APROXIMACIÓN DE LA NORMAL POR LA BINOMIAL

La distribución Normal se puede utilizar para aproximar las probabilidades de algunas variables aleatorias discretas, cuando es difícil calcular las probabilidades exactas cuando el tamaño de n es grande.

Supongamos tenemos una variable aleatoria Y que tiene una distribución binomial. Se realizan n pruebas y la probabilidad de tener éxito en cualquier prueba se denota por  p. Si se desea calcular P(Y  b), entonces podemos utilizar la función Binomial para calcular la probabilidad de todos los valores que sean menores o iguales a b y sumar estas probabilidades.

Ya vimos que existen tablas para ciertos valores de p y de n, pero el cálculo directo para valores grandes de n o de p que no existan en las tablas es laborioso.

Como una opción se puede usar el siguiente teorema.

Teorema del Límite de DeMoivre - Laplace

Sea 0 <p< 1. Entonces, para n grande, la distribución Binomial se puede aproximar por medio de la distribución Normal con media  y variancia 2, donde:

 = np             y          2 = np(1 - p) = npq

Sabemos que en la distribución Binomial se cumple que:

Podemos establecer que          f(Y)  f*(Y)  para Y = 0, 1, 2, . . . ,n

donde el símbolo  se lee asintóticamente igual y significa que la razón f(Y)  f*(Y) se aproxima a uno cuando n crece indefinidamente. Por lo tanto:

donde                          

Además tenemos que:

La experiencia indica que la aproximación es adecuada cuando el producto np > 5 cuando p  0.5 o bien cuando nq < 5 para p > 0.5

Factor de Corrección para Poblaciones Finitas

            Como la distribución Binomial es discreta y la Normal es continua, es común en la práctica utilizar la corrección de medio intervalo o corrección de continuidad. En realidad, esto es necesario al calcular la probabilidad puntual P(X = x). Un procedimiento usual es moverse media unidad a ambos lados del entero x, dependiendo del intervalo de interés. A continuación se muestran los casos posibles.

Planteamiento en la

Distribución  Binomial

Planteamiento con corrección

Por continuidadP(X = x) P(x-1/2 X  x+1/2)P(X  x) P(X  x+1/2)P(X < x) P(X  x-1/2)P(X  x) P(X  x-1/2)P(X > x) P(X  x+1/2)

P(a  X  b) P(a-1/2  X  b+1/2)

Por lo que para la ecuación antes señalada se tiene que:

EJERCICIOS

1. La línea naviera Royal Viking informo que durante el mes de septiembre se ocupan el 80% sus camarotes. En el caso que un navío tenga 800 camarotes. ¿Cuál es la probabilidad de que 665 o más se ocupen en el mes de septiembre?

DATOS:

P=0,8

N=800

X>=665

μ=np= (800 ) (0,8 )=640

σ=√np(1−p)=√(800∗0,8)(1−0,8)=11,31

2. Hallar la probabilidad de tener 3 y 6 caras inclusive en 10 lanzamientos de una moneda, usando la aproximación normal a la binomial.

Datos:

μ=np= (10 ) (0,5 )=5

σ=√np(1−p)=√(10∗0,5)(1−0,5)=1,58

X1=2,5

X2=6,5

Z1=X−μ

σ=2,5−5

1,58=−1,58→ 0,4429

Z2=X−μ

σ=6,5−5

1,58=0,95→ 0,3289

0,4429+0,3289=0,7718

La probabilidad de tener 3 y 6 caras inclusive en 10 lanzamientos de una moneda utilizando la aproximación normal a la binomial es 0,7718.

3. El 2% de los tornillos fabricados por una maquina presentan defectos. Si tenemos un lote de 2000 tornillos, ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 50 defectuosos?

Datos:

μ=np= (2000 ) (0,02 )=40

σ=√np(1−p)=√(2000∗0,02)(1−0,02)=6,26

p(x<50)=50−0,5=49,5

Z1=X−μ

σ=49,5−40

6,26=1,52 → 0,4357

la probabilidad de que haya menos de 50 tornillos defectuosos es 0,4357

4. Una moneda corriente se lanza 12 veces. Determinar la probabilidad P de que el número de caras este entre 4 y 7 inclusive por medio de la aproximación normal a la distribución binomial.

Datos:

μ=np= (12 ) (0,5 )=6

σ=√np(1−p)=√(12∗0,5)(1−0,5)=1,73

p¿

Z1=X−μ

σ=3,5−5

1,73=−1,45 → 0,4265

Z2=X−μ

σ=7,5−5

1,73=0,87 →0,3078

0,4265+0,3078=0,7343

La probabilidad de tener 4 y 7 caras inclusive en 12 lanzamientos de una moneda utilizando la aproximación normal a la binomial es 0,7343.

5. De los 31 productos cuál es la probabilidad de que 20 salgan defectuosos, si el 50% de los productos normalmente sale defectuoso.

P(X=20) = 3.97% n = 31 P = 50% Q = 50% Z1 = (19.5-15.5)/2.78 = 1.43 Z2= (20.5-15.5)/2.78= 1.79 P(X=20) = P(1.43<Z<1.79) = 0.4633-0.4236 = 3.97% La probabilidad de que 20 productos salgan defectuosos es de 3.97%.

