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臺師大教評中心數學精進與核心教材
教材說明
教材聯繫：[email protected]
一、教材特色
本套教材自 2010 年 1 月開始至今，期間歷經近四年的研發、實驗、試用與推
廣發展而成。相較於教育部所公布之補救教學基本學習內容的活動單，本套教材
的主要特色為：
（一）經由長期實驗、試用及研發會議的反覆修編與確認，符合教學現場流程與
學生學習。透過五個學期共 137 位學生的實驗教學，及四個學期計 441 位學
生的試用與推廣，調整教材內容與文句修改，更能切合學生實際學習的需
求。
（二）採用編序性及直接教學法串連課程，為一般數學教師所熟悉。相較一般課
程的編排，本套教材注重教師使用清楚語言說明課程的方式，在編序性內
容的引導下幫助學生奠定數學基礎。
（三）參照《國中基本學習內容》的綱領及配合學校課程，為一套著重學生數學
核心能力、基本運算及讀題能力的學習教材。教材的設計可作為教師補救
教學時的上課教材，更能完整的建構起學生的數學知能。
（四）減少純文字的說明，在算式或圖示上做空間性的設計，以利學生的閱讀與
辨識。本套教材每個主題均以“範例”搭配“練習”的簡潔排版，有系統的版面
設計，引導學生學習。詳細介紹請參閱「三、教材設計與教學」。
二、教材出版明細
本教材設定使用對象為國中數學低成就的學生，考量《補救教學基本學習內
容》， 並配合不同學習狀態的學生，發展了兩套教材：「精進教材」適用於百分等
級 25 左右的學生；「核心教材」則以配合百分等級 15 的學生為原則。其與國中數
學課程之間關係的示意圖，如下圖 1 所示：
國中數學課程
「精進教材」內容
「核心教材」內容
圖 1：「精進教材」、「核心教材」與國中數學課程關係示意圖
2
目前的出版明細請見表 1 和表 2。精進教材和核心教材均有「學生版」與「教
師版」兩種版本。其中「學生版」為學生所使用的教材，內容僅為題目的呈現，
而「教師版」即提供給老師們教學及備課使用，內容除了題目原文及參考解答之
外，「精進教材教師版」中尚有與學生教材每頁相對應的教學指導說明，因此在
頁數上約有兩倍左右的差距。
表 1：精進教材出版之明細（共 20 個單元）
學生版教材名稱 頁數(頁) 教師版教材名稱 頁數(頁)
單元 1：整數與數線
單元 2：分數的運算 118
單元 1：整數與數線 114
單元 2：分數的運算 90
單元 3：一元一次方程式 62 單元 3：一元一次方程式 102
單元 4：二元一次聯立方程式
單元 5：直角坐標與二元一次聯立
方程式的圖形
78
單元 4：二元一次聯立方程式
單元 5：直角坐標與二元一次聯立
方程式的圖形
128
單元 6：比與比例式
單元 7：變數與函數
單元 8：一元一次不等式
106
單元 6：比與比例式 86
單元 7：變數與函數
單元 8：一元一次不等式 98
單元 9：乘法公式與多項式 64 單元 9：乘法公式與多項式 104
單元 10：二次方根與勾股定理 70 單元 10：二次方根與勾股定理 114
單元 11：因式分解 82 單元 11：因式分解 136
單元 12：一元二次方程式 60 單元 12：一元二次方程式 92
單元 13：數列與級數 60 單元 13：數列與級數 96
單元 14：幾何圖形 86 單元 14：幾何圖形 140
單元 15：三角形的基本性質 62 單元 15：三角形的基本性質 99
單元 16：平行與四邊形 80 單元 16：平行與四邊形 128
單元 17：比例線段與相似三角形 62 單元 17：比例線段與相似三角形 98
單元 18：圓 50 單元 18：圓 50
單元 19：推理證明與三角形的心 52 單元 19：推理證明與三角形的心 52
單元 20：立體圖形 60 單元 20：立體圖形 60
表 2：核心教材出版之明細（共 6 個模組）
學生版教材名稱 頁數(頁) 教師版教材名稱 頁數(頁)
模組一：數與式的運算 62 模組一：數與式的運算 68
模組二：一元一次方程式 110 模組二：一元一次方程式 110
