基于高阶偏微分方程的非线性去噪算法

罗 　峰1 ,殷海青2

(1.济宁师范专科学校 　山东 济宁 　273100 ;2. 西安电子科技大学 理学院 　陕西 西安 　710071)

摘　要 :提出了一种将小波分析与高阶偏微分方程相结合的非线性方法。这种方法利用小波分析的时频局部性和高阶

偏微分方程的平缓图像轮廓的特性对图像进行处理 ,不仅很好地抑制了噪声 ,而且使图像保留了尽可能多的细节 ,看起来更

平滑自然。实验结果表明了该方法的有效性。

关键词 :四阶偏微分方程 ; Perona Malik 方程 ;小波分析 ;非线性去噪

中图分类号 : TN911173 　　　　　文献标识码 :B 　　　　　文章编号 :1004 373X(2006) 15 130 03

A Nonlinear Noise Removal Algorithm Based on the High Order Partial Differential EquationsL UO Feng1 , YIN Haiqing2

(1. J ining Teachers College ,J ining ,273100 ,China ;2. College of Science ,Xidian University ,Xi′an ,710071 ,China)

Abstract : In this paper ,a nonlinear method for combining wavelet t ransform with high order partial differential equation is

p roposed. By using the properties of time f requency of wavelet t ransform and smoothing the outline of images of high order

partial differential equation ,the method can not only well rest rain noise but also keep much more details of images. The test re2sult s show the effectiveness of the method.

Keywords :fourth order partial differential equation ; Perona Malik equation ;wavelet analysis ;nonlinear noise removal

收稿日期 :2006 02 19

1 　引 　言

小波分析和偏微分方程是图像处理和分析中的两个

最新进展。尺度空间或尺度扩散能把一组图像同时在多

个尺度上表述 ,他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方

程进行图像处理的基础。随着尺度空间理论的进一步发

展 ,尺度扩散和其他方法的结合产生出许多好的理论与算

法 ,这种结合一方面拓广了尺度空间方法的应用范围 ,另

一方面提高了尺度空间算法的效率。

四阶偏微分方程方法是基于扩散方程的离散化方法 ,

其计算是对原始图像的资料逐层向上扩散。当图像的数据

很稠密 ,或图像很大时 ,计算量较大。本文利用小波方法将

原始图像分层 ,使之成为一些稀疏资料集的组合 ,在此基础

上对各个层用四阶偏微分方程方法处理。实验结果表明不

仅算法的效率得到了提高 ,而且视觉效果也较好。

2 　小波分析

小波分析是一个新的数学分支 ,他是泛函分析、Fou2rier 分析、样条分析、调和分析、数值分析的完美结合 ;在

应用领域 ,特别是在信号处理、图像处理、语音分析中 ,他

被认为是继 Fourier 分析之后又一有效的时频分析方法。

小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性 ,克服

了传统 Fourier 分析的不足 ,而且由于他对高频采取逐渐

精细的时域步长 ,从而可以聚焦到被分析信号的任意细

节 ,因此小波分析具有数学显微镜的美称。在小波分析

中 ,人们可以在不同尺度上来观察信号 ,这种对信号分析

的多尺度观点是小波分析的基本特征。本文正利用小波

分析这个特性来对图像进行处理。

3 　四阶偏微分方程

3. 1 　理论分析

在用 Perona Malik 方程平滑图像过程中 ,有时会出

现“块效应”。即图像处理后某些区域内灰度相同。区域

内灰度相同 ,表示该区域任意一点其灰度值的一阶倒数

为 0。这说明随着迭代次数增加 ,图像向分块同灰度图像

过渡。图像看上去就像是由各个不同亮度的区域组成 ,图

像显得轮廓过分尖锐。

Perona Malik 系数各向异性分布偏微分方程 :

5 u5 t

= div( c(| ¨ u | ) ¨ u) (1)

　　该方程可等价为鲁棒性估计问题 ,其连续形式为 :

minu ∫Ω

ρ(| ¨ u | ) dΩ (2)

　　其差分迭代求解式 :

ut+1s = ut

s +λ

| ns | ∑p ∈ns

Ψ( ¨ u) (3)

