제7장 응력과 변형률의 해석contents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang/yueunjong/... · 2016-09-09 · 제7장 응력과 변형률의 해석 Mechanics of Materials, 7th

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 7 장

장 응력과 변형

Pa

형률의 해석

age 07-1

제 7 장 응력과 변형률의 해석

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-2


7.1 소개

- 미세요소의 방향 (각도)에 따른 응력 및 변형률의 변화

(1 축 응력 (2.6 절), 순수 전단 (3.5 절) : 경사면의 응력 산정법 참조)

- 경사면에서의 응력을 산정하는 일반적인 방법 : 모어의 원

- 응력은 텐서(tensor) 의 일종

- 텐서 2 개 이상의 방향이 필요함 (cf 벡터는 1 개의 방향)

- 응력, 변형률, 관성모멘트 : 텐서

Mechanic

7.2 평면

- 부호

- 수직

- 전단

- 평형

- 그림

- (a), (

cs of Materials

면응력

규약: 양의

응력 x : x

응력 xy : x

을 고려하면

(c)의 경사면

(b), (c)는 모두

s, 7th ed., Jame

의 면에 양의

x 방향의 면에

x 방향의 면에

: xy yx

면의 응력: 평

두 동일한 응

es M. Gere &

방향으로 작

에 + x 방향으

에 + y 방향으

평형을 고려하

응력상태: 표현

Barry J. Goo

작용하는 응력

으로 작용하는

으로 작용하는

하면: 1 1x y

현법만 다를

dno

력: 양의 응력

는 응력 ( y 도

는 응력

1 1y x

뿐임

제 7 장

력

도 동일)


Pa

형률의 해석

age 07-3

Mechanic

경사

- 각각

- 좌측

- 1x 방

1

x

x

위 식을

1

1 1

x

x y

여기서,

cs of Materials

단면에서의

의 면의 면적

면적 0A , 밑

방향, 1y 방향

1 0

0

1 1 0

0

sec

tan si

sec

tan co

x

y

y

y

A

A

A

A

연립하여 풀

2cos

( )x

x y

0o 이면

90o 이면

; 부호에 유

s, 7th ed., Jame

응력

적응력

밑면적 0 tanA

향의 힘의 평형

0

0

0

0

cos

in t

sin

os

x

yx

x

yx

A

A

A

A

풀면

2sin 2

sin cosy

면 1x x ,

면 1x y ,

의 ( 1x 축이

es M. Gere &

힘의 총량

n , 경사면적

형식을 각각

0

sin

tan cos

cos

tan sin

xy

xy A

2

2 sin cos

(cosxy

xy

1 1x y xy

, 1 1x y x

수직축)

Barry J. Goo

적 0 secA

고려하면,

0

0

2

s

sin )

(

xy yx

dno

(7-3a,b)

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-4



평면응력에서의 변환공식

배각의 공식사용

2 21 1 1cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 ) sin cos sin 22 2 2

1

1 1

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x yx xy

x yx y xy

평면 응력의 변환공식

1y 면에 작용하는 수직 응력 1y 는 1x 의 식에 90o 을 대입하면,

1 cos 2 sin 22 2

x y x yy xy

Note: 1 1x y x y ( 에 무관하게 수직응력의 합은 일정하다)

Note : polar moment of inertia ;

Mechanic

cs of Materials

의 변화

s, 7th ed., Jame

화에 따른 x

es M. Gere &

1x , 1 1x y 의 변

Barry J. Goo

변화 그래프

dno

( 0.2y

제 7 장

x , 0.8xy


Pa

x 인 경우)

형률의 해석

age 07-6

Mechanic

평면

단축 응력

y xy

1

1 1

x

x y

순수전단

x y

1

1 1

x

x y

cs of Materials

응력의 특별

력 (uniaxial s

0y 인 경우

(1 cos 22

(sin 22

x

x

단 (pure shea

0 인 경우

sin 2

cos 2xy

xy

s, 7th ed., Jame

한 경우

stress)

우

2 )

)

2.6

r)