模組三：二元一次聯立方程式 100 模組三：二元一次聯立方程式 100
模組四：坐標平面與函數 80 模組四：坐標平面與函數 80
模組五：二次函數 82 模組五：二次函數 82
模組六：統計圖表 100 模組六：統計圖表 100
三、教材設計與教學
本教材特別著重於「編輯與版面設計」及「教學法」兩部分上，使得一方面
藉由視覺的引導，讓學生能依照教材中的編排及步驟，循序漸進學習；另一方面
則藉由教師的說明，帶領學生從具體的實際操作，學習到抽象的數學概念及解題
方式。
3
1. 編輯與版面設計
(1) 範例、練習並置教學
本教材採用「範例題」與「練習題」並置的編排模式，即由教師示範範例的
解題方式，同時直接引進該題的數學概念，之後由學生仿照教師的解題步驟，自
行計算練習題。
(2) 題目以編序排列方式呈現
本教材依據九年一貫課程綱領的精神，參酌現行各版本教科書的內容排序，
以符合學生於補救教學上的學習順序，並將教材內容依題型的難易度，由淺而深
編排學習內容，去除艱深的多步驟題型、簡化過於繁雜的計算與冗長的文字敘述，
俾使減輕學生學習上的負擔，使其更容易學習與吸收本套教材的課程內容。
(3) 題目的編排順序會考量學生觀察的便利性
本套教材的問法及呈現方式會考量到學生觀察題目的便利性，也就是在視覺
排列上提供引導解題的作用。以本套精進教材與坊間教材於「單元 6：比與比例式」
的題目編排為例，如下圖 2、圖 3 所示：
填入適當的數：
(1) 0.2：0.3 (2) 7：31
＝ 2：______ ＝14：______
(3) 5：9＝57：9____ (4) ： ＝_____：3
＝5____：98
上下對照
左右對照
當前項放大 n 倍時，後項會放大幾倍
當後項放大 n 倍時，前項會放大幾倍
圖 2：本教材編排時會考量到學生觀察便利性之排版設計
在下列空格中填入適當的數字。
(1) 18：24＝3：______＝______：12
(2) 15：9＝30：______＝______：30
先進行「比的縮小」解題
再進行「比的放大」解
題，最後還牽涉到先縮小
再放大的題型
不考慮題目”直式”或”橫式”的編排方式
圖 3：坊間教材較傾向隨意型出題模式之版面設計
4
(4) 精進教材簡化題目的數字計算
「精進教材」乃配合一般國中教科書的內容，保留各單元中重要的概念與技
能，但簡化題目中的數字來設計題目，並且融入必要的銜接教材，使非特教生、
數學成就約百分等級 25 的學生能夠藉由此套教材，完整學習到國中數學課程中的
重要概念。
(5) 核心教材引進圖式記錄幫助解題
「核心教材」則以技能為其組織內容，主要鎖定國中數學各階段中最為基礎
的概念與解題技能，以此編寫題目與設計解題步驟，並且利用實際操作、分句閱
讀及簡易圖式記錄的方式，幫助學生學習如何了解各題的題意、列方程式，進而
能夠獨立解題，期使數學成就低於百分等級 25 的學生亦能學習到數學最基本的核
心能力。
(6) 分冊印刷並控制各冊頁數，減輕學生攜帶負擔
目前市面上的國中數學參考資料，一個學期的內容動輒三、四百頁，甚者更
達五、六百頁以上，使得學生感覺學習壓力沈重，亦對學生攜帶上造成不便。本
套教材已將各單元分冊印刷，並控制各冊的頁數，使學生教材的頁數最多均在 100
頁左右，一方面讓學生感覺學習較為輕鬆，一方面也減輕學生書包的重量。因此
本套教材期使此種「分冊印刷」的方式能激發學生的學習動機，並且養成學習數
學的習慣。
(7) 本套教材頁數不厚，但仍整合重要概念
相對於坊間教材較著重於大範圍概念的應用，本教材則較著重於各單元中重
要數學概念的學習，因此雖然各冊頁數不厚，但已列舉及整合重要的概念與題型，
使學生能逐步奠定學習的基礎。
對於低成就學生而言，概念的建立尚不深厚，若讓其直接面對坊間的厚重教
材，無疑是在學習之初立即給予其信心的打擊，並無法幫助其引發或恢復學習的
動機。故本套教材採用「輕薄簡潔」的設計，期使學生在負擔最小的情形下，仍
能掌握到國中必備的數學概念。
2. 教學法
有效的教學必須掌握學生的起點行為。本套教材的教師手冊提供「必備與次
要能力分析」以呈現單元內容的教材地位，且有搭配的「準備度測驗」，供教師掌
