur.

7/29/2019 ealan

17/173

17



1.6 DVERJANSKapali bir yzeyden dar doru akan vektr aks ya 1.5 `deki gibi yada aadaki gibihesaplanabilir. ekildeki gibi dxdydzhacmi ve bileenleri Bx, By, Bz olan B vektrn ele alalm

Sa yz merkezindeki Bxdeeri o yzn ortalamas olarak alnabilir.Hacim elementinin sa yzeyi boyunca dar akan ak;

nk sa yzdeki B`nin dik bileeni o yzdeki B`nin x bileenidir.Hacim sonsuz kklkte olduu iin B`nin bileenlerinin yksekdereceli trevleri ihmal edilmitir. Sol yzdeki dar kan ak ise;

Parantez nndeki iaretinin anlam dA da doru olmasna ramen Bxie dorudur. Sonuolarak iki yzden da doru akan ak;

Olur. Burada dvsonsuz kklkteki hacim elementidir. Benzer yolla dier yzlerden akan netaky hesaplamak istersek;

1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

18/173

18



imdi yapk iki tane sonsuz kklkte hacim elementi alalm ve ak birinden kp dierine

gitsin. Arayzde ak eit genlikte fakat ters iarettedir. Bu hesab sonlu hacime uygularsaktoplam da doru akan ak;

Hacim iindeki herhangi verilen noktada bu deer `dir. Sonu olarak bubirim hacimden da doru akan akdr ve invaryanttr. Vektrel nokta fonksiyonunundiverjans bir skaler nokta fonksiyonudur. Skaler arpm kuralna gre bir vektrn diverjansinvaryanttr ve;

1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

19/173

19



1.7 DVERJANS TEOREMu ana kadar Bvektrnn toplan da doru olan aks B`nin dik bileeninin yzeyselintegraline eit olduunu rendik. Kapal Ayzeyinin evreledii hacme v dersek toplam ak;

Bu kural herhangi trev alnabilir B vektrne uygulanabilir ve;

Diverjans Teoremi, Green Teoremi yada Gauss Teoremi olarak adlandrlr.

1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

20/173

20



1.8 ROTASYONELVerilen herhangi B aln ve xy dzleminde konumlanm kabal bir yol iin

ve

imdi ekil`deki gibi sonsuz kk bir yol dnelim ve 1.31integralini para para inceleyelim:

Sonu olarak;

Bulunabilir. Benzer ekilde

ve elde edilir.

Eer dersek sonuta olur.

Dikkat edilirse bu yarg izgisel integralin yolu tornavida kuralna gre ilerlemeyi pozitif zekseninde yapan xy dzlemindeki pozitif ynde dnerse dorudur.

1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

21/173

21



g3ve dier simetrik byklkleri bir vektrn bileenleri gibi kabul edersek:

olur ve ayrca matris formatnda da

eklinde yazlabilir. Buna B vektrnnrotasyoneli denir.

dAvektrn tornavida kuralna gre seersek olur vebulunur.

Hem delta operator hemde vektrel arpma invaryant olduundan bir vektrn rotasyonelide invaryanttr. 1.41 denklemi de invaryanttr ve herhangi dAelementine uygulanabilir.

1. VEKTRLER

NOT:Genellikle B`nin rotasyoneli B`ye dik deildir. Skaler bir fonksiyonun gradyantnn rotasyoneli sfr`dr.

7/29/2019 ealan

22/173

22



1.9 SKOTES TEOREM1.41 Denklemi yol ok kk ise dorudur. Bu denklemi byk yollara uygulamak istediimizdeherhangi sonlu yzeyi dA1, dA2... eklinde ekildeki gibi blmemiz gerekir. Bu durumdaherhangi sonsuz kklkteki alan iin:

bulunur. Bu kk yzeyleri yanyana koyarsak sa taraf yzeyselintegrale dnr. Sonuta;

burada Ayzeyi kapal C erisi tarafndan snrlanan yzeydir. BunaSkotes Teoremi denir.

1. VEKTRLER

7/29/2019 ealan

23/173

23



1.10 LAPLAS OPERATR

1. VEKTRLER

Skaler br ffonksiyonunun gradyantnn diverjansffonksiyonunun laplas olarak ifade edilir ve

Burada 2 `ye Laplas Operatr denir. Laplas operatrde invaryant`tr nk ikiardl invaryant operasyonun sonucudur. Skaler fonksiyonun laplas olabilecei gibi vektrel

bir fonksiyonunda laplas olabilir ve kartezyen koordinat sisteminde bir vektrn laplas herbirbileeninin laplasna eittir.

Vektrn laplasda invaryanttr.

7/29/2019 ealan

24/173

24



1.11 KOORDNAT SSTEMLER

1. VEKTRLER

Baz durumlarda problemin zm iin kartezyen koordinat sistemi yeterli olmayabilir. Budurumda problemimize uygun koordinat sisteminin seimi gereklidir. Bu blmde en skkullanlan silindirik ve kresel koordinat sistemlerinden bahsedilecektir. Ayrca bu iki koordinatsistemi iin gradyant ve diverjans gibi matamatiksel ilemlerde tanmlanacaktr.

q nun sabit olduu aadaki denklemi dnelim.

Bu denklem herbir yes q parametresinin zel deeritarafndan karakterize edilen uzayda bir yzey ailesinitanmlar. Mesela x=qyz dzlemine paralel yzeyleri tanmlar.imdi ekildeki gibi birbirine dik yzey ailelerini tanmlayanaadaki 3 denklemi dnelim:

Diyelim ki dl1q1yzeyine dik uzunluk elementi olsun. Bu q1ile q1+dq1arasndaki mesafedir. Sonu olarak;

dir. Burada h1q1,q2,q3koordinatlarnn bir fonksiyonudur. Benzer ekilde

7/29/2019 ealan

25/173

25



1. VEKTRLER

Kartezyen koordinat sistemlerinde h1, h2, h3 1`e eittir. q1, q2, q3birim vektrleri sras ile q1,q2, q3 yzeylerine ait birim vektrlerdir ve ynleri koordinatlarn artan deerlerine dorudur. Bu

vektrn yn sadece kartezyen koordinat sisteminde sabit yn gsterir dierlerinde q1, q2,q3ile deiir. Hacim elementi ise;

eklinde tanimlanr.

7/29/2019 ealan

26/173

26



1.11.1 SLNDRK KOORDNATSSTEM

1. VEKTRLER

ekildeki Silindirik Koordinat Sistemi`nde q1=, q2=,q3=z dir. Herhangi bir P noktasnda birim vektrleri , , zolan3 dik yn tanmlanabilir. ve birim vektrleri Pnoktas deitike ayn yn muhafaza etmezler fakatherhangi verilen bir noktada bu 3 vektr birbirine diktir. Pnoktasnn pozisyonunu tanmlayan vektr:

dr. Dikkat edilirse denklemde gzkmez fakat `nun

oryantasyonu tarafndan belirlenir. Eger ve z sabitken dkadar artarsa P noktas d r=dkadar ilerler. Eer ve zsabitken dkadar artarsa P noktas d r=dkadar artar.Eer ve sabitken z dzkadar artarsa P noktas d r=dzzkadar artar. Sonu olarak herhangi artma iin mesafeelementi

Olur.

7/29/2019 ealan

27/173

27



1. VEKTRLER

ekide sonsuz kklkteki ilerlemelere ait hacimelementi gzkmektedir. Sonsuz kklktekihacim elementi:

eklinde tanmlanr.

7/29/2019 ealan

28/173

28



1.11.2 KRESEL KOORDNATSSTEM

1. VEKTRLER

Kresel Koordinat Sistemi`ndeP noktasnn konumu r,, eksenlerine sahiptir. Herbir eksenin de birim vektrlerir, , dir ve P haraket ettike ayn oryantasyonu muhafazaetmezler. Birim artmalarda P`nin pozisyonunu tanmlayanvektr:

7/29/2019 ealan

29/173

29



1. VEKTRLER

ekilde grlen hacim elementi ise

7/29/2019 ealan

30/173

30



1. VEKTRLER

Aadaki tabloda koordinat sistemleri zetlenmitir.

3

7/29/2019 ealan

31/173

31



1.11.3 GRADYANT

1. VEKTRLER

fskaler fonksiyonunun deiiminin vektrel oran:

Silindirik Koordinat Sistemi iin

Kresel Koordinat Sistemi iin

NOT: z ekseni zerinde tanmsz, ve ise sfrdr. Sonu olarak 1.64 ve 1.65 anlamszdr

32

7/29/2019 ealan

32/173

32



1.11.4 DVERJANSekildeki hacim elementini dnelim. B1 merkezde Bvektrnn q1bileenidir ve h1, h2, h3 o noktann hdeerleridir. Yanal yzeyler ortogonal olduundan solyzden da doru akan ak:

h2ve h3 n q1 in fonksiyonu olabileceini unutmamamzgerekir. 3. Derece ve zeri trevleri ihmal edilebilir vesonuta:

Benzer ekilde sa yz iinde;

Sol ve sa yz iin net ak ise;

1. VEKTRLER

33

7/29/2019 ealan

33/173

33



1. VEKTRLER

Bu hesaplamay dier yzey iftleri iinde tekrar edersek saran yzeyden akan aky buluruz.Eer bunuda hacim elementine blersek diverjans elde edilmi olur.

Silindirik Koordinat Sistemi`inde

Kresel Koordinat Sistemi`inde

NOT: z ekseni zerinde diverjanslar ve sinsfr olduundan anlamszdr

34

7/29/2019 ealan

34/173

34



1. VEKTRLER

1.11.5 ROTASYONELq1= sabit olan yzeyde ve tornavida kuralna gre yn q1`i verecek ekilde kapal C erisizerinden denklem 1.42 uygulanabilir. Sonuta;

ekildeki a, b, c, dyolllar iin izgisel integrale aadaki katklarmzolur

Bu 4 terimin toplamnn alan elementine blnm B`nin rotasyonelinin 1. Bileenini verir.

35

7/29/2019 ealan

35/173

35



1. VEKTRLER

Rotasyonelin dier bileenleri iin ilgili ifadeler altindisleri evirerek bulunabilir. Sonu olarak,



NOT: z ekseni zerinde yukardaki ifadeler geerli deildir.

36

7/29/2019 ealan

36/173

36



1.11.6 LAPLASGenel bir koordinat sisteminde skaler bir fonksiyonun laplas gradyantn diverjans olaraktanmlanr:


1. VEKTRLER

37

7/29/2019 ealan

37/173

37



1. VEKTRLER


Kartezyen Koordinat sisteminde bir Bvektrnn laplas herbir bileeninin laplaslarnn

toplamna eittir. Dier koordinat sistemlerinde;

Denkleminin zmnden bulunur.

