경영통계학 - contents.kocw.netcontents.kocw.net/KOCW/document/2014/hanbat/shimsangoh/1.pdf · • 다음분기의은행이자율 • 내년도경제성장률 • 다음분기의매출액

경영통계학

2014년도 2학기

경영통계학에서는 무엇을 배우게 될까?

목 차

1. 통계학이란 무엇인가?

2. 통계학의 응용분야

3. 통계학의 분야들

4. 강의소개

5. 그리고 …..

- 2 -Sang-Oh ShimHanbat National University


연극 티켓의 평균 가격은 18,670원이며 우리나라 가정의 연평균 관람

횟수는 3.4회이다.

지난해 투신사들의 평균 수익률은 26.5%였으며 투신사에 예금한 금액

은 230억원이 증가하였다.

스타벅스에서는 북미의 3,000개의 커피숍 중 2,100개에 무선 인터넷을

설치할 계획을 가지고 있다.

홍콩에서 디즈니사는 벤처기업의 지분의 43%에 해당하는 3억천만 달

러를 투자하였는데 현채의 가치는 약 40억 달러로 평가 되었다.

생활물가 오름세 심상치 않다. 2개월 연속 오름세...소비자 물가도

3.3%로 올라 …

매일 접하는 통계적 결과들



통계학은 자료를 수집하고, 분석하고, 요약ㆍ정리하며, 해석하는 科學

왜 자료를 수집하고, 분석하고, 요약ㆍ정리하며 해석하는가?

- (경영이나 경제 분야) 경영자나 의사결정자에게 기업의 경영이나

경제적 환경에 대한 이해를 돕고

- 더 낳은 의사결정을 하도록 하는 것이다.

유능한 경영자나 관리자는 제공되는 정보를 이해할 수 있고 효율적으로

의사결정에 이용할 줄 안다.

통계를 알면 미래가 보인다



국세청에서는 세납자들의 세무감사를 실시할 때 통계적 표본조사의 절차

를 밟는다. 예를 들어 세무서에서 기업의 대차대조표에 나타난 외상매출

금 계정에 있는 금액이 실제 외상매출금과 일치하는지 결정하기를 원할

것이다. 개별적인 외상매출금 계정의 수는 너무 방대하여 검토하고 확인

하는데 시간이 많이 걸리고 비용도 많이 소요된다. 이런 경우 감사인들

은 보통 계정의 일부를 표본으로 뽑아 정확성을 검토한 후 대차대조표에

나타나있는 외상매출금 계정의 금액이 조건에 맞는지 결정을 한다.

회계학



대형할인매장이나 편의점에는 POS(point of sale)시스템을 설치하여 제품

이 팔리는 동시에 판매정보가 수집되어 데이터베이스에 기록된다. AC닐

슨사와 같은 시장조사전문기관에서는 이러한 자료를 수집하여 통계적으

로 처리하며 처리 결과인 시장분석 정보를 제품의 제조업체에 판매한다.

제품의 제조업체에서는 이러한 통계적 요약 결과를 구매하고 이를 제품

의 세일이나 매장 내 진열방식과 같이 판매촉진을 위하여 활용한다. 요

즈음은 데이터 마이닝(data mining)이라는 새로운 학문분야가 탄생하여

백화점이나 전자상거래 등을 통해 수집되는 대량의 자료를 분석하는 기

법이 개발되고 있으며 이 분야에서 통계적 기법들이 많이 사용되고 있다.

마케팅



오늘날 기술의 발전에 따라 경쟁기업들 사이에 첨단 기술을 제외한 대부분

의 기업은 필요한 기술이 확보 되어있다. 따라서 제품의 경쟁력은 품질

관리를 어떻게 철저히 하여 품질을 확보하느냐에 달려있다. 다양한 품질

관리도는 제조공정의 제품들을 관찰하기 위하여 사용된다. 예를 들어 너

트와 볼트를 생산하는 공장에서는 관리도를 사용하여 풀질관리를 실시

하는데 정기적으로 표본을 추출하여 너트의 내경과 볼트의 외경을 측정

하고 평균을 계산하여 관리도에 타점하는 과정을 반복하다가 경계점을

벗어나면 공정을 중단하고 원인을 찾아 조치를 취하게 된다.

제품생산



경제학자들은 미래의 경제나 그와 관련된 여러 양상들에 대한 예측하기를

요구받는다. 이를 위하여 경제학자들은 통계적 기법이나 통계 정보를 활

용한다. 예를 들어 물가상승율을 예측하기 위하여 경제학자들은

PPI(producer price index), 실업율, 제조능력 등에 대한 통계적 정보를

이용한다. 이러한 통계적 지표들은 전산화된 예측모형에 입력되어 물가

상승율을 예측하게 된다.

경제학



자료를 수집하는 방법

- 이미 존재하는 자료를 모으는 방법

- 조사 및 관찰을 통해 수집하는 방법

- 실험을 통해 수집하는 방법

자료수집

수집된 자료의 탐색

도표나 그래프를 이용하여 정리

기술통계법을 이용하여 요약

자료의 정리 및 요약



모집단과 표본

표본으로부터 얻어진 정보를 이용하여 모집단의 특성에 대해 추측하거

나 어떤 현상에 대한 결론이나 판정을 내림

관심있는 모집단의 특성들

• 다음 분기의 은행이자율

• 내년도 경제성장률

• 다음 분기의 매출액

• 신규 도입한 제조공정의 불량률

• 수도권 청소년층의 새로운 현태의 유대전화에 대한 반응

• 생산성혁신 전략으로 인한 이득

통계적 추론



2장의 자료의 정리 및 요약 : 차트마법사와 피벗테이블/피벗차트 마법

3장의 자료의 요약 : 데이터분석의 기술통계법.

5장과 6장의 확률분포 : 여러 확률분포의 누적함수

7장의 표본분포 : Excel을 이용한 중심극한정리의 유도과정

8장 추정 ; 기술통계법과 Excel의 함수를 이용한 신뢰구간 계산

9장과 10장 가설검정 : 데이터분석

11장 회귀분석 ; 데이터분석을 이용한 회귀분석

12장 분산분석 : 데이터분석을 이용한 분산분석

13장 : 계산식을 이용하여 적합성 검정과 독립성 검정 과정

엑셀과 통계학


4. 강의소개

교과목명 경영통계학

담당교수 심상오

(821-1289, [email protected])

교 재 Excel을활용한통계학(제2판), 박민재, 이상식, 임재학, 원출판사, 2012

강의시간 화요일 9:30~12:30, S1동 205호

강의방법 빔 프로젝터를 이용

Refernce Site: http://cyber.hanbat.ac.kr

강의소개


4. 강의소개

수업일정(S2)주 강 의 내 용 교재 비 고

1 강의소개, 자료의 측정과 정리 1, 2장 9.2

2 추석

3 자료의 측정과 정리, 자료의 요약 2, 3장 9.16

4 확률 4장 9.23

5 분포이해하기-이산확률분포와 기대값 5장 9.30

6 분포이해하기-연속확률분포(정규분포) 6장 10.7

7 표본분포 이해하기 7장 10.14

8 추정 및 가설검정 1 8장 10.21

9 추정 및 가설검정 2 9장 10.28

10 중간고사 11.4

11 휴강 11.11

12 두 집단 평균비교하기 10장 11.18

13 회귀분석 이해하기 11장 11.25

14 분산분석 이해하기 12장 12.2

15 카이제곱검정 13장 12.9

16 보강 및 기말고사 12.16


4. 강의소개

중간(40%), 기말(30%), 과제 및 퀴즈 (20%), 출석(5%), 기타(5%)

평가방법 (S2)


4. 강의소개

연습문제 풀이

수업과 관련된 격언, 속담, 명언 을 조사하여 업로드 하기

자료를 수집하여 분석하는 팀 프로젝트

과제내용

단원 별 퀴즈(Pop quiz) 또는 숙제예정입니다.

Quiz는 수업시간, 숙제는 사이버한밭

결석은 1점, 지각은 0.5점 감점.

기타사항

Sang-Oh ShimHanbat National University

제2장 자료의 측정와 정리

학습목표

자료란 무엇이고 어떻게 수집해야 할까요? 조사법에는 어떠한 종류가 있을까요? 자료의 측정이란 무엇이며 척도란 무엇일까요? 척도에는 어떠한 종류가 있을까요? 엑셀을 이용하여 그래프는 어떻게 그릴까요? 히스토그램과 파레토도란 무엇일까요?


제1절 자료의 정의 및 수집

자료란?

관심의 대상이 되는 개체의 성격이나 속성을 관측한 결과

결론이 얻어질 수 있는 사실이나 수치의 집합

자료수집방법 관찰법

사실이나 수치를 관찰하여 기록하여 얻는 방법

실험을 통하여 자료를 수집하는 방법

조사법 설문지나 기타 기록된 문헌 또는 데이터베이스 등을 통하여 자료를 수

집하는 방법

조사방법의 발전과정 PAPI CATI CAI



설문지 작성의 중요성 설문지란?

설문지는 표준화 형식에 따라 작성되어야 함

설문지가 표준화되어 있어야 하는 이유는?

설문지 작성 시 고려사항 필요한 정보의 종류와 측정방법

분석내용과 분석방법

설문조사 방법 면접조사, 우편조사, 전화조사, 인터넷 설문조사

설문조사 방법 선택의 기준 비용, 시간, 조직, 설비 등



설문 조사방법 면접조사

PAPI

미리 훈련된 조사원이 지정된 조사 대상을 방문/면접하여 정해진 설문

지에 의해서 필요한 정보를 얻는 방법.

면접원관리 서베이와 자기관리 서베이

면접조사의 장점과 단점

우편 조사법 PAPI

설문지를 조사대상에게 우송하여 설문지의 기입 및 반송을 의뢰하는 방

법

우편조사의 장점과 단점



설문 조사방법 전화 조사법

CATI

전화를 통해서 조사 대상과 연결하여 필요한 정보를 구하는 방법

전화자료입력방법과 음성인식입력방법도 있음

장점과 단점

인터넷 설문 조사법 온 라인 혹은 웹 상에서의 설문 조사법

개방형과 폐쇄형이 있음

장점과 단점



자료의 조사방법 설문지 조사의 진행 과정

(1) 문제인식에 대한 조사 필요성의 확인

(2) 조사의 기획 (5W 1H 원칙에 따름)

(3) 설문지 내용 작성

(4) 전수조사 및 표본조사 계획 : 인터넷 조사에서 가장 어렵다

(5) 본 조사 실시

(6) 집계 (수집, 오기 조사, 자료의 입력 준비) : 인터넷 조사에서 가장

쉽다.

(7) 조사 자료의 통계적 자료분석

(8) 조사 보고서의 작성



설문지의 예

1. 귀하의 성별을 선택(√)하십시오. 남자 여자

2. 귀하의 연령을 기입해 주십시오. 만 ( ) 세

3. 귀하의 직업을 선택해 주십시오.

전문직 사무직 판매·서비스직 노무직 학생 전업주부 기타

4. 귀하의 월수입이 얼마나 되는지 적어주십시오.?(단, 전업주부의 경우는 남편을 기준으로 함)

( ) 만원

5. 신상품 ‘파인벨트’에 대한 귀하의 만족도를 선택해 주십시오.

매우 불만족 불만족 보통 만족 매우 만족

6. 신상품 ‘파인벨트’를 10만원에 판매한다고 할 때, 귀하께서는 구매하시겠습니까?

예 아니요 아직은 결정 못 하겠다

7. 다음의 회사들이 ‘파인벨트’라는 신상품과 유사한 의료기기를 판매한다고 할 때, 귀하께서는 어느 회사 제품

을 구입하시겠습니까?

(주)메디피아 (주)닥터기기 (주)대화의료기


제2절 자료의 종류

자료의 종류

자료

양적자료

이산형 자료

연속형 자료

질적자료

이분형 자료

다분형 자료



양적자료와 질적자료

양적 자료(quantitative data, categorical data)

값이 수치로 나타내어지는 자료: 성별, 직업, 거주지역, 결혼여부..

사칙연산불가

질적 자료(qualitative data, numerical data)

값이 비수치로 나타내어지는 자료: 기온, 습도, 금액, 연봉, 인터넷횟수..

이산형 자료와 연속형 자료 이산형 자료 (discrete data)

자녀의 수나 고장의 수와 같이 하나 둘 세어서(counting) 얻는 자료

연속형 자료(continuous data) 어느 구간내의 모든 연속적인 값을 취할 수 있는 자료

((예)) 키, 몸무게, 주가, 매출액 등

What about “age(나이)”?

양적자료의 질적자료 변환, 집단화(grouping)



횡단면자료와 시계열자료

횡단면 자료(cross-section data)는 관심의 대상이 되는 어떤 특정

변수를 일정 시점에서 각 주체별로 관측하여 얻은 값

<표> 교육수준과 경제활동 (단위:명, %)

교육수준 경제활동 전체

봉급생활 자영업 농림수산업 비정규직

초등학교졸이하 182(23.0) 154(19.5) 268(33.9) 187(23.6) 791(100.0)

중학교졸업 262(34.8) 256(34.0) 99(13.2) 135(18.0) 752(100.0)

고등학교졸업 1,315(58.1) 711(31.4) 82(3.6) 157(6.9) 2,265(100.0)

전문대졸업 255(75.4) 62(18.3) 6(1.8) 15(4.4) 338(100.0)

대학(교)졸업 669(75.8) 177(20.1) 7(0.8) 30(3.4) 883(100.0)

합계 2,683(53.4) 1,360(27.0) 462(9.2) 524(10.4) 5,029(100.0)



횡단면자료와 시계열자료

시계열자료(time-series data)는 관심의 대상이 되는 어떤 특정변수

를 시간의 순서에 따라 일정기간 동안 관측하여 얻은 값

<표> 주가지수 (단위 : 1980.1.4=100)

연월 주가지수 연월 주가지수 연월 주가지수

1995.01

1995.02

1995.03

1995.04

1995.05

1995.06

1995.07

1995.08

1995.09

1995.10

1995.11

1995.12

965.3

929.6

942.3

902.7

884.2

884.2

945.6

916.8

971.1

998.9

957.3

918.1

1996.01

1996.02

1996.03

1996.04

1996.05

1996.06

1996.07

1996.08

1996.09

1996.10

1996.11

1996.12

866.1

874.7

857.4

920.1

942.5

867.6

832.2

805.4

783.4

806.7

740.9

690.6

1997.01

1997.02

1997.03

1997.04

1997.05

1997.06

1997.07

1997.08

1997.09

1997.10

1997.11

1997.12

669.6

698.1

656.7

694.3

713.1

765.2

752.3

740.5

676.5

584.1

494.1

390.3

자 료 : 한국은행 [경제통계연보]


제3절 자료의 측정

명목척도(nominal scale)

순서, 거리 및 원점의 개념이 없는 척도

자료를 상호배타적(mutually exclusive)이고 포괄적(exhaustive)인

몇 개의 범주(category) 또는 계급으로 분류: 빈도수

상호관계를 찾고자 할 때 아주 유용하며 특히 조사방법(survey)에

서 자료를 범주별로 분류할 때 널리 이용

집중화 경향(tendency)을 측정하기 위하여는 최빈값(mode)이 이

용되며, 통계적 유의성을 검증하는 데는 2검정(chi-square test)이

자주 이용된다.