握學生的學習起點行為。教師們在進入正式教學前，可先花15-20分鐘讓學生作答，
了解個別學生的先備能力；若學生先備能力不足，教師須先做必要的補強，以使
學生具備學習新單元的能力，如此再進行的補救教學才有成效。
5
而教師們所使用的教學方法，對於低成就學生的學習影響甚深。因為低成就
學生通常欠缺自行閱讀及解答題目的能力，所以必須仰賴老師們的指導與講解本
套教材的範例後，才能藉由練習題達成學習成效。以下就三個向度分別說明：
(1) 利用「教具」由具體的操作引導學生學習
在有教具輔助教學的單元中，必須經由教師的講解，使學生藉由具體的操作，
慢慢漸立抽象性思考的能力。例如本套核心教材 「模組一：數與式的運算」的內
容中，教師需利用「太極圖」的教具指導學生學習整數的加減運算。以下為該模
組核心能力中「同號數的加法」的教學順序，教師們於教學時，必須遵循此指導
步驟，並利用說出關鍵的問句，引導學生於回答問題時進行思考的歷程。如下圖 4
所示。
「同號數的加法」的重點步驟：
1. 在被加數下方放置太極圖。
2. 在加數下方放置太極圖。
3. 提示：「加法就是合併」，操作合併。
4. 問學生：「合併的結果是什麼顏色？也就是正的還是負的？」
5. 再問學生：「現在答案是多少？」
步驟 1
步驟 2
步驟 3
圖 4：「同號數的加法」的教學順序
等學生回答出顏色，
及是正、是負後 若是黑色，是負的
則寫成－( )
解釋「＋」表示「合併」
操作合併
寫成－( 1 ＋ 2 )＝－3
步驟 4
步驟 5
例題：(－1)＋(－2)＝？
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(2) 指導學生使用「分句閱讀」的方式了解文字題的題意
文字題解題是多數低成就學生於數學學習上的困難點，因此本教材除了在編
排題目上儘量縮短敘述的文字數量，另在字句較多的題目中，做了分行的排版設
計。故使用本套教材教學的老師們，在指導學生解答文字題時，可以在讀題時提
醒學生使用「分句閱讀」的技巧，並在閱讀完每一句之後詢問學生：「所讀的內容
告訴我們什麼？」，同時可引導學生用「簡易圖式」記錄文字題中的各種關係。
(3) 指導學生使用認知負荷較輕的計算程序
低成就學生之所以在解題上會犯錯的原因之一，是因為在一次運算步驟中同
時進行 2 個以上的作業，造成他們的認知負荷過重而產生錯誤。故本套教材指導
學生以分步驟的方式進行 2 個以上的運算作業。
以解「－3(－2x＋1)＝4x＋3」的解題步驟為例，一般教法可能會讓學生將
”－3”直接乘以”－2x＋1”，然後再利用等量公理解出方程式，但對於低成就學生而
言，在進行乘法時，可能在負號乘進括號中的數「是否要變號」時就會發生錯誤，
即使將方程式乘開後得到的等式也非正確的。本教材考量到學生在此解題程序中
容易發生錯誤的層面，故將去括號時的「乘法」與「處理負號」的計算分為兩步
驟，即「先做乘法，再處理負號」。雖然看起來似乎是多了一些計算步驟，但卻因
此減輕學生一次處理兩種運算的負荷能力。
(4) 教師手冊提供教學說明
研發教師群以其於實驗課程中教學的經驗，將教學時的教學目的、注意事項、
教學策略、學生的錯誤類型及指導策略，以說明的方式編入「精進教材」的教師
手冊中。
編排的方式以左右兩頁相互對照的方式呈現，使教師們在看到題目的同時，
亦能了解該題的教學提示要點及各種注意事項。期使教師們在教學時能預先了解
學生容易發生錯誤的解題模式，而在課堂上利用指導策略適時給予說明，使學生
能更加釐清學習的概念與計算的技能。
7
四、附錄
(一)附件一：精進教材【單元 3】學生版試閱（p.8-13）
(二)附件二：精進教材【單元 3】教師版試閱（p.14-25）
(三)附件三：精進教材【單元 10】學生版試閱（p.26-31）
(四)附件四：精進教材【單元 10】準備度測驗學生版試閱（p.32）
(五)附件五：核心教材【模組一】學生版試閱（p.33-37）
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附件一：精進教材【單元 3】學生版試閱
主題一 式子的運算