38

7/29/2019 ealan

38/173

38



2. ELEKTRK ALANLAR I. Giri Coulomb Yasas Elektrik Alan iddeti (E) Sperpozisyon Kural Elektriksel Potansiyel ve E`nin RotasyoneliEpotansiyel Yzeyler ve E izgileri Gauss Yasas

39

7/29/2019 ealan

39/173

39



2.1 GR

Bu blmden itibaren elektrik yknn depolanmasndan doan elektrik alanlarincelenecektir. Ykler genellikle duraandrlar. Ykler hareket ettikleri zaman hzlarnnihmal edilecek kadar kk olduu kabul edilecektir. Bu kabul bu tr yklerin deduraganm gibi alanlarn hesaplayabilmemizi salar. Ayrca manyetik alanlarda yoksaylacaktr. Bu blmde elektrik alanlar iin temel olan Coulumb ve Gauss yasalar ileilgilenecektir.

40

7/29/2019 ealan

40/173

40



2.2 COULOMB YASASIDeneyleri gstermitir ki duraan bir Qayk kendisindenrkadar uzaklkta bulunan duraan Qb ykne birkuvvet uygular ve

Forml ile hesaplanr. Buna Coulomb Yasas denir.3.1 denkleminde rabyn Qa`dan Qb`ye olan birimvektrdr. Oluan bu kuvvet ykler ayn iaretli ise

birbirlerini itecek ynde farkl iaretli ise birbirlerini ekecek yndedir. Yklerin birimi Coulumb,kuvvetin birimi Newton ve mesafenin birimi metre`dir. o sabitine elektriksel geirgenlik

denir ve deeri

o `n deerini 3.1`de yerine koyarsak;

bulunur.

41

7/29/2019 ealan

41/173

41



Qa

ve Qbykleri duraan olmasalar bile aadaki artlarda Coulomb Yasas uygulanabilir mi?

1. Eer Qaduraan Qbduraan deilse Qb`nin yk ne olursa olsun Qb zerindeki kuvvetihesaplamada Coulomb Yasas uygulanabilir. Bu deneysel bir sonutur. Gerekteosilosyoplarda ve iyon hzlandrclarda kuvvet bu yolla hesaplanr.

2. Eer Qa da hareketli ise Coulomb Yasasgeerli deildir.

Coulomb Yasas boluktaki yklere uygulanabildii gibi yaltkandaki ve iletken iindeki yklerinbirbirlerine uygulad direk kuvveti hesaplamada kullanlabilir. Fakat bu hesaplamada medyadabulunan dier yklerden doan kuvvet dikkate alnmamaldr.

KIYASLAMA : Elektriksel Kuvvet Yerekimi Kuvveti

NOT: Deneyler gstermitir ki hibir atom yada molekl en fazla 10-20 elektrik yk bulundurabilir.

TANIM: Bir kablodan saniyede 1 Coulomb` luk yk akarsa akan akm 1 amper` dir.

42

7/29/2019 ealan

42/173

42



2.3 ELEKTRK ALAN DDET (E)Qa ve Qbgibi iki elektrik yk arasndaki kuvvet Qb`nin konumunda Qa`nn alannn Qb`yietkilemesinden yada tersinden oluur. Sonu olarak bir noktadaki elektrik alan iddeti (E) onoktada bulunan 1 birimlik yke etkiyen kuvvet olarak tanmlanabilir. Bylece Qa yknden rkadar uzaktaki elektrik alan iddeti;

43

7/29/2019 ealan

43/173

43



2.4 SPERPOZSYON KURALIEer bir ortamda birden fazla elektrik yk varsa hebriri kendi alann retir ve toplam alan her birykn elektrik alanlarnn vektrel toplamna eittir. Buna sperpozisyon kural denir.ekildeki gibi srekli yk dalm iin (x,y,z)noktasndaki elektrik alan iddeti

burada (z`,y`,z`) kaynak noktasndaki hacimselyk younluudur. r birim vektrnn yn P`noktasndan P noktasna dorudur, r de bu ikinokta arasndaki mesafe ve dv`hacim elementidir.

Eer ortamda yzeysel yk younluu da varsa benzer bir integrali de eklememiz gerekir. Bu ikinciintegralde hacimsel yk younluu () yenine yzeysel yk younluu (), dv`yerinede dA`yazlmal ve hacimsel integral yzeysel integrale dntrlmelidir.

44

7/29/2019 ealan

44/173

44



2.5 ELEKTRKSEL POTASIYEL (V)VE E`NN ROTASYONELBir elektrik alan iinde harekat edebilen Q` ykn dnelim. A noktasndan B noktasna verilenbir yoldan sabit bir hzda hareket edebilmesi iin gerekli Eenerjisi

Negatif iaret nedeni ile i alana kar yaplmtr. Bura Q`yk alan oluturan yk dalmndeitirmeyecek kadar kk olduu kabul edilmitir. Eer yol kapal ise Q`yk zerinde yaplantoplam i:

imdi 3.8`de verilen integrali bir inceleyelim. lk nce elektrik alan bir noktasal Q yknnoluturduunu kabul edelim. Sonuta;

45

7/29/2019 ealan

45/173

45



Denklemin sandaki dr/r2 yada -d(1/r) terimini dnelim. Kapal bir yol zerinden 1/r`nin

integrali sfr`dr. nk r deerinin balang be biti deeri ayndr. Sonu olarak 3.9`daverilen izgisel integral herhangi sabt Q yk iin sfr`dr. Sonu olarak:

`dr. Bu bize elektrostatik alann korunumlu olduunu gsterir. Bunu Coulomb kuvvetinin

merkezi olduu gerei takip eder. imdi test ykn sabit hzda A noktasndan B noktasnasabit hzda gtrmek iin yaplan iin yoldan bamsz olduunu gsterebiliriz. A`dan B`yegiden m, ngibi iki farkl yol dnelim. Bu iki yol kapal bir yol oluturduundan 3.10 gereiyaplan i sfr`dr. Sonu olarak m`de yaplan i n`de yaplan ie eit olmaldr.R(xo,yo,zo) gibi bir balang noktas seelim ve P(x,y,z) noktasnda Vgibi skaler fonksiyontanmlayalm. P noktasnn potansiyeli:

Bu tanm ak deildir nk bu integral P`den R`ye her yol iin ayndr.

46

7/29/2019 ealan

46/173

46



ekildeki gibi herhangi A ve B nokta iftini ele alalm.

ve bylece

V(x,y,z)elektrik potansiyeli alan btnyle tanmlar.iareti alann ynn V nin azalma ynnde yapar.Dikkat edilirse Rtesadf seildii iin Vtek deildir.Gerekte E`yi etkilemeden V`ye koordinat sistemindenbamsz deer ekleyebiliriz yada kartabiliriz. 3.10denklemi ve Skotes Teoremi` nden

Bu sonu skaler bir fonksiyonun gradyantnn diverjans sfrdr gereinden de bulunabilir.

NOT : 3.15 sadece statik alanlarda geerlidir. Eer zamanla deien bir akm varsa 3.15 sfr olmazve - V yalnzca E`nin belli bir blmn tanmlar

47

7/29/2019 ealan

47/173



2.5.1 BR NOKTANINELEKTRKSEL POTANSYELDenklem 3.12 gstermitir ki Esadece iki nokta potansiyelleri arasndaki diferansiyelle alakaldr.Verilen bir noktann potansiyelinden bahsedilebilmesi iin potansiyeli sfr olan tesadfi bir blgebulunmaldr. Bunun anlam R noktasnn potansiyeli sfr yaplmaldr. Ykler sonlu bir blgede

yayld zaman sonsuzdaki bir noktann potansiyeli sfr alnabilir. Bu durumda Pnoktasnnpotansiyeli:

Q ykn potansiyeli sfr olan bir noktadan P`ye getirebilmek iin gerekli olan enerji VQ `dur.Sonuta V= E/ Q olur ve birimi joule/ Coulomb veya volt`tur.

Eer alan tek bir noktasal ykn alan ise;

V potansiyelinin iareti Q`nun iareti ile ayndr.

48

7/29/2019 ealan

48/173



Sperpozisyon kural E` nin hesaplanmasnda kullanlabilecei gibi herhangi bir yk dalmnn V

potansiyelinin hesaplanmasnda da kullanlabilir.Srekli yk dalmndan r kadar uzaklktaki birnoktann potansiyeli:

3.18 `deki v`btn ykleri evreler. Eer ortamdayzeysel yk younluklar da varsa yzeysel integralde eklenmelidir.

49

7/29/2019 ealan

49/173



2.6 EPOTANSYEL YZEYLERVE EZGLER

Uzayda verilen bir potansiyeldeki btn noktalar epotansiyel yzeyi tanmlar. Mesela noktasalbir ykn epotansiyel yzeyi merkezinde o ykn bulunduu kredir. nk:

`dr ve Eher yerde bu epotansiyel yzeyine diktir.Eer E ynndeki sonsuz kklkteki ds vektrlerini Eizgileri elde edilmi olur.

50

7/29/2019 ealan

50/173



2.7 GAUSS YASASIGauss Yasas kapal bir yzeyden darya doru akan Eaksn o yzey iinde bulunan netyk ile alakalandrr.

ekildeki gibi yzeyi Ave hacmi volan ve Q yknevreleyen bir yap dneli. A yzeyinden dar dpruakan Eaks aadaki gibi hesaplanr.dAyzeyinden dar doru akan Eaks:

r.dA r`ye dik olan dzlemde dA` nn projeksiyonudur.Bylece

Burada dP`noktasnda ktle asdr. Darya kan Eaksn bulmak iin Ayzeyi zerinden veya4 ktle as zerinden integrasyon gerekir.

51

7/29/2019 ealan

51/173



P noktasnda Q yzeyin dnda ise bu integral sfr`dr. vhacmi iinde birden fazla yk varsaaklar cebirsel olarak toplanr ve vhacminden da kan net Eaks sarmalanan ykn o`a

blnmne eittir.

`ye Gauss Yasas`nn integral formu denir. Eer yk sonlu bir hacmi kaplarsa:

Burada A v`yi evreleyen kapal yzey ve `da hacimsel yk younluudur. Burada yzeyselyklerin bulunmad kabul edilmitir. 3.23 denklemine Diverjans Teoremi` ni uygularsak

ve

Bulunur. Buna Gauss Yasas`nn diferansiyel formudur.