종교, 꽃의 종류, 구기 종목, 혈액형 등


서열척도

명목척도에 순서 또는 서열 개념을 부여한 것

이행성(transitivity)의 특성 갑>을이고 을>병이면 갑>병임을 의미

집중화 경향치로는 중앙치(median)가 이용

산포도를 측정하기 위하여는 백분위수(percentile)나 사분위수

(quartile)가 이용

통계적 유의성을 검증하는 데에는 비모수통계방법이 이용

학점, 달리기 경기에서 순위, 키순에 따른 번호



구간척도

사물이나 현상을 분류하고 서열을 결정하는 것뿐만 아니라 거리 또

는 간격의 개념을 부여한 것

각 부분간의 거리는 동일한 것으로 간주 10시에서 12시까지의 간격이나 1시에서 3시까지의 간격은 동일한 것

으로 간주, 비율(ratio) 개념은 없음(기준, 영점이 없음)

집중화 경향치로서 산술평균(mean)이 이용

산포도를 알기 위하여는 분산 또는 표준편차

통계적 기법 : t-검정, F-검정 및 분산분석

온도, 시간



비율척도

앞의 세 가지 척도가 가지고 있는 모든 개념에다 원점(origin) 또는

영(zero)의 개념이 부가된 것

0의 개념이란 비율이 의미를 가지게 되는 척도

수익률이 20%인 주식은 수익률이 10%인 주식보다 수익률이 두 배라

고 말할 수 있게 된다.

집중화 경향치로는 기하평균이나 조화평균이

산포도를 알기 위하여 변동계수도 이용

키, 몸무게, 거리, 면적, 인구, 수익률, 수입


Sang-Oh Shim

정

보

수

준

Hanbat National University

주요 척도에 대한 요약

[그림 2-1]: 번호, 등수, 정성점수, 정량점수

네 가지 중 한 가지 척도만을 고집할 필요는 없음

주민등록번호 (770110-1XXXXX) 명목, 서열 등등..

네 척도의 정보량


특성척도 범 주 순 위 등 간 격 절대영점

명목척도 × × ×

서열척도 × ×

구간척도 ×

비율척도

질적자료 양적자료


제4절 엑셀을 이용한 자료 정리

질적자료의 정리 – 도수분포표 (p. 27 표 2-1)



질적자료의 정리 - 도수분포표

도수란?

각 자료 값이 반복되어 나타난 횟수

도수분포표란?

각 자료값에 대하여 도수를 나열해 놓은 도표

도수분포의 예

성별 남자 여자 합계

도수 31(62%) 19(38%) 50




Countif($B$2:B$51,1)B2/D2

31, 62%

19, 38%

성별비율남자

여자




4

10

76

5

9 9

02468

1012

Countif($D$2:D$51,1)

B2/$B$9

4

10

76

5

9 9

0%

5%

10%

15%

20%

25%

02468

1012



연속자료의 정리 – 도수분포표 도수분포표란?

연속적 자료를 몇 개의 계급(Class)로 나누어 각 계급에 속하는 도수(Frequency)를 기입하여 체계적으로 정리한 표

도수분포표 작성을 위해서 결정해야 할 사항 계급의 수 결정 : 보통 5에서 15개 사이에서 결정 자료의 최대값과 최소값 결정 계급구간 :

– (자료의 최대값 – 자료의 최소값)/계급의 수– 계급구간은 5, 10, 100 등의 배수로 하는 것이 후속적인 분석을 위해서 바람직함.

A사 직원들의 연령에 따른 도수분포표계 급 구 간

도수 상대도수하한 상한20 30 25 0.2530 40 30 0.3040 50 28 0.2850 60 17 0.17

합 계 100 1.00



연속자료의 정리 – 도수분포표

도수분포표를 작성하는 절차절차 1> 자료 중에서 최소값과 최대값을 찾은 후, 범위(=최대값-최소값)을 계산

절차 2> 구간의 수를 정한다. 일반적으로는 구간의 개수로는 자료의 크기에 따라 5개 내지 20개 정도를 정한다. 또는 (관찰값의 수)1/2를 기준으로 하기도 함

절차 3> 계급구간의 폭은 범위를 계급구간의 수로 나누어 얻은 값보다 조금 큰값을 계급 구간의 폭으로 정한다.

절차 4> 모든 관측값을 포함하도록 각 계급구간의 하한값과 상한값을 정한다. (관찰값이 계급구간의 경계점에 놓이지 않도록 하는 것이 바람직하다.)

절차 5> 각 계급구간의 상한값은 그 계급구간의 하한값에 계급구간의 폭을 더한 값이 된다. 첫 번째 계급구간을 제외한 나머지 계급구간의 하한값은 바로전 계급구간의 상한값과 일치한다.

절차 6> 각 구간에 속하는 자료값의 개수를 세어 구간의 도수를 구하여 도수분포표를 작성한다




월수입에 대한 도수분포표 작성

=FREQUENCY($E$2:$E$51,T10)

=U10/$U$17

=V11-V10

=X10+W11




월수입에 대한 그래프 – 히스토그램

데이터 데이터분석





데이터 계열서식





참고 : 축 서식 조정을 통해 더 멋진 그래프를 만들 수 있음




숙제#1 : 교재 P.40~59 에 있는 엑셀 자료 정리 과정을 하고 파일로 사이버 한밭에 제출


제3장 자료의 요약

학습목표 모수와 통계량이란 무엇일까요? 집중화경향이란 무엇이며 대표값으로는 어떤 것들이 있을까요? 산포경향이란 무엇이며 이를 나타내는 값들로는 어떠한 것들이

있을까요? 왜도와 첨도란 무엇일까요? 상자그림은 무엇이며 엑셀로 어떻게 그릴까요?


들어가기전에……...

맹구의 첫경험H대학교 2학년에 재학중인 맹구는 어느날 처음으로 PC방에 가서 채팅을 하였다. 독수리타법으로 겨우 겨우 채팅을 하던 도중 고등학교3학년인 상대방으로부터 H대학교에 대하여 설명해 달라는 요청을받았다. 맹구는 어디서부터 설명을 해야 할지 망설이다가 황급히 PC방을 뛰쳐 나왔다. 그 후로 맹구는 PC 방엘 가는 것이 두려워졌다.만일 여러분이 이런 상황에 처했다면….

여러분들의 답은 어떤 공통점을 갖는가?

만일 수집된 자료에 대해 동일한 질문을 받는다면…?

자료의 특징 : 집중화 경향, 흩어진 정도, 치우침 정도


제1절 모수와통계량

모집단과 표본 모수와 통계량

연습문제 2, 4 Quiz#1 : 연습문제 3

모집단 표본

특징 모수 통계량크기 N n


제2절 집중화 경향의 측정 - 정리되지 않은 자료

평균 보통의 개념을 통계적으로 정의한 것이 평균이다.

평균(mean) = 관측된 숫자들의 총합 /관측된 숫자들의 총개수

: 모평균, : 표본평균

표본평균 계산하는 방법

예제 3-1

평균은 극단적인 값에 민감하다. 경상대학을 졸업한 학생들의 월 소득(단위:만원)

280, 230, 260, 250, 220, 2300, 210

평균 = (280+230+…+210)/7=535(만원)

X

nxxxX n

21



중앙값

극단적인 값에 민감하지 않은 척도는 중앙값이다.

중앙값 : 자료를 크기 순으로 나열하였을 때 한 가운데 위치한 값

프로야구 선수의 연봉현황(만원)

표본평균은 8,511만원 ( Does it make sense?)

중앙값은

중앙값은 3,500만원 ( Is it reasonable?)

2,000 3,800 3,800 2,900 3,100 3,500 4,100 50,000 3,400

2,000 2,900 3,100 3,400 3,500 3,800 3,800 4,100 500,000



중앙값

중앙값(Median)의 계산 방법

관측값의 총수(n)가 홀수인 경우

– 관측값을 크기 순서대로 나열하였을 때 가운데 위치하는 관측값, 즉 n/2번째 값이 중앙값이다.

관측값의 총수(n)가 짝수인 경우

– 관측값을 크기 순서대로 나열하였을 때 가운데 위치하는 두 관측값의 평균,즉 n/2번째 값과 (n/2+1)번째 값의 평균이 중앙값이다.

중앙값의 특징

극단적인 관측값에 영향을 받지 않으며

중앙값을 기준으로 관측값들의 50%가 왼쪽에 그리고 나머지 50%가 오른쪽에 존재하게 된다.



최빈값(Mode)

최빈값은 관측 횟수가 가장 많은 값

프로야구 선수의 연봉현황(만원)

최빈값 성질

평균이나 중앙값은 양적 자료일 경우에만 집중화경향을 측정 / 최빈값(Mode: Mo)은 양적 자료와 질적 자료에 모두 적용가능

평균값처럼 소수의 극단적인 값에 의해 영향을 받지 않음

평균과 중앙값은 단 하나만 존재 / 최빈값은 하나 이상 가능

최빈값이 유용한 경우

옷, 신발, 모자 등을 생산하는 공장에서…..(표준규격의 다량의 제품)

2,000 3,800 3,800 2,900 3,100 3,500 4,100 50,000 3,400



범위의 중앙값

관측된 데이터 중에서 최소값과 최대값의 평균을 범위의 중앙값(mid-range)이라고 함

예 : 프로야구 선수의 연봉현황(만원)

가중평균

각 각의 데이터에 가중치를 부여하여 평균을 계산한 결과를 가중평균이라 함

예제 3-2 (수학 5시간, 체육 1시간)

2,000 3,800 3,800 2,900 3,100 3,500 4,100 50,000 3,400

n

ii

n

iii

w

w

xwX

1

1 측정값가중치단 :,: , ii xw



엑셀을 이용한 집중화 경향 계산

K대학의 경영학과 학생의 키를 조사하기 위하여 남학생과 여학생

20명을 표본으로 추출하여 다음과 같은 데이터를 수집하였다.

학생신장(Cm)

170 183 176 181 165 178 167 187 179 179

172 164 180 182 170 172 175 172 170 169

학생들의 신장에 대해 평균, 중앙값, 최빈값, 범위의 중앙값을 계산

하라

=AVERAGE(B2:F5)

=MEDIAN(B2:F5)

=MODE(B2:F5)

=(MAX(B2:F5)-MIN(B2:F5))/2



평균, 중앙값 그리고 최빈값의 관계

MoMeX MoMeX

MoMeX

왼쪽 긴꼬리 분포

오른쪽 긴꼬리 분포대칭분포


제2절 집중화 경향의 측정 - 정리된 자료

평균

예제 3-3

계 급(이상 - 미만) 도수

300 - 400400 - 500500 - 600600 - 700700 - 800800 - 900900 - 1000

11166912



평균

예제 3-3 : 엑셀을 이용한 풀이



중앙값

예제

최빈값

정리된 자료에서 최빈값은 도수가 가장 많은 계급(modal class)의 계급값

계 급(이상 - 미만) 도수

300 - 400400 - 500500 - 600600 - 700700 - 800800 - 900900 - 1000

11166912

Quzi#1: 연습문제 6, 9


제3절 산포경향의 측정

집중화 경향만으로는 부족하다…그러면….

자료 1 : 10 20 30 40 50 60 60 70 80 90 100 110

자료 2 : 40 50 50 50 60 60 60 60 70 70 70 80

자료1

평균=중앙값=최빈값=60

자료2

평균=중앙값=최빈값=60

(철수):자료 1과자료 2는동일하다고할수있나?

(미미) : Not really.

(철수):그러면자료1과자료2는어떤차이가있는가?




맹구의 경험(2) 어느 강의 평균 수심이 1m라는 면사무소의 정보만 믿고

맹구는 물놀이를 하기 위하여 강에 들어갔다. 그러나 강의 실제 수심은

20Cm인 곳도 있고 어떤 곳은 3m인 곳도 있었다. 수영에 익숙하지 못한 맹

구는 그만 수심이 3m되는 지점에서 익사할 뻔 하였다. 그 후로 맹구는 목욕

탕에서만 수영을 하였다.

맹구의 잘못은 무엇인가? 맹구는 무엇을 고려하지 않아서 익사할 뻔 하였나?




자료 1 :

자료 2 :

자료1과 자료2의 차이를 설명하여보자. 산포

범위, 분산, 표준편차, 변동계수

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

60

40 50 60 70 80

5050

6060

60

7070

Sang-Oh Shim


범위(Range)

범위(range)란 자료의 집단 중에서 가장 큰 관측값과 가장 작은 관

측값의 차이이다.

예제 자료 1의 범위 = 110-10 = 100 / 자료 2의 범위 = 80 - 40 = 40

자료 1이 자료 2보다 더 퍼져 있음을 알 수 있다.

가장 큰 관측값과 가장 작은 관측값에 의해서만 영향을 받음

모든 관측값들의 분포양상을 나타내지 못한다. 자료 3 : 10 10 40 40 40 40 60 60 60 80 80 110

1040

40

40

60

608080

40

110110

6010


Sang-Oh Shim


분산(Variance)

분산(Variance)이란 편차를 제곱하여 합한 값을 관측값의 총수로 나

눈 것

분산(Variance)

= 편차들의 제곱합 /관측된 숫자들의 총개수

2 : 모분산, S2 : 표본분산

모분산 =

표본분산 =

NxN

ii /)( 2

1

)1/()( 2

1

nXx

n

ii

Hanbat National UniversityHanbat National University

Sang-Oh Shim

제3절산포경향의측정 분산(Variance)

예제 : 자료 1과 2의 분산을 구하시오.