B1-3-1-1：符號的簡記
簡記下列各式：
1. 7 × a ＝ 2. 1 × x ＝
3. x × (3) ＝ 4. (2
5
) × y ＝
5. y ÷ 5 ＝ 6. x ÷ ( 8
7 )＝
簡記下列各式：
1. x × (1) ＝ 2. (5) × b ＝
3. y × 3
7
＝ 4. x ×
3
5 ＝
5. y ÷ (10) ＝ 6. a ÷ 2
3 ＝
範例 1
練習
9
練習
簡記下列各式：
1. b×2＋5 ＝ 2. 3－5×a ＝
3. 4＋x× (6
7
) ＝ 4. y ÷ (
5
12
)－1 ＝
簡記下列各式：
1. (－2)＋2× x ＝ 2. x ×9
5－9 ＝
3. y ÷ (3)＋3 ＝ 4. 10－y ÷1
2 ＝
5. 4＋1× x ＝ 6. x÷5－5 ＝
範例 2
10
B1-3-1-2：列一元一次式
根據題意回答下列各題：
1. 王小美今年 13 歲，5 年前是 歲；5 年後是 歲。
王小美的媽媽今年 x 歲，5 年前是 歲；5 年後是 歲。
2. 原子筆一枝 25 元，小雪買 3 枝要 元；
秋霞買 y 枝要 元；
阿忠買 a 枝要 元。
鉛筆一枝 x 元，米諾買 6 枝要 元。
3. 小芬的錢數是佳儀的 2 倍，
若佳儀有 100 元，則小芬有 元；
若佳儀有 m 元，則小芬有 元。
若小芬有 100 元，則佳儀有 元。
若小芬有 n 元，則佳儀有 元。
4. 老師將一袋糖果平分給 30 位學生，
若每位學生分得 x 個，則 30 位學生總共分得 個；
若最後還剩餘 8 個，這一袋糖果原有 個。
範例 1
11
練習
1. 石門水庫的原先水位為 x 公尺，上升 5 公尺後的水位是
公尺。
2. 一杯咖啡的熱量 x 大卡，1
22杯咖啡的熱量有 大卡。
3. 一本筆記簿的價錢是一枝原子筆的5
3倍，若一枝原子筆是 x 元，
則一本筆記簿是 元。
4. 媽媽帶 1000 元去市場買了 10 個蘋果，如果蘋果每個 y 元，
那麼 10 個蘋果一共花去 元。
應找回來的錢是 元。
12
練習
範例 2
1. 一雙定價 1000 元的鞋子，打九折是 元。
一雙定價 x 元的鞋子，打八五折是 元。
2. 老師拿出 x 元作為獎學金，平均分配給 7 位學習成績優良的學生，
那麼每位學生可得 元。
小新拿到老師的獎學金後，爸爸又給他 100 元，他共有
元。
3. 媽媽拿出 5x 元，爸爸拿出 200 元，平分給 4 個小孩做為零用金，
每個小孩拿到 元。
1. 一杯綠茶定價 x 元，打八折賣出，則買 1 杯綠茶須 元。
2. 第一次段考，益義的國文 x 分，數學 85 分，
兩科平均是 分。
3. 6 位朋友去郊遊，只知交通費一共用去 250 元，買食材共花費 a 元，
那麼平均每人出 元。
13
範例 3
1. 哥哥有 100 元，妹妹有 3x 元，兩人共有 元；
若妹妹的錢比哥哥多，則妹妹比哥哥多 元。
2. 甲與乙兩數的和為 16，如果甲數是 x，則乙數是 。
3. 甲數比乙數大 45，那麼誰比較大呢？ ；
如果乙數是 x，則甲數是 。
4. 一本教科書和一本習作共重 180 公克，
若一本教科書重 x 公克，則一本習作重 公克；
(1) 3 本教科書重 公克，
(2) 5 本習作重 公克；
(3) 3 本教科書和 5 本習作共重 公克。
14
練習
附件二：精進教材【單元 3】教師版試閱
主題一 式子的運算
B1-3-1-1：符號的簡記
簡記下列各式：
1. 7 × a ＝ 2. 1 × x ＝
3. x × (3) ＝ 4. (2
5
) × y ＝
5. y ÷ 5 ＝ 6. x ÷ ( 8
7 )＝
簡記下列各式：
1. x × (1) ＝ 2. (5) × b ＝
3. y × 3
7
＝ 4. x ×
3
5 ＝
5. y ÷ (10) ＝ 6. a ÷ 2
3 ＝
範例 1 （符號與數的乘、除簡記）
5
y
7
8x
2
5y
3
7y
3
5x
10
y
3
2a
－3x
7a x
－x －5b
15
★ 教學提示
一、 教學目的：以符號代表數的乘除簡記規則。
二、 教學注意事項：
