변환과 연속시간 주파수 영역 해석contents.kocw.net/KOCW/document/2014/HankukForeign/kimmyoungjin/9.pdf · • 크기가 1이고 펄스 폭이 2 인 삼각 펄스의 푸리에

신호와 시스템 제5장

푸리에 변환과 연속시간

신호의 주파수 영역 해석


5.1 비주기 신호의 푸리에 변환

5.2 푸리에 변환의 존재 조건

5.3 푸리에 변환의 성질

5.4 주기 신호의 푸리에 변환

5.5 스펙트럼 밀도

5.6 주파수 응답과 LTI 시스템의 해석

5.7 선형 시스템을 표현하는 방법들 간의 상호 관계

5.8 푸리에 변환의 응용

5.9 시간 점유폭과 대역폭의 관계

5.10 MATLAB 예제


Linearity

Time Shifting

Properties of Fourier Transform

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ax t bx t aX bX

0

0( ) ( )j t

x t t e X

0 0

0

0 0

( )

0 0

(proof)

( ) ( )

( ) ( )

( )

j t

j t j t t

j t

x t t x t t e dt

e x t t e d t t

e X


Time Shifting

• Implication

시간 지연이 발생하는 통신 채널에서 수신 신호의 진폭 스펙트럼은

송신 신호와 동일하고, 위상 스펙트럼만 차이 발생

두 신호의 위상차는 주파수에 비례(linear phase)


0Let ( ) ( )y t x t t

0

0 0

0

0

{ ( )} { ( )} ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j t

j t j t

y t x t t e X

Y e X e X X

Y t X


[예제 5.9]


1

( )x t

2 4

t3

1

1.5

0

1 2

1 2

5 5( )

2 2

where ( ) 0.5 ( ), ( ) ( / 3)

x t x t x t

x t t x t t

1 2( ) ( )exp 5 / 2 ( )exp 5 / 2

1 3exp 5 / 2 3

2 2 2

X X j X j

j Sa Sa


Frequency Shifting and Modulation

• Shifting in frequency

• Modulation


( ) ( )oj t

oe x t X

( ) ( )cos( ) ( )

2

( ) ( )sin( ) ( )

2

o o

o

o o

o

X Xt x t

X Xt x t

j

0( )

( ) ( )

( ) ( )

o oj t j t j t

j t

o

e x t e x t e dt

x t e dt X


Frequency Shifting and Modulation

• Special case: x(t) = 1


2 ( )

cos( ) ( ) ( )

sin( ) ( ) ( )

oj t

o

o o o

o o o

e

t

tj


[예제 5.10] 진폭 변조


0

1

( )x t

( )X

2

2

2

0

t

2

0( ) ( )cos( )y t x t t

2

2

t0

( )Y

4

00

2

( )a

( )a

( )b

( )d( )c

0

( ) ( / )

( ) ( )cos( )

x t t

y t x t t


Symmetry

• Conjugate symmetry


( ) ( )x t X

*

( )( ) ( ) ( ) ( )j t j t j tx t x t e dt x t e dt x t e dt

If ( ) ( ), i.e. real-valued

( ) ( )

( ) ( ) amplitude spectrum is even

( ) ( ) phase spectrum is odd

x t x t

X X

X X

X X


Symmetry


( )

*( ) ( )

(proof)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j X

j X j X

x t X X e

x t X X e X e

( ) ( )

( ) ( ) , ( ) ( )

X X

X X X X


Symmetry


If ( ) is real and even, then ( ) is also real and even

( ) ( ) ( ) ( ) i.e. Im{ ( )} 0i.e.

( ) ( ) ( ) ( )

x t X

x t x t X X X

x t x t X X

If ( ) is real and odd, then ( ) is pure imaginary and odd

( ) ( ) ( ) ( ) i.e. Re{ ( )} 0i.e.

