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1
Modelo de Ingeniería de la Teoría ECE.
Bases para Aplicaciones
Electromagnéticas y Mecánicas.
Horst Eckardt, AIAS
Traducción: Alex Hill, ET3M
Versión 5.1, 20.6.2015
2
Ecuaciones de Campo ECE I
• Ecuaciones de campo en notación matemática
• con– ᶺ: producto cuña antisimétrico
– Ta: forma de torsión antisimétrica
– Rab: forma de curvatura antisimétrica
– qa: forma de la tétrada (de transf. de coordenadas)
– ~: transformación del dual de Hodge
– El operador D y q son 1-formas, T y R son 2-formas
– Se suma sobre los mismos índices superiores e inferiores.
bb
aa
bb
aa
qRTD
qRTD
∧=∧
∧=∧
~~
Axiomas de la Teoría ECE.
• Las formas geométricas Ta, qa se interpretan
como cantidades físicas.
• El 4-potencial A es proporcional a la tétrada de Cartan q: Aa=A(0)qa
• El campo electromagnético/gravitacional es proporcional a la torsión: Fa=A(0)Ta
• a: índice del espacio tangente a la variedad.
• A(0): constante con dimensiones físicas.
3
4
Ecuaciones de Campo ECE II
• Las ecuaciones de campo en formato tensorial
• con– F: tensor de campo electromag., es su dual de
Hodge, ver más adelante.
– ω: conexión de espín.
– J: densidad de corriente de carga.
– j: „densidad de corriente homogénea“, „corriente magnética“.
– a,b: índices de polarización.
– μ,ν: índices del espaciotiempo (t,x,y,z)
( )( ) νµν
µ
µν
µ
µν
µ
νµν
µ
µν
µ
µν
µ
µω
µω
abb
aaa
abb
aaa
JTRAF
jTRAF
0
)0(
0
)0(
:
:
~~~
=−=∂
=−=∂
T~
5
Propiedades de las Ecuaciones de
Campo.
• J no es necesariamente una corriente externa,
se define completamente mediante propiedades
del espaciotiempo.
• j sólo aparece si el electromagnetismo se ve
afectado por la gravitación, o existen monopolos
magnéticos, de lo contrario = 0.
• El índice de polarización „a“ puede omitirse si el
espacio tangente se define como igual al
espacio de la variedad base.
6
Tensor de Campo Electromagnético.
• F y son tensores antisimétricos, vinculados con
componentes vectoriales de campos electromagnéticos
(índice de polarization omitido).
• Los componentes cartesianos son Ex=E1 , etc.
−
−
−
−−−
=
0
0
0
0
123
132
231
321
cBcBE
cBcBE
cBcBE
EEE
Fµν
−
−
−
−−−
=
0
0
0
0
~
123
132
231
321
EEcB
EEcB
EEcB
cBcBcB
Fµν
F~
7
Potencial con direcciones de
polarización.
• Matriz de potencial:
• Vectores de polarización:
ΦΦΦΦ
)3(
3
)2(
3
)1(
3
)3(
2
)2(
2
)1(
2
)3(
1
)2(
1
)1(
1
)3()2()1()0(
0
0
0
AAA
AAA
AAA
=
=
=)3(
3
)3(
2
)3(
1
)3(
)2(
3
)1(
2
)2(
1
)2(
)1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(,,
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AAA
Maxwell-Ampère deLey 1
Coulomb deLey
Faraday deInducción deLey 0
Gauss deLey 0'
02
0
0
0
a
e
a
a
a
ea
a
eh
a
eh
a
a
a
eh
a
eh
a
tc
't
JE
B
E
jjB
E
B
µ
ε
ρ
µ
ρρµ
=∂
∂−×∇
=⋅∇
===∂
∂+×∇
===⋅∇
8
Ecuaciones de campo ECE –
Forma Vectorial.