1. 【第 4 題】說明可簡記為5
2y 、－
5
2 y 、－
5
2y或
5
2y等。
【第 5 題】可將除法改為乘法再計算，例如 y ÷ 5= y × 5
1= y
5
1。
亦可回到學生的舊經驗，仿照 2÷3＝3
2的形式，讓學生直接記成
y ÷ 5=5
y。
不過，有些學生對於 a ÷ b＝b
a並不是很了解，教師可能要多舉
一些實例說明，例如 3÷4 可解釋成將 3 個大餅平分給 4 個人，
並圖示：
因此，每個人都可拿到 3 個4
1，也就是
4
3，所以 3÷4＝
4
3。
2. 有些學生會將 y ÷ 5 記成 y5
1，教師說明這不是數學上習慣的記法，
習慣上數字要寫在文字符號前。
▲ 錯誤類型與指導策略：
一、 錯誤類型：將 y ÷ 5 簡記為 5 y、x ÷（ 8
7 ）簡記成－
8
7 x。
二、 指導策略：
1. 說明簡記時，加減乘除四個運算中，只有文字符號與數之間的乘
號可以省略。「除以 5」可先改為「乘以5
1」，再利用簡記的規則記
錄結果。
2. 亦可說明 5 y 的意義是 5× y 或 y × 5，並不是 y ÷ 5，讓學生從比較
中修正觀念。
16
練習
簡記下列各式：
1. b×2＋5 ＝ 2. 3－5×a ＝
3. 4＋x× (6
7
) ＝ 4. y ÷ (
5
12
)－1 ＝
簡記下列各式：
1. (－2)＋2× x ＝ 2. x ×9
5－9 ＝
3. y ÷ (3)＋3 ＝ 4. 10－y ÷1
2 ＝
5. 4＋1× x ＝ 6. x÷5－5 ＝
範例 2 （含有一次項、常數項的簡記）
64
7x
121
5y
33
y
55
x
99
5x
－2＋2x
4＋x
10－2y
2b＋5 3－5a
17
★ 教學提示
一、 教學目的：包含一次項與常數項的簡記規則。
二、 教學注意事項：
【範例 2】強調式子的運算仍遵守先乘除、後加減的規則，並使用
文字符號與數之間的乘號可以省略的原則。
☆ 【範例 2 第 3 題】4＋7
6x、4＋
7
6x、4－ x
7
6、4－
7
6x都是正確
答案，但習慣上前兩者會再簡記成後兩者。
☆ 【範例 2 第 4 題】 －5
12y－1、
5
12y－1、－
5
12y－1、
5
12y－1
都是正確答案。
▲ 錯誤類型與指導策略：
【範例 2 第 1 題】
一、 錯誤類型：b×2＋5＝7b
二、 指導策略：
可舉實例說明，例如：「鉛筆一枝 b 元，橡皮擦一個 5 元，買 2 枝
鉛筆和一個橡皮擦共要多少元？」
此時列式為 b×2＋5，讓學生由情境中，理解 2 和 5 不能先加起來
的理由。
【範例 2 第 2 題】
一、 錯誤類型：35×a 簡記為 5a－3
二、 指導策略：
可告訴學生，這題是減法，3 減 5a，而減法沒有交換律，因此直
接記成 3－5a 即可，或是記成－5a＋3。
18
B1-3-1-2：列一元一次式
根據題意回答下列各題：
1. 王小美今年 13 歲，5 年前是 歲；5 年後是 歲。
王小美的媽媽今年 x 歲，5 年前是 歲；5 年後是 歲。
（比少、比多，基準量為以符號代表的數）
2. 原子筆一枝 25 元，小雪買 3 枝要 元；
秋霞買 y 枝要 元；
阿忠買 a 枝要 元。
鉛筆一枝 x 元，米諾買 6 枝要 元。
3. 小芬的錢數是佳儀的 2 倍，
若佳儀有 100 元，則小芬有 元；（順敘述）
若佳儀有 m 元，則小芬有 元。
若小芬有 100 元，則佳儀有 元。（逆敘述）
若小芬有 n 元，則佳儀有 元。
4. 老師將一袋糖果平分給 30 位學生，
若每位學生分得 x 個，則 30 位學生總共分得 個；
若最後還剩餘 8 個，這一袋糖果原有 個。
範例 1 （從數的四則運算意義擴展到列一元一次式）
8 18
x－5 x＋5
75
25y
25a
6x
200
2m
50
2
n
30x
30x＋8
19
★ 教學提示
一、 教學目的：以數的四則運算意義做為類化的依據，引導學生讀題
並以符號代表數，列一元一次式。
二、 教學注意事項：
【範例 1】 可多舉幾個實際數值的例子，說明各題的運算方法，以
利學生掌握文字語意和運算意義的關係。
