連続体力学と地盤力学 - Nagoya Institute of Technologyzhang.web.nitech.ac.jp/lecture/2015-nakai-Text(haifu...連続体力学と地盤力学（2015年版) (株)地域地盤

連続体力学と地盤力学（2015 年版)

(株)地域地盤環境研究所中井照夫

Islamic University of Technology

Hossain Md. Shahin

-1-

1. 地盤力学の基礎2. ベクトルとテンソルの基礎3. 連続体力学基礎（微少変形）4. 連続体力学と土質力学5. 有効応力6. 透水（１次元および２次元）7. １次元変形（１次元圧密）

教科書：「地盤力学」柴田徹編著、東京電機大学出版局

参考書：「連続体力学入門」田村武著、朝倉書店

「土質力学」山口栢樹著、技報堂出版

地盤力学

-2-

• 地球の表層材料の力学特性の解明と工学への応用を扱う学問

• 力学、材料力学

• 工学(Engineering):我々の生活に役立つ

経験則 → その理由を定性的・定量的に説明 → 普遍的な法則自己満足な学問ではない（社会のニーズ）

地盤力学（土質力学）Geotechnics (Soil Mechanics)

鉄、水はわりあい判っている。均質

しかし土は・・・・

共通ー数学の知識（線形代数、微積分・・・）

地盤力学・地盤解析学・地盤工学とは

-3-地球の内部

-4-

• 地盤防災工学– 液状化、地滑り、地盤沈下、etc

• 基礎工学– 支持力、ダム、トンネル、山留め掘削、地盤の補強、埋立、etc

• 地盤環境工学– 地下水汚染、拡散 → リハビリ、再生

いかに安全に、経済的に

地盤力学・地盤工学で扱う内容

-5-

• 三相混合体土粒子＋水＋空気

• 密度によって液体から固体まで• 粒状体としての性質• 不均質

固体液体気体

土の組成と性質

-6-土の単位体積重量

substance

water

air

volume weight

1

e

Gsw

0

Gsw・w

eSr・weSr

wGseSe

GeeGewG

eeSG

r

ws

d

ws

sat

ws

wrs

t

1

1

1)1(

1

een

1

-7-

コロイド粘土シルト砂礫石

粒度：小粒度：大

0.001 0.005 0.075 2.000 75.000 (mm)

100

6050

30

100

通過重量百分率

粒径 (log scale)D10 D30 D50

D60

(%)

50

60

10

302

1030

60 10 60

30

c

c

DDUD

DDDU

D D DD

（平均粒径）

（均等係数）

（曲率係数）

10 & 1 3 :c cU U ～良配合

土の粒度

-8-粘土と砂の違い

砂粘土

土粒子比重大略2.5～2.7 同じ

粒径大小

間隙比通常0.5～1.0程度

幅があるが砂よりは通常大

透水性大小

水分の影響

（界面活性）小大

-9-土のコンシステンシー

半個体可塑体液体固体

Sw Pw Lwパサパサ

（チーズ）

カチカチ

（ビスケット）

ベトベト

（バター）

ドロドロ

（コンソメ）

:w 大:w 小

1

P L P

n PL

P

C L

I w ww wI

II I

（塑性指数）

（液性指数）

（コンシステンシー指数）

含水ｲﾋ(w) よる土の性質の違い

-10-ベクトル

x1(e1)

x1*(e1*)

x2(e2)x2*(e2*)

P

O

cossin

sincos

21*2

21*1

pppppp

(2)

(scalar)AA

cossinsincos

(vector)

*

*

T

pTp (3)

(4)

(5)

*2

*1

2

1

pp

pp

OPp(1)

p *p

-11-ベクトルの内積

**** )()()()( iiiiiiiiiiii bbaa eebeea

iii

ijjiji

jijiji

jjjiii

ba

ba

ba

ba

)(

)(

)(

)()()(

ee

eeab

)()( baabbaab TT

iiia

aa

BN

ea )(

..

2

1

-12-テンソル(1)

x1(e1)

x1*(e1*)

x2(e2)x2*(e2*)

P

O

pTp

*

2

1*2

*1

cossinsincos

pp

pp

R

rTr

*

2

1*

2

*1

cossinsincos

rr

rr

*** pQrpQrQrp

を考える。を作る行列に作用してベクトルここで、ベクトル

-13-テンソル(2)

をテンソルと定義するる行列のように座標変換され

したがって、

QTQTTQTQ

QTTQ

pTQpQrpQTrTr

T*

*

****

*

1

)2:(

)()(

*

*

*

orderndtensorQTTQ

vectorpTpscalarAA

kljlikij

jiji

T*

*

TQTQ

pTp

-14-テンソル（３）

acbe

e

e

e

eee

eeecba

)(

)(

)(

)()(

iijj

iiijjj

jkkjkjiii

jkikjikji

kjikjikji

kkkjjjiii

acb

acb

cba

cba

cba

cba

2212

211121

2

1 )(

)(

babababa

bbaa

baba jijijijjjiii eeeeba

-15-応力テンソル(1)

x1 (e1)

x2 (e2)

1211

22

21

111221

22

a

b Aa

均一な応力場にある要素（あるいは応力の場所的違いが無視できる大きさの要素）を考え、要素の各面に働く単位面積あたりの垂直力およびせん断力を左図のように定義する。ここに、xi を法線とする面と-xi を法線とする面に作用する力は作用反作用の法則より向きが逆で大きさが等しくなる。これを行列表示して、

ij

あるいは

2221

1211σ

A点まわりモーメントのつり合いより

2112

2112 22)(2

2)(

よりbaab

したがって、 T=

-16-応力テンソル(2)均一な応力場にある三角形要素の面の法線

方向の単位ベクトルをn とし、その面の単位面積に作用する力（応力ベクトル）を t とする。ここに、BC:AC:AB=1: cos: sin=1:n1:n2 より次のつり合い式が成り立つ

jijji

T

jjijiT

nt

nt

nntnnt

)(

)(

, 22211222211111

あるいは　

よりまた、

あるいは　

すなわち

nσtσσ

nσt

したがって、 (ij) はテンソル(対称テンソル)の性質を持っていることがわかる。

x2 (e2)

x1 (e1)

22

21

1211

A B

C

2

1

tt

t

sincos

2

1

nn

n

-17-運動と変形(1)

dX

dx

dx

dx

Xx dd

Xx dd

Xx dd j

iij

jj

iji

XxFor

dXXxdx

or

dd

XxF

XXxx

)(


XICXXXXCX

XXXFFXXXXFXF

XXxxXx

dddddd

dddddddd

dddddd

T

TT

TTT

TT

TT

)(

)()(

22

ここに、

指標とする。を変形したかどうかの)(21 ICE

ijj

k

i

kij

TT

Xx

XxE

or

21

21)(

21 I

Xx

XxIFFE


　

（微少変形）

とすれば

i

j

j

iij

T

TT

T

T

Xu

Xu

or

21

21

21

21

21

εXu

Xu

Xu

Xu

Xu

Xu

IIXuI

Xu

IXx

XxE

Xux

-20-運動と変形(4)Taylor展開

22

11

21

2121

22

222

22

121

2

22

11

21

2211

),,(

!312

!21),,(

),,(

dxxfdx

xfxxf

dxdxxxfdx

xfdx

xfdx

xfdx

xfxxf

dxxdxxf

22

21

221

22

11

21

2211

11

21

211

21

2121

),(

),(|

),(

),(|

),(

),(|),(|

),(),(

dxxuxxu

dxxxuu

dxxudx

xuxxu

dxxdxxuu

dxxuxxu

xdxxuuxxuu

xxxxu

ii

iDi

iii

iCi

ii

iBi

iAi

i u

x1 (e1)

x2 (e2)

A (x1, x2) B

CD

A’B’

C’

D’

1

2

xu

2

1

xu

dx1

dx2


2

222

1

1

1

1111

112

||2

||

xu

xu

dx

uuuu DACB

同様に

i

j

j

iij x

uxu

xu

xu

DBCA

21

21

,(

1212

1

2

2

112

としてるためにテンソルとして表現す

の増加でも同じ）の減少、　の減少量を考える　


x=0 x=l0: u=ulo

1次元変形

0

110

1

0

0

0

0

lnln

..