Ecuaciones „Materiales“
a
r
a
a
r
a
HB
ED
0
0
µµ
εε
=
= Desplazamiento Dieléctrico
Inducción Magnética
9
Ecuaciones de Campo – Forma
vectorial sin índice de polarización.
Ecuaciones „Materiales“
HB
ED
0
0
µµ
εε
r
r
=
= Desplazamiento Dieléctrico
Inducción Magnética
Maxwell -Ampère deLey 1
Coulomb deLey
Faraday deInducción deLey 0
Gauss deLey 0'
02
0
0
0
e
e
eheh
eheh
tc
't
JE
B
E
jjB
E
B
µ
ε
ρ
µ
ρρµ
=∂
∂−×∇
=⋅∇
===∂
∂+×∇
===⋅∇
10
m
A
m
C
mA
N
m
sVT
m
V
==
⋅
=
⋅
==
=
][,][
][
][
2
2
HD
B
E
Tmm
Vs
V
==
=Φ
][
][
A
m
1
s
1
=
=
][
][0
ω
ω
Unidades Físicas.
Densidad/Corriente de Carga Densidad/Corriente „Magnética“
ms
A
m
A
eh
eh
=
=
][
][2
j
ρ
)/(/][
/][
22
3
smCmA
mC
e
e
==
=
J
ρ
2
3
]'[
]'[
m
V
m
Vs
eh
eh
=
=
j
ρ
11
Relaciones Campo-Potencial I
Conjunto Completo de Ecuaciones
Potenciales y Conexiones de Espín
Aa: Potencial vectorial
Φa: Potencial escalar
ωab: Conexión de espín vectorial
ω0ab: Conexión de espín escalar
¡Favor de observar la convención de suma de Einstein!
bb
aaa
bb
abb
a
a
aa
t
AωAB
ωAA
E
×−×∇=
Φ+−∂
∂−Φ−∇=
0ω
12
Ecuaciones de Campo ECE en
Términos de Potencial I
a
e
bb
aabb
aa
bb
aaa
a
ebb
abb
aa
a
bb
a
bb
abb
a
bb
a
ttttc
t
t
JωAA
AωAA
ωAA
AωωA
Aω
0
0
2
2
2
0
0
0
)()(1
)()(
:Maxwell-Ampère deLey
)()(
:Coulomb deLey
0)(
)()(
:Faraday deInducción deLey
0)(
:Gauss deLey
µω
ε
ρω
ω
=
∂
Φ∂−
∂
Φ∂∇+
∂
∂+
∂
∂+
××∇−∆−⋅∇∇
=Φ⋅∇+⋅∇−∆Φ−∂
∂⋅∇−
=∂
×∂−Φ×∇+×∇−
=×⋅∇
13
Condiciones de Antisimetría de las
Ecuaciones de Campo ECE I
00
=Φ−−∂
∂−Φ∇
bb
abb
a
a
a
t
ωAA
ω
0
0
0
12,21,
2
1
1
2
13,31,
3
1
1
3
23,32,
3
2
2
3
=++∂
∂+
∂
∂
=++∂
∂+
∂
∂
=++∂
∂+
∂
∂
bb
abb
a
aa
bb
abb
a
aa
bb
abb
a
aa
AAx
A
x
A
AAx
A
x
A
AAx
A
x
A
ωω
ωω
ωω
Restricciones de antisimetría
eléctrica:
Restricciones de
antisimetría magnética:
O restricción simplificada de
Lindstrom (no exacta): 0=×+×∇b
baa
AωA
14
AωAB
ωAA
E
×−×∇=
Φ+−∂
∂−Φ−∇=
0ω
t
Relaciones Campo-Potencial II
Una sola Polarización.