☆ 【第 1 題】：
若學生只寫 8 歲和 18 歲，且無法回答出接下來的 x－5 與 x＋5，
則教師宜回到前一小題，以實際數值引導學生列出算式：13－5
和 13＋5。
☆ 【第 2 題】：可以用不同的文字符號代表數。
☆ 【第 3 題】：
指導學生在閱讀題幹時，能將「小芬的錢數是佳儀的 2 倍」
轉換成「佳儀×2→ 小芬」，並列出其逆敘述「佳儀
×1
2← 小芬」。
▲ 錯誤類型與指導策略：【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型：王小美的媽媽今年 x 歲，5 年前是 5x 歲；5 年後
是 x5 歲。
學生以為 5 年前就是把 5 寫在 x 的前面，成為 5x；5 年後就是
把 5 寫在 x 的後面，成為 x5。此類學生尚未明瞭此為加減情境，
以及符號 5x、x5 的意義。
二、 指導策略：
1. 說明「5x」與「x5」都代表「5 乘以 x」，而且「x5」並不是習慣的
記法。
2. 多舉幾個實際數值說明其運算方法，如：
小華今年 8 歲，5 年前是 8－5 歲；5 年後是 8＋5 歲。
王小美的媽媽今年 36 歲，5 年前是 36－5 歲；5 年後是 36＋5 歲。
讓學生掌握到使用的觀念是減(或加)，而不是乘法。
20
練習
1. 石門水庫的原先水位為 x 公尺，上升 5 公尺後的水位是
公尺。
2. 一杯咖啡的熱量 x 大卡，1
22杯咖啡的熱量有 大卡。
3. 一本筆記簿的價錢是一枝原子筆的5
3倍，若一枝原子筆是 x 元，
則一本筆記簿是 元。
4. 媽媽帶 1000 元去市場買了 10 個蘋果，如果蘋果每個 y 元，
那麼 10 個蘋果一共花去 元。
應找回來的錢是 元。
10y
12
2x
x＋5
5
3x
1000－10y
21
★ 教學提示
1. 有些練習題已脫離實際數值的引導，教師可視學生的理解程度，
決定是否增加實際數值的練習。
2. 【第 2 題】可寫為 2
12 x、
2
5x 或
2
5x；
【第 3 題】可寫為 3
5x 或
3
5x。
22
範例 2
練習
1. 一雙定價 1000 元的鞋子，打九折是 元。
一雙定價 x 元的鞋子，打八五折是 元。
2. 老師拿出 x 元作為獎學金，平均分配給 7 位學習成績優良的學生，
那麼每位學生可得 元。
小新拿到老師的獎學金後，爸爸又給他 100 元，他共有
元。
3. 媽媽拿出 5x 元，爸爸拿出 200 元，平分給 4 個小孩做為零用金，
每個小孩拿到 元。
1. 一杯綠茶定價 x 元，打八折賣出，則買 1 杯綠茶須 元。
2. 第一次段考，益義的國文 x 分，數學 85 分，
兩科平均是 分。
3. 6 位朋友去郊遊，只知交通費一共用去 250 元，買食材共花費 a 元，
那麼平均每人出 元。
900
0.85x
1
7x
1
7x＋100
5 200
4
x
0.8x
85
2
x
250
6
a
23
★ 教學提示
一、 教學目的：了解打折、平均的意義，並能以符號代表數，列一元
一次式。
二、 教學注意事項： 1. 讓學生確實了解打折的意義，例如：從生活實際經驗中知道八折
為原價的 80%，因此是原價乘以 80% ( 0.8、100
80)、八五折則為原
價乘以 85% ( 0.85、100
85)。
2. 平均的意義為總和除以個數。
3. 若學生無法直接以文字符號列式時，教師可以讓學生以數字列出
算式，再以文字符號列式。
▲ 錯誤類型與指導策略：
【範例 2 第 1 題】
一、 錯誤類型：
1. 「一雙定價 1000 元的鞋子，打九折」通常會出現的錯誤類型有：
1000 ÷9
1、 1000 × 9%、 1000 × 9、 1000 ÷ 9 元。
2. 「一雙定價 x 元的鞋子，打八五折」通常會出現的錯誤類型有：
x ÷8
5 、 x × 8.5 元。
二、 指導策略：可從生活中的實際例子，引導學生了解打折的意義。
【練習第 1 題】
一、 錯誤類型：1 杯綠茶須 元。
二、 指導策略：同【範例 2 第 1 題】，指導學生了解打折的意義。
【練習第 2 題】
一、 錯誤類型：兩科平均是 分。