자료 1 : 10 20 30 40 50 60 60 70 80 90 100 110

자료 2 : 40 50 50 50 60 60 60 60 70 70 70 80

자료 3 : 10 10 40 40 40 40 60 60 60 80 80 110

자료 1의 분산 모분산 = 11000/12 = 916.7

표본분산 = 11000/11 = 1000.0

자료 2의 분산 모분산 = 1400/12 = 116.7

표본분산 = 1400/11 = 127.3

자료 3의 분산 모분산= 9900/12 = 825.0

표본분산= 9900/11 = 900.0


Sang-Oh Shim

제3절산포경향의측정 분산(Variance)

자료 1 자료 2


번호 자료 편차 편차제곱 번호 자료 편차 편차제곱1 10 -50 2500 1 40 -20 4002 20 -40 1600 2 50 -10 1003 30 -30 900 3 50 -10 1004 40 -20 400 4 50 -10 1005 50 -10 100 5 60 0 06 60 0 0 6 60 0 07 60 0 0 7 60 0 08 70 10 100 8 60 0 09 80 20 400 9 70 10 10010 90 30 900 10 70 10 10011 100 40 1600 11 70 10 10012 110 50 2500 12 80 20 400

합계 720 0 11000 합계 720 0 1400

Sang-Oh Shim


표준편차(Standard Deviation)

분산의 단위는? 그 이유는? 원래의 단위의 제곱이다. (편차의 제곱)

원래 관측값들의 단위에서 산포의 경향을 나타내는 값으로 분산의제곱근인 표준편차를 사용할 수 있다.

모집단 표준편차

표본 표준편차

자료 1의 표준편차 = 30.2665

자료 2의 표준편차 = 10.8028

분산 혹은 표준편차에 의한 산포경향은 재무관리에서 위험성을 측정하는데 응용

기업의 판매량, 이윤, 투자의 수익률 등의 자료에서 분산이 크면 수익률의 변동이 큼을 의미하며 이는 투자에 따른 높은 위험을 의미하게 될것이다.

2 2SS


Sang-Oh Shim


엑셀을 이용한 계산

=VARP(B2:F5)

=VAR(B2:F5)

=STDEVP(B2:F5)

=STDEV(B2:F5)

=MAX(B2:F5)-MIN(B2:F5)


Sang-Oh Shim


정리된 자료의 분산과 표준편차

예제 3-4


Sang-Oh Shim

정리된 자료의 분산과 표준편차

예제



Sang-Oh Shim

변동계수(Coefficient of Variation)

맹구의 경험(2)어느 경제학자와 사회학자는 선진국과 개발 도상국가의 빈부 격차에 대

한 연구를 수행하기 위하여 선진국과 개발도상국의 GNP를 조사하였다. 이 자료를 이용하여 평균과 표준편차를 계산하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

평균 표준편차선진국가 $65,400 $4,390개발 도상국가 $3,500 $360

통계학 공부를 열심히 한 맹구는 선진국의 변동폭이 심하므로 선진국의 빈부격차가 더 심하다고 결론지었다. 맹구의 판단은 올바른 것인가?



Sang-Oh Shim


표준편차는 자료의 절대적 변이성을 측정

변동계수는 자료의 상대적 변이성을 측정

변동계수(CV:Coefficient of Variation) = 표준편차 / 평균

변동계수가 유용한 경우 관측값의 차이가 큰 자료들 간의 산포도를 비교하거나 측정단위가 상

이한 자료들간의 산포도를 비교할 때 사용



Sang-Oh Shim


예제 신생아들의 평균 몸무게는 3.5(Kg)이고 표준편차는 0.36(Kg)이었다. 이

신생아들의 아버지의 몸무게를 측정한 결과 평균은 65.4(Kg)이고 표준편차는 4.39(Kg)이었다. 신생아와 아버지들의 몸무게 중 어느 쪽이 더넓게 퍼져있다고 할 수 있는가?



Sang-Oh Shim

비대칭도

분포의 모양이 어느쪽에 치우쳐 있는지를 측정하고자 함.

평균과 중앙값을 비교함으로써 알 수 있음

첨도

첨도

분포의 뾰족한 정도를 정규분포와 비교해서 나타내는 것

높은 첨도, 보통 첨도, 낮은 첨도로 구분함

정규분포(6장)는 보통첨도임. (첨도계수 = 3)

엑셀에서의 첨도계수에 대한 해석은 0을 기준으로 하고 있음

첨도가 양이면 높은 첨도

첨도가 음이면 낮은 첨도

제4절 왜도와 첨도

피어슨 비대칭계수

비대칭계수 = 3 (평균 – 중앙값)/표준편차


Sang-Oh Shim

자료

예제 3-5의 자료

제5절 엑셀을 이용한 자료의 요약


판매사원의 월 평균급여221 305 440 275 190 330 200 317 371 350255 318 280 277 330 230 260 175 285 175300 416 240 320 390 150 250 210 490 318

Sang-Oh Shim

통계 데이터 분석



Sang-Oh Shim

통계 데이터 분석 결과


월 평균급여

평균 288.933표준 오차 14.8122중앙값 282.5최빈값 330표준 편차 81.1299분산 6582.06첨도 0.12734왜도 0.49259범위 340최소값 150최대값 490합 8668관측수 30

Sang-Oh Shim제4장 확률

학습목표

사건과 표본공간의 이해

확률의 개념

확률의 기본 법칙

조건부 확률

베이지안 정리

제4장 확률

Sang-Oh Shim

들어가기 전에……...(지난번 배운건?)

안타깝지만 모르는 학생이 없다!

숙제#2. 교재 p.99~p.102

제4장 확률

Sang-Oh Shim

실험(Experiment)동전던지기, 제품의 검사, 설문조사의 전화, 주사위 던지기…

관찰을 하거나 측정을 유발하는 행위 또는 과정

사건(Event), 사상, 사고…앞/뒤, 불/량, 조사결과, 1/2/3/4/5/6….

실험의 결과

-단순사건: 실험 결과가 오직 한 개만 나올 경우

-복합사건: ??? 주사위의 홀수!

표본공간(Sample space, Ω)경우의 수, 모든 가능한 사건들을 모아 놓은 것

제1절 사건과 표본 공간

제4장 확률

Sang-Oh Shim

고전적 이론특별한 이유가 없다면 표본공간의 각 사건의 발생 가능성은 동일함

찌그러진 동전?

P(A)= 사건 A의 원소 수 / 표본공간의 원소 수

상대도수 이론졸라 많이 했다 가정하고 통상 나오는 확률

P(A) = 사건 A의 관찰 횟수 / 졸라 많이 실험이나 관찰한 횟수

= lim ( f / n )

니맘대로 이론(주관적 이론)무릎팍 도사한테 물어봐

제2절 확률의 개념

제4장 확률

Sang-Oh Shim

사건이 발생할 확률은?

확률의 합은?

제2절 확률의 개념

제4장 확률

Sang-Oh Shim

여사건(Complementary Event), Ac

덧셈법칙(additional rule)AUB (union)A∩B (Intersection)상호 배반(Mutually Exclusive), P(A∩B) = 0,서로 동시에 발생할 수 없는 경우

제3절 확률의 기본 법칙

제4장 확률

Sang-Oh Shim

밥먹고 응가할 확률 vs. 그냥 응가할 확률 ^^ Conditional Probability

사건 B가 발생했다는 가정하에 사건 A가 일어날 확률

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) ↔ P(B|A) = P(B∩A) / P(A)

. 남자일 확률? P(B)

. 흡연할 확률? P(A)

. 남자가 흡연할 확률? P(A|B)

. 남자이면서 흡연할 확률? P(A∩B)

제4절 조건부 확률

제4장 확률

남 여 합계

흡연 70 20 90

비흡연 30 80 110

합계 100 100 200

Sang-Oh Shim

독립 Independent 사건 vs 종속 dependent 사건P(A∩B) =P(A) P(B)

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A)

- 한 사건이 다른 사건에 영향을 주지 않는 경우

제4절 조건부 확률

제4장 확률

Sang-Oh Shim

제5절 Bayesian Theorem

사전 Prior 확률 vs. 사후 posterior 확률

뭐가 되었든지 간에, 확률을 높이고자 함이 인간의 본성이다.

추가적인 정보는 믿음을 견고하게 한다. (확률을 높이게 된다)

S 사의 머플러 60%, T 사의 머플러 40% 머플러가 고장난 차의 머플러가 S사꺼임? T 사꺼임?

- 단순히 S사, T사 각각 60%, 40% 납품한 거라면 ’60% 확률로 S사 꺼임’ 이랬을꺼임..^^ : 사전 확률

- 만약 S 사의 머플러 불량률 2%, T 사의 머플러 불량률 5% 라고 하는 정보가추가되었다면? : 새로 뭔가를 구하겠지.. 사후확률

제4장 확률

Sang-Oh Shim


사후 posterior 확률을 구하기 위한 must have theorem

제4장 확률

S사:60개 T사:40개

전체 100개

불량:1.2개불량:2개

머플러가 고장난 (D) 차의 머플러가 S사꺼임(M1)? T사꺼임(M2)?전체 100개 중 머플러 고장은 3.2개임 → P(D) = 0.032그 중 S사의 제품은 1.2개 → P(M1|D) = 1.2/3.2 = 0.375

Sang-Oh Shim


사후 posterior 확률을 구하기 위한 must have theorem

제4장 확률

S사:60개 T사:40개

전체 100개

불량:1.2개불량:2개

사건의 정의 및 사전확률의 정의M1: 머플러가 S사, P(M1) = 0.6M2: 머플러가 T사, P(M2) = 0.4D: 머플러 고장 확률S사의 불량률, P(D|M1) = 0.02T사의 불량율, P(D|M2) = 0.05머플러가 고장난 차의 머플러가 S사? P(M1|D) = ?

Sang-Oh Shim


제4장 확률

사건의 정의 및 사전확률의 정의M1: 머플러가 S사, P(M1) = 0.6M2: 머플러가 T사, P(M2) = 0.4D: 머플러 고장 확률S사의 불량률, P(D|M1) = 0.02T사의 불량율, P(D|M2) = 0.05머플러가 고장난 차의 머플러가 S사? P(M1|D) = ?

P(M1|D) = P(M1∩D) / P(D)

P(D) = P(M1∩D) + P(M2∩D) ; Bayesian TheoremP(M1∩D) = P(D|M1)P(M1) = 0.02 0.6 = 0.12P(M2∩D) = P(D|M2)P(M2) = 0.05 0.4 = 0.2P(D) = P(M1∩D) + P(M2∩D) = 0.32

P(M1|D) = P(M1∩D) / P(D) = 0.12 / 0.32 = 0.375

Sang-Oh Shim제5장이산확률분포

학습목표

확률변수 및 확률분포함수에 대한 이해

이산확률변수의 기대값과 분산의 의미 이해 및 계산

기대값과 분산의 성질에 대한 이해 및 응용

이항분포를 이해하고 엑셀을 이용하여 확률을 계산

포아송분포를 이해하고 엑셀을 이용하여 필요한 확률을 계산

제5장 이산확률분포


들어가기전에……...

맹구의 경험(3)맹구는 어느날 여자친구와 유원지엘 놀러 갔다. 재미있는 시간을 보내고 있던중 유원지 한 구석에서 찍기 놀이를 하는 가게를 지나게 되었다. 찍기 놀이는다음과 같은 놀이판을 이용하여 서울, 대전, 대구, 부산, 광주에 걸리면 상금이10만원, 5만원, 3만원, 2만원, 1만원이었다.

만일 한번 게임하는데 2만원을 내야 한다면맹구가 이 게임에서 돈을 딸 수 있을까? 맹구는 한판에 얼마의 돈을 딸 수 있을까? 또는 얼마의 돈을 잃는 것일까?

How do you guess the answer? 서울

대전

대구

부산

광주

광주서울

꽝

꽝

꽝

꽝

꽝

Sang-Oh Shim제5장 이산확률분포

확률변수 확률변수(random variable)란 임의실험의 결과에 실수값을 대응시켜

주는 함수이다. (기호 : X, , Z,..)

예) 동전을 세 번 던지는 실험

표본공간

(HHH)

(HHT)

(HTH)

(THH)

(HTT)

(THT)

(TTH)

(TTT)

이산확률변수와 연속확률변수

제1절 확률변수

X앞면이 나오는 횟수

3

2

1

0 실험 전에는 어떤 값이나올지 모르기 때문에확률변수라 한다.

Sang-Oh Shim제5장 이산확률분포

확률변수 X를 이산확률 변수라하고, X가 가질 수 있는 K개의 값을 x1, x2, .... xk

이라 하자.

P[X= xi] = p(xi) : X가 xi 값을 가질 확률

예) X : 어느 자동차 대리점이 지난 25일 동안 판매한 자동차 대수

한 대도 판매하지 못한 날이 3일 P[X=0] = 3/25 = 0.12

1대를 판매한 날이 7일 P[X=1] = 7/25 = 0.28

2대를 판매한 날이 9일 P[X=2] = 9/25 = 0.36

3대를 판매한 날이 4일 P[X=3] = 4/25 = 0.16

4대를 판매한 날이 2일 P[X=4] = 2/25 = 0.08

제2절 이산확률분포


이산확률분포 표

확률함수의 특성 모든 xi에 대해 p(xi)≥0 , i = 1, 2, ..., k

p(x1)+p(x2) + … + p(xk) = 1

자동차 판매대수

제2절 이산확률분포

x x1 x2 ... xk

p(x) p(x1) p(x2) ... p(xk)

x 0 1 2 3 4

p(x) 0.12 0.28 0.36 0.16 0.08


확률분포의 그래프

누적분포함수 F(x0)=P(X≤ x0)

자동차 판매대수의 예에서 자동차가 두 대 이하로 팔릴 확률은?

