신호와 시스템 제5장

푸리에 변환과 연속시간

신호의 주파수 영역 해석

신호와 시스템 제5장

5.1 비주기 신호의 푸리에 변환

5.2 푸리에 변환의 존재 조건

5.3 푸리에 변환의 성질

5.4 주기 신호의 푸리에 변환

5.5 스펙트럼 밀도

5.6 주파수 응답과 LTI 시스템의 해석

5.7 선형 시스템을 표현하는 방법들 간의 상호 관계

5.8 푸리에 변환의 응용

5.9 시간 점유폭과 대역폭의 관계

5.10 MATLAB 예제

신호와 시스템 제5장

LTI 시스템의 입출력 관계

• in time

• in frequency

Frequency Response or Transfer Function

• If h(t) is real-valued, then

Frequency Response

( ) ( ) ( )y t h t x t

( ) ( ) ( )Y H X

( )( ) ( ) j HH H e

( )

( ) ( )( )

YH h t

X

( ) ( ) even function

( ) ( ) odd function

H H

H H

신호와 시스템 제5장

Output of LTI system

ESD/PSD

• 에너지 신호가 입력되는 경우

• 주기 신호(따라서 전력 신호)가 입력되는 경우

LTI 시스템의 해석

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Y H X

Y H X

Y H X

2

2

1( ) ( )

2

( ) ( ) ( )

x

y x

X

H

2

0

2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

x n

n

y x

S c n

S H S

신호와 시스템 제5장

주기 신호 입력에 대한 LTI system의 출력

i) 복소 지수함수에 대한 응답:

• 입출력의 평균전력과 PSD

LTI 시스템의 해석

0Input: ( )j t

x t Ae

0

0 0 0

( ) 2 ( )

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

X A

Y H X AH AH

0 0 0[ ( )]

0 0( ) ( ) ( )j t j t H

y t AH e A H e

0

2

0

2 2

0

22

0 0

22

0

( ) ( )

1( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x

x xT

y

y y

S A

P x t dt A S dT

S A H

P S d A H

신호와 시스템 제5장

주기 신호 입력에 대한 LTI system의 출력

ii) 정현파 신호에 대한 응답:

• 동일한 주파수의 정현파가 출력되며, 크기는 만큼 곱해지고

위상은 만큼 더해진다.

LTI 시스템의 해석

0Input: ( ) cosx t A t

0 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

X A A

Y H X

AH AH

0 0 0 0

0 0 0 0

( ( )) ( ( ))

0 0

( ( )) ( ( ))

0 0

0 0 0

( ) ( ) ( )2 2

( ) ( )2 2

( ) cos( ( ))

j t H j t H

j t H j t H

A Ay t H e H e

A AH e H e

A H t H

0( )H

0( )H

신호와 시스템 제5장

주기 신호 입력에 대한 LTI system의 출력

ii) 정현파 신호에 대한 응답:

• 입출력의 평균전력과 PSD

LTI 시스템의 해석

0Input: ( ) cosx t A t

2 2

0 0

2

2 22 2

0 0 0 0

22

0

( ) ( ) ( )4 4

( ) / 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4

( ) ( ) / 2

x

x x

y

y y

A AS

P S d A

A AS H H

P S d A H

신호와 시스템 제5장

주기 신호 입력에 대한 LTI system의 출력

iii) 임의의 주기 신호에 대한 응답:

LTI 시스템의 해석

0Input: ( )periodic with period x t T

0

0

0

0

2( ) ,

( ) 2 ( )

jn t

n

n

n

n

x t c eT

X c n

0( )jn t

n

n

y t d e

0 0 0

0

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

( )

n n

n n

n n

Y H X c H n n d n

d H n c

신호와 시스템 제5장

주기 신호 입력에 대한 LTI system의 출력

iii) 임의의 주기 신호에 대한 응답:

• 입출력의 평균전력과 PSD

LTI 시스템의 해석

0Input: ( )periodic with period x t T

2

0

2

2

0

2

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

x n

n

x x n

n

y n

n

y y n

n

S c n

P S d c

S d n

P S d d

신호와 시스템 제5장

[예제 5.21]

• 입력의 스펙트럼과 주파수 응답이 다음과 같다.

(a) 출력의 푸리에 변환을 구하라.

(b) 입력 신호와 출력 신호의 에너지를 구하라.

LTI 시스템의 해석

0

2020

10

1

0

( )H

1010

(a) (b)

신호와 시스템 제5장

[예제 5.21] 풀이

(a) 출력의 푸리에 변환

(b) 입력 신호와 출력 신호의 에너지

LTI 시스템의 해석

0

( )Y

10

(c)

1010

10 / 2 20 20( ) 10

20 0 otherwiseX

10 / 2 10 10( )

0 otherwiseY

2202

20

203

0

102 3

10

10

0

1 1( ) ( ) 10

2 2 2

1 2 200010

3 2 3

1 1 2 175010 10

2 2 3 2 3

x x

y

E d X d d

E d

신호와 시스템 제5장

[예제 5.22]

임펄스 응답과 입력이 다음과 같은 LTI 시스템의 출력을 구하라.