二、 指導策略：
1. 說明2
85x
表示的意義。
2. 指導學生了解平均的意義為總和除以個數。
8
x
85＋2
x
24
範例 3
1. 哥哥有 100 元，妹妹有 3x 元，兩人共有 元；
若妹妹的錢比哥哥多，則妹妹比哥哥多 元。
2. 甲與乙兩數的和為 16，如果甲數是 x，則乙數是 。
3. 甲數比乙數大 45，那麼誰比較大呢？ ；
如果乙數是 x，則甲數是 。
4. 一本教科書和一本習作共重 180 公克，
若一本教科書重 x 公克，則一本習作重 公克；
(1) 3 本教科書重 公克，
(2) 5 本習作重 公克；
(3) 3 本教科書和 5 本習作共重 公克。
100＋3x
3x－100
16－x
甲數
x＋45
180－x
3x
5 (180－x)
3x＋5 (180－x)
25
★ 教學提示
一、 教學目的：理解題意，並以符號代表數，列一元一次式。
二、 教學注意事項：
1. 【第 2 題】：可就已給的圖示提問，如「16 和甲、乙兩數有什麼
關係」，以確定學生能看懂圖示。
2. 【第 3 題】：先問「甲數比乙數大 45，那麼誰比較大呢？」目的
在協助學生釐清兩數大小關係。
3. 【第 4 題】：題目的情境比較複雜，包括剩餘問題、倍數問題，
併加等情境，教師應引導學生逐步作答。
▲ 錯誤類型與指導策略：【範例 3 第 4 題】
一、 錯誤類型：
3 本教科書重 x 公克，
5 本習作重 180x 公克；
3 本教科書和 5 本習作共重 3x＋5x 公克。
二、 指導策略：
學生對題意的掌握不足，教師宜再加強倍數關係，例如：
「1 本教科書重 x 公克，3 本教科書是 x 的 3 倍，也就是 3x；」
「1 本習作重 180－x 公克，5 本習作是 180－x 的 5 倍，也就是
5(180－x)」，
因此 3 本教科書和 5 本習作的重量是 3x＋5（180－x） 公克，
此處無須要求學生化簡。
26
範例 1
附件三：精進教材【單元 10】學生版試閱
B3-2-1-1：平方根(二次方根)的意義
回答下列問題：
1. 32＝9，(－3)
2＝9，則
9 的正平方根是 ；
9 的負平方根是 。
2. 102＝ ，(－10)
2＝ ，
則 100 的正平方根是 ；
100 的負平方根是 。
100 的平方根是 。
3. 112＝ ，(－11)
2＝ ，
則 121 的平方根是 。
4. 25的平方根是多少？ 。
5. 0 的平方根是多少？ 。
( )2 = 100
_______與________
都是 100 的平方根
( )2 =
( )2 =
( )2 =
( )2 = 9 ±3
3 與－3 都是
9 的平方根
27
練習
1. 分別求出下列各數的正平方根、負平方根、平方根。
數 正平方根 負平方根 平方根
64
49
16
1
2. 下列何者是 4 的平方根？
2 、 －2 、 8 、－8 、 16 、－16
3. 81 的平方根是 。
4. 請在右邊找出左邊各數的平方，連連看，再回答問題：
左 右
x x 的平方(x2)
1 ‧ ‧ 1
－1 ‧ ‧ －1
6 ‧ ‧ 36
－6 ‧ ‧ －36
20 ‧ ‧ 400
－20 ‧ ‧ －400
(1) 1 的正平方根是 ；
1 的平方根是 。
(2) 36 的負平方根是 ；
36 的平方根是 。
(3) 400 的平方根是 。
( )2 =
( )2 =
( )2 =
28
練習
範例 2
回答下列問題：
1. 9 的平方根是________，
3 是________的平方根
－3 是________的平方根
2. 4 是 的平方根
－8 是 的平方根
0 是 的平方根
－1 是 的平方根
2
1 是 的平方根
2
1 是 的平方根
填空：
－2 是 的平方根
2 是 的平方根
5 是 的平方根
－5 是 的平方根
4
1
是 的平方根
( )2 = 9
________是 9 的
平方根
( )2 =
_____是_____的
平方根
( )2 =
29
範例 3
練習
1. 9 的平方根是 ， 9 的平方是 。
2. 寫出下列各數(x)的平方以及平方根：
x 的平方