52

7/29/2019 ealan

52/173



RNEK: Dzgn Kresel Yk dalmnn Elektrik Alan

ekildeki gibi yarapl Rve dzgn hacimsel ykyounluu olan bir kreyi dnelim ve E ve Vyi rnin fonksiyonu olarak bulmaya alalm. Simetri gereihem E hemde V ve `dan bamszdr.Simetri gerei Eradyaldir ve Q pozitifse da dorudur.(a) Elektrik Alan iddeti (E)Dardaki alan deiimini bulmak iin r>Rolan P

noktasn ele alalm. Bu noktada yarap rve yzeyalan 4r2 olan hayali bir kre dnelim

Hayali kre tarafndan evrelenen yk `dir. Gauss yasasgerei

Olur. imdedi krenn iinde Pnoktasn ele alalm. Hayali kre tarafndan evrelenen ykQ(r/R)3`dr. Tekrar Gauss yasasn uygularsak;

53

7/29/2019 ealan

53/173



(b) Elektriksel Potansiyel (V)Pnoktasnn potansiyeli

P notasnn potansiyelini bulmak iin denklemikullanlrsa

Son integral basite Q noktasal yknn r=Rdeki integralidir. Sonu olarak

54

7/29/2019 ealan

54/173



55

7/29/2019 ealan

55/173



3. ELEKTRK ALANLAR II. Giri Poisson ve Laplace Denklemleri Elektrik Yknn Korunumu Kanunu letkenlik Duraan alan iinde izole iletken

56

7/29/2019 ealan

56/173



3.1 GR

Poisson denklemi lokal hacimsel yk younluunu potansiyel konumsal deiimi ilealakalandrr ve Gauss yasasn takip eden temel bir denklemdir. Laplace denklemi isePoisson denkleminin zel bir halidir ve sfr`a eittir. Her ikiside Elektrik alannnhesabnda kullanlr.Ykn korunumu deneysel bir gerektir. artlar ne olursa olsun kapal sistem tarafndantanan net elektrik yk sabittir.

Bu blmn byk ksm iletkenlikle alakaldr. Elektriksel iletkenler uygulanan Ealannazt ynde srklenen iletkenlik elektronu ierirler. Bu srklenme hz ok dk ve nethacimsel yk younluu normalde sfr`dr.

57

7/29/2019 ealan

57/173



3.2 POISSON VE LAPLACEDENKLEMLER3.25 Denkleminde E yerine 3.13 denklemini koyarsakPoisson Denklemielde edilmi olur. Bu;

Buna Laplace Denklemi denir.

Poisson Denklemiverilen bir noktada uzaysal yk younluunu o nokta blgesindekipotansiyelin 2. Derece trevi ile alakalandrr. Hacimsel yk younluu sfr olan bolgede

58

7/29/2019 ealan

58/173



RNEK: Dzgn Kresel Yk dalmnn Elektrik Alan

ekildeki gibi yarapl Rve dzgn hacimsel ykyounluu olan bir kreyi Poisson ve Laplacedenklemlerini kullanarak zelim. Krenin dnda=0 ve

Simetri gerei Vo ve `dan bamszdr. Sonuta1.11.6 blmnden

BuradaAintegrasyon sabitidir. Bu 3.27 denklemi ile uyuur (A=Q/4o).

59

7/29/2019 ealan

59/173



Krenin iinde

Burada Bbir dierintegrasyon sabitidir. Snr koullarndan Ei r=0`da sonsuz olamaz artkullanlrsa B= 0 olmaldr ve sonu olarak

Bulunur.

60

2 O

7/29/2019 ealan

60/173



RNEK: Vakum Diyod

ekildeki gibi anot ve katodu dzlem, paralel vebirbirinden skadar uzakta olan vakum diyodun dzlemleraras potansiyel deiimini hesaplayalm. s mesafesidzlemlerin yzey alanna gre ihmal edilebilecek kadarkktr.Katodun sfr potansiyelde ve anadunda Vapotansiyelindeolduunu kabul edelim. Isnan kakot anoda doruhzlanan elektronlar brakr. Braklan elektronlarnbalang hzlarnn sfr olduunu ve akmn anodunscaklna degil Va gerilimine bal olduunu varsayalm.Hipotez gereiVsadece xeksenine bal olduu iinPoisson denklemi

Haline gelir. Burada uzaysal yk younluu negatiftir. Sonuta d2V/dx2 pozitiftir. akmyounluunun elektron hznn blmne eittir. Sonu olarak

61

EM241 ELEKTROMANYETK I

7/29/2019 ealan

61/173



Burada J akm younluunun genliidir. Enerjinin korunumundan;

Burada m elektronun ktlesi edeeri +1.6x10-19 C olan elektron ykdr. Bylece

ntegre edebilmek iin 4.15 denkleminin sol taraf 2(dV/dx)dx sa taraf ise 2dVile arplr.Buradan;

BuradaA integrasyon sabitidir.

62


7/29/2019 ealan

62/173



imdiAintegrasyon sabitinin bulunmas gerekir. Katotta V=0 veA=(dV/dx)2`dr. Fakat dV/dx`deaadaki nedenlerden dolay sfrdr. Eer katot souk olduu zaman anoda gerilim uygulanrsadV/dxpozitif ve Va/s`e eittir. Eer birisi katodu strsa elektron brakr ve dV/dxder. dV/dxpozitif olduu srece salnan elektronlar anoda doru hzlanr ve katoda geri dnemez. Budurumda akm termionik emisyon tarafndan snrlanr. Buda akmn sadece Va`ya baldrkabulumze aykrdr. Sonuta dV/dxpozitif olamaz. Eer dV/dxnegatif olursa elektronlarkatottan hibir zaman ayrlamaz. Sonu olarakdV/dx ne pozitif nede negatif olabilir sfr olmaldrbyleceA=0`dr. Bylece;

x=0 `da V=0 olduundan B=0`dr. Bu durumda

x=s `de V=Vaolur. Sonu olarak

63


7/29/2019 ealan

63/173



E nin iaretini dikkate almazsak;

4.22 denklemine Child-langmuir Yasasdenir. Bu yasa sadece ke etkisinin ihmal edilebildiidzlemsel paralel diyodda geerlidir.

64


7/29/2019 ealan

64/173



ekilde V, E vex/s`nin fonksiyonu olarak izilmitir.

65


7/29/2019 ealan

65/173



3.3 ELEKTRK YKNNKORUNUMU KANUNU

vhacminde ve Akapal yzeyini ele alalm. vhacminin iindeki yk younluu olsun. Ykler ieve da doru haraket eder ve yzeyde verilen bir noktada akm younluu J amper / metre2 dir.Deneyler gstermitir ki yeni bir elektrik yk olumamaktadr. Herhangi bir andaki yk akkapal alandaki Q ykn azaltr.

Burada dA `nn yn da dorudur. Diverjans teoremini 4.24 zerine uygularsak

Sonu olarak;

4.24 ve 4.26 denklemleri sras ile elektrik yknn korunumu kanununun integral ve difransiyelformudur.

66


7/29/2019 ealan

66/173



3.4 LETKENLKBakr veya aliminyum gibi iyi iletkenlermalzeme iinde serbeste gezinebilen bir veya iki iletkenlikelektronu bulundururlar. Yar-iletkenler ise iki tr haraketli ke sahiptirler bunlar elektron vedelik`lerdir. Delik pozitik tkl elektron gibi davranr. Birok iletken ve yar-iletkende akmyounluu (J) ile elektrik alan iddeti (E) orantldr ve bu oran;

eklinde verilir. Burada birimi siemens/metre olan malzemenin iletkenliidir. 1 siemens 1amper/volt`dur. Bu Ohm Yasas`nn en genel halidir. Tabloda deiik malzemelerin iletkenlii

gsterilmitir. Ohm yasasn her zaman uygulamak mmkn deildir. Mesela seramik yar-iletkenler gibi baz tiplerde akm younluu elektrik alann 5. Kuvveti ile orantldr. Ayrca baziletkenlerde izotop deildir.

67


7/29/2019 ealan

67/173



Tabloda baz iletkenlerin iletkenlikleri verilmitir.

68


7/29/2019 ealan

68/173



3.4.1 DRENEer iletkende Ohm Yasas geerli ise iki elektrot aras Diren;

eklinde tanmlanr. Burada Velektroklar aras potansiyel I`da akmdr.

69


7/29/2019 ealan

69/173



RNEKekil (a)`daki gibi Akesitinde ve Luzunluunda biriletkeni ele alalm:

Bulunur. Buradan da;

Elde edilir. imdide ekil (b)`deki gibi i ve d yaraplarR1ve R2olan bir tb inceleyelim. letken iinde ilektenlikdzgn olsun.drkalnlndaki kalnln direnci dr/2rLdir. Sonuta toplam diren

Bulunur.

7/29/2019 ealan

70/173

71


7/29/2019 ealan

71/173



3.4.3 LETKENLKELEKTRONLARININ MOBLTESletkenlik elektonlarnn mobilitesi

eklinde tanmlanr ve pozitif bir deerdir. Lineer iletkenlerde bu deer E`den bamszdr.Sonu olarak;

eklindedir. Eer src elektrik alan sabit ise srklenme hzda sabittir.Bunun anlam iletkenlikelektronuna etkiyen zaman zerinden ortalama net kuvvet sfrdr veya arpma nedeni ile

doan firenleme kuvveti alan tarafndan geleneE kuvvetini yok eder. Buradan mobiliteyibulabiliriz.

72


7/29/2019 ealan

72/173



yi iletken (gc) ve yar-iletken iin N, Mvedeerleri kyaslanmtr

73


7/29/2019 ealan

73/173



3.4.4 ALTERNATF ALAN NDELETKENLK

Termal etkiyi ihmal edersekiletkenlik elektronlar zerine iki kuvvet etki eder. Bunlar srckuvvet (eE) ve firenleme kuvvetidir (Denklem 4.38). Alternatif alan iinde bu iki kuvvet eitdeildir ve haraket denklemi:

Fakat J=E=-Nevd dir. Bunu

Burada m*efektif ktledir. Bu deerde arpmalar ierilmektedir. Kural gerei izole elektronunktlesinden daha kktr. Mesela bu silikondan m*=0.97mgallium arsenid`de (GaAs)m*=0.07m. Trev yerine jw yazarsak;

74


7/29/2019 ealan

74/173


w=0 yazarsak 4.37 denklemini elde edebiliriz. 4.42 denklemi atomik olaylarn hakim olduu 1GHz ve zeri frekanslarda kullanlamaz.Oda scaklnda bakr iin:

4.42 denkleminin imajiner ksm f

7/29/2019 ealan

75/173


3.4.5 LETKENLK NDEHACMSEL YK YOUNLUU

(1) Srekli hali ve homojen iletkeni dnelim. Sonuta Blm 3.3`den /t=0 ve . J=0 dr.Eger JOhm yasas (J=E)`na uyan homojen iletken iindeki akm younluu ise

Fakat Blm 2.7`den hatrlanrsa .E hacimsel yk younluu () ile orantl idi. Sonuolarak srekli halde homojen iletken iinde (koordinattan bamsz) =0`dr. Kural olarakakm tayan iletkende yzeysel yk younluu sfrdeildir.

(2) imdi iletken iine elektronlar bombardman ederek yk enjekte ettiimizi dnelim. Budurumda yk younluu ne olur? Blm 3.3`den

Fakat Blm 2.7`den

76


7/29/2019 ealan

76/173


Burada r malzemenin bagl geirgenliidir. Buradan

olduu ve `nun zamanla exponasiyel olarak dt grlr. yi iletkenlerde r llemeznk iletkenlik polarizasyonu glgede brakr. t`nin katsaysnn tersine rahatlamazaman denir. yi iletkenlerde rahatlama zaman ok kktr ve pratikte sfr kabuledilebilir. Mesela oda scaklndaki bakr iin rahatlama zaman pratikte 4x10 -11 teoride ise

yaklak olarak 10-19`dur. Bunun sebebi `ninda frekansa ve sonuda rahatlama zamannabaml olmasdr.