제2절 이산확률변수의 확률분포


누적분포함수 Example

F(0) = P(X≤0) = 0.12

F(0.5) = P(X≤0.5)= P(X=0) = 0.12

F(1) = P(X≤1) = P(0) + P(1) = 0.4

F(1.5) = P(X≤1.5) = 0.4

F(2)= 0.76

F(3)= 0.92

F(4) = 1

제2절 이산확률변수의 확률분포

x 0 1 2 3 4

p(x) 0.12 0.28 0.36 0.16 0.08

23/25

3/25

10/25

19/25

0 1 2 3 4

1


제3절 기대값과 분산

기대값 확률변수의 평균을 기대값이라 한다. 기대값 계산식의 이해

X : 자녀가 2명인 집안에서 아들의 수 / 표본 1000가구를 조사

E( X) = (0 × 260 + 1 × 517 + 2 × 223) / 1000

= 0 × 0.260 + 1 × 0.517 + 2 × 0.223 = 3.963

즉, E[X] = ∑x* 빈도/n E[X]= ∑x p(x) as n ∞ (모든 가구)

x P(x) 빈도 상대빈도

0 0.25 260 0.260

1 0.5 517 0.517

2 0.25 223 0.223

계 1.0 1000 1.000



이산확률 변수의 기대값과 분산

E(X)(=m) = ∑x p(x) (기대값)V(X) = ∑(x- m)2 p(x) = ∑x2 p(x) - m2 (분산)

예제(자동차 판매 대수)

기대값

분산 표준편차

판매대수 (X) 확률(p(x)) x*p(x) x*x*p(x)

0 0.12

1 0.28

2 0.36

3 0.16

4 0.08

계 1.0


예제 주당 제품의 생산량 (X)이 다음과 같은 분포를 갖는다. 주당 평균 생산량과 분

산을 구하시오. 즉, X의 기대값과 분산을 구하시오.


X 50 55 60 65

P(x) 0.1 0.3 0.4 0.2


연습어떤 투자안의 수익률이 경기상황에 따라 다음과 같이 예상되고, 각 경기상황이 발생할 확률이 아래와 같다고 하자.

평균 수익률과 표준편차를 구하시오. [투자론, 최운열, 1997, p.26]


상 황 호 황 보통 불황

확률 0.3 0.4 0.3

수익률 30% 20% 10%


기대값의 특성

X와 Y는 (이산)확률변수이고 a는 상수

1. E(a)=a

2. E(aX)=aE(X)

3. E(X+Y) = E(X)+E(Y) , E(X-Y)=E(X)-E(Y)

분산의 특성

X와 Y는 확률변수, a는 상수

1. Var(a) = 0

2. Var(aX) = a2Var(X)

3. Var(a+X) = Var(X)

4. X와 Y가 독립이면 Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) , Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)



예제 5-1

예제 5-2



예제 5-3



연습

주간 제품의 생산량(X)의 평균은 67.3 분산은 20.25였다. 만일 총생산비용(Y)이 200억원의 고정비와 제품 한 개당 300만원의 변동비용으로 이루어진다면,총 생산비용의 기대값과 분산을 구하시오.



제4절 이항분포

베르누이시행실험결과가 성공 또는 실패의 두 가지 상호배반사건으로 나누어질 수

있으며, 실험의 결과가 성공일 확률이 p이고 실패일 확률이 (1-p)인 실

험을 베르누이 실험 또는 베르누이 시행이라 한다.

베르누이 확률변수 X (실험결과를 나타내는 확률변수)

결과 : 성공 or 1 (X=1)

실패 or 0 (X=0)

베르누이 시행의 예자유투의 성공여부, 입사시험의 성공여부

Note

1. 베르누이 시행에서 성공의 확률은 p = P(X=1)

실패의 확률은 q=1-p = P(X=0)

2. 확률분포함수

p(x) = px(1-p)1- x x = 0, 1



이항실험성공의 확률이 p인 베르누이 시행을 n번 독립적으로 반복하는 실험.

이항 확률변수 이항 실험에서 성공의 횟수(X)

X가 가질 수 있는 값은 0,1,2,....n이다.

Note이항분포는 n과 p로 나타낸다.

(예)

1. 동전을 5번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수

n = 5 , p = 1/2

2. 불량률이 0.1인 공정에서 생산된 10개의 제품 중 불량품의 개수

n = 10 , p = 0.1



이항분포의 확률분포함수

P(X=x) = nCx px (1-p)n-x , x= 0,1,2,......n

Note1. 조합

n개중 x개를 뽑는 방법의 수

nCx = n!/x!(n-x)! , k! = k·(k-1)·(k-2)·........·2·1

2. [X=x] x번 (n-x)번

S·S·……·S· F· ……·F pX(1-p)n-X

nCx 개

F·F·……·F· S·S·……·S pX(1-p)n-X

n-x x

P[X=x]= nCx pX(1-p)n-X



[예제 5-4]



[예제 5-4] 이항분포표를 이용한 풀이

엑셀을 이용한 풀이



이항분포의 기대값과 분산 E(X) = np V(X) = npq = np(1-p)표준편차 = [V(X)]0.5 = [np(1-p)]0.5

[예제 5-5]

연습자신의 보험 체결확률이 0.4라고 믿고 있는 보험판매원이 5명을 방문했을 때

평균 체결 수는? 그리고 분산은?(해)


제5절 포아송분포

포아송분포를 적용하는 경우 지난 일주일 동안 복잡한 사거리에서 발생하는 교통사고의 수 회계장부 한 장에 있는 오류의 수 일정한 혈액소에 있는 백혈구의 수 어느 하루에 걸려오는 전화의 수 오전 10시부터 오후 3시 사이에 은행창구를 찾는 고객의 수

포아송분포의 특징 주어진 구간에서 사건의 평균 발생수는 구간의 시작점에는 관계가 없고 구간의

길이에만 영향을 받는다. 아주 작은 구간에서 2회 이상의 사건이 발생할 확률은 아주 작아서 무시할 수

있다. 한 구간에서 발생하는 사건의 수는 시간이나 공간의 구간별로 독립이다.



포아송 분포의 확률함수

포아송분포의 평균과 분산

평균=m = E(X) =

분산=s2 = V(X) =

표준편차 = s = 1/2



【예제 5-6】

포아송분포표를 이용한 풀이

엑셀을 이용한 풀이


제5절포아송분포

【예제 5-7】(1) 1시간 동안 방문하는 고객의 수(X)의 평균 및 표준편차를 구하라.

(2) 1시간 동안 방문하는 고객이 한 명도 없을 확률을 구하라.

(3) 3명 이상의 고객이 방문할 확률을 구하라.

Sang-Oh Shim제6장연속확률분포

학습목표

연속확률분포는 이산확률분포와 어떤 차이가 있는가?

평균과 표준편차에 따라 정규분포의 모양은 어떻게 달라지는가?

표준정규분포를 알아야 하는 이유는 무엇인가?

정규분포는 왜 중요한가?

제6장 연속확률분포

Sang-Oh Shim제6장 연속확률분포

1인분에 200g씩 판매하는 학교 앞 삼겹살 구이집에서 1인분이 정확하게제공되고 있는지를 조사하는 실험을 하였다고 하자.

X : 한꺼번에 5인분 즉 1,000g을 주문했을 때 제공되는 삼겹살의 양

제1절 연속확률분포의 기본개념

삼겹살의 양 대표값 빈도수 상대도수

950< X <= 960 955 3 0.03

960< X <= 970 965 8 0.08

970< X <= 980 975 15 0.15

980< X <= 990 985 22 0.22

990< X <= 1000 995 26 0.26

1000< X <= 1010 1005 14 0.14

1010< X <= 1020 1015 8 0.08

1020< X <= 1030 1025 3 0.03

1030< X <= 1040 1035 1 0.01

계 100 1


5인분의 무게에 대한 히스토그램 (계급구간 = 9)

P[950 < X < 960] = 기둥 높이 x 기둥 너비 = 10*0.003=0.03

P[1000 < X < 1030] = .14 + .08 + .03 = .25

기둥의 총 면적은 1.00이다.


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

955 965 975 985 995 1005 1015 1025 1035950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040


5인분의 무게에 대한 히스토그램 (계급구간 = 18)


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

952.5 957.5 962.5 967.5 972.5 977.5 982.5 987.5 992.5 997.5 1002.5 1007.5 1012.5 1017.5 1022.5 1027.5 1032.5 1037.5


5인분의 무게에 대한 히스토그램

P[950 < X < 960] =

P[1000 < X < 1030] =


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

940 960 980 1000 1020 1040

확률밀도함수

임의의 함수 f(x)가 확률밀도함수가되기 위해서는 다음 성질을 만족해야 한다

f(x) ≥ 0, - < x <

1)(

dxxf



연속형 확률분포

이산형 확률분포와 연속형 확률분포의 성질비교

0≤p(xi) ≤1이나 f(x)는 1보다 큰 값을 가질 수 있다.

이산확률분포에서는 이나

연속확률분포에서는

이산확률분포에서는 X가 어떤 값 a를 가질 확률이 P(X=a)=p(a)로 존재하

나 연속확률변수에 대해서는 P(X=a)=0으로 정의된다. P(X=a) ≠ f(a)

p (a x b)

a b

d

cxpdXcP )()(

dxxfdXcPd

c )()(


연속형 확률분포

연속형 확률분포의 평균과 분산


dxxxfXE )()(

dxxfxXEXV )()()()( 222


제2절 균일분포와 지수분포

균일(균등, uniform) 분포 (distribution)

평균

표준편차

예제 6-1

지수(Exponential)분포

포아송 분포(단위 시간, 길이, 넓이당 평균 몇개 발견)와 배다른 형제

발견당 간격(시간, 길이, 넓이 등등)

λ : 횟수 μ

f(x): cdf F(x): pdf


제3절 정규분포

정규분포의 확률밀도함수

정규분포의 특징

1. 정규분포의 모양과 위치는 평균 = 와

분산 = 2에 의해 결정됨

2. 정규분포곡선에서 가장 높은 위치에 해당하는 x축의 점이 분포의 평균, 중앙값, 최빈값이다.

3. 정규분포곡선은 종모양이며 평균 를 중심으로 대칭이다.

4. 평균 는 분포의 위치를 결정하고 분산2 분포의 모양결정. <그림 6-10> (192쪽)

• 곡선 아래의 면적은 1이다

xexfx

- , 21)( 2

2

2)(


서로 다른 평균과 분산을 갖는 여러 정규분포들




정규분포의 특징

5. 두 점 사이 정규분포곡선 밑의 면적은 확률변수가 두 점 사이에 있을확률이다. 정규분포곡선의 아래의 총 면적은 1.0이다.

6. 정규분포에서 평균으로부터 ±σ안에 있을 확률이 68.26%이며 ±2σ안에 있을 확률이 95.44%이며 ±3σ안에 있을 확률이 99.73%이다.

7. 기호 : X ~ N(, 2)


표준정규분포란?

평균이 =0이고 분산 2 이 1인 정규분포.

기호

Z ~ N(0,1)

표준정규분포의 특징

0을 중심으로 대칭

모양이 항상 일정

위치도 항상 일정

제4절 표준정규분포

1

0

zezfz

- , 21)( 2

2


기본개념

X~N(,2)이라 하자. Z=X-/ 라 하면 Z~N(0,1)이다.

예

X ~ N(50,102) Z = X-50/10 ~ N(0.1)


50

10

0

1 X-50

X/10


예 계속

P(X>60)을 표준정규분포로 표현 (그래야 확률을 구할 수 있음))

P(X-50/10 > 60-50/10) = P(Z>1)


50

10

0

1 X-50

X/10


표준정규분포에서의 확률계산 <표 6-1> 표준정규분포표 (199쪽)는 P(Z<z)를 나타내고 있음.


Z =-1

P(Z<-1)

-1 1

P(-1<Z<1)

z =1

P(Z>1)

P(Z<1)

0

z0


표준정규분포에서의 확률계산 예제 1

1. P(Z<1) =2. P(Z<-1) =3. P(Z>1) = 1 - P(Z<1)4. P(Z>-1) = P(Z<1)5. P(-1.5<Z<1))

연습

1. P(Z < 2.33)

2. P(Z<-1.64)

3. P(Z>2.33)

4. P(Z>-1.64)

5. P(-1.64<Z<2.33)

6. P(1.64<Z<2.33)



X~N(,2)의 Z로의 변환

1. P(X<a) = P(Z<(a-)/)

2. P(X>b) = P(Z>b-/)

3. P(a<x<b) = P(a-/ < Z < b-/)

예제 : 정규분포의 성질

1. P(- <x<+)

2. p(-2 <x< +2)

3. p(-3<x<+3)



[예제 6-4]

정규확률변수 X가 평균 80과 표준편차 8인 정규분포를 따를 때, 아래

의 문제에 대해 표준정규분포표를 이용하여 확률을 구하라. ① P(X<90)

② P(X<76)

③ P(X<92)

④ P(70<X<86)

⑤ P(84<X<92)

⑥ P(66<X<74)


숙제#3 연습문제9, 10, 12, 13

Sang-Oh Shim

숙제 #3연습문제 4.12, 4.14

연습문제 4.19, 4.23

워드 또는 한글로 풀이과정을 사이버한밭에 제출할 것 ~10/14

숙제 #4연습문제 5.13, 5.15

연습문제 6.5, 6.12, 6.16

엑셀의 확률분포함수 기능을 이용하여 제출할 것 ~10/14


Sang-Oh Shim제7장표본분포

학습목표 표본추출의 필요성과 방법을 설명할 수 있다.

표본평균들의 분포가 무엇인지 실험을 통해서 그 원리를 파악한다.

중심극한정리를 이해하고 이를 이용하여 원하는 값을 계산할수 있다.

표본비율에 대한 중심극한 정리를 이해한다.

표본분산의 분포에 대해 이해한다

제7장 표본분포

Sang-Oh Shim제7장 표본분포

리터러리 다이제스트 1936년 미국 대통령 선거

루즈벨트 vs. 랜던

루즈벨트의 당선 리터러리 다이제스트 판매 부수 격감, 폐간

제1절 표본의 기본개념

리터러리 다이제스트 갤럽

표본크기 240만명 (1000만>) 5만명

유권자선정

자동차 등록자료에서 선택전화번호에서 선택잡지사의 주관에 의한 표본 선택

미국 전역에 있는 유권자(할당추출)

예상후보 랜던 루즈벨트

http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=214&contents_id=33664


리터러리 다이제스트라는 잡지를 아세요?