( ) ( ) ( ) ( )

x t X

x t x t X X X

x t x t X X


Duality


1

( ) ( ) ( )2

y t X t Y x

0

1

( )x t

( )X

1

2

2

0

t1

0

1

1

( )y t

2

2

0

t

( )Y

2

( ) ( / )x t t

( ) ( )

Sa( / 2)

y t X t

t

( ) Sa( / 2)X

( ) 2 ( )

2 ( / )

Y x


Convolution and Multiplication

• Convolution in time

• Multiplication in time


( ) ( ) ( )x t h t X H

1

( ) ( ) ( )2

x t h t X H

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

j t

j t

j j

x t h t x h t d e dt

x h t e dt d

x H e d H x e d

H X


[예제 5.11]

• 크기가 1이고 펄스 폭이 2인 삼각 펄스의 푸리에 변환


1

2

2

0

t

1

2

2

0

t

( / )t

t

( / )t ( / )t

( / )t

t

1

(a)

(b)

0

2

2

2 ( / 2)Sa


Differentiation


( )dx t

j Xdt

1

IFT

1( ) ( )

2

( ) 1( )

2

( )

j t

j t

x t X e d

dx tj X e d

dt

j X


Integration


( )( ) (0) ( )

t Xx d X

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )

( )(0) ( )

t

t

x t u t x u t d x d

x d x t u t x t u t

Xj

XX

j


[예제 5.12]


( )x t

t

1

1

11

( )dx

g tdt

t

1

11

(1)(1)

(a)

(b)

( ) ( 1) ( 1)2

( ) 2 ( )

sin2 2cos

j j

tg t t t

G Sa e e

0 0

1

1

( ) 2 ( ) 0

( ) 1 ( 1) ( 1) 0

j jG Sa e e

g t dt dt t dt t dt

또는

2

Since (0) 0

( ) 2sin 2cos( )

G

GX

j jj


[예제 5.13]


( )x t

t

1

t

1

1

dx

dt

t

1

2

2

2

d x

dt1

2

2

2

2

2

1( ) 2 ( ) ( )

12

2 4cos( ) 1 sin

2

j j

d xt t t

dt

d xe e

dt

2 2

2 2

2

4 sin ( / 2) sin ( / 2)( )

( ) ( / 2)

2

x tj

Sa

24 sin ( / 2)dx

dt j


Differentiation in Frequency


( )

dXjt x t

d

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

j t

j t

X x t e dt

dXjt x t e dt jt x t

d

미분하면


Scaling


1( )x at X

a a

1

( )x t

( )X

2

2

2

t2

1

( )x t

( )X

t

2


Parseval’s Theorem


2 21( ) ( )

2E x t dt X d

1( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1 ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

By letting ( ) ( ) we have

( ), ( ) ( ) ( )

j t

j t

x t y t x t y t dt x t Y e d dt

Y x t e dt d X Y d

y t x t

x t x t x t x t dt E

2

( )

( )( ) is called energy spectral density (ESD)

2

E d

X


[예제 5.15]


( ) ( ), 0atx t e u t a

2 2

0

1( )

2

atE x t dt e dta

2

2

2 2 2 20

1

2 2 2

1

0

1 1 1 1 1 1 1( )

2 2 2

1 1Use tan

1 1 1tan

2 2

E X d d d dj a a a

bxdx

ab aa b x

Ea a a a











5.10 MATLAB 예제


Let x(t) be periodic signal with period T0

• Fourier series

• Take Fourier transform on x(t)

• 주기 신호의 푸리에 변환은 주파수 영역에서 임펄스 열이 되며 각

임펄스의 가중치는 2 cn이 된다.

Fourier Transform of Periodic Signals

0

0

/ 2

/20

( )

1( )

o

o

j t

n

n

Tjn t

nT

x t c e

c x t e dtT

( )

2 ( )

o ojn t jn t

n n

n n

n o

n

X c e c e

c n


Define truncated signal xT(t)

The Fourier coefficients can be determined by


0 0( ),( ) 2 2

0, otherwiseT

T Tx t t

x t

0

0

0

0

/ 2

/20 0

0

0

1 1( ) ( )

1( )

1( )

o oT

jn t jn t

n TT

j t

Tn

T n

c x t e dt x t e dtT T

x t e dtT

XT


[요약] 주기 신호의 푸리에 변환

• 주기 신호의 푸리에 변환은 주파수 영역에서 임펄스 열이 되며 각

임펄스의 가중치는 2 cn 이 되는데,

• 여기서 cn 은 한 주기 부분만 취하여 만들어진 신호 xT(t)의 푸리에

변환을 n0에서 샘플링하고 주기로 나눈 것과 동일하다.