)(

lll

ldl

BNlu

dxdu

xlubaxxu

lu

ll

l

l

lo

lo

lo

: u=0

x=l1

単純せん断

x1

x2

1212 2


x1

x2

A (x1A, x2A)B (x1B, x2B)

C(x1C, x2C)D (x1D, x2D)

uD=(u1D, u2D)

uA=(u1A, u2A)uB=(u1B, u2B)

uC=(u1C, u2C)

222122

121111

212,1 )(

cxbxaucxbxau

cxbxaxxu iiii

•△ABCおよび△ACDのひずみは？

•□ABCDのひずみは？・・・ △ABCとACDのひずみを面積比で平均化

-24-つり合い式(1)応力が場所的に滑らかに変化する応力場=ij(x1, x2)を考え、単位volume あたりの物体力をF=Fi (x1, x2)とする.ここで、(x1, x2)でn=niを法線とする面に作用する応力ベクトルをt=tiとすれば

x1 (e1)

x2 (e2)

jiij

kikjij

kkijij

jjii

T

nn

nnt

ee

eeet

nσt

)(

)()(

)()(

2221212

2221212

2121111

2121111

eeteneeten

eeteneeten

では

では

では

では

したがって

111e212e

)( 212 e

)( 111 e

-25-

x1(e1)

x2(e2)

A(x1,x2)

22

2

111

1

1111

dxx

dxx

22

2

121

1

1212

dxx

dxx

21

1

2222

dxx

21

1

2121

dxx

22

2

1212

dxx

22

2

1111

dxx

22

211

1

2121 2

dxx

dxx

22

221

1

2222 2

dxx

dxx

B(x1+dx1,x2)

C(x1+dx1,x2+dx2)D(x1,x2+dx2)

dx1

dx2(F1,F2)

点Aでの応力をとして要素ABCDに働く応力ベクトルと物体

力ベクトルの大きさと方向を示すと

2221

1211

σ

つり合い式(2)

-26-つり合い式(3)

0)(

0

0

022

22

22

22

1

12

2

12

21

1

11

211

11

1

212112

2

211

1

2121

22

2

11112

2

2

111

1

1111

1

ji

ij

iF

x

Fxx

x

Fxx

dxdxF

dxdxx

dxdxx

dxx

dxdxx

dxdxx

dxx

x

両式をまとめれば

方向のつり合いは同様に

方向のつり合いは

-27-つり合い式(4)

z=z+dz

0

0)()(

dzd

dzdzdzd eee

)(

:

zlWlWz

lzatWconditionboundary

cz

dzd

z=zz(e)

)( e

e)( dzdzd

e

1

eW

z=l

1次元問題

-28-つり合い式(5)圧縮を正とする場合（e.g.土質力学）

x1 (e1)

x2 (e2)

)( 212 e

212e

111e

応力ベクトルの向きを逆に考えればよいから

)(

)())((

))((

)()()(

2221

1211

22112

1

jiij

ikkjij

kkijij

jiij

ii

nn

n

ttttt

ee

eeet

eeσ

eeet

図のようにijの各成分の方向を引張りを正とする場合の逆に考えればよい。

)( 111 e

-29-

z=zz(e)

e

))(( e dzdzd

e

1

eW

z=H

z=z+dz

z=0

つり合い式(6)1次元問題(圧縮を正）

0

0))((

dzd

dzdzdzd eee

WzzatW

conditionboundarycz

dzd

0:

-30-有効応力(1)-1次元1

Pzz

0z

000

w

B

A

pWW

B

A

-31-

P

0z

zz

有効応力(2)-1次元

01

1

w

twrs

B

twrs

A

p

zzeeSGW

zzeeSGW

z

1

B

A

-32-有効応力(3)-1次元

P

0z

zz

z

1

B

A

zpz

ze

G

ze

ze

GW

ze

V

zzeeGW

ww

wsat

ws

wws

B

s

satws

A

)(1

11

11

11

1


P

0z

zz

z

1

B

A

)()(

11

11

1

1

www

wsat

ws

wws

B

wwsat

wwws

A

hzpz

ze

G

ze

ze

GW

hz

hzeeGW

wh wh


P

0z

zz

z

1

B

A

qzpz

ze

G

ze

ze

GW

qzqzeeGW

ww

wsat

ws

wws

B

satws

A

)(1

11

11

1

q q

0t


P

0z

zz

z

1

B

A

zpqz

qze

G

qze

ze

GW

qzqzeeGW

ww

wsat

ws

wws

B

satws

A

)(1

11

11

1

q q

t

-36-有効応力(7)WA= と考えられるので, WB=’ とすれば常に

wp 'WB=’ （有効応力）は土を連続体としてみたときの土粒子間に働く力を平

均化したものであり、土の変形や破壊が土粒子間の相対変位により起こるとすれば土の変形・強度特性がこの有効応力に支配されるのがわかる。

ここでは一次元で有効応力式の説明をしたが、多次元であっても垂直応力成分について成り立つことは明らかである。また、間隙水が静止あるいゆっくりした動きしかしないときは等方圧となるので、せん断応力成分については

' したがって、多次元では

ijwijijw porp '' Iσσ

また、水圧ｐｗは

esw uup 静水圧過剰間隙水圧

変位と混同しないかぎり、pwのかわりに水圧としてu を使うこともある

-37-有効応力(8)

+

2相混合体

土（連続体）水（連続体）

のように考える。つまり土の変形も水の流れもそれぞれ空間的に連続と考える（1つの場所が2つのスクリーンを持っていると考えればよい）。そして土の変形・強度は‘で水の動きはuによって決められる。

実際の土

-38-1次元透水問題(1)

)1(0 F

つり合い式（応力は引張りを正）

)3(sin

sin

)2(

wsc

wsc

avFFF

FavF

u

v

)( vv n

土粒子間を流れる水は土粒子との粘性抵抗により流れの反対方向に抵抗力を受ける。この抵抗力は速度に比例する（ニュートン粘性）。これを空間的に連続な水の動き(連続体としての速度 v )に置き換えると単位体積あたりの抵抗力（これは物体力の一つ）Fは

avF c

水圧uは圧縮を正として、単位体積あたりの物体力をFとすれば

x1

x2

v


t

w

w

w

w

w

w

hk

Cxua

Cua

ua

v

avu

2sin

sin1

0sin

(1),(2),(3)式より

k ph eh

iept hhh

Darcy 則

:

: (total head): (pressure head): (elevation head)

t

p

e

k

hhh

透水係数

全水頭

圧力水頭

位置水頭

-40-

x1

x2

v

vv d

d

( )

0 .

v v

v d A d A

dvd

dv v constd

要素からの流出量は

湧き出しや蒸発がなければ、

2

20 0t t

t

dh d hdv d kd d d d

h a b

1次元透水問題(3)

A

-41-

0 (1)F

有効応力式

圧縮応力（全応力）を正とすれば、つり合い式（土粒子部分＋間隙水）

' (2)u

間隙水圧

2( sin ) ( ) (3)w t w w t wu h c h x c 動水勾配

(4)thi

(1), (2)式より

' 0u F

x1(e1)

x2(e2)( ) e

d

d


-42-

' sin 0

sin

tw w

sat

h F

where F

(3)式を代入してかきくだすと

(4)式を用いてまとめると

' ( ) sin 0

' ( )sin 0

tw sat w

w sat w

h

i


-43-１次元透水問題(6)

z(e)

z=0

下向きにz軸をとる鉛直方向の1次元問題ではとして

idzd

idzd

wwsat

wwsat

)('

)(' eee

'')'(' cziw

より0':0 uz

ziw )'('