Potenciales y Conexiones de Espín
A: Potencial vectorial
Φ: Potencial escalar
ω: Conexión de espín vectorial
ω0: Conexión de espín escalar
15
Ecuaciones de Campo en Términos de
Potencial II
e
e
ttttc
t
t
JωAA
AωAA
ωAA
AωωA
Aω
0
0
2
2
2
0
0
0
)()(1
)()(
:Maxwell-Ampère deLey
)()(
:Coulomb deLey
0)(
)()(
:Faraday deInducción deLey
0)(
:Gauss deLey
µω
ε
ρω
ω
=
∂
Φ∂−
∂
Φ∂∇+
∂
∂+
∂
∂+
××∇−∆−⋅∇∇
=Φ⋅∇+⋅∇−∆Φ−∂
∂⋅∇−
=∂
×∂−Φ×∇+×∇−
=×⋅∇
16
Condiciones de Antisimetría de las
Ecuaciones de Campo ECE II
Todas estas relaciones aparecen además de las ecuaciones de campo
ECE, y son restricciones a las mismas. Sustituyen la invariancia gauge de
Lorenz y pueden utilizarse para deducir propiedades especiales.
Restricciones de antisimetría
eléctrica:
Restricciones de antisimetría
magnética:
00
=Φ−−∂
∂−Φ∇ ωA
Aω
t
0
0
0
1221
2
1
1
2
1331
3
1
1
3
2332
3
2
2
3
=++∂
∂+
∂
∂
=++∂
∂+
∂
∂
=++∂
∂+
∂
∂
AAx
A
x
A
AAx
A
x
A
AAx
A
x
A
ωω
ωω
ωω
0=×+×∇ AωA
O restricción simplificada de
Lindstrom (no exacta):
0
0
:atenciónmerecen resdenominado Los
)(2
1
)(2
1
:spotenciale los departir aespín de conexiones calcularsepueden Así
)(2
1
220
0
≠Φ
≠
⋅Φ∇+∂
∂−=⋅
Φ=
Φ∇+∂
∂−
Φ=
Φ∇+∂
∂−=Φ=
A
tAA
t
t
AA
Aω
Aω
AωA
ω
ω
17
Relaciones entre Potenciales y Conexiones de Espín
deducidas a partir de Condiciones de Antisimetría.
18
Alternativa I: Ecuaciones de Campo ECE
con Definiciones Alternativas de Corriente (a)
18
νµν
µµν
µµν
µ
µν
µ
νµν
µµν
µµν
µ
µν
µ
νµνµ
µν
µµν
µ
νµνµ
µν
µµν
µ
µω
µω
µω
µω
a
A
abb
aaa
a
A
abb
aaa
abb
aaa
abb
aaa
JRAFFFD
jRAFFFD
JTRAF
jTRAF
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(
:
:~~~~
:)covariante derivada la mantiene (se aalternativ Definición
:)(
:)~~
(~
:Maxwell) (tipo corrientes de típicaECE Definición
==+∂=
==+∂=
=−=∂
=−=∂
19
Alternativa I: Ecuaciones de Campo ECE con
Definiciones Alternativas de Corriente (b)
191.pdf)ps/phipps0files/phipsc3/elmag/lfire.com///www.ange:(http
detectory observador entre relativa velocidades
con
Maxwell-Ampère deLey 1
Coulomb deLey
Faraday deInducción deLey 0
Gauss deLey 0'
02
0
0
0
v
v
JE
B
E
jjB
E
B
∇⋅+∂
∂=
=−×∇
=⋅∇
===+×∇
===⋅∇
tdt
d
dt
d
c
'dt
d
a
Ae
a
a
a
Aea
a
Aeh
a
Aeh
a
a
a
Aeh
a
Aeh
a
µ
ε
ρ
µ
ρρµ
20
Alternativa II: Ecuaciones de Campo ECE
con Corrientes Definidas sólo por Curvatura.
ρe0
, Je0
: densidad normal de
carga y corriente.
ρe1
, Je1
: densidad de carga y
corriente “frías“.