0

0

0 0

( ) 2 ( )

2( ) ( )

( ) ( )

n o

n

T o

n

T o

n

X c n

X n nT

X n n


[예제 5.16] 주기가 T0인 임펄스열의 푸리에 변환


t

( )x t

0 02T0T

03T 02T 0T 03T

0 02003 02 0 0304 0605040506

(1)

( )X

0

(a)

(b)

0( ) ( )k

x t t kT

( ) ( ) ( ) 1T Tx t t X

0

0

2( ) ( )

( )

o

n

o

n

X nT

n


[예제 5.17]


0( )k

t kTx t A

0

t

0

0

2 A

T

2 /

0

0

2

T

0T0T

( )x t

A

( )X

(a)

(b)

( ) ( )2

T T

tx t A X A Sa

0

0

2( ) ( )

2

( )2

o

n

o

n

X A Sa nT

A Sa n

0 0

0 0

( )

2

T

n

X n nAc Sa

T T


주기 신호의 푸리에 변환을 구하는 다른 방법


0

t

0T0T

( )x t

A

0

t

( )Tx t

A

t

00T0T

(1)

0( ) ( ) ( )T

n

x t x t t nT


주기 신호의 푸리에 변환을 구하는 다른 방법


0( ) ( ) ( )T

n

x t x t t nT

0

t

0T0T

( )x t

A

0

t

( )Tx t

A

t

00T0T

(1)

0 020

03 02 0 0304 04

0

( )TX

2

2

A

0

0 0 0

0 0

( ) ( ) ( )

2 2( ) ( ) ( ) ( )

T

n

T T

n n

x t x t t nT

X n X n nT T











5.10 MATLAB 예제


Parseval의 정리

Energy Spectral Density(ESD)의 정의

주파수대의 신호 에너지

Energy Spectral Density

2

( )

1( ) ( )

2

x

x

E d

X

2 21( ) ( )

2E x t dt X d

1 2B B

1 2

1 22 1

2

1

( , )

2

( ) ( )

1( )

B B

B B x xB B

B

B

E d d

X d


LTI 시스템 출력의 ESD

Energy Spectral Density

2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y H X

Y H X

2( ) ( ) ( )y xH


LTI 시스템에 주기 신호(i.e.전력 신호)가 입력되는 경우

• 주기 T0를 가진 주기 신호 x(t)가 입력된다고 하자.

• 입력의 평균 전력

Power Spectral Density(PSD) Sx()를 다음과 같이 정의

• Parseval의 정리에 따라 PSD를 구할 수 있음

Power Spectral Density

0

2

0

1( )

TP x t dt

T

( )xP S d

0

2 2

0

1( ) n

Tn

P x t dt cT

2

0( ) ( )x n

n

S c n


[예제 5.19] 정현파 신호의 PSD


1 1

2

0 0

, 0 for other 2

( ) ( ) ( )4

n

x

Ac c c n

AS

0( ) cos( )x t A t

0

( )xS

00

2

4

A2

4

A


[예제 5.20] Rectangular Pulse Train의 PSD


0 0

0 0 0 0

0 0

22

0

( ) 1

2 4 2 4

sinc2 2 2 2

( ) sinc ( )4 2

Tn

n n

x

n

AT T n TX Ac Sa Sa

T T

A n A nSa

A nS n

( )x t

t

0T0

2

T0

A

03

2

T02T0

2

T


[예제 5.20] Rectangular Pulse Train의 PSD


( )xS

00 0202 0303 0

2

4

A

22

0( ) sinc ( )4 2

x

n

A nS n


LTI 시스템 출력의 PSD

• 주기신호 입력에 대한 출력의 푸리에 계수

• 따라서 출력의 PSD는 다음과 같다.

• 입력 PSD와의 관계


0( )n nd H n c

2( ) ( ) ( )y xS H S

2

0

2 2

0 0

2 2

0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

y n

n

n

n

n

n

S d n

H n c n

H c n

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