したがって

piping)(0'' uiw

の時

90

-44-２次元透水問題(1)1 2

11

22

1 1

2 2

1

2

( 2

00 (1)

0

0

(2)

w

w

u u x xu Fx uoru Fx

v avv av

avav

c s

c s

Fx

v F F

F F F

間隙水圧を , )とした時の次元でのつり合い式は

v

)( vv n

土粒子間を流れる水は土粒子との粘性抵抗により流れの反対方向に抵抗力を受ける。この抵抗力は速度に比例する（ニュートン粘性）。これを空間的に連続な水の動き(連続体としての速度 v )に置き換えると単位体積あたりの抵抗力（これは物体力の一つ）Fcは

a cF v

x1 (e1)

x2 (e2) v

-45-２次元透水問題(2)

ix

v khkorxhkCxu

xav

Cxuxax

ua

v

Cxuxa

Cuxax

ua

v

avxu

avxu

t

i

t

wi

wi

w

ww

w

w

w

w

w

2

222

2

21

111

1

22

11

1

1

0

0

(1),(2) 式より

k ph eh iiept hhh

Darcy 則

2

1)(

xhxh

hhgradxh

t

t

tti

t


x1 (e1)

x2 (e2)

),( 21 xxvv

A B

CD

1dx2dx

BCからの流出量：

),( 21 xx

22

2

11

1

112

2

21

1 22dxdx

xvdx

xvvdxdx

xdx

x

1evvv

ADからの流出量：

22

2

112

2

2 2)(

2dxdx

xvvdxdx

x

1evv

DCからの流出量：

122

21

1

2212

2

1

1 22dxdx

xvdx

xvvdxdx

xdx

x

2evvv

ABからの流出量：

11

1

221

1

1 2)(

2dxdx

xvvdxdx

x

2evv

境界からの流出量の総和が要素からの湧出量になるので、単位時間に単位体積から湧出する量をとすると、

-e1

e2

e1

-e2

21212

2

1

1 dxdxdxdxxv

xv

-47-２次元透水問題(4)水を非圧縮と考え、蒸発や湧きだしがないとすれば =0 より

002

2

1

1

i

i

xvor

xv

xv

2

2

1

1

2

1

21

2

121

xv

xvdiv

xv

x

xxx

vv

vvv

T

i

i

i

vv

ee

eev

21

21

連続式

00

)(,0

ttT

tT

tT

hhhk

hk よりvv

Laplaceの式

022

2

21

2

xh

xhor tt

1次元では： .0 constvdzdv

連続式 Darcy則

1次元では： bazhdz

hdt

t 022

-48-

33

2121

ee

eeee

vv

012

2

21

22121

xxh

xxhk

xh

xh

xxk

hkhkrot

tt

tt

tt

したがってDarcy則にしたがう流れは渦のない流れ

0eeeeeeeeee

e

eeeev

2211

312321

3

2121

,,

)2(2

1

1

2

2121

Dxv

xv

vvxx

rot

e1

e2

e3

２次元透水問題(5)


x1 (e1)

x2 (e2)cht

),( 21 xx

),( 2211 dxxdxx

2

1

dxdx

2

1

xhxh

t

t

cdxxhdx

xhxxhdxxdxxh

cxxh

tttt

t

22

11

212211

21

),(),(

),(

0,

0

2

1

21

22

11

dxdx

xh

xh

dxxhdx

xh

tt

tt

kv

Darcy則にしたがう流れ（流線）は等ポテンシャル線に直交する方向


x1 (e1)

x2 (e2)

dd

d’

d’

d”d”

h2

h1

Q

Q’

Q”

正方形flow net の性質

22

11

""

"""

"

hkddhkdvQ

hkddhkvdQQQ

21 hh

Q

hkddhkQ

11 ''

'

したがって、全体での流量は

d

ftt

d

ttff N

Nhhkd

dNhh

kNQNQ )1()2()1()2(


x1 (e1)

x2 (e2)

0

j

i

ij Fx

ijは圧縮を正とすると

)1(00

j

i

ijj

i

ij Fx

Fx

有効応力式

つり合い式（土粒子部分＋間隙水）

)2(' ijijij u

間隙水圧

)3()( 2 cxhu wtw 動水勾配

)4(i

ti x

hi

(1), (2)式より

0'

jij

ii

ij Fxu

x

-52-

0''

0''

222

22

1

12

112

21

1

11

Fxh

xx

Fxh

xx

wt

w

tw

２次元透水問題(9)(3)式を代入してかきくだすと

(4)式を用いてまとめると

jwj

i

ij iFx

*'

0

-sat

wsat

0

2

1

xhxh

t

t


x1 (e1)

x2 (e2)

x1’(e1)

x2 (e2)

jijj

tijii

i

ti ikx

hkvkixhkv

等方性異方性

2

1

2221

1211

2

1

ii

kkkk

vv

異方性の軸の方向を(x1, x2)方向にとり、

k11=k1, k22=k2とすれば

222

111

xhkv

xhkv

t

t

軸を変換すればのようにここで 111

21' xxk

kx

1dx

2dx

'1dx

2dx


''

'' 1

2111

21

1

1

11

111 x

hkkxh

kkk

xx

xhk

xhkv tttt

連続式より

212

2

1

1

1

121

2

2

1

1 ''

dxdxxv

xx

xvdxdx

xv

xv

1

2

kk

0''' 2122

2

21

2

212122

2

21

2

2

dxdxxh

xhkkdxdx

xh

xhk tttt

て考えられる。の等方性透水問題とし

の座標に変換すれば、異方性透水問題では、

21

211

21 ),'(

kkk

xxkkx

-55-

l

W

kW

l

A 2l

A2

0 2/0 2/0

ElAW

lE

AW

E

弾性体-1次元(1)

-56-

u

kS

SW

uW

1k

2k

21

21

222

111

u

WSS

kSkS

1

1S

2

2S

S

k x


-57-

1k

2k

3k

1nk

nk

1W

2W

3W

2nW

1nW

1u

2u

3u

2nu

1nu

111 kS

222 kS

333 kS

111 nnn kS

nnn kS

δkS

nnn

iii

k

k

S

SnikS

111

000000

),,1(バネの特性式：


-58-

WSA

1

2

1

1

2

1

11

232

121

1100110

0110011

nn

n

nnn

W

WW

SS

SS

WSS

WSSWSS

つり合い式：


-59-

δuB

n

nn

nn

nnn

u

uu

uuu

uuu

1

2

1

1

2

1

1

112

221

11

1011010

0101101

変位の適合条件式：

TBA


-60-

δkSδuB

WSBSA T

WukBB TK

WKu 1

δSBuSuSBuW ,,,, T外部仕事内部仕事

),()()()(),( yxAyxAyAxAyxAyx TTTTT

cf


-61-I

I

II II

I

I

II II

III

II

E

E

1

IIII

III

E

E

1

IIIII

IIII

EE

EE

1

1

)


-62-

s

0

t

2III 11

12

22 2

v

2

0

2d

2III 11

212

12

22

tGE

sKE

IIIIIId

IIIIIIv

12

)1(2

12

)1(2


-63-

0

t

2IsIIs 11s

12s

22s s

2

0

2d

2III' 11'

2' 1212

22' '

ijv

ijijkk

ijij

ijijijkk

ijij ss

22'

2

ijij

vkkkk

GsKsorK

'22

ijkkijijkkij G

21

21

21

ijkkijijkkijij EEKGG

141

41

21

テンソル表示


-64-

IIIIIIIII

IIIIIIII

IIIIIII

EEE

EEE

EEE

1

1

1

3D弾性式:

21,

21

21

2)1(2

13

)21(3

IIIIIIII

IIIIIIIIII

IIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIv

GG

GE

pK

E


-65-

ijv

ijijkk

ijij

ijijijkk

ijij ps

33'