10
0
2
002
2
2
0
1
0
0
0
)()(1)(
1)(
:Maxwell-Ampère de Leyes
)()(
:Coulomb de Leyes
e
e
e
e
ttc
ttc
t
JωA
Aω
JA
AA
ωA
A
µω
µ
ε
ρω
ε
ρ
=
∂
Φ∂−
∂
∂+××∇−
=
∂
Φ∂∇+
∂
∂+∆−⋅∇∇
=Φ⋅∇+⋅∇−
=∆Φ−∂
∂⋅∇−
21
B
E
t
ωAB
ωA
E
+×∇=
+∂
∂−Φ−∇=
Relaciones Campo-Potencial III
Ecuaciones Linealizadas.
Potenciales y Conexiones de Espín
A: Potencial vectorial
Φ: Potencial escalar
ωE: Conexión de espín vectorial del campo eléctrico
ωB: Conexión de espín vectorial del campo magnético
22
Ecuaciones de Campo ECE en
Términos de Potencial III.
e
E
B
e
E
B
E
B
tttc
t
t
JωA
ωAA
ωA
ωω
ω
02
2
2
0
1
)(
:Maxwell-Ampère deLey
:Coulomb deLey
0
:Faraday deInducción deLey
0
:Gauss deLey
µ
ε
ρ
=
∂
∂−
∂
Φ∂∇+
∂
∂+
×∇+∆−⋅∇∇
=⋅∇+∆Φ−∂
∂⋅∇−
=∂
∂+×∇
=⋅∇
23
Restricciones de antisimetría
eléctricas:
Condiciones de Antisimetría de las
Ecuaciones de Campo ECE III.
( )
( )21
21
BBB
EEE
ωωω
ωωω
−−=
−−=
0
0
21
2
1
1
2
1
3
3
1
3
2
2
3
21
=++
∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂
=++∂
∂−Φ∇
BB
EE
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
t
ωω
ωωA
Restricciones de antisimetría
magnéticas:
Se definen vectores adicionales
ωE1
, ωE2
, ωB1
, ωB2
:
Vectores de Curvatura.
24
2
0
000
1][][)(
: Unidades :ónpolarizacisin
)(
:magnético) (campoespín de Curvatura
1)(
:ónpolarizacisin
1)(
:eléctrico) (campo orbital Curvatura
mespín
espín
tcorbital
tcorbital
b
a
Bb
a
EB
bc
ca
ba
ba
b
a
B
E
ca
bc
bc
cab
a
ba
ba
ba
E
==×∇==
×−×∇==
∂
∂−∇−==
+−
∂
∂−∇−==
RRωRR
ωωωRR
ωRR
ωωω
RR
ω
ωωω
Definición Geométrica de Densidades
de Carga/Corriente Eléctricas.
25
( )
×−⋅Φ−×+=
⋅−⋅=
b
a
B
bb
a
E
bbb
abb
aa
e
b
a
E
bbb
aa
e
c
c
RARBωEJ
RAEω
11
:eléctrica Corriente
:carga de Densidad
0
00
0
µωε
ερ
( )
×−⋅Φ−×+=
⋅−⋅=
BEe
Ee
c
c
RARBωEJ
RAEω
11
:eléctrica Corriente
:carga de Densidad
0
00
0
µωε
ερ
Con polarización:
Sin polarización:
Definición Geométrica de Densidades
de Carga/Corriente Magnéticas.
26
ba
E
bb
a
B
bbb
abb
aa
eh
b
a
B
bbb
aa
eh
c RAREωBJ
RABω
×+⋅Φ+×−−=
⋅−⋅=
0'
:homogénea Corriente
'
:homogénea carga de Densidad
ω
ρ
EBeh
Beh
c RAREωBJ
RABω
×+⋅Φ+×−−=
⋅−⋅=
0'
:homogénea Corriente
'
:homogénea carga de Densidad
ω
ρ
Con polarización:
Sin polarización:
Ecuaciones de Campo Adicionales debidas a
Corrientes Homogéneas que Desaparecen.