[풀이]

LTI 시스템의 해석

( ) ( ), 0

( ) ( ), 0

at

bt

h t e u t a

x t e u t b

1 1( ) ( ) ( )Y H X

a j b j

i)

1( )

( )( )

a b

A BY

a j b j a j b j

의 경우

1 ( )( ) ( )

( )

1 1Similarly ( ) ( )

j a

j a j a

j b

j b

B a ja j Y A A

b j b j

B b j Ya j a b

신호와 시스템 제5장

[예제 5.22]

LTI 시스템의 해석

1 1 1( )

1( ) ( )at bt

Yb a a j b j

y t e e u tb a

2

1

2

ii)

1( ) ( ) ( )

( )

1 1 1( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

at

at

a b

Y H Xa j

dY j j jt te u t

d a j a ja j

y t te u t

의 경우

신호와 시스템 제5장

[예제 5.23] RC Lowpass Filter

(a) 다음 회로의 임펄스 응답 및 주파수 응답을 구하고 진폭 응답과

위상 응답을 그려 보라.

(b) 입력이 단위계단함수인 경우 출력을 구하고 파형을 그려 보라.

LTI 시스템의 해석

( ) ( ) ( )

( ) 1 1( ) ( ) exp ( )

( ) 1

X RC j Y Y

Y tH h t u t

X j RC

( )y t

R

C( )x t

(a) Apply KVL

( ) ( ) ( ) ( )dy

x t Ri t y t RC y tdt

0t

( )h t

1

RC

RC

0.37

RC

신호와 시스템 제5장

[예제 5.23]

LTI 시스템의 해석

2

2

1

1

1( )

1 ( )

1

1

( ) (1 ) tan ( )

tan

c

c

HRC

H j RC RC

90

1

RC

1

1

2

45

1

RC

45

90

( )H

( )H

1

RC

1

RC

0

1/ 2

is called 3-dB bandwidth

c

c

주파수 성분의 진폭은 성분의 진폭에 비해

배가 됨(전력은 1/2 배)

신호와 시스템 제5장

[예제 5.23]

LTI 시스템의 해석

1

(b) ( ) ( ) ( )X u tj

1 1( ) ( ) ( ) ( )

1

1( )

(1 )

1/( )

( 1/ )

1 1( )

1/

Y H Xj RC j

j j RC

RC

j j RC

j j RC

( ) ( ) exp ( )t

y t u t u tRC

0t

( )y t

1

신호와 시스템 제5장

[예제 5.24] RC Highpass Filter

(a) 다음 회로의 임펄스 응답 및 주파수 응답을 구하고 진폭 응답과

위상 응답을 그려 보라.

(b) 입력이 단위 계단함수인 경우 출력을 구하고 파형을 그려 보라.

LTI 시스템의 해석

1(a) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) / )

( ) ( ) 1( )

( ) ( ) ( ) /

t

c

t

c

x t y t i dC

y t y d i t y t RRC

dx t dy ty t

dt dt RC

j X j Y Y RC

( )y t

R

C( )x t

신호와 시스템 제5장

[예제 5.24] RC Highpass Filter

LTI 시스템의 해석

( ) 1( ) 1

( ) 1 1

1/1

1/

1( ) ( ) exp ( )

Y j RCH

X j RC j RC

RC

RC j

th t t u t

0t

( )h t

1

(1)

신호와 시스템 제5장

[예제 5.24] RC Highpass Filter

LTI 시스템의 해석

2

2

1

( )1 ( )

/

1 /

( ) ( ) (1 )

90 tan / , 0

c

c

c

RCH

RC

H j RC j RC

90

1

RC

1

1

2

45

1

RC

45

90

( )H

( )H

1

RC

1

RC

신호와 시스템 제5장

[예제 5.24] RC Highpass Filter

LTI 시스템의 해석

(b)

1( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1 1/

( ) exp ( )

j RCY H X

j RC j

RC

j RC j RC

ty t u t

RC

0t

( )y t

1

신호와 시스템 제5장

Ideal Lowpass Filter (LPF)

• W is called cutoff frequency

• Note that this filter is noncausal.