3

ijij

vkkkk

kkkk

Gs

KKporK

'23

3

3D弾性式（テンソル表示）:

ijkkijijkkijij EEKGG

191

61

21

ijijkkij GGK 232


-66-地盤の 1 次元変形(1)-材料特性

0e

1

0'0'

e1

''' 0 e

0

0

0 11 eee

ee

virginal loading

unloading & reloading

'

e

0e

0'

virginal loading


'ln

e

0e

0'

1

1

A

D

CB

A

B

C

D

地盤の材料特性

-67-地盤の 1 次元変形(2)-材料特性

)434.0(''ln

11 000cCee

e

:)('ln loadingvirginalundere の直線関係より

''

11 0

de

d

増分形になおすと

により変化（非線形）はもしくはまた、

に相当もしくは多次元ので１次元の

'

11

KEKE

mv

virginal loading


ce

c

pec

ddd

dddd

:)0or( reloading & unloading

:)0&( loading virginal

(a)

(b)

''

11

,''

11 00

de

dde

d pe

ではここに、土（１次元）

（弾塑性）

-68-地盤の 1 次元変形(3)-境界値問題

z=zz(e)

e

))(( e

dzz

e

1

z=H

z=z+dz

z=0 )1(0

0))((

dzd

dzdzdzd eee

つり合い式：応力、ひずみは圧縮を正とする

)2(

dzduEE

み～変位関係より：応力・ひずみ式とひず

eq

eu

e

dzzuu

)3(0

)2(),1(

2

2

2

2

Edzud

dzudE

式より：

積分定数

式を解いて：

:,

)4(21

)3(

2

ba

bazzE

u

-69-地盤の 1 次元変形(4)-境界値問題例題(1)

)(0:(:0

境界

境界）

DirichletuHzNeumannqz

HqHbbaHHE

uHz

qaaqqz

22

21

2100:

:0

より

より

qzEEqz

Eqz

Edzdu

HqHzqzE

u

22

21

21

-70-地盤の 1 次元変形(5)-境界値問題

0:0:0

uHzuz

例題(2)

HaaHHuHz

buz

210

210:

00:0

2

より

より

z0z

Hz

2

2

221 2

HzE

HzEdz

du

zHzE

u

-71-地盤の 1 次元変形(6)-有限要素解析

12

・・・・・

①

②

i

jK

m N

0z

)(izz

)( jzz

Hz

)(izz

)( jzz

i

j

i

j

KL

vuuvuvuvvuuv '''')'(

0

,)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

jz

izjz

izjziz

jz

izdzudz

dzududz

dzdu

u

つり合い式より：を仮想変位として

z

iq

jq

z

1


)(

)(

)(

)()()()()(

)(

)(

)(

)(

)()(

jz

izj

iji

jz

iziijj

jz

izjz

izjziz

dzuqq

dzuuu

dzuudz

( ) ( )

( ) ( )( )

,

( ) 1

1 1

j ii i j j

K

j i i i T Tii i

jK K K

j i T Ti

jK K K

u az b

az b az b aL

z z z zu z z

L L Ldudz L L L

N δ δ N

B δ δ B

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

jz

izTTT

jz

izjz

izTTjz

iz

dz

dzEdzEdz

Nδqδ

δΒBδ

jq iqTδ q


tq

NδBB

2

2

2

2

2

2

11

0

2

2

0)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

Kj

Ki

K

K

j

i

KL

K

K

j

i

KL

K

K

j

ijz

iz

K

i

K

i

j

iTjz

izj

ijz

izT

Lq

Lq

L

L

qq

LL

LLL

qq

dL

LLLL

qq

dz

Lzz

Lzz

qq

dzqq

dzE

δK

δBB

KT LE

tqδK

jt

it

j

i

KK

KK

K

KK

T

qq

LEL

LLE

L

LLE

tqδ

BBK

,

111111

1

1

)(

ここに：

( )iz z L


mt

jt

it

t

m

j

i

LE

LE

LE

LE

LE

LE

LE

LE

q

qq

q

mji

KKKK

KKKK

11

11

11

1

12

i

j

m

K̂ δ̂ tq̂t1 qKδ ˆˆˆ Bδ E

とすればよい

行）はの行（で既知変位とするとそなお、

*1*

ll

ll l

-75-１次元圧密(1)

H

q

z

1

0z

Hz

zz

dzzz

0eu

0

zue

iiv

ijwijijw

i

j

j

iij

klijklij

ji

ij

i

i

w

e

w

s

w

w

w

wept

i

ti

t

pp

xu

xu

zu

DE

Fxz

xv

zv

uupcxphhh

xhkv

zhkv

)8(')7('

21)6(

)5('

0)4(0

)3(

)2(

)1(

2

1x

2x

)(

)(0

2

2

cxzu

cxzz

wws

したがって、

　

と、を水頭の基準面とする

-76-１次元圧密(2)

の圧密方程式）（

より、瞬間載荷では

式より、したがって

式より、

式より、

式より、では

TerzaghizuEku

qconstq

qzuEku

Eu

Eq

Ep

EE

zuk

zh

zk

zv

qconst

e

we

e

we

ew

e

w

t

2

2

2

2

2

2

)0(.

)8()7(

')5(

)2()1(

)3()4(.

vwv

cm

k

-77-１次元圧密(3)

（三笠の圧密方程式）

式より、したがって　

式

式

式より、

式より、　では

2

2

2

2

)8(

)5(

)7('

)2()1(

)3()4(.

zc

zEk

zEk

z

zzk

z

zzpk

z

zupk

z

zuk

zzhk

zzv

qzconst

v

w

ww

ww

ww

w

sw

w

e

w

t

-78-１次元圧密(4)

H

q

z

0z

Hz

0eu

0

zue

0

1

0eu

0

eu

vv cc 1vc

1

q

2

2

zuc

tu e

ve

2

2

e

v

e uTu

2

2

22

2

2

2

1

,

evev

ev

ev

v

evv

v

ee

vv

uHcu

Hzc

zu

zc

zuc

Tu

Hc

tT

Tu

tu

HtcT

Hz

とおけば

-79-１次元圧密(5)qu

uu e

e

e 0

00

1

1

0vT

vv TT

1

1 10

0

duu

U ee

qHe

CHe

S cf

0

010

000

''''log

1''ln

1

fSUS

cf. 教科書p.35 図2-9

cf. 教科書p.36 図2-10 &表2-3

2, H

tcTHz v

v

-80-１次元圧密(6)-有限要素解析

###

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(0

)(),(

)()(

)(

'