27
( ) 0
0
=×⋅∇
×+⋅Φ−=−×
⋅=⋅
bb
a
b
a
E
bb
a
B
bbb
abb
a
b
a
B
bbb
a
c
Aω
RARBEω
RABω
ω
Con polarización:
Sin polarización:
( ) 0
0
=×⋅∇
×+⋅Φ−=−×
⋅=⋅
Aω
RARBEω
RABω
EB
B
cω
Ecuación de Resonancia del Campo de
Torsión Escalar.
28
abb
a
a
cRTt
T=+
∂
∂ 0
0
0
ω
Con polarización:
Sin polarización:
cRTt
T=+
∂
∂ 0
0
0
ω
Unidades físicas:
2
0
1][
1][
mR
mT
=
=
Axiomas de ECE2.
• Definiciones alternativas, basadas en curvatura
– Compatibles con axiomas basados en torsión
• El 4-potencial A es proporcional a la tétrada de Cartan q:
Aa=A(0)qa
• El campo electromagnético/gravitacional es proporcional a las 2-formas de torsión y curvatura:
Fa=A(0)Ta, Fab=W(0)Ra
b
• a, b: índices del espacio tangente pueden eliminarse
• A(0), W(0): constantes con dimensiones fisicas,
[A(0)]=T*m=V*s/m, [W(0)]=V*s
29
Campos Electromagnéticos de ECE2.
30
)(
:ónpolarizaci den eliminaciócon
)(
:magnético) (campoespín de Curvatura
)(
:ónpolarizaci den eliminaciócon
)(
:eléctrico) (campo orbital Curvatura
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
espínWW
espínWW
orbitalcWcW
orbitalcWcW
B
ba
ba
Bba
E
ba
b
a
Eba
RRB
RRB
RRE
RRE
==
==
==
==
Los vectores de curvatura se definen como en la diapositiva 24.
Densidades de carga/corriente se definen como en diap. 25/26.
Definición Geométrica de Densidades de
Carga/Corriente Eléctricas en ECE2.
31
×−Φ−×+=
⋅−⋅=
bab
babb
bab
baa
e
babb
baa
e
WWc
W
BAEBωEJ
EAEω
)0()0(20
00
)0(0
111
:eléctrica Corriente
1
:carga de Densidad
µωε
ερ
×
−+Φ+−=
⋅
−=
BωAEEJ
EωA
)0()0(20
00
)0(0
1112
:eléctrica Corriente
12
:carga de Densidad
WWc
W
e
e
µωε
ερ
Con polarización:
Sin polarización:
Definición Geométrica de Densidades de
Carga/Corriente en ECE2.
32
babb
ba
babb
b
aa
eh
babb
baa
eh
WW
W
EAEωBBJ
BABω
×+×−Φ+−=
⋅−⋅=
)0()0(0
)0(
11'
:homogénea Corriente
1'
:homogénea carga de Densidad
ω
ρ
×
−+
Φ−=
⋅
−=
EAωBJ
BωA
)0()0(0
)0(
112'
:homogénea Corriente
12'
:homogénea carga de Densidad
WW
W
eh
eh
ω
ρ
Con polarización:
Sin polarización:
Maxwell-Ampère deLey 1
Coulomb deLey
Faraday deInducción deLey 0
Gauss deLey 0'
02
0
0
0
a
e
a
a
a
ea
a
eh
a
eh
a
a
a
eh
a
eh
a
tc
't
JE
B
E
jjB
E
B
µ
ε
ρ
µ
ρρµ
=∂
∂−×∇
=⋅∇
===∂
∂+×∇
===⋅∇
33
Ecuaciones de Campo ECE2 –
Forma Vectorial
Las corrientes se definen como en diapositivas precedentes.
Ecuaciones de Campo ECE2 – Forma
Vectorial con Vectores de Onda.