(3) Alternatik akm tayan homojen iletkende de denklem 4.47 uygulanabilir ve =0`dr.(4) Akm taiyan homojen olmayan iletkende =0 deildir. Mesela srekli halede

ve

(5) Eer ykler zerinde manyetik kuvvet de etkiyor ise J=E kural uygulanamaz ve hacimseyk younluu mevcuttur.

77


7/29/2019 ealan

77/173


3.4.6 JOULE ETKSElektrik alann yokluunda iletkenlik elektronu bulutu iletken ats iersinde termal dengedebulunur. Elektrik alann uygulanmas ile arpmalar arasnda elektronlar kinetik enerji kazanr vebu extra enerjiyi yap ile paylar. Sonuta iletken snr. Buna Elektrik alann yokluundailetkenlik elektronu bulutu iletken ats iersinde termal Joule Etkisi denir. letkenlik elektronutarafndan kazanlan enerjiyi bulmak iin bir kenar aolan bir iletken kp dnelim. Ik ztkenarna Vgerilimini uyguladmzda akan akm I`dr. Sonuta kazanlan kinetik enerji VI olurve birim kb stmak iin harcanan g;

Eger hem E hemde Jzamann sinizoidal fonksiyonu iseler

Elde edilir.

78


7/29/2019 ealan

78/173


3.5 STATK ALAN NDE ZOLELETKEN

Eger homojen izole iletken yklenirse iletkenlik elektronlar denge pozisyonlarna gelinceyekadar haraket ederler ve sonuta iletkenin iinde Ealan sfr olur. Bunu letken iindeki btn noktalar ayn potansiyeldedir 4.47 denkleminden iletken iindeki hacimsel yk younluu sfrdr Herhangi net statik yk iletkenin yzeyinden bulunur Eiletken yzeyine diktir. Aksi halde ykler yzey boyunda akmas gerekirdiYzeyin hemen dnda E=

ch/

o`dr. Burada

chGauss Yasasndan yzey yk younluudur.

79


7/29/2019 ealan

79/173


4. ELEKTRK ALANLAR III. Giri Elektriksel Dipol Lineer Elektriksel Quadropol Elektriksel okulular (Multipoller)Yk Dalm Dndaki Elektrik Alann Multipol Terimleri Cinsinden Alm

80


7/29/2019 ealan

80/173


4.1 GR

Elektriksel okulular belli bir simetriye sahip noktasal ykler kmesidir. okulularlailgilenilmesinin sebebi anten gibi baz chazlarn elektrik alanlarnn ok ulular ileaklanabilmesindendir.Tek bir noktasal yk olan elektrikcel tekulunun yannda dier faydal okulu iki noktasalykten oluan dipodr. Birok molekl dipoldr. Ayrca birok anten osilasyon yapan dipolgibi davranr.

81


7/29/2019 ealan

81/173


4.2 ELEKTRKSEL DPOLElektriksel Dipol en ok rastlanan yk dalmdr.Ayn ykte biri pozitif dieri negatif iki yknbirbirinden skadar uzakla yerletirilmesindenoluur. ekilde bir elektriksel dipol gsterilmitir.

r>>s olan Pnotkasnn Vve Edeerlerini bulmakisteyelim. Pnoktasnn potansiyeli

Burada

82


7/29/2019 ealan

82/173


imdi her iki taraf r2ile blp tersini alrsak

Eer (s/r)3ve zeri terimleri ihmal edersek sonuta;

Benzer ekilde

ve

83


7/29/2019 ealan

83/173


Dikkat edilirse tek bir noktasal ykn potansiyeli 1/rile deiirken dipoln potansiyeli 1/r2 iledeiir. Dipol Momentiyn negatif ykten pozitik yke doru ve deeride p=Qsolan birvektr olarak tanmlanrsa

eklinde tanmlanabilir. Eelektrik anal iddeti bulunmak istenirse kresel koordinat sisteminde

Dikkat edilirse Er3ile der.

84


7/29/2019 ealan

84/173


Aadaki ekilde elektriksel dipoln Eizgileri ve epotansiyel yzeyleri gsterilmitir.

85


7/29/2019 ealan

85/173


En genel halde bir yk dalmnn dipol moment

eklinde tanmlanr. Burada Q v hacmini igal eden net toplam yktr ve rykn merkezininpozisyonunu tanmlar.

Eer Q=0 ve r` ise Qr tanmszdr. Bununla birlikte rdv hala p dipol momentini bulmadakullanlabilir ve dipol momenti orjinin seiminden bamszdr.

Eer Q=0 ise yk dalmnn dipol momenti orijin ykn merkezinde ise sfr`dr

86


7/29/2019 ealan

86/173


4.3 LNEER ELEKTRKSEL

QUADROPOLLineer elektriksel quanropol ekilde degrlebilecei gibi birbirlerinden s kadar uzaklktabulunan ve deerleri +Q, -2Q ve +Q olan 3 adetnoktasal ykten oluur. r>>solan Pnoktasnnpotansiyeli

Bir nceki blmde bulduumuz r/rave r/rbalmlarnda syerine s/2yazarsak ve (s/r)3ve zeri

terimleri ihmal edersek

87


7/29/2019 ealan

87/173


Lineer elektriksel quanropol ekilde de grlebilecei gibi birbirlerinden s kadar uzaklkta bulunanve deerleri +Q, -2Q ve +Q olan 3 adet noktasal ykten oluur. r>>solan Pnoktasnnpotansiyeli

88


7/29/2019 ealan

88/173


4.4 ELEKTRKSEL OKULULARDipol ve quadrupol kavramlarn daha byk pozitif ve negatif yk saylar iin geniletmekmmkndr. Bu tr yk arajmanlarna multipol (okulu) denir. Tek bir noktasal yk monopol(tekulu), iki tane eit fakat farkl iarette iki tane ykn birbirlerinden skadar uzaklakonulmasnada dipol denir.

okulu kavram sonsuza kadar geniletilebilir. Bir nceki blmlerde grdk ki dipolnpotansiyeli 1/r2, quanrupoln potansiyeli ise 1/r3ile deiir. 2lulu iin potansiyel 1/rl+1veelektrik alan 1/rl+2ile deiir.

89


7/29/2019 ealan

89/173


4.5 YK DAILIMINUN DIINDAK

ELEKTRK ALANIN OKULU TERMLERCNSNDEN AILIMI

ekildeki gibi yk younluu (x,y,z)olan, v hacmini kaplayan ve tesadfi

seilen orijinden max uzakl rmax

olanbir yk ele alalm. r> rmaxolandardaki bir P noktasnn potansiyeli(1) Ayn net yke sahip bir monopolnV1potansiyeline art(2) Ayn dipol monentine sahip birdipoln V2potansiyeline art

(3) Ayn quadrupol momentine sahip birquadrupoln V3potansiyeline art...... eittir.Benzer durum Pnoktasnn elektrikalannn bulunmasndada kullanlabilir.

90


7/29/2019 ealan

90/173


Eer Q=0 ise V2orjinin seiminden bamszdr. Daha genel ifade ile eer 2 l+1 kutuplununmultipol momenti sfr ise Vl orjinin seiminden bamszdr.

Monopol potansiyeli 1/rile dipol potansiyeli 1/r2quadrupolun potansiyeli 1/r3ile deitiindenr>>rmaxolan bir noktasnda bir yk dalmnn potansiyeli VV1biraz yakn ise VV1+ V2biraz daha yakn ise VV1+ V2+ V3 ..... eklinde bulunur.

91


7/29/2019 ealan

91/173


4.5.1VNN DEER: LAGANDREPOLNOMLARI

ekildeki gibi r>rmaxolan P noktasnnpotansiyeli

Burada

P(x,y,z)deimezdir. Bylece r x,y,z `nnfonksiyonudur ve 1/r`n orjin civarnda TaylorSerisi`ne aabiliriz. Diyelimki

Olsun.

92


Y d D D H H B l k

7/29/2019 ealan

92/173


ufaktr boyutsuzdur. Bize 1/r olan w(1) gereklidir.

Burada w(0)=1/r `dr. Sa taraftaki trevleri hesaplayabilmek iin u ya gre |urr| `nin ksmitrevleri gereklidir.

Bylece

93


Y d D D H H B l k

7/29/2019 ealan

93/173


ve

Burada r^ ve ekildeki gibidir. Ayrca

ve

Genelde

Burada

94


Y d D D H H B l k

7/29/2019 ealan

94/173


Denklem 5.30`a Lagandre Polinomudenir. Tabloda ilk 5 terimi gsterilmitir.

95


Yrd Do Dr Hasan H Balk

7/29/2019 ealan

95/173


Aadaki ekilde ilk drt Lagandre Polinomunu (Pn(cos)) gsterilmitir.

96



7/29/2019 ealan

96/173


Herhangi deeri iin;

Sonu olarak 5.21 denkleminden

5.31 denklemi gerei bu seriler rmax

7/29/2019 ealan

97/173


4.5.2 MONOPOL TERMlk terim btn yklerin orjinde konsantre olduu bir ykn P noktasndaki Vpotansiyeline

eittir.

Burada Q net yk dalmdr. Bu monopol terimidir. Eer net yksfrise bu terim sfrdr. Budeer orjinin pozisyonuna baldr.

98



7/29/2019 ealan

98/173


4.5.3 DPOL TERMDenklem 5.33`den de grlebilecei gibi ikinci terim dipol gibi 1/r

2

ile deiir.

Burada sa taraftaki ikinci terim yk dalmnn dipol momentidir.

Bylece Denklem 5.8 deki gibi

Bulunur.

99



7/29/2019 ealan

99/173


4.5.4 QUADRUPOL TERMDenklem 5.33`deki V3terimini inceleyelim. Blm 5.3`deki quadrupoln potansiyeli gib 1/r3terimi ierir.Eger ykleri Q, -2Q ve Q olan ve z=s, 0 ve z=-s`e yerletirilen quadrupolnpotansiyelini hesaplarsakV3Denklem 5.17`deki V`ye eit olur. imdi

Diyelim ki

Olsun. Burada l, m, n r^`n ynl kosinsleridir. Aar ve guruplandrrsak

100



7/29/2019 ealan

100/173


st izgi her zaman olduu gibi ortalama deeri ifade eder. Sonu olarak

Bu integralleri Denklem 5.37`deki gibi sadece v iindeki yk dalmna baldr ve Pnoktasnnx,y,zkoordinatlarna bal deildir. Bunlar yk dalmnn quadrupol momentinin dokuz

bileenini tanmlar

101



7/29/2019 ealan

101/173


Eer ykler z-ekseni civarnda dairesel simetri gsterir ise

Boylece tek bir byklk tanmlamak uygundur.

Buna yk dalmnn Quadrupol Momenti denir. Eger l2+ m2+ n2= 1 olduu hatrlanrsakresel koordinat sisteminde

Buradan da 3.13 denkleminden elektrik alan bulunabilir.