數(x) 0 4 9 9
4
x 的平方根
1. 寫出下列各數(x)的平方以及平方根：
x 的平方
數(x) 1 25 100 4
1
x 的平方根
2. 下列各敘述何者正確，請打ˇ。
( ) 400 是 20 的平方根 ( ) －5 是 25 的平方根
( ) 20 是 400 的平方根 ( ) 25 是 －5 的平方根
( ) 16 的平方是 4 ( ) －3 的平方是 9
( ) 4 的平方是 16 ( ) 9 的平方是 －3
( )2 =
( )2 =
30
範例 1
練習
B3-2-1-2：平方根的符號
1. 仿照上面的記法，回答下列問題：
(1) 3 的正平方根記作 。
(2) 10 的負平方根記作 。
(3) 4
3
的正平方根記作 。
(4) 15 的平方根記作 。
2. (1) ( 6 )2 ＝ 。
(2) (－ 19 )2 ＝ 。
1. 下列哪些是 6 的平方根？
3、－3、36、－36、 6 、－ 6
2. 求出下列各值：
(1) ( 10 )2＝ (2) ( 38 )
2＝
(3) (4
7)
2＝ (4) ( 5 )2＝
2 的正平方根記作 2 ，
2 的負平方根記作－ 2 ，
2 的平方根記作± 2 。
14 的正平方根記作 ，
14 的負平方根記作 ，
14 的平方根記作 。
( )2 ＝ 14
( )2 ＝ 14
( )2 ＝ 14
( )2 =
31
練習
範例 2
若 a＞0，則
( a )2 ＝ a a 是 a 的正平方根
(－ a )2 ＝ a － a 是 a 的負平方根
( a )2 ＝ a a 都是 a 的平方根
回答下列問題：
(1) ( 7 )2＝ ， 7 是 的平方根
( 7 )2＝ ， 7 是 的平方根
(2) 8是 的正平方根， 8 是 的負平方根
( 8 )2＝ ， ( 8 )
2＝
(3) 12 是12的平方根嗎？
12 是 12 的平方根嗎？
1. 回答下列問題：
(1) ( 28 )2＝ ， 28是______的平方根
(2) (3
2 )
2＝ ，3
2 是______的平方根
2. 6 是 的正平方根
－ 5是 的負平方根
3. 一個正數的平方根有 個
( )2 =
32
附件四：精進教材【單元 10】準備度測驗學生版試閱
二次方根與勾股定理
必備之能力
整數的四則運算
平方的概念及符號
標準分解式
多項式的加減運算
次要之能力
絕對值的意義
分數的四則運算
四則混合運算的順序
乘法公式
直角坐標平面
33
範例 1
附件五：核心教材【模組一】學生版試閱
參、整數的減法
(一) 從操作中理解”減去一個數就是加上這個數的相反數”
1. 減去正數
老師示範：(－3)－2＝？
要移走 2，可是沒有兩個「 」可移，
就先補上兩個「 」，
減去 2 就等於多了兩個「 」。
操作(－3）－2 的結果會等於(－3）＋(－2），是怎麼來的？
移走
(－3) － 2 ＝ (－3)＋(－2) ＝ －5
34
操作練習
1. (－2) －1 ＝ (－2) ＋ ＝
2. (－4) － 2 ＝ (－4) ＋ ＝
3. (－1) － 2 ＝ (－1) ＋ ＝
35
想一想
下列各式要怎麼計算？
1. (－2) － 5 ＝ (－2) ＋ ＝
2. (－4) － 8 ＝ (－4) ＋ ＝
3. (－9) － 2 ＝ (－9) ＋ ＝
4. (－20)－10 ＝ (－20) ＋ ＝
36
範例 1
2. 減去負數
.
老師示範：2－(－3) ＝ ？
要移走(－3)，可是沒有三個「 」可移，
就先補上三個「 」，
減去(－3)就等於多了三個「 」。
操作 2－(－3）的結果會等於 2＋3，是怎麼來的？
移走
2 － (－3) ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5
37
操作練習
想一想
1. 4 － (－2) ＝ 4 ＋ ＝
2. 2 － (－1) ＝ 2 ＋ ＝
3. 3 － (－3) ＝ 3 ＋ ＝
下列各式要怎麼計算？
1. 1 － (－3) ＝ 1 ＋ ＝
2. 2 － (－4) ＝ 2 ＋ ＝
*結論：做減法運算時，將減去減數變成加上這個數的相反數