Ideal Filter

1( ) ( ) 2 ( )

0 otherwise2

W WH h t W Sa Wt

W

0

1

( ) 2 ( )h t W Sa Wt

W

0

W

2W

( )H

WWt

신호와 시스템 제5장

Ideal Lowpass Filter (LPF)

• Relaxed version

Ideal Filter

0

( )( ) 2 ( )2

( ) ( ) ,

H Kh t W Sa WtW

H t W W

0

( )H

WW

0

0( )H t

0slope t

K

0

0tW

0t

W

2KW

t

0t

0( ) 2 ( ( ))h t KW Sa W t t

신호와 시스템 제5장

Ideal Highpass Filter(LPF) and Bandpass Filter(BPF)

Ideal Filter

0

( )H

WW

0

( )H

0slope t

K

0

( )H

0

( )H

0slope t

K

00

W

신호와 시스템 제5장

Butterworth Filter

• 필터 차수 n이 커질수록 필터의 특성이 이상적인 저역통과 필터

특성에 근접한다.

• 모든 n 에 대하여 동일한 3dB 대역폭 W [rad/sec]를 가진다.

Practical Filter

2

1( ) , 1,2,3,

1 ( / ) nH n

W

1

0.707

0

( )H

W

1n

n 5n

3n

신호와 시스템 제5장

5.1 비주기 신호의 푸리에 변환

5.2 푸리에 변환의 존재 조건

5.3 푸리에 변환의 성질

5.4 주기 신호의 푸리에 변환

5.5 스펙트럼 밀도

5.6 주파수 응답과 LTI 시스템의 해석

5.7 선형 시스템을 표현하는 방법들 간의 상호 관계

5.8 푸리에 변환의 응용

5.9 시간 점유폭과 대역폭의 관계

5.10 MATLAB 예제

신호와 시스템 제5장

[예제 5.26] 미분방정식 주파수 응답과 임펄스 응답

다음 입출력 미분방정식으로 표현되는 시스템이 있다.

(a) 주파수 응답을 구하라.

(b) 임펄스 응답을 구하라.

[풀이]

시스템 표현 방법 간의 상호 관계

( )( ) ( ), 0

dy tay t x t a

dt

( ) ( ) ( )

( ) 1( )

( )

( ) ( )at

j a Y X

YH

X a j

h t e u t

신호와 시스템 제5장

[예제 5.27] 미분방정식 임펄스 응답

다음 입출력 미분방정식으로 표현되는 시스템의 임펄스 응답을 구하라.

[풀이]

시스템 표현 방법 간의 상호 관계

2

2

( ) ( ) ( )4 3 ( ) 2 ( )

d y t dy t dx ty t x t

dt dtdt

2

2

1

1

3

3

4 3 ( ) 2 ( )

( ) 2 2( )

( ) ( 1) ( 3) 1 3( ) 4 3

2 1( 1) ( )

3 2

2 1( 3) ( )

1 2

j

j

j

j

j j Y j X

Y j j A BH

X j j j jj j

jA j H

j

jB j H

j

31 1( ) ( ) ( )

2 2

t th t e u t e u t

신호와 시스템 제5장

[예제 5.28] FT 이용한 미분방정식의 해 구하기

예제 5.27의 시스템에 이 가해지는 경우 출력을 구하라.

초기조건은 0을 가정하라.

[풀이]

시스템 표현 방법 간의 상호 관계

4( ) 2 ( )tx t e u t

2

1

1

3

3

2( )

4

2 2 2( 2)( ) ( ) ( )

4 ( 1)( 3)( 4) 1 3 4( ) 4 3

2( 2) 1( 1) ( )

( 3)( 4) 3

2( 2)( 3) ( ) 1

( 1)( 4)

( 4) (

j

j

j

j

Xj

j j A B CY H X

j j j j j j jj j

jA j Y

j j

jB j Y

j j

C j Y

4

4

2( 2) 4)

( 1)( 3) 3j

j

j

j j

3 41 4( ) ( ) ( ) ( )

3 3

t t ty t e u t e u t e u t

신호와 시스템 제5장

[예제 5.29] 주파수 응답 미분방정식

주파수 응답이 다음과 같은 시스템의 입출력 미분방정식을 구하라.

[풀이]

시스템 표현 방법 간의 상호 관계

2

2 1( )

2 3

jH

j

2

2

( ) 2( ) 1 ( )( )

( ) ( )( ) 3( ) 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 3( ) 2 ( ) 2( ) 1 ( )

N j YH

D Xj j

D Y N X

j j Y j X

2

2

( ) ( ) ( )3 2 ( ) 2 ( )

d y t dy t dx ty t x t

dt dtdt

신호와 시스템 제5장

[예제 5.30] 임펄스 응답 미분방정식

임펄스 응답이 다음과 같은 시스템의 입출력 미분방정식을 구하라.

[풀이]

시스템 표현 방법 간의 상호 관계

3( ) ( ) 4 ( )t th t e u t e u t

2

2

1 4 3 4(1 )( )

1 3 (1 )(3 )

5 7

( ) 4 3

( ) 4( ) 3 ( ) 5( ) 7 ( )

j jH

j j j j

j Y

Xj j

j j Y j X

2

2

( ) ( ) ( )4 3 ( ) 5 7 ( )

d y t dy t dx ty t x t

dt dtdt