102



7/29/2019 ealan

102/173


RNEK: ALTI YK DAILIMININ POTANSYELekilde 6 noktasal yk grlmektedir. Orjinden r>amesafesindedi bir Pnoktasn dnelim. Pnoktasnnpotansiyeli 5.34 denklemindeki gibidir. Eer ilk terim hesaplanmak istenirse: 5.35 denkleminden

Bulunur. 5.37 ve 5.38 denklemlerinden

Elde edilir. Denklemler 5.43-5.48 `den

103



7/29/2019 ealan

103/173


Sonu olarak 5.49 denkleminden

ve

Tekrar V4=0`dr. Son olarak

Sonu olarakPnoktasnn potansiyeli

104



7/29/2019 ealan

104/173


Yn kosnsleri l, m, n`nn deerleri l2+m2+n2=1olduundan en fazla bir olabilir. r10aolduunda a2/r2 ok klr. Sonu olarakV3,V5,.... Etkisi hemen hemen sfrdr.

105



7/29/2019 ealan

105/173

5. ELEKTRK ALANLAR IV. GiriYk ve potansiyel terimleri cincinden yk dalmnn potansiyel enerjisi ( ) Eterimi cinsinden yk dalmnn potansiyel enerjisi ( ) zole iletkenlerin kapasitesi ki iletken aras kapasite letkenler zerindeki elektriksel kuvvet

Grsel alma metodu ile elektriksel kuvvetlerin hesab

106



7/29/2019 ealan

106/173

5.1 GR

Bu blm elektrik alanda depolanan enerji ve ykl iletkenlerin zerindeki kuvvethakkndadr. Kapasiteler elektrik enerjisini depolamak iin kullanlan aletlerdir.

107



7/29/2019 ealan

107/173

5.2 YK VE POTANSYEL TERM

CNSNDEN YK DAILIMININPOTANSYEL ENERJS ( )

108



7/29/2019 ealan

108/173

5.2.1 NOKTASAL YK SETNNPOTANSYEL ENERJS

Uzayda ekildeki gibi Ntane noktasal ykten oluannoktasal yk dizisini dnelim. Verilen bir yk dieryklerin oluturduu Vpotansiyeli olan bir noktadabulunur. Sonu olarak bu ykn bir potansiyel enerjisi

vardr ve negatif veya pozitif olabilir. Sisteminde birpotansiyel enerjisi vardr.

Diyelimki sistem elektriksel ve mekaniksel kuvvetlerinetkisi altnda dengede olsun. Sistemin potansiyelenerjisi elektriksel yklerin ykleri sonsuza yaymaileminde yapt ie eittir.

lk nce elektriksel ve mekaniksel kuvvetlerindengesini bozmadan Q1ykn yavaa sfr hzdave sfr ivmede sonsuza gnderelim. Dier ykleryerlerinde sabittir.

109



7/29/2019 ealan

109/173

Potansiyel enerjideki 1azalmas Q1yk ile V1potansiyelinin arpmna eittir. Yani

Parantez iinde Q1hari btn ykler bulunur. Benzer ekilde ayn ilemi Q2yknede yaparsakenerjideki azalma

2 `de N-2tane terim vardr. Bu ilemi butn yklere uygularsakN. Yk yerinde kalr nk btn

ykler birbirlerinden ok uzaklara gnderilmilerdir. Sonu olarak orjinal yk dalmnn potansiyelenerjisi

110



7/29/2019 ealan

110/173

6.4 denklemini yeniden dzenlersek

Sadaki ilk terim Q1V1 ikinci terim Q2V2... eklindedir. Sonu olarak

ve

Verilen bir yk dalmnn dalmn deitirmek iin gerekli olan enerji son potansiyel enerjinin ilkpotansiyel enerjiden farkna eittir.

111



7/29/2019 ealan

111/173

5.2.2 SREKL YK DAILIMINIPOTANSYEL ENERJS

Srekli elektriksel yk dalm potansiyeli iin Qi dvile ve toplam ise btn ykleri evreleyenhacim zerinden integral ile deitirilir:

Bu integral elektriksel kuvvetler tarafndan verilen yk dalmn =0olan yere gtrrkenyapt ie veya negatif yklerle pozitif ykleri birletirmek iin yaplan ise yada her ikisinigerekletirmek iin yaplan ie eittir.

lk bakta 6.8 denklemi 6.7 denkleminin alm gibi grlebilir. Fakat gerekte deildir. nkbu ise herbir mikroskobik ykleri birletirmek iin gerekli olan enerjiyide iermektedir. Gerekte

Blm 5.3`den de grlebilecei gibi 6.8 denklemi her zaman pozitiftir.

Eer ortam da yzeysel yk younluu varsa depolanan enerji

Olur. Burada Abtn ykleri tayan yzeydir.

112



7/29/2019 ealan

112/173

5.3ETERM CNSNDEN YKDAILIMININ POTANSYEL

ENERJS ( )Bir nceki blmde yk dailiminin potansiyel enerjisi () yk younluu () ve potansiyel (V)terimleri cinsinden verilmiti. Bilindii gibi hem hemde V E alakaldr. Sonu olarakenerji () Eterimi cinsinden yazlabilir. Bu da;

Burada vhacmi E`nin bulunduu btn blgelei iine alr. Sonu olarak enerjiyi uzaydaki herbir

noktaya elektriksel enerji younluu 0E2

/2 atayarak hesaplanabilir. Yukardaki 6.11 denklemi herzaman pozitif ve sonutada 6.8 denklemi her zaman pozitiftir.

Enerjinin hesaplanmasnda hem 6.8 hemde 6.11 denklemi kullanlabilir Fakat farkl farklvurgulama yaparlar. lk denklem ykler sisteminin potansiyel enerjisini verlrken ikinci denklemalanda depolanan enerjiyi verir.

113



7/29/2019 ealan

113/173

RNEK: YKL LETKEN KRENN POTANSYELQykn tayan ve Ryarapndaki iletken krenin

poransiyel enerjisi () farkl yolla hesaplanabilir.

(a) 1. MetodQyk Q/40Rpotansiyelindedir. Sonu olarak enerji

(b) 2. MethodYkl krenin yarapnn yavaa arttn ve sonutasonsuz olduunu dnelim. Ykler tarafndan yaplani balangtaki potansiyel enerjiye eittir.

Bu alma srasnda dardaki alan deimeden kalr(Gauuss Yasas). Bir yk elementi dA=0EdA deeriE/2`ye eit olan (Blm 5.6) elektriksel kuvvetin etkisialtndadr ve bu element yarap dRkadar artt

zaman yapt i

114



7/29/2019 ealan

114/173

Burada dvyzey elementi dAtarafndan sprlen hacimsel elementtir. Ykler tarafndan yaplani

(c) 3. MetodDiyelimki A(r)iletken kre ile konsantre ve dnda r yarapnda herhangi bir yzeydir. GaussYasas gerei (Blm 2.7)

ki integral birbirinden bamsz olduu iin

115



7/29/2019 ealan

115/173

5.4 ZOLE LETKENN KAPASTESYk Qolan ve der yklerden ok uzakta sonlu bir ilekten dnelim. Eger Qdeiirse V`dedeiir. Bu deiim oran ( Q/V) sabittir. zole bir ilektenin kapasitesi

eklinde tanmlanr. Baka bir deile izole bir iletkenin kapasitesi potansiyelini 1 Varttrabilmekiin gerekli olan extra yke eittir. Kapasitenin birimi Farad yada Coulom/Volt`dur. zole

iletkenin alannda depolanan enerji

Kapasite sadece izole iletkenin byklne ve ekline baldr.

116



7/29/2019 ealan

116/173

RNEK: LETKEN KRENN KAPASTES

Eer Ryarapndaki iletken kre Qykn tayorsa potansiyeli Q/40R`dir. Bu durumdakapasitesi

117EM241 ELEKTROMANYETK I.


7/29/2019 ealan

117/173

5.5 K LETKEN ARASINDAK

KAPASTEki yksz izole iletken dnelim. Qyknn bir iletkenden dierine transferi aralarnda Vpotansiyel farkn oluturur. Tanm geregi kapasite Q/V`dir. Kapasite sadece iletkenleringeometrisine baldr. zellikle kapasite amacyla oluturulmu iletkenlere Kondansatr denir.



7/29/2019 ealan

118/173

RNEK: PARALEL DZLEM KONDANSATR

Paralel dzlem kondansatr yzey alanlar Ave birbiri aras mesafe s olan iki dzlemiletkenden oluur. Dzlemler Qve Qyklerini tar. Ke etkilerini ihmal edersekGauss Yasas`ndan

Sonuta

Ayrca depolanan enerji

yada



7/29/2019 ealan

119/173

RNEK: KONDANSATRN PARALEL VE SER

BALANMALARIParalel bal kondansatrn gerilimleri ayndr. Sonuolarak ekil (a) `daki gibi iki kondansatr iin

Dr. ekil (b) `deki gibi Seri bal kondansatrnykleri ayndr ve



7/29/2019 ealan

120/173

5.6 LETKENLER ZERNDEK

ELEKTRKSEL KUVVETdAyk elementi dier yklerin elektrik alan etkisi altndadrdulays ile elektriksel kuvvetin etkisi altndadr. Statik artlaraltnda bu kuvvet yzeye diktir aksi halede teetsel elektrik alanve teetsel akm olurdu. Ayrca bu kuvvet iletken stnde tesire

sahiptir.Bu elektriksel kuvveti hesaplamak iin yzeyin yaknndaki eletrikalan Eve yzeysel yk younluu olan bir iletken dnelim.Gauss yasas gerei E=/0dr. lk bakta dAzerine etkiyenkuvvetin E dAolduu dnlebilir fakat dAzerine etkiyenalan dier yklerin oluturduu alan olmas gerektiinden buyanltr.

dAzerindeki alan Gauss yasasndan hesaplamak mmkndr. ekildende grlebilecei gibidAdan ayrlan Eaks dA/0dr ve yar ie yarsda da dorudur. Sonu olarakdAdtaki birnoktann alannn yarsn verir. erdeki alan ise dier yklerin oluturduu alan tarafndan yokedilir.



7/29/2019 ealan

121/173

Sonu olarakdAya etkiyen alan /20 ve iletken zerindeki dAelementine etkiyen kuvvet

Ve yzeysel kuvvet younluu

Bir iletken zerindeki birim alana etkiyen kuvvet alanda depolanan enerjiye eittir. Yzey alan A

olan bir iletken yzeyine etkiyen net elektrostatik kuvvet

Olur. Burada dAyn da doru olan bir vektrdr. Lokal elektriksel kuvvet iletkeni alan iinedoru ekme eilimindedir. Baka bir deile iletken zerinde negatif bir basn etkisi retir.Havada ve bolukla bu kuvvet ihmal edilebilecek kadar kktr. Fakat yaltkanlarda byk olabilir.