표본추출의 의미


표본추출

모집단 표본

특성들특성들

추측


표본추출의 의미

센서스 census, enumeration 모집단 전체를 조사하는 것 /전수조사

표본조사 sampling 모집단으로부터 표본을 추출하여 표본으로부터 모집단의 특성파악

표본조사를 하는 이유 시간과 비용의 제약성 모집단이 무한 모집단인 경우 전수조사 불가능 파괴성을 지닌 조사에는 전수조사가 불가능



표본추출 방법

확률표본 각 표본단위가 표본에 포함될 확률이 미리 알려져 있을 때 추출된 표본 (예)

– 2500의 공인회계사 모임에서 50명의 표본을 추출하는 경우

장점① 표본조사에 따르는 오류의 한계를 알 수 있다.② 편의 (bias)를 줄일 수 있다.

편의 = 모집단의 참 값 – 표본에서 얻은 결과

비확률 표본 모집단으로부터 표본을 추출할 때 모집단을 대표할 만하다고 판단되어

추출된 표본 (예)

– PD가 TV프로그램의 시청자의견을 조사하기 위해 자기가 사는 아파트단지 주민 중 적당히 100명 추출



확률표본의 종류

단순확률표본추출 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본을 추출하는 경우, 각 원소의 추출확

률을 모두 동일하게 하여 표본을 추출하는 방법

난수표, 회전판을 이용

장점– 단순무작위추출은 이해하기 쉽고,

– 자료 분석결과가 사전에 정해진 허용오차 내에서 모집단에 대한 대표성을 가

질 수 있음

단점– 모집단을 구성하는 요소들의 목록을 확보하기 어려움 (정보 획득 불가능, 비용)

추출단위 목록이 있거나 모집단이 작은 경우 유리

– 다른 고급 확률표본추출과 비교해 볼 때, 단순무작위추출은 비효율적이며, 불

안정한 추정량을 제공




층별 추출법

모집단을 어떤 속성에 따라 여러 층(stratum)으로 나눈 후 각 층에서 단순

확률표본을 추출하는 것.

층은 동일한 성격을 지닌 원소로 구성됨

모집단을 층별 그룹으로 구별하는 기준으로는 성별, 나이, 지역 등의 단일

기준으로 하는 경우와 교육과 수입, 성별과 연령 등과 같이 두 개 이상의

혼합기준으로 하는 경우가 있음.

대학생들의 사고방식 조사

– 학생들을 동질성을 갖는 학년으로 구분한 다음 각 학년별로 단순무작위추출

을 이용하여 추출함

비례적 층별 추출과 불비례적 층별 추출




군집(집락)추출법

모집단을 대개의 경우 자연적인 소집단 또는 집락(cluster)으로 나누고 이

들 중 일부를 표본으로 선택하여, 선택된 집락속의 원소들을 모두 관찰하

는 방법

집락은 동질일 필요가 없음

대학생들의 사고방식 조사

– 학생들을 군집에 해당되는 학과로 나눈 뒤에 단순무작위추출을 이용하여 추

출함

– 한 도시에 사는 사람들의 소득 수준을 조사하는 경우 몇 개의 동을 무작위로

선정한 후 각 동마다 일부 또는 전수조사를 실시

장점

– 비용경제성과 실행의 편의성이 높음




체계적(계통)추출법 모집단을 일렬로 늘어놓고(순번을 정한 다음) 일정한 간격으로 표본을 추

출하는 방법

장점– 단순무작위추출과 비교하여 적용이 쉽고, 시간과 비용을 절약할 수 있음

단점– 체계적 추출의 한계점은 모집단이 무한하거나 알려지지 않은 경우 추출이 불

가능– 샘플링프레임에서 나타나는 순서가 어떠한 주기성(periodicity)을 가지고 있는

경우에 유의하여야 함


단계 1. 샘플링 구간(k) 계산k = 모집단의 수 / 표본의 수

단계 2. 첫 번째에서 k번째 표본 사이에서 임의로 첫 번째 샘플 추출단계 3. 첫 번째 샘플로 부터 매 k번째 샘플 추출



한밭대학교 학생생활연구소에서 400명의 표본을 선발하는 경우

① 단순확률표본일련번호를 부여한 후 난수를 400개 생성하여 해당학생선발(1~ 8000)

② 체계적추출일련번호를 부여한 후 5번부터 매 20번째 학생을 선발

③ 층별추출전체 학생을 1, 2, 3, 4 학년으로 나누고 각 학년에서 100명씩 추출

④ 군집추출전체 학과 중 5개 학과를 선발하고 2학과에 속한 학생 전체를 표본으로 사

용



비확률표본의 종류

편의 추출 표본추출이 용이한 대상을 표본에 포함시키는 경우

편의추출은 하나의 새로운 아이디어나 가설을 탐색하거나, 신제품을 테

스트하는 경우 등 연구절차상 탐색단계나 질문지의 사전조사에 주로 이

용

일반적으로 사회과학조사에서 모집단의 특성이 크게 차이 나지 않고 동

질적(homogeneous)이라고 판단될 때 사용

장점– 자료를 신속하고 저렴하게 얻을 수 있음

단점– 모집단을 적절히 대표할 수 없는 경우가 발생할 수 있음

예– 길거리에서 만난 사람을 대상으로 표본을 선정

– 친구나 직장동료 등 친숙한 이들을 표본에 포함



비확률표본의 종류 판단 추출

연구자가 연구목적에 가장 적합한 표본이라고 생각하는 연구대상을 선택하는 방법

판단추출을 이용하면 비용을 절약할 수 있음 모집단에 대한 사전지식이 많은 경우 표본추출이 편리하고 정확도도 높

아짐 예

– 회사의 신제품 아이디어나 신제품 시험을 위해 회사종업원을 이용하는 경우» 회사종업원들이 자신들의 상품에 대해 더욱 잘 알고 있다고 판단하고 있으며

회사종업원들을 일차적으로 만족시키지 못하면 일반시장에서는 성공하지 못한다는 것을 기업주가 알고 있기 때문이다.

조사하고 있는 패널구성원 중 한 사람이 사정에 의하여 탈락하였을 경우이 사람과 비슷한 인구통계학적 특성을 지닌 다른 사람을 구성원으로 선별하는 경우에 판단추출을 이용

판단추출은 해당분양의 전문가로 선정된 표본이 실제로 유용한 정보를제공할 수 있다면 매우 유용한 표본추출방법



비확률표본의 종류

할당 추출 비확률 표본추출 중에서 가장 정교한 표본추출

사회과학연구에서 많이 사용되고 있는 방법

연구주제와 관련된 통제변수(control variable)의 특성에 따라 모집단을

몇 개의 세그먼트(segment; cell)로 나눈 후, 각 세그먼트에 대한 표본의

수를 나타내는 범주(category)나 할당량(quota)을 연구자의 판단아래 결

정

조사자는 주어진 할당량을 채우면 됨

예 : 교재 226쪽



표본평균의 분포

제2절 표본평균의 분포

모집단

평균분산모양

표본1

표본2

표본m

.

.

.

X1

X2

Xm

들의 분포? ① 평균? ② 분산? ③ 모양?

표본크기 n


정규분포로부터 추출한 표본평균의 분포

평균이 이고 분산이 인 정규모집단으로부터 동일한 크기 n의 표

본을 추출하여 그들의 평균을 계산한 후, 이 표본평균들의 분포를 보

면 , / 가 된다.

/



실험을 통한 표본평균의 분포에 대한 이해

모집단 분포 0과 100사이의 균일분포

μ = E(X) = 50, σ2 = V(X) = 833.3, σ = sd(X)=28.868


1000 , 100

1)( xxf 단

1/100

100 x

f(x)



n=3인 경우 균일분포를 따르는 모집단으로부터 3개의 표본을 추출

72.05 11.75 6.26

표본의 평균

(72.05 + 11.75 + 6.26) / 3 = 30.02

5번 반복한 결과


1 2 3 표본평균

12345

72.0517.781.4065.0082.49

11.7512.840.6759.5631.84

6.2684.4757.2475.2648.64

30.0238.3619.7766.6154.32

표본오류(sampling error)

모집단의 참값과 표본으로부터 얻은 통계량의 차이를 표본오류라고 한다.



n=3인 표본을 100번 반복하여 계산한 표본평균의 분포


0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

도수

평균 = 51.551분산 = 294.270표준편차 = 17.154

μ = E(X) = 50, σ2 = V(X) = 833.3, σ = sd(X)=28.868





0

5

10

15

20

25

30

35

40

45도수

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

평균 = 49.595분산 = 89.208표준편차 = 9.445

μ = E(X) = 50, σ2 = V(X) = 833.3, σ = sd(X)=28.868





0

10

20

30

40

50

60도수

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

평균 = 50.054분산 = 41.164표준편차 = 6.416

μ = E(X) = 50, σ2 = V(X) = 833.3, σ = sd(X)=28.868



결과로부터 얻어진 결론 표본평균들의 평균은 ( )에 가까워진다.

표본평균들의 분산이나 표준편차는 ( )진다.

표본평균들의 모양은 ( )형이 되며 ( )분포에 접근한다.


모집단0과 100사이의 균일분포

μ = E(X) = 50, σ2 = V(X) = 2500, σ = sd(X)=28.868

1000 , 100

1)( xxf 단


중심극한 정리

모집단의 분포에 관계없이 의 표본분포는 표본의 크기(n)가 충분히

크면 평균이 μ 이고 분산이 σ2/n인 정규 분포에 근사 한다.

즉 ~ N ( μ , σ2/n )

표본크기에 따른 표본분포의 형태 <그림 7-10> 참고


표본평균들의 기대값 모평균

표본평균들의 분산 모분산/n

표본평균들의 분포 정규분포


중심극한 정리

[예제 7-2]

[예제] 어느 과수원에서 생산되는 사과의 무게는 평균이 150g이고 분

산이 400인 것으로 알려져 있다. 만일 이 과수원에서 생산되는 사과

중 100개를 임의로 뽑았을 때 평균무게가 153g 이상일 확률을 구하

시오.



중심극한 정리

[예제] 건전지 평균수명은 1000시간이고 분산은 2500으로 알려져 있

다. 100개의 건전지를 단순 확률 표본으로 추출 했을 때 평균수명이

990 시간 미만일 확률은 얼마인가? (0.0228)


숙제 10, 11, 15


표본비율의 중심극한 정리

제3절 표본비율과 표본 분산의 분포

모집단p

표본1

표본2

표본m

p1

p2

pm

.

.

.

p1, p2, … , pm의 분포는?

(1) 평균 = p

(2) 분산 = p(1-p)/n

(3) 모양 : 정규 분포

즉, p ~ N ( p, p(1-p)/n)



[예제] 한 지방자체단체에 따르면 이 지방에 소재하고 있는 기업들의

75%가 외국인 근로자를 고용하고 있지 않다. 이 지방에서 100개의

기업을 추출하여 임의 표본을 얻었다고 하자. 외국인 근로자를 고용하지 않는 기업의 표본비율의 평균과 분산은 얼마

인가?

이 표본비율이 0.8보다 클 확률은?




[예제] 한 여행사에 따르면 관광코스 중에 가이드의 안내로 방문하는

상점에서 여행객의 20％는 물건을 구입한다고 한다. 여행객 중 180

명이 임의로 추출된 표본이 있다고 가정하시오. 여행객 중 물건을 구입하는 표본비율의 평균을 구하시오.

여행객 중 물건을 구입하는 표본비율의 분산을 구하시오.

여행객 중 물건을 구입하는 표본비율의 표준편차를 구하시오.

표본비율이 0.15보다 작을 확률을 계산하시오.


숙제 17, 18


표본분산의 분포 모분산이 σ2 인 정규분포를 이루는 모집단에서 표본을 추출할 때 각

표본의 분산 S2의 분포

모분산이 100인 정규분포에서 크기가 10인 표본을 500개 추출하여

각 표본에 대하여 계산한 표본분산들의 히스토그램

비대칭이며 긴 꼬리를 갖는다.


S2

빈도


표본분산의 분포 표본분산의 분포 - 카이제곱분포(Chi-square distribution)

분산이 σ2인 정규분포를 이루는 모집단으로부터 표본크기가 n인 선

택 가능한 모든 임의 표본이 추출되었을 때, 각 표본의 분산을 S2라고

하자. 그러면 (n-1)S2/σ2은 자유도 (n-1)인 카이제곱분포를 따른다.

χ2 = (n-1)S2/σ2 ~ χ2(n-1), p(χ2>????) = α

카이제곱분포의 그림


•카이제곱분포의평균과분산평균 = (n-1)분산 = 2(n-1)

학습목표

모수란?

추정이란 무엇일까?

점추정과 구간추정의 차이

모평균과 모비율에 대한 신뢰구간 구하기

엑셀을 이용하여 모평균에 대한 신뢰구간 구하기

제8장 추정

통계적 추론이란?

제1절 추정의 기본개념

모집단

•특성또는모수 •현상에대한주장

표본

•특성또는추정량•현상을관찰

통계적추론

•모집단에대한추측또는결정•추정과가설검정

INTRO

통계적 추론이란? 예제

어느 연구자가 A지역의 가구당 평균 월수입을 조사하기 위하여, 그 지역의 전체가구 중에서 임의로 20가구의 표본을 랜덤추출하여 월수입을 조사하였다.

(단위 : 만원)

152 128 146 142 113 140 161 185 142 164

132 160 140 154 126 109 138 182 144 172

세가지 문제 A지역의 가구당 평균 월수입의 참값을 어떻게 추측할 수 있는가? A지역의 가구당 평균 월수입의 참값이 속하는 범위를 어떻게 추측할 수 있는가? 만일 이 연구자가 A지역의 가구당 평균 월수입이 140만원이라고 주장한다고 할

때, 이 연구자의 주장이 옳다고 할 수 있는가?


통계적 추론이란? 점추정

표본에 의하여 얻어지는 정보를 이용하여 미지의 모수인 의 참값으로 생각되는 하나의 값을 일정한 과정에 의하는 구하는 과정

추정량(Estimator)과 추정값(Estimate)

표준오차 : 추정량의 표준편차

구간추정

모수 의 참값이 속할 것으로 생각되는 구간 (L, U) 을 제공하는 것

좋은 구간추정이 되려면 정확도와 신뢰도가 높아야 한다.

정확도란?

구간이 얼마나 모수의 참값에 대해 근사한 정보를 제공하는지를 나타내는 척도

구간의 길이, U – L, 로 나타냄

신뢰도란?