34
( )
−=
−Φ=
=×+=∂
∂−×∇
=⋅=⋅∇
==×+−=∂
∂+×∇
==⋅=⋅∇
ωAκ
JBκEE
B
EκE
jEκBB
E
BκB
)0(
0)0(0
00
2
0
0
12
12
con
Maxwell-Ampère deLey 1
Coulomb deLey
Faraday deInducción deLey 0
Gauss deLey 0'
W
Wc
ctc
'ct
e
e
eh
eh
ωκ
µκ
ε
ρ
κ
ρ
Ecuaciones de Campo sin Corrientes
Magnéticas.
35
0,||,
12
con
Maxwell-Ampère deLey 1
Coulomb deLey
Faraday deInducción deLey 0
Gauss deLey 0
0
)0(
2
=⊥
−=
×=∂
∂−×∇
⋅=⋅∇
=∂
∂+×∇
=⋅∇
κEκBκ
ωAκ
BκE
B
EκE
BE
B
W
tc
t
Campos ECE2 en Términos de
Potenciales.
36
Forma de Maxwell con potenciales W:
( )
ωW
WB
WE
AωAB
ωAA
E
)0(
00
)0(
0
with
2
2
W
cWW
t
t
W
W
=
==Φ
×∇=
∂
∂−Φ−∇=
×+×∇=
Φ−+∂
∂−Φ−∇=
ω
ω
Ecuaciones del Campo
Electromagnético/Fotón Libre.
37
Ecuaciones de
Campo:
Ecuaciones de
Espín:
01
0
0
0
01
0
0
0
02
0
2
=+×
=⋅
=−×
=⋅
=∂
∂−×∇
=⋅∇
=∂
∂+×∇
=⋅∇
EBω
Eω
BEω
Bω
EB
E
BE
B
ω
ω
c
tc
t
tiempode frecuencia
energía
E
momento
onda devector
onda de número
0
0
=
=
==
=
==
=
=
=
=
ω
ωω
κ
κω
E
c
hh
hh
p
ωκp
κ
κω
Soluciones de Beltrami del Campo
Electromagnético Libre.
38
Ecuaciones de
campo:
Ecuaciones de
Beltrami:
JJ
ωω
AA
EE
BB
EB
E
BE
B
κ
κ
κ
κ
κ
=×∇
=×∇
=×∇
=×∇
=×∇
=∂
∂−×∇
=⋅∇
=∂
∂+×∇
=⋅∇
01
0
0
0
2tc
t
c
f
c
πωκ
κ
µ
κ
µ
2
0
2
0
==
=×∇= JJB
Número de onda:
Condiciones de contorno para un
campo libre cuasi-estático:
39
Propiedades de las Ecuaciones ECE.
• Las ecuaciones ECE en representación de potencial establecen un sistema de ecuaciones bien definido (8 ecuaciones con 8 incógnitas), que pueden reducirse por condiciones de antisimetría y restricciones adicionales.
• Existe mucha más estructura en la teoría ECE que en la teoría tradicional (Maxwell-Heaviside).
• No existe libertad gauge en la teoría ECE.
• En representación por el potencial, las leyes de Gauss y de Faraday no tienen sentido en la teoría tradicional (ver campos en rojo).
• Las estructuras resonantes (oscilaciones auto-impulsadas) se vuelven posibles en las leyes de Coulomb y de Ampère-Maxwell.
40
Ejemplos de Conexión de Espín
Vectorial.
Bobina toroidal:
ω = constante
Bobina lineal:
ω = 0
La conexión de espín vectorial ω representa la rotación del plano
del potencial A.
A
B
ω
B
A
41
Las Ecuaciones de Campo ECE de la
Dinámica.
En el modelo tradicional solamente se conoce la Ley de Newton.
Maxwell)-Ampère deLey la de eEquivalent(c
G41
Poisson) de(ecuación Newton deLey 4
néticagravitomagLey 0c
G41
Gauss) deLey la de eEquivalent(04
m
m
mh
mh
tc
G
tc
G
Jg
h
g
jh
g
h
π
ρπ
π
ρπ
=∂
∂−×∇
=⋅∇
==∂
∂+×∇
==⋅∇
42
Ecuaciones de Campo ECE de la Dinámica.