7/29/2019 ealan

122/173

5.6.1 ELEKTRKSEL KUVVETLER

VE EALAN ZGLER

ekilde drt ift izgisel yk iin E izgilerigsterilmitir. ekil (a) ve (c) de kuvvetbirbirini eken ynde (b) ve (d) de isebirbirini iten yndedir. Metre2bana itii veekici kuvvet bir nceki blmden degrlebilecei gibi 0E2/2 dir. (a) ve (b) deher iki yk birbirine eit (c) ve (d) desoldaki sadakinin iki katdr.



7/29/2019 ealan

123/173

5.7 GRSEL ALIMA METODULE ELEKTRKSEL KUVVET

HESABIElektriksel kuvveti hesaplamada bir baka yol Grsel alma Metodu dur. Bu metod ncesonsuz kklkte bir yerdeitirmeyi sonrada enerjinin korunumu kanununun uygulanmasnierir. lk nce bir sistem tanmlanr sonrada yerdeitirme nedeni ile sisteme verilen enerjihesaplanr. Bu enerji sistemim i enerji artna eittir.

Bu metod genel ve gvenilir bir metoddur fakat iki art gz nnde bulundurulmas gerekir. Hangi sistemden bahsedildiinden tam ve kesin bir ekilde emin olunmaldr. Uygun iaretlerin kullanlmasnda dikkatli olunmaldr.



RNEK PARALEL DZLEM KONDANSATR

7/29/2019 ealan

124/173

RNEK: PARALEL DZLEM KONDANSATRekildeki gibi sabit V geriline balanm birparalel dzlem kondansatr dnelim.Diyelimki kondansatr plakalar arasmesafe s dskadar artsn ve bizde Grselalma Metodunu uygulayalm. Kapasiteile alakal enerji hesaplanacaktr. Sonuolarak st plakann dskadar yerdeitirmesiile sisteme verilen net enerji kapasitede

depolanan enerji artna eittir.

Diyelimki FFkuvveti tarafndan kapasiteyeverilen mekanik enerji B ise bataryatarafndan kapasiteye verilen enerji ve

Ede kapasitedeki enerji art olsun. Bylece

Burada dQbatarya tarafndan kondansatre verilen extra yktr.



7/29/2019 ealan

125/173

burada

Eer dspozitif ise dCnegatiftir ve enerji kapasiteden bataryaya doru akar. Sonu olarakE=V/solduu iin

Denklemdeki negatif iarete dikkat edilmelidir. 0E2/2Asin artndan daha hzl der. Sonu olarak

Ve birim alandaki kuvvet birim hacimde depolanan enerjiye eittir. Kaynak tarafndan verilenenerjinin yars mekanik enerjiye dier yarsda elektrik enerjisine dnr. Bu genel bir kuraldr.



7/29/2019 ealan

126/173

6. ELEKTRK ALANLAR V. Giri Temel Polarizasyon lemleri Elektrik Polarzasyon Serbest ve Bal Ykler Polarize Yaltkann Elektrik AlanYaltkann Varlnda Gauss Yasas

Elektrik Ak Younluu (D) ve Diverjans Elektrik Duyarllk (Xe) Bal Geirgenlik (r)Yerdeitirme Akm Younluu (D/t)



7/29/2019 ealan

127/173

6.1 GRYaltkanlar iletkenler gibi harici uygulanan elektrik alann kontrolnde srklenen serbest yktayclarna sahip deildirler.Gerek yaltkanlarda yklerin tamam atomuna yada molklnebaldr ve ancak ok kk mesafede harakete zorlanabilirler. Bu durumda pozitik ykler birtarafa negatif yklerde dier tarafa giderler. Bu hale gelmi yaptkana polarize olmuyaltkan denir.

Baz molekllerin kalc dipol momentleri vardr ve bunlara polar, dierlerine ise nonpolardenir.

Baz malzemeler normal artlarda yaltkandr ve uygun artlarda iletken olurlar. Bunlara rnekfoto-iletkensaylabilir. Foto-iletken normalde yaltkandr ve iia tabi tutulursa iletken halegeer.

Bu blmde yaltkanlarla alakal polarizasyon, duyarllk ve bal geirgenlik duraan alanlariin incelenecektir.



7/29/2019 ealan

128/173

6.2 TEMEL POLARZAYYONLEM(1) Uygulanan elektrik alann tesiri ile molekldeki elektron bulutunun merkezi ykn

ekirdeinin merkezine gre biraz kayar. Buna elektronik polarizasyon denir. Buyerdeitirme ok kktr ve atomik llerde bile atomun apnn 10-8 de biridir.

(2) Uygulanan elektrik alann tesiri ile polar molekller dizilirler ve dahada polarize olurlar.Buna oryantasyonel polarizasyondenir. Bununla birlikte termal arpmalar nedeni ileoluan arpmalar bu dizilmeyi bozar.

(3) Uygulanan elektrik alann tesiri ile NaCl gibi baz malzemelerde iyonlar farkl ynlerde

haraket ederler. Buna atomik polarizasyon denir.

Polarize yaltkanlarn kendi alanlar mevcuttur.



7/29/2019 ealan

129/173

6.3 ELEKTRK POLARZASYON (P)Eer verilen bir noktann yaknlarnda verilen bir ynde molekl bana ortalama vektr dipol

momenti pve metrekp bana moleklde Nise

ye elektrik polarizasyon denir. Sonu olarakP verilen bir noktada birim hacimdeki dipolmomentidir. Blm 4.5 hatrlanrsa normal ve ntr moleklde net yk younluu sfr

olduundan yk dalmnn dipol momenti seilen orjinden bamszdr.



7/29/2019 ealan

130/173

6.4 SERBEST VE BALI YKLERPolarizasyon yklerin yaltkann ya iinde yada yzeyinde birikmesine sebep olur. Bu tr yklerebal yklerdenir. Deer tr yklere ise serbest ykler denir.Serbest yklere rnek iyiiletkenlerdeki iletkenlik elektronlar verilebilir.



7/29/2019 ealan

131/173

6.4.1 BALI YSEYSEL YK

YOUNLUU (b)ekildeki gibi yaltkan iinde dAelementi hayaledelim ve yaltkanmzda nonpolar olsun.Yaltkan polarize olduu zaman molekln +Q

yknn merkezi Qyknn merzezinden skadar kayar. Sonsuz kklkteki blgede bu smesafesi btn molekller iin ayndr.

Elektrik alan uyguland zaman n+ tane pozitifyk alan elementini s ynnde ve n- tanenegatif ykde ters ynde geer.

dA yzeyinden s ynnde geen net yk



7/29/2019 ealan

132/173

Burada n++n- basite hayalis .dA

hacmindeki molekl saysdr. Sonu olarak

Burada Qs tek bir molekln dipol momentidir. Eer dA iletkenin yzeyinde ise dQyzeydebirikir ve bal yzeysel yk younluu

Burada n^yn yzeyden da doru olan birim vektrdr. Sonu olarakb Pnin da doruolan normal bileenine eittir.



6 4 2 BALI HACMSEL YK

7/29/2019 ealan

133/173

6.4.2 BALI HACMSEL YK

YOUNLUU (b)Tamami yaltkann iinde hacmi volan kapal bir Ayzeyinden dar doru akan net bal yk

ve vhacminde kalan net yk Qout olur. Eer b vhacminde arta kalan hacimsel yk younluu

ise

Sonu olarak bal hacimsel yk younluu



6 4 3 POLARZASYON AKIM

7/29/2019 ealan

134/173

6.4.3 POLARZASYON AKIM

YOUNLUU (J b)Zamanla deisen elektrik alann etkisi altndabal yklerin haraketi polarizasyon akmoluturur. ekildeki gibi yaltkann iinde dA

yzeyini dnelim. Polarizasyon sfrdan Pyeulatnda dQb=PdAkadar ykP ynnde dAyzeyini geer ve akm

Sonu olarak eer uzayda verilen bir noktada Pzamann bir fonksiyonu ise bal yklerin haraketipolarizasyon akm younluu oluturur ve

ye eit olur.



6 5 POLARZE YALITKANIN

7/29/2019 ealan

135/173

6.5 POLARZE YALITKANIN

ELEKTRK ALANIBlm 9.4de grdk ki polarizasyon yaltkanda yklerin ya yzeyde yada yaltkann iindebirikmesine sebep olur. Sonu olarak net yk younluunun hangi mazemede olduunabaklmakszn Coulomb yasas uygulanabilir. Bolukta konumlanm kapal yzey alan Avehacmide volan bir polarize yaltkann oluturduu potansiyel

Burada rP(x,y,z) noktas ile P(x,y,z)noktalar arasndaki mesafedir. Eer ortamda serbestyklerde varsa benzer integraller buna eklenmelidir. Sonu olarak

Burada r^nn yn P den P ye dorudur ve ve toplam yk younluklardr (serbest +bal).



RNEK SONSUZ TABAKA ELEKTRETNN ALANI

7/29/2019 ealan

136/173

RNEK: SONSUZ TABAKA ELEKTRETNN ALANIElektret srekli mknatsa edeer elektriksel alettir.

Yaltkanlarn ou polarizasyonunu elektrik alan kalkarkalkmaz kaybederler. Fakat baz yaltkanlar polarizasyonlarnuzun sre kaybetmezler. Mesela baz polimerler (PVF2(Polyvinylidene fluoride), tipik kalc polarizasyonu 50-70mC/metre2) oda scaklnda polarizasyonlarn yzlerce yltutabilir. Bu tr malzemeler mikrofon ve transducer vs.Yapmnda kullanlrlar.

Kural gerei elektret polarizasyonu yzeye dik ve tabakaformundadr.

Ke etkileri ihmal edilirse tabaka elektret iin Pdzgndr ve b ye eittir. Denklem 9.7 gerei bsfrdr. Tabakann iinde

olur.



6 6 YALITKANIN VARLIINDA

7/29/2019 ealan

137/173

6.6 YALITKANIN VARLIINDA

GAUSS YASASIDiyelimki vhacmi bir ksm bu hacmin iinde ve bir ksmda bu hacmin dnda olan eitliyaltkanlar iersin. vhacmi iindeki toplam serbest ve bal yklerin toplam Qf+Qb=Q dr. vhacminin yzeyinde yzeysel ykler bulunmamaktadr. Gauss Yasas gerei kapal bir Ayzeyinden evreledii ykQise dar akan Eaks

Bu Gauus Yasasnn genel formudur. Eer vhacmi btnyle yaltkann iinde ise yzeysel yklerbulunmaz ve

Burada = f+ btoplam yk younluudur. Diverjans teoremi uygulanrsa

Bulunur.



6 7 YALITKANDA POSSON VE

7/29/2019 ealan

138/173

6.7 YALITKANDA POSSON VE

LAPLACE DENKLEMLERYalitkan iinde Viin Poisson denklemi

Laplace denklemi toplam elektrik yk younluunun sfr olduu yerlerde uygulanr ve

eklindedir.