qδK

qδC

CK

C

δBδB

CKqBδBB

BδδBBδ

Bδ

qδNδqδ

t

t

t

cdVu

ba

bLdzdzdV

auLLE

dzudzE

dzu

dzdz

eT

T

Kjz

izjz

iz

eKT

KT

jz

iz eTTjz

izTT

jz

iz eTT

Tjz

izTTTjz

iz

式をまとめて、

の増分は、一方、要素の体積変化

したがって、

左辺

考える増分形で仮想仕事式を

12

・・・・・

①

②

i

jK

m N

0z

)(izz

)( jzz

Hz

z

1

K-1

K+1

q


)(Keu

)1( Keu

)1( Keu

i

jK

1K

1K

KL

1KL

1KL

1

)(

0)(

*,*

*12

*12

*1

*12

2*

22*

2

)(

11

111

1

)1(1

)1(1

)(11

1

)1()(

1

)1()(

d

dV

LkkLL

kkL

utLL

k

utLL

k

utLLLL

k

tLLuu

LLuukdV

DarcyKt

KK

KKK

K

KK

KeKKw

K

KeKKw

K

KeKKKKw

K

KK

KeKe

KK

KeKe

w

K

排水条件ではまた、瞬間載荷時や非

ここに、

則より、

の体積変化の増分はにおける要素時間間隔


)(

&0*0/)1(

0&0*0)1(

)(

)()1(1

)1(1 e

uuLzuKK

uLuKK

d

KeKeK

e

KeK

e

き、の非排水境界とするとの境界がと要素要素

、の排水境界とするときの境界がと要素要素

件の与え方：式における水理境界条

011

1

1

0

)(

#

#

KK

KK

TLE

LE

LE

LE

c

CCKK

K を書き下すと、式の

行i

)( fj行

行K

列i

列j

列K


###

#

qΔδΔK

K

KqΔ

KK

ˆˆˆ

)(

)(

)(

ˆ

ˆˆ

ˆ

1

1

)(

)1(

1

#

#

##

g

dV

dVq

q

u

u

N

mt

t

Ne

e

m

を設定する。をつくるとともにせてまた、境界条件に合わ

を作るックスより全体の剛性マトリをたし合わせることに各要素の

.)(*1

)(*)(

とすればよい

行）を式のその行（、ではが与えられる節点既知変位増分なお、

hlgl

ll

ll


の入力・設定の解析条件および

初期条件、境界条件等要素分割、

t

をつくる ## KK̂

を設定をつくるとともに、

、水理）から境界条件（変位、荷重## KqΔ ˆˆ

の計算### qΔKδΔ ˆˆˆ 1

を計算各要素の ',

を求める

時の各節点、各要素の

'Δ|'|',Δ||Δ||,||

tttttt

etettettt

εεεuuu

ttΔδδδ

間隔で増分計算t

非線形:E

線形:E

終了

-85-１次元圧密(11)-圧密挙動'ln

e

構造を持った自然堆積粘土

練返し正規圧密粘土

過圧密粘土

理論

実際

理論

実際

t

s

s

tln

yp

-86-１次元圧密(12)-圧密挙動まとめ

•現状は最終沈下量はe～ln pの直線関係とpyを使って、沈下速度はcvを一定とするTerzaghiの圧密式で決めている。

•この場合の問題点と限界は・・・・・・・。

漸増載荷

応力・ひずみ関係の非線形性

多層地盤

その他

•有限要素解析（土・水連成解析）を行えば、上述の問題点を解消するともに、沈下量と速度は同一の考え方から決められる。

•今後の課題は、理想粘土（練返し粘土）と構造を持った自然体積粘土の応力・ひずみ挙動の差と多次元の圧密問題－地盤工学で解説。

•いずれにせよ圧密問題も、つり合い式、ひずみの適合条件（連続式）、応力・ひずみ式を考え境界値問題として解くことは他の問題と同じ。

-87-

1. 多次元での地盤材料（粘土、砂）の変形・強度特性2. 弾性論と弾塑性論3. 弾塑性論の地盤工学への適用4. 多次元での地盤の変形解析5. 地盤の変形と破壊6. 地盤工学の・・・・・

教科書：「地盤力学」柴田徹編著、山海堂

参考書：「土質力学」山口栢樹著、技報堂出版

「地盤の支持力」柴田徹,関口秀雄著、鹿島出版会

地盤解析学・地盤工学

-88-応力およびひずみパラメータ(1)２次元

I

IIO

),(P III )(

..

III

DS

N

)(21NP

21

)(21ON

21

III

III

t

s

I

II

I

IIO'

),(P' III )( III

N'

IIId

IIIv

P'N'2

N'O'2

-89-応力およびひずみパラメータ(2)３次元

I

IIIIIO

),,(P IIIIII

)(..

IIIIII

DS

N

(comp)

)()()(2

1NP23

(comp))2(31

)(31ON

31

222

IIII

IIIIIIIIIIII

IIII

IIIIII

q

p

I

III IIIcomp

I

IIIIIO'

),,(P' IIIIII

)( IIIIII

N'

(comp))(32

)()()(32P'N'

32

(comp)2N'O'3

222

IIII

IIIIIIIIIIIId

IIII

IIIIIIv

-90-弾性体(1)-２次元

s

0

t

2III 11

12

22 2

v

2

0

2d

2III 11

212

12

22

IIIII

IIII

EE

EE

1

1

tGE

sKE

IIIIIId

IIIIIIv

12

)1(2

12

)1(2

-91-

IIIIIIIII

IIIIIIII

IIIIIII

EEE

EEE

EEE

1

1

1弾性体(2)-３次元

qGG

GG

GE

pK

E

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIIId

IIIIIIII

IIIIIIIIII

IIIIIIIII

IIIIIIIIIIIIv

131)()()(

21

32

)()()(32

21,

21

21

2)1(2

13

)21(3

222

222

-92-地盤材料の変形・強度特性(1)-砂

2/0.2 cmkgfp 2/0.2 cmkgfⅢⅠ

ⅢⅢ

0 5 10 15

-2

0

2

4 Ⅰ-

Ⅲ

d(%)

v(%

)

0

-8

-4

dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)

0 5 10 15

-5

0

5

10

Ⅰ-

Ⅲ

d(%)

v(%

)

0

-8

-4

dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)

0 5 10 15

-1

0

1

2

q/p

d(%)

v(%

0

-8

-4

dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)

0 5 10 15

-1

0

1

2

q/p

d(%)

v(%

0

-8

-4

dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)

p

q f.l.

p

q f.l.

CSL

NCL

lnp

e

CSL

NCL

lnp

e

lnp

e

-93-地盤材料の変形・強度特性(2)-正規圧密粘土(OCR=1.0)

-5

0

5

10 -10

-5

0

50 5 10 15

p=2.0 Kgf/cm2

p=4.0 Kgf/cm2

p=6.0 Kgf/cm2

d (%)

Fig: Effect of confining pressure (OCR=1.0)

-1

0

1

2 -10

-5

0

50 5 10 15

p=2.0 Kgf/cm2

p=4.0 Kgf/cm2

p=6.0 Kgf/cm2

d (%)


p

qCS

L

p

qCS

L

CSL

NCL

lnp

e

CSL

NCL

lnp

e

lnp

e

-94-地盤材料の変形・強度特性(3)-OCR=2.0

-3

0

3

6 -10

-5

0

50 5 10 15

p=1 pmax

=2p=2 p

max=4

p=4 pmax

=8

d (%)

OCR=2.0

-1

0

1

2 -10

-5

0

50 5 10 15

p=1 pmax

=2p=2 p

max=4

p=4 pmax

=8

d (%)

OCR=2.0

CSL

NCL

lnp

e

CSL

NCL

lnp

e

lnp

eq

p

-95-地盤材料の変形・強度特性(4)-OCR=4.0

-2

0

2

4 -10

-5

0

50 5 10 15

p=1 pmax

= 4p=2 p

max=8

d (%)


-1

0

1

2 -10

-5

0

50 5 10 15

p=1 pmax

=4p=2 p

max=8

d (%)


p

qCS

L

p

qCS

L

CSL

NCL

lnp

e

CSL

NCL

lnp

e

lnp

e

-96-地盤材料の変形・強度特性(5)-OCR=1.0, 2.0 &4.0 ; p’=2.0kg/cm2

-2

0

2

4 -10

-5

0

50 5 10 15

OCR=1OCR=2OCR=4

d (%)

Fig: Effect of Overconsolidation (p=2.0 kgf/cm2)

-1

0

1

2 -10

-5

0

50 5 10 15

OCR=1OCR=2OCR=4

d (%)

Fig: Effect of Overconsolidation (p=2.0 kgf/cm2)

p

qCS

L

p

qCS

L

CSL

NCL

lnp

e

CSL

NCL

lnp

e

lnp

e

-97-地盤材料の変形・強度特性(6)-OCR=2.0, 4.0 & 8.0 ; py=8.0kgf/cm2

-3

0

3

6 -10

-5

0

50 5 10 15p=4 OCR=2p=2 OCR=4p=1 OCR=8

d (%)

Fig: Preconsolidation pressure = 8.0 Kgf/cm2

-1

0

1

2 -10

-5

0

50 5 10 15p=4 OCR=2p=2 OCR=4p=1 OCR=8

d (%)

Fig: Preconsolidation pressure = 8.0 Kgf/cm2

p

qCS

L

p

qCS

L

CSL

NCL

lnp

e

CSL

NCL

lnp

e

lnp

e

-98-地盤材料の変形・強度特性(7)-正規圧密粘土

)'constant under '

increasingfor ('

1

)'

constant under ' incresingfor (''ln

:clay edconsolidatnormally

0

0

0

sst

stD

ee

sts

ss

eee

v

'st

0

v

d

'st

e

e

'ln s

M


Desseee

orst

Dss

eee

v

)1(''ln

)'/(''ln

11

00

0

000

wGeS sr

t

's

I

II

ev 1 volumespecific where


's

's

t

e

e

'ln s

)CSL( M

NCL

CSLNCL

NCLCSL

t

's

MDe )1( 0

'st

01 ee

v

DM

DM

e

0)( line ionconsolidat normal :NCL)

'( line state critical :CSL

M

st

'constant under s(1963) tcoefficiendilatancy sShibata':D

0

const.e

const.

const.