Forma Alternativa con Ω.
Campo gravitomagnético alternativo:
En el modelo tradicional solamente se conoce la Ley de Newton.
c
hΩ =
Maxwell)-Ampère deLey la de eEquivalent(c
G41
Poisson) de(ecuación Newton deLey 4
nética.gravitomagLey 0c
G4
Gauss) deLey la de eEquivalent(0c
G4
22 m
m
mh
mh
tc
G
t
Jg
Ω
g
jΩ
g
Ω
π
ρπ
π
ρπ
=∂
∂−×∇
=⋅∇
==∂
∂+×∇
==⋅∇
43
Campos, Corrientes y Constantes.
g: aceleración de la gravedad Ω, h: campo gravitomagnético
ρm
: densidad de masa ρmh
: densidad de masa gravito-magn.
Jm
: corriente de masa jmh
: corriente de masa gravito-magn.
Campos y Corrientes.
Constantes
G: constante gravitacional de Newton
c: velocidad de la luz en el vacío, requerida para obtener
unidades físicas correctas.
44
Ecuaciones de Fuerza.
Torque deLey
Lorentz de Fuerza deLey
Torsional Fuerza deLey
Newton de Fuerza deLey
L
0
LΘL
M
hvF
TF
gF
×−∂
∂=
×=
=
=
t
mc
E
m
F [N] Fuerza
M [Nm] Torque
T [1/m] Torsión
g, h [m/s2] Aceleración
m [kg] Masa
v [m/s] Velocidad de masa
E0=mc2 [J] Energía en reposo
Θ [1/s] Vector eje rotación
L [Nms] Momento angular
Cantidades físicas y unidades
45
QωQh
Ω
ωQQ
g
×−×∇==
Φ+−Φ∇−∂
∂−=
c
t0
ω
Relaciones Campo-Potencial.
Potenciales y Conexiones de Espín
Q=cq: Potencial vectorial
Φ: Potencial escalar
ω: Conexión de Espín vectorial
ω0: Conexión de Espín escalar
46
s
s
m
1][
][][2
=
==
Ω
hg 2
3
][skg
mG =
m
1
s
1
=
=
][
][0
ω
ω
Unidades Físicas.
Densidad/Corriente de Masa Densidad/Corriente„gravitomagnética“
sm
kgj
m
kg
m
mh
2
3
][
][
=
=ρ
sm
kgJ
m
kg
m
m
2
3
][
][
=
=ρ
s
m
s
m
=
=Φ
][
][2
2
Q
Campos Potenciales Conexiones de Espín Constantes
47
Condiciones de Antisimetría de las
Ecuaciones de Campo ECE de la Dinámica.
2
3
3
2
1
3
3
1
1
2
2
1
:ECEy clásicos spotenciale
para Relaciones
x
Q
x
Q
x
Q
x
Q
x
Q
x
Q
t
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂
∂
∂=Φ∇
Q
2332
1331
1221
0
:espín de conexiones
para Relaciones
ωω
ωω
ωω
ω
−=
−=
−=
Φ−= ωQ
−=
−Φ=
ωQκcW
A
cW
A
c
)0(
)0(
0)0(
)0(
0
2
2ωκ
48
Ecuaciones de Campo ECE2 de la
Dinámica
Potenciales:
( )
Maxwell)-Ampère deLey (c
G41
Newton deLey 4
nética)gravitomagLey (0c
G4
Gauss deLey 0c
G4
2
0
2
0
)(
m
m
mh
mh
ctc
G
ct
JΩκgg
Ω
gκg
jgκΩΩ
g
ΩκΩ
πκ
ρπ
πκ
ρπ
=×+=∂
∂−×∇
=⋅=⋅∇
==×+−=∂
∂+×∇
==⋅=⋅∇
( )
QωQΩ
ωQQ
g
×+×∇=
Φ−+∂
∂−Φ−∇=
2
20
ω
t
Números de onda:
49
Propiedades de las Ecuaciones ECE
de la Dinámica.