6 8 ELEKTRK AKI YOUNLUU

7/29/2019 ealan

139/173

6.8 ELEKTRK AKI YOUNLUU

(D) VE DVERJANSIDenklem 9.15 de gre

9.18 denkleminde b yerine denklem 9.7 deki deeri konursa

Sonutaki vektr

Ye elektrik ak younluu denir ve diverjans derbest hacimsel yk younluuna eittir. Sonuolarak



7/29/2019 ealan

140/173

Tamam ile yaltkan iindeki bir v hacmi Qf serbest ykn evrelerse (yseysel yk mevcutdeil)

Buradan 9.20 denklemi spatlanabilir.

Dnin diverjansnn sadece fe bal olmas Dnin sadece fe bal olaca anlamna gelmez. Dyi bulmak iin 9.21 denklemi snr koullarna gre integre edilmelidir.

E, P ve Dnin derivasyonlarnn kullanlabilmesi iin uzay trevlerinin olmas gerekir. Eer ikimedya arasndaki arayzden bahsediliyorsa diverjans formlar kullanlamaz bunun yerine dahagenel olan Gauss yasasnn integral formu kullanlmaldr.



RNEK: BAR ELEKTRET

7/29/2019 ealan

141/173

RNEK: BAR ELEKTRETekil (a) daki gibi bar elektretin iinde P

dzgndr. Bu ilgin fakat gerek olmayanbir rnektir nkgerekte P dzgndeildir. Sonuta Pnin diverjams sfrdr vedenklem 9.7 gerei bde sfrdr.Salykler sadece silindirin alk ve styzeylerinde bulunur. bar elektretin iindeve dndaki Ealan dzgn ykyounluklar +Pve P olan daireseltabakann alanna eittir (ekil (b)).

Darda D izgileri D=oEolduu iin Eizgileri ile ayndr.

erde D=oE + Polduu iin E ve Phemen hemen zt ynleriiaret eder. Bu durum alt ekilde gsterilmitir.



7/29/2019 ealan

142/173

6.9 ELEKTRK DUYARLILIK (Xe)Birok yaltkanda PEile orantl ve ayn yndedir. Sonu olarak lineer,ve izotropik yaltkanda

Burada Xeortamn elektrik duyarlldr. Eer yaltkan homojen ise elektrikduyarllkkoordinat sisteminden bamszdr.



6 10 BAIL GERGENLK ( )

7/29/2019 ealan

143/173

6.10 BAIL GERGENLK (r)Lineer ve izotropik yaltkanda 9.25 denklemi uygulanabilir ve

burada

Bal geirgenlikdir. Bu deer boyutsuz olup birden byktr. elektrisel geirgenliktir birimioile ayndr yani frad/metredir. Bylece lineer ve izotropik yaltkanda

Tabloda en ok kullanlan frekansta baz yaltkanlarn bagil elektriksel geirgenlikleriverilmitir. Gazlarn bail geirgenlii normal scaklk ve basnta birden ok az byktr. Meselahavann bail geirgenlii r=1.000536 dr.



7/29/2019 ealan

144/173



RNEK: SERBEST VE BALI HACMSEL YK

7/29/2019 ealan

145/173

RNEK: SERBEST VE BALI HACMSEL YKYOUNLUKLARI

Serbest hacimsel yk younluunun (f) varl yaltkan polarize eder ve byi arttrr. Eeryaltkan lineer ve izotropik ise

Eer f=0 ise bde sfrdr. Eer fsfr deilse, ki bu ok nadir bir durumdur, toplam hacmselyk younluu file ayn iarettedir fakat daha kktr:



RNEK: YALITKANLA LETKEN ARASINDAK

7/29/2019 ealan

146/173

RNEK: YALITKANLA LETKEN ARASINDAKARAYZDE SERBEST VE BALI YZEYSEL YK

YOUNLUKLARIletkenle lineer izotropik yaltkan arasndakiarayzde iletken fyaltkan ise btar. Eer alanduraan ise iletkenin iinde E=0 ve D=0 dr.Arayzde Enin teetsel bileenin srekli olmas

gerektiinden hem E hemde D arayze dik,yaltkann iinde ve iletkene yakndr.

imdi ekildeki gibi arayzde A yzeyini kaplayanve her iki ortamdada bir ksm bulunan G gibi birGauss hacmi dnelim.pozitif yn yukar dorualnrsa

ve



Dikkat edilirse 9 34deki sonuca 9 13deki Gauss yasas uygulanarakta ulamak mmkndr

7/29/2019 ealan

147/173

Dikkat edilirse 9.34 deki sonuca 9.13 deki Gauss yasas uygulanarakta ulamak mmkndr.D= orEolduu iin

9.35 ve 9.36 denklemleri ile 9.31 ve 9.32 denklemleri birbirine ok benzer



RNEK: YALITKAN ZOLEL PARALEL DZLEM

7/29/2019 ealan

148/173

RNEK: YALITKAN ZOLEL PARALEL DZLEMKONDANSATR

ekilde paralel dzlem kondansatrn kesitigsterilmitir. ekilde daha iyi anlalabilmesi iinyaltkann her iki tarafnda da bir hava boluugsterilmitir. Fakat gerekte yaltkanla iletken birbirineyapktr.Yklerin ve alann statik olduu varsaylmtr. Ayrcahemen hemen her zaman yaltkanda f= 0, sonutadab= 0 dolays ile denklem 9.7 gerei Pnin diverjansdasfrdr. Ke etkileri ihmal edilirse yzeysel ykyounluklar f ve b dzgndr. Benzer ekilde P, E ve Dyaltkanda ve hava boluunda dzgndr.G Gauss hacminin bir ksm iletkende bir ksm hava

boluunda olmak zere yerletirilmitir. letken iindeE=0 ve D=0 dr. Bylece hava boluunda



Benzer ekilde G hacmi iin

7/29/2019 ealan

149/173

Benzer ekilde G hacmi iin

Fakat

Bunu

Takip eder. Tabiki Blm 6.4.1 den |b|=Pdir. Bylece kapasite boyunca Vgerilimi

Burada f=Q/Adir. Kapasite ise



Yaltkann her iki tarafndaki boluk yok saylrsa (g+h=0) gerilim

7/29/2019 ealan

150/173

Yaltkann her iki tarafndaki boluk yok saylrsa (g+h=0)gerilim

Ve kapasite

Dikkat edilirse burada bulunan kapasite deeri hava boluu olan paralel dzlem kondansatrn

kapasitesinde r kat daha byktr. Kapasitenin yaltkanl ve yaltkansz lm bal elektrikselgeirgenliin (r) llmesinde uygun bir yoldur.



RNEK: YALITKAN NDEK SERBEST YKLERN

7/29/2019 ealan

151/173

RNEK: YALITKAN NDEK SERBEST YKLERNALANI

Qfserbest ykn tayan kk bir iletken krenin sonsuz homojen, izotropik, lineer ve duraanyaltkan iinde gml olduunu dnelim. Yaltkann iletken kreye deen ksm iletkenle tersiaretli bal ykler bulundurur. Krenin yzeyinin berbir noktasnda 9.36 denklemi uygulanabilirve net ykQf/r.Sonu olarak yaltkan iinde kreden rkadar uzaklktaki bir noktadaki elektrikalan

Benzer ekilde yukarda olduu gibi serbest yk younluu f ilekten iinde ise net yk younluu

f/rve elektrik alanda Eo/r olur. Burada Eoboluktaki ayn ykn alandr.Eer yaltkan sonsuz deilme yzeydeki bal yklerin alanda dikkate alnmaldr.



6 11 YERDETRME AKIM

7/29/2019 ealan

152/173

6.11 YERDETRME AKIM

YOUNLUUekilde alternatif gerilim kaynana bal paralel dzlemkondansatr gsterilmitir. letkenlerin dzlem alan Aveplakalr aras mesafe de sdir. Kenar etkileri ihmal edilirse

Sonu olarak kapasitenin iinde akm younluujDveya dana genel hali ile D/tdir. Bu deereyer deitirme akm younluu denir. Yerdeitirme akm younluu iki ksm ierir

9.48 denkleminde sadaki ikinci terim Blm 6.4.3 deki polarizasyon akm younluudur. lkterimin ismi yoktur ve bolukta bile bulunur.



7/29/2019 ealan

153/173

7. ELEKTRK ALANLAR VI. Giri Gerek YaltkanlarArayzdeki Sreklilik SartlarYaltkann Varlnda Yk Dalmnn Potansiyel Enerjisi

Yaltkann Varlnda Elektriksel Kuvvetler



7/29/2019 ealan

154/173

7.1 GRYaltkan malzemelerle alakal bu ikinci ve son blmde zet olarak gerek yaltkanlarn bazkarakteristikleri: sonlu iletkenlik, r nn frekansa ve zamana bamll, anizotropi,ferroelektricity ve histerizis hakknda bilgi verilecektir. Daha sonra arayzdeki sreklilikartlarndan bahsedilecek son olarak da yaltkann varlnda elektrik alanda depolananenerjiden bahsedilecektir.



7/29/2019 ealan

155/173

7.2 GEREK YALITKANLARPolyetylene gibi baz yaltkanlar ideale ok yakndr. Bunlar homojen, izotropik, iletkenlii sfraok yakn ve bal geirgenlii pratikte frekanstan bamszdr. Bununla birlikte birok yaltkandaha komplex davran sergilerler.



721KAYIPLI YALITKANLAR

7/29/2019 ealan

156/173

7.2.1 KAYIPLI YALITKANLARBir haliyle iletkenlik zellii gsteren yaltkanlara kaypldenir. Mesela odun ve buday gibidoal malzemeler iinde bulunan su nedeni ile iletkenlik zellii gsterirler. Alternatif alannetkisi altnda iletkenlii complex geirgenlik cinsnden ifade etmek uygundur.

ekildeki gibi kaypl kaytkan ieren paraleldzlem kondansatr ele alalm. Akm idealkapasite ile direncin akmna eittir. Diren

e eittir. Burada yaltkann iletkenliidir (Blm 3.4.1). Sonu olarak

Bu durumda r yi aadaki gibi farkl tanmlamak uygundur. Bu tanm



Bylelikle elektriksel geirgenlik iletkenlii de iine alacak ekilde geniletilmitir.

7/29/2019 ealan

157/173

y g g g

Yeni r gerel ksm denklem 10.2deki r ye eittir. majiner ksmdaki negatif iarete dikkatedilmelidir. Geirgenliin gerel ksm elektrik alanda enerjiyi depolarken imajiner ksm enerjiyi solarak aa karr. Elektriksel geirgenlik genellikle

Burada lkayp asdr. ounlukla oran olarak tanmlanr. Bu oran

Yaltkann kayp tanjantdr. Aksi tanmlanmad srece balgeirgenlik Blm 6.10daki tablodaki gibidir.

ekilde Vve I fazrleri ve kayp as gsterilmitir. yag-faktr as denir.



722 NN SIAKLIA VE

7/29/2019 ealan

158/173

7.2.2r NN SIAKLIA VE

FREKANSA BAIMLILIIBlm 6.10daki tablodanda grlebilecei gibi r frekansla derken r frekansla artar. Bu okkaba bir kuraldr nk atomlar ve molekller zellikle 1 GHznin zerinde rezonans sergilerler.