1

-101-地盤材料の変形・強度特性(10)-正規圧密土

soil edconsolidatnormally for '

2D)for ( 3D)for ( where

2:sin11

2

2'

comp:sin3

sin6213

32'

CS

CSII

I

CSIII

ICS

CSCS

CS

III

III

CS

CS

CS

CS

CS

IIII

IIII

CS

R

DRR

st

RR

pqM

's

t'

III0

s's

M tan'sin

-102-地盤材料の変形・強度特性(11)-正規圧密土

testconstant and test 'constant under of variationand paths stress IIIpe

-103-地盤材料の変形・強度特性(12)-正規および過圧密土stresses confiningdifferent under soil OC and soil NC ofbehavior strain-stress

)ln()(''

ln)(0 OCRpp

d y

-104-地盤材料の変形・強度特性(13)-正規および過圧密土ratio voidinitialdifferent withsoils ofbehavior strain-stess

-105-地盤材料の変形・強度特性(14)-正規および過圧密土pressure confining initialdifferent with and ratio void initialdifferent with soils of paths stress undrained

-106-多次元での有効応力

qqupp

tt

usus

uu

uuu

DDuu

IIIIII

IIIIII

IIIIII

IIII

II

ijijij

''

:3D

)(21)''(

21'

)(21)''(

21'

:D2

00

''''

:2D in expressionmatrix

'''

3&2:'D1:'

2221

1211

2221

1211

's

tmo

III'0

s's

2D)at (tan'

sin st

mo

s

t

s

I'II

u

u

-107-弾塑性論(1)-１次元

c

c

y

dE

dorE

11:near)elastic(li

rigid-plastic:0 ( 0 or 0)

( 0 & 0)

c

pcp

d f dfdd d f dfh

elasto(linear)-perfectly plastic:1 ( 0 or 0)

1 ( 0 & 0)

ec

e pcp

d d d f dfE

dd d d d f dfE h

y y

elasto-strain hardening (softening) plastic:1 ( 0 or 0)

1 1 ( 0 & 0)

where ( )

ey

ye pyp p

p p pp p

d d d f dfE

d dd d d d d f dfE h E h

H HH d d h

-108-

yA

B

condition) yield(

or0

荷基準これを判定するのが負

とすれば、つまり、時がある。は発生する時としない塑性ひずみ増分

はいつも発生するが、弾性ひずみ増分

弾塑性論では

p

p

p

e

pe

hd

dd

Edd

ddd

弾塑性論(2)-１次元

O

A (strain hardening)0 (if 0 or 0)

(if 0 & 0)

(strain softening) 0

py

pyp

d f dfdd f dfh

d

点のようにひずみ硬化時は

と判断できるが、Ｂ点のようにひずみ軟化時では弾性域でも弾塑性域でもとなるので

ひずみ硬化時の基準では判断できない。

そこで、ひずみ軟化時にも適用可能な負荷基準として次の基準を設

0 (if 0 or 0)

(if 0 & 0)

( 0) 0 0( 0) 0 0

py

pyp

p

p

d fdd fh

h dh d

ける。

つまりひずみ硬化時はなので

ひずみ軟化時はなので

-109-

( )( ) (1)( ) 0 (2)

(2)

0 (3)

e p

p

pp

d E d E d dE d

f H

Hdf d d

式より

弾塑性論(3)-１次元

ph

)4(

)()(

p

p

p

hEdE

dEhEhdE

弾塑性式の陽な表示

dhE

hE

dhE

EE

dhE

EdEd

p

p

p

p

)1(

)(

)4(),1( 式より

-110-弾塑性論(4)-１次元

0

0

0 11 eee

ee

e

p

＝＋

1ph

ln

ln

e

ln

p0 0 0

粘土の1次元圧密

＝＋ 11

01 e

01 e

01 e

1

1E

ln

e

0

0e

-111-弾塑性論(5)-２次元

ij

( ) 0( )

( , ) 0

ijp

ij

f F HH H

f F s t H

3D (2D) 1D

0( )

yp

y

fH

ij

pijd

0f

pij

ij ij

pv

pd

f Fd

FdsFdt

pij

eijij ddd

pe ddd

pd

-112-弾塑性論(6)-２次元 1D

dtE

d

dsE

d

dE

dE

d

ed

ev

ijkkijeij

)1(2

)1(2

1

dE

d e 1

3D (2D)

( ) 0

( )

( )

( ) 0

0

ij

ij ij

ij ijij

pij ij ijp

ij ij

pij ijp

ij ij

ij

ij ijij ij

p p

pklkl

pv

f F H

f df F d H dHFF d H dH

F HF d H d

F Hdf d d

F

F Fd ddF

H F h h

F Fds dts t

H

p p

pd

F Fds dt dFs tF H F h hs t

0

( )

0

y

p

pp

p

p

f

H

Hdf d d

d dH h

-113-弾塑性論(7)-２次元

( )

,

( ) ( )

loading condition:

0 ( 0

p

p

pp

p

d d d dF dFdh

F F F fh d d d d

F Fd d

F F hh

FFd d

F Fh

d f or

e e e p

p

e p e

e

e

e

e

e

p

σ D ε D ε ε

σσε

σ

σ D ε ε D εσ σ σ σ

D ε σσ σ

Dσ σ

Dσσ D I ε

σ Dσ σ

ε 0)

( 0 0)Fd f and

pε

σ

GK

or

EorD

oror

oror

tsoror

where

eijkl

ij

d

vij

ij

00

2)1(000101

1

1001

100010001

',

2

12

22

11

12

22

11

eD

I

ε

σ

弾塑性式の陽な表示

-114-弾塑性論の土への適用(1)-２次元正規圧密粘土

0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

s'

tCSL

0f 0

0.1'0.22.01.04.0

0

0

0

pv

seD

0 00 0

0 0

0 0

0

0

0

'ln ( ' ' & 0)1 ' '

'ln1 '

'ln1 ' '

elastic components:1 2(1 ) 1' ' '

1 '1 2(1 ) 1 1

1 ' 12(1 )(1 ) '

2(1 )

pla

v

ev

pv

ev

ed

s tD e e at s s te s s

se s

s tDe s s

d ds ds dsK E e s

d dt dt dtG E e s

e sE K

0 0

stic components:yield function

'( ', ) ln 01 ' '

pv

s tf F s t H De s s

-115-弾塑性論の土への適用(2)-２次元正規圧密粘土

20 0

20

1 1' 1 ' ' 1 ''

1'

1 , 0

' ' '' ' '

' '

1 1' 1 ' '

p pv d

p p

p pv d

p

F t tD Ds e s s e ssF Dt sH H

F F F F F Fds dt ds dt ds dt dFs t s t s tH F H F F h h

s t s

F th Ds e s s

0 0

0

0

0 0

1' 1 (1 ) '

where, 1

1 1' '' ' ' 1 '

' 1 1'

' 1 1

pv

p p p pd v v v

Ds e e s

De

F F Fd ds dt D ds D dts s t s e s

F Fds dtF F Ds td d d dft t Ds e e D

CSL pdpv dd ,

0f F H

pddt ,

pvds ,'

M

-116-

20 0 0

0 0

1 1 1' 1 ' ' 1 (1 ) ''

''

1 1(1 ) ' (1 ) '

pvp

d

p

p

dd

F th D Ds e s s e e ssF F Fds dt d dFs t

he s e s

σσ

弾塑性論の土への適用(3)-２次元正規圧密粘土

'st

0

v

d

M

01 e

e

0)NCL(

)(CSL

DMe )1( 0

const.