其中Ψ( x) = c( x) x 。

031

电 子 技 术 罗 　峰等 :基于高阶偏微分方程的非线性去噪算法

当迭代一定次数后 ,图像不再变化 ,表示上式第二项

为 0。鲁棒性估计方法中假定图像是分块水平图像 (同一

块内各点梯度为零) 与零均值、方差较小噪声之和。这样

在多次平滑消除噪声 ,必然使图像向分块水平图像过渡。

如果我们将 ¨ u 改为 ¨2 u的形式 , ¨2 u = 0 时 , 图像只是

一平面。Y. L . You 等其他研究者提出考虑高阶偏微分

方程处理图像 ,使轮廓平缓些。

所以将鲁棒性估计问题连续形式改写为 :

minu ∫Ω

ρ(| ¨2 u | ) dΩ (4)

引入函数 E( u) :

E( u) =∫Ωρ(| ¨2 u | ) d xd y (5)

则 E( u) 是一个图像不平滑程度的递增函数 ,图像平滑程

度由 | ¨2 u | 度量。函数最小化等价于平滑图像。该方程

最小化问题是下面一般变化问题的特殊形式 :

E( u) =∫ΩP ( x , y , u , D1 u , D2 u , ⋯, D i u) d xd y (6)

其中 : D i u =5 i u5 x i ,

5 i u5 y i

T

。

等价欧拉方程为 :

∑D Ti

5 P5 D i u

= 0 (7)

　　对于奇数阶倒数 D Ti = - D i ,偶数阶倒数 D T

i = + D i 。

对于函数 E( u) 有 :

P( uxx , uyy ) =ρ(| ¨2 u | ) = ρ(| uxx + uyy | ) (8)

推得 :

5 P5 uxx

=5 P5 uyy

=ρ′(| ¨2 u | ) ¨2 u| ¨2 u |

(9)

因此 ,欧拉方程变为 :

¨2 [ρ′(| ¨2 u | ) ]¨2 u

| ¨2 u |= 0 (10)

如果定义 : 　　 ¨2 u/ | ¨2 u | | ¨2

u = 0 = 0

利用关系式 :c( x) =ρ′( x) x

欧拉方程化为 :

¨2 [ c(| ¨ u | ) ¨ u] = 0 (11)

这个欧拉方程可由下面逐步递减过程解决 :

5 u5 t

= - ¨2 [ c(| ¨ u | ) ¨ u] (12)

　　以被处理图像为初始条件 ,欧拉方程的解在 t →∞时

得到。但迭代一定次数之后有满意的消除噪声和边缘保

持效果时 ,即可提前停止。

各项异性分布偏微分方程 (二阶) 是将图像向分块等

灰度图像演化 ,这是产生块效应的主要原因。这里的四阶

偏微分方程将图像向分片平面图像演化。以分片平面图

像来近似 ,图像处理后没有块效应 ,因而更自然。

3. 2 　差分解法

为了分解求解过程将欧拉方程改写为 : 5 u5 t

= - ¨2 g ,

其中 g( ¨2 u) = c( | ¨2 u | ) ¨2 u , 一 般 取 c( x) =

11 + x2 / k2 。对于图像 ,假定其大小为 I 3 J , 可通过下述迭

代过程求解 :

(1) 计算图像灰度值的二阶差分 :

¨2 uni , j = un

i+1 , j + uni- 1 , j + un

i , 　j+1 + uni , j - 1 - 4 un

i , j

对称边界条件为 :

un- 1 , j = un

0 , j , 　unI+1 , j = un

I , j , 　j = 0 ,1 ,2 , ⋯, J

uni , - 1 = un

i ,0 , 　uni , J +1 = un

i , J , 　i = 0 ,1 ,2 , ⋯, I

　　(2) 计算函数 g :

gni , j = g( ¨2 un

i , j) = c(| ¨2 uni , j | ) ¨2 un

i , j

(3) 计算函数 g 的二阶差分 :