우

3.5 절의

es M. Gere &

절의 식과 동

의 식과 동일

Barry J. Goo

동일

일

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-7

Mechanic

2 축 응력

0xy 인

1

1 1

x

x y

- 2 축

cs of Materials

력

인 경우

2

s2

x y

x y

응력의 예:

s, 7th ed., Jame

cos 22

in 2

x y

두께가 얇은

es M. Gere &

은 압력용기 등

Barry J. Goo

등등

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-8

Mechanic

예제

문제

16,x

45o

cs of Materials

7-1

,000 psi ,

만큼 경사진

s, 7th ed., Jame

6,000 py

요소 위에

es M. Gere &

psi , xy y

작용하는 응

Barry J. Goo

4,000 pyx

응력을 구하기

dno

psi

기

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-9



풀이

11,000 psi2

x y , 5,000 psi

2x y

, 4,000 psixy

sin 2 sin 90 1o , cos 2 cos90 0o

이 값들을 공식에 대입하면,

1 cos 2 sin 2 15,000 psi2 2

x y x yx xy

1 1 sin 2 cos 2 5,000 psi2

x yx y xy

1 cos 2 sin 2 7,000 psi2 2

x y x yy xy

Mechanic

예제

문제

좌측에 도

cs of Materials

7-2

도시한 응력

s, 7th ed., Jame

요소를 15o

es M. Gere &

시계 방향으

Barry J. Goo

으로 회전한 응

dno

응력 요소의

제 7 장

응력 구하기


Pa

기

형률의 해석

age 07-11



풀이

원래 요소의 그림에서 각각의 응력의 크기와 방향을 읽으면,

46 MPax , 12 MPay , 19 MPaxy yx

시계 방향으로 15o 회전 15o ( 15o 대신 75o 사용해도 무방 (수직 축이 1x )

17 MPa2

x y , 29 MPa

2x y

, 19 MPaxy

sin 2 sin( 30 ) 0.5o , cos 2 cos( 30 ) 0.8660o

이 값들을 공식에 대입하면,

1 cos 2 sin 2 32.6 MPa2 2

x y x yx xy

1 1 sin 2 cos 2 31.0 MPa2

x yx y xy

1 cos 2 sin 2 1.4 MPa2 2

x y x yy xy

Note

- 75o 을 사용하여도 동일한 결과, 단 이 경우 1x 축과 1y 축이 바뀜.

- Check: 1 1x y x y



7.3 주응력과 최대 전단응력

1

1 1

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x yx xy

x yx y xy

평면 응력의 변환공식

- 1x , 1 1x y 는 의 변화에 따라 그 값이 변화 (앞의 그래프 참조)

- 1x 이 최대 혹은 최소값일 때 주응력 (principal stress)

1 ( )sin 2 2 cos 2 0xx y xy

dd

2tan 2 xy

px y

윗식을 만족하는 θ 는 0°~180° 사이에서 2 개이며 그 차이는 90°

θ : 주각 (Principal Angles), 주각 방향과 직교하는 방향 주축

이 때의 수직응력을 주응력 (Principal Stress)이라고 하며 σ , σ 로 표현함. (σ > σ )

Mechanic

tan 2 p

좌측의 그

c

sin 과 co

1

* 단면의

cs of Materials

2 xy

x y

그림에서 R

cos 2 xp

os 대신 이 값

2

2

2

x y

x y

x y

의 성질에서

s, 7th ed., Jame

이므로

2x

2x y

R

, sin

값들을 공식에

cos2

2

2

x y

x y

x y

사용한 원리

es M. Gere &

22yxy

2 xyp R

에 대입하여

22

2 sin

2

xy

x yxy

xy

R

리와 동일 Barry J. Goo

주응력 1 을

2

xyxy R

dno

을 구하면,

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-14



- 또 다른 주응력 2 는 90p p 에 해당하는 값을 구하여도 되며,

또 다른 방법으로 1 2 x y 을 사용하는 것이 더욱 편리함.

2 1

22

2 2

x y

x y x yxy

주응력 구하는 일반식

22

1,2 2 2x y x y

xy



주각

cos 22

x yp R

, sin 2 xy

p R

주평면에서의 전단응력

- 주평면에서의 전단응력은 1 1x y 의 계산식에 2 p 에서의 삼각함수 값을 대입하여 구함.

1 1 0x y 이 식은

1

1 1

2 sin 2 cos 2 02

x yxxy

x y

dd

과 동일함

- 주평면에서 전단응력 = 0



최대전단응력

- 최대 전단응력을 구하기 위하여 1 1x y 의 식을 에 대하여 미분한다.

1 1 ( )cos 2 2 sin 2 0x y

x y xy

dd

따라서 tan 22x y

sxy

윗식을 만족하는 θ 는 0°~180° 사이에서 2 개이며 그 차이는 90°

- 따라서 최대 전단은 서로 직교하는 두 평면에서 발생.