1

'lns

'st

pd

pv

dd

11

M

-117-弾塑性論の土への適用(4)-２次元過圧密粘土

( )

0

NC clay:

1(1 ) '

pNC

dF dFh

e s

( )

0

OC clay:

1 ( )(1 ) '

pOC

dF dFh G d

e s

e

1

'ln s

1

NCe

ed

's 'cs eedtssee

stDe

ssee

adadG

ddG

ssd

NC

NC

c

)0,'',NC('

)1(''ln

)0()(

)0(0)(

OCR''ln)(

00

00

0

状態においてここに、

一例として

単調増加関数

'0s

0e

0)(NCL

-118-弾塑性論の土への適用(5)-２次元過圧密粘土

)1('

01')1(

)(1')1(

peak

00)(

adst

adse

dGse

hh

ff

pOC

p

したがって

強度では

0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( )

0

0

00

0

1 1(1 ) (1 ) (1 )'

1 1 1(1 )'1 1

(1 ) '1(1 )

(11 1(1 ) '

p pv OC v NC v OC v NC p p

OC NC

d

Fd e d d e d d e dFsh h

Fe dFsad

e sade dF

eade s

の増分

0

0

1) '

(1 ) ( 0)1

s

ade dFad

d d d

また

'st

0

v

d

M

NC

OC

-119-

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

s'

tCSLλ=0.4κ=0.1

M*=0.5υ=0.0e0=2.0d=0

0.5 1 5 10

0.5

1

1.5

2

ln s'

e

NCL

CSL

d=0.0 s'=1.0kgf/cm2σ2'=1.0kgf/cm

2

undrained

20 40 60 80 1000

0.5

1

0.10.20.30.4

0.6

εd (%)

η* =

t s'

εv (

%) 5.0

10.0

0.70.80.9

d=0.0

15.020.0

CSL

弾塑性論の土への適用(6)-２次元正規圧密土

-120-

0.5 1 5 10

0.5

1

1.5

2

ln s'

e

NCL

CSL

a=3.0 & d0=1.0

s'=1.0kgf/cm2σ2'=1.0kgf/cm

2

undrained

弾塑性論の土への適用(7)-２次元過圧密土

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3t

CSL

λ=0.4κ=0.1M*=0.5υ=0.0e0=2.0d0=1.0

20 40 60 80 1000

0.5

1

0.10.20.30.4

0.6

εd (%)

η* =

t s'

εv (

%) 5.0

10.0

0.70.80.9 a=3.0 & d0=1.0

15.020.0

CSL

-121-

20 40 60 80 1000

0.5

1

0.10.20.30.4

0.6

εd (%)

η* =

t s'

εv (

%) 5.0

10.0

0.70.80.9

15.020.0

CSL

弾塑性論の土への適用(8)-２次元正規圧密土および過圧密土

0.5 1 5 10

0.5

1

1.5

2

ln s'

e

NCLCSL

a=3.0 & d0=1.0

s'=1.0kgf/cm2(d=0.0)σ2'=1.0kgf/cm

2(d=0.0) undrained(d=0.0) s'=1.0kgf/cm2(d0=1.0)σ2'=1.0kgf/cm

2(d0=1.0) undrained(d0=1.0)

d=0.0

-122-

仮想仕事式

0)3(0)1(

)4()()3()(

)2(21

)1(0..

*

*

dSunT

dVuFx

uuSnTS

xu

xu

Fx

jS iijj

jV ji

ij

iiu

iijj

i

j

j

iij

ji

ij

式より

式より

では変位境界

では応力境界

変位式ひずみ

つり合い式

V

S

uS

uSSS

1x

2x

3x

V jjS jjjS jV ijij

S S jjjS jS S ijijijijijij

V ijijijV Vj

i

i

jij

i

jij

V V jjji

ij

V V S ijiji

jijj

i

ij

i

jij

dVuFdSuTdSuTdV

dSuTdSuTdSnudSnudSnu

dVdVxu

xu

dVxu

dVuFdVux

dSnudVxu

ux

dVxu

u

uu

***

****

****

**

**

**

symetric):(21

Gauss

以上より

ここに

の発散定理より

多次元での地盤の応力・変形解析(1)

（ここでも圧縮応力、圧縮ひずみを正とする）

-123-多次元での地盤の応力・変形解析(2)

Gaussの発散定理

dxxdFxf

aFbFdxxfba

)()(

)()()(

ここに、　

)(xF

a bx

.2

)()()()(

1

1112

12

12

2211

立つについても同様に成り

したがって、　

で考える

i

dlAndlnAdlnAdxAAdlndldx

dlndldx

dxAAdxdxxA

i

dlAndSxA

bl al laaabbbab

aaaa

bbbb

ab

l iSi

1a

1b

enen

S iVi

dSAndVxA

2dx

)(1 1ex

lS

bn

an bdladl

2x)( 2e

1D

2D

3D

a b


12

22

11

333231

232221

131211

12

22

11

''

)2('

DDDDDDDDD

D klijklijεDσ'

応力・ひずみ式：

土・水連成有限要素解析

i j

kl

i j

k

e

e

の関数

の

変位関数　

),()62()82(:

::

),(),(

)3(:

21

)(2

)(1

)(2

)(1

)(2

)(1

)(2

)(1

212

211

xxmatrixor

or

xxuxxu

k

k

i

i

l

l

i

i

N

δ

u

δNuN

の一次式は

される。

の１次関数で表そこでの変位増分

点の節点座標とは

。その結果、つの関係式が得られる

となるので点では

要素

),(

,,,,,,,6

,,),(

CST..

21

212121

21

222122

121111

xx

kjiccbbaa

kjiuucxbxau

cxbxauge

N

δ

δu

1x

2x

011

''

)1(

'

12

22

11

12

22

11

w

w

ijwijij

p

pp

Iσ'pσ'σ w

有効応力式：

（ここでも圧縮応力、圧縮ひずみを正とし、増分形で表す）



δB

ε

δBεB

)(

)4(

1221

22

11

12

22

11

xuxuxuxu

matrix

：ひずみ・節点変位

一定

要素

:

)(

CST..

12

2

1

B

δBεba

ba

ge

)5()( )()(

)()(

qδqqδ

qδqδ

FuTuTuσε

T*

T*

T*T*

T*TT*T*

VS

VS

V S S VudVdSdSdV

仮想仕事式：

V VV

σSSS

l

l

i

i

dVdV

dSdS

qq

qq

qδFNδΔFu

qδTNδTu

q

u

T*TT*T*

T*TT*T*

等価節点力の増分

ここに、

::

00

)(2

)(1

)(2

)(1



)6(

w

wV

T

V

T

V wT

V

T

V wT

V

T

V

TT

V

TT

Δp

ΔpdVdV

dVΔpdVdVΔpdV

dVdV

CΔδK

IBΔδDBB

IBDΔBIσBσBq

σBδσεqδ ***

qδK

qδK

qδC

CK

ΔδCΔδBI

ΔδBIεI

水条件下では間隙水圧を考えない排

式をまとめて、

の体積圧縮量の増分はしたがって要素

の体積ひずみ増分は一方、要素

###

2211

)9()(0

)8(),6(

)8()(

)7(

dVΔp

dVdVΔεdV

eΔεΔεΔε

e

wT

T

V

T

V v

TTv



4

1

4

1)()(

4

1

4

1

)()(

,

0

jj

j

j

w

ej

jjwjew

jj j jw

jwewejeje

satk

pp

taspp

ktaikdV)Δ(

dV)Δ(

ここに、

圧密排水時：

非排水条件下：

e j

el jl

js

A

B

jkek

wjwej

ww

ewjw

jj

eej

ppls

pp

pp

lkkls

)(

)()(

&

AB

AB

の排水境界のとき：が

が非排水境界のとき：

るとき：要素の透水係数が異な

)(ewp)3(wp

)4(wp

)1(wp

)2(wp

1s

2s

3s4s

1a

2a

4a

3a e 1

2

3

4

-128-

###

#

qΔδΔK

K

KqΔ

KK

ˆˆˆ

)(:

)(

:

:

:

ˆ

,,1ˆˆ

ˆ

1

)(2

)(1

)1(2

)1(1

)(

)1(

)(2

)(1

)1(2

)1(1

#

#

##

N

m

m

Nw

w

m

m

dV

dVqq

qq

p

p

Nm

としたとき要素数が節点数が

次元のときと同じ）。を設定する（をつくるとともに境界条件に合わせて

を作る。ックスより全体の剛性マトリをたし合わせることに各要素の

.1

))1(2)(

)()(

)()(

とすればよい

を行（上式のその行、ではが与えられる節点既知変位増分なお、

lili

lili ill

多次元での地盤の応力・変形解析(7)


Nm 2

Nm 2

-129-地盤の応力・変形解析例(1)

盛土基礎地盤の解析

弾性１次元圧密解析によるcheck

盛土基礎地盤の断面図

盛土の施工過程要素分割



構成モデルの特徴粘土・砂の材料パラメーター

粘土・砂の要素試験結果と計算曲線



沈下量の経時変化の実測値と解析結果

地表面沈下および側方変位の実測値と解析結果



間隙水圧の実測値と解析結果

鉛直変位・水平変位関係の解析結果

有効応力経路の解析結果

-133-極限解析(1)

最大塑性仕事の原理

ij

0f F H

O

ijij

PQ

pijd

.)(

)(

)(

する次式が成り立つと仮定

態だけで決まり、の影響を受けず応力状あるいは応力速度方向増分方向

は応力度方向あるいは塑性ひずみ速増分方向を考える。塑性ひずみ

）の応力と弾性域（降伏曲面内）の応力塑性状態（降伏曲面上

が与えられたとき、度あるいは塑性ひずみ速塑性ひずみ増分

ijij

pij

pijd

)1(or pijijp

ijijp

ijijp

ijij dd

0)(or 0)( pijijijp

ijijij d

or (p pij ijij ij

F Fd

降伏曲面は凸

関連流れ則）

参考書：「地盤の支持力」柴田徹・関口秀雄著（鹿島出版会）

-134-極限解析(2)応力場・速度場における仮想仕事式

（速度の不連続面を有する場合）

sx

nxsp

np

Rnv

Rsv

1

1

RssRnn

RssRnn

nRs

sRn

nnssnnD

vpvp

vpvp

dxvpvpdxppW

)(100

)2(

)(

)(

**

***

***

***

***

V jjS jjS j

RssRnnV ijij

RssRnnV ijij

DV ijijV ijij

V jjS jjjS jV ijij

dVuFdSuTdSuT

dSvpvpdV

dSvpvpdV

dSWdVdV

dVuFdSuTdSuTdV

u

u

：るときの仮想仕事式は速度の不連続面を有す

率はここに左辺の内部仕事

度場）：仮想仕事式（応力・速

V

uSS

-135-極限解析(3)下界定理

):,0:(

(

pεεε 塑性域剛性域構成関係：剛塑性体

するとは限らない）速度の適合条件を満足

を仮定可容応力場と構成関係

ε

f

H

0

ことを意味する極限荷重の正解に近い

っともめた荷重の最大値がも定した許容応力場で求、このことは勝手に仮正解を越えない。また

はに仮定して求めた荷重で、可容応力場を勝手は正解の極限荷重なのしたがって、

を与えるとすれば、な条件で境界変位速度ここで

より、最大塑性仕事の原理

式より、と

使う。応力場で仮想仕事式をとし、それぞれの可容仮定した応力場を

するように側でつり合い式を満足降伏曲面上あるいは内力場を剛塑性問題の正解の応

uu

u u

u

u

u

u

S jS j

S S jj

j

Sjjj

RsssRnnnp

ijijij

S jjjRsssRnnnV

pijijij

jj

V jjS jjjS jRssRnnV

pijij

V jjS jjjS jRssRnnV

pijij

ij

ij

dSTdST

dSTdSTconstu

dSuTT

vppvpp

dSuTTdSvppvppdV

TT

dVuFdSuTdSuTdSvpvpdV

dVuFdSuTdSuTdSvpvpdV

)6(.

)5(0)(

0)()(and0)(

)()()()(

)4(),3(

)4()(

)3()(

,

***

***

*****

*****

-136-極限解析(4)上界定理

):,0:(

(

pεεε 塑性域剛性域構成関係：剛塑性体

足するとは限らない）応力はつり合い式を満

を仮定可容速度場と構成関係

に近い。の極限載荷時の仕事率最小値がもっとも正解から得られる仕事率の

い）を満足するとは限らなする応力（つり合い式場を仮定しそれに対応なる。つまり仮想速度

よりも必ず大きくは正解のられた仕事率に対応する応力から得速度場を仮定してそれ

いるので、任意にる仮想仕事率を表しては正解の応力場におけは、上式の意味するところ

式と仮想仕事式から

事の原理から、とすれば、最大塑性仕、正解の応力場をから求められる。一方

は構成関係に対応する応力場およびひずみ速度可容速度場で仮定した

DDD

DdVuFdSuTdSuT

dSvpvpdV

dSvpvpdVD

dSvppvpp

dV

vv

K

V jjS jjjS j

RssRnnV ijij

RsKsRn

KnV

pij

Kij

K

RssKsRnn

Kn

V

pijij

Kij

ij

KijRsRn

pij

u

)9(

)(

)()8(),7(

)8(0)()(

)7(0)(

),(

**

***

***

**

*

***

-137-極限解析(5)下界・上界定理の適用例

uc

0

uc2 uc4

III

a

d

b c

e f

0

uc2uc2

uc4

q

III II

自重のないTresca剛塑性体の支持力

0u

02u

0u

0u02u

qb

下界法

a b c

上界法

ucq 4

uK

uK

uuK

cqbcbq

ubcubcubq

66

2222 000

))2(:(64 uuu cqcqc 正解

d0 uctF

-138-

RssRnn

RssRnn

nRs

sRn

nnssnnD

vpvp

vpvp

dxvpvpdxppW

)(1

00

極限解析(6)Mohr-Coulomb 剛塑性体の塑性仕事率

sx

nxsp

np

Rnv

Rsv

1

1

sp

np

s

n

c

tan c

c

0 0np

sp

n

2

2s

tan

s

n

RsD

RsRssRssRssRnnD

n

s

s

n

Rs

Rn

cvW

cvvpvpcvpvpW

ppc

vv

塑性体でもすなわち

したがって、

Tresca0)(

tan

tanns pcp

-139-極限解析(7)擁壁土圧(主働)への適用

1x

2x11

22

)1(0

)()(

12

211

222

qxHK

qxHII

I

H

c

0

cotc

tan c

III

)2(sin)(cos2:Coulomb-Mohr

IIIIII c 規準

主働土圧

式より

Rankine)245tan(2)245(tan2

)(

sin1cos

)(2

sin1sin1

cos2sin)1())(1()1())(1()2(),1(

22

0 022211

2

22

cHqHH

dxqxHKdxP

qxHcK

cKqxHKKqxHK

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連続体力学と地盤力学 - Nagoya Institute of Technologyzhang.web.nitech.ac.jp/lecture/2015-nakai-Text(haifu...連続体力学と地盤力学 （2015年版) (株)地域 地盤

連続体力学と地盤力学 - Nagoya Institute of Technologyzhang.web.nitech.ac.jp/lecture/2015-nakai-Text(haifu...連続体力学と地盤力学（2015年版) (株)地域地盤