6. Se efectúan 15 lanzamientos de una moneda. Calcular la probabilidad de que salgan menos de 6 caras

Resolvemos

n= 15x=6p=0,50q= 0,50

Media E ( x )=n . p = 15 x0,50 = 7,5

Desviación σ=√ npq = √ 15 x 0,50 x0,50 = 1,93

z=x−E(x )

σ

z=6−7,51,93

z=0,78≅ 0,7823

1-0,7823= 0,2177

La probabilidad de que salgan menos de 6 caras es 0,2177.

7. Un examen tipo test consta de 38 preguntas a contestar verdadero o falso. El examen se aprueba si se contesta correctamente al menos 20 preguntas. Un alumno responde al examen lanzando al aire una moneda y contestando verdadero si sale cara y falso si sale cruz. Halla

a) La probabilidad de aprobar el examen

b) Probabilidad de acertar más de 24 y menos de 31.

8. Ejercicio

9. Ejercicio

10. Se lanza una moneda correcta al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210.

Resolvemos

n= 400x= 180; 210p=0,5

q= 0,5

Media E ( x )=n . p =400 x 0,5 = 200

Desviación σ=√ npq = √ 400 X 0,5 X 0,5 = 10

z=x−E(x )

σ

Para 180 (límite inferior)

z=179,5−20010

z=−2,05≅ 0,9798

1-0,9798 = 0,0202

Para 210 (límite superior)

z=210,5−20010

z=1,05≅ 0,8531

RESPUESTA 0,8531 – 0,0202 = 0.8329

La probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210 es 0,8329.

11. Un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas del 0 al 9 y cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo. Si hacemos 100 extracciones, calcular la probabilidad de que el 0 salga más de 12 veces

Resolvemos

n= 100x= 12p=0,10q= 0,90

Media E ( x )=n . p = 100 x0,10 = 10

Desviación σ=√ npq = √ 100x 0,10 x0,90 = 3

z=x−E(x )

σ

z=12−103

z=0,67≅ 0,7486

1-0,7486= 0,2514

La probabilidad de que el 0 salga más de 12 veces es 0,2514

12. La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es 0,2. Si lanzara 1000 veces y su capacidad de acierto se mantuviera. ¿Qué probabilidad hay de que acierte más de 220 veces?

Resolvemos

n= 1000x= 220p=0,20q= 0,80

Media E ( x )=n . p = 1000 x0,20 = 200

Desviación σ=√ npq = √ 1000 x 0,20 x0,80 = 12,65

z=x−E(x )

σ

z=220−20012,65

z=1,58≅ 0,9429

1-0,9429= 0,0571

La probabilidad de que acierte más de 220 veces es 0,0571

13. Ejercicio

14. En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.

15. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan?, b) más de 46 sobrevivan?, Solución: a)n = 100p = p(paciente se recupere) = 0.40q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60m = np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen

s =  =  pacientes que se recuperanx = variable que nos define el número de pacientes que se recuperanx = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

  

       

         p( z = -2.14) =0.4838 p(x ³ 30 ) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838  

a)       

         p(z = 1.33) = 0.4082 p(x > 46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918 

16. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con  4 posibles      respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas  acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos? Solución:n = 80p = p(dar una contestación correcta) = 0.25q = p(dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75

preguntas contestadas correctamente

  preguntas contestadas correctamentex = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80

X = 29.5 m = 40

   

      ,     p(z1 = 1.16) = 0.377 

      ,   p(z2 = 2.71) = 0.4966          p(25 £ x ³ 30) = p(z2) – p(z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196

17. Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea a) menos de 354  productos sean defectuosos?, Solución:a)n = 1000p = p(un producto sea defectuoso) = 0.35q = p(un producto no sea defectuoso) = 1- p = 0.65

productos defectuosos

      15.0831 productos defectuosos18. Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribución normal de

media 168 y desviación típica 8 cm. ¿Cuántos soldados miden entre 166 y 170 cm?.

Sea X la distribución de los soldados, X es una N(168,8). Nos piden p(166 ≤ X ≤ 170).

Utilizando el resultado anterior, primero restamos x=168 en la desigualdad:

p(166 ≤ X ≤ 170) = p(166−168 ≤ X − 168 ≤ 170−168) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2)

Y ahora dividimos entre σ = 8, con lo que acabamos de tipificar:

p(166 ≤ X ≤ 170) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2) = p−2/8 ≤ (X – 168)/8 ≤ 2

19. El 35% de los estudiantes de sexto curso de una cuidad prefieren realizar sus estudios de pregrado en la universidad M. Determinar la probabilidad de que de 2500 estudiantes sexto curso más de 950 prefieran la universidad m

Resolvemosn= 2500x= 950p=0,35

q= 0,65Media E ( x )=n . p = 2500 x 0,35 = 875Desviación σ=√ npq = √ 2500 x 0,35 x0,65 = 23,85

z=x−E(x )

σ

z=950−87523,85

z=3,14≅ 0,9992

1-0,9992 = 0,0008

Probabilidad de que más de 950 estudiantes prefieran la universidad M es 0,0008

20. Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competición y tira 25 veces, ¿Cuál es la probabilidad de que acierte mas de 10 tiros?

Resolvemos

n= 25x=10p=0,70q= 0,30

Media E ( x )=n . p = 25x0,70 = 17,5

Desviación σ=√ npq = √ 25 x 0,70 x0,30 = 2,29

z=x−E(x )

σ

z=10−17,52,29

z=−3,27≅ 0,9995

La probabilidad de que acierte más de 10 tiros es 0,9995