주각의 공식은

2

tan 2 xyp

x y

이므로 2 s 와 2 p 는 서로 수직 s 와 p 는 서로 45o

확인: cos 2sin 2 0

cos 2 sin 2ps

s p

sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 0s p s p cos(2 2 ) 0s p

2 2 90os p 45o

s p



최대 전단응력이 발생하는 평면은 주평면과 45o 의 각도를 가진다.

최대전단응력 max 이 크기는

22

max 2x y

xy

, 그리고 min max

- 이 값은 주응력을 이용하여 구할 수도 있다. 1 2

max 2

최대전단응력이 발생하는 평면에서의 수직 응력은 1 1 2x y

x y aver

(0 이 아님!!)

- 단축 응력, 2 축 응력 최대 전단응력평면은 x y 평면과 45o위치에서 발생

- 순수전단의 경우 최대 전단응력은 x y 평면에서 발생

Mechanic

특별

단축

tan 2

x y

(전단응력

주응력 상

순수

이 경우

tan 2

p

주응력의

1,2

cs of Materials

한 경우

응력과 2 축

2 0p

y 평면이 주평

력이 0 이므로

상태)

전단

주평면은

2 p

45 , 135o o

의 값은

xy

s, 7th ed., Jame

축 응력의 경우

평면.

로 현재상태가

es M. Gere &

우

가

Barry J. Goo

dno

제 7 장


Pa

형률의 해석

age 07-19

Mechanic

세번째 주

- 지금

- 실제

- 3 차원

- 3 의

cs of Materials

주응력

까지는 z 축

구조물은 3

원 해석 필요

의 크기에 따

s, 7th ed., Jame

축 회전만 고려

3 차원이므로

요

따라 3 차원 주

es M. Gere &

려

σ 가 존재

주응력의 해석

Barry J. Goo

함 (평면응력

석이 달라짐.

dno

력일 경우 σ

제 7 장

0)


Pa

형률의 해석

age 07-20

Mechanic

평면

- 최대

max(

(평면응력

1, x y

- 1 ,

cs of Materials

내와 평면

전단응력은

2x 1)

2x

력일 경우 σ

1y 축에 대해

2 의 크기와

s, 7th ed., Jame

외의 전단응

은 x y z 축

max 1 ( ) y

0)

회전하여 구

와 부호에 따

es M. Gere &

응력

축 각각을 회

1 (2

구한 전단응력

따라 실제 최대

Barry J. Goo

전시켜서 구

max 1)z

력 평면 외

대 전단응력이

dno

구할 수 있다.

1 2

2

외 전단응력

이 결정됨.

제 7 장

즉 3 가지 경


Pa

경우가 존재함

형률의 해석

age 07-21

함.

Mechanic

예제

문제

12,x

(a) 주응

(b) 최대

cs of Materials

7-3

,300 psi ,

력을 구하고

전단응력을

s, 7th ed., Jame

4,200y

회전된 (회전

구하고 회전

es M. Gere &

0 psi , xy

전각을 정확히

전된 (회전각

Barry J. Goo

4,70yx

히 표시) 응력

을 정확히 표

dno

0 psi

력요소에 표시

표시) 응력요소

제 7 장

시하기

소에 표시하


Pa

기

형률의 해석

age 07-22



풀이

(a) 먼저 주각 p 를 구하면, 2 2( 4,700)tan 2 0.5679

12,300 ( 4,200)xy

px y

2 150.3 , 330.3o op 75.2 , 165.2o o

p

12,300 4,200 4,050 psi

2 2x y

, 12,300 4,200 8,250 psi

2 2x y

(해 1) 평면응력 변환공식 에 대입하여 구함.

1 2 cos 2 sin 2 5,440 psi2 2

x y x yx xy

75.2o

p 일 경우

1 1 cos 2 sin 2 13,540 psi2 2

x y x yx xy

165.2o

p 일 경우

(해 2) 주응력 구하는 일반식에 대입하여 구함

22

1,2 4,050 9,490 13,540 and 5,4402 2

x y x yxy



- 1 의 방향을 결정하기 위하여,

22

2x y

xyR

8,250cos 2 0.869

2 9,490x y

p R

, 4,700sin 2 0.495

9,490xy

p R

2 330.3op 165.2o

p

(b) 최대전단응력은 유도된 공식을 이용함

22 2 2

max (8,250) ( 4,700) 9,490 psi2

x yxy

1 1 45 165.2 45 120.2o o o os p

2 1 90 120.2 90 30.2o o o os s

이때 축응력의 값은 1 2 4,050 psi2

x yx x aver

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