신호와 시스템 제4장

푸리에 급수와 연속시간 주기

신호의 주파수 영역 해석

신호와 시스템 제4장

4.1 스펙트럼의 개념

4.2 직교 기저함수에 의한 신호의 표현

4.3 푸리에 급수

4.4 푸리에 급수의 성질

4.5 Parseval의 정리와 전력 스펙트럼

4.6 선형 시스템의 입출력 스펙트럼 관계

4.7 MATLAB 예제

신호와 시스템 제4장

Consider periodic signal with fundamental period T0

Complex Exponential Fourier Series

• Orthogonal basis function set on the interval t0 ≤ t ≤ t0 + T0

Trigonometric Fourier Series

• Orthogonal basis function set on the interval t0 ≤ t ≤ t0 + T0

푸리에 급수

0

2( ) exp( ), 0, 1, 2, ,n o ot jn t n

T

( ) cos , sin , 0,1,2,3,

1, cos , sin , 1,2,3,

n o o

o o

t n t n t n

n t n t n

신호와 시스템 제4장

Complex exponential basis function set에 의한 신호의 표현

• 구간 t0 ≤ t ≤ t0 + T0 에서 임의의 신호 x(t)는 다음과 같은 선형

조합으로 표현 가능

• 선형조합의 계수 cn은 다음과 같이 구할 수 있다.

• 만일 신호 x(t)가 주기 T0를 가진 주기 신호라면 basis 함수들도 같은

주기의 주기 함수가 되므로 위의 무한급수 표현은 한 주기의 구간을

넘어서 모든 시구간 - < t < 로 확장할 수 있다.

Complex Exponential Fourier Series

0

2( ) exp( ),n o o

n

x t c jn tT

0

0 0

0

2

0

( ) ( )( ), ( )

( ) 1

1( )

o

no

o o

o o

oo

o

t T

tnn t T t T

nt t

t Tjn t

t

x t t dtx t tc

t dt dt

x t e dtT

신호와 시스템 제4장

Complex Exponential Fourier Series

• For arbitrary periodic signal x(t) with period T0

• Fourier coefficient cn은 n0 주파수 성분(nth harmonic)의 양을 나타냄

• 스펙트럼 계수(spectrum coefficient)라 부르기도 함

• 푸리에 계수 cn은 복소수이므로 polar form으로 표현하면

Complex Exponential Fourier Series

0

0

2 /

2 /

0 0

( ) (Synthesis)

1 1( ) ( ) (Analysis)

o

o

o o

jn t j nt T

n n

n n

jn t j nt T

nT T

x t c e c e

c x t e dt x t e dtT T

nj c

n nc c e

신호와 시스템 제4장

Spectrum

• 진폭 스펙트럼: 주파수 에 따른 의 분포

• 위상 스펙트럼: 주파수 에 따른 의 분포

Spectrum의 특성

• 주기 신호의 스펙트럼은 discrete함(line spectrum)

0의 정수 배 주파수 성분만 가짐

• Real valued signal의 경우(즉 )

푸리에 계수는 conjugate symmetric함

Amplitude spectrum is even

Phase spectrum is odd

주기 신호의 스펙트럼

nc

nc

( ) ( )x t x t

*

( )*

0 0 0

1 1 1( ) ( ) ( )o o o

o o o

jn t jn t j n t

nT T T

n

c x t e dt x t e dt x t e dtT T T

c

,n n n nc c c c

신호와 시스템 제4장

Real valued signal의 spectrum 예

주기 신호의 스펙트럼

n

nc

0 114 3 2 432

5

1

22

n

nc

0 114 3 2 432

0

120

12090

90

1

n nc c

n nc c

신호와 시스템 제4장

[Example] Sum of sinusoids

• FS를 구하고 스펙트럼을 그려 보라.