¨2 gni , j = gn

i+1 , j + gni- 1 , j + gn

i , j+1 + gni , j - 1 - 4 gn

i , j

对称边界条件为 :

gn- 1 , j = gn

0 , j , gnI+1 , j = gn

I , j , 　j = 0 ,1 ,2 , ⋯, J

gni , - 1 = gn

i ,0 , gni , J +1 = gn

i , J , 　i = 0 ,1 ,2 , ⋯, I

　　(4) un+1i , j = un

i , j - Δt ¨2 gni , j

4 　新算法

由于四阶偏微分方程是对图像的整体进行处理 ,不利

于图像的精细分析。在这里结合小波的“变焦距”特性 ,将

原始图像进行小波分解 ,从而得到不同分辨率的图像序

列 ,即近似图像和各层细节图像 ,然后对得到的图像的精

细结构进行分析。如果图像含有较大的噪声 ,可以先对其

进行阈值处理 ,然后对其进行适当的尺度扩散 ,最后叠加

起来生成原图像的粗尺度图像。他在去除噪声的同时保

留了边界。该方法有很好的灵活性 :首先在整体上对小波

分解层数 m 可以进行优化选择 ,如 m = 0 就退化为四阶偏

微分方程方法 ;其次在局部上对小波分解后的每一层可以

进行扩散参数Δt 以及 k 的优化选择。值得注意的一点是

该方法并不会加大运算量 ,由于小波的分解与重构可以用

Mallat 算法在很短的时间内完成 ,并且细节图像中的资料

集合是稀疏的 ,他的尺度扩散能够很快进行 ,所以整个过

程的运算量并不会增加。实验证明 ,该方法不仅可以很好

地提高算法的效率 ,而且可以达到较好的视觉效果。图 1

是四阶偏微分方程方法与新方法的简易示意图 ,可以看出

新方法是四阶偏微分方程方法的推广 。

图 1 　两种方法简易示意图

131

《现代电子技术》2006 年第 15 期总第 230 期 　þ 电子技术应用 ü

该方法的基本步骤为 :

(1) 图像的小波分解。选择一个小波和小波分解的

层次 N ,然后计算图像到第 N 层的小波分解。

(2) 二维小波的重构。对小波分解的第 N 层的低频

系数和从第 1 层到第 N 层的各层高频系数 ,分别进行二

维信号的小波重构。

(3) 分析重构后的每一部分图像的结构 ,根据分析的

结果对每一部分用四阶 PDE 方法。

(4) 对处理后的各部分图像进行合成。

5 　实验结果与讨论

我们以 c( x) =1

1 + x2 / k2 。k 的选择尤为重要 , 值过

大 ,有可能使图像模糊 ,太小则迭代次数较多。这里根据鲁

棒性统计理论中的“野值 σe”的定义 ,即 up - us 超过某个

值时被认为是野值[ 1 ] :

σe = 11482 6 MAD ( ¨ u) 　　　　　　　　　

= 11482 6 median[ | ¨ u - median (| ¨ u | ) | ]

　　对分布函数 c( x) 对应的Ψ函数求导 ,令其为 0 ,解此

方程得到与 k 有关的解也就是σe ,从而可确定一个合适的

k 进行迭代处理平滑图像。

例如 :对于 c( x) =1

1 + x2 / k2 ,有Ψ( x ,σ) = c( x) x =

x1 + x2 / k2 ,令Ψ′( x ,σ) = 0 ,整理得 :1 -

x2

k2 = 0 ,解得 : x =

k ,即野值开始于 x = k处 ,即 k =σe 。Δt的恰当选择能确保

快速收敛 ,但理论上要获取最佳Δt还很困难 ,一般取Δt =

0125。

图 2 　迭代次数 t = 100 , k = 1/ 15 ,不同方法去噪处理结果

　　对带噪声的一维信号分别采用 Perona Malik 方法和

四阶 PDE 方法进行去噪处理 ,均迭代 100 次后得到结果

如图 2。可见基于四阶的光滑性要好。

对带有 SNR = 10 dB 高斯噪声的 Lena 图像进行处

理 ,结果如图 3 所示。

图 3 　高斯噪声的 Lena 图像实验结果

在处理过程中 , k = 3 ,迭代 50 次。由图 3 可以看出 ,

(c) 图比 (b) 图看起来更平滑自然 ,但是与此同时帽子的边

缘线以及眼睛看起来有点模糊 , (d) 图解决了这个问题 ,处

理后的图像不仅轮廓平缓 ,而且保留了较多的细节部分 ,

有较好的视觉效果。

参 　考 　文 　献

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