구간이 모수의 참값을 포함하고 있을 가능성을 나타내는 척도


점추정 좋은 추정량의 조건

1. 추정량의 기대값이 모수와 같아야 한다. (불편성)

2. 추정량의 분산이 적어야 한다.(정확할 가능성이 높음.)


모집단

평균()

표본평균

표본중앙값

표본최빈수

Pt. est

좋은 추정량들 (unbiased est.)


모집단

모평균()

모비율(p)

모분산(2)

표본평균( )

표본비율( )

표본분산(S2)

표 본

Xp

구간추정

구간추정을 사용한 예

일전에 막을 내린 ‘파리의 연인’의 시청률은 43.7%를 기록했다. 이 조사는 성인남녀 500명을 대상으로 조사한 것으로 95% 신뢰수준에서 표본의허용오차는 였다. 시청률 (40.7%, 46.7%)

제2절 구간추정

%3

Int. est

구간추정

신뢰구간모수 에 대하여 P(A< <B) = 1- 를 만족하는 구간 (A,B)를의 100(1-)% 신뢰구간이라 한다.

좋은 신뢰구간이란?1.정확도 :

구간이 얼마나 모수의 참값에 대해 근사한 정보를 제공하는지를 나타내는 척도

구간의 길이, B-A, 로 나타냄

2.신뢰도 : 구간이 모수의 참값을 포함하고 있을 가능성을 나타내는 척도

신뢰수준, 신뢰계수라고도 함


구간추정

신뢰구간의 원리

신뢰구간은 점추정량과 표준오차(표준편차의 함수로…)에 의해 구성

P( )= 1- 를 만족시키기 위하여….


모집단분포

XX -표준오차 +표준오차X

1-

X -표준오차 X +표준오차

구간추정

평균이 이고 분산이 2인 분포에서 뽑은 표본의 평균은 표본의 크기(n)이 크면 평균이 이고 분산이 2/n인 정규분포를 따른다. 즉,

중심극한 정리

모집단분포95%

X

n/96.1 n/96.1

),(~2

nNX

95.0)96.196.1( n

Xn

P 신뢰수준

오차한계

)96.196.1(n

Xn

X

모평균에대한 95% 신뢰구간


구간추정

)96.196.1(n

Xn

X 모평균에대한 95% 신뢰구간

알려져있지않음

표본

표본 모집단

nx 96.11

nx 96.12

표본 nx 96.13

표본 k nxk

96.1


모평균의 구간추정 모평균()에 대한 100(1-)% 신뢰구간 ( 2 이 알려져 있는 경우)

단 Z/2 는 표준정규분포에서 오른쪽 꼬리면적이 /2가 되는 표준정규확률변수의 값

Note

를 오차한계(ME)라 한다.

= 0.01 Z/2 =NORMSINV(0.995) = 2.575835=2.5175

= 0.05 Z/2 =NORMSINV(0.975) = 1.959961=1.96

= 0.1 Z/2 =NORMSINV(0.95) = 1.644853 = 1.645

),( 2/2/ nZX

nZX

nZ 2/


Est. #1

모평균의 구간추정【예제 8-1】 대졸 신입사원의 평균연봉에 관하여 조사한 결과, 표준편차는 500만원이고 정규분포를 따른다는 사실을 알게 되었다. 임의로 대졸 신입사원 25명을 추출하여 평균연봉을 조사하니 1800만원이었다. 신입사원의 평균연봉에 관하여

95% 신뢰구간을 구하라.

풀이


모평균의 구간추정

【예제 8-1】 엑셀을 이용한 풀이


모평균의 구간추정(2을 모르는 경우/대표본인 경우)

모평균()에 대한 100(1-)% 신뢰구간

단 Z/2 는 표준정규분포에서 오른쪽 꼬리면적이 /2가 되는 표준정규확률변수의 값

Note

),( 2/2/ nsZX

nsZX

) ( 경우큰크기가표본의)1,0(~/

)1,0(~/

Nns

XNn

X


Est. #2

모평균의 구간추정【예제 8-2】

A 은행에서는 85가구를 대상으로 신용카드의 예치금액을 조사하였다. 조사결과에 따르면 85가구의 평균 예치금액은 590만원이고 표본표준편차는 305.8만원이다. 전체 가구를 대상으로 신용카드의 평균 예치금액에 대한 95% 신뢰구간을 구하여라.

풀이


모평균의 구간추정(2을 모르는 경우/소표본인 경우)

<정리>

표본 (X1,X2, …, Xn)을 정규분포를 따르는 모집단으로부터 추출하였다고

하자.그러면 T= 는 자유도가 (n-1)인 t분포를 한다.

Note t분포의 특징1.평균이 0이며 좌우대칭이다.

2.표준정규분포와 유사하나 긴 꼬리를 갖는다.

3.t분포는 자유도에 의해 모양이 결정된다.

4.n이 아주 커지면 표준정규분포에 접근한다.

nsX

/


Est. #3

모평균의 구간추정 모평균()에 대한 100(1-)% 신뢰구간 (2을 모르는 경우/소표본인

경우)

단 t/2, n-1 는 t-분포에서 오른쪽 꼬리면적이 /2가 되는 값

Note =0.10, 자유도=10 t0.05, 10 = 1.812

=0.01, 자유도=15 t0.005, 15 = 2.947

=0.10, 자유도=20 t0.05, 20 = 1.725

),( 1,2/1,2/nstX

nstX nn


모평균의 구간추정【예제 8-3】 Z 전자회사는 새로운 방법으로 15명의 직원을 대상으로 직원훈련을 실시하였다. 교육실시 후 평가에서 합격으로 판정될 때까지 아래와 같은 시간(단위 : 일)이 소요되었다.

52, 44, 55, 44, 45, 59, 50, 54, 62, 46, 54, 58, 60, 62, 63

이 자료를 이용하여 새로운 직원훈련방법을 전체직원을 대상으로 실시할 때 합격까지의 평균 소

요시간에 대한 95% 신뢰구간을 구하여라.

풀이


모평균의 구간추정【예제 8-3】 엑셀을 이용한 풀이


모비율의 구간추정 Note

모비율 p의 좋은 추정량 :

X는 표본 중에서 관심있는 특성을 가진 대상의 수 이항분포를 따르는

확률변수 (n, p)

Note

의 표준편차

의 중심극한 정리

nXp /ˆ

p

nppnXVpV /)1()/()ˆ( nppnXVpsd /)1()/()ˆ(

p

)/)1(,(~ˆ npppNp


Est. #4

모비율의 구간추정 모비율(p)에 대한 100(1-)% 신뢰구간

단 Z/2는 표준정규분포에서 오른쪽 꼬리면적이 /2가 되는 값

))ˆ1(ˆˆ,)ˆ1(ˆˆ( 2/2/ nppZp

nppZp


모비율의 구간추정【예제 8-4】 A 전자회사는 자사의 제품을 구입한 후 다시 자사의 제품을 재구매 할 소비자의 비율에 관심을 갖고 500명의 소비자를 대상으로 제품의 만족도를 조사하였다. 이중 재구매를 답한 소비자는 250명이었다. A제품의 소비자중 재 구매할 소비자의 모비율에 대한 99% 신뢰구간을 구하여라.


추정-단일 모평균에 대한 추정 구간추정

[예제] 어느 연구자가 A지역의 가구당 평균 월수입을 조사하기 위하여, 그 지역의 전체가구 중에서 임의로 20가구의 표본을 랜덤추출하여 월수입을 조사하였다. 모집단의정규분포를 가정하고 다음에 답하시오.

(단위 : 만원)

152 128 146 142 113 140 161 185 142 164

132 160 140 154 126 109 138 182 144 172

위의 자료를 이용하여(1) A 지역의 가구당 평균 월수입을 추정하고 표준오차를 구하라.(2) A 지역의 가구당 평균 월수입에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오.

제3절 엑셀을 이용한 구간 추정

모평균에 대한 추정 구간추정

단계 1> 빈 워크시트에 자료를 입력한다.


Excel


단계 2> 메뉴에서 [도구(T)] – [데이터 분석(D)]을 선택한다. [통계 데이터 분석] 대화상자가 나타나면, ‘기술통계법’을 선택하고 [확인] 버튼을 누른다.



단계 3> ‘기술통계법’ 대화상자에서 다음과 같이 입력하고, [확인] 버튼을 누른다.



단계 4> 다음과 같은 결과를 확인할 수 있다.



단계 5> 단계 4> 의 출력결과에 다음과 같이 신뢰하한과 신뢰상한의 계산결과를 추가한다. 셀 E17과 E18의 입력 내용은 다음과 같다.

E17 ; = E3 - E16E18 : = E3 + E16


숙제 2, 3, 8, 9, 10, 13

제 9장 가설 검정

-강의목표 –

표본을 이용하여 얻어진 결과를 통해서 모집단의 특성에 대한주장을 판단하는 과정에 대해 이해함.

가설검정의 여러가지 용어 : 귀무가설, 대립가설, 유의확률, 유의수준

가설검정의 절차를 이해 엑셀을 이용하여 가설검정을 수행하는 방법을 익힌다.

제 9장 가설 검정 경영통계학 2

제1절 가설검정의 기본개념

통계적 가설검정이란?

표본을 이용하여 모수에 대한 예상이나 주장 또는 단순한 추측 등의 옳고 그름을 판단하는 과정

가설과 관련된 주장들

“새로 개발한 진통제는 기존의 진통제 보다 진통효과가 더 길다”

“국산 전구의 수명이 외국산 전구의 수명보다 더 길다”

“이 정책에 대한 국민의 지지도는 과반수이상 이다”

“A자동차의 리터당 연비가 11.5km 이다.”

“ 어느 단체장 지지율은 60% 이상이다.”


제1절 가설검정의 기본개념

통계적 가설검정과 관련된 사례

[사례 1] 작년에 입사한 대졸 신입사원의 평균연봉에 관하여 조사한 결과, 평균

연봉은 1,750만원이고 표준편차는 40만원임을 알게 되었다. 올해에 입사한 대졸 신입사원 36명을 임의로 추출하여 평균연봉을 조사한 결과는 1,770만원으로 얻어졌다고 하자.

올해에 입사한 사원들의 월급이 작년도 입사한 신입사원에 비하여 실제로 20만원 인상되었는가?

[사례 2] A 전자회사의 경영진은 자사의 제품을 구입한 후 다시 자사의 제품을

재구매 할 소비자의 비율을 70%로 파악하고 있다. A제품의 소비자 중500명의 소비자를 대상으로 새롭게 제품의 재구매 여부를 조사하였더니 재구매를 응답한 비율은 60%로 조사되었다.

제품의 재구매 비율이 실질적으로 10% 하락되었는가?


제2절 가설검정의 방법

가설검정의 절차(전통적인 방법)

가설의 설정 검정통계량 계산 기각역 결정(유의수준)

의사결정

가설의 설정

통계적 가설이란? 모수에 대한 예상, 주장 또는 단순한 추측

귀무가설 설정된 가설이 잘못되었다는 충분한 증거가 제시되기 전까지 참

(true)으로 받아들여지는 가설

H0으로 표시



가설의 설정

대립가설 귀무가설이 잘못되었다는 충분한 증거로 귀무가설을 기각할 때 받아

들이는 가설

입증하고자 하는 사실이나 주장

H1으로 표시

가설검정의 유형

귀무가설 H0 : = 0

대립가설 H1 : ≠ 0 (양측가설)H1 : > 0 (단측가설)H1 : < 0 (단측가설)



가설의 설정【예제 9-1】

[사례 1]의 경우에 ‘올해 입사한 신입사원의 평균연봉이 작년에 입사한대졸 신입사원의 평균연봉 1750만원에 비하여 인상되었는지’에 관한가설을 설정하시오.

【예제 9-1】[사례 2]의 경우와 같이 ‘A 전자회사 제품을 구입한 후 새롭게 조사된제품의 재구매 비율이 기존의 비율 70%와 비교했을 때 같지 않은지’에관한 가설을 설정하시오.

H0 : p = 0.7

H1 : p ≠ 0.7

H0 : = 1750

H1 : > 1750



검정통계량

검정통계량이란 귀무가설과 대립가설 중에서 하나의 가설을 입증하기 위하여 사용하는 통계량

모집단 평균의 가설검정

모집단 비율의 가설검정

nX

Z/

0

nS

XZ

/0

npp

ppZ

)1(

ˆ

00

0

nSX

T/

0



제1종 오류와 제2종 오류

채택과 기각

[사례 1]에서 제1종 오류와 제2종 오류

유의수준()이란? 제1종 오류를 범할 확률의 최대 허용한계

보통 0.05(5%), 0.01(1%), 0.1(10%)를 사용

실제현상

H0 참 H0 거짓

옳은 결정 제2종 오류

제1종 오류 옳은 결정

H0 채택

H0 기각

검정결과

H0 : = 1750

H1 : > 1750



기각역

귀무가설을 기각할 수 있는 검정통계량의 영역

기각역의 범위설정 방법은 대립가설에서 사용된 >, <, ≠ 과 유의수준() 에 따라 결정



가설검정의 절차 요약

1. 귀무가설 H0와 대립가설 H1을 설정한다.

2. 유의수준()를 결정한다.

3. 검정통계량을 선택하고 귀무가설이 옳다는 가정하에서 검정통계량 분포를 구한다.

4. 기각역을 구한다.

5. 기각역에 검정통계량이 포함되는지 여부를 파악하여 결과를 판정한다.


제3절 모평균에 대한 가설검정

가설ⅰ. H0 : = 0 ⅱ. H0 : = 0 ⅲ. H0 : = 0

H1 : > 0 H1 : < 0 H1 : ≠ 0

2 이 알려진 경우의 모평균에 대한 검정.

검정 통계량 :

기각역

ⅰ. H1 : > 0 Reject H0 if

ⅱ. H1 : < 0 Reject H0 if

ⅲ. H1 : ≠ 0 Reject H0 if

nXZ

/0

zZ

zZ

2/|| zZ



[예제 9-3]n = 36 , X = 1770 , = 40 , = 0.05

(해)



[예제] 어느 사회단체에 대한 기부금의 평균은 68,000원이며 표준편차는

6000원이다. 기부금을 장려하기 위하여 기부금과 관련된 법령을 개정하였다. 법령이 개정된 후 평균 기부금이 늘어났는지 검정하려 한다. 이를 위해36개의 표본을 추출하여 조사한 결과 평균 70,500원이었다. 법령이 개정된 후 평균기부금이 늘어났다고 할 수 있는 지 유의수준 1%에서 검정하시오.