풀이

• Euler 공식 이용하면 간단

• 계수 비교

Complex Exponential Fourier Series

0 0 0 0( ) 1 2cos sin 3cos2 4cos 3 / 6x t t t t t

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

2 2 (3 /6) (3 /6)

2 2 3 3/6 /6

( ) 1 2cos sin 3cos 2 4cos 3 / 6

1 31 2

2 2

1 1 3 31 1 1 2 2

2 2 2 2

j t j t j t j t j t j t j t j t

j t j t j t j t j t jj j

x t t t t t

e e e e e e e ej

e e e e e e e ej j

0t

3 2 2 3

3 2 1 0 1 2 3( ) o o o o o o ojn t j t j t j t j t j t j t

n

n

x t c e c e c e c e c c e c e c e

신호와 시스템 제4장

Complex Exponential Fourier Series

26.6 26.6

0 1 1

180 180 30 30

2 2 3 3

1 5 1 51, 1 , 1 ,

2 2 2 2

3 3 3 3 , , 2 , 2 , 0 for other

2 2 2 2

j j

j j j j

n

c c e c ej j

c e c e c e c e c n

n

nc

0 114 3 2 432

1

5

2

5

2

3

2

3

2

22

03 04 03 02 04 0 02 0

n

nc

0 114 3 2 432

26.6

26.6

0

180

180

30

30

신호와 시스템 제4장

[Example] Rectangular Pulse Train

• 주기가 T0이고 펄스폭이 t 인 구형 펄스 열

(a)

(b)

Complex Exponential Fourier Series

0( )k

t kTx t

t

1t

0T0T 0

0

2

T0

2

T

( )x t

t

0 04, / 4 1T Tt

0 04, / 2 2T Tt

신호와 시스템 제4장

[Example] Rectangular Pulse Train

i) n = 0: dc value

Complex Exponential Fourier Series

0 02 / / 2T

0 0

0 0

2 2

2 20 0 0

2

20 0

1 1 2( ) ( )exp

1 2(1)exp

oT T

jn t

nT T

j ntc x t e dt x t dt

T T T

j ntdt

T T

t

t

2

02

0 0

1(1)c dt

T T

t

t

t

신호와 시스템 제4장

[Example] Rectangular Pulse Train

ii) n ≠0

Complex Exponential Fourier Series

0

0

2 2

2 20 0 0 0

2

0 2

0 0

0 0

0 0

0 00

1 2 1 2( )exp (1)exp

1 2exp

2

1exp exp

2

sin / si

sinc

n /

/

sinc

T

nT

j nt j ntc x t dt dt

T T T T

j nt

j n T

j n j n

j n T T

n T n T

n T n T

n

T TTn

t

t

t

t

t

t t

t tt

t

t t

0

0

0

00 2

nSa

f

n

T TSa

T

t t

t

tt

신호와 시스템 제4장

[Example] Rectangular Pulse Train

• Spectrum shape을 살펴 보자.

• 의 파형은 진동하면서 감쇠하고, 마다 zero-crossing

• First-null frequency:

Complex Exponential Fourier Series

0

00

0 0

0

( )2 2

( ) ( / )Sa( / 2)

n

n

nc c n Sa Sa

T T

c T

tt t t

t t

( )c / ( 0)n n t

/ t

0

nc

2

t

0/Tt

002 03

0

( )2

c SaT

t t

신호와 시스템 제4장

[Example] Rectangular Pulse Train

(a) 경우

Complex Exponential Fourier Series

0 04, / 4 1T Tt

0 0

0

0

0

2 / / 2

1( ) 2 , 4 ,

2 4 2

sin1 1 4

2 4 4 4

4

n

T

c Sa SaT

n

n nc Sa Sa

nT

t t

tt

에서 0 교차

0

1 1

2 2

3 3

4 4

1

4

sin( / 4) 1

2

sin( / 2) 1

2 2

sin(3 / 4) 1

3 3 2

sin( )0

4

c

c c

c c

c c

c c

신호와 시스템 제4장

[Example] Rectangular Pulse Train

(b) 경우

Complex Exponential Fourier Series

0 04, / 2 2T Tt

0 0

0

0

0

2 / / 2

1( ) , 2 ,

2 2

sin1 1 2

2 2 2 2

2

n

T

c Sa SaT

n

n nc Sa Sa

nT

t t

tt

에서 0 교차

0

1 1

2 2

33 3 3

4 4

1

2

sin( / 2) 1

sin( )0

2

sin(3 / 2) 1 1

3 3 3

sin(2 )0

4

c

c c

c c

c c c c

c c

신호와 시스템 제4장

[Example] Rectangular Pulse Train

(a)