• Completamente análogas al caso electrodinámico.
• Sólo se conoce la ley de Newton en la mecánica clásica.
• La ley gravitomagnética se conoce experimentalmente (experimento ESA).
• Hay dos campos de aceleración, g y h, pero hoy día solamente se conoce g.
• h es un campo de momento angular y se mide en m/s2
(unidades seleccionadas igual que para g).
• La resonancia de conexión de espín mecánica es posible igual que en el caso electromagnético.
• La corriente gravitomagnética sólo ocurre en el caso de acoplamiento entre movimiento traslacional y rotacional.
50
Ejemplos de Dinámica ECE.
Generación de un campo gravito-
magnético h mediante un cilindro
de masa en rotación
(ley de Ampere-Maxwell)
rotación
h
Detección de campo h por
fuerza mecánica de
Lorentz FL
v: velocidad de la masa m
h
FL
v
51
Polarización y Magnetización.
Electromagnetismo
P: Polarización
M: Magnetización
Dinámica
pm
: polarización de masa
mm
: magnetización de masa
2
0
2
0
][
][
s
mm
mhh
s
mp
pgg
m
m
m
m
=
+=
=
+=
m
AM
MHB
m
CP
PED
=
+=
=
+=
][
)(
][
0
2
0
µ
ε
Nota: Las definiciones de pm
y mm
, comparadas con g y h, difieren del
análogo electrodinámico en cuanto a constantes y unidades.
52
Ecuaciones de Campo para Materia
Polarizable/Magnetizable.
Electromagnetismo
D: desplazamiento eléctrico
H: campo magnético (puro)
Dinámica
g: desplazamiento mecánico
h0: campo gravitomagnético (puro)
e
e
t
t
JD
H
D
BE
B
=∂
∂−×∇
=⋅∇
=∂
∂+×∇
=⋅∇
ρ
0
0
m
m
ctc
G
tc
Jg
h
g
hg
h
G41
4
01
0
0
0
0
π
ρπ
=∂
∂−×∇
=⋅∇
=∂
∂+×∇
=⋅∇
53
Las Ecuaciones de Campo ECE de la
Dinámica en Representación de Momento.
Ninguna de estas leyes se conoce en el modelo tradicional.
Maxwell)-Ampère deLey la de eEquivalent(2
1
2
11
Poisson) de(ecuación Newton deLey 2
1
2
1
néticagravitomagLey 02
11
Gauss) deLey la de eEquivalent(02
1
pJL
S
L
jS
L
S
==∂
∂−×∇
==⋅∇
==∂
∂+×∇
==⋅∇
m
m
m
hm
Vtc
mccV
Vtc
cV
ρ
ρ
54s
mkg
s
mkg
⋅
=
⋅
==
][
][][2
p
SL
Unidades Físicas.
Densidad/Corriente de
Masa
Densidad/Corriente
„Gravitomagnética“
sm
kgj
m
kg
m
mh
2
3
][
][
=
=ρ
sm
kgJ
m
kg
m
m
2
3
][
][
=
=ρ
Campos
Campos y Corrientes
L: momento orbital angular S: momento angular de espín
p: momento lineal
ρm
: densidad de masa ρmh
: densidad de masa gravito-magn.
Jm
: corriente de masa jmh
: corriente de masa gravito-magn.
V: volumen de espacio [m3] m: masa = integral de densidad de masa
![Natska Handbook 2018 A5 · d)*’$*’-r&0’ ,m j6$0&’(*8 =$84+&’()*-ez "#, 15&/$*’% z ek u,a),0%#$. z e^ t*/$’> ]$>#/%](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f12519ff764a54c012bbc95/natska-handbook-2018-a5-daa-r0a-m-j60a8-84a-ez.jpg)