2 이 알려져있지 않은 경우 모평균에 대한 검정.(표본의 크기가 큰 경우 (n≥30))

검정 통계량

기각역




nSX

Z/

0

zZ

zZ

2/|| zZ


제3절 모평균에 대한 가설검정【예제】 VIVA 신용카드 회사에서는 전국의 카드소유자들을 대상으로 카드소유기간을 조사한 결과 평균 36개월이었다. 수도권에 거주하는 VIVA 카드소유자들로부터100명을 임의로 선정하였으며 이 표본의 평균카드소유기간은 35개월이며 표준편차는 8개월이었다. 이 정보에 근거하여 수도권에 거주하는 카드소유자들을 대상으로평균 카드소유기간이 전국 평균보다 짧다고 할 수 있는지 5% 유의수준에서 검정하시오.



2 이 알려져있지 않은 경우 모평균에 대한 검정.(표본의 크기가 작은 경우 (n<30), 모집단의 분포가 N ( , 2) 임을 가정)

검정 통계량은

~ 자유도가 (n-1)인 t-분포를 따른다.

기각역




nSX

T/

0

1, ntT

1, ntT

1,2/|| ntT



【예제 9-5】 A 지역은 지역내 생산하는 4kg 쌀 부대의 실제무게를 자체조사하기로 결정하였다. 16 개의 4kg 쌀 부대를 대상으로 조사한 결과 평균이 3.9kg이고 표준편차가 0.4kg 으로 조사되었다. 조사결과로부터 쌀 부대의 무게가 잘못 표시되었다고 할 수 있는지를유의수준 5%에서 가설검정을 수행하시오. (단, 모집단은 정규분포를 가정한다.)



【예제】 자동차 부품 회사의 작년 회계연도 매출 송장의 평균 금액이 42,000원이었다고 한다. 금년도 매출 송장의 평균 금액을 알기 위하여 25개의 송장을 조사한 후 평균을 계산하였더니 43,000원이었으며 표준편차는 5,000원이었다. 금년도 평균금액이 작년에 비하여증가하였다는 가설을 5% 유의수준에서 검정하시오. (단, 모집단은 정규분포를 가정한다.)



유의확률(p-value)이란?

제1종 오류를 범할 확률

[예제] 새로운 전구 생산 공정에 관한 예.

- “기존의 공정으로 생산한 전구의 수명은 450시간.”

- 새로운 공정개발 전구 수명 > 450시간.

- 분산 = 360시간. / 분포는 정규분포를 따름.

가설

표본 n = 9

583, 518, 464, …, 376 X = 490.67

Note. 만일 새로운 공정이 효과가 없다면 새로운 공정에서 생산한 전구의

표본 평균은 450에 가까울 것이다. 즉, X ~ N(450,360/9)

H0 : = 450

H1 : > 450




P(X > 490.67) = P(Z > 2.03)= 0.0212

Interpretation of this probability귀무가설이 참인 경우 표본 평균이 490.67 이상이 될 확률은 2.1% 이다. 즉,

“이 표본은 평균이 450인 모집단으로부터 나왔을 가능성이 아주 적다.”는 것을 나타냄 (관측된 표본의 결과가 귀무가설을 지지하는 정도)

“귀무가설이 틀리다”는 결론을 내렸을 때 그 판단이 잘못되었을 가능성이0.0212 (제1종오류를 범할 확률)

유의확률이 0.0212

유의확률과 유의수준을 이용한 의사결정 유의확률(p-value) < 유의수준(a)인 경우 H0를 기각 (H1을 채택)

검정통계량의 값이 기각역의 범위에 속하는 경우




유의확률 계산방법(모분산 2이 알려져 있는 경우)

ⅰ. H1 : > 0 P – value =

ⅱ. H1 : < 0 P – value =

ⅲ. H1 : ≠ 0 P – value =

유의확률 계산방법(모분산 2을 모르는 경우, 표본의 크기가 큰 경우)

ⅰ. H1 : > 0 P – value =

ⅱ. H1 : < 0 P – value =

ⅲ. H1 : ≠ 0 P – value =

]/

[ 0n

xZP

]/

[ 0n

xZP

]/

[2 0n

xZP

]/

[ 0

nSx

ZP

]/

[ 0

nSx

ZP

]/

[2 0

nSx

ZP




유의확률 계산방법(모분산 2을 모르는 경우, 표본의 크기가 작은 경우)

ⅰ. H1 : > 0 P – value =

ⅱ. H1 : < 0 P – value =

ⅲ. H1 : ≠ 0 P – value =

]/

[ 0

nSx

TP

]/

[ 0

nSx

TP

]/

[2 0

nSx

TP


제3절 모비율에 대한 가설검정

가설ⅰ. H0 : p = p0 ⅱ. H0 : p = p0 ⅲ. H0 : p = p0

H1 : p > p0 H1 : p < p0 H1 : p ≠ p0

검정통계량

기각역

ⅰ. H1 : p > p0 Reject H0 if

ⅱ. H1 : p < p0 Reject H0 if

ⅲ. H1 : p ≠ p0 Reject H0 if

유의확률 계산방법은 앞과 동일함

npppp

Z/)1(

ˆ

00

0

zZ

zZ

2/|| zZ


제3절 모비율에 대한 가설검정【예제 9-7】 A 전자회사는 자사의 제품을 구입한 후 다시 자사의 제품을 재구매 할소비자의 비율은 60%로 파악하고 있다. 이를 확인하기 위하여 500 명의 소비자를대상으로 제품의 만족도를 조사하였다. 이중 재구매를 답한 소비자는 350명이었다. A제품의 소비자중 재구매할 소비자의 비율이 증가되었다고 할 수 있는가? 유의수준1%에서 가설검정을 수행하시오.

제10장두 모집단에 대한 추론

-강의목표 – 두 모집단의 특성에 대한 차이를 표본을 이용하여 얻어진

결과를 통해서 추측하고 판단하는 과정에 대해 이해함. 독립표본과 상체표본에 대한 이해를 한다. 엑셀을 이용하여 가설검정을 수행하는 방법을 익힌다.

제10장 두 모집단에 대한 추론 2

제1절 두 모집단의 추론에 관한 기본개념

두 모집단의 추론이란?

모집단 1

분포

모평균 =

모분산 =

모비율 =

211

모집단 2

분포

모평균 =

모분산 =

모비율 =

222

1p 2p


제2절 두 모집단의 모평균에 대한 추론

두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우 두 모평균 차에 대한 추정

세 가지 경우

• 모분산 을 아는 경우

• 모분산 을 모르지만

인 경우

22

21 ,

22

21 ,

22

21

모집단 1정규분포

모평균 = 모분산 = 2

11

표본 1크기 = n1표본평균 =

표본분산 = 21S1X

21

21 XX

모집단 2정규분포

모평균 = 모분산 = 2

22

표본 2크기 = n2표본평균 =

표본분산 = 22S2X



두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우 의 표본분포 특성(모분산을 아는 경우)

21 XX

정규분포

21 에 대한 100(1-)% 신뢰구간

NoTe

만약 를 모르지만표본크기가 충분히크다면 를 S2로 대체할 수 있다.

2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/21 )( ,)(nn

ZXXnn

ZXX



두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우

신뢰구간 (모분산을 모르지만 등분산(=

)인 경우)

통합표본분산 Sp를 이용

21 에 대한 100(1-)% 신뢰구간

21)2/,2(21

21)2/,2(21

11)(,11)(2121 nn

StXXnn

StXX pnnpnn

2)1()1(

21

222

2112

nn

SnSnS p



두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우 두 모평균 차에 대한 가설검정

귀무가설 H0 : = 2

대립가설 H1 : - 2 > 0 ( ⇔ > 2)H1 : - 2 < 0 ( ⇔ < 2)H1 : - 2 ≠ 0 ( ⇔ ≠ 2)

세 가지 경우

모분산 ,

을 아는 경우

모분산 ,

을 모르지만 =

인 경우



두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우 두 모평균 차에 대한 가설검정(모분산

, 을 아는 경우)

검정 통계량은 이다.

기각역

ⅰ. H1 : 1 - 2 > 0 Reject H0 if Z > zⅱ. H1 : 1 - 2 < 0 Reject H0 if Z < zⅲ. H1 : 1 - 2 ≠ 0 Reject H0 if | Z| > z

유의 확률 (P – value)

ⅰ. H1 : 1 - 2 > 0 P – value =P[Z>z0]

ⅱ. H1 : 1 - 2 < 0 P – value = P[Z<z0]

ⅲ. H1 : 1 - 2 ≠ 0 P – value = 2P[Z>|z0|]

2

22

1

21

210 /)(nn

XXz




, 을 모르지만

=

인 경우)

검정 통계량은 이다.

기각역

ⅰ. H1 : > 0 Reject H0 if t > t(n1+n2-2,)

ⅱ. H1 : < 0 Reject H0 if t < t(n1+n2-2,)

ⅲ. H1 : ≠ 0 Reject H0 if | t | > t(n1+n2-2,)

21

2121 /)(

nnnnSXXt p




, 을 모르지만

=

인 경우)


ⅰ. H1 : > 0 P – value =P[T>t0]

ⅱ. H1 : < 0 P – value = P[T<t0]

ⅲ. H1 : ≠ 0 P – value = 2P[T>|t0|]



두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우

예제 10-1A 은행은 마포지점과 성북지점에서 임의로 각각 12명과 10명의 성인가입자의 은행잔고를 조사한 결과는 아래와 같다.

마포지점: 1208, 983, 1037, 836, 978, 915, 996, 699, 1223, 1085, 1119, 921

성북지점: 1081, 971, 1032, 886, 958, 1043, 734, 747, 906, 842

각 지점의 은행잔고는 정규분포를 따르며 은행잔고의 분산은 같다고 가정하자.

1) 두 지점간의 평균 은행잔고의 차에 관한 90% 신뢰구간을 구하시오.

2) 두 지점 예금자의 평균 은행 잔고액에 있어서 유의한 차이가 있는지를유의수준 10%에서 가설검정 하시오..



두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우예제 10-11) 두 지점간의 평균 은행잔고의 차에 관한 90% 신뢰구간을 구하시오.

21 에 대한 100(1-)% 신뢰구간

21)2/,2(21

21)2/,2(21

11)(,11)(2121 nn

StXXnn

StXX pnnpnn



두 모집단의 평균비교 : 독립표본인 경우예제 10-11) 두 지점 예금자의 평균 은행 잔고액에 있어서 유의한 차이가 있는지

를 유의수준 10%에서 가설검정 하시오.

가설설정 H0 : = 2

H1 : - 2 ≠ 0 ( ⇔ ≠ 2) 검정통계량

기각역

21

2121 /)(

nnnnSXXt p



두 모집단의 평균비교 : 독립표본 두 모평균 차에 대한 가설검정 (모분산

, 을 모르는 경우)

예제 10-1 : 엑셀을 이용한 풀이

(자료는 A1:A13과 B1:B11에 입력되어 있음)

Step 1 : 도구(T) - 데이터분석(D) - <t-검정: 등분산 가정 두 집단>을 클릭



두 모집단의 평균비교 : 독립표본 두 모평균 차에 대한 가설검정(모분산


예제 10-1Step 2 “t-검정: 등분산 가정 두 집단” 대화상자에서 필요한 값을 입력한다.

.





예제 10-1Step 3 나타난 결과를 해석한다.

p-value




예제

한 연구자는 소프트웨어산업 근로자와 제조업 근로자를 대상으로 평균 지능지수를 조

사하였다. 두 모집단은 정규분포하며 소프트웨어산업 근로자 지능지수의 분산은 100,그리고 제조업 근로자 지능지수의 분산은 144였다. 이 두 모집단으로부터 각각 크기

25와 16인 표본을 서로 독립적으로 추출하여 다음과 같은 표본 자료를 얻었다.

<표 10-1> 두 산업별 근로자의 지능지수

표본 1 (소프트웨어산업 근로자의 지능지수)108 107 101 108 103 109 103 116 116 115 111 116 109 111 120 102 119 124

101 114 128 111 115 129 126표본 2 (제조업 근로자의 지능지수)116 98 94 89 124 99 114 114 99 89 110 117 99 94 92 117

(1) 두 그룹의 평균 지능지수 차에 대한 95% 신뢰구간을 계산하라.(2) 통념적으로 소프트웨어산업 근로자들의 평균 지능이 높다고 믿고 있는데 이런 통념이

타당한지 조사하기 위해 1% 유의수준에서 두 그룹 근로자들의 평균 지능이 같다는 귀

무가설을 검정하라.





예제

(1) 두 그룹의 평균 지능지수 차에 대한 95% 신뢰구간을 계산하라.

21 에 대한 100(1-)% 신뢰구간

2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/21 )( ,)(nn

ZXXnn

ZXX

16144

2510096.1)06.10488.112( ,

16144

2510096.1)06.10488.112(

61.396.182.8 ,61.396.182.8

07.782.8 ,07.782.8

89.15 ,75.1



두 모집단의 평균비교 : 독립표본 두 모평균 차에 대한 가설검정

(모분산 ,

을 아는 경우)

예제

(2) 통념적으로 소프트웨어산업 근로자들의 평

균 지능이 높다고 믿고 있는데 이런 통념이 타

당한지 조사하기 위해 1% 유의수준에서 두 그

룹 근로자들의 평균 지능이 같다는 귀무가설

을 검정하라.

Step 1 자료를 다음과 같이 워크시트에 입력한

다.





예제

Step 2 도구의 데이터 분석을 실행하고 대화상자에서 “z-검정:평균에 대한 두

집단”을 선택한다.





예제

Step 3 “z-검정:평균에 대한 두집단” 대화상자에서 필요한 값을 입력한다.





예제

Step 4 나타난 결과를 해석한다.

p-value






두 모집단의 평균 비교 분석

독립표본인 경우

분산의 동일성 검정 수행

F-검정: 분산에 대한 두 집단

t-검정 : 등분산 가정 두 집단 t-검정 : 이분산 가정 두 집단

대응표본인 경우

t-검정 : 대응비교

= ≠


독립표본과 대응표본 예제1

지역환경에 따라 학력에 차이가 있는지를 알아보고자 한다.

두 도시의 고등학교 1학년 학생 중에서 각각 150명과 200명을 독립적으로 랜덤추출

(독립표본)

동일한 시험을 시행

이 때 시험성적을 비교함으로써 두 도시 학생의 학력을 비교할 수 있다.