(b)

Complex Exponential Fourier Series

1t

2t

nc

22

t

0

1

4T

t

1( )

4 2c Sa

0

002

03 04

nc

2

t

0

1

2T

t

1

( )2

c Sa

0

002

03 04

신호와 시스템 제4장

[Example] Bipolar rectangular pulse train

Complex Exponential Fourier Series

t

( )x t

0T0

2

T00

2

T0T

1

1

0 0

0

2

00 2

0 0

1 1For 0 (1) ( 1) 0

T T

Tn c dt dt

T T

0 0 0

0

0 0

0

2

0 0 20 0 0

2

0 00 2

2

1 1 1( ) (1) ( 1)

1 1

Fo

1 11

r

2

0 o o o

o o

T T Tjn t jn t jn t

nT

T T

jn t jn t

o o T

j nj n j n j n

c x t e dt e dt e dtT T T

e ejn T jn T

ee e e

j

n

n j n

신호와 시스템 제4장

Complex Exponential Fourier Series

1,( 1)

0,

2,

0,

j n n

n

ne

n

njnc

n

홀수

짝수

홀수

짝수

0

0 odd odd

2 2 2( ) exp exp

n nn n

j ntx t jn t

jn jn T

신호와 시스템 제4장

[Example] Impulse train

Complex Exponential Fourier Series

0( )k

x t t kT

t

( )x t

0 02T0T

03T 02T 0T 03T

(1)

0 0

0 0

2 2

2 20 0 0

1 1 1( ) ( )o o

T Tjn t jn t

nT T

c x t e dt t e dtT T T

nc

0 02003 02 0 0304 0605040506

0

1

T

신호와 시스템 제4장

[Example] Half-wave rectified sinusoid

Complex Exponential Fourier Series

( )x t

t

A

02

sinA t

0 02 / ,T

0

0

0

00

00

/2

00

/(1 ) (1 )

0

1sin

sin

2

4

oT

jn t

n

Tjn t

j t j tT

jn t

j n t j n t

c A t e dtT

At e dt

T

A e ee dt

T j

Ae e dt

j

신호와 시스템 제4장

[Example] Half-wave rectified sinusoid

Complex Exponential Fourier Series

/ /

2 2

1 00

i) For 1

11

4 4 2 4

j t j t

n

A A Ac e dt e

j j j j

/ /

2 2

1 00

ii) For 1

11

4 4 2 4

j t j t

n

A A Ac e dt e

j j j j

/(1 ) (1 )

0

(1 ) (1 )

iii) For 1

4 (1 ) (1 )

1 1 1 1

4 1 1

j n t j n t

n

j n j n

n

A e ec

j j n j n

Ae e

n n

신호와 시스템 제4장

[Example] Half-wave rectified sinusoid

Complex Exponential Fourier Series

1(1 ) (1 )

2

2

iii) For 1

1 1

1 12 (1 )

(1 )

0

nj j n j n

n

n

n

e e e

Ac

n

An

n

n

짝수

홀수

0

0

90 90

1 1

180 180

2 2

3 3

180 180

4 2

,4 4 4 4

,3 3 3 3

0

,15 15 15 15

j

j j

j j

j j

A Ac e

A A A Ac e c e

j j

A A A Ac e c e

c c

A A A Ac e c e

신호와 시스템 제4장

[Example] Half-wave rectified sinusoid

Complex Exponential Fourier Series

n

nc

0 114 3 2 432

A

4

A

4

A

3

A

3

A

15

A

15

A

n

nc

0 114 3 2 432

0

180

180

90

90

180

180

0

0

90 90

1 1

180 180

2 2

3 3

180 180

4 2

,4 4 4 4

,3 3 3 3

0

,15 15 15 15

j

j j

j j

j j

A Ac e

A A A Ac e c e

j j

A A A Ac e c e

c c

A A A Ac e c e

신호와 시스템 제4장

Orthogonal basis function set

주기가 T0인 주기신호에 대한 표현

Trigonometric Fourier Series

( ) 1, cos , sin , 1,2,3,n o ot n t n t n

0

1

( ) [ cos sin ]n o n o

n

x t a a n t b n t

00

02 10

0 02

002

00

For 1,2,3,

( )cos( ),cos 2( )cos

cos {1 cos 2 }

( ),sin 2( )sin ,

sin

o

o

o o

o

o

T

nT

T T

nT

T

n

x t n tdtx t n ta x t n tdt

Tn t dt n t dt

x t n tb x t n tdt

Tn t dt

0 20

For 0

( ),1 1( )