Yaltkan (Dielektrik) stmafrekanslar birka mega hertz ile birka gigahertz arasndadr.Mikrodalga frnlar genellikle 2.45 GHz de alr. Bunlar yiyecek iindeki su molekllerineetkileyerek alrlar.

Kural gerei malzemenin geirgenligi erime ile ok artar. Mesela nitrobenzenenin bagl geirgenlii279 Kelvin civarndaki erime noktasnda 3 den 35e kar.

Dkkat edilirse bal geirgenlik (r)frekansn fonksiyonudur ve sadece saf sinizoidal dalgalardakesin bir ekilde tanmlanabilir.



7 2 3 ANZOTOPLUK

7/29/2019 ealan

159/173

7.2.3 ANZOTOPLUK

( ANISOTROPY)Kristal yapl kat malzemeler farkl kristal ynlerinde farkl yaltkanlk zellii gsterirler. nkiyonlar baz ynlerde dier ynlere gre daha hzl ilerleyebilirler. Sonu olarak bu trmalzemelerin duyarll yne baldr ve PE ile ayn olacak diye bir ey yoktur.Bylece Pnin xynndeki bileeni

Formundadr. Benzer ekilde dier bileenlerde tanmlanabilir. Pnin her bileenide Enin her bileenine baldr. Sonuta duyarlln 9 bileeni vardr ve tensrdr. Gerekte 6 bamszbileen vardr ve koordinat sistemi kristale bal seilirse e drlebilir.Eer duyarlln eitli bileenleri Enin fonksiyonu degilse P Enin bileenlerinin lineerfonksiyonudur ve yaltkan lineerdir.

Anizotropik yaltkanlarda aadaki denklemler hala geerlidir.

Fakat bu vektr genellikle birbirine paralel deildir.



7 2 4 FERROELEKTRKLK

7/29/2019 ealan

160/173

7.2.4 FERROELEKTRKLK

(FERROELEKTRCTY)Ferroelektrik yaltkanlar domain ad verilen mikroskobik kristal blgeleri zerindeki polarizasyonlarok ilgin zellik sergilerler. Ferroelektrikad davran ferromagnetik malzemelere benzedii iinverilmitir. Malzeme Elektrik alana yerletirildii zaman dzgn polarize olan blgeler komu

blgeleri igal edecek ekilde geniler ve sonunda birleir.Eer ferroelektrik malzemenin scakl yava yava arttrlrsa kendi kendiliinden olanpolarizasyon genelikle baz komplex tarzda deiir ve Curie scaklnn zerinde da kaybolur. Buscaklk malzemenin karakteristiidir.Ferroelektrik malzemelerin en yaygn kullanld alan seramik kapasitelerdir. nk balgeirgenligi 10000lere kadar kabilir. Kural olarak bu yaltkanlar titanium bileiidir.

Baz ferroelektrik yaltkanlar belirli uygulamalarda kullanl olan kesin scaklk katsaylarnasahiptirler.



7 2 5 HSTERZS (HSTERESS)

7/29/2019 ealan

161/173

Ferroelektrik malzemeler ayrca ekilde grld gibihisterisiz ad verilen bir zellikde sergilerler. ekilde tipikbir ferroelektrik yaltkann histerizis erisi gsterilmitir.Polarize olmam yaltkanla balanrsa anoktasnda E=0dr. Edeki art Dyide b noktasna kadar arttrr.

Sonra Enin sfra kadar dmesi c noktasndayaltkanda kalc bir Dbrakr. Dnin deeri sadece Eyebal olmayp malzemenin gemiinede baldr.Sonuta byle malzemeler nonlinenerdir ve Eile Dorantl deildir..

7.2.5 HSTERZS (HSTERESS)



7/29/2019 ealan

162/173

7.3 ARAYZDE SREKLLK

SARTLARI



7/29/2019 ealan

163/173

7.3.1 POTANSYEL VPotansiyel V iki medya arasndaki snr boyunca sreklidr. Aksi takdirde sreksizlikde tanmszbyklkde Eanlamna gelirdi ki bu fiziksel olarak imkandrsr.



732DNN DK BLEEN

7/29/2019 ealan

164/173

7.3.2D NN DK BLEENekildeki gibi kesiti Aolan ve arayzde bulunan okkk bir silindir hayal edelim. Silindirin alt ve styzeyleri arayze paralel ve arayze ok yakndr.Arayzde serbest yzeysel yk younluu (f) bulunur.

Gauss yasasna gre silindirden giren ve kan net Daks evrelenen serbest yklere eittir. Dakss sacede

silindirin alt ve st ve kenarlarndan girer ve kar nkykseklik ok kktr. Eger A ok kk ise D buyzey bolunca hemen hemen dzgndr ve sonuta

Burada n^ yn medya 2 den 1 e doru olan birim vektrdr. Kural gerei iki yaltkan arayz

serbest ykler bulundurmazlar ve Dnin dik bileeni arayz boyunca sreklidir. Sonu olarakEnin dik bileeni sreksizdir. Dier yandan eer bir medya iletken dieri yaltkan ise ve D dezamann fonksiyonu deilse iletkende D=0 dr. Yaltkanda ise D=fdir. Eer Dzamannfonksiyonu ise 10.9 denklemi hale geerlidir. Fakat iletkende Dsfra eit deildir.



7/29/2019 ealan

165/173

7.3.3ENN TEETSEL BLEENekildeki gibi her iki kenar uzunluu Lolan vr arayze okyakn olan bir yol dnelim. Kapal yolun dier ikikenarnn uzunluu sonsuz kklktedir. Eger Luzunluuok ksa ise Ebu uzunluk boyunca pek deimez ve kapal

yol zerinden integrali

Blm 2.5 gerei bu integral sfrdr. Bylece

Burada n^bir nceki blmdeki gibi tanmlanmtr. Enin teetsel bileeni arayz boyuncasreklidir.



7.3.4E ZGLERNN ARAYZDE

7/29/2019 ealan

166/173

7.3.4EZGLERNN ARAYZDE

KIRILMASIekilde grld gibi E ve D izgileri iki lineer ve izotropikyalkann oluturduu arayzden geerken yn deitirir. Eerserbest yzeysel yk younluu sfr ise Dnin dik bileeni

veya

art salanmaldr. Ayrca Enin teetsel bileeni arayz boyunca srekli olmaldr

10.14 denklemini 10.13 denklemine blersek

Sonucu elde edilir.



7 4 YALITKANIN VARLIINDA

7/29/2019 ealan

167/173

7.4 YALITKANIN VARLIINDA

YK DAILIMININ POTANSYELENERJS

Elektrik Alanlar IV de ykn bolukta ve iletkende bulunmas durumu iin depolanan enerji

hesaplanmtr. Alana yaltkann ilavesi zmde byk zorlua gtrr fakat aadaki kabullerleproblem takip edilebilir hale gelir. Bu kabuller

Serbest ve bal ykler sonsuza uzanr. Bu potansiyeli sonsuzda sfra gtrr. Yaltkan lineerdir (DEile orantldr) fakat homojen veya izotropik olmayabilir.

Ayrca yaltkann konumunda sabit ve rijit olduu kabul edilmitir. Baka bir deile yaltkanelektriksel kuvvetlerin etkisinden etkilenmez.



7.4.1f VE VTARMLER

7/29/2019 ealan

168/173

7.4.1fVE VTARMLER

CNSNDEN POTANSYEL ENERJBlm 6.5 de olduu gibi herhangi bir noktada

dr. Alan iindeki btn yaltkanlar lineer olduu iin hipotez gerei bf ile bfile orantldr.lk nce sfr yk younluundan balayalm ve ykleri yava yava sonsuzdan ekelim. Bir sreiin yzeysel ykleri ihmal edelim. Diyelim ki son potansiyel Vve son yk younluuda folsun.Verilen bir anda yacimsel yk younluu fdir. Burada kademeli olarak sfrdan bire artar.

Olduu iin V file orantldr. Sonu olarak yk younluu folduu zaman potansiyelde Volur. nn +dya arttn dnelim. Sonu olarak verilen bir noktada



Extra yk alana ekmek iin gerekli olan enerji

7/29/2019 ealan

169/173

Burada vbtn ykleri iine alr ve bu ilem srasndaki ortalama potansiyel V(+d/2) dir.(d/2)2 terimini ihmal edersek

Alanda depolanan enerji blm 5.2.2 blmmde olduu gibi fV integralinin yarsna eittir.Bununla birlikte Valanda konum konumlanan yaltkann doasna, ekline, boyutuna vepozisyonuna baldr.



7.4.2E VE D TARMLER

7/29/2019 ealan

170/173

7.4.2E VE DTARMLER

CNSNDEN POTANSYEL ENERJDiyelimki Vmin0 olan potansiyelin minimum olduu tek bir nokta bulunsun. Benzer ekildeV=Vmax 0olan sadece bir nokta bulunsun. Yaltkanda lineer olsun.

V=Vmin epotansiyeli boyunca uzanan ve yzey alan Aolan biriletken hayal edelim. letken yavaa bir epotansiyelden dierine

yaltkan sprerek ve nndeki serbest ykleri toplayarak geniler.letken serbest yzeysel ykleri tar. ekilde de grld gibi Eyzeye diktir ve genii /odr. Eer medya izotropik deilse D Eye paralel deildir. Bununla birlikte Gauss yasas gerei

dr ve iletkenin iinde Dsfrdr. ekilde grld gibi dAelementi dl kadar hareket etsin. dLyzeye diktir. Alan tarafndan dAyk zerinde yaplan i



dA zerine etkiyen alan Blm 5.6dan E/2dir. Sonuta

7/29/2019 ealan

171/173

letken yzey V=Vmaxgeriliminli epotansiyel yzeyine ulancaya kadar geniler. Sonuta iletkenbtn yzeyleri sprm olur ve btn serbest ykler ya sonsuza gtrlm yada zf iaretliykle ntrletirilmi olur ve Ede her herde sfr olur. Sonu olarak alan tarafndan yaplan toplami

Ve enerji younluu

Olur. Eer yaltkan lineer ve izotropik ise D=roE olduundan

Sonuta enerji younluu roE2/2. Bu integral alan tarafndan igal edilen btn yzeyleri kapsar.



7/29/2019 ealan

172/173

7.4.3 POLARZASYONLA LGLENERJ YOUNLUU

Olduu iin sadece polarizasyonla alakal enerji younluu E.P/2 olur. zotropik yaltkanda

Birok yaltkanda Xe 1 ile 4 arasndadr ve enerjinin ounluu polarizasyon enerjisidir.



7/29/2019 ealan

173/173

7.5 YALITKANIN VARLIINDAELEKTRKSEL KUVVETLER

Yaltkann varlnda iletkenler aras kuvvet ounlukla Blm 5.7 de anlatlan Grsel alma

Metoduile hesaplanr.

letken yaltkan iine konulursa eer ykler ayn ise kuvvetler bolua gre rkatsays kadarkktr. Eer elektrik alan ve dolays ile gerilim ayn ise kuvvetler r faktr kadar byktr.

Documents

ealan