예제 2새로운 강의방식이 초등학교 1학년 학생들의 학습능력을 향상시키는지 알아보고자

한다.

학습능력이 비슷한 학생끼리 2명씩 한 조를 이루게 하여 30개 조를 랜덤하게 편성

(대응표본)

각 조에서 랜덤하게 한 명을 선택하여 새로운 강의방식을 적용시키고 나머지 한명은

기존의 방식으로 강의

이 때 동일한 시험의 성적을 비교함으로써 새로운 강의방식의 효과를 알아볼 수 있다.



대응비교 : 대응표본인 경우 대응비교에서의 자료구조

쌍 1 2 3 ........ n처리1 X1 X2 X3 ....... Xn

처리2 Y1 Y2 Y3 ....... Yn

차이 D1 D2 D3 ....... Dn

21 D 에 대한 100(1-)% 신뢰구간

nStYXnStYX DnDn /))((,/)( )2/,1()2/,1(

i

iD nDDS )1/()( 22 ,단



대응비교 : 대응표본인 경우 가설검정

귀무가설 H0 : D = 0

대립가설 H1 : D > 0

H1 : D < 0

H1 : D ≠ 0

검정통계량

기각역

ⅰ. H1 : D > 0 Reject H0 if t > t(n-1, )

ⅱ. H1 : D < 0 Reject H0 if t < t(n-1, )

ⅲ. H1 : D ≠ 0 Reject H0 if | t | > t(n-1, )

두 가지 경우

• 모분산 을 아는 경우

• 모분산 을 모르는 경우2D

2D

nSYXt

D /



대응비교 : 대응표본인 경우


ⅰ. H1 : D > 0 P – value =P[T>t0]

ⅱ. H1 : D < 0 P – value = P[T<t0]

ⅲ. H1 : D ≠ 0 P – value = 2P[T>|t0|]



엑셀을 이용한 두 모집단의 평균 비교 분석

[예제 2] 표 10-1에 주어진 자료에 대하여

1) D 에 관한 95% 신뢰구간을 구하시오.

2) 방법1 과 방법2에 관하여 유의한 차이가 있는지를 유의수준 5%에서

가설 검정 하시오.


<표 10-1> 방법1과 방법2를 통한 임무 완수까지의 소요시간(단위: 분)

근로자소요시간

(방법1 사용)소요시간

(방법2 사용)소요시간 차이

123456

6.05.07.06.26.06.4

5.45.26.55.96.05.8

0.6-0.20.50.30.00.6




1) D 에 관한 95% 신뢰구간을 구하시오.





2) 방법1 과 방법2에 관하여 유의한 차이가 있는지를 유의수준 5%에서

가설 검정 하시오.



엑셀을 이용한 두 모집단의 평균 비교 분석 대응비교 : 대응표본인 경우

[예제] 어느 과학자는 휘발유에 자신이 개발한 새로운 첨가제를 넣을 경우에 주행거리

를 증가시킨다고 주장하였다. 이를 확신하기 위하여 10종류의 자동차에 대하여 실험

을 실시한 결과 1리터당 주행거리가 다음과 같았다.

차번호 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

사용전 11.5 15.8 20.3 18.2 25.3 09.8 14.8 16.0 16.4 13.5

사용후 12.3 15.5 23.2 19.5 28.1 10.2 16.2 15.8 16.5 14.4

위의 자료를 바탕으로 평균차이에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오.




[예제]

Step 1 자료입력 및 차이의 계산

=A2-B2




[예제]

Step 2 도구-데이터분석을 선택한 후 대화상자에서 기술통계법 선택




[예제]

Step 3 기술통계법 대화상자에서 필요한 값을 입력




[예제]

Step 4 기술통계법 결과를 이용하여

신뢰하한과 상한을 계산

=F4-F17

=F4+F17




[예제] 어느 과학자는 휘발유에 자신이 개발한 새로운 첨가제를 넣을 경우에 주행거리

를 증가시킨다고 주장하였다. 이를 확신하기 위하여 10종류의 자동차에 대하여 실험

을 실시한 결과 1리터당 주행거리가 다음과 같았다.

차번호 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

사용전 11.5 15.8 20.3 18.2 25.3 09.8 14.8 16.0 16.4 13.5

사용후 12.3 15.5 23.2 19.5 28.1 10.2 16.2 15.8 16.5 14.4

위의 자료를 바탕으로, 이 과학자의 주장을 받아들일만한 뚜렷한 증거가 있는지를 유

의수준 5%에서 검정하시오.

가설설정

귀무가설 H0 : D = 0 (차이가 없다 )

대립가설 H1 : D < 0 (첨가제 사용 후 주행거리 증가 )



엑셀을 이용한 두 모집단의 평균 비교 분석 [예제] 대응비교 - 엑셀을 이용한 수행절차 및 결과분석

단계 1> 자료를 입력한다.




단계 2> 메뉴에서 [도구(T)] – [데이터 분석(D)]을 선택한다. [통계 데이터 분석]

대화상자가 나타나면 [t-검정: 대응비교]를 선택하고 [확인] 버튼을 클릭한다.




단계 3> [t-검정: 대응비교] 대화상자가 나타나면 다음과 같이 검정을 위한 자

료의 입력 범위 및 출력 범위를 지정하고 [확인] 버튼을 누른다.




단계 4> 다음과 같은 검정 수행결과를 확인할 수 있다.

유의확률(p-value) = 0.009 < 유의수준(0.05)이므로 H0를 기각한다. 즉 첨가제를사용한 후 주행거리가 증가했다고 할 수 있다.


숙제

9.5 9.9 9.1210.4 10.6 10.9Excel) p.332~p.342

Due: ~ 12/2

제11장회귀분석

제11장 회 귀 분 석

학습목표 변수들 사이의 인과관계를 파악하는 방법 – 산점도와 상관계수 –

를 습득한다. 두 변수 사이의 관계를 나타내는 수학식을 구하고 해석하는 방법

(회귀분석)에 대해 학습한다. 주어진 자료에 대하여 회귀분석을 실시하기 위하여 엑셀을 이용

하는 방법과 얻어지는 결과를 해석하는 방법을 학습한다.


제11장 회 귀 분 석

목 차

제1절 산점도와 상관분석

제2절 단순선형회귀모형

제3절 엑셀 도구를 이용한 회귀분석

제4절 다중회귀분석


아파트단지 세대 수와 분기 제1사분기 매출액

표본번호세대수(X)

(단위 : 1000세대)분기 매출액(Y)(단위 : 백만원)

12345678910

2688121620202226

5810588118117136156168146202



산점도

관측순서에 따른 두 값을 좌표로 해서 작성된 그림 (엑셀의 차트마

법사로 작성)



상관계수

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20

ρ=+1 ρ=-1

ρ=+0.8ρ=-0.8



산점도

산점도를 해석하는 방법 관계가 없는 경우의 산점도

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8

X

Y



제1절산점도와 상관분석

상관계수

상관계수란?

상관계수의 성질

1. 상관계수 ρ는 -1과 1사이의 값을 갖는다.

2. ρ=+1이면, 두 변수 X와 Y는 완전한 양의 선형관계에 있음을 의미한다. 즉, 임의의 상수 a와 b에 대하여 Y=a+bX가 성립한다.

3. ρ=-1이면, 두 변수 X와 Y는 완전한 음의 선형관계에 있음을 의미한다. 즉, 임의의 상수 a와 b에 대하여 Y=a-bX가 성립한다.

4. 두 변수 X와 Y가 서로 통계적으로 독립이면 ρ=0이다. 그러나 ρ=0이라고해서 두 변수는 서로 독립이라고 할 수는 없다.

5. ρ가 +1이나 -1에 가까울수록 두 변수 X와 Y 사이에는 밀접한 관계가 있다고 할 수 있다.


상관계수

표본상관계수

【예제 11-1】 다음은 자료에 대하여 표본상관계수를 구하고 두 변수사이의 선형관련성을 평가하여라.

x y xy x*x y*y

71015

103050

32 90

2222 YnYXnX

YXnXYr



선형관련성과 비선형관련성



엑셀을 이용한 상관계수의 계산



아파트단지 세대 수와 분기 제1사분기 매출액

표본번호

세대수(X)(단위 : 1000세대)

분기 매출액(Y)(단위 : 백만원)

12345678910

2688121620202226

5810588118117136156168146202


세대 수와 매출액의 관계를가장 잘 나타낼 수 있는수학식을 그린다면…


종속변수와 독립변수

독립변수 : 변수의 변화가 다른 변수에 영향을 주는 경우 이를 독립변수 또는 설명변수라 함.

종속변수 : 다른 변수에 의하여 영향을 받는 변수, 반응변수

예 : IQ와 수학성적, 광고비와 매출액

회귀분석(Regression Analysis)란?

주어진 변수(종속변수)와 다른 변수들(독립변수) 간의 관련성을 기술하고 평가하는 방법



단순선형회귀모형

Y = 0 + 1 X +

여기서

Y는 우리가 설명하고자 하는 변수인 종속변수,

X는 독립변수

은 오차항 혹은 교란항(disturbance term)

이 때 독립변수 X는 종속변수 Y를 설명하는 변수로 주어진 상수로취급하며,

절편 0과 기울기 1은 독립변수에 의해 종속변수를 설명하기 위한모수인 회귀변수(regression coefficient)를 각각 나타낸다.




단순선형회귀모형의 가정

1. Y와 X간의 관계는 일차선형함수이다.

2. 독립변수 X의 값은 주어진 상수이다.

3. 오차항 ε은 서로 독립이고 평균 0과 고정된 분산 s2을 갖는 정규분

포를 따른다.



단순선형회귀모형의 다양한 형태

추정된 회귀식Y = b0 + b1 X



단순선형회귀모형의 추정절차



단순선형회귀모형의 회귀계수 추정

ii XbbY 10ˆ

iiiii XbbYYY 10ˆ

잔차



단순선형회귀모형에서 회귀계수(b0과 b1)의 추정

b0과 b1을 각각 b0과 b1의 추정값

: Yi의 예측값

잔차

잔차의 제곱합을 가장 적게 하는 b0과 b1을 구하는 기준 최소자승

법(method of least squares)

&

ii XbbY 10ˆ

iiiii XbbYYY 10ˆ

)( )(1

210

1

2 잔차제곱합

n

iii

n

ii XbbY

221 XnXYXnYXb

i

ii XbYbo 1



[예제 11-2] <표 11-1>의 세대수와 분기 매출액 자료에 대한 회귀모형을 설

정하고, 최소제곱법에 의하여 회귀선을 구하시오

표본 x y x*x y*y xy

1 2 58 4 3,364 116

2 6 105 36 11,025 630

3 8 88 64 7,744 704

4 8 118 64 13,924 944

5 12 117 144 13,689 1,404

6 16 136 256 18,496 2,176

7 20 156 400 24,336 3,120

8 20 168 400 28,224 3,360

9 22 146 484 21,316 3,212

10 26 202 676 40,804 5,252

합계 140 1,294 2,528 182,922 20,918

221 XnXYXnYXb

i

ii

XbYbo 1



결정계수란?

)( YYi 전체차이 )ˆ( ii YY

회귀모형에 의해 설명되지 못한 차이

)ˆ( YYi 회귀모형에 의해 설명된 차이

Y

2)( YYi 2)ˆ( YYi 2)ˆ( ii YY= +

총변동 회귀모형에 의해 설명된 변동 회귀모형에 의해 설명되지 않은 변동= +

SST SSR SSE= +



결정계수란?

이러한 결정계수는 0과 1사이의 값을 가지며 1에 가까운 값을 가질수록

추정 회귀직선이 자료에 잘 적합되는 것으로 평가한다.

【예제 11-3】에서 추정된 회귀직선에 대한 결정계수를 구하고, 추정

된 회귀직선이 주어진 자료에 적합한지 평가하시오

총변동회귀모형에 의해 설명된 변동

결정계수 = SSTSSR=



엑셀의 산점도에서 추정 회귀선 구하기0단계 : 자료를 이용하여 산점도를 작성한다.

1단계 : 마우스를 산점도 위의 임의의 점에 위치시키고 오른쪽 버튼을 클릭하고

나타난 메뉴 중에서 추세선 추가를 선택한다.

2단계 : 추세선 대화상자에서

- <종류>탭을 선택하고 추세/회귀 유형을 선형으로 선택하고

- <옵션>탭을 선택하고 '수식을 차트에 표시' 및 ‘R-제곱 값을 차트에 표시’

를 선택한 한 후

- <확인>단추를 누른다.



엑셀의 산점도에서 추정 회귀선 구하기



엑셀의 산점도에서 추정 회귀선 구하기



엑셀을 이용한 추정 회귀선 계산



세대수와 분기 매출액 자료를 이용한 회귀분석



세대수와 분기 매출액 자료를 이용한 회귀분석

Step 1 <데이터>-<데이터분석>을 선택한 후 회귀분석을 선택한다.



Step 2 입력대화상자에서 필요한 값을 입력한다.



Step 3 결과를 해석한다. Y = 60.3366 + 4.9331 X

상관계수

상관계수: 가설검정

상관계수: 가설검정: 예제

상관계수


상관계수


상관계수

정규모집단의 모분산 추정

모분산에 대한 추정

정규모집단의 모분산 추정

모분산에 대한 추정

모분산에 대한 가설검정

정규모집단의 모분산 검정

두 모집단의 모분산의 비에 대한 추정과 가설검정

두 정규모집단의 분산의 비에 대한 추정

두 정규모집단의 분산의 비 대한 검정

두 모집단의 모분산의 비에 대한 추정과 가설검정

분산분석

분산분석의 정의

- 분산분석(ANOVA：analysis of variance) -3가지 이상의 모집단 평균을 비교하는 통계적 방법

- 요인(factor)- 모집단간 평균의 차이를 유발하는 변수

- 처리(treatment)- 요인의 수준 또는 요인들의 수준조합

- 일원분산분석(one way ANOVA)- 1가지의 요인에 대해 비교하는 분산분석

- 이원분산분석(two way ANOVA)- 2가지 요인에 대해 비교하는 분산분석

분산분석-일원배치

분산분석의 정의: 일원배치법: 표본의 구성과 모형







이원배치법: 정의

분산분석-이원배치

이원배치법: 예제












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