1 o

o

T

T

n

x ta x t dt

Tdt

신호와 시스템 제4장

Trigonometric Fourier Series

Trigonometric Fourier Series

0

1

0

0

0

0

0

0

( ) [ cos sin ]

1( ) ,

2( )cos , 1,2,3,

2( )sin , 1,2,3,

o

o

o

n o n o

n

T

nT

nT

x t a a n t b n t

a x t dtT

a x t n tdt nT

b x t n tdt nT

신호와 시스템 제4장

Trigonometric FS와 Complex Exponential FS와의 관계

Trigonometric Fourier Series

0 0

2Re{ } 1

2 Im{ } 1

n n

n n

a c

a c n

b c n

0

1

2

1

2

[ ] 0

0

[ ] 0

n n

n

n n

a jb n

c a n

a jb n

신호와 시스템 제4장

구형 펄스열을 유한 개수의 정현파의 합으로 근사화하는

경우

• For finite N

유한 급수에 의한 신호의 근사화와 Gibbs 현상

odd

1 odd

2( )

4sin( )

4 4 4 4sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin( )

3 5

o o

N Njn t jn t

N n

n N n Nn

N

nn

x t c e ejn

n tn

t t t N tN

신호와 시스템 제4장

유한 급수에 의한 신호의 근사화와 Gibbs 현상

0

2

T00

2

T

5 ( )x t

t

0

2

T00

2

T

25 ( )x t

t

5N

25N

신호와 시스템 제4장

유한 급수에 의한 신호의 근사화와 Gibbs 현상

0

2

T00

2

T

125 ( )x t

t

125N

신호와 시스템 제4장

4.1 스펙트럼의 개념

4.2 직교 기저함수에 의한 신호의 표현

4.3 푸리에 급수

4.4 푸리에 급수의 성질

4.5 Parseval의 정리와 전력 스펙트럼

4.6 선형 시스템의 입출력 스펙트럼 관계

4.7 MATLAB 예제

신호와 시스템 제4장

대칭성

• x(t)의 값이 real인 경우, 즉 인 경우

• If x(t) is real & even (i.e. ) , then cn is also real & even

• If x(t) is real & odd (i.e. ) , then cn is imaginary & odd

푸리에 급수의 성질

( ) ( )x t x t

(conjugate symmetric)n nc c

(amplitude spectrum is even)

(phase spectrum is odd)

n n

n n

c c

c c

( ) ( )x t x t

( ) ( )x t x t

0 00 0

( ) ( ) ( )

0 00 0

1 1( ) ( )

1 1( ) ( )

o oo o

o oo o

T Tjn t jn t

n

T Tj n t j n

n

c x t e dt x t e dtT T

x t e dt x e d cT T

tt t

* Re 0n n n nc c c c

* Im 0n n n nc c c c

신호와 시스템 제4장

선형성

• x(t)와 y(t)가 동일한 주기를 갖는 주기신호인 경우

• 의 푸리에 급수는

푸리에 급수의 성질

0

0

( )

( )

jn t

n

n

jn t

n

n

x t c e

y t d e

( ) ( ) ( )z t x t y t

0( )

with

jn t

n

n

n n n

z t g e

g c d

신호와 시스템 제4장

시간 천이

• x(t)의 푸리에 계수가 인 경우

• x(t-t)의 푸리에 계수 은

• 진폭 스펙트럼은 변화가 없다.

푸리에 급수의 성질

nc

nd

0

0

0

( )

0 0

0

1 1( ) ( )

1( )

o o

o o

o

o

jn t jn t jn

nT T

jn jn

T

jn

n

d x t e dt x t e e dtT T

e x e dT

e c

t t

t

t

